Dans ce paragraphe, nous nous concentrerons sur un sujet spécial, mais classe importante formes quadratiques positives.

Définition 3. Une forme quadratique réelle est dite non négative (non positive) si, pour toutes valeurs réelles des variables

. (35)

Dans ce cas, la matrice symétrique de coefficients est appelée semi-définie positive (semi-définie négative).

Définition 4. Une forme quadratique réelle est dite définie positive (définie négative) si, pour toute valeur réelle des variables qui ne sont pas simultanément nulles,

. (36)

Dans ce cas, la matrice est aussi appelée définie positive (définie négative).

La classe des formes définies positives (définies négatives) fait partie de la classe des formes non négatives (resp. non positives).

Soit une forme non négative. Imaginons-le comme une somme de carrés indépendants :

. (37)

Dans cette représentation, tous les carrés doivent être positifs :

. (38)

En effet, s'il y en avait, alors il serait possible de sélectionner des valeurs telles que

Mais alors, avec ces valeurs des variables, le formulaire aurait une valeur négative, ce qui est impossible par condition. Évidemment, à l'inverse, de (37) et (38) il résulte que la forme est positive.

Ainsi, une forme quadratique positive est caractérisée par les égalités.

Que ce soit positif maintenant forme définitive. C’est alors une forme non négative. Par conséquent, il peut être représenté sous la forme (37), où tous sont positifs. De la définition positive de la forme, il résulte que . En effet, dans ce cas, il est possible de sélectionner des valeurs qui ne sont pas simultanément égales à zéro, auxquelles toutes deviendraient zéro. Mais alors, en vertu de (37), pour , ce qui contredit la condition (36).

Il est facile de voir qu’à l’inverse, si dans (37) et sont tous positifs, alors c’est une forme définie positive.

En d’autres termes, une forme non négative est définie positive si et seulement si elle n’est pas singulière.

Le théorème suivant donne un critère de définition positive d'une forme sous forme d'inégalités que les coefficients de forme doivent satisfaire. Dans ce cas, on utilise la notation déjà rencontrée dans les paragraphes précédents pour les mineurs principaux successifs de la matrice :

.

Théorème 3. Pour qu'une forme quadratique soit définie positive, il faut et suffisant que les inégalités soient satisfaites

Preuve. La suffisance des conditions (39) découle directement de la formule de Jacobi (28). La nécessité des conditions (39) est établie comme suit. De la définition positive de la forme découle la définition positive des formes « tronquées »

.

Mais alors toutes ces formes doivent être non singulières, c'est-à-dire

Nous avons maintenant la possibilité d'utiliser la formule de Jacobi (28) (en ). Puisque du côté droit de cette formule tous les carrés doivent être positifs, alors

Cela implique des inégalités (39). Le théorème a été prouvé.

Puisque tout mineur principal d’une matrice, avec une renumérotation appropriée des variables, peut être placé dans le coin supérieur gauche, alors nous avons

Conséquence. Sous forme quadratique définie positive, tous les mineurs majeurs de la matrice des coefficients sont positifs :

Commentaire. De la non-négativité des principaux mineurs successifs

la non-négativité de la forme ne suit pas. En effet, la forme

,

où , satisfait aux conditions , mais n'est pas non négatif.

Cependant, ce qui suit est valable

Théorème 4. Pour qu'une forme quadratique soit non négative, il faut et suffisant que tous les mineurs majeurs de sa matrice de coefficients soient non négatifs :

Preuve. Présentons forme auxiliaireétait non positif, il est nécessaire et suffisant que des inégalités surviennent

Un polynôme homogène de degré 2 à plusieurs variables est appelé forme quadratique.

La forme quadratique des variables se compose de termes de deux types : les carrés de variables et leurs produits par paires avec certains coefficients. La forme quadratique s’écrit généralement sous la forme du diagramme carré suivant :

Des couples membres similaires s'écrivent avec des coefficients identiques, de sorte que chacun d'eux constitue la moitié du coefficient avec le produit correspondant des variables. Ainsi, chaque forme quadratique est naturellement associée à sa matrice de coefficients, qui est symétrique.

Il est pratique de représenter la forme quadratique de la manière suivante : notation matricielle. Notons X une colonne de variables passant par X - une ligne, c'est-à-dire une matrice transposée par X. Alors

Formes quadratiques trouvé dans de nombreuses branches des mathématiques et de leurs applications.

En théorie des nombres et en cristallographie, les formes quadratiques sont considérées en supposant que les variables ne prennent que des valeurs entières. DANS géométrie analytique la forme quadratique fait partie de l'équation de la courbe d'ordre (ou surface). En mécanique et en physique, la forme quadratique semble exprimer énergie cinétique systèmes à travers les composantes des vitesses généralisées, etc. Mais, en plus, l'étude des formes quadratiques est également nécessaire en analyse lors de l'étude des fonctions de nombreuses variables, dans des questions pour la solution desquelles il est important de savoir comment cette fonction au voisinage d'un point donné s'écarte de celui qui s'en approche fonction linéaire. Un exemple de problème de ce type est l’étude d’une fonction pour son maximum et son minimum.

Considérons, par exemple, le problème de l'étude du maximum et du minimum pour une fonction de deux variables qui a des dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre. Une condition nécessaire Pour qu'un point donne un maximum ou un minimum d'une fonction, les dérivées partielles de l'ordre en ce point sont égales à zéro. Supposons que cette condition soit remplie. Donnons aux variables x et y de petits incréments et k et considérons l'incrément correspondant de la fonction D'après la formule de Taylor, cet incrément, jusqu'aux petits ordres supérieurs, est égal à la forme quadratique où sont les valeurs des dérivées secondes. calculé au point Si cette forme quadratique est positive pour toutes les valeurs de et k (sauf ), alors la fonction a un minimum au point si elle est négative, alors elle a un maximum ; Enfin, si la forme est à la fois positive et valeurs négatives, alors il n’y aura ni maximum ni minimum. Fonctions de plus variables.

L'étude des formes quadratiques consiste principalement à étudier le problème de l'équivalence des formes par rapport à l'un ou l'autre ensemble de transformations linéaires de variables. Deux formes quadratiques sont dites équivalentes si l’une d’elles peut être convertie en l’autre par l’une des transformations d’un ensemble donné. Étroitement lié au problème de l'équivalence est le problème de la réduction de la forme, c'est-à-dire le transformer en une forme peut-être la plus simple.

DANS divers problèmes associés aux formes quadratiques, divers ensembles de transformations admissibles de variables sont également considérés.

Dans les questions d'analyse, toutes les transformations non spéciales de variables sont utilisées ; aux fins de la géométrie analytique, le plus grand intérêt est transformations orthogonales, c'est-à-dire ceux qui correspondent à un passage d'un système de variables Coordonnées cartésiennesà un autre. Enfin, en théorie des nombres et en cristallographie, on considère les transformations linéaires à coefficients entiers et avec un déterminant égal à l'unité.

Nous considérerons deux de ces problèmes : la question de la réduction d'une forme quadratique à sa forme la plus simple par d'éventuelles transformations non singulières et la même question pour les transformations orthogonales. Tout d'abord, découvrons comment une matrice de forme quadratique se transforme lors d'une transformation linéaire de variables.

Soit , où A est une matrice symétrique de coefficients de forme, X est une colonne de variables.

Faisons-le transformation linéaire variables, en l'écrivant en abrégé . Ici C désigne la matrice des coefficients de cette transformation, X est une colonne de nouvelles variables. Alors et donc, la matrice de la forme quadratique transformée est

La matrice s'avère automatiquement symétrique, ce qui est facile à vérifier. Ainsi, le problème de réduire une forme quadratique à la forme la plus simple équivaut au problème de réduire une matrice symétrique à la forme la plus simple en la multipliant à gauche et à droite par des matrices mutuellement transposées.

Règles de saisie des fonctions:

Une fonction f(x) deux fois continuellement différentiable est convexe (concave) si et seulement si Matrice de Hesse la fonction f(x) par rapport à x est semi-définie positive (négative) pour tout x (voir points d'extrema locaux d'une fonction de plusieurs variables).

Points critiques du fonctionnement :

• si le Hessien est défini positif, alors x 0 est un point minimum local fonctions f(x) ,
• si le Hessien est défini négatif, alors x 0 est le point maximum local de la fonction f(x),
• si le Hessian n'est pas défini par un signe (prend à la fois des valeurs positives et négatives) et est non dégénéré (det G(f) ≠ 0), alors x 0 est le point selle de la fonction f(x).

Critères de définition d'une matrice (théorème de Sylvester)

• tous les éléments diagonaux de la matrice doivent être positifs ;
• tous les principaux qualificatifs doivent être positifs.

Semi-définition positive :

• tous les éléments diagonaux sont non négatifs ;
• tous les principaux déterminants sont non négatifs.

Matrice carrée symétrique d'ordre n, dont les éléments sont des dérivées partielles fonction objectif deuxième ordre appelée matrice de Hesse et est désigné :

Pour qu'une matrice symétrique soit définie positive, il faut et il suffit que tous ses mineurs diagonaux soient positifs, c'est-à-dire


pour la matrice A = (a ij) sont positifs.

Certitude négative.
Pour qu'une matrice symétrique soit définie négative, il faut et suffisant que les inégalités suivantes aient lieu :
(-1) kDk > 0, k=1,..,n.
En d’autres termes, pour que la forme quadratique soit négatif défini, il faut et il suffit que les signes des mineurs angulaires d'une matrice de forme quadratique alternent, en commençant par le signe moins. Par exemple, pour deux variables, D 1< 0, D 2 > 0.

Si le Hessien est semi-défini, cela peut aussi être un point d'inflexion. Nécessaire recherche supplémentaire, qui peut être réalisé selon l’une des options suivantes :

1. Ordre décroissant. Un changement de variables est effectué. Par exemple, pour une fonction de deux variables, c'est y=x, nous obtenons ainsi une fonction d'une variable x. Ensuite, nous examinons le comportement de la fonction sur les lignes y=x et y=-x. Si dans le premier cas la fonction au point étudié aura un minimum, et dans l'autre cas un maximum (ou vice versa), alors le point étudié est un point selle.
2. Trouver les valeurs propres du Hessien. Si toutes les valeurs sont positives, la fonction au point étudié a un minimum, si toutes les valeurs sont négatives, il y a un maximum.
3. Etude de la fonction f(x) au voisinage du point ε. Les variables x sont remplacées par x 0 +ε. Ensuite, il faut prouver que la fonction f(x 0 +ε) d'une variable ε, ou Au dessus de zéro(alors x 0 est le point minimum), ou moins que zéro(alors x 0 est le point maximum).

Note. Trouver toile de jute inversée il suffit de trouver la matrice inverse.

Exemple n°1. Lequel de fonctions suivantes sont convexes ou concaves : f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2.
Solution. 1. Trouvons les dérivées partielles.


2. Résolvons le système d'équations.
-4x1 +4x2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
On a:
a) À partir de la première équation, nous exprimons x 1 et le substituons dans la deuxième équation :
x2 = x2 + 1/2
-2x2 +8 = 0
Où x 2 = 4
Nous substituons ces valeurs x 2 dans l'expression pour x 1. On obtient : x 1 = 9 / 2
Le nombre de points critiques est de 1.
M1 (9 / 2 ;4)
3. Trouvons les dérivées partielles du second ordre.



4. Calculons la valeur de ces dérivées partielles du second ordre dans points critiques M(x 0 ;oui 0).
On calcule les valeurs pour le point M 1 (9 / 2 ;4)



Nous construisons la matrice hessienne :

D 1 = un 11< 0, D 2 = 8 > 0
Puisque les mineurs en diagonale ont divers signes, alors rien ne peut être dit sur la convexité ou la concavité de la fonction.

Formes quadratiques définies positives

Définition. Forme quadratique de n les inconnues sont appelées définie positive, si son rang est égal à l'indice d'inertie positif et égal au nombre inconnu.

Théorème. Une forme quadratique est définie positive si et seulement si, sur tout ensemble non nul de valeurs variables, elle prend valeurs positives.

Preuve. Soit la forme quadratique une transformation linéaire non dégénérée des inconnues

ramené à la normale

.

Pour tout ensemble non nul de valeurs de variables, au moins un des nombres différent de zéro, c'est-à-dire . La nécessité du théorème est prouvée.

