Propriétés des valeurs propres. Valeurs propres (nombres) et vecteurs propres Exemples de solutions.

Définition 9.3. Vecteur X appelé vecteur propre matrices UN, s'il existe un tel nombre λ, que l'égalité est vraie : UN X= λ X, c'est-à-dire le résultat de la demande à X transformation linéaire spécifiée par la matrice UN, est la multiplication de ce vecteur par le nombre λ . Le numéro lui-même λ appelé valeur propre matrices UN.

Substitution dans des formules (9.3) x` j = λx j , on obtient un système d'équations pour déterminer les coordonnées du vecteur propre :

. (9.5)

Ce linéaire système homogène aura solution non triviale seulement si son déterminant principal est 0 (règle de Cramer). En écrivant cette condition sous la forme :

on obtient une équation pour déterminer les valeurs propres λ , appelé équation caractéristique. En bref, cela peut être représenté comme suit :

| A - λE | = 0, (9.6)

puisque son côté gauche contient le déterminant de la matrice A-λE. Relatif polynomial λ | A - λE| appelé polynôme caractéristique matrice A.

Propriétés du polynôme caractéristique :

1) Le polynôme caractéristique d'une transformation linéaire ne dépend pas du choix de la base. Preuve. (voir (9.4)), mais ainsi, . Cela ne dépend donc pas du choix de la base. Cela signifie que | A-λE| ne change pas lors du passage à une nouvelle base.

2) Si la matrice UN la transformation linéaire est symétrique(ceux. et ij =a ji), puis toutes les racines équation caractéristique(9.6) sont des nombres réels.

Propriétés des valeurs propres et des vecteurs propres :

1) Si vous choisissez une base parmi les vecteurs propres x1, x2, x3 , correspondant aux valeurs propres λ 1, λ 2, λ 3 matrices UN, alors sur cette base transformation linéaire A a une matrice diagonale :

(9.7) La preuve de cette propriété découle de la définition des vecteurs propres.

2) Si les valeurs propres de la transformation UN sont différents, alors leurs vecteurs propres correspondants sont linéairement indépendants.

3) Si polynôme caractéristique matrices UN a trois racines différentes, alors dans une certaine mesure la matrice UN a une apparence diagonale.

Trouvons les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice. Créons une équation caractéristique : (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Trouvons les coordonnées des vecteurs propres correspondant à chaque valeur trouvée λ. De (9.5) il résulte que si X (1) ={x1,x2,x3) – vecteur propre correspondant λ 1 =-2, alors

- un système coopératif mais incertain. Sa solution peut s'écrire sous la forme X (1) ={un,0,-un), où a est n'importe quel nombre. En particulier, si nous exigeons que | X (1) |=1, X (1) =

Remplacement dans le système (9.5) λ 2 =3, on obtient un système de détermination des coordonnées du deuxième vecteur propre - X (2) ={oui 1, oui 2, oui 3}:

, où X (2) ={b,-b,b) ou, à condition | X (2) |=1, X (2) =

Pour λ 3 = 6 trouver le vecteur propre X (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, X (3) ={c,2c,c) ou dans la version normalisée

x (3) = On peut remarquer que X (1) X (2) = ab-ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = avant JC- 2avant JC + avant JC= 0. Ainsi, les vecteurs propres de cette matrice sont orthogonaux deux à deux.

Conférence 10.

Formes quadratiques et leur connexion avec des matrices symétriques. Propriétés des vecteurs propres et valeurs propres d'une matrice symétrique. Réduire une forme quadratique à une forme canonique.

Définition 10.1.Forme quadratique variables réelles x 1, x 2,…, x n est un polynôme du deuxième degré dans ces variables qui ne contient pas Membre gratuit et les membres du premier degré.

Exemples formes quadratiques:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Rappelons la définition d'une matrice symétrique donnée dans le cours précédent :

Définition 10.2. La matrice carrée s'appelle symétrique, si , c'est-à-dire si les éléments de la matrice symétriques par rapport à la diagonale principale sont égaux.

