Combien de numéros de téléphone à six chiffres pouvez-vous former ? Combinaison

La combinatoire est une branche des mathématiques consacrée à la résolution de problèmes de choix et d'agencement des éléments d'un certain ensemble conformément à des règles données. La combinatoire étudie les combinaisons et les permutations d'objets, l'agencement des éléments qui a propriétés données. Une question courante dans problèmes combinatoires ah : de combien de manières….

Les problèmes combinatoires incluent également des problèmes de construction de carrés magiques, des problèmes de décodage et d'encodage.

La naissance de la combinatoire en tant que branche des mathématiques est associée aux travaux des grands mathématiciens français du XVIIe siècle Blaise Pascal (1623-1662) et Pierre Fermat (1601-1665) sur la théorie jeu d'argent. Ces travaux contenaient des principes pour déterminer le nombre de combinaisons d'éléments ensemble fini. Depuis les années 50 du 20e siècle, l'intérêt pour la combinatoire a été relancé grâce au développement rapide de la cybernétique.

Les règles de base de la combinatoire sont règle de somme Et règle travaux.

Règle de somme

Si un élément A peut être sélectionné n façons, et l'élément B peut être sélectionné m façons, alors le choix « soit A soit B » peut être fait n+ m façons.

Par exemple, s’il y a 5 pommes et 6 poires dans une assiette, alors un fruit peut être choisi de 5 + 6 = 11 façons.

Règle du produit

Si l'élément A peut être sélectionné n façons, et l'élément B peut être sélectionné m façons, alors une paire A et B peut être sélectionnée n m façons.

Par exemple, s'il y a 2 enveloppes différentes et 3 timbres différents, alors vous pouvez choisir l'enveloppe et le timbre de 6 manières (2 3 = 6).

La règle du produit est également vraie lorsqu’on considère des éléments de plusieurs ensembles.

Par exemple, s'il y a 2 enveloppes différentes, 3 timbres différents et 4 cartes postales différentes, alors vous pouvez choisir l'enveloppe, le timbre et la carte postale de 24 manières (2 3 4 = 24).

Produit de tous nombres naturels de 1 à n inclus est appelé n - factoriel et est désigné par le symbole n !

n! = 1 2 3 4 …n.

Par exemple, 5 ! = 1 2 3 4 5 = 120.

Par exemple, s'il y a 3 boules - rouge, bleue et verte, vous pouvez les aligner de 6 manières (3 2 1 = 3 ! = 6).

Parfois, un problème combinatoire est résolu en construisant arbre options possibles .

Par exemple, décidons tâche précédente environ 3 boules en construisant un arbre.

Atelier sur la résolution de problèmes en combinatoire.

DÉFIS et solutions

1. Il y a 6 pommes, 5 poires et 4 prunes dans un vase. Combien d’options existe-t-il pour choisir un fruit ?

Réponse : 15 options.

2. Combien d’options existe-t-il pour acheter une rose s’ils vendent 3 roses écarlates, 2 roses écarlates et 4 roses jaunes ?

Réponse : 9 options.

3. Cinq routes mènent de la ville A à la ville B, et trois routes mènent de la ville B à la ville C. Combien de chemins passant par B mènent de A à C ?

Réponse : 15 façons.

4. De combien de façons pouvez-vous former une paire d'une voyelle et d'une consonne du mot « écharpe » ?

voyelles : a, o – 2 pcs.
consonnes : p, l, t, k – 4 pièces.

Réponse : 8 façons.

5. Combien de couples de danse peut-on former à partir de 8 garçons et 6 filles ?

Réponse : 48 paires.

6. Il y a 4 entrées et 7 seconds plats dans la salle à manger. Combien d’options de déjeuner à deux plats différentes pouvez-vous commander ?

Réponse : 28 options.

7. Combien de différents nombres à deux chiffres peut-il être réalisé en utilisant les nombres 1, 4 et 7 si les nombres peuvent être répétés ?

1 chiffre – 3 façons
2 chiffres – 3 façons
3 chiffres – 3 façons

Réponse : 9 nombres différents à deux chiffres.

8. Combien de nombres différents à trois chiffres peut-on créer en utilisant les nombres 3 et 5, si les nombres peuvent être répétés ?

1 chiffre – 2 façons
2 chiffres – 2 façons
3ème chiffre – 2 façons

Réponse : 8 nombres différents.

9. Combien de nombres différents à deux chiffres peuvent être créés à partir des chiffres 0, 1, 2, 3, si les chiffres peuvent être répétés ?

1 chiffre – 3 façons
2 chiffres – 4 voies

Réponse : 12 nombres différents.

10. Combien y a-t-il de nombres à trois chiffres dont tous les chiffres sont pairs ?

Nombres pairs – 0, 2, 4, 6, 8.

1 chiffre – 4 façons
2 chiffres – 5 façons
3 chiffres – 5 façons

Réponse : Il y a 100 nombres.

11. Combien y a-t-il de nombres, même à trois chiffres ?

1 chiffre – 9 façons (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2ème chiffre – 10 façons (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3ème chiffre – 5 voies (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 5 = 450

Réponse : Il y a 450 numéros.

12. Combien de nombres différents à trois chiffres peuvent être créés à partir de trois différents numéros 4, 5, 6?

1 chiffre – 3 façons
2 chiffres – 2 façons
3ème chiffre – 1ère voie

Réponse : 6 nombres différents.

13. De combien de façons pouvez-vous désigner les sommets d'un triangle à l'aide des lettres A, B, C, D ?

1 haut – 4 façons
2ème sommet – 3 façons
3ème sommet – 2 voies

Réponse : 24 façons.

14. Combien de nombres différents à trois chiffres peut-on créer à partir des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, à condition qu'aucun chiffre ne soit répété ?

1 chiffre – 5 façons
2 chiffres – 4 voies
3 chiffres – 3 façons

Réponse : 60 numéros différents.

15. Combien de nombres différents à trois chiffres inférieurs à 400 peuvent être créés à partir des chiffres 1, 3, 5, 7, 9, si l'un de ces chiffres ne peut être utilisé qu'une seule fois ?

1 chiffre – 2 façons
2 chiffres – 4 voies
3 chiffres – 3 façons

Réponse : 24 nombres différents.

16. De combien de façons pouvez-vous créer un drapeau composé de trois bandes horizontales ? Couleurs variées, s'il y a du matériel en six couleurs ?

1 voie – 6 voies
2 voies – 5 voies
3 voies – 4 voies

Réponse : 120 façons.

17. 8 personnes sont sélectionnées dans la classe qui ont meilleurs scores En fuite. De combien de manières peuvent-ils constituer une équipe de trois personnes participer au relais ?

1 personne – 8 façons
2 personnes – 7 façons
3 personnes – 6 façons

Réponse : 336 façons.

18. Le jeudi, en première année, il devrait y avoir quatre cours : écriture, lecture, mathématiques et éducation physique. Combien d’options de planning différentes pouvez-vous créer pour cette journée ?

1 leçon – 4 façons
Leçon 2 – 3 façons
Leçon 3 – 2 façons
Leçon 4 – méthode 1

4 3 2 1 = 24

Réponse : 24 options.

19. En cinquième année, 8 matières sont étudiées. Combien d'options d'horaire différentes peuvent être créées pour le lundi s'il y a 5 cours ce jour-là et que tous les cours sont différents ?

1 leçon – 8 options
Leçon 2 – 7 options
Leçon 3 – 6 options
Leçon 4 – 5 options
Leçon 5 – 4 options

8 7 6 5 4 = 6720

Réponse : 6720 options.

20. Le code du coffre-fort est composé de cinq chiffres différents. Combien d’options différentes pour créer un chiffre ?

1 chiffre – 5 façons
2 chiffres – 4 voies
3 chiffres – 3 façons
4 chiffres – 2 façons
5 chiffres – 1 voie

5 4 3 2 1 = 120

Réponse : 120 options.

21. De combien de manières peut-on asseoir 6 personnes à une table avec 6 couverts ?

6 5 4 3 2 1 = 720

Réponse : 720 façons.

22. Combien de numéros de téléphone à sept chiffres peuvent être créés si vous excluez les numéros commençant par zéro et 9 ?

1 chiffre – 8 façons
2 chiffres – 10 façons
3 chiffres – 10 façons
4 chiffres – 10 façons
5 chiffres – 10 façons
6 chiffres – 10 façons
7 chiffres – 10 façons

8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000

Réponse : 8 000 000 d’options.

23. échange de téléphone dessert les abonnés dont les numéros de téléphone sont composés de 7 chiffres et commencent par 394. Pour combien d'abonnés cette station est-elle conçue ?

Numéro de téléphone 394

10 10 10 10 = 10.000

Réponse : 10 000 abonnés.

24. Il y a 6 paires de gants différentes tailles. De combien de manières peut-on sélectionner un gant parmi eux ? main gauche et un gant pour main droite donc ces gants sont disponibles en différentes tailles ?

Gants gauches - 6 façons
Gants droits - 5 façons (le 6ème gant est de la même taille que celui de gauche)

Réponse : 30 façons.

25. Les nombres 1, 2, 3, 4, 5 constituent des nombres à cinq chiffres dont tous les chiffres sont différents. Combien d'entre eux nombres pairs?

5ème chiffre – 2 voies (deux chiffres pairs)
4 chiffres – 4 façons
3 chiffres – 3 façons
2 chiffres – 2 façons
1 chiffre – 1 voie

2 4 3 2 1 = 48

Réponse : 48 nombres pairs.

26. Combien y a-t-il de nombres à quatre chiffres, composés de chiffres impairs et divisibles par 5 ?

Nombres impairs – 1, 3, 5, 7, 9.
Parmi ceux-ci, ils sont divisés en 5 à 5.

4 chiffres – 1 voie (chiffre 5)
3 chiffres – 4 façons
2 chiffres – 3 façons
1 chiffre – 2 façons

1 4 3 2 = 24

Réponse : le 24.

27. Combien existent nombres à cinq chiffres, dont le troisième chiffre est 7, le dernier chiffre est pair ?

1 chiffre – 9 façons (toutes sauf 0)
2 chiffres – 10 façons
3 chiffres – 1 voie (chiffre 7)
4 chiffres – 10 façons
5 chiffres – 5 façons (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 1 10 5 = 4500

Réponse : 4 500 numéros.

28. Combien y a-t-il de nombres à six chiffres dont le deuxième chiffre est 2, le quatrième est 4, le sixième est 6 et tous les autres sont impairs ?

1 chiffre – 5 options (de 1, 3, 5, 7, 9)
2 chiffres – 1 option (chiffre 2)
3ème chiffre – 5 options
4 chiffres – 1 option (chiffre 4)
5 chiffres – 5 options
6 chiffres – 1 option (chiffre 6)

5 1 5 1 5 1 = 125

Réponse : 125 numéros.

29.Combien de nombres différents inférieurs à un million peuvent être écrits en utilisant les nombres 8 et 9 ?

Un chiffre – 2
Deux chiffres – 2 2 = 4
Nombres à trois chiffres – 2 2 2 = 8
Nombres à quatre chiffres – 2 2 2 2 =16
Cinq chiffres – 2 2 2 2 2 = 32
Six chiffres – 2 2 2 2 2 2 = 64

Total : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Réponse : 126 nombres.

30. Il y a 11 personnes dans l'équipe de football. Vous devez choisir un capitaine et son adjoint. De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

Capitaine - 11 façons
Adjoint - 10 façons

Réponse : 110 façons.

31. Il y a 30 personnes dans la classe. De combien de manières pouvez-vous choisir le chef et la personne responsable des billets de voyage ?

Chef - 30 façons
Répondre. pour les billets – 29 façons

Réponse : 870 façons.

32. 12 garçons, 10 filles et 2 enseignants participent à la randonnée. Combien d'options pour des groupes de trois personnes de service (1 garçon, 1 fille, 1 enseignant) peuvent être constituées ?

12 10 2 = 240

Réponse : 240 façons.

33. Combien de combinaisons de quatre lettres de l'alphabet russe (il n'y a que 33 lettres dans l'alphabet) peut-on faire, à condition que 2 lettres adjacentes soient différentes ?

Tache 1. Huit étudiants se sont serré la main. Combien y a-t-il eu de poignées de main ?

Solution. Un « sous-ensemble » composé de deux étudiants (m=2) participe à la poignée de main, tandis que l'ensemble des étudiants est de 8 personnes (n=8). Étant donné que l'ordre n'a pas d'importance dans le processus de prise de contact, nous choisissons une formule pour le nombre de combinaisons :

Tâche. De combien de façons peut-on fabriquer un drapeau à rayures tricolores à partir de cinq morceaux de tissu de couleurs différentes ?

Solution. L'ordre est important, car la réorganisation de la matière dans le drapeau tricolore indique différents pays. Par conséquent, nous choisissons la formule du nombre de placements sans répétitions, où l'ensemble des morceaux de matière est n = 5 et le sous-ensemble des couleurs est m = 3 :

Tâche 2. Combien de dictionnaires faut-il publier pour pouvoir traduire de l’une des six langues vers l’une d’entre elles ?

Solution. L'ensemble comprend 6 langues n=6. Puisque la traduction est une relation entre deux langues, alors m = 2, et l'ordre est important, puisque, par exemple, les dictionnaires russe-anglais et anglais-russe ont diverses applications. Par conséquent, nous choisissons des placements sans répétitions :

Tâche 3. Combien d'options y a-t-il pour créer un emploi du temps pour le lundi si les élèves ont 9 matières, et que le lundi il y a 4 paires de cours et que les matières ne sont pas répétées ?

Solution. a) Pour les étudiants, l'ordre n'a pas d'importance, on choisit donc la formule du nombre de combinaisons :

b) Pour les enseignants, l'ordre est important, nous choisissons donc une formule de placement sans répétition :

Tâche 4. De combien de manières peut-on disposer neuf livres sur une étagère, parmi lesquels se trouve un ouvrage en trois volumes d'A.S. Pouchkine ?

Solution.

Étant donné que les trois volumes inclus dans un ensemble de trois volumes doivent se tenir côte à côte, et par ordre croissant de nombre vers la droite, nous les considérons comme un élément d'un ensemble donné, dans lequel il y a 6 éléments supplémentaires. Par conséquent, nous choisissons des permutations sans répétitions dans un ensemble contenant sept éléments :

P7 = 7 ! = 5040

Tâche 5. De combien de manières pouvez-vous affecter trois personnes de service dans un groupe de 30 personnes ?

Solution.

a) Si leur rôle dans le processus de devoir est le même, alors l'ordre n'a pas d'importance, nous choisissons donc des combinaisons sans répétition :

De 3h30 = 30 ! /3!27! = 4060

b) Si l'ordre est important, c'est-à-dire pendant leur service responsabilités fonctionnelles sont différents, alors en utilisant la formule de placement sans répétition nous avons :

Et 3 30 = 30 ! /27 ! = 24360

Tâche 6. Combien existe-t-il de numéros de téléphone à six chiffres pour lesquels : a) tous les chiffres sont possibles ; b) tous les nombres sont-ils différents ?

Solution.

a) 1. Étant donné que tous les chiffres sont possibles dans une composition à six chiffres d'un numéro de téléphone, n'importe lequel des 10 chiffres de 0 à 9 peut apparaître à chacun des six emplacements. Parmi les dix chiffres possibles, il est nécessaire de sélectionner uniquement ceux-là. six qui seront utilisés pour les numéros de téléphone à six chiffres. Puisque l'ordre des chiffres dans l'enregistrement des numéros de téléphone est important, en utilisant la formule des placements avec répétitions, nous avons :

Un 10 6 = 10 6 = 1 000 000

2. Comme vous le savez, il n'existe pas de nombres à six chiffres commençant par zéro, vous devez donc compter leur nombre et le soustraire du nombre total de combinaisons. Nous trouverons le nombre de nombres dont le premier chiffre est 0 en utilisant la formule de placement avec répétitions, « fixant » le zéro, c'est-à-dire dans chacune des cinq autres places possibles, l'un des dix chiffres de
0 à 9. Puis le nombre de ces combinaisons :

Un 10 5 = 10 5 = 100 000

3. Le nombre total de numéros de téléphone à six chiffres, qui peuvent avoir n'importe quel chiffre, y compris les chiffres répétitifs, est égal à la différence :

A 10 6 – A 10 5 = 10 6 – 10 5 = 1 000 000 – 100 000 = 900 000

b) 1. Supposons maintenant que tous les nombres d'un ensemble à six chiffres soient différents. Parmi les dix chiffres possibles, il est nécessaire de sélectionner uniquement les six qui sont utilisés pour les numéros de téléphone à six chiffres, et aucun chiffre n'est répété. Alors, d'après la formule de placement sans répétitions, on a :

Et 10 6 = 10 ! / (10 – 6) ! = 5x6x7x8x9x10 = 151200

2. Puisqu'il n'y a pas de nombres à six chiffres commençant par zéro, vous devez compter leur nombre et le soustraire du nombre total de combinaisons. Nous trouverons le nombre de nombres dont le premier chiffre est 0 en utilisant la formule de placement sans répétitions, « fixant le zéro », c'est-à-dire dans chacune des cinq places possibles restantes, il peut y avoir des nombres de 0 à 9. Nous trouverons ensuite le nombre de ces combinaisons en utilisant la formule de placement sans répétition. Nous avons:

Et 10 5 = 10 ! / (10-5) ! = 6x7x8x9x10 = 30240

3. Le nombre total de numéros de téléphone à six chiffres qui ne peuvent pas comporter de chiffres répétitifs est égal à la différence :

A 10 6 – A 10 5 = 10 6 – 10 5 = 151 200 – 30 240 = 120960

Tâche 7. De combien de manières peut-on constituer une délégation de trois personnes, en les choisissant parmi quatre couples mariés, si :

a) la délégation comprend trois de ces huit personnes ;

b) la délégation doit être composée de deux femmes et d'un homme ;

La délégation ne comprend-elle pas des membres d’une même famille ?

Solution.

a) L'ordre n'a pas d'importance :

De 8 3 = 8 ! /3 ! 5 ! = 56

b) Choisissons deux femmes parmi les méthodes 4 C 4 2 disponibles et un homme parmi les méthodