Équation différentielle sous forme symbolique
Équation différentielle sous forme classique
Équation différentielle homogène
Équation caractéristique
Polynôme caractéristique
Fonction de transfert
Racines équation caractéristique:
Solution générale d'une équation différentielle
Puisque les racines sont complexes et conjuguées par paires, la nature du processus de transition est non monotone (oscillatoire).
Les racines de l’équation caractéristique se trouvent dans le demi-plan gauche. Le système est stable.
La fonction de transfert de fréquence, ou gain complexe W(j), peut être saisie de deux manières :
1. En trouvant la réponse à un signal sinusoïdal (harmonique).
2. Utilisation de la transformée de Fourier.
Commençons par la première méthode et trouvons la réponse du système (2.2.1) à un signal harmonique, que nous présenterons sous forme exponentielle
où Xm et sont l'amplitude et la fréquence circulaire.
Depuis dans système linéaire il n'y a pas de distorsions non linéaires, alors en régime permanent, la sortie aura également un signal harmonique de la même fréquence, en cas général avec une amplitude et une phase différentes, c'est-à-dire
Pour déterminer l'amplitude et la phase, on substitue les expressions des signaux (2.4.11), (2.4.12) et leurs dérivées dans l'équation différentielle et après réduction par ejt 0 et transformations élémentaires nous obtenons l'identité
Ces relations peuvent être considérées comme une définition de la fonction de transfert de fréquence. Ils contiennent signification physique fonction de transfert de fréquence et d'eux découle une méthode pour sa détermination expérimentale en mesurant les amplitudes des signaux harmoniques à l'entrée et à la sortie et le déphasage entre eux pour la même fréquence.
Dans le cas de la deuxième méthode de détermination de la fonction de transfert de fréquence, comparer (2.4.13) et (2.2.15). De la comparaison, il résulte que la fréquence fonction de transfert est un cas particulier de la fonction de transfert de Laplace pour p = j, c'est-à-dire
Puisque la fonction de transfert de Laplace est applicable aux signaux de forme arbitraire (n'importe quelle), la fonction de transfert de fréquence est également applicable pour trouver la réponse à un signal. forme libre, et pas nécessairement harmonique. De (2.4.5) pour l’image de Fourier de la réaction nous avons
La réaction elle-même, c'est-à-dire l'originale, se trouve selon la formule d'inversion
Ainsi, à partir de la deuxième définition de la fonction de transfert de fréquence, la méthode fréquentielle (méthode de transformée de Fourier) pour trouver la réaction suit :
1. Pour un signal d'entrée donné, trouvez l'image à l'aide de Fourier
2. Trouver l'image de Fourier de la réaction en utilisant (2.4.16)
Y(j) = X(j)W(j). (2.4.20)
3. D'après la formule d'inversion ( conversion inverse Fourier) on trouve la réaction
La nature de la transformation du signal d'entrée par une liaison ou un système est déterminée par la fonction de transfert de fréquence ou les caractéristiques de fréquence correspondantes. Les types de caractéristiques de fréquence sont étroitement liés aux formes d'enregistrement nombres complexes, puisque pour la fonction de transfert de fréquence est un nombre complexe.
Principales caractéristiques de fréquence (Fig. 2.4.3-2.4.6).
1. Caractéristique amplitude-phase (APC) - dépendance de W(j) sur plan complexe lors du passage de - à + (Fig. 2.4.3). Puisque Wх() = Wх(-) - même fonction, et Wу() = Wу(-) - fonction impaire, puis AFC pour< 0 симметрична относительно вещественной оси характеристике для >0 et n’est généralement pas représenté.