Propriétés des valeurs propres et des vecteurs propres d'une matrice symétrique :

1) Toutes les valeurs propres d'une matrice symétrique sont réelles.

Preuve (pour n = 2).

Laissez la matrice UN a la forme : . Créons une équation caractéristique :

(10.2) Trouvons le discriminant :

L’équation n’a donc que des racines réelles.

2) Les vecteurs propres d'une matrice symétrique sont orthogonaux.

Preuve (pour n= 2).

Les coordonnées des vecteurs propres doivent satisfaire les équations.

Les matrices diagonales ont la structure la plus simple. La question se pose de savoir s'il est possible de trouver une base dans laquelle la matrice de l'opérateur linéaire aurait une forme diagonale. Une telle base existe.
Qu'il soit donné espace linéaire R n et l'opérateur linéaire A agissant dans celui-ci ; dans ce cas, l'opérateur A prend R n en lui-même, c'est-à-dire A:R n → R n .

Définition. Un vecteur x non nul est appelé vecteur propre de l'opérateur A si l'opérateur A transforme x en un vecteur colinéaire, c'est-à-dire. Le nombre λ est appelé valeur propre ou valeur propre de l'opérateur A, correspondant au vecteur propre x.
Notons quelques propriétés des valeurs propres et des vecteurs propres.
1. Toute combinaison linéaire de vecteurs propres l'opérateur A correspondant à la même valeur propre λ est un vecteur propre de même valeur propre.
2. Vecteurs propres l'opérateur A avec des valeurs propres deux à deux différentes λ 1 , λ 2 , …, λ m sont linéairement indépendants.
3. Si les valeurs propres λ 1 =λ 2 = λ m = λ, alors la valeur propre λ ne correspond pas à plus de m vecteurs propres linéairement indépendants.

Donc, s’il existe n vecteurs propres linéairement indépendants , correspondant à différentes valeurs propres λ 1, λ 2, ..., λ n, alors elles sont linéairement indépendantes, elles peuvent donc être prises comme base de l'espace R n. Retrouvons la forme de la matrice de l'opérateur linéaire A à base de ses vecteurs propres, pour laquelle on agit avec l'opérateur A à base de vecteurs : Alors .
Ainsi, la matrice de l'opérateur linéaire A sur la base de ses vecteurs propres a une forme diagonale, et les valeurs propres de l'opérateur A sont le long de la diagonale.
Existe-t-il une autre base dans laquelle la matrice a une forme diagonale ? La réponse à cette question est donnée par le théorème suivant.

Théorème. La matrice d'un opérateur linéaire A dans la base (i = 1..n) a une forme diagonale si et seulement si tous les vecteurs de la base sont des vecteurs propres de l'opérateur A.

Règle pour trouver les valeurs propres et les vecteurs propres

. (*)

(1)
Où - matrice d'opérateur linéaire.

Le système (1) a une solution non nulle si son déterminant D est égal à zéro

Exemple 12. L'opérateur linéaire A agit dans R 3 selon la loi, où x 1, x 2, .., x n sont les coordonnées du vecteur dans la base , , . Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de cet opérateur.
Solution. On construit la matrice de cet opérateur :
.
Nous créons un système pour déterminer les coordonnées des vecteurs propres :

Nous composons une équation caractéristique et la résolvons :

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
En substituant λ = -1 dans le système, nous avons :
ou
Parce que , alors il y a deux variables dépendantes et une variable libre.
Soit x 1 une inconnue libre, alors Nous résolvons ce système de quelque manière que ce soit et trouvons décision commune ce système: Système fondamental Les solutions se composent d'une solution, puisque n - r = 3 - 2 = 1.
L'ensemble des vecteurs propres correspondant à la valeur propre λ = -1 a la forme : , où x 1 est tout nombre autre que zéro. Choisissons un vecteur dans cet ensemble, par exemple en mettant x 1 = 1 : .
En raisonnant de la même manière, on trouve le vecteur propre correspondant à la valeur propre λ = 3 : .
Dans l’espace R3, la base est constituée de trois linéaires vecteurs indépendants, nous n'avons reçu que deux vecteurs propres linéairement indépendants, à partir desquels une base dans R 3 ne peut pas être composée. Par conséquent, on ne peut pas réduire la matrice A d’un opérateur linéaire à une forme diagonale.

