Premier différentiel. §24

Différentiel... Pour certains, c'est une belle chose lointaine, mais pour d'autres, c'est mot inconnu liés aux mathématiques. Mais si c'est votre dur cadeau, notre article vous aidera à découvrir comment bien « préparer » le différentiel et avec quoi le « servir ».

Le différentiel se retrouve principalement en physique et en économie. Ainsi, en physique, les problèmes liés à la détermination de la vitesse et de sa dérivée, l'accélération, sont souvent résolus par différenciation. Et en économie, le différentiel fait partie intégrante du calcul de l'efficacité d'une entreprise et de la politique fiscale de l'État, par exemple l'effet du levier financier. Cet article traite tâches typiques différenciation. Bien mathématiques supérieures pour les étudiants universitaires, il contient souvent également des tâches sur l'utilisation des différentielles dans les calculs approximatifs, ainsi que sur la recherche de solutionséquations différentielles

. Mais l'essentiel est qu'avec une compréhension claire des bases, vous puissiez facilement gérer toutes les nouvelles tâches. On peut prouver que si une fonction a une limite égale à nombre fini

, alors il peut être représenté comme la somme de ce nombre et d'une valeur infinitésimale de même base (et vice versa) : .

Appliquons ce théorème à une fonction différentiable : .
Ainsi, l'incrément de la fonction у est constitué de deux termes : 1) linéaire par rapport à х, c'est-à-dire f`(x)х ; 2) relatif non linéaire х, c'est-à-dire (x)х. En même temps, puisque

, ce deuxième terme est un infinitésimal d'ordre supérieur à x (comme x tend vers zéro, il tend vers zéro encore plus vite). Différentiel

la fonction est appelée la partie principale, linéaire par rapport à x de l'incrément de la fonction, égale au produit de la dérivée et de l'incrément de la variable indépendante dy = f`(x)x.

Trouvons la différentielle de la fonction y = x.

Puisque dy=f`(x)х =x`х =х, alors dx=х, c'est-à-dire le différentiel d'une variable indépendante est égal à l'incrément de cette variable.

La signification géométrique du différentiel est illustrée à la figure 3.11. Prenons un point arbitraire M(x, y) sur le graphique de la fonction y = f(x). Donnons à l'argument x un incrément x. Alors la fonction y = f(x) recevra un incrémenty = f(x +x) - f(x). Traçons une tangente au graphique de la fonction au point M, qui forme un angle  avec la direction positive de l'axe des abscisses, c'est-à-dire f`(x) = tan. Depuis triangle rectangle MNKKN=MN*tg=х*tg=f`(x)х =dy.

Ainsi, la différentielle d'une fonction est l'incrément en ordonnée de la tangente tracée au graphique de la fonction en un point donné lorsque x reçoit un incrément x.

Propriétés différentielles fondamentalement similaire aux propriétés d'un dérivé :

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2.

Cependant, il existe une propriété importante de la différentielle d'une fonction que sa dérivée n'a pas - c'est invariance de la forme différentielle.

D'après la définition du différentiel pour la fonction y= f(x) différentieldy=f`(x)dх. Si cette fonction y est complexe, c'est-à-dire y= f(u), où u=(x), alors y= f[(x)] et f`(x) = f`(u)*u`. Alors dy= f `(u)*u`dх. Mais pour la fonction u=(x) la différentielle est du=u`dх. D'où dy= f `(u)*du.

En comparant les égalités dy=f`(x)dх et dy= f`(u)*du, on s'assure que la formule différentielle ne change pas si au lieu d'une fonction de la variable indépendante x on considère une fonction du variable dépendante u. Cette propriété d'un différentiel est appelée invariance (c'est-à-dire immuabilité) de la forme (ou formule) du différentiel.

Cependant, il existe encore une différence entre ces deux formules : dans la première d'entre elles, le différentiel de la variable indépendante est égal à l'incrément de cette variable, c'est-à-dire dx = x, et dans la seconde, la différentielle de la fonction du n'est que la partie linéaire de l'incrément de cette fonction u et seulement pour les petits x duu.

Application du différentiel dans les calculs approximatifs

Il a été montré au-dessus, c'est-à-dire l'incrément de la fonction у diffère de son différentiel dy d'une valeur infinitésimale d'ordre supérieur à x.

Par conséquent, pour des valeurs suffisamment petites de хуdy ou f(x +х) - f(x)f`(x)х, d'où f(x +х)f(x) +f`(x)x. La formule résultante sera d’autant plus précise que x est petit.

Par exemple, trouvons

Donc, y=f(x) =x 1/3. Prenons x = 125, x = 0,27.

f`(x) = (x 1/3)`= 1/(3x 2/3)

f(125,27) =f(125 + 0,27)f(125) +f`(125)*(0,27) =
= 5 + 0,27/(3*25) = 5,0036

Par exemple, trouvons tg 46 o.

Donc, y=f(x) =tgx. Prenons x= 45 o =/4,х = 1 o =/180.

f`(x) = (tgx)`= 1/cos 2 x

f(46 o) = f(/4 + /180)  f(/4) + f `(/4)*(/180) = tan(/4) + + (1/ cos 2 (/4))*(/180) = 1 + (1/(2/2) 2)*(/180) = 1 + /90 ( 1,035)

De plus, en utilisant une différentielle, le problème de la détermination des erreurs absolues et relatives d'une fonction en fonction d'une erreur donnée dans la recherche (mesure) de l'argument peut être résolu.

Supposons qu'il soit nécessaire de calculer la valeur d'une fonction donnée y = f(x) pour une certaine valeur de l'argument x 1, dont la vraie valeur est inconnue, et seule sa valeur approchée x est connue avec une erreur absolue | x| = |x - x1 |. Si au lieu de la vraie valeur f(x 1) on prend la valeur f(x), alors l'erreur absolue de la fonction sera égale à |f(x 1) -f(x)| = |y|dy=f`(x)х.

Dans ce cas, l'erreur relative de la fonction  y = |y/y| pour x suffisamment petit sera égal à, où E x (y) est l'élasticité de la fonction, a x = |x/x| - erreur relative argument.

Si la fonction différenciable au point , alors son incrément peut être représenté comme la somme de deux termes

. Ces termes sont des fonctions infinitésimales à
.Le premier terme est linéaire par rapport à
, le second est un infinitésimal d’ordre supérieur à
.Vraiment,

.

Ainsi, le deuxième mandat à
tend à zéro plus rapidement lors de la recherche de l'incrément de la fonction
le premier terme joue le rôle principal
ou (depuis
)
.

Définition . Partie principale de l'incrément de fonction
au point , linéaire par rapport à
,appelé différentiel fonctions à ce stade et est désignémouriroudf(x)

. (2)

Ainsi, nous pouvons conclure : le différentiel de la variable indépendante coïncide avec son incrément, c'est-à-dire
.

La relation (2) prend désormais la forme

(3)

Commentaire . La formule (3) par souci de concision est souvent écrite sous la forme

(4)

Signification géométrique du différentiel

Considérons le graphique de la fonction différentiable
. Points
et appartiennent au graphe de la fonction. Au point M. tangente tracée À au graphique d'une fonction dont l'angle est avec la direction positive de l'axe
désigner par
. Traçons des lignes droites MN parallèle à l'axe Bœuf Et
parallèle à l'axe Oy. L'incrément de la fonction est égal à la longueur du segment
. D'un triangle rectangle
, dans lequel
, nous obtenons

Les considérations ci-dessus nous permettent de conclure :

Fonction différentielle
au point est représenté par l'incrément de l'ordonnée de la tangente au graphique de cette fonction en son point correspondant
.

Relation entre différentiel et dérivé

Considérez la formule (4)

.

Divisons les deux côtés de cette égalité par dx, Alors

.

Ainsi, la dérivée d'une fonction est égale au rapport de sa différentielle à la différentielle de la variable indépendante.

Souvent cette attitude traité simplement comme un symbole désignant la dérivée d'une fonction à par argumentation X.

Les notations pratiques pour la dérivée sont également :

,
et ainsi de suite.

Les entrées sont également utilisées

,
,

particulièrement pratique lorsqu'on prend la dérivée d'une expression complexe.

2. Différentiel de somme, produit et quotient.

Puisque la différentielle est obtenue à partir de la dérivée en la multipliant par la différentielle d'une variable indépendante, alors, connaissant les dérivées des fonctions élémentaires de base, ainsi que les règles de recherche des dérivées, vous pouvez arriver à des règles similaires pour trouver des différentielles.

1 0 . Le différentiel de la constante est nul

.

2 0 . La différentielle d'une somme algébrique d'un nombre fini de fonctions différentiables est égale à la somme algébrique des différentielles de ces fonctions

3 0 . Différentielle du produit de deux fonctions différentiables égal à la somme produits de la première fonction par la différentielle de la seconde et de la deuxième fonction par la différentielle de la première

.

Conséquence. Le multiplicateur constant peut être retiré du signe différentiel

.

Exemple. Trouvez le différentiel de la fonction.

Solution : Écrivons cette fonction sous la forme

,

alors nous obtenons

.

4. Fonctions définies paramétriquement, leur différenciation.

Définition . Fonction
est dit paramétrique si les deux variables X Et à chacun est défini séparément en tant que fonctions à valeur unique de la même variable auxiliaire - paramètret:

Oùtvarie au sein
.

Commentaire . La spécification paramétrique des fonctions est largement utilisée en mécanique théorique, où le paramètre t désigne le temps, et les équations
représenter les lois du changement dans les projections d'un point en mouvement
sur l'axe
Et
.

Commentaire . Donnons équations paramétriques cercle et ellipse.

a) Cercle de centre à l'origine et de rayon r a des équations paramétriques :

Où
.

b) Écrivons les équations paramétriques de l'ellipse :

Où
.

En excluant le paramètre t A partir des équations paramétriques des droites considérées, on peut arriver à leurs équations canoniques.

Théorème . Si la fonction y à partir d'un argument x est donné paramétriquement par les équations
, Où
Et
différenciable par rapport àtfonctions et
, Que

.

Exemple. Trouver la dérivée d'une fonction à depuis X, donné par des équations paramétriques.

Solution.
.