Un exemple de résolution d'une équation à l'aide du théorème de Vieta. Théorème de Vieta pour les équations quadratiques et autres

Entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique, en plus des formules de racine, il existe d'autres relations utiles qui sont données Théorème de Vieta. Dans cet article, nous donnerons une formulation et une preuve du théorème de Vieta pour une équation quadratique. Considérons ensuite le théorème inverse du théorème de Vieta. Après cela, nous analyserons les solutions les plus exemples typiques. Enfin, nous écrivons les formules Vieta qui définissent la relation entre les vraies racines équation algébrique degré n et ses coefficients.

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Théorème de Vieta, formulation, preuve

À partir des formules pour les racines de l'équation quadratique a·x 2 +b·x+c=0 de la forme, où D=b 2 −4·a·c, les relations suivantes découlent : x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Ces résultats sont confirmés Théorème de Vieta:

Théorème.

Si x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique a x 2 +b x+c=0, alors la somme des racines est égale au rapport des coefficients b et a pris dans signe opposé, et le produit des racines est égal au rapport des coefficients c et a, c'est-à-dire .

Preuve.

Nous réaliserons la preuve du théorème de Vieta selon le schéma suivant : nous composerons la somme et le produit des racines de l'équation quadratique en utilisant formules célèbres racines, après cela nous transformons les expressions résultantes et nous assurons qu'elles sont égales à -b/a et c/a, respectivement.

Commençons par la somme des racines et compensons-la. Maintenant, nous réduisons les fractions à dénominateur commun, nous avons . Au numérateur de la fraction résultante, après quoi :. Finalement, après 2, nous obtenons . Cela prouve la première relation du théorème de Vieta pour la somme des racines d'une équation quadratique. Passons à la seconde.

On compose le produit des racines de l'équation quadratique : . D'après la règle de multiplication des fractions, dernier morceau peut s'écrire . Maintenant, nous multiplions une parenthèse par une parenthèse au numérateur, mais il est plus rapide de réduire ce produit par formule de différence carrée, Donc . Ensuite, en nous souvenant, nous effectuons la transition suivante. Et puisque le discriminant de l'équation quadratique correspond à la formule D=b 2 −4·a·c, alors au lieu de D dans la dernière fraction nous pouvons substituer b 2 −4·a·c, nous obtenons. Après avoir ouvert les parenthèses et lancé le casting termes similaires on arrive à la fraction , et sa réduction par 4·a donne . Cela prouve la deuxième relation du théorème de Vieta pour le produit des racines.

Si l’on omet les explications, la preuve du théorème de Vieta prendra une forme laconique :
,
.

Il ne reste plus qu'à constater que lorsque égal à zéro L'équation quadratique discriminante a une racine. Cependant, si nous supposons que l’équation dans ce cas comporte deux racines identiques, alors les égalités du théorème de Vieta sont également valables. En effet, lorsque D=0 la racine de l'équation quadratique est égale à , alors et , et puisque D=0, soit b 2 −4·a.c=0, d'où b 2 =4·a.c, alors .

En pratique, le théorème de Vieta est le plus souvent utilisé en relation avec l'équation quadratique réduite (avec le coefficient dominant a égal à 1) de la forme x 2 +p·x+q=0. Parfois, il est formulé pour des équations quadratiques de ce type, ce qui ne limite pas la généralité, puisque toute équation quadratique peut être remplacée par une équation équivalente en divisant les deux côtés par un nombre non nul a. Donnons la formulation correspondante du théorème de Vieta :

Théorème.

La somme des racines de l'équation quadratique réduite x 2 +p x+q=0 est égale au coefficient de x pris avec le signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre, c'est-à-dire x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Théorème inverse du théorème de Vieta

La deuxième formulation du théorème de Vieta, donnée dans le paragraphe précédent, indique que si x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique réduite x 2 +p x+q=0, alors les relations x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. D'autre part, des relations écrites x 1 + x 2 =−p, x 1 x 2 = q il s'ensuit que x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique x 2 + p x+q=0. En d’autres termes, l’inverse du théorème de Vieta est vrai. Formulons-le sous la forme d'un théorème et démontrons-le.

Théorème.

