La théorie de la réduction d'une forme quadratique à la forme canonique, exposée dans le paragraphe précédent, est construite par analogie avec la théorie géométrique des courbes centrales du second ordre, mais ne peut être considérée comme une généralisation de cette dernière théorie. En fait, dans notre théorie, l'utilisation de toutes transformations linéaires non dégénérées est autorisée, tandis que le fait d'amener une courbe du second ordre à la forme canonique est obtenu en utilisant des transformations linéaires très type spécial(2), qui sont des rotations du plan. Ce théorie géométrique peut cependant être généralisé au cas des formes quadratiques à inconnues à coefficients réels en exigeant que la matrice de transformation soit orthogonale. Cette transformation est appelée orthogonal, et la procédure elle-même réduire les formes quadratiques aux axes principaux.

THÉORÈME. Chaque forme quadratique peut être amené à une forme canonique par une transformation orthogonale.

PREUVE. Nous considérerons une matrice de forme quadratique comme une matrice de certains opérateur linéaire dans l'espace euclidien. Si la matrice est de forme quadratique, alors elle est symétrique d'ordre . Si une base orthonormée de l'espace euclidien dimensionnel, alors la matrice définit un opérateur symétrique dans cette base. D'après le théorème principal sur les opérateurs symétriques dans l'espace euclidien, dans une base orthonormée appropriée, sa matrice sera diagonale. Soit la matrice de transition de à , alors .

Mais la matrice , en tant que matrice de transition d'une base orthonormée à une autre, selon le Théorème 2 §1.6 sera orthogonale, et donc . C'est pourquoi. A savoir, c'est ainsi qu'une matrice de forme quadratique est transformée, soumise à une transformation linéaire d'inconnues avec la matrice .

Ainsi, la transformation des inconnues ayant une matrice est orthogonale, et la matrice, étant diagonale, correspond à la forme quadratique forme canonique. □

Le fait que la matrice d'un opérateur linéaire dans une base composée de vecteurs propres, a une forme diagonale (avec des valeurs propres le long de la diagonale principale), nous donne une méthode pour trouver pratiquement la forme canonique d'une forme quadratique, ainsi que celle-ci elle-même transformation orthogonale.

Exemple 2. Trouver une transformation orthogonale qui réduit la forme quadratique

à la vue canonique et écrivez cette vue canonique.

Solution. La matrice de cette forme a la forme

,

Trouvons-la polynôme caractéristique:

.

Ainsi, la matrice a une racine double et une racine simple. La forme canonique de cette forme quadratique sera donc

.

Trouvons une transformation orthogonale qui implémente cette réduction. Pour ce faire, on trouve les vecteurs propres correspondant aux valeurs propres trouvées , c'est-à-dire que nous résolvons des systèmes de linéaires équations homogènes pour tout le monde.

Quand nous avons

.

Où , c'est-à-dire qu'il y a 2 variables indépendantes, et ensemble fondamental les solutions seront :

En leur appliquant le processus d’orthogonalisation, nous obtenons.

La théorie de la réduction d'une forme quadratique à la forme canonique, exposée dans le paragraphe précédent, est construite par analogie avec la théorie géométrique des courbes centrales du second ordre, mais ne peut être considérée comme une généralisation de cette dernière théorie. En fait, notre théorie permet l’utilisation de toutes transformations linéaires non dégénérées, tandis que ramener une courbe du second ordre à sa forme canonique est obtenu en utilisant des transformations linéaires d’un type très particulier (2), qui sont des rotations du plan. Cette théorie géométrique peut cependant être généralisée au cas de formes quadratiques à inconnues à coefficients réels en exigeant que la matrice de transformation soit orthogonale. Cette transformation est appelée orthogonal, et la procédure elle-même réduire les formes quadratiques aux axes principaux.

THÉORÈME. Chaque forme quadratique peut être réduite à la forme canonique par une transformation orthogonale.

PREUVE. Nous considérerons une matrice de forme quadratique comme la matrice d’un opérateur linéaire dans l’espace euclidien. Si la matrice est de forme quadratique, alors elle est symétrique d'ordre . Si une base orthonormée de l'espace euclidien dimensionnel, alors la matrice définit un opérateur symétrique dans cette base. D'après le théorème principal sur les opérateurs symétriques dans l'espace euclidien, dans une base orthonormée appropriée, sa matrice sera diagonale. Soit la matrice de transition de à , alors .

Mais la matrice , en tant que matrice de transition d'une base orthonormée à une autre, selon le Théorème 2 §1.6 sera orthogonale, et donc . C'est pourquoi. A savoir, c'est ainsi qu'une matrice de forme quadratique est transformée, soumise à une transformation linéaire d'inconnues avec la matrice .

