"La grandeur d'un homme réside dans sa capacité à penser."
Blaise Pascal.
Objectifs de la leçon:
1) Éducatif– présenter aux étudiants les équations homogènes, envisager des méthodes pour les résoudre et favoriser le développement de compétences dans la résolution des types d'équations trigonométriques précédemment étudiés.
2) Du développement- développer activité créative les étudiants, leur activité cognitive, pensée logique, mémoire, capacité à travailler situation problématique, pour acquérir la capacité d’exprimer correctement, de manière cohérente et rationnelle ses pensées, d’élargir les horizons des étudiants et d’augmenter le niveau de leur culture mathématique.
3) Éducatif– cultiver le désir de s’améliorer, de travailler dur, de développer la capacité d’effectuer des tâches avec compétence et précision notations mathématiques, cultiver l'activité, aider à stimuler l'intérêt pour les mathématiques.
Type de cours : combiné.
Équipement:
- Cartes perforées pour six étudiants.
- Cartes pour indépendants et travail individuelétudiants.
- Stands « Résolution d'équations trigonométriques », « Cercle d'unité numérique ».
- Tables de trigonométrie électrifiées.
- Présentation de la leçon (Annexe 1).
Pendant les cours
1. Étape organisationnelle(2 minutes)
Salutation mutuelle ; vérifier la préparation des élèves pour la leçon ( lieu de travail, apparence); organisation de l'attention.
L'enseignant explique aux élèves le sujet de la leçon, les objectifs (diapositive 2) et explique que pendant le cours celui-ci sera utilisé Polycopié, qui est sur les bureaux.
2. Répétition matériel théorique(15 minutes)
Tâches de cartes perforées(6 personnes) . Temps de travail avec cartes perforées – 10 min (Annexe 2)
En résolvant des problèmes, les élèves apprendront où les calculs trigonométriques sont utilisés. Les réponses suivantes sont obtenues : triangulation (technique qui permet de mesurer les distances aux étoiles proches en astronomie), acoustique, ultrasons, tomographie, géodésie, cryptographie.
(diapositive 5)
Enquête frontale.
- Quelles équations sont appelées trigonométriques ?
- Quels types d’équations trigonométriques connaissez-vous ?
- Quelles équations sont appelées les équations trigonométriques les plus simples ?
- Quelles équations sont appelées trigonométriques quadratiques ?
- Formuler la définition de l’arc sinus de a.
- Formuler la définition de l’arc cosinus de a.
- Formuler la définition de l’arctangente de a.
- Formuler la définition de l’arc cotangente du nombre a.
Jeu "Devinez le mot crypté"
Blaise Pascal a dit un jour que les mathématiques sont une science tellement sérieuse qu'il ne faut pas manquer une occasion de la rendre un peu plus divertissante. C'est pourquoi je suggère de jouer. Après avoir résolu les exemples, déterminez la séquence de nombres utilisée pour composer le mot crypté. En latin, ce mot signifie « sinus ». (diapositive 3)
2) arc tg (-√3)
4) tg (arc cos (1/2))
5) tg (arc ctg √3)
Réponse : "Plier"
Jeu "Mathématicien abstrait"»
Les tâches du travail oral sont projetées sur l'écran :
Vérifiez que les équations sont résolues correctement.(la bonne réponse apparaît sur la diapositive après la réponse de l'élève). (diapositive 4)
Réponses avec des erreurs |
Bonnes réponses |
|
x = ± π/6+2πn |
x = ± π/3+2πn |
|
X = π/3+πn |
X = (-1) nπ/3+πn |
|
tg x = π/4 |
X = 1 +πn |
tg x =1, x = π/4+πn |
x = ±π/6+ π n |
x = ± π/6+2πn |
|
x = (-1)n arcsin1/3+ 2πn |
x = (-1)n arcsin1/3+ πn |
|
x = ± π/6+2πn |
x = ± 5π/6+2πn |
|
cosx = π/3 |
x = ± 1/2 +2πn |
cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn |
Examen devoirs.
L'enseignant établit l'exactitude et la conscience de l'accomplissement des devoirs par tous les élèves ; identifie les lacunes dans les connaissances; améliore les connaissances, les compétences et les capacités des étudiants dans le domaine de la résolution d'équations trigonométriques simples.
1 équation. L'élève commente la solution de l'équation dont les droites apparaissent sur la diapositive dans l'ordre du commentaire). (diapositive 6)
√3tg2x = 1 ;
tg2x =1/√3;
2х= arctan 1/√3 +πn, n ∈Z.
2х= π/6 +πn, n ∈Z.
x= π/12 + π/2 n, n ∈Z.