Si les nombres x 1 et x 2 sont tels que x 1 +x 2 =−p et x 1 · x 2 =q, alors x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique réduite x 2 +p · x+q =0.

Preuve.

Après avoir remplacé les coefficients p et q dans l'équation x 2 +p·x+q=0 par leurs expressions via x 1 et x 2, celle-ci est transformée en une équation équivalente.

Remplaçons le nombre x 1 au lieu de x dans l'équation résultante, et nous avons l'égalité x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, qui pour tout x 1 et x 2 représente l'égalité numérique correcte 0=0, puisque x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Par conséquent, x 1 est la racine de l'équation x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0, ce qui signifie que x 1 est la racine de l'équation équivalente x 2 +p·x+q=0.

Si dans l'équation x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0 remplacez le nombre x 2 au lieu de x, on obtient l'égalité x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. C'est une véritable égalité, puisque x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Par conséquent, x 2 est aussi une racine de l’équation x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0, et donc les équations x 2 +p·x+q=0.

Ceci termine la preuve du théorème inverse du théorème de Vieta.

Exemples d'utilisation du théorème de Vieta

Il est temps de parler de l'application pratique du théorème de Vieta et de son théorème inverse. Dans cette section, nous analyserons les solutions à plusieurs des exemples les plus typiques.

Commençons par appliquer le théorème inverse au théorème de Vieta. Il est pratique de l'utiliser pour vérifier si deux nombres donnés sont les racines d'une équation quadratique donnée. Dans ce cas, leur somme et leur différence sont calculées, après quoi la validité des relations est vérifiée. Si ces deux relations sont satisfaites, alors en vertu du théorème inverse du théorème de Vieta, on conclut que ces nombres sont les racines de l’équation. Si au moins une des relations n’est pas satisfaite, alors ces nombres ne sont pas les racines de l’équation quadratique. Cette approche peut être utilisée lors de la résolution d'équations quadratiques pour vérifier les racines trouvées.

Exemple.

Laquelle des paires de nombres 1) x 1 =−5, x 2 =3, ou 2) ou 3) est une paire de racines de l'équation quadratique 4 x 2 −16 x+9=0 ?

Solution.

Les coefficients de l'équation quadratique donnée 4 x 2 −16 x+9=0 sont a=4, b=−16, c=9. Selon le théorème de Vieta, la somme des racines d'une équation quadratique doit être égale à −b/a, soit 16/4=4, et le produit des racines doit être égal à c/a, soit 9. /4.

Calculons maintenant la somme et le produit des nombres dans chacun des trois paires données, et comparez-les avec les valeurs qui viennent d'être obtenues.

Dans le premier cas on a x 1 +x 2 =−5+3=−2. La valeur résultante est différente de 4, donc aucune autre vérification ne peut être effectuée, mais en utilisant le théorème inverse du théorème de Vieta, on peut immédiatement conclure que la première paire de nombres n'est pas une paire de racines de l'équation quadratique donnée.

Passons au deuxième cas. Ici, la première condition est remplie. On vérifie la deuxième condition : la valeur résultante est différente de 9/4. Par conséquent, la deuxième paire de nombres n’est pas une paire de racines de l’équation quadratique.

Resté dernier cas. Ici et . Les deux conditions sont remplies, donc ces nombres x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique donnée.

Répondre:

L'inverse du théorème de Vieta peut être utilisée en pratique pour trouver les racines d'une équation quadratique. Habituellement, les racines entières des équations quadratiques données avec des coefficients entiers sont sélectionnées, car dans d'autres cas, cela est assez difficile à faire. Dans ce cas, ils utilisent le fait que si la somme de deux nombres est égale au deuxième coefficient d'une équation quadratique, pris avec un signe moins, et que le produit de ces nombres est égal au terme libre, alors ces nombres sont les racines de cette équation quadratique. Comprenons cela avec un exemple.

Prenons l'équation quadratique x 2 −5 x+6=0. Pour que les nombres x 1 et x 2 soient des racines de cette équation, deux égalités doivent être satisfaites : x 1 + x 2 =5 et x 1 ·x 2 =6. Il ne reste plus qu'à sélectionner de tels numéros. DANS dans ce cas c'est assez simple à faire : ces nombres sont 2 et 3, puisque 2+3=5 et 2·3=6. Ainsi, 2 et 3 sont les racines de cette équation quadratique.