2. Caractéristiques de fréquence réelle Wх() et imaginaire Wу() (Fig. 2.4.4) - dépendances des parties réelles et imaginaires à la fréquence. Compte tenu de la parité de la caractéristique réelle et de la bizarrerie de la caractéristique imaginaire, pour eux< 0 обычно не изображают. Четность Wх() и нечетность Wу() вытекают из правила (2.4.22) их выделения из W(j), так как в знаменателе четная функция, а в числителе j в четной степени - действительное число (отходит к Wх()), а в нечетной -мнимое (отходит к Wy()).
3. Caractéristiques de fréquence d'amplitude (AFC) et de phase (PFC) - dépendances de A() et () sur la fréquence (Fig. 2.4.5). En raison de la régularité de A() et de l'impair de (), ils sont pour< 0 обычно не изображают. Амплитудная частотная характеристика определяет инерционность (пропускную способность) звена или системы. Фазовая частотная характеристика определяет величину фазового сдвига на соответствующей круговой частоте.
4. Réponse en fréquence inverse W-1(j) = 1/ W(j). En déterminant l'amplitude et l'argument (phase) de la fraction selon la règle (2.4.6), nous trouvons
Du lien entre les formes d'écriture des nombres complexes, il résulte qu'à partir de l'AFC il est possible de construire Wх(), Wу() ou А(), (), ainsi que W-1(j) et vice versa. La figure 2.4.6 montre la caractéristique inverse de la caractéristique de la figure 2.4.3. La figure montre un cercle de rayon unité. Conformément à la règle (2.4.22), les points correspondant à A() > 1 se trouvent à l’intérieur d’un cercle de rayon unité. Le point A() = 1 reste sur le cercle, mais la phase change à l'opposé (par 180).
Toutefois, sont considérés les liens pour lesquels la condition de faisabilité physique n'est pas remplie. Ceci est valable dans une certaine plage de fréquences. Si le spectre du signal à l'entrée du lien tombe en dehors de cette plage, des distorsions dans la réponse se produiront, qui ne sont pas prévues par la fonction de transfert du lien.
5. Caractéristiques de fréquence logarithmique.
Les caractéristiques logarithmiques sont les plus utilisées. Pour les expliquer, présentons la fonction de transfert de fréquence sous forme exponentielle et prenons logarithme népérien depuis:
C'est égal expression complexe; sa partie réelle est le logarithme du module, et sa partie imaginaire est la phase.
En pratique, on prend logarithme décimal, de sorte que les caractéristiques logarithmiques d'amplitude (LAH) et de phase (LPH) sont déterminées par les expressions :
L'axe des abscisses dans les graphiques montre la fréquence en échelle logarithmique, c'est-à-dire lg. Cependant, il est conseillé de numériser directement en valeurs de fréquence circulaires, et pour le marquage vous pouvez utiliser le tableau 2.4.1. Valeurs
Tableau 2.4.1
L'amplitude est mesurée en décibels, la phase en degrés. Pour marquer l'axe des x directement en valeurs (rad/s), vous pouvez utiliser l'une des trois échelles (de base, quadratique et cubique) règle à calcul(Fig.2.4.7).
Si nous prenons D mm comme décade, alors, par exemple, 0,301 déca (correspondant à = 2 rad/s) sera 0,301D mm, 1,301 déca (correspondant à 20 rad/s) sera D+0,301D mm, etc. . Ainsi, les points dont la numérisation est comprise entre 1 et 10 sont décalés vers la droite d'une décennie et numérisés de 10 à 100, etc. (Fig. 2.4.7), décalez-vous d'une décennie vers la gauche par rapport à la position d'origine et numérisez de 0,1 à 1, etc.
Si 2 /1 = 10, alors la distance entre les fréquences est égale à une décade (log10 = 1), si 2 /1 = 2, alors la distance est égale à une octave.
Puisque log(= 0) = -, alors le point = 0 est à l'infini vers la gauche. Par conséquent, l’axe des ordonnées est tracé n’importe où de sorte que la plage de fréquences d’intérêt tombe sur le graphique. Puisque 20lg1 = 0, alors L() > 0 si A()>1 et L()< 0, если А() < 1. Если А() 0, то L() -.