Exemple 13. Étant donné une matrice .
1. Prouver que le vecteur est un vecteur propre de la matrice A. Trouver la valeur propre correspondant à ce vecteur propre.
2. Trouvez une base dans laquelle la matrice A a une forme diagonale.
Solution.
1. Si , alors x est un vecteur propre

.
Le vecteur (1, 8, -1) est un vecteur propre. Valeur propre λ = -1.
La matrice a une forme diagonale dans une base constituée de vecteurs propres. L'un d'eux est célèbre. Trouvons le reste.
Nous recherchons les vecteurs propres du système :

Équation caractéristique : ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Trouvons le vecteur propre correspondant à la valeur propre λ = -3 :

Le rang de la matrice de ce système est deux et égal au nombre inconnues, donc ce système n'a que la solution nulle x 1 = x 3 = 0. x 2 ici peut être autre chose que zéro, par exemple, x 2 = 1. Ainsi, le vecteur (0,1,0) est un vecteur propre , correspondant à λ = -3. Allons vérifier:
.
Si λ = 1, alors on obtient le système
Le rang de la matrice est deux. Nous biffons la dernière équation.
Soit x 3 une inconnue libre. Alors x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
En supposant x 3 = 1, nous avons (-3,-9,1) - un vecteur propre correspondant à la valeur propre λ = 1. Vérifiez :

.
Puisque les valeurs propres sont réelles et distinctes, les vecteurs qui leur correspondent sont linéairement indépendants, ils peuvent donc être pris comme base dans R 3 . Ainsi, sur la base , , la matrice A a la forme :
.
Toutes les matrices de l'opérateur linéaire A:R n → R n ne peuvent pas être réduites à une forme diagonale, car pour certaines opérateurs linéaires Il peut y avoir moins de n vecteurs propres linéairement indépendants. Cependant, si la matrice est symétrique, alors la racine de l'équation caractéristique de multiplicité m correspond exactement à m vecteurs linéairement indépendants.

Définition. Une matrice symétrique s'appelle Matrice Carrée, dans lequel les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale sont égaux, c'est-à-dire dans lequel .
Remarques. 1. Toutes les valeurs propres d'une matrice symétrique sont réelles.
2. Les vecteurs propres d'une matrice symétrique correspondant à des valeurs propres deux à deux différentes sont orthogonaux.
Comme l'une des nombreuses applications de l'appareil étudié, nous considérons le problème de la détermination du type d'une courbe du second ordre.

Conférence 9.

Transformations de coordonnées linéaires. Vecteurs propres et valeurs propres d'une matrice, leurs propriétés. Polynôme caractéristique d'une matrice, ses propriétés.

On dira que sur l'ensemble des vecteursR.donné transformation UN , si chaque vecteur X R. selon une règle, le vecteur UN X R..

Définition 9.1.Conversion UN appelé linéaire, si pour des vecteurs X Et à et pour tout nombre réel λ les égalités suivantes sont vraies :

UN( X + à )=UN X+ Un à ,UNE(λ X ) = λA X. (9.1)

Définition 9.2.La transformation linéaire s'appelle identique, s'il transforme n'importe quel vecteur X en vous-même.

La transformation de l'identité est notée SON X= X .

Considérons un espace tridimensionnel avec une base e 1 , e 2, e 3 , dans lequel une transformation linéaire est spécifiée UN. En l'appliquant aux vecteurs de base, nous obtenons les vecteurs UN e 1, UN e 2, UN e 3 appartenant à cet espace tridimensionnel. Par conséquent, chacun d’eux peut être développé de manière unique en vecteurs de base :

UN e 1 = un 11 e 1+ un 21 e 2+un 31 e 3,

UN e 2 = un 12 e 1+ un 22 e 2+ un 32 e 3 ,(9.2)

UN e 3= un 13 e 1+ un 23 e 2+ un 33 e 3 .

Matrice appelé matrice de transformation linéaire UN dans la base e 1 , e 2, e 3 . Les colonnes de cette matrice sont constituées des coefficients des formules de transformation de base (9.2).

Commentaire. Évidemment, la matrice de transformation d'identité est la matrice d'identité E.

Pour un vecteur arbitraire X =x 1 e 1+x2 e 2+x3 e 3 le résultat de l'application d'une transformation linéaire UN sera un vecteur UN X, qui peut être développé en vecteurs de même base : UN X =x`1 e 1+ x` 2 e 2+ x` 3 e 3 , où les coordonnéesX` jepeut être trouvé en utilisant les formules:

X` 1 = un 11 x 1 + un 12 x 2 + un 13 x 3 ,

x` 2 = un 21 x 1 + un 22 x 2 + un 23 x 3,(9.3)

X` 3 = un 31 X 1 + un 32 X 2 + un 33 X 3 .

Les coefficients dans les formules de cette transformation linéaire sont des éléments des lignes matricielles UN.

Transformation matricielle de transformation linéaire

lors du passage à une nouvelle base.

Considérons une transformation linéaire A et deux bases dans espace tridimensionnel: e 1, e 2, e 3 Et e 1 , e 2 , e 3 . Laissez la matrice C définir les formules de transition de la base (e k) à la base ( e k). Si dans la première de ces bases la transformation linéaire choisie est donnée par la matrice A, et dans la seconde par la matrice UN, alors on peut trouver le lien entre ces matrices, à savoir :

A = C-1 UN C(9.4)

En effet, alors UN . D'autre part, les résultats de l'application de la même transformation linéaire UN en base (e k), c'est à dire. , et dans la base (e k ) : respectivement - connectés par une matrice AVEC: , d'où il résulte que CA= UN AVEC. En multipliant les deux côtés de cette égalité en partant de la gauche par AVEC-1 , on obtient AVEC -1 CA= = C -1 UN AVEC, ce qui prouve la validité de la formule (9.4).

Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice.

Définition 9.3.Vecteur X appelé vecteur propre matrices UN, s'il existe un tel nombre λ, que l'égalité est vraie : UN X= λ X, c'est-à-dire le résultat de la demande à X transformation linéaire spécifiée par la matrice UN, est la multiplication de ce vecteur par le nombre λ . Le numéro lui-même λ appelé valeur propre matrices UN.

Substitution dans des formules (9.3)X` j = λ xj, on obtient un système d'équations pour déterminer les coordonnées du vecteur propre :

.

D'ici

.(9.5)

Ce linéaire homogène un système n'aura de solution non triviale que si son déterminant principal est 0 (règle de Cramer). En écrivant cette condition sous la forme :

on obtient une équation pour déterminer les valeurs propres λ , appelé équation caractéristique. En bref, cela peut être représenté comme suit :

| UN -λ E | = 0,(9.6)

puisque son côté gauche contient le déterminant de la matrice UN- λE. Relatif polynomial λ| UN -λ E| appelé polynôme caractéristique matrice A.

Propriétés du polynôme caractéristique :

1) Le polynôme caractéristique d'une transformation linéaire ne dépend pas du choix de la base. (voir (9.4)), mais ainsi, . Cela ne dépend donc pas du choix de la base. Cela signifie que |UN-λ E| ne change pas lors du passage à une nouvelle base.