Le théorème inverse du théorème de Vieta est particulièrement pratique à utiliser pour trouver la racine seconde d'une équation quadratique donnée lorsque l'une des racines est déjà connue ou évidente. Dans ce cas, la deuxième racine peut être trouvée à partir de n’importe quelle relation.

Par exemple, prenons l'équation quadratique 512 x 2 −509 x −3=0. Ici, il est facile de voir que l'unité est la racine de l'équation, puisque la somme des coefficients de cette équation quadratique est égale à zéro. Donc x1 =1. La deuxième racine x 2 peut être trouvée, par exemple, à partir de la relation x 1 · x 2 = c/a. Nous avons 1 x 2 =−3/512, d'où x 2 =−3/512. C'est ainsi que nous avons déterminé les deux racines de l'équation quadratique : 1 et −3/512.

Il est clair que la sélection des racines n'est conseillée que dans les cas les plus cas simples. Dans d'autres cas, pour trouver des racines, vous pouvez utiliser des formules pour les racines d'une équation quadratique via un discriminant.

Un autre utilisation pratique Le théorème, inverse du théorème de Vieta, consiste à composer des équations quadratiques étant donné les racines x 1 et x 2. Pour ce faire, il suffit de calculer la somme des racines, qui donne le coefficient pour x de signe opposé de l'équation quadratique donnée, et le produit des racines, qui donne Membre gratuit.

Exemple.

Écrivez une équation quadratique dont les racines sont −11 et 23.

Solution.

Notons x 1 =−11 et x 2 =23. On calcule la somme et le produit de ces nombres : x 1 +x 2 =12 et x 1 ·x 2 =−253. Ainsi, numéros spécifiés sont les racines de l'équation quadratique réduite avec un deuxième coefficient de −12 et un terme libre de −253. Autrement dit, x 2 −12·x−253=0 est l'équation requise.

Répondre:

x 2 −12·x−253=0 .

Le théorème de Vieta est très souvent utilisé pour résoudre des problèmes liés aux signes des racines des équations quadratiques. Quel est le lien entre le théorème de Vieta et les signes des racines de l’équation quadratique réduite x 2 +p·x+q=0 ? Voici deux déclarations pertinentes :

• Si le terme libre q est un nombre positif et si l’équation quadratique a des racines réelles, alors soit elles sont toutes deux positives, soit toutes deux négatives.
• Si le terme libre q est un nombre négatif et si l'équation quadratique a des racines réelles, alors leurs signes sont différents, c'est-à-dire qu'une racine est positive et l'autre est négative.

Ces affirmations découlent de la formule x 1 · x 2 =q, ainsi que des règles de multiplication positive, nombres négatifs et des nombres avec des signes différents. Regardons des exemples de leur application.

Exemple.

R c'est positif. En utilisant la formule discriminante on trouve D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, la valeur de l'expression r 2 +8 est positif pour tout réel r, donc D>0 pour tout réel r. Par conséquent, l’équation quadratique originale a deux racines pour tout de vraies valeurs paramètre r.

Voyons maintenant quand les racines ont différents signes. Si les signes des racines sont différents, alors leur produit est négatif, et selon le théorème de Vieta, le produit des racines de l'équation quadratique réduite est égal au terme libre. Par conséquent, nous nous intéressons aux valeurs de r pour lesquelles le terme libre r−1 est négatif. Ainsi, pour trouver les valeurs de r qui nous intéressent, il faut décider inégalité linéaire r−1<0 , откуда находим r<1 .

Répondre:

à r<1 .

Formules Vieta

Ci-dessus, nous avons parlé du théorème de Vieta pour une équation quadratique et analysé les relations qu’il affirme. Mais il existe des formules reliant les racines réelles et les coefficients non seulement des équations quadratiques, mais aussi des équations cubiques, des équations du quatrième degré et, en général, équations algébriques diplôme n.m. Elles sont appelées Les formules de Vieta.