2 équation. Solution hécrit aux élèves au tableau.
2 péché 2 x + 3 cosx = 0.
3. Mise à jour de nouvelles connaissances (3 minutes)
Les élèves, à la demande de l'enseignant, rappellent des manières de résoudre des équations trigonométriques. Ils choisissent les équations qu'ils savent déjà résoudre, nomment la méthode de résolution de l'équation et le résultat obtenu. . Les réponses apparaissent sur la diapositive. (diapositive 7) .
Introduction d'une nouvelle variable :
N°1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.
Soit sinx = t, alors :
2t 2 – 7t + 3 = 0.
Factorisation :
№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0 ;
сos4x(3sinx – 1) = 0 ;
cos4x = 0 ou 3 sinx – 1 = 0 ; ...
N ° 3. 2 sinx – 3 cosx = 0,
Numéro 4. 3 péché 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.
Professeur: Vous ne savez toujours pas comment résoudre les deux derniers types d’équations. Ce sont tous deux la même espèce. Ils ne peuvent être réduits à une équation concernant fonctions sinx ou cosx. Sont appelés équations trigonométriques homogènes. Mais seulement le premier - équation homogène du premier degré, et la seconde est une équation homogène du deuxième degré. Aujourd'hui, dans la leçon, nous allons nous familiariser avec de telles équations et apprendre à les résoudre.
4. Explication du nouveau matériel (25 minutes)
L'enseignant donne aux élèves des définitions d'équations trigonométriques homogènes et présente des méthodes pour les résoudre.
Définition. Une équation de la forme a sinx + b cosx =0, où a ≠ 0, b ≠ 0 est appelée homogène équation trigonométrique premier degré.(diapositive 8)
Un exemple d'une telle équation est l'équation n° 3. Nous l'écrirons Forme généraleéquation et analysez-la.
a sinx + b cosx = 0.
Si cosx = 0, alors sinx = 0.
– Une telle situation pourrait-elle se produire ?
- Non. Nous avons obtenu une contradiction avec l’identité trigonométrique de base.
Cela signifie cosx ≠ 0. Effectuons une division terme par terme par cosx :
un tgx + b = 0
tgx = –b / une– l'équation trigonométrique la plus simple.
Conclusion: Les équations trigonométriques homogènes du premier degré sont résolues en divisant les deux côtés de l'équation par cosx (sinx).
Par exemple: 2 sinx – 3 cosx = 0,
Parce que cosx ≠ 0, alors
tgx = 3/2 ;
x = arctan (3/2) +πn, n ∈Z.
Définition. Une équation de la forme a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0, où a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 est appelée équation trigonométrique du deuxième degré. (diapositive 8)
Un exemple d'une telle équation est l'équation n° 4. Écrivons la forme générale de l’équation et analysons-la.
un péché 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.
Si cosx = 0, alors sinx = 0.
Encore une fois, nous avons une contradiction avec l’identité trigonométrique de base.
Cela signifie cosx ≠ 0. Effectuons une division terme par terme par cos 2 x :
et tg 2 x + b tgx + c = 0 est une équation qui se réduit à une quadratique.
Conclusion : Ah les équations trigonométriques homogènes du deuxième degré sont résolues en divisant les deux côtés de l'équation par cos 2 x (sin 2 x).
Par exemple: 3 péché 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.
Parce que cos 2 x ≠ 0, alors
3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Invitez l'élève à se rendre au tableau et à compléter l'équation de manière indépendante).
Remplacement : tgx = y. 3 à 2 – 4 à + 1 = 0
D = 16 – 12 = 4
y 1 = 1 ou y 2 = 1/3
tgx = 1 ou tgx = 1/3
x = arctan (1/3) + πn, n ∈Z.
x = arctan + πn, n ∈Z.
x = π/4 + πn, n ∈Z.
5. Étape de vérification de la compréhension par les étudiants du nouveau matériel (1 min.)
Sélectionnez l'intrus :
sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2 ;
√3sinx + cosx = 0 ; péché 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0 ;
4cosx + 5sinx = 0 ; √3sinx – cosx = 0.
