Notons maintenant quelques propriétés produit scalaire et les normes. En appliquant l’inégalité et en tenant compte de cela on peut écrire :

Démontrons maintenant la règle dite du triangle

Nous avons:

ou, compte tenu de (128), on obtient :

d'où il résulte (129).

En conclusion de ce numéro, nous considérerons quel effet le choix du système de coordonnées a sur la métrique de l'espace, c'est-à-dire sur l'expression du carré de la longueur du vecteur. Supposons qu'au lieu du cartésien principal, nous prenons nouveau système coordonnées, et nous prenons quelques vecteurs indépendants comme vecteurs principaux

Pour tout vecteur nous aurons :

où sont ses composants dans le nouveau système de coordonnées.

Le carré de la longueur de ce vecteur sera exprimé par le produit scalaire du vecteur et lui-même, c'est-à-dire

En développant cela, selon les formules ci-dessus, nous aurons l'expression suivante pour le carré de la longueur du vecteur :

où les coefficients sont déterminés par les formules

Lorsque les icônes sont réorganisées, elles deviennent évidemment conjuguées, c'est-à-dire

Une somme de la forme (130) avec des coefficients satisfaisant la condition (131) est généralement appelée forme Hermite. Il est immédiatement évident que toute expression de la forme (130) sous la condition (131) n'aura que des valeurs réelles pour tous les complexes complexes possibles, puisqu'à deux termes de la somme (130) sera conjugué, et en termes de forme, du fait de la condition (131), les coefficients seront réels. De plus, par la construction même de la forme Hermite dans dans ce cas on peut affirmer que la somme (130) sera non négative et ne disparaîtra que lorsque tous seront égaux à zéro. La formule (130) détermine la métrique spatiale dans le nouveau système de coordonnées.

La métrique (130) coïncidera avec la métrique (110) dans le Système cartésien, si à ou à c'est-à-dire, en d'autres termes, si les vecteurs que nous prenons comme vecteurs seront des conférenciers unitaires mutuellement orthogonaux (de longueur un).

Dans ce qui suit, tout système de formes mutuellement orthogonales et vecteurs unitaires nous l'appellerons un système orthonormé.

A noter également que si la formule (113) définit une transformation unitaire pour les composantes du vecteur, alors la transformation correspondante pour le passage des vecteurs unitaires précédents aux nouveaux sera donnée par le tableau

contragradient U. Dans ce cas, du fait de (123), ce tableau coïncidera avec le tableau U, et pour de vrai transformations orthogonales cela coïncidera simplement avec U.

Agence fédérale pour l'éducation

Établissement d'enseignement public d'enseignement professionnel supérieur Institut national des mines de Saint-Pétersbourg nommé d'après. G.V. Plékhanova

(Université technique)

A.P. Gospodarikov, G.A. Colton, S.A. Khachatryan

Série de Fourier. Intégrale de Fourier.

Calcul opérationnel

Manuel pédagogique et méthodologique

SAINT-PÉTERSBOURG

CDU 512 + 517,2 (075,80)

Le manuel pédagogique et méthodologique offre la possibilité d'acquérir des compétences pratiques dans l'analyse de fonctions utilisant l'expansion des séries de Fourier ou la représentation par l'intégrale de Fourier et est destiné au travail indépendant des étudiants de spécialités à temps plein et à temps partiel.

Le manuel examine les principales questions du calcul opérationnel et une large classe de problèmes techniques en utilisant les principes fondamentaux du calcul opérationnel.

Editeur scientifique prof. . A.P. Gospodarikov

Évaluateurs : département mathématiques supérieures Université électrotechnique d'État n° 1 de Saint-Pétersbourg ; Docteur en Physique et Mathématiques les sciences V.M. Chistiakov(Université polytechnique d'État de Saint-Pétersbourg).

Gospodarikov A.P.

G723. Série de Fourier. Intégrale de Fourier. Calcul opérationnel : Manuel pédagogique et méthodologique / A.P. Gospodarikov,GÉORGIE. Colton,S.A. Khachatryan; Institut national des mines de Saint-Pétersbourg (Université technique). Saint-Pétersbourg, 2005. 102 p.