Écrivons la formule de Vieta pour une équation algébrique de degré n de la forme, et nous supposerons qu'elle a n racines réelles x 1, x 2, ..., x n (parmi elles il peut y en avoir des coïncidentes) :

Les formules de Vieta peuvent être obtenues théorème sur la décomposition d'un polynôme en facteurs linéaires, ainsi que la définition de polynômes égaux par l'égalité de tous leurs coefficients correspondants. Ainsi, le polynôme et son développement en facteurs linéaires de la forme sont égaux. En ouvrant les parenthèses dans le dernier produit et en égalisant les coefficients correspondants, on obtient les formules de Vieta.

En particulier, pour n=2, nous avons les formules Vieta déjà familières pour une équation quadratique.

Pour une équation cubique, les formules de Vieta ont la forme

Il ne reste plus qu’à noter que sur le côté gauche des formules de Vieta se trouvent les formules dites élémentaires polynômes symétriques.

Bibliographie.

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Tout d'abord, formulons le théorème lui-même : Ayons une équation quadratique réduite de la forme x^2+b*x + c = 0. Disons que cette équation contient les racines x1 et x2. Alors, d’après le théorème, les affirmations suivantes sont valides :

1) La somme des racines x1 et x2 sera égale à la valeur négative du coefficient b.

2) Le produit de ces mêmes racines nous donnera le coefficient c.

Mais quelle est l’équation donnée ?

Une équation quadratique réduite est une équation quadratique dont le coefficient du plus haut degré est égal à un, c'est-à-dire il s'agit d'une équation de la forme x^2 + b*x + c = 0. (et l'équation a*x^2 + b*x + c = 0 n'est pas réduite). En d’autres termes, pour amener l’équation à la forme donnée, il faut diviser cette équation par le coefficient de puissance la plus élevée (a). La tâche consiste à amener cette équation sous la forme suivante :

3*x^2 12*x + 18 = 0 ;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0 ;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0 ; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

En divisant chaque équation par le coefficient du degré le plus élevé, on obtient :

X^2 4*x + 6 = 0 ; X^2 8*x − 4 = 0 ; X^2 + 5*x + 2 = 0 ;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Comme vous pouvez le voir dans les exemples, même les équations contenant des fractions peuvent être réduites à la forme donnée.

Utiliser le théorème de Vieta

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5 ; x1*x2 = 6 ;

on obtient les racines : x1 = 2 ; x2 = 3 ;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6 ; x1*x2 = 8 ;

on obtient ainsi les racines : x1 = -2 ; x2 = -4 ;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5 ; x1*x2 = 4 ;

on obtient les racines : x1 = −1 ; x2 = −4.

La signification du théorème de Vieta

Le théorème de Vieta nous permet de résoudre n'importe quelle équation quadratique réduite en presque quelques secondes. À première vue, cela semble être une tâche assez difficile, mais après 5 à 10 équations, vous pouvez immédiatement apprendre à voir les racines.

À partir des exemples donnés et en utilisant le théorème, il est clair comment vous pouvez simplifier considérablement la solution des équations quadratiques, car en utilisant ce théorème, vous pouvez résoudre une équation quadratique pratiquement sans calculs complexes ni calcul du discriminant, et comme vous le savez, le moins de calculs, plus il est difficile de se tromper, ce qui est important.

Dans tous les exemples, nous avons utilisé cette règle sur la base de deux hypothèses importantes :

L'équation donnée, c'est-à-dire le coefficient du degré le plus élevé est égal à un (cette condition est facile à éviter. Vous pouvez utiliser la forme non réduite de l'équation, alors les affirmations suivantes seront valides x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, mais c'est généralement plus difficile à résoudre :))

Lorsqu'une équation a deux racines différentes. Nous supposons que l’inégalité est vraie et que le discriminant est strictement supérieur à zéro.

Par conséquent, nous pouvons créer un algorithme de solution général en utilisant le théorème de Vieta.

Algorithme de solution générale utilisant le théorème de Vieta

Nous réduisons une équation quadratique à une forme réduite si l’équation nous est donnée sous forme non réduite. Lorsque les coefficients de l'équation quadratique, que nous avons présentée précédemment comme donnée, s'avèrent être fractionnaires (et non décimaux), alors dans ce cas, nous devons résoudre notre équation par le biais du discriminant.

Il existe également des cas où le retour à l'équation initiale permet de travailler avec des nombres « pratiques ».