Ainsi, une transformation d'inconnues ayant une matrice est orthogonale, et la matrice, étant diagonale, correspond à une forme quadratique de la forme canonique. □

Le fait que la matrice d'un opérateur linéaire dans une base composée de vecteurs propres ait une forme diagonale (avec des valeurs propres le long de la diagonale principale) nous donne une méthode pour trouver pratiquement la forme canonique de la forme quadratique, ainsi que cette transformation orthogonale lui-même.

Exemple 2. Trouver une transformation orthogonale qui réduit la forme quadratique

à la vue canonique et écrivez cette vue canonique.

Solution. La matrice de cette forme a la forme

,

Trouvons son polynôme caractéristique :

.

Ainsi, la matrice a une racine double et une racine simple. La forme canonique de cette forme quadratique sera donc

.

Trouvons une transformation orthogonale qui implémente cette réduction. Pour ce faire, on trouve les vecteurs propres correspondant aux valeurs propres trouvées , c’est-à-dire que nous résoudrons des systèmes d’équations linéaires homogènes pour chacun .

Quand nous avons

.

Où , c'est-à-dire qu'il y a 2 variables indépendantes, et l'ensemble fondamental de solutions sera :

En leur appliquant le processus d’orthogonalisation, on obtient :

Quand nous avons

.

Ce système est équivalent à ce qui suit :

,

dont la solution sera

- Algèbre linéaire

Réduire la forme quadratique aux axes principaux

Précédemment, nous avons considéré le problème de la réduction d'un volume réel

q(x)= \sum_(n=1)^(n) \sum_(j=1)^(n) a_(ij)x_ix_j=x^TAx

n variables à

\widetilde(q)(y)=\lambda_1y_1^2+ \lambda_2y_2^2+ \ldots+ \lambda_ny_n^2

en utilisant un changement linéaire non dégénéré de variables x=Sy. Pour résoudre ce problème, nous avons utilisé .

Considérons une autre approche de la solution. Un changement linéaire non dégénéré de variables x=Sy avec une matrice orthogonale S~(S^(-1)=S^T) sera appelé un changement orthogonal de variables (ou transformation orthogonale de variables).

Formulons le problème réduire une forme quadratique aux axes principaux: il faut trouver un changement orthogonal de variables x=Sy (S^(-1)=S^T), amenant la forme quadratique (9.23) à la forme canonique (9.24).

Pour résoudre, nous utilisons ce qui suit signification géométrique tâches. Nous compterons les variables x_1,x_2,\ldots,x_n coordonnées du vecteur \boldsymbol(x) de l'espace euclidien à n dimensions \mathbb(E) dans une base orthonormée (\boldsymbol(e))= (\boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n), et la matrice A de forme quadratique (9.23) est la matrice de certains transformation linéaire \mathcal(A)\colon \mathbb(E)\to \mathbb(E) sur la même base. De plus, cette transformation est auto-adjointe, puisque sa matrice est symétrique : A^T=A. La forme quadratique (9.23) peut être représentée comme un produit scalaire

q(\boldsymbol(x))= \bigl\langle \mathcal(A)(\boldsymbol(x)), \boldsymbol(x)\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol(x), \mathcal(A )(\boldsymbol(x))\bigr\rangle.

Un changement orthogonal de variables x=Sy correspond au passage d'une base orthonormée à une autre. En effet, soit S la matrice de transition d'une base orthonormée (\boldsymbol(e)) à une base orthonormée (\boldsymbol(s))= (\boldsymbol(s)_1,\ldots,\boldsymbol(s)_n), c'est-à-dire (\boldsymbol(s))= (\boldsymbol(e))S et S^(-1)=S^T . Alors les coordonnées x du vecteur \boldsymbol(x) dans la base (\boldsymbol(e)) et les coordonnées y du même vecteur dans la base (\boldsymbol(s)) sont liées par la formule (8.11) : x= Sy.

Ainsi, le problème de la réduction d'une forme quadratique aux axes principaux peut être formulé ainsi : il faut trouver dans l'espace \mathbb(E) une base dans laquelle la matrice de transformation auto-adjointe \mathcal(A) a une diagonale formulaire. D’après le théorème 9.10, il faut choisir une base orthonormée parmi les vecteurs propres de la transformation auto-adjointe. Dans ce cas, la matrice de transition S vers la base canonique s'avère orthogonale : S^T=S^(-1) .

Formulons ce résultat pour la forme quadratique.

Théorème (9.12) sur la réduction de la forme quadratique aux axes principaux

La forme quadratique réelle (9.23) peut être réduite à la forme canonique (9.24) en utilisant une transformation orthogonale des variables x=Sy, où - valeurs propres matrice A.

Conséquence. La forme quadratique (9.23) est définie positive (définie non négative) si et seulement si toutes les valeurs propres de sa matrice sont positives (non négatives).

Remarques 9.10

1. Avec un remplacement linéaire non dégénéré matrice variable la forme quadratique change selon la formule (6.10) : A"=S^TAS. Pour matrice orthogonale S cette formule prend la forme A"=S^(-1)AS, qui coïncide avec la formule (9.4) pour changer la matrice de transformation linéaire lors du changement de base.

2. Pour trouver la forme canonique (9.24) il suffit de déterminer toutes les racines \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m(parmi lesquels il peut y en avoir des égaux) (équations) \det(A-\lambda E)=0, où E est la matrice identité.

3. Le corollaire du Théorème 9.12 peut être utilisé pour analyser le signe d'une forme quadratique :

– si toutes les valeurs propres sont positives (négatives), alors la forme quadratique est définie positive (négative) ;

– si toutes les valeurs propres sont non négatives (non positives), alors la forme quadratique est définie non négative (non positive) ;

– s'il existe des valeurs propres de signes différents, alors la forme quadratique est indéfinie (alternée).

4. Les résultats formulés au paragraphe 3 des commentaires peuvent être utilisés pour vérifier des conditions nécessaires deuxième ordre dans le problème de la recherche de l'extremum inconditionnel des fonctions. Pour ce faire, il faut trouver les valeurs propres \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m \dfrac(d^2f(x))(dx^Tdx) dans chacun points fixes Fonctions x^(\ast) f(x)=f(x_1,\ldots,x_n).

Si toutes les valeurs propres sont positives : \lambda_i>0,~ i=1,\ldots,n, puis au point x^(\ast) minimum local;

– si toutes les valeurs propres sont négatives : \lambda_i<0,~ i=1,\ldots,n , alors au point x^(\ast) il y a un maximum local ;

– si toutes les valeurs propres sont non négatives : \lambda_i\geqslant0,~ i=1,\ldots,n, alors au point x^(\ast) il peut y avoir un minimum local ;

– si toutes les valeurs propres sont non positives : \lambda_i\leqslant0,~ i=1,\ldots,n, alors au point x^(\ast) il peut y avoir un maximum local ;

– si les valeurs propres \lambda_i,~ i=1,\ldots,n, des signes différents, alors il n'y a pas d'extremum au point x^(\ast);

– si toutes les valeurs propres sont nulles : \lambda_i=0,~ i=1,\ldots,n, des recherches supplémentaires sont alors nécessaires.

5. Le problème de la réduction d'une forme quadratique aux axes principaux est résolu à l'aide d'un algorithme de réduction d'une transformation auto-adjointe à une forme diagonale. Dans ce cas, on retrouve la forme diagonale de la matrice de la forme quadratique et la matrice orthogonale S du changement de variables x=Sy, amenant la forme quadratique à la forme canonique (aux axes principaux).

Exemple 9.7. Déterminer le signe de la forme quadratique de trois variables

q(x)= x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2

Solution. On compose une matrice de forme quadratique : A=\begin(pmatrix) 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end(pmatrix). Dans l'exemple 9.6, les valeurs propres de cette matrice ont été trouvées : \lambda_(1,2)=0, \lambda_3=3. Toutes les valeurs propres sont non négatives, donc la forme quadratique est définie non négative (voir point 4 des Remarques 9.10).

Une matrice orthogonale a été trouvée

S=\begin(pmatrix) \dfrac(\sqrt(2))(2)& \dfrac(\sqrt(6))(6)& \dfrac(\sqrt(3))(3)\\ 0&-\ dfrac(\sqrt(6))(3)& \dfrac(\sqrt(3))(3)\\ -\dfrac(\sqrt(2))(2)& \dfrac(\sqrt(6))( 6)& \dfrac(\sqrt(3))(3) \end(pmatrix)\!,

réduire la matrice A à la forme diagonale \Lambda= \operatorname(diag) (0,0,3). Nous notons le changement orthogonal requis des variables x=Sy :

x_1= \frac(\sqrt(2))(2)\,y_1+ \frac(\sqrt(6))(6)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3;\quad x_2= -\frac(\sqrt(6))(3)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3;\quad x_3= -\frac(\sqrt(2))(2 )\,y_1+ \frac(\sqrt(6))(6)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3.

et la forme quadratique sous forme canonique : \widetilde(q)(y)= 3y_3^2.

Exemple 9.8. Trouver les points extrêmes locaux d'une fonction de deux variables à l'aide de matrices

f(x)=3x_1^5+x_1^4-5x_1^3-2x_1^2x_2+x_2^2.

