1. Le concept d'inégalité à une variable
2. Inégalités équivalentes. Théorèmes sur l'équivalence des inégalités
3. Résoudre les inégalités avec une seule variable
4. Solution graphique des inégalités à une variable
5. Inégalités contenant une variable sous le signe du module
6. Principales conclusions
Inégalités à une variable
Offres 2 X + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 sont appelées inégalités à une variable.
DANS vue générale cette notion est définie comme suit :
Définition. Soit f(x) et g(x) deux expressions avec une variable x et un domaine X. Alors une inégalité de la forme f(x) > g(x) ou f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Valeur variable x de beaucoup X, dans lequel l'inégalité se transforme en une véritable inégalité numérique est appelée décision. Résoudre une inégalité signifie y trouver de nombreuses solutions.
Ainsi, en résolvant l’inégalité 2 x + 7 > 10 -x,x? R. est le numéro x= 5, puisque 2 5 + 7 > 10 - 5 est une véritable inégalité numérique. Et l'ensemble de ses solutions est l'intervalle (1, ∞), qui se trouve en effectuant la transformation de l'inégalité : 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.
Inégalités équivalentes. Théorèmes sur l'équivalence des inégalités
La base pour résoudre les inégalités à une variable est le concept d'équivalence.
Définition. Deux inégalités sont dites équivalentes si leurs ensembles de solutions sont égaux.
Par exemple, les inégalités 2 x+ 7 > 10 et 2 x> 3 sont équivalents, puisque leurs ensembles de solutions sont égaux et représentent l'intervalle (2/3, ∞).
Les théorèmes sur l'équivalence des inégalités et leurs conséquences sont similaires aux théorèmes correspondants sur l'équivalence des équations. Leur preuve utilise les propriétés de véritables inégalités numériques.
Théorème 3. Laissez l'inégalité f(x) > g(x) défini sur le plateau X Et h(x) est une expression définie sur le même ensemble. Ensuite les inégalités f(x) > g(x) et f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) sont équivalents sur le plateau X.
De ce théorème découlent des corollaires, qui sont souvent utilisés pour résoudre des inégalités :
1) Si des deux côtés de l'inégalité f(x) > g(x) ajouter le même numéro d, alors on obtient l'inégalité f(x) + ré > g(x)+ ré,équivalent à celui d'origine.
2) Si un terme (expression numérique ou expression avec une variable) est transféré d'une partie de l'inégalité à une autre, en changeant le signe du terme en sens inverse, alors nous obtenons une inégalité équivalente à celle donnée.
Théorème 4. Laissez l'inégalité f(x) > g(x) défini sur le plateau X Et h(X X de beaucoup X expression h(x) accepte valeurs positives. Ensuite les inégalités f(x) > g(x) et f(x) h(x) > g(x) h(x) sont équivalents sur le plateau X.
f(x) > g(x) multiplier par le même nombre positif d, alors on obtient l'inégalité f(x)d > g(x)d,équivalent à ceci.
Théorème 5. Laissez l'inégalité f(x) > g(x) défini sur le plateau X Et h(X) - une expression définie sur le même ensemble, et pour tous X il y en a beaucoup X expression h(X) accepte valeurs négatives. Ensuite les inégalités f(x) > g(x) et f(x) h(x) > g(x) h(x) sont équivalents sur le plateau X.
Un corollaire découle de ce théorème : si les deux côtés de l’inégalité f(x) > g(x) multiplier par le même nombre négatif d et changeons le signe de l'inégalité par le signe opposé, nous obtenons l'inégalité f(x)d > g(x)d,équivalent à ceci.
Résoudre les inégalités avec une seule variable
Résolvons les inégalités 5 X - 5 < 2х - 16, X? R., et nous justifierons toutes les transformations que nous effectuerons dans le processus de solution.
Résoudre les inégalités X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 est l'intervalle (-∞, 7).
Exercices
1. Déterminez lesquelles des entrées suivantes sont des inégalités à une variable :
une) -12 - 7 X< 3x+ 8 ; d) 12 x+ 3(X- 2);
b) 15( x+2)>4 ; e) 17-12,8 ;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3x-4> 0.
2. Le chiffre 3 est-il une solution à l'inégalité 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? R.? Et le nombre 4,25 ?
3. Les paires d'inégalités suivantes sont-elles équivalentes sur l'ensemble des nombres réels :
une) -17 X< -51 и X > 3;
b) (3 x-1)/4 >0 et 3 X-1>0;
c) 6-5 x>-4 et X<2?
4. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies :
une) -7 X < -28 => x>4;
b) x < 6 => x < 5;
V) X< 6 => X< 20?
5. Résoudre l'inégalité 3( x - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 et justifiez toutes les transformations que vous allez effectuer.
6. Prouver qu'en résolvant l'inégalité 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) est n’importe quel nombre réel.
7. Prouve que ça n'existe pas nombre réel, ce qui serait une solution à l'inégalité 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.