Supposons que la forme quadratique prenne des valeurs positives sur tout ensemble de variables non nul, mais que son indice d'inertie soit positif par une transformation linéaire non dégénérée des inconnues

Ramenons-le à sa forme normale. Sans perte de généralité, on peut supposer que dans cette forme normale le carré de la dernière variable est soit absent, soit inclus avec un signe moins, c'est-à-dire , où ou . Supposons qu'il s'agisse d'un ensemble non nul de valeurs variables obtenues à la suite de la résolution du système équations linéaires

Dans ce système, le nombre d’équations est égal au nombre de variables et le déterminant du système est non nul. D’après le théorème de Cramer, le système a seule décision, et il est non nul. Pour cet ensemble. Contradiction avec la condition. Nous arrivons à une contradiction avec l'hypothèse qui prouve la suffisance du théorème.

En utilisant ce critère, il est impossible de déterminer à partir des coefficients si la forme quadratique est définie positive. La réponse à cette question est donnée par un autre théorème, pour la formulation duquel nous introduisons un autre concept. Principaux mineurs diagonaux d'une matrice sont des mineurs situés à sa gauche coin supérieur:

, , , … , .

Théorème.Une forme quadratique est définie positive si et seulement si tous ses principaux mineurs diagonaux sont positifs.

Preuve nous effectuerons la méthode de complétion Induction mathematique par numéro n variables quadratiques F.

Hypothèse d'induction. Supposons que pour les formes quadratiques avec moins de variables n la déclaration est vraie.

Considérons la forme quadratique de n variables. Mettons tous les termes contenant . Les termes restants forment une forme quadratique des variables. Selon l’hypothèse d’induction, cette affirmation est vraie pour elle.

Supposons que la forme quadratique soit définie positive. Alors la forme quadratique est définie positive. Si nous supposons que ce n’est pas le cas, alors il existe un ensemble de valeurs variables non nulles. , Pour qui et en conséquence, , et cela contredit le fait que la forme quadratique est définie positive. Par l'hypothèse d'induction, tous les principaux mineurs diagonaux d'une forme quadratique sont positifs, c'est-à-dire tous les premiers mineurs principaux de forme quadratique F sont positifs. Dernier mineur principal de forme quadratique – c'est le déterminant de sa matrice. Ce déterminant est positif puisque son signe coïncide avec le signe de sa matrice aspect normal, c'est à dire. avec le signe du déterminant de la matrice identité.

Soit tous les mineurs diagonaux principaux de la forme quadratique positifs. Alors tous les mineurs diagonaux principaux de la forme quadratique sont positifs d'après l'égalité. . Par l'hypothèse d'induction, la forme quadratique est définie positive, il y a donc une transformation linéaire non dégénérée des variables qui réduit la forme à la forme de la somme des carrés des nouvelles variables. Cette transformation linéaire peut être étendue à une transformation linéaire non dégénérée de toutes les variables en définissant . Cette transformation réduit la forme quadratique à la forme

Formes quadratiques

Forme quadratique f(x 1, x 2,...,x n) de n variables est une somme dont chaque terme est soit le carré d'une des variables, soit le produit de deux variables différentes, prises avec un certain coefficient : f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

La matrice A composée de ces coefficients est appelée matrice de forme quadratique. C'est toujours symétrique matrice (c'est-à-dire une matrice symétrique par rapport à la diagonale principale, a ij = a ji).

En notation matricielle, la forme quadratique est f(X) = X T AX, où

En effet

Par exemple, écrivons forme matricielle forme quadratique.

Pour ce faire, on trouve une matrice de forme quadratique. Ses éléments diagonaux sont égaux aux coefficients des variables au carré, et les éléments restants sont égaux aux moitiés des coefficients correspondants de la forme quadratique. C'est pourquoi

Soit la matrice-colonne de variables X être obtenue par une transformation linéaire non dégénérée de la matrice-colonne Y, c'est-à-dire X = CY, où C est une matrice non singulière d'ordre n. Alors la forme quadratique
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Ainsi, avec une transformation linéaire non dégénérée C, la matrice de forme quadratique prend la forme : A* = C T AC.

Par exemple, trouvons la forme quadratique f(y 1, y 2), obtenue à partir de la forme quadratique f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 par transformation linéaire.

La forme quadratique s'appelle canonique(Il a vue canonique), si tous ses coefficients a ij = 0 pour i ≠ j, c'est-à-dire
f(x 1, x 2,...,x n) = une 11 x 1 2 + une 22 x 2 2 + … + une nn x n 2 = .

Sa matrice est diagonale.

Théorème(preuve non donnée ici). Toute forme quadratique peut être réduite à Forme canonique en utilisant une transformation linéaire non dégénérée.

Par exemple, réduisons la forme quadratique à la forme canonique
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Pour ce faire, nous sélectionnons d'abord un carré parfait avec variable x 1 :

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Maintenant, nous sélectionnons un carré complet avec la variable x 2 :

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Alors la transformation linéaire non dégénérée y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 et y 3 = x 3 amène cette forme quadratique à la forme canonique f(y 1, y 2 , y 3) = 2a 1 2 - 5a 2 2 - (1/20)a 3 2 .

A noter que la forme canonique d'une forme quadratique est déterminée de manière ambiguë (la même forme quadratique peut être réduite à la forme canonique différentes façons). Cependant, le reçu différentes façons les formes canoniques ont un certain nombre de les propriétés générales. En particulier, le nombre de termes à coefficients positifs (négatifs) d'une forme quadratique ne dépend pas de la méthode de réduction de la forme à cette forme (par exemple, dans l'exemple considéré il y aura toujours deux coefficients négatifs et un positif). Cette propriété est appelée loi d'inertie des formes quadratiques.

Vérifions cela en ramenant la même forme quadratique à la forme canonique d'une manière différente. Commençons la transformation avec la variable x 2 :
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, où y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 et oui 3 = X 1 . Ici, il y a un coefficient positif de 2 à y 3 et deux coefficients négatifs (-3) à y 1 et y 2 (et en utilisant une autre méthode, nous avons obtenu un coefficient positif de 2 à y 1 et deux coefficients négatifs - (-5) à y 2 et (-1 /20) à y 3).

Il convient également de noter que le rang d'une matrice de forme quadratique, appelée rang de la forme quadratique, est égal au nombre de coefficients non nuls Forme canonique et ne change pas sous les transformations linéaires.

La forme quadratique f(X) est appelée positivement (négatif) certain, si pour toutes les valeurs des variables qui ne sont pas simultanément égales à zéro, il est positif, c'est-à-dire f(X) > 0 (négatif, c'est-à-dire
f(X)< 0).

Par exemple, la forme quadratique f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 est définie positive, car est une somme de carrés, et la forme quadratique f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 est définie négative, car représente qu'il peut être représenté par f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Dans la plupart des situations pratiques, il est un peu plus difficile d'établir le signe défini d'une forme quadratique, c'est pourquoi nous utilisons pour cela l'un des théorèmes suivants (nous les formulerons sans preuve).

Théorème. Une forme quadratique est définie positive (négative) si et seulement si tout valeurs propres ses matrices sont positives (négatives).

Théorème (critère de Sylvester). Une forme quadratique est définie positive si et seulement si tous les mineurs principaux de la matrice de cette forme sont positifs.

Principal (coin) mineur La matrice d'ordre k A du n ième ordre est appelée le déterminant de la matrice, composé des k premières lignes et colonnes de la matrice A ().

Notez que pour les formes quadratiques définies négatives, les signes des mineurs principaux alternent et le mineur du premier ordre doit être négatif.

Par exemple, examinons la forme quadratique f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 pour la précision du signe.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0 ; D = 25 – 8 = 17 ;
. La forme quadratique est donc définie positive.

Méthode 2. Principal mineur du premier ordre de la matrice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Principal mineur du deuxième ordre D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Par conséquent, selon le critère de Sylvester, la forme quadratique est définie positive.

Nous examinons une autre forme quadratique pour la définition du signe, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Méthode 1. Construisons une matrice de forme quadratique A = . Équation caractéristique ressemblera = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0 ; D = 25 – 8 = 17 ;
. La forme quadratique est donc définie négative.