Considérons le LAC de la liaison inertielle. Nous avons
A() = ; . (2.4.24)
A gauche de la fréquence de couplage 0, soit dans le cas de 0, on néglige le signe du radical de grandeur 2 par rapport à 02. Alors
L() 20lg(k). (2.4.25)
Par conséquent, à gauche de 0, le LAX asymptotique est une droite horizontale d’une hauteur de 20 lg(k). Si k = 1, alors cette droite coïncide avec l'axe des fréquences.
A droite de la fréquence conjuguée 0, où 0, on obtient de la même manière une droite avec une pente de -20 dB/dec, puisque log est tracé le long de l'axe des abscisses.
L() 20lg(k) - 20lg, (2.4.26)
Au point 0, nous avons une erreur en remplaçant la caractéristique exacte (réelle) par une caractéristique asymptotique, égale à
Lacc(0)=Lacc(0)+L(0),
Que caractéristique réelle au point 0 est situé en dessous du point asymptotique de 3 dB. En pratique, une erreur de 3 dB est considérée comme faible et n'est pas prise en compte.
Caractéristiques logarithmiques des liens
Tableau 2.4.6
Du tableau 2.4.6, il résulte :
1. La pente et, par conséquent, le déphasage aux basses fréquences ne peuvent être assurés que par des liaisons intégratrices ou différenciées. Si, par exemple, il y a r liaisons intégrant dans la fonction de transfert, alors la pente du LAC aux basses fréquences est égale et le déphasage est en conséquence égal.
2. n racines du dénominateur (pôles de la fonction de transfert), c'est-à-dire degré du dénominateur n, correspond à la pente du LAC aux hautes fréquences, égale à, et dans le cas d'un système de phase minimum - en conséquence, un déphasage de hautes fréquences ah, c'est égal.
3. Les racines du numérateur (zéros de la fonction de transfert) aux hautes fréquences correspondent de la même manière à la pente du LAC, égale à, et au déphasage.
4. Dans le cas d'une fonction de transfert
système à phase minimale avec n pôles et n1 zéros, la pente du LAC aux hautes fréquences est égale et le déphasage est égal à degrés.
Construction de caractéristiques logarithmiques des systèmes
et restauration de la fonction de transfert selon LAX
Si les liens du système sont connectés en série, alors
et pour le module et l'argument du gain complexe du système en boucle ouverte, respectivement, nous avons :
Évidemment,
Par conséquent, pour construire le LAC et le LFC, il est nécessaire de résumer les caractéristiques correspondantes des liens individuels.
Exemple 2.4.3. Construire LAC et LFC à l'aide de la fonction de transfert
Où; Avec; Avec. En conséquence, les fréquences de couplage sont égales ; ;.
Représentons la fonction de transfert comme un produit des fonctions de transfert du lien intégrateur
liaisons inertielles
et forcer
Amplitude logarithmique et caractéristiques des phases les liens individuels, ainsi que les systèmes LAC et LFC résultants, sont représentés sur les figures 2.4.13 et 2.4.14.
Sur la figure 2.4.13, les lignes épaisses montrent le LAC asymptotique des liens. Les caractéristiques des deux liaisons inertielles avec les fonctions de transfert et sur les graphes se confondent, mais elles doivent être prises en compte deux fois. Cela s'applique également à la gestion physique de ces unités. Pour construire le LAC résultant, les caractéristiques des liens restants ont été ajoutées séquentiellement au LAC du lien d'intégration lors du déplacement le long de l'axe des fréquences de gauche à droite au fur et à mesure que les fréquences conjuguées se rencontraient. Après la fréquence de couplage suivante, la pente du LAC a changé. L'incrément de pente correspondait au lien auquel appartenait la fréquence d'accouplement.
En analysant les résultats de l'exemple et les caractéristiques des liens typiques (tableau 2.4.6), nous pouvons conclure que le LAC d'un système en boucle ouverte peut être construit immédiatement, en contournant la construction intermédiaire du LAC des liens et leur sommation, selon à la règle :
1. Trouvez les fréquences conjuguées et tracez-les sur l’axe des fréquences. Pour plus de commodité, tracez l’axe des y à gauche de la fréquence conjuguée la plus basse.
2. A u = 1, mettre de côté 20 logk et tracer par ce point une droite de pente de -20 dB/dec, si le système dispose de liaisons intégratrices, ou de pente de +20 dB/dec, si le système a des liens différenciateurs (à = 0 basse fréquence, l'asymptote LAX est parallèle à l'axe des x).
3. En passant de gauche à droite de chacune des fréquences de couplage, la caractéristique subit un incrément de pente de -20 dB/dec (pour la liaison inertielle), -40 dB/dec (pour la liaison oscillante), +20 dB/ dec (pour le lien de forçage), +40 dB /dec (pour le lien opposé à celui oscillatoire). Si les fréquences de couplage de plusieurs liaisons sont les mêmes, alors l'incrément de la pente du LAC est égal à l'incrément total de toutes les liaisons. S'il existe au moins une fréquence de conjugaison inférieure à l'unité, alors le point 20lgk à u = 1 ne se situera pas sur le LAC résultant.
4. Introduire une correction du LAC asymptotique en présence de liens oscillatoires ou inverses.
Pour contrôler l'exactitude de la construction du LAC et du LFC, il est utile de rappeler que la pente du LAC dans la région des hautes fréquences (n > ?) est égale à 20 (m-n) dB/dec, où m est l'ordre du numérateur, n est l'ordre du dénominateur de la fonction de transfert du système. En plus
où le signe moins est pris en présence de liens intégrateurs, et le signe plus est pris en présence de liens différenciateurs. De l'analyse de la méthodologie de construction du LAC à partir de la fonction de transfert, découle la possibilité d'une transition inverse, c'est-à-dire la restauration de la fonction de transfert du système à phase minimale à partir du LAC.
Lors de la restauration de la fonction de transfert du système à phase minimale selon le LAC, on note une fraction, au numérateur de laquelle on met coefficient global renforcement puis on fait le remplissage de la fraction. A partir de la pente de la section basse fréquence, on détermine le nombre de liens intégrateurs ou différenciateurs (formellement, une pente négative correspond à des liens intégrateurs et, par conséquent, un multiplicateur au dénominateur, une pente positive correspond à un multiplicateur au numérateur , et le facteur de pente est de 20 décibels). Dans le cas d’une pente nulle, il n’y a pas de liens intégrateurs ou différenciateurs. Ensuite, en nous déplaçant de gauche à droite au fur et à mesure que les fréquences de conjugaison se rencontrent, nous analysons l'incrément (changement) de la pente. Si l'incrément est de +20 dB/déc, alors on écrit au numérateur de la liaison de forçage du type, si l'incrément est de -20 dB/déc, alors on écrit au dénominateur la liaison inertielle du type. Dans le cas d'un incrément de pente de +40 dB/dec, on écrit deux liaisons de forçage au numérateur ; dans le cas d'un incrément de pente de -20 dB/dec, on écrit deux liaisons inertielles de la forme au dénominateur. Si le LAX montre une correction du coefficient d'amortissement, alors au lieu de deux liaisons de forçage ou d'inertie on écrit l'inverse de la liaison oscillatoire ou oscillatoire (un multiplicateur au numérateur ou au dénominateur). Si le rapport d'inclinaison est de 3 ou plus, alors nous notons le nombre correspondant de liens avec les mêmes fréquences de conjugaison. Pour déterminer le gain, on retrouve le point d'intersection du prolongement de la section basse fréquence du LAC avec la droite verticale en abscisse et on le détermine à l'aide de l'ordonnée de ce point.
Dans le cas d'un système de phase minimum dans les binômes et trinômes évoqués ci-dessus, on prend les signes « + ». S'il y avait des liaisons de phase non minimale, alors il faudrait prendre le signe « - ». Dans ce cas, le LAH resterait le même et le LPH serait différent. Par conséquent, dans le cas d’un système à phase minimale, la récupération est sans ambiguïté et il n’est pas nécessaire de contrôler l’AFC.
Exemple 2.4.4. Restaurer la fonction de transfert du système à phase minimale selon le LAC Fig. 2.4.15.
Figure 2.4.15.
Conformément aux considérations ci-dessus, la fonction de transfert du système à phase minimale sera égale à
À l'aide du circuit RLC de la tâche 1, notez la fonction de transfert de fréquence et expressions analytiques caractéristiques de fréquence.
5. Construisez la caractéristique amplitude-phase (APC).
6. Construire les caractéristiques d’amplitude et de fréquence de phase.
7. Construire des caractéristiques de fréquence réelles et imaginaires.
8. Construire des caractéristiques logarithmiques (LAX et LFC). Déterminer à quel type de liens correctifs appartient ce lien (intégrateur, différenciant, intégro-différenciant). A quelles fréquences correspond ce filtre ?
9. À l’aide de l’AFC, construisez la réponse en fréquence inverse.
Fonction de transfert de fréquence sous forme paramétrique
Réponse en fréquence en amplitude
Réponse en fréquence de phase
Réponse en fréquence réelle
Le mode libre du circuit ne dépend pas des sources d'énergie, il est déterminé uniquement par la structure du circuit et les paramètres de ses éléments. Il s'ensuit que les racines de l'équation caractéristique p1, p2,…, pn seront les mêmes pour tous fonctions variables(courants et tensions).
Équation caractéristique peut être fait diverses méthodes. La première méthode est classique, lorsque l'équation caractéristique est élaborée en stricte conformité avec l'équation différentielle schéma classique. Lors du calcul de processus transitoires dans un circuit complexe, un système de « m » équations différentielles est compilé selon les lois de Kirchhoff pour le schéma de circuit après commutation. Puisque les racines de l’équation caractéristique sont communes à toutes les variables, la solution du système équations différentielles effectuée par rapport à n’importe quelle variable (facultatif). À la suite de la solution, une équation différentielle inhomogène à une variable est obtenue. Composez une équation caractéristique conformément à l'équation différentielle résultante et déterminez ses racines.
Exemple. Établissez une équation caractéristique et déterminez ses racines pour les variables du diagramme de la Fig. 59.1. Les paramètres des éléments sont spécifiés sous une forme générale.
Système d'équations différentielles selon les lois de Kirchhoff :
Résolvons le système d'équations pour la variable i 3, nous obtenons ainsi une équation différentielle non homogène :
La deuxième façon de compiler une équation caractéristique consiste à égaliser à zéro le déterminant principal du système d'équations de Kirchhoff pour les variables des composantes libres.
Soit la composante libre d'un courant arbitraire de la forme i ksw = A k e pt , alors :
Le système d'équations des composantes libres est obtenu à partir du système d'équations différentielles de Kirchhoff en remplaçant les dérivées des variables par le facteur p, et les intégrales par 1/p. Pour l'exemple considéré, le système d'équations des composantes libres a la forme :
Équation caractéristique et sa racine :
La troisième façon de compiler une équation caractéristique (ingénierie) consiste à assimiler la résistance de l'opérateur d'entrée du circuit à zéro par rapport à l'une de ses branches.
L'opérateur résistance d'un élément s'obtient à partir de sa résistance complexe en remplaçant simplement le facteur jω par p, donc
Pour l'exemple en question :
La troisième méthode est la plus simple et la plus économique, elle est donc le plus souvent utilisée lors du calcul des processus transitoires dans les circuits électriques.
Les racines de l'équation caractéristique caractérisent le processus transitoire libre dans un circuit sans sources d'énergie. Ce processus se produit avec des pertes d’énergie et se dégrade donc avec le temps. Il s'ensuit que les racines de l'équation caractéristique doivent être négatives ou avoir une partie réelle négative.
Dans le cas général, l'ordre de l'équation différentielle qui décrit le processus transitoire dans le circuit et, par conséquent, le degré de l'équation caractéristique et le nombre de ses racines sont égaux au nombre de conditions initiales indépendantes, ou au nombre de dispositifs de stockage d'énergie indépendants (bobines L et condensateurs C). Si le schéma de circuit contient des condensateurs C1, C2,... connectés en parallèle ou des bobines L1, L2,... connectées en série, alors lors du calcul des processus transitoires, ils doivent être remplacés par un élément équivalent C E = C1 + C2+... ou L E = L1 + L2+…
Ainsi, vue générale les solutions pour n'importe quelle variable lors du calcul d'un processus transitoire ne peuvent être compilées qu'à partir d'une analyse du schéma de circuit, sans compiler et résoudre un système d'équations différentielles.
Pour l’exemple discuté ci-dessus.
Représentation matricielle d'un système d'équations différentielles ordinaires (SODE) avec coefficients constants
SODE linéaire homogène à coefficients constants $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_ (n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right $,
où $y_(1)\left(x\right),\; y_(2)\gauche(x\droite),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- les fonctions requises de la variable indépendante $x$, coefficients $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- nous représentons les nombres réels donnés en notation matricielle :
- matrice des fonctions requises $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
- matrice de solutions dérivées $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
- Matrice de coefficients SODE $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.
Désormais, basé sur la règle de multiplication matricielle, ce SODE peut s'écrire sous la forme d'une équation matricielle $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.
Méthode générale de résolution de SODE à coefficients constants
Soit une matrice de quelques nombres $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(array)\right)$.
La solution du SODE se trouve sous la forme suivante : $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. DANS forme matricielle: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right )=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _(n) ) \end(array)\right)$.
De là, nous obtenons :
Maintenant équation matricielle Ce SODA peut être donné sous la forme :
L’équation résultante peut être représentée comme suit :
La dernière égalité montre que le vecteur $\alpha $ utilisant la matrice $A$ est transformé en un vecteur parallèle $k\cdot \alpha $. Cela signifie que le vecteur $\alpha $ est vecteur propre matrice $A$, correspondant valeur propre$k$.
Le nombre $k$ peut être déterminé à partir de l'équation $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.
Cette équation est appelée caractéristique.
Que toutes les racines $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ de l'équation caractéristique soient différentes. Pour chaque valeur $k_(i) $ du système $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ une matrice de valeurs peut être défini $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.
L'une des valeurs de cette matrice est choisie aléatoirement.
Finalement, la solution de ce système sous forme matricielle s’écrit comme suit :
$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ gauche(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,
où $C_(i) $ sont des constantes arbitraires.
Tâche
Résoudre le système DE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right $.
Nous écrivons la matrice système : $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.
Sous forme matricielle, ce SODE s'écrit comme suit : $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.
On obtient l'équation caractéristique :
$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, c'est-à-dire $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.
Les racines de l'équation caractéristique sont : $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.
Créons un système de calcul de $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ right)) ) \end(array)\right)$ pour $k_(1) =1$ :
\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ gauche(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (tableau)\right)=0,\]
c'est-à-dire $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) ) =0$.
En mettant $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, on obtient $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.
Créons un système de calcul de $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ right)) ) \end(array)\right)$ pour $k_(2) =9$ :
\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ gauche(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (tableau)\droite)=0, \]
c'est-à-dire $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) ) =0$.
En mettant $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, on obtient $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.
On obtient la solution de SODE sous forme matricielle :
\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]
Sous la forme habituelle, la solution du SODE a la forme : $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \end(array )\right.$.