(diapositive 9)
6. Consolidation du nouveau matériel (24 min).
Les élèves, avec les répondants, résolvent les équations au tableau nouveau matériel. Les tâches sont écrites sur une diapositive sous forme de tableau. Lors de la résolution d'une équation, la partie correspondante de l'image sur la diapositive s'ouvre. Après avoir complété 4 équations, les élèves se voient présenter le portrait d'un mathématicien qui a eu une influence significative sur le développement de la trigonométrie. (les élèves reconnaîtront le portrait de François Vieta, grand mathématicien qui a grandement contribué à la trigonométrie, qui a découvert la propriété des racines du réduit équation quadratique et travaillé en cryptographie) . (diapositive 10)
1) √3sinx + cosx = 0,
Parce que cosx ≠ 0, alors
√3tgx + 1 = 0 ;
tgx = –1/√3 ;
x = arctan (–1/√3) + πn, n ∈Z.
x = –π/6 + πn, n ∈Z.
2) péché 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.
Parce que cos 2 x ≠ 0, alors tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0
Remplacement: tgx = y.
oui 2 – 10 oui + 21 = 0
y 1 = 7 ou y 2 = 3
tgx = 7 ou tgx = 3
x = arctan7 + πn, n ∈Z
x = arctan3 + πn, n ∈Z
3) péché 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.
Parce que cos 2 2x ≠ 0, alors 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0
Remplacement: tg2x = y.
3 ans 2 – 6 ans + 5 = 0
D = 36 – 20 = 16
y 1 = 5 ou y 2 = 1
tg2x = 5 ou tg2x = 1
2х = arctan5 + πn, n ∈Z
x = 1/2 arctan5 + π/2 n, n ∈Z
2х = arctan1 + πn, n ∈Z
x = π/8 + π/2 n, n ∈Z
4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.
6 péché 2 x + 4 sinx cosx = 1.
6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.
5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.
Parce que cos 2 x ≠0, alors 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0
Remplacement: tg x = y.
5у 2 + 4у – 1 = 0
D = 16 + 20 = 36
y 1 = 1/5 ou y 2 = –1
tg x = 1/5 ou tg x = –1
x = arctan1/5 + πn, n ∈Z
x = arctan(–1) + πn, n ∈Z
x = –π/4 + πn, n ∈Z
En plus (sur la carte) :
Résolvez l'équation et, en choisissant une option parmi les quatre proposées, devinez le nom du mathématicien qui a dérivé les formules de réduction :
2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.
Des réponses possibles:
x = arctan2 + 2πn, n ∈Z x = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev
x = arctan 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euclide
x = arctan 5 + πn, n ∈Z x = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofia Kovalevskaya
x = arctan2,5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonhard Euler
Bonne réponse : Léonhard Euler.
7. Travail indépendant différencié (8 min.)
Le grand mathématicien et philosophe a suggéré il y a plus de 2 500 ans une façon de développer capacités de réflexion. "La réflexion commence par l'émerveillement", a-t-il déclaré. Aujourd’hui, nous avons constaté à plusieurs reprises que ces paroles sont exactes. Après avoir réalisé un travail indépendant sur 2 options, vous pourrez montrer comment vous maîtrisez la matière et connaître le nom de ce mathématicien. Pour un travail indépendant, utilisez les documents qui se trouvent sur vos tables. Vous pouvez choisir vous-même l’une des trois équations proposées. Mais rappelez-vous qu'en résolvant l'équation correspondant à couleur jaune, vous ne pouvez obtenir "3" qu'en résolvant l'équation correspondant à la couleur verte - "4", la couleur rouge - "5". (Annexe 3)
Quel que soit le niveau de difficulté choisi par les élèves, après la bonne décision La première version de l'équation produit le mot « ARIST », la seconde - « HÔTEL ». Le mot sur la diapositive est : « ARIST-HOTEL ». (diapositive 11)
Feuilles avec travail indépendant sont soumis pour vérification. (Annexe 4)
8. Enregistrement des devoirs (1 min)
D/z : §7.17. Composer et résoudre 2 équations homogènes du premier degré et 1 équation homogène du deuxième degré (en utilisant le théorème de Vieta pour composer). (diapositive 12)
9. Résumer la leçon, notation (2 minutes)
L'enseignant attire encore une fois l'attention sur ces types d'équations et sur ceux faits théoriques, qui ont été rappelés en classe, parle de la nécessité de les apprendre.
Les élèves répondent aux questions :
- Quels types d’équations trigonométriques connaissons-nous ?
- Comment ces équations sont-elles résolues ?
L'enseignant note le plus travail réussi dans la leçon d'élèves individuels, donne des notes.
Avec cette leçon vidéo, les étudiants pourront étudier le sujet des équations trigonométriques homogènes.
Donnons des définitions :
1) une équation trigonométrique homogène du premier degré ressemble à un sin x + b cos x = 0 ;
2) une équation trigonométrique homogène du deuxième degré ressemble à un sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.
Considérons l'équation a sin x + b cos x = 0. Si a est égal à zéro, alors l'équation ressemblera à b cos x = 0 ; si b est égal à zéro, alors l'équation ressemblera à un péché x = 0. Ce sont les équations que nous avons appelées les plus simples et qui ont été résolues plus tôt dans les sujets précédents.
Considérons maintenant l'option lorsque a et b ne sont pas égaux à zéro. En divisant les parties de l'équation par le cosinus x, on effectue la transformation. On obtient a tg x + b = 0, alors tg x sera égal à - b/a.
De ce qui précède, il s'ensuit que l'équation a sin mx + b cos mx = 0 est une équation trigonométrique homogène du premier degré. Pour résoudre une équation, divisez ses parties par cos mx.
Regardons l'exemple 1. Résolvez 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. Tout d'abord, divisez les parties de l'équation par le cosinus (x/2). Sachant que le sinus divisé par le cosinus est tangent, on obtient 7 tan (x/2) - 5 = 0. En transformant l'expression, on constate que la valeur de tan (x/2) est égale à 5/7. Solution équation donnée a la forme x = arctan a + πn, dans notre cas x = 2 arctan (5/7) + 2πn.
Considérons l'équation a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 :
1) à un égal à zéro l'équation ressemblera à b sin x cos x + c cos 2 x = 0. En transformant, nous obtenons l'expression cos x (b sin x + c cos x) = 0 et procédons à la résolution des deux équations. Après avoir divisé les parties de l'équation par le cosinus x, nous obtenons b tg x + c = 0, ce qui signifie tg x = - c/b. Sachant que x = arctan a + πn, alors la solution dans dans ce cas sera x = arctan (- c/b) + πn.
2) si a n'est pas égal à zéro, alors en divisant les parties de l'équation par le cosinus carré, on obtient une équation contenant une tangente, qui sera quadratique. Cette équation peut être résolue en introduisant une nouvelle variable.
3) lorsque c est égal à zéro, l'équation prendra la forme a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Cette équation peut être résolue en retirant le sinus x de la parenthèse.
1. voir si l'équation contient un péché 2 x ;
2. Si l'équation contient le terme a sin 2 x, alors l'équation peut être résolue en divisant les deux côtés par le cosinus au carré, puis en introduisant une nouvelle variable.
3. Si l'équation ne contient pas de sin 2 x, alors l'équation peut être résolue en retirant cosx des parenthèses.
Considérons l'exemple 2. Retirons le cosinus des parenthèses et obtenons deux équations. La racine de la première équation est x = π/2 + πn. Pour résoudre la deuxième équation, on divise les parties de cette équation par le cosinus x, et par transformation on obtient x = π/3 + πn. Réponse : x = π/2 + πn et x = π/3 + πn.
Résolvons l'exemple 3, une équation de la forme 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 et trouvons ses racines, qui appartiennent au segment de - π à π. Parce que cette équation est inhomogène, il faut la réduire à aspect homogène. En utilisant formule du péché 2 x + cos 2 x = 1, on obtient équation du péché 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. En divisant toutes les parties de l'équation par cos 2 x, nous obtenons tan 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0. En utilisant l'entrée d'une nouvelle variable z = tan 2x , on résout l'équation dont la racine sera z = 1. Alors tan 2x = 1, ce qui signifie que x = π/8 + (πn)/2. Parce que selon les conditions du problème, il faut trouver les racines qui appartiennent au segment de - π à π, la solution aura la forme - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.
DÉCODAGE DE TEXTE :
Équations trigonométriques homogènes
Aujourd’hui, nous allons voir comment les « équations trigonométriques homogènes » sont résolues. Ce sont des équations d’un type particulier.
Faisons connaissance avec la définition.
Équation de la forme et péché x+bparce queX = 0 (et sinus x plus cosinus x est égal à zéro) est appelée une équation trigonométrique homogène du premier degré ;
équation de la forme et péché 2 x+bpéché xparce queX+sparce que 2 X= 0 (et sinus carré x plus être sinus x cosinus x plus se cosinus carré x est égal à zéro) est appelée une équation trigonométrique homogène du deuxième degré.
Si une=0, alors l'équation prend la forme bparce queX = 0.
Si b = 0 , alors on obtient et péché X= 0.
Ces équations sont trigonométriques élémentaires, et nous avons discuté de leur solution dans nos sujets précédents
Considérons le cas où les deux coefficients ne sont pas égaux à zéro. Divisons les deux côtés de l'équation UNpéchéX+ bparce queX = 0 membre par membre parce queX.
Nous pouvons le faire puisque le cosinus de x est non nul. Après tout, si parce queX = 0 , alors l'équation UNpéchéX+ bparce queX = 0 prendra la forme UNpéchéX = 0 , UN≠ 0, donc péchéX = 0 . Ce qui est impossible, car selon l’identité trigonométrique de base péché 2 x+parce que 2 X=1 .
Diviser les deux côtés de l'équation UNpéchéX+ bparce queX = 0 membre par membre parce queX, on obtient : + =0
Réalisons les transformations :
1. Depuis = tgx, alors =et tgx
2 réduire par parce queX, Alors
On obtient donc l'expression suivante et tg x + b =0.
Réalisons la transformation :
1.déplacez b vers la droite de l'expression avec le signe opposé
et tg x =- b
2. Débarrassons-nous du multiplicateur et en divisant les deux côtés de l'équation par un
bronzage x= -.
Conclusion : équation de la forme un péchémx+bparce queMX = 0 (et sinus em x plus être cosinus em x est égal à zéro) est également appelée équation trigonométrique homogène du premier degré. Pour le résoudre, divisez les deux côtés par parce queMX.
EXEMPLE 1. Résolvez l'équation 7 sin - 5 cos = 0 (sept sinus x sur deux moins cinq cosinus x sur deux est égal à zéro)
Solution. En divisant les deux côtés du terme de l'équation par cos, on obtient
1. = 7 tan (puisque le rapport sinus/cosinus est une tangente, alors sept sinus x par deux divisé par cosinus x par deux est égal à 7 tan x par deux)
2. -5 = -5 (avec l'abréviation cos)
De cette façon, nous avons obtenu l'équation
7tg - 5 = 0, Transformons l'expression, déplaçons moins cinq vers la droite, en changeant le signe.
Nous avons réduit l'équation à la forme tg t = a, où t=, a =. Et puisque cette équation a une solution pour toute valeur UN et ces solutions ont la forme
x = arctan a + πn, alors la solution de notre équation aura la forme :
Arctg + πn, trouver x
x=2 arctan + 2πn.
Réponse : x=2 arctan + 2πn.
Passons à l'équation trigonométrique homogène du deuxième degré
UNpéché 2 x+b péché x cos x +Aveccos2x= 0.
Considérons plusieurs cas.
I. Si une=0, alors l'équation prend la forme bpéchéXparce queX+sparce que 2 X= 0.
Lors de la résolution de e Ensuite nous utilisons la méthode de factorisation des équations. Nous allons le retirer parce queX au-delà de la parenthèse et on obtient : parce queX(bpéchéX+sparce queX)= 0 . Où parce queX= 0 ou
b péché x +Aveccosx= 0. Et nous savons déjà comment résoudre ces équations.
Divisons les deux côtés du terme de l'équation par cosх, nous obtenons
1 (puisque le rapport sinus/cosinus est une tangente).
On obtient donc l'équation : b tgx+c=0
Nous avons réduit l'équation à la forme tg t = a, où t= x, a =. Et puisque cette équation a une solution pour toute valeur UN et ces solutions ont la forme
x = arctan a + πn, alors la solution de notre équation sera :
x = arctan + πn, .
II. Si une≠0, puis on divise les deux côtés de l’équation terme par terme en parce que 2 X.
(En argumentant de la même manière que dans le cas d'une équation trigonométrique homogène du premier degré, le cosinus x ne peut pas aller vers zéro).
III. Si c=0, alors l'équation prend la forme UNpéché 2 X+ bpéchéXparce queX= 0. Cette équation peut être résolue par méthode de factorisation (on retire péchéX au-delà du support).
Cela signifie que lors de la résolution de l'équation UNpéché 2 X+ bpéchéXparce queX+sparce que 2 X= 0 vous pouvez suivre l'algorithme :
EXEMPLE 2. Résolvez l'équation sinxcosx - cos 2 x= 0 (sinus x fois cosinus x moins racine de trois fois cosinus carré x est égal à zéro).
Solution. Factorisons-le (mettez cosx hors parenthèses). On a
cos x(péché x - cos x)= 0, c'est-à-dire cos x=0 ou péché x - cos x= 0.
Réponse : x =+ πn, x= + πn.
EXEMPLE 3. Résolvez l'équation 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (trois sinus au carré deux x moins deux fois le produit du sinus deux x fois cosinus deux x plus trois cosinus au carré deux x) et trouvez ses racines appartenant à l'intervalle (- π;π).
Solution. Cette équation n'est pas homogène, effectuons donc quelques transformations. On remplace le chiffre 2 contenu à droite de l'équation par le produit 2 1
Puisque par l'identité trigonométrique principale sin 2 x + cos 2 x =1, alors
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = en ouvrant les parenthèses on obtient : 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x
Cela signifie que l'équation 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 prendra la forme :
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,
péché 2 2x - 2 péché 2x cos2 x +cos 2 2x =0.
Nous avons obtenu une équation trigonométrique homogène du deuxième degré. Appliquons la méthode de division terme à terme par cos 2 2x :
tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.
Introduisons une nouvelle variable z= tan2x.
Nous avons z 2 - 2 z + 1 = 0. C'est une équation quadratique. En remarquant la formule de multiplication abrégée sur le côté gauche - le carré de la différence (), nous obtenons (z - 1) 2 = 0, c'est-à-dire z = 1. Revenons à la substitution inverse :
Nous avons réduit l'équation à la forme tg t = a, où t= 2x, a =1. Et puisque cette équation a une solution pour toute valeur UN et ces solutions ont la forme
x = arctan x a + πn, alors la solution de notre équation sera :
2х= arctan1 + πn,
x = + , (x est égal à la somme de pi fois huit et pi en fois deux).
Tout ce que nous avons à faire est de trouver les valeurs de x contenues dans l'intervalle
(- π; π), c'est-à-dire satisfaire la double inégalité - π x π. Parce que
x= +, alors - π + π. Divisez toutes les parties de cette inégalité par π et multipliez par 8, nous obtenons
déplacez-en un vers la droite et vers la gauche, en changeant le signe en moins un
on divise par quatre on obtient,
Pour plus de commodité, nous séparons les parties entières en fractions
- Cette inégalité est satisfaite par l'entier n suivant : -2, -1, 0, 1 Le maintien de votre vie privée est important pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit la manière dont nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez consulter nos pratiques de confidentialité et faites-nous savoir si vous avez des questions. Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier ou contacter une personne spécifique. Il peut vous être demandé de fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez. Vous trouverez ci-dessous quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations. Quelles informations personnelles collectons-nous : Comment utilisons-nous vos informations personnelles: Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers. Des exceptions: Nous prenons des précautions - notamment administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés. Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les normes de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité. Arrêt! Essayons de comprendre cette lourde formule. La première variable de la puissance avec un certain coefficient devrait venir en premier. Dans notre cas c'est Dans notre cas, c'est le cas. Comme nous l’avons découvert, cela signifie que le degré de la première variable converge. Et la deuxième variable au premier degré est en place. Coefficient. Nous l'avons. La première variable est une puissance et la deuxième variable est au carré, avec un coefficient. C'est le dernier terme de l'équation. Comme vous pouvez le constater, notre équation correspond à la définition sous la forme d'une formule. Regardons la deuxième partie (verbale) de la définition. Nous avons deux inconnues et. Il converge ici. Considérons tous les termes. En eux, la somme des degrés des inconnues devrait être la même. La somme des degrés est égale. La somme des puissances est égale à (à et à). La somme des degrés est égale. Comme vous pouvez le constater, tout s'accorde !!! Pratiquons maintenant à définir des équations homogènes. Déterminez lesquelles des équations sont homogènes : Équations homogènes - équations avec des nombres : Considérons l'équation séparément. Si on divise chaque terme en factorisant chaque terme, on obtient Et cette équation relève entièrement de la définition des équations homogènes. Exemple 2. Divisons l'équation par. D’après notre condition, y ne peut pas être égal. Nous pouvons donc diviser en toute sécurité par En effectuant la substitution, nous obtenons une équation quadratique simple : Puisqu’il s’agit d’une équation quadratique réduite, nous utilisons le théorème de Vieta : Après avoir effectué la substitution inverse, nous obtenons la réponse Répondre: Exemple 3. Divisons l'équation par (par condition). Répondre: Exemple 4. Trouvez si. Ici, vous ne devez pas diviser, mais multiplier. Multiplions l'équation entière par : Faisons un remplacement et résolvons l'équation quadratique : Après avoir effectué la