Il existe des techniques spéciales en mathématiques que beaucoup équations du second degré sont résolus très rapidement et sans aucun discriminant. De plus, avec une formation appropriée, beaucoup commencent à résoudre des équations quadratiques oralement, littéralement « à première vue ».

Malheureusement, dans le cours moderne de mathématiques scolaires, ces technologies ne sont pratiquement pas étudiées. Mais il faut savoir ! Et aujourd'hui, nous examinerons l'une de ces techniques : le théorème de Vieta. Tout d’abord, introduisons une nouvelle définition.

Une équation quadratique de la forme x 2 + bx + c = 0 est dite réduite. Veuillez noter que le coefficient pour x 2 est 1. Il n'y a aucune autre restriction sur les coefficients.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 est une équation quadratique réduite ;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - également réduit ;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - mais cela n'est pas du tout donné, puisque le coefficient de x 2 est égal à 2.

Bien entendu, toute équation quadratique de la forme ax 2 + bx + c = 0 peut être réduite - il suffit de diviser tous les coefficients par le nombre a. Nous pouvons toujours le faire, puisque la définition d’une équation quadratique implique que a ≠ 0.

Certes, ces transformations ne seront pas toujours utiles pour trouver des racines. Ci-dessous, nous veillerons à ce que cela ne soit fait que lorsque dans l'équation finale donnée par le carré, tous les coefficients sont entiers. Pour l'instant, regardons les exemples les plus simples :

Tâche. Convertissez l'équation quadratique en équation réduite :

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0 ;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0 ;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Divisons chaque équation par le coefficient de la variable x 2. On a:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - tout divisé par 3 ;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - divisé par −4 ;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - divisé par 1,5, tous les coefficients sont devenus des entiers ;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - divisé par 2. Dans ce cas, des coefficients fractionnaires sont apparus.

Comme vous pouvez le constater, les équations quadratiques ci-dessus peuvent avoir des coefficients entiers même si l'équation d'origine contenait des fractions.

Formulons maintenant le théorème principal, pour lequel, en fait, la notion d'équation quadratique réduite a été introduite :

Théorème de Vieta. Considérons l'équation quadratique réduite de la forme x 2 + bx + c = 0. Supposons que cette équation ait des racines réelles x 1 et x 2. Dans ce cas, les affirmations suivantes sont vraies :

1. X 1 + X 2 = −b. En d'autres termes, la somme des racines de l'équation quadratique donnée est égale au coefficient de la variable x, pris avec le signe opposé ;
2. x 1 x 2 = c. Le produit des racines d'une équation quadratique est égal au coefficient libre.

Exemples. Pour plus de simplicité, nous ne considérerons que les équations quadratiques ci-dessus qui ne nécessitent pas de transformations supplémentaires :

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9 ; x1x2 = 20 ; racines : x 1 = 4 ; x2 = 5 ;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2 ; x 1 x 2 = −15 ; racines : x 1 = 3 ; x2 = −5 ;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5 ; x1x2 = 4 ; racines : x 1 = −1 ; x2 = −4.

Le théorème de Vieta nous donne des informations supplémentaires sur les racines d'une équation quadratique. À première vue, cela peut sembler difficile, mais même avec un minimum de formation, vous apprendrez à « voir » les racines et à les deviner littéralement en quelques secondes.

Tâche. Résolvez l'équation quadratique :

1. x 2 − 9x + 14 = 0 ;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 ;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0 ;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Essayons d'écrire les coefficients en utilisant le théorème de Vieta et de « deviner » les racines :

1. x 2 − 9x + 14 = 0 est une équation quadratique réduite.
   D'après le théorème de Vieta, nous avons : x 1 + x 2 = −(−9) = 9 ; x 1 · x 2 = 14. Il est facile de voir que les racines sont les nombres 2 et 7 ;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - également réduit.
   D'après le théorème de Vieta : x 1 + x 2 = −(−12) = 12 ; x 1 x 2 = 27. D'où les racines : 3 et 9 ;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - cette équation n'est pas réduite. Mais nous allons corriger cela maintenant en divisant les deux côtés de l'équation par le coefficient a = 3. Nous obtenons : x 2 + 11x + 10 = 0.
   Nous résolvons en utilisant le théorème de Vieta : x 1 + x 2 = −11 ; x 1 x 2 = 10 ⇒ racines : −10 et −1 ;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - encore une fois le coefficient pour x 2 n'est pas égal à 1, c'est-à-dire équation non donnée. On divise le tout par le nombre a = −7. On obtient : x 2 − 11x + 30 = 0.
   D'après le théorème de Vieta : x 1 + x 2 = −(−11) = 11 ; x1x2 = 30 ; A partir de ces équations, il est facile de deviner les racines : 5 et 6.