8. Un côté du triangle mesure 5 cm et l'autre 8 cm. Quelle peut être la longueur du troisième côté si le périmètre du triangle est :
a) moins de 22 cm ;
b) plus de 17 cm ?
SOLUTION GRAPHIQUE DES INÉGALITÉS À UNE VARIABLE. Pour solution graphique inégalités f (x) > g (x) besoin de construire des graphiques de fonctions
y = f (x) = g (x) et sélectionnez les intervalles de l'axe des abscisses sur lesquels le graphique de la fonction y = f(x) situé au dessus du graphique de la fonction y = g(x).
Exemple 17.8. Résoudre graphiquement l'inégalité x2- 4 > 3X.
| O - x* - 4 |
Solution. Construisons des graphiques de fonctions dans un système de coordonnées
y = x 2 - 4 et y = Zx (Fig. 17.5). La figure montre que les graphiques des fonctions à= x2- 4 est situé au dessus du graphique de la fonction y = 3 Xà X< -1 et x > 4, c'est-à-dire l'ensemble des solutions à l'inégalité initiale est l'ensemble
(- ¥; -1) È (4; + ouh) .
Réponse : x О(- oo; -1) et ( 4; +oo).
Calendrier fonction quadratique à= hache 2 + bx + c est une parabole dont les branches pointent vers le haut si un > 0, et vers le bas si UN< 0. Dans ce cas, trois cas sont possibles : la parabole coupe l'axe Oh(c'est-à-dire l'équation ah 2+ bx+ c = 0 a deux racines différentes) ; la parabole touche l'axe X(c'est-à-dire l'équation hache 2 + boîte+ c = 0 a une racine); la parabole ne coupe pas l'axe Oh(c'est-à-dire l'équation ah 2+ bx+ c = 0 n'a pas de racines). Ainsi, il y a six positions possibles de la parabole, qui sert de graphique à la fonction y = ah 2+b x + c(Fig. 17.6). À l’aide de ces illustrations, vous pouvez résoudre des inégalités quadratiques.
Exemple 17.9. Résoudre l'inégalité : a) 2 xg+ 5x - 3 > 0 ; b) -Zx2- 2x- 6 < 0.
Solution, a) L'équation 2x 2 + 5x -3 = 0 a deux racines : x, = -3, x2 = 0,5. Parabole servant de graphique à une fonction à= 2x 2+ 5x -3, illustré à la Fig. UN. Inégalité 2x 2+ 5x -3 > 0 est satisfait pour ces valeurs X, pour lequel les points de la parabole se situent au-dessus de l'axe Oh: ce sera à X< х х ou quand X> xg> ceux. à X< -3 ou à x > 0,5. Cela signifie que l'ensemble des solutions à l'inégalité d'origine est l'ensemble de (- ¥; -3) et (0,5; + ¥).
b) Équation -Зх 2 + 2x- 6 = 0 n’a pas de vraies racines. Parabole servant de graphique à une fonction à= - 3x2 - 2x - 6, représenté sur la fig. 17.6 Inégalité -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, pour lequel les points de la parabole se situent en dessous de l'axe Oh. Puisque toute la parabole se trouve en dessous de l'axe Oh, alors l'ensemble des solutions à l'inégalité d'origine est l'ensemble R .
INÉGALITÉS CONTENANT UNE VARIABLE SOUS LE SIGNE DU MODULE. Lors de la résolution de ces inégalités, il convient de garder à l’esprit que :
|f(x) | =
f(x), Si f(x) ³ 0,
- f(x), Si f(x) < 0,
Dans le même temps, la zone valeurs acceptables les inégalités doivent être divisées en intervalles sur chacun desquels les expressions sous le signe du module conservent leur signe. Ensuite, en développant les modules (en tenant compte des signes des expressions), vous devez résoudre l'inégalité sur chaque intervalle et combiner les solutions résultantes en un ensemble de solutions à l'inégalité d'origine.
Exemple 17.10. Résoudre l'inégalité :
|x -1| + |2-x| > 3+x.
Solution. Les points x = 1 et x = 2 divisent axe des nombres (Inégalité DZ(17.9) en trois intervalles : x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Décidons cette inégalité sur chacun d'eux. Si x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0 ; donc |x -1| = - (x - je), |2 - x | = 2 - x. Cela signifie que l'inégalité (17.9) prend la forme : 1- x + 2 - x > 3 + x, c'est-à-dire X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Si 1 £ x £.2, alors x - 1 ³ 0 et 2 – x ³ 0 ; donc | x-1| = x-1, |2-x| = 2 – x. Cela signifie que le système contient :
x – 1 + 2 – x > 3 + x,
Le système d’inégalités qui en résulte n’a pas de solutions. Par conséquent, sur l'intervalle [ 1; 2] l’ensemble des solutions aux inégalités (17.9) est vide.
Si x > 2, alors x - 1 >0 et 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x – 2 > 3+x,
x > 6 ou
En combinant les solutions trouvées sur toutes les parties de l'inégalité ODZ (17.9), nous obtenons sa solution - l'ensemble (-¥; 0) È (6; +oo).
Il est parfois utile d'utiliser interprétation géométrique module d'un nombre réel, selon lequel | un | désigne la distance du point a de la ligne de coordonnées à l'origine O, a | un-b | désigne la distance entre les points a et b sur la ligne de coordonnées. Alternativement, vous pouvez utiliser la méthode consistant à mettre au carré les deux côtés de l’inégalité.
Théorème 17.5. Si les expressions f(x) et g(x) pour tout x ne prendre que des valeurs non négatives, alors les inégalités f (x) > g (x) Et f (x) ² > g (x) ² sont équivalents.
58. Principales conclusions § 12
Dans cette section, nous avons défini les éléments suivants notions :
Expression numérique ;
Signification expression numérique;
Une expression qui n’a aucun sens ;
Expression avec variable(s) ;
Portée de la définition de l'expression ;
À l'identique expressions égales;
Identité;
Transformation d'identité expression;
Égalité numérique ;
Équation à une variable ;
Racine de l'équation ;
Que signifie résoudre une équation ?
Équations équivalentes ;
Inégalité à une variable ;
Résoudre les inégalités ;
Que signifie résoudre les inégalités ?
Inégalités équivalentes.
De plus, nous avons examiné des théorèmes sur l'équivalence des équations et des inégalités, qui constituent la base de leur solution.
Connaissance des définitions de tous les concepts et théorèmes ci-dessus sur l'équivalence des équations et des inégalités - condition nécessaireétude méthodologiquement compétente avec écoliers plus jeunes matériel algébrique.
LEÇON : « RÉSOUDRE LES INÉGALITÉS AVEC UNE SEULE VARIABLE »
Article: Algèbre
Sujet: Résoudre les inégalités avec une seule variable
Objectifs de la leçon :
Pédagogique:
organiser les activités des élèves pour percevoir, comprendre et consolider dans un premier temps des concepts tels que la résolution des inégalités à une variable, l'inégalité équivalente, la résolution de l'inégalité ; vérifier la capacité des élèves à appliquer les connaissances et les compétences acquises dans les leçons précédentes pour résoudre les problèmes de cette leçon.
Pédagogique:
développer l'intérêt pour les mathématiques grâce à l'utilisation des TIC dans la pratique ; cultiver les besoins cognitifs des étudiants; former des qualités personnelles telles que la responsabilité, la persévérance dans la réalisation des objectifs, l'indépendance.
Progression de la leçon
I. Moment organisationnel
II. Examen devoirs(Mise à jour des connaissances de base)
1. À l'aide de la ligne de coordonnées, trouvez l'intersection des intervalles : a) (1;8) et (5;10); b) (-4;4) et [-6;6]; c) (5;+∞) et [-∞;4]
Réponse : a) (1;5) ; b) (-4;4); c) il n'y a pas d'intersections
2. Notez les intervalles indiqués sur la figure :
2) 
3) 
Réponse : 1) (2 ; 6) ; b) (-1;7]; c) .
Exemple3, résoudre l'inégalité 3(x-1)<-4+3х.
Ouvrons les parenthèses du côté gauche de l'inégalité : 3x-3<-4+3х.
Déplaçons le terme 3x de signes opposés de droite vers la gauche, et le terme -3 de gauche vers la droite et donnons des termes similaires : 3x-3x<-4+3,
Comme nous pouvons le voir, cette inégalité numérique n'est vraie pour aucune valeur de x. Cela signifie que notre inégalité à une variable n’a pas de solution.
Simulateur
Résolvez l’inégalité et marquez sa solution :
f) 7x-2,4<0,4;
h) 6b-1<12-7b;
je) 16x-44>x+1 ;
k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);
l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.
Réponse : a) (-8 ; +∞) ; b) [-1,5 ; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5 ; +∞); h) (-∞; 1); je) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).
IV. Conclusions
La solution d’une inégalité dans une variable est la valeur de la variable qui la transforme en une véritable inégalité numérique. Résoudre une inégalité, c’est trouver toutes ses solutions ou prouver qu’il n’y a pas de solutions. Les inégalités qui ont les mêmes solutions sont dites équivalentes. Les inégalités qui n’ont pas de solution sont également considérées comme équivalentes. Si les deux côtés d’une inégalité sont multipliés ou divisés par le même nombre négatif, tout en changeant le signe de l’inégalité en l’opposé. Dans d'autres cas, cela reste le même.
V. Tests finaux
1) La résolution d’une inégalité dans une variable s’appelle...
a) la valeur de la variable, qui en fait une véritable inégalité ;
b) la valeur de la variable, qui la transforme en numérique correct
inégalité;
c) une variable qui en fait une véritable inégalité numérique.
2) Lequel des nombres est la solution de l'inégalité 8+5y>21+6y :
a) 2 et 5 b) -1 et 8 c) -12 et 1 d) -15 et -30?
3) Spécifiez l'ensemble des solutions à l'inégalité 4(x+1)>20 :
une) (- ∞; 4); b) (4; +∞);
V) )