Solution.À l'étape 1, le gradient de la fonction a été trouvé, et à partir de la condition nécessaire pour un extremum de premier ordre, trois points stationnaires :

x^0= \begin(pmatrix)0&0 \end(pmatrix)^T,\qquad x^1=\begin(pmatrix) 1&1 \end(pmatrix)^T,\qquad x^2=\begin(pmatrix) - 1&1\end(pmatrix)^T.

\frac(df(x))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix) 60x_1^3+12x_1^2-30x_1-4x_2&-4x_1\\-4x_1&2 \end(pmatrix)\!.

Trouvons les valeurs propres de la matrice hessienne en chaque point stationnaire :

\frac(df(x^0))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix)0&0\\ 0&2 \end(pmatrix)\!;\quad \frac(df(x^1))(dx^Tdx ) = \begin(pmatrix)38&-4\\ -4&2 \end(pmatrix)\!,\quad \frac(df(x^2))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix) -22&4\\4&2\ fin (pmatrice)

Au point x^0=\begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix) la matrice hessienne a la forme \begin(pmatrix) 0&0\\ 0&2\end(pmatrix). De l'équation. \begin(vmatrix) -\lambda&0\\ 0&2-\lambda\end(vmatrix)=0 on trouve \lambda_1=0, \lambda_2=2 . Puisque toutes les valeurs propres sont non négatives, il peut y avoir un minimum local au point x^0 et des recherches supplémentaires sont nécessaires pour une conclusion finale (voir exemple 6.13).

Au point x^1=\begin(pmatrix)1\\1 \end(pmatrix) la matrice hessienne a la forme \begin(pmatrix) 38&-4\\ -4&2 \end(pmatrix). De l'équation. \begin(vmatrix) 38-\lambda&-4\\ -4&2-\lambda\end(vmatrix)=0, ou \lambda^2-40 \lambda+60=0 nous obtenons \lambda_(1,2)= 20\pm2\sqrt(85). Puisque toutes les valeurs propres sont positives, alors au point x^1 il existe un minimum local de la fonction.

Au point x^2=\begin(pmatrix)-1\\1 \end(pmatrix) la matrice hessienne a la forme \begin(pmatrix) -22&4\\ 4&2 \end(pmatrix). De l'équation. \begin(vmatrix) -22-\lambda&4\\ 4&2-\lambda\end(vmatrix)=0, ou \lambda^2+40 \lambda-60=0 nous obtenons \lambda_(1,2)=-10\pm4\sqrt(10). Puisque les valeurs propres ont des signes différents, il n'y a pas d'extremum au point x^2.

Considérons une forme quadratique réelle arbitraire

Sa matrice de coefficients est réelle symétrique. Par conséquent (voir Chapitre IX, § 13) elle est orthogonalement similaire à une matrice diagonale réelle, c'est-à-dire qu'il existe une matrice orthogonale réelle telle que

Voici les nombres caractéristiques de la matrice.

Puisque pour une matrice orthogonale, il résulte de (41) que la forme sous transformation orthogonale des variables

ou dans un article plus détaillé

(42")

prend forme

. (43)

Théorème 7. Une forme quadratique réelle peut toujours être réduite à la forme canonique (43) par une transformation orthogonale ; dans ce cas, ce sont les nombres caractéristiques de la matrice.

La réduction d'une forme quadratique à la forme canonique (43) à l'aide d'une transformation orthogonale est appelée réduction aux axes principaux. Ce nom est dû au fait que l'équation de l'hypersurface centrale du second ordre,

, (44)

avec une transformation orthogonale des variables (42) prend la forme canonique

. (45)

Si nous les considérons comme des coordonnées dans une base orthonormée de l'espace euclidien dimensionnel, alors elles seront des coordonnées dans une nouvelle base orthonormée du même espace, et la « rotation » des axes s'effectue par transformation orthogonale (42). Les nouveaux axes de coordonnées sont les axes de symétrie de la surface centrale (44) et sont habituellement appelés axes principaux de cette surface.

De la formule (43), il résulte que le rang de la forme est égal au nombre de nombres caractéristiques non nuls de la matrice, et la signature est égale à la différence entre le nombre de nombres caractéristiques positifs et le nombre de nombres caractéristiques négatifs de la matrice.

De là, en particulier, découle la proposition suivante :

Si, avec un changement continu des coefficients d'une forme quadratique, son rang reste inchangé, alors avec ce changement des coefficients, sa signature reste également inchangée.

Dans ce cas, nous partons du fait qu'un changement continu des coefficients entraîne un changement continu des nombres caractéristiques. La signature ne peut changer que lorsqu'un numéro caractéristique change de signe. Mais alors, à un moment intermédiaire, le nombre caractéristique en question passera à zéro, ce qui entraînera un changement dans le rang de la forme. (48)