ISBN5-94211-104-9

CDU 512 + 517.2 (075.80)

BBK 22.161.5

Introduction

De la théorie de Fourier, on sait qu'avec une certaine influence sur les systèmes physiques, techniques et autres, son résultat répète la forme du signal d'entrée initial, ne différant que par le facteur d'échelle. Il est clair que le système réagit à de tels signaux (on les appelle les siens) de la manière la plus simple. Si un signal d’entrée arbitraire est une combinaison linéaire de ses propres signaux et que le système est linéaire, alors la réponse du système à ce signal arbitraire est la somme des réactions à ses propres signaux. Et donc informations complètes les informations sur un système peuvent être obtenues à partir de ses « éléments constitutifs » – les réponses du système à ses propres signaux d’entrée. Cela se fait par exemple en électrotechnique lors de l'introduction de la réponse en fréquence du système (fonction de transfert). Pour les systèmes linéaires invariants dans le temps les plus simples (par exemple, ceux décrits par des équations différentielles ordinaires à coefficients constants), dans certains cas, les fonctions propres sont des harmoniques de la forme . De cette manière, il est possible d'obtenir le résultat d'une influence arbitraire sur le système, si celui-ci se présente sous la forme d'une combinaison linéaire d'harmoniques (dans le cas général, sous la forme d'une série de Fourier ou intégrale de Fourier) . C'est l'une des raisons pour lesquelles, en théorie et dans les applications, il est nécessaire d'utiliser le concept de série trigonométrique (série de Fourier) ou d'intégrale de Fourier.

Chapitre 1. Série de Fourier

§ 1. Espaces vectoriels

Voici information brève de l'algèbre vectorielle, nécessaire à une meilleure compréhension des principes de base de la théorie des séries de Fourier.

Considérons l'ensemble  des vecteurs géométriques (espace vectoriel), pour lequel la notion d'égalité des vecteurs est introduite de la manière habituelle, opérations linéaires(addition et soustraction de vecteurs, multiplication d'un vecteur par un nombre) et opérations de multiplication scalaire de vecteurs.

Introduisons une base orthogonale dans l'espace , constituée de trois vecteurs orthogonaux deux à deux ,Et . Vecteur libre
est une combinaison linéaire de vecteurs de base :

. (1.1)

Coefficients  je (je= 1, 2, 3), appelées coordonnées vectorielles par rapport à la base
, peut être défini comme suit. Produit scalaire d'un vecteur et l'un des vecteurs de base

.

En raison de l’orthogonalité de la base, les produits scalaires
à
, donc, du côté droit de la dernière égalité, un seul terme est différent de zéro, correspondant
, C'est pourquoi
, où

, (1.2)

Où
.

Si les vecteurs Et donné par leurs coordonnées
Et
, alors leur produit scalaire

.

Depuis quand
produit scalaire
, alors dans une somme double seuls les termes d'indices égaux sont non nuls, donc

En particulier quand
de (1.3) il résulte

. (1.4)

§ 2. Produit intérieur et norme de fonctions

Désignons par le symbole
ensemble de fonctions continues par morceaux sur l'intervalle [ un, b], c'est à dire. fonctions ayant sur l'intervalle [ un, b] un nombre fini de points de discontinuité de première espèce et continus en tous les autres points de cet intervalle.

Produit scalaire des fonctions
numéro appelé

.

Propriétés du produit scalaire des fonctions coïncident complètement avec les propriétés du produit scalaire des vecteurs :

1.
.

2.
.

3.
.

4.
;
.

Ainsi, le produit scalaire dépend linéairement de ses composants. Cette propriété est appelée bilinéarité du produit scalaire.

Les fonctions
sont appelés orthogonaux
sur [ un, b], Si
.

Norme de fonction
entre [un, b] est appelé un nombre non négatif , dont le carré est égal au produit scalaire de la fonction à moi-même:

.

Propriétés de la norme d'une fonction coïncident largement avec les propriétés du module vectoriel :

1.
.

2. Si la fonction
est continu sur [ un, b] Et
, Que
. Parce que
, puis quand

,

où
. Différencier la dernière relation par rapport à et en appliquant le théorème de Barrow, on obtient
et donc,
.

3. Tthéorème des cosinus .


.

Conséquence. Si
, Que
(Théorème de Pythagore).

4. Théorème de Pythagore généralisé. Si les fonctions (k = = 1, 2, …, n) sont deux à deux orthogonaux sur l'intervalle
, Que

.

En utilisant la propriété de bilinéarité du produit scalaire, on obtient

En raison de l'orthogonalité des fonctions produits scalaires
à
, C'est pourquoi

.

5. nÉgalité Cauchy-Bunyakovsky
, ou, ce qui est pareil,

.

Pour tout réel

Ainsi, trinôme quadratique du côté gauche de la dernière inégalité conserve le signe sur tout l'axe réel, donc son discriminant
.

Exercice 1. Démontrer les propriétés du produit scalaire des fonctions 1-3.

Exercice 2. Montrez la validité des affirmations suivantes :

une fonction
orthogonal aux fonctions
Et
entre
pour tout entier k Et m;

b) pour tout entier k Et m les fonctions
Et
orthogonal sur l'intervalle
;

c) fonctions
Et
, et
Et
à
orthogonal sur les intervalles
Et
;

d) fonctions
Et
pas orthogonal sur l'intervalle
.

Exercice 3. En utilisant la propriété de norme 5, prouver l'inégalité triangulaire

.

Produit scalaire de vecteurs (ci-après dénommé SP). Chers amis! L'examen de mathématiques comprend un groupe de problèmes sur la résolution de vecteurs. Nous avons déjà examiné certains problèmes. Vous pouvez les voir dans la catégorie « Vecteurs ». En général, la théorie des vecteurs n'est pas compliquée, l'essentiel est de l'étudier de manière cohérente. Calculs et opérations avec des vecteurs dans cours scolaire Le calcul est simple, les formules ne sont pas compliquées. Jeter un coup d'œil à. Dans cet article, nous analyserons les problèmes sur SP des vecteurs (inclus dans l'examen d'État unifié). Maintenant « immersion » dans la théorie :

H Pour trouver les coordonnées d'un vecteur, il faut soustraire des coordonnées de sa finles coordonnées correspondantes de son origine

Et plus loin:

*La longueur du vecteur (module) est déterminée comme suit :

Il faut retenir ces formules !!!

Montrons l'angle entre les vecteurs :

Il est clair qu'il peut varier de 0 à 180 0(ou en radians de 0 à Pi).

On peut tirer quelques conclusions sur le signe du produit scalaire. Les longueurs des vecteurs sont valeur positive, Il est évident. Cela signifie que le signe du produit scalaire dépend de la valeur du cosinus de l'angle entre les vecteurs.

Cas possibles :

1. Si l'angle entre les vecteurs est aigu (de 0 0 à 90 0), alors le cosinus de l'angle aura une valeur positive.

2. Si l'angle entre les vecteurs est obtus (de 90 0 à 180 0), alors le cosinus de l'angle aura une valeur négative.

*A zéro degré, c'est-à-dire lorsque les vecteurs ont la même direction, le cosinus égal à un et par conséquent le résultat sera positif.

A 180 o, c'est-à-dire lorsque les vecteurs ont directions opposées, le cosinus est égal à moins un,et par conséquent le résultat sera négatif.

Maintenant le POINT IMPORTANT !

A 90°, c'est-à-dire lorsque les vecteurs sont perpendiculaires entre eux, le cosinus égal à zéro, et donc SP est égal à zéro. Ce fait (conséquence, conclusion) est utilisé pour résoudre de nombreux problèmes dont nous parlons position relative vecteurs, y compris dans les problèmes inclus dans banque ouverte devoirs de mathématiques.

Formulons l'énoncé : le produit scalaire est égal à zéro si et seulement si ces vecteurs se trouvent sur des droites perpendiculaires.

Ainsi, les formules pour les vecteurs SP :

Si les coordonnées des vecteurs ou les coordonnées des points de leurs débuts et fins sont connues, alors on peut toujours trouver l'angle entre les vecteurs :

Considérons les tâches :

27724 Trouvez le produit scalaire des vecteurs a et b.

Nous pouvons trouver le produit scalaire des vecteurs en utilisant l’une des deux formules suivantes :

L'angle entre les vecteurs est inconnu, mais on peut facilement trouver les coordonnées des vecteurs et ensuite utiliser la première formule. Puisque les origines des deux vecteurs coïncident avec l'origine des coordonnées, les coordonnées de ces vecteurs sont égales aux coordonnées de leurs extrémités, c'est-à-dire

Comment trouver les coordonnées d'un vecteur est décrit dans.

On calcule :

Réponse : 40

Trouvons les coordonnées des vecteurs et utilisons la formule :

Pour trouver les coordonnées d'un vecteur, il faut soustraire les coordonnées correspondantes de son début des coordonnées de la fin du vecteur, ce qui signifie

On calcule le produit scalaire :

Réponse : 40

Trouvez l'angle entre les vecteurs a et b. Donnez votre réponse en degrés.

Soit les coordonnées des vecteurs sous la forme :

Pour trouver l'angle entre les vecteurs, nous utilisons la formule du produit scalaire des vecteurs :

Cosinus de l'angle entre vecteurs :

Ainsi:

Les coordonnées de ces vecteurs sont égales :

Remplaçons-les dans la formule :

L'angle entre les vecteurs est de 45 degrés.

Réponse : 45

Application. 1. Produit scalaire des fonctions.

1. Produit scalaire des fonctions.

Laissez le segment [ un, b] étant donné un système de fonctions carrées intégrables sur [ un, b]:

toi 0 (X), toi 1 (X), toi 2 (X), …, toi(X), …, (1)

Semblable à la façon dont entre les éléments espace vectoriel introduit fonctionnement du produit scalaire vecteurs, qui correspond à une paire de vecteurs espace donné un certain nombre - scalaire , et entre les éléments de ce système de fonctions toi je(X), tu j(X) peut être défini comme le fonctionnement du produit scalaire de fonctions, noté ci-dessous par ( toi je(X), tu j(X)).

Par définition, l'opération de produit scalaire entre éléments X , oui Et z un certain espace (y compris entre les éléments du système de fonctions) doit avoir les propriétés suivantes:

Produit scalaire entre les éléments de l'espace fonctionnel toi je(X), tu j(X) je, j= 0, 1, 2,..., intégrable sur [ un, b] avec un carré, est saisi par l'opération d'intégration :

Définition 1. Le système (1) est système orthogonal de fonctions sur le segment [ un, b], le cas échéant, deux fonctions toi je(X), tu j(X), je, j= 0, 1, 2, ... d'un système donné
orthogonal (entre eux) le [ un, b].

Définition 2. Appelons deux fonctions toi je(X), tu j(X), je, j= 0, 1, 2, ... systèmes (1)
orthogonal sur le segment [ un, b], si la condition suivante est satisfaite pour leur produit scalaire :

(4)

Nombre - appelé norme de fonction toi je(X).

Si toutes les fonctions toi je(X) avoir tarif unique , c'est à dire.

je je = 1, je = 0, 1, 2, ... (5)

et le système de fonctions (1) est orthogonal à [ un, b], alors un tel système est appelé
orthonormé ou normale système orthogonal sur le segment [ un, b].

Si les conditions de normalité des fonctions ne sont pas réunies initialement, du système (1), si nécessaire, vous pouvez passer au système (6), qui sera certainement normal :

, je = 0, 1, 2, ... (6)

Notez que depuis la propriété orthogonalité éléments d'un système, ils devraient être indépendance linéaire , c'est à dire. la déclaration suivante est vraie : N'importe lequel système orthogonal vecteurs non nuls(éléments)est linéairement indépendant.

2 .Le concept de fonctions de base.