2) Si matrice UN la transformation linéaire est symétrique(ceux. UN je= un ji), alors toutes les racines de l'équation caractéristique (9.6) sont des nombres réels.

Propriétés des valeurs propres et des vecteurs propres :

1) Si l'on choisit une base parmi les vecteurs propres x1, x2, x3 , correspondant aux valeurs propres λ 1, λ 2, λ 3 matrices UN, alors dans cette base la transformation linéaire A a une matrice de forme diagonale :

(9.7) La preuve de cette propriété découle de la définition des vecteurs propres.

2) Si la transformation valeurs propres UN sont différents, alors leurs vecteurs propres correspondants sont linéairement indépendants.

3) Si le polynôme caractéristique de la matrice UN a trois racines différentes, alors dans une certaine mesure la matrice UN a une apparence diagonale.

Exemple.

Trouvons les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice C et laissons l'équation caractéristique : (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Trouvons les coordonnées des vecteurs propres correspondant à chaque valeur trouvée λ. De (9.5) il résulte que si X (1) ={ X 1 , X 2 , X 3 ) – vecteur propre correspondant λ 1 =-2, alors

- un système coopératif mais incertain. Sa solution peut s'écrire sous la forme X (1) ={ un,0,- un), où a est n'importe quel nombre. En particulier, si nous exigeons que |X (1) |=1, X (1) =

Remplacement dans le système (9.5) λ 2 =3, on obtient un système de détermination des coordonnées du deuxième vecteur propre -X (2) ={ oui 1 , oui 2 , oui 3

Transformations de coordonnées linéaires. Vecteurs propres et valeurs propres d'une matrice, leurs propriétés. Polynôme caractéristique d'une matrice, ses propriétés.

On dira que sur l'ensemble des vecteurs R. donné transformationUN , si chaque vecteur X R. selon une règle, le vecteur UNX R..

Définition 9.1. Conversion UN appelé linéaire, si pour des vecteurs X Et à et pour tout nombre réel λ les égalités suivantes sont vraies :

UN(X + à )=UNX + Unà ,UNE(λX ) =λAX . (9.1)

Définition 9.2. La transformation linéaire s'appelle identique, s'il transforme n'importe quel vecteur X en vous-même.

La transformation de l'identité est notée SONX = X .

Considérons un espace tridimensionnel avec une base e 1 , e 2 , e 3 , dans lequel une transformation linéaire est spécifiée UN. En l'appliquant aux vecteurs de base, nous obtenons les vecteurs UNe 1 , UNe 2 , UNe 3 , appartenant à cet espace tridimensionnel. Par conséquent, chacun d’eux peut être développé de manière unique en vecteurs de base :

UNe 1 = un 11 e 1 + un 21 e 2 +un 31 e 3 ,

UNe 2 = un 12 e 1 + un 22 e 2 + un 32 e 3 , (9.2)

UNe 3 = un 13 e 1 + un 23 e 2 + un 33 e 3 .

Matrice
appelé matrice de transformation linéaireUN dans la base e 1 , e 2 , e 3 . Les colonnes de cette matrice sont constituées des coefficients des formules de transformation de base (9.2).

Commentaire. Évidemment, la matrice de transformation d'identité est la matrice d'identité E.

Pour un vecteur arbitraire X =x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 le résultat de l'application d'une transformation linéaire UN sera un vecteur UNX , qui peut être développé en vecteurs de même base : UNX =x` 1 e 1 +x` 2 e 2 +x` 3 e 3 , où les coordonnées X` je peut être trouvé en utilisant les formules:

X` 1 =un 11 X 1 +un 12 X 2 +un 13 X 3 ,

x` 2 =un 21 X 1 +un 22 X 2 +un 23 X 3 , (9.3)

X` 3 = un 31 X 1 + un 32 X 2 + un 33 X 3 .

Les coefficients dans les formules de cette transformation linéaire sont des éléments des lignes matricielles UN.

Transformation matricielle de transformation linéaire

lors du passage à une nouvelle base.

Considérons une transformation linéaire A et deux bases dans un espace tridimensionnel : e 1 , e 2 , e 3 Et e 1 , e 2 , e 3 . Laissez la matrice C définir les formules de transition de la base ( e k) à la base ( e k). Si dans la première de ces bases la transformation linéaire choisie est donnée par la matrice A, et dans la seconde par la matrice UN, alors on peut trouver le lien entre ces matrices, à savoir :

A = C-1 UN C (9.4)

Vraiment,
, Alors UN
. D'autre part, les résultats de l'application de la même transformation linéaire UN en base ( e k), c'est à dire. , et dans la base ( e k ): respectivement - connecté par matrice AVEC:
, d'où il résulte que CA=UN AVEC. En multipliant les deux côtés de cette égalité en partant de la gauche par AVEC-1 , on obtient AVEC - 1 CA = = C -1 UN AVEC, ce qui prouve la validité de la formule (9.4).

Valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice.

Définition 9.3. Vecteur X appelé vecteur propre matrices UN, s'il existe un tel nombre λ, que l'égalité est vraie : UNX = λ X , c'est-à-dire le résultat de la demande à X transformation linéaire spécifiée par la matrice UN, est la multiplication de ce vecteur par le nombre λ . Le numéro lui-même λ appelé valeur propre matrices UN.

Substitution dans des formules (9.3) X` j = λ X j , on obtient un système d'équations pour déterminer les coordonnées du vecteur propre :

.

. (9.5)

Ce système homogène linéaire n'aura de solution non triviale que si son déterminant principal est 0 (règle de Cramer). En écrivant cette condition sous la forme :

on obtient une équation pour déterminer les valeurs propres λ , appelé équation caractéristique. En bref, cela peut être représenté comme suit :

| UN - λ E| = 0, (9.6)

puisque son côté gauche contient le déterminant de la matrice A-λE. Relatif polynomial λ | UN - λ E| appelé polynôme caractéristique matrice A.

Propriétés du polynôme caractéristique :

Propriétés des valeurs propres et des vecteurs propres :

Si l'on choisit une base parmi les vecteurs propres X 1 , X 2 , X 3 , correspondant aux valeurs propres λ 1 , λ 2 , λ 3 matrices UN, alors dans cette base la transformation linéaire A a une matrice de forme diagonale :

(9.7) La preuve de cette propriété découle de la définition des vecteurs propres.

Si la transformation valeurs propres UN sont différents, alors leurs vecteurs propres correspondants sont linéairement indépendants.

Si le polynôme caractéristique de la matrice UN a trois racines différentes, alors dans une certaine mesure la matrice UN a une apparence diagonale.

Trouvons les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice Créons une équation caractéristique :
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Trouvons les coordonnées des vecteurs propres correspondant à chaque valeur trouvée λ. De (9.5) il résulte que si X (1) ={X 1 , X 2 , X 3 ) – vecteur propre correspondant λ 1 =-2, alors

- un système coopératif mais incertain. Sa solution peut s'écrire sous la forme X (1) ={un,0,-un), où a est n'importe quel nombre. En particulier, si nous exigeons que | X (1) |=1,X (1) =

Remplacement dans le système (9.5) λ 2 =3, on obtient un système de détermination des coordonnées du deuxième vecteur propre - X (2) ={oui 1 , oui 2 , oui 3 }:

, où X (2) ={b,- b, b) ou, à condition | X (2) |=1,X (2) =

Pour λ 3 = 6 trouver le vecteur propre X (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,X (3) ={c,2 c, c) ou dans la version normalisée

X (3) =
On peut remarquer que X (1) X (2) =un B – un B = 0,X (1) X (3) =ca – ca = 0,X (2) X (3) =avant JC - 2avant JC + avant JC = 0. Ainsi, les vecteurs propres de cette matrice sont orthogonaux deux à deux.