Le raisonnement ci-dessus montre clairement comment le théorème de Vieta simplifie la solution des équations quadratiques. Pas de calculs compliqués, pas de racines ou de fractions arithmétiques. Et nous n’avions même pas besoin d’un discriminant (voir la leçon « Résolution d’équations quadratiques »).

Bien entendu, dans toutes nos réflexions, nous sommes partis de deux hypothèses importantes, qui, d’une manière générale, ne se rencontrent pas toujours dans les problèmes réels :

1. L'équation quadratique est réduite, c'est-à-dire le coefficient pour x 2 est 1 ;
2. L'équation a deux racines différentes. D'un point de vue algébrique, dans ce cas le discriminant est D > 0 - en fait, nous supposons initialement que cette inégalité est vraie.

Cependant, dans les problèmes mathématiques typiques, ces conditions sont remplies. Si le calcul aboutit à une « mauvaise » équation quadratique (le coefficient de x 2 est différent de 1), cela peut être facilement corrigé - regardez les exemples au tout début de la leçon. Je reste généralement silencieux sur les racines : de quel genre de problème s’agit-il sans réponse ? Bien sûr, il y aura des racines.

Ainsi, le schéma général de résolution d’équations quadratiques à l’aide du théorème de Vieta est le suivant :

1. Réduire l'équation quadratique à celle donnée, si cela n'a pas déjà été fait dans l'énoncé du problème ;
2. Si les coefficients de l'équation quadratique ci-dessus sont fractionnaires, nous résolvons en utilisant le discriminant. Vous pouvez même revenir à l'équation originale pour travailler avec des nombres plus « pratiques » ;
3. Dans le cas de coefficients entiers, nous résolvons l’équation en utilisant le théorème de Vieta ;
4. Si vous ne parvenez pas à deviner les racines en quelques secondes, oubliez le théorème de Vieta et résolvez en utilisant le discriminant.

Tâche. Résolvez l'équation : 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Nous avons donc devant nous une équation qui n’est pas réduite, car coefficient a = 5. Divisez le tout par 5, nous obtenons : x 2 − 7x + 10 = 0.

Tous les coefficients de l'équation quadratique sont entiers - essayons de la résoudre en utilisant le théorème de Vieta. On a : x 1 + x 2 = −(−7) = 7 ; x 1 · x 2 = 10. Dans ce cas, les racines sont faciles à deviner : elles sont 2 et 5. Il n'est pas nécessaire de compter à l'aide du discriminant.

Tâche. Résolvez l'équation : −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Regardons : −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - cette équation n'est pas réduite, divisons les deux côtés par le coefficient a = −5. On obtient : x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - une équation à coefficients fractionnaires.

Il est préférable de revenir à l'équation originale et de compter via le discriminant : −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x2 = 0,4.

Tâche. Résolvez l'équation : 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Tout d'abord, divisons le tout par le coefficient a = 2. Nous obtenons l'équation x 2 + 5x − 300 = 0.

C'est l'équation réduite, d'après le théorème de Vieta nous avons : x 1 + x 2 = −5 ; x 1 x 2 = −300. Il est difficile de deviner les racines de l'équation quadratique dans ce cas - personnellement, j'étais sérieusement coincé lors de la résolution de ce problème.

Vous devrez chercher les racines à travers le discriminant : D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Si vous ne vous souvenez pas de la racine du discriminant, je noterai simplement que 1225 : 25 = 49. Donc 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Maintenant que la racine du discriminant est connue, résoudre l’équation n’est plus difficile. On obtient : x 1 = 15 ; x2 = −20.

L'une des méthodes pour résoudre une équation quadratique consiste à utiliser Les formules VIET, qui porte le nom de FRANCOIS VIETTE.