substitution inverse, nous obtenons la réponse : Répondre: La résolution d'équations trigonométriques homogènes n'est pas différente des méthodes de résolution décrites ci-dessus. Seulement ici, entre autres, il faut connaître un peu la trigonométrie. Et être capable de résoudre des équations trigonométriques (pour cela vous pouvez lire la section). Examinons ces équations à l'aide d'exemples. Exemple 5. Résous l'équation. Nous voyons une équation homogène typique : et sont des inconnues, et la somme de leurs puissances dans chaque terme est égale. De telles équations homogènes ne sont pas difficiles à résoudre, mais avant de diviser les équations, considérons le cas où Dans ce cas, l'équation prendra la forme : , donc. Mais le sinus et le cosinus ne peuvent pas être égaux en même temps, car selon l'identité trigonométrique de base. Par conséquent, nous pouvons le diviser en toute sécurité en : Puisque l’équation est donnée, alors selon le théorème de Vieta : Répondre: Exemple 6. Résous l'équation. Comme dans l'exemple, vous devez diviser l'équation par. Considérons le cas où : Mais le sinus et le cosinus ne peuvent pas être égaux en même temps, car selon l'identité trigonométrique de base. C'est pourquoi. Faisons un remplacement et résolvons l'équation quadratique : Faisons la substitution inverse et trouvons et : Répondre: Les équations homogènes sont résolues de la même manière que celles évoquées ci-dessus. Si vous avez oublié comment résoudre des équations exponentielles, regardez la section correspondante () ! Regardons quelques exemples. Exemple 7. Résous l'équation Imaginons-le ainsi : Nous voyons une équation homogène typique, avec deux variables et une somme de puissances. Divisons l'équation en : Comme vous pouvez le voir, en effectuant la substitution, nous obtenons l'équation quadratique ci-dessous (il n'y a pas lieu de s'inquiéter de la division par zéro - elle est toujours strictement supérieure à zéro) : D'après le théorème de Vieta : Répondre: . Exemple 8. Résous l'équation Imaginons-le ainsi : Divisons l'équation en : Faisons un remplacement et résolvons l'équation quadratique : La racine ne satisfait pas à la condition. Faisons la substitution inverse et trouvons : Répondre: Tout d'abord, en utilisant l'exemple d'un problème, permettez-moi de vous rappeler que sont les équations homogènes et quelle est la solution des équations homogènes. Résoudre le problème: Trouvez si. Ici, vous pouvez remarquer une chose curieuse : si nous divisons chaque terme par, nous obtenons : Autrement dit, il n'y a plus de et séparé - maintenant la variable dans l'équation est la valeur souhaitée. Et il s'agit d'une équation quadratique ordinaire qui peut être facilement résolue à l'aide du théorème de Vieta : le produit des racines est égal et la somme est constituée des nombres et. Répondre: Équations de la forme est dit homogène. C'est-à-dire qu'il s'agit d'une équation à deux inconnues, dont chaque terme a la même somme des puissances de ces inconnues. Par exemple, dans l'exemple ci-dessus, ce montant est égal à. Les équations homogènes sont résolues en divisant par l'une des inconnues à ce degré : Et le remplacement ultérieur des variables : . On obtient ainsi une équation de puissance à une inconnue : Le plus souvent nous rencontrerons des équations du deuxième degré (c'est-à-dire quadratiques), et nous savons comment les résoudre : Notez qu’on ne peut diviser (et multiplier) l’équation entière par une variable que si l’on est convaincu que cette variable ne peut pas être égale à zéro ! Par exemple, si on nous demande de trouver, nous comprenons immédiatement cela puisqu’il est impossible de diviser. Dans les cas où cela n'est pas si évident, il est nécessaire de vérifier séparément le cas où cette variable est égale à zéro. Par exemple: Résous l'équation. Solution: Nous voyons ici une équation homogène typique : et sont des inconnues, et la somme de leurs puissances dans chaque terme est égale. Mais, avant de diviser par et d'obtenir une équation quadratique relative, nous devons considérer le cas où. Dans ce cas, l'équation prendra la forme : , ce qui signifie . Mais le sinus et le cosinus ne peuvent pas être égaux à zéro en même temps, car selon l'identité trigonométrique de base : . Par conséquent, nous pouvons le diviser en toute sécurité en : J'espère que cette solution est complètement claire ? Sinon, lisez la section. S'il n'est pas clair d'où il vient, vous devez revenir encore plus tôt - à la section. Décider vous-même: Ici, j'écrirai brièvement directement la solution d'équations homogènes : Solutions: Répondre: . Mais ici, il faut multiplier plutôt que diviser : Répondre: Si vous n'avez pas encore étudié les équations trigonométriques, vous pouvez ignorer cet exemple. Puisqu’ici nous devons diviser par, assurons-nous d’abord que cent n’est pas égal à zéro : Et c'est impossible. Répondre: . La solution de toutes les équations homogènes se réduit à la division par l'une des inconnues de la puissance et à un changement ultérieur des variables. Algorithme: Type de cours : explication de nouveau matériel. Le travail se déroule en groupe. Chaque groupe dispose d'un expert qui surveille et guide le travail des étudiants. Aide les élèves faibles à croire en eux-mêmes lorsqu'ils résolvent ces équations. Leçon sur le sujet "
Équations trigonométriques homogènes" (10ème année) Cible: Type de cours : une leçon dans la formation de nouvelles connaissances. Forme de conduite: travail en groupe. Équipement : ordinateur, installation multimédia Pendant les cours I. Moment organisationnel Dans le cours, un système de notation d'évaluation des connaissances (l'enseignant explique le système d'évaluation des connaissances en remplissant la fiche d'évaluation par un expert indépendant sélectionné par l'enseignant parmi les élèves). La leçon est accompagnée d'une présentation. Annexe 1. Feuille de match n° n\n Nom Prénom Devoirs Activité cognitive Résoudre des équations Indépendant Emploi Grade II. Actualisation des connaissances de base.. Nous continuons à étudier le thème «Équations trigonométriques». Aujourd'hui, dans la leçon, nous vous présenterons un autre type d'équations trigonométriques et des méthodes pour les résoudre, et nous répéterons donc ce que nous avons appris. Lors de la résolution de tous types d'équations trigonométriques, ils en sont réduits à résoudre les équations trigonométriques les plus simples. Rappelons les principaux types d'équations trigonométriques les plus simples. Utilisez les flèches pour faire correspondre les expressions. III. Motivation pour l'apprentissage. Nous avons du travail à faire pour résoudre les mots croisés. Après l'avoir résolu, nous découvrirons le nom d'un nouveau type d'équations que nous apprendrons à résoudre aujourd'hui en classe. Les questions sont projetées au tableau. Les étudiants devinent et un expert indépendant inscrit les scores des étudiants qui répondent sur la feuille de notation. Après avoir résolu les mots croisés, les enfants liront le mot « homogène ». Mots croisés. Si vous entrez les mots corrects, vous obtiendrez le nom de l'un des types d'équations trigonométriques. 1.La valeur de la variable qui rend l’équation vraie ? (Racine) 2.Unité d'angles ? (Radian) 3.Facteur numérique dans le produit ? (Coefficient) 4. Branche des mathématiques qui étudie les fonctions trigonométriques ? (Trigonométrie) 5.Quel modèle mathématique est nécessaire pour introduire des fonctions trigonométriques ? (Cercle) 6.Quelle fonction trigonométrique est paire ? (Cosinus) 7.Comment s’appelle une véritable égalité ? (Identité) 8.Égalité avec une variable ? (L'équation) 9. Des équations qui ont les mêmes racines ? (équivalent) 10. Combien de racines une équation a-t-elle ? (Solution) IV. Explication du nouveau matériel. Le sujet de la leçon est « Équations trigonométriques homogènes ». (Présentation) Exemples: V. Travail indépendant Objectifs : tester de manière globale les connaissances des étudiants lors de la résolution de tous types d'équations trigonométriques, pour stimuler les étudiants à l'auto-analyse et à la maîtrise de soi. Ensuite, ils le confient à un expert indépendant. Option 1 : 1) péché x = √3cos x 2) 3 péché 2 x – 7 péché x cos x + 2 cos 2 x = 0 3) 3 péché x – 2 péché x cos x = 1 4) péché 2x⁄ péché x =0 Option 2 : 1) cosx + √3sin x = 0 2)2 péché 2 x + 3 péché x cos x – 2 cos 2 x = 0 3)1 + péché 2 x = 2 péché x cos x 4) cos 2x ⁄ cos x = 0 VI. Résumer la leçon VII. Devoirs: Devoirs – 12 points (3 équations 4 x 3 = 12 ont été assignées pour les devoirs) Activité étudiante – 1 réponse – 1 point (4 points maximum) Résoudre des équations 1 point Travail indépendant – 4 pointsCollecte et utilisation des informations personnelles
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Comment résoudre des équations homogènes ?
Résolution d'équations trigonométriques homogènes.
Résolution d'équations exponentielles homogènes.
ÉQUATIONS HOMOGÈNES. NIVEAU MOYEN
ÉQUATIONS HOMOGÈNES. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES
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Les étudiants sont invités à réaliser un travail écrit d'une durée de 10 minutes.
Les élèves travaillent sur des feuilles de papier vierges à copier. Au fil du temps, les sommets du travail indépendant sont collectés et les solutions restent aux étudiants pour qu'ils les copient.
Le contrôle du travail indépendant (3 min) s'effectue par contrôle mutuel.
. Les élèves utilisent un stylo de couleur pour vérifier le travail écrit de leur voisin et notent le nom de la personne qui vérifie. Ensuite, ils remettent les papiers.
