Système fondamental d'un système homogène d'équations différentielles. Système de décision fondamental (exemple spécifique)

LDE du nième ordre - ur-e, linéaire par rapport à la fonction inconnue et à ses dérivées et a la forme

une 0 (x)y (n) +une 1 (x)y (n-1) +…+une n-1 (x)y'+une n (x)y=φ(x)|: une 0 (x )

φ(x)≠0- LNOU

y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g(x)- (1) ur-e sous la forme donnée

*si y 1 est une solution du LOU, alors C y 1, où C est une constante arbitraire, est également une solution à cette équation.

*La somme des solutions y 1 + y 2 de la LOE est une solution du même niveau.

1 0 Combinaison linéaire avec des constantes de solution arbitraires y 1 , y 2 ,…, y m LOU est une solution de la même équation.

*si LOU (1) à coefficients réels p i (x)∈R a solution globale y(x)=u(x)+iv(x), alors la partie réelle de cette solution Rey=u(x) et sa partie imaginaire Imy=v(x) sont séparément des solutions de la même équation.

Les fonctions y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) sont appelées linéairement dépendant sur un intervalle (a,b), s'il y a constantes a1,a2,…,an≠0 tel que pour tout x de l'intervalle (a,b) l'identité a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x)+…+a n -1 (x)y' + est vrai a n y n (x)=0. Si les fonctions sont linéairement dépendantes, alors au moins l’une d’elles est une combinaison linéaire des autres.

Si l'identité n'est valable que pour a1=a2=…=an=0, alors les fonctions y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) sont appelées linéairement indépendant sur l'intervalle (a,b).

*si fonctions y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) linéairement dépendant sur l'intervalle (a,b), alors le déterminant (île Vronsky)

W(x)=W= =0 sur cet intervalle.

Condition indépendance linéaire solutions privées :

* si les fonctions linéairement indépendantes y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) sont des solutions de LOE (1) à coefficients p i (x) continus sur l'intervalle (a,b), puis compilées pour elles le déterminant de Wronski n'est = 0 à aucun moment de l'intervalle (a,b).

La solution générale de LOU (1) à coefficients p i (x) continus sur (a,b) (i=1,2,...,n) est une combinaison linéaire y oo = n linéairement indépendante sur le même intervalle de partiel solutions y i avec arbitraire coefficients constants.

1 0 nombre maximum linéaire décisions indépendantes LOU est égal à son ordre.

FSR- n'importe quel n LOU de résolution partielle indépendante du nième ordre.

*y sur =y oo +y chn

Structure de la solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire. Méthode de variation de constantes arbitraires pour trouver une solution particulière à une équation différentielle inhomogène linéaire du nième ordre.

Les LPDE sont résolus par la méthode de variation de constantes arbitraires. Le premier est décision commune équation homogène , ayant le même côté gauche, comme l'original équation inhomogène. Ensuite, la solution de l’équation se trouve sous la forme, c’est-à-dire On suppose que les constantes C sont les f-mi de la variable indépendante x. Dans ce cas, les fonctions C 1 (x) et C 2 (x) peuvent être obtenues comme solution du système

U il = toi oo + toi chn

le nombre maximum de solutions d'une équation est égal à son ordre.

décision commune

44*. Linéaire homogène équation différentielleà coefficients constants. Polynôme caractéristique et équation caractéristique. Construction système fondamental des solutions au cas où racines simples polynôme caractéristique(réel et complexe).

Équation de la forme y"+p(x)y=f(x), où p(x), f(x) sont des fonctions continues sur l'intervalle a

Si f(x)= 0, alors l’équation est dite homogène.

Si dans LO ur-ii y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0

Tous les coefficients pi sont constants, alors ses solutions partielles peuvent être trouvées sous la forme y=e kx, où k est une constante. Remplacer dans votre

(k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0

En réduisant de e kx, nous obtenons ce qu'on appelle Niveau caractéristique

k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0

Cette équation du nième degré détermine les valeurs de k auxquelles y= e kx est une solution de l'équation différentielle originale à coefficients constants.

1.k 1 , k 2 ,…,k n – réel et différent

FSR : e k 1 x , e k 2 x ,…, e knx

2. k 1 = k 2 =…=k m =k ~ ,

k ~ - m - racine multiple de ur-i, et toutes les autres racines n- m sont différentes

FSR : e k ~ x ,x e k ~ x ,…, x m -1 e k ~ x , e km +1 x , e k n x

voir aussi Résolution d'équations différentielles linéaires en ligne
Trouver un système fondamental de solutions dans le cas général est une tâche assez difficile. Cependant, il existe une classe d’équations pour lesquelles ce problème peut être résolu assez facilement. Nous commençons maintenant à étudier cette classe.
(*)

Appelons une équation différentielle linéaire (*) une équation à coefficients constants si les coefficients de cette équation sont constants, c'est-à-dire a i (x)=const. Alors l’équation homogène correspondante L(y)=0 aura la forme
. (6)
Nous chercherons une solution à l'équation (6) sous la forme y = erx. Alors y" = r e rx , y"" = r 2 e rx ,…, y (n) = r n e rx . En substituant dans (6), nous obtenons

.

Exemple. Pour l'équation y""-3y" + 2y=0, les racines de l'équation caractéristique r 2 - 3r + 2 = 0 sont égales à r 1 = 1, r 2 = 2 (les racines ont été trouvées grâce au service de recherche le discriminant). Par conséquent, le système fondamental de solutions est constitué des fonctions y 1 = e x, y 2 = e 2 x, et la solution générale s'écrit y = C 1 e x + C 2 e 2 x.
2. Parmi les racines de l'équation caractéristique, il existe des multiples. Supposons que r 1 ait une multiplicité α et que tous les autres soient différents. Considérons d'abord le cas r 1 = 0. Alors l'équation caractéristique a la forme

.

Nous continuerons à perfectionner notre technologie transformations élémentaires sur système homogène d'équations linéaires.
Sur la base des premiers paragraphes, le matériel peut sembler ennuyeux et médiocre, mais cette impression est trompeuse. En plus du développement ultérieur des techniques, il y aura beaucoup de nouvelles informations, alors essayez de ne pas négliger les exemples de cet article.

Qu'est-ce qu'un système homogène d'équations linéaires ?

La réponse se suggère. Un système d'équations linéaires est homogène si le terme libre tout le monde l'équation du système est nulle. Par exemple:

Il est absolument clair que un système homogène est toujours cohérent, c'est-à-dire qu'il a toujours une solution. Et tout d’abord, ce qui attire l’attention, c’est ce qu’on appelle banal solution . Trivial, pour ceux qui ne comprennent pas du tout le sens de l'adjectif, signifie sans frimeur. Pas académiquement, bien sûr, mais intelligible =) ...Pourquoi tourner autour du pot, voyons si ce système a d'autres solutions :

Exemple 1

Solution: pour résoudre un système homogène il faut écrire matrice du système et avec l'aide de transformations élémentaires, amenez-le à une forme par étapes. Veuillez noter qu'ici, il n'est pas nécessaire d'écrire la barre verticale et la colonne zéro des termes libres - après tout, peu importe ce que vous faites avec les zéros, ils resteront des zéros :

(1) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –2. La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –3.

(2) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –1.

Diviser la troisième ligne par 3 n'a pas beaucoup de sens.

Grâce à des transformations élémentaires, un système homogène équivalent est obtenu , et, en utilisant l'inverse de la méthode gaussienne, il est facile de vérifier que la solution est unique.

Répondre:

Formulons un critère évident: un système homogène d'équations linéaires a juste une solution triviale, Si rang de la matrice du système(dans ce cas 3) est égal au nombre de variables (dans ce cas – 3 pièces).

Réchauffons-nous et accordons notre radio à la vague des transformations élémentaires :

Exemple 2

Résoudre un système homogène d'équations linéaires

Pour enfin consolider l’algorithme, analysons la tâche finale :

Exemple 7

Résolvez un système homogène, écrivez la réponse sous forme vectorielle.

Solution: écrivons la matrice du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

(1) Le signe de la première ligne a été modifié. J'attire encore une fois l'attention sur une technique rencontrée à plusieurs reprises, qui permet de simplifier considérablement l'action suivante.

(1) La première ligne a été ajoutée aux 2ème et 3ème lignes. La première ligne, multipliée par 2, a été ajoutée à la 4ème ligne.

(3) Les trois dernières lignes sont proportionnelles, deux d'entre elles ont été supprimées.

En conséquence, une matrice d'étapes standard est obtenue et la solution continue le long de la piste moletée :

– variables de base ;
– variables libres.

Exprimons les variables de base en termes de variables libres. De la 2ème équation :

– remplacer dans la 1ère équation :

La solution générale est donc :

Puisque dans l'exemple considéré il y a trois variables libres, le système fondamental contient trois vecteurs.

Remplaçons un triple de valeurs dans la solution générale et obtenir un vecteur dont les coordonnées satisfont chaque équation du système homogène. Et encore une fois, je répète qu'il est fortement conseillé de vérifier chaque vecteur reçu - cela ne prendra pas beaucoup de temps, mais cela vous protégera complètement des erreurs.

Pour un triple de valeurs trouver le vecteur

Et enfin pour les trois on obtient le troisième vecteur :

Répondre: , Où

Ceux qui souhaitent éviter les valeurs fractionnaires peuvent envisager des triplets et obtenez une réponse sous une forme équivalente :

En parlant de fractions. Regardons la matrice obtenue dans le problème et demandons-nous : est-il possible de simplifier la solution ultérieure ? Après tout, ici nous avons d'abord exprimé la variable de base par des fractions, puis par des fractions la variable de base, et, je dois dire, ce processus n'était ni le plus simple ni le plus agréable.

Deuxième solution:

L'idée est d'essayer choisir d'autres variables de base. Regardons la matrice et remarquons-en deux dans la troisième colonne. Alors pourquoi ne pas mettre un zéro en haut ? Effectuons encore une transformation élémentaire :

Pour comprendre ce que c'est système de décision fondamental vous pouvez regarder un didacticiel vidéo pour le même exemple en cliquant. Passons maintenant à la description proprement dite de tous les travaux nécessaires. Cela vous aidera à comprendre plus en détail l'essence de ce problème.

Comment trouver le système fondamental de solutions d’une équation linéaire ?

Prenons par exemple le système d'équations linéaires suivant :

Trouvons la solution à ce système linéaire d'équations. Pour commencer, nous vous devez écrire la matrice des coefficients du système.

Transformons cette matrice en une matrice triangulaire. Nous réécrivons la première ligne sans modifications. Et tous les éléments qui se trouvent sous $a_(11)$ doivent être mis à zéro. Pour faire un zéro à la place de l'élément $a_(21)$, vous devez soustraire le premier de la deuxième ligne et écrire la différence sur la deuxième ligne. Pour faire un zéro à la place de l'élément $a_(31)$, vous devez soustraire le premier de la troisième ligne et écrire la différence sur la troisième ligne. Pour faire un zéro à la place de l'élément $a_(41)$, vous devez soustraire le premier multiplié par 2 de la quatrième ligne et écrire la différence sur la quatrième ligne. Pour faire un zéro à la place de l'élément $a_(31)$, vous devez soustraire le premier multiplié par 2 de la cinquième ligne et écrire la différence sur la cinquième ligne.

Nous réécrivons les première et deuxième lignes sans modifications. Et tous les éléments qui se trouvent sous $a_(22)$ doivent être mis à zéro. Pour faire un zéro à la place de l'élément $a_(32)$, vous devez soustraire le deuxième multiplié par 2 de la troisième ligne et écrire la différence sur la troisième ligne. Pour faire un zéro à la place de l'élément $a_(42)$, vous devez soustraire la seconde multipliée par 2 de la quatrième ligne et écrire la différence sur la quatrième ligne. Pour faire un zéro à la place de l'élément $a_(52)$, vous devez soustraire la seconde multipliée par 3 de la cinquième ligne et écrire la différence sur la cinquième ligne.

On voit ça les trois dernières lignes sont les mêmes, donc si vous soustrayez le troisième du quatrième et du cinquième, ils deviendront nuls.

D'après cette matrice écrire un nouveau système d'équations.

Nous voyons que nous n’avons que trois équations linéairement indépendantes et cinq inconnues, donc le système fondamental de solutions sera constitué de deux vecteurs. Alors on nous devons déplacer les deux dernières inconnues vers la droite.

Maintenant, nous commençons à exprimer les inconnues qui se trouvent du côté gauche à travers celles qui se trouvent du côté droit. Nous commençons par la dernière équation, nous exprimons d'abord $x_3$, puis nous substituons le résultat résultant dans la deuxième équation et exprimons $x_2$, puis dans la première équation et ici nous exprimons $x_1$. Ainsi, nous avons exprimé toutes les inconnues qui se trouvent du côté gauche à travers les inconnues qui se trouvent du côté droit.

Ensuite, au lieu de $x_4$ et $x_5$, nous pouvons remplacer n'importe quel nombre et trouver $x_1$, $x_2$ et $x_3$. Chacun de ces cinq nombres sera les racines de notre système d’équations original. Pour trouver les vecteurs inclus dans FRS nous devons remplacer 1 au lieu de $x_4$, et remplacer 0 au lieu de $x_5$, trouver $x_1$, $x_2$ et $x_3$, et vice versa $x_4=0$ et $x_5=1$.

Équations différentielles linéaires du second ordre

L'équation différentielle du second ordre a la forme .

Définition. Une solution générale d’une équation du second ordre est une fonction qui, pour toute valeur, est une solution de cette équation.

Définition. Une équation linéaire homogène du second ordre est appelée une équation. Si les coefficients sont constants, c'est-à-dire ne dépendent pas de , alors cette équation est appelée équation à coefficients constants et s'écrit comme suit : .

L'équation nous l’appellerons une équation linéaire inhomogène.

Définition. L'équation obtenue à partir d'une équation linéaire homogène en remplaçant la fonction par un, et et par les puissances correspondantes, est appelée équation caractéristique.

On sait qu'une équation quadratique a une solution en fonction du discriminant : , c'est à dire. si , alors les racines et sont des nombres réels distincts. Si donc. Si, c'est-à-dire , alors sera un nombre imaginaire, et les racines et seront des nombres complexes. Dans ce cas, nous acceptons de noter .

Exemple 4. Résous l'équation.

Solution. Le discriminant de cette équation quadratique est donc .

Nous montrerons comment trouver la solution générale d’une équation linéaire homogène du second ordre en utilisant la forme des racines de l’équation caractéristique.

Si ce sont les vraies racines de l’équation caractéristique, alors .

Si les racines de l'équation caractéristique sont les mêmes, c'est-à-dire , alors la solution générale de l'équation différentielle est recherchée à l'aide de la formule ou .

Si l'équation caractéristique a des racines complexes, alors.

Exemple 5. Trouvez la solution générale de l’équation.

Solution. Créons une équation caractéristique pour cette équation différentielle : . Ses racines sont valables et différentes. Donc la solution générale .

Système fondamental de solutions à une équation différentielle homogène linéaire. Un théorème sur la structure de la solution générale des solutions d'une équation différentielle homogène linéaire. Dans cette section, nous prouverons que la base de l’espace linéaire des solutions partielles d’une équation homogène peut être n’importe quel ensemble de n ses solutions linéairement indépendantes.
Déf. 14.5.5.1. système fondamental de solutions. Système fondamental de solutionséquation différentielle homogène linéaire n -ème ordre est tout système linéairement indépendant oui 1 (X ), oui 2 (X ), …, o n (X ) son n solutions privées.
Théorème 14.5.5.1.1 sur la structure de la solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire. Décision commune oui (X ) d'une équation différentielle homogène linéaire est une combinaison linéaire de fonctions du système fondamental de solutions de cette équation :
oui (X ) = C 1 oui 1 (X ) + C 2 oui 2 (X ) + …+ C n y n (X ).
Document. Laisser oui 1 (X ), oui 2 (X ), …, o n (X ) est un système fondamental de solutions à une équation différentielle homogène linéaire. Il est nécessaire de prouver qu'une solution particulière oui quoi ( X ) de cette équation est contenue dans la formule oui (X ) = C 1 oui 1 (X ) + C 2 oui 2 (X ) + …+ C n y n (X ) pour un certain ensemble de constantes C 1 , C 2 , …, CN . Prenons n'importe quel point, calculons les nombres à ce stade et trouvons les constantes C 1 , C 2 , …, CN comme solution à un système linéaire inhomogène d'équations algébriques

Une telle solution existe et est unique puisque le déterminant de ce système est égal à . Considérons la combinaison linéaire oui (X ) = C 1 oui 1 (X ) + C 2 oui 2 (X ) + …+ C n y n (X ) fonctionne à partir du système fondamental de solutions avec ces valeurs des constantes C 1 , C 2 , …, CN et comparez-le avec la fonction oui quoi ( X ). Les fonctions oui (X ) Et oui quoi ( X ) satisfont la même équation et les mêmes conditions initiales au point X 0, donc, en raison du caractère unique de la solution du problème de Cauchy, ils coïncident : oui quoi ( X ) = C 1 oui 1 (X ) + C 2 oui 2 (X ) + … + C n y n (X ). Le théorème a été prouvé.
De ce théorème il résulte que la dimension de l'espace linéaire des solutions partielles d'une équation homogène à coefficients continus ne dépasse pas n . Il reste à prouver que cette dimension n'est pas inférieure à n .
Théorème 14.5.5.1.2 sur l'existence d'un système fondamental de solutions d'une équation différentielle homogène linéaire. Toute équation différentielle homogène linéaire n le ordre à coefficients continus a un système fondamental de solutions, c'est-à-dire système de n solutions linéairement indépendantes.
Document. Prenons n'importe quel déterminant numérique n -ième ordre, différent de zéro