C'était un célèbre avocat qui fut au service du roi de France au XVIe siècle. Dans ses temps libres, il étudiait l'astronomie et les mathématiques. Il a établi un lien entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique.

Avantages de la formule :

1 . En appliquant la formule, vous pouvez rapidement trouver une solution. Parce qu'il n'est pas nécessaire d'entrer le deuxième coefficient dans le carré, puis d'en soustraire 4ac, de trouver le discriminant et de substituer sa valeur dans la formule pour trouver les racines.

2 . Sans solution, vous pouvez déterminer les signes des racines et sélectionner les valeurs des racines.

3 . Après avoir résolu un système à deux enregistrements, il n'est pas difficile de trouver les racines elles-mêmes. Dans l’équation quadratique ci-dessus, la somme des racines est égale à la valeur du deuxième coefficient avec un signe moins. Le produit des racines dans l’équation quadratique ci-dessus est égal à la valeur du troisième coefficient.

4 . À l'aide de ces racines, écrivez une équation quadratique, c'est-à-dire résolvez le problème inverse. Par exemple, cette méthode est utilisée pour résoudre des problèmes de mécanique théorique.

5 . Il est pratique d'utiliser la formule lorsque le coefficient dominant est égal à un.

Défauts:

1 . La formule n'est pas universelle.

Théorème de Vieta 8e année

Formule
Si x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique réduite x 2 + px + q = 0, alors :

Exemples
x1 = -1 ; x 2 = 3 - racines de l'équation x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Théorème inverse

Formule
Si les nombres x 1, x 2, p, q sont liés par les conditions :

Alors x 1 et x 2 sont les racines de l'équation x 2 + px + q = 0.

Exemple
Créons une équation quadratique en utilisant ses racines :

X1 = 2 - ? 3 et x 2 = 2 + ? 3.

P = x1 + x2 = 4 ; p = -4 ; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

L'équation recherchée a la forme : x 2 - 4x + 1 = 0.

Toute équation quadratique complète hache 2 + bx + c = 0 peut être rappelé x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, si vous divisez d'abord chaque terme par le coefficient a avant x2. Et si on introduit de nouvelles notations (b/a) = p Et (c/a) = q, alors nous aurons l'équation x 2 + px + q = 0, qui en mathématiques s'appelle équation quadratique donnée.

Racines de l'équation quadratique réduite et coefficients p Et q connectés les uns aux autres. C'est confirmé Théorème de Vieta, du nom du mathématicien français François Vieta, qui vécut à la fin du XVIe siècle.

Théorème. Somme des racines de l'équation quadratique réduite x 2 + px + q = 0égal au deuxième coefficient p, pris avec le signe opposé, et le produit des racines - au terme libre q.

Écrivons ces relations sous la forme suivante :

Laisser x1 Et x2 différentes racines de l'équation donnée x 2 + px + q = 0. D'après le théorème de Vieta x1 + x2 = -p Et x 1 x 2 = q.

Pour le prouver, substituons chacune des racines x 1 et x 2 dans l'équation. On obtient deux vraies égalités :

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Soustrayons la seconde de la première égalité. On a:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Nous développons les deux premiers termes en utilisant la formule de la différence des carrés :

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

Par condition, les racines x 1 et x 2 sont différentes. Par conséquent, nous pouvons réduire l’égalité à (x 1 – x 2) ≠ 0 et exprimer p.

(x 1 + x 2) + p = 0 ;

(x 1 + x 2) = -p.

La première égalité est prouvée.

Pour prouver la deuxième égalité, on substitue dans la première équation

x 1 2 + px 1 + q = 0 au lieu du coefficient p, un nombre égal est (x 1 + x 2) :

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

En transformant le côté gauche de l’équation, on obtient :

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0 ;

x 1 x 2 = q, c'est ce qu'il fallait prouver.

Le théorème de Vieta est bon parce que Même sans connaître les racines d'une équation quadratique, on peut calculer leur somme et leur produit .

Le théorème de Vieta aide à déterminer les racines entières d'une équation quadratique donnée. Mais cela pose des difficultés à de nombreux étudiants du fait qu'ils ne connaissent pas un algorithme d'action clair, surtout si les racines de l'équation ont des signes différents.

Ainsi, l'équation quadratique ci-dessus a la forme x 2 + px + q = 0, où x 1 et x 2 sont ses racines. D'après le théorème de Vieta, x 1 + x 2 = -p et x 1 · x 2 = q.

On peut tirer la conclusion suivante.

Si le dernier terme de l'équation est précédé d'un signe moins, alors les racines x 1 et x 2 ont des signes différents. De plus, le signe de la racine la plus petite coïncide avec le signe du deuxième coefficient de l’équation.

Partant du fait que lors de l'addition de nombres avec des signes différents, leurs modules sont soustraits et le signe du plus grand nombre modulo est placé devant le résultat obtenu, vous devez procéder comme suit :

1. déterminer les facteurs du nombre q tels que leur différence soit égale au nombre p ;
2. placez le signe du deuxième coefficient de l'équation devant le plus petit des nombres résultants ; la deuxième racine aura le signe opposé.

Regardons quelques exemples.

Exemple 1.

Résolvez l'équation x 2 – 2x – 15 = 0.

Solution.

Essayons de résoudre cette équation en utilisant les règles proposées ci-dessus. On peut alors dire avec certitude que cette équation aura deux racines différentes, car D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Maintenant, parmi tous les facteurs du nombre 15 (1 et 15, 3 et 5), on sélectionne ceux dont la différence est 2. Ce seront les nombres 3 et 5. On met un signe moins devant le plus petit nombre, c'est-à-dire signe du deuxième coefficient de l'équation. Ainsi, on obtient les racines de l'équation x 1 = -3 et x 2 = 5.

Répondre. x 1 = -3 et x 2 = 5.

Exemple 2.

Résolvez l'équation x 2 + 5x – 6 = 0.

Solution.

Vérifions si cette équation a des racines. Pour ce faire, on trouve un discriminant :

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. L'équation a deux racines différentes.

Les facteurs possibles du nombre 6 sont 2 et 3, 6 et 1. La différence est de 5 pour le couple 6 et 1. Dans cet exemple, le coefficient du deuxième terme a un signe plus, donc plus petit nombre aura le même signe. Mais avant le deuxième chiffre, il y aura un signe moins.

Réponse : x 1 = -6 et x 2 = 1.

Le théorème de Vieta peut également être écrit pour une équation quadratique complète. Donc, si l'équation quadratique hache 2 + bx + c = 0 a des racines x 1 et x 2, alors les égalités sont valables pour eux

x 1 + x 2 = -(b/a) Et x 1 x 2 = (c/a). Cependant, l’application de ce théorème dans une équation quadratique complète est assez problématique, car s'il y a des racines, au moins l'une d'elles est nombre fractionnaire. Et travailler avec la sélection de fractions est assez difficile. Mais il existe encore une issue.

Considérons l'équation quadratique complète ax 2 + bx + c = 0. Multipliez ses côtés gauche et droit par le coefficient a. L'équation prendra la forme (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Introduisons maintenant une nouvelle variable, par exemple t = ax.

Dans ce cas, l'équation résultante se transformera en une équation quadratique réduite de la forme t 2 + bt + ac = 0, dont les racines t 1 et t 2 (le cas échéant) peuvent être déterminées par le théorème de Vieta.

Dans ce cas, les racines de l’équation quadratique originale seront

x 1 = (t 1 / a) et x 2 = (t 2 / a).

Exemple 3.

Résolvez l'équation 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Solution.

Compilation équation auxiliaire. Multiplions chaque terme de l'équation par 15 :

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.

On fait le remplacement t = 15x. Nous avons:

t2 – 11t + 30 = 0.

D'après le théorème de Vieta, les racines équation donnée sera t 1 = 5 et t 2 = 6.

On revient au remplacement t = 15x :

5 = 15x ou 6 = 15x. Donc x 1 = 5/15 et x 2 = 6/15. On réduit et obtenons la réponse finale : x 1 = 1/3 et x 2 = 2/5.

Répondre. x1 = 1/3 et x2 = 2/5.

Pour maîtriser la résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta, les étudiants doivent s'entraîner autant que possible. C’est précisément le secret du succès.

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