Du cours algèbre linéaire tu sais que dans l'espace vectoriel tu peux entrer base vectorielle- un ensemble de vecteurs tels que n'importe quel vecteur d'un espace vectoriel donné peut être Le seul moyen représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs de base. Où aucun des vecteurs de base ne peut être représenté comme une combinaison linéaire finie des vecteurs de base restants (indépendance linéaire des vecteurs de base).

Ainsi, par exemple, tout vecteur l'espace tridimensionnel peut être représenté de manière unique comme une combinaison linéaire de vecteurs de base :

= .

Où un, b, Et c- quelques chiffres. Et à cause de indépendance linéaire(orthogonalité) des vecteurs de base aucun des vecteurs individuellement ne peut être représenté comme une combinaison linéaire des vecteurs de base restants.

Semblable à ce qui précède, dans l'espace fonctions polynomiales, c'est à dire. dans l'espace des polynômes de degré non supérieur à n:

P n(X) = un 0 + un 1 X + un 2 X 2 + … + un n x n. (7)

une base peut être introduite à partir de polynôme élémentaire (indicatif) les fonctions :

X 0 , X, X 2 , X 3 , …, xn(8)

De plus, il est évident que les fonctions de base (8) sont linéairement indépendantes, c'est-à-dire : aucune des fonctions de base (8) ne peut être représentée comme une combinaison linéaire des fonctions de base restantes. De plus, il est évident que tout polynôme de degré n’est pas supérieur à n peut être représenté de manière unique sous la forme (7), c'est-à-dire sous la forme d'une combinaison linéaire de fonctions de base (8).

j je(X) = g je(x-a) je + (x-a)je+ 1 , je= 1, 2, …, n(9)

L'explication est en partie donnée par le célèbre analyse mathematique Théorème de Weierstrass, selon lequel toute droite continue sur l’intervalle [ un, b] fonction F(X) Peut être " Bien» est approximé sur ce segment par un polynôme P n(X) degrés n, c'est à dire. augmenter le degré n polynôme P n(X), cela peut toujours être aussi proche que vous le souhaitez adapter à fonction continue F(X).

Puisque tout polynôme peut être représenté comme une combinaison linéaire de fonctions polynomiales de base de type (8) ou (9), alors, en vertu du théorème de Weierstrass, une fonction continue (c'est-à-dire deux fois différentiable qui est une solution équation différentielle deuxième ordre) peut être représenté comme une combinaison linéaire de fonctions de base (9), qui sont deux fois différentiables et linéairement indépendantes deux à deux.

Questions sur le sujet

"Méthodes de solution approximative des problèmes de valeurs limites pour les
équations différentielles".

(Conférences 25 - 26)

1. Définitions basiques: Mise en scène linéaire problème de valeur limite pour l'ODE du deuxième ordre ; types et classification des problèmes de valeurs limites.

2. Méthodes pour réduire les problèmes de valeurs limites à tâches initiales : formulation du problème ; méthode d'observation; méthode de réduction; méthode de balayage différentiel.

3. Méthode des différences finies: formulation du problème ; universalité de la méthode des différences finies pour résoudre les problèmes de valeurs limites ; sélection de types d'approximations de la dérivée pour réduire le problème des valeurs limites à une SALU avec une matrice ayant une structure tridiagonale.

4. Méthode d'interpolation ou méthode de collocation: recherche d'une solution approchée sous la forme d'une combinaison linéaire de fonctions de base, exigences pour les fonctions de base pour satisfaire les conditions aux limites ; rechercher des coefficients d'une combinaison linéaire basée sur la condition de coïncidence des solutions exactes et approximatives aux nœuds de collocation ; sélection des fonctions de base.

5. Méthode Galerkin- les concepts de base de la théorie de la méthode Galerkin. Trouver une solution approchée sous la forme d'une combinaison linéaire fonctions de base , exigences pour les fonctions de base. Sélection de coefficients d'une combinaison linéaire qui détermine le type de solution approximative à partir de la condition de minimisation résidus , en raison du remplacement de la solution exacte problème différentiel la solution approchée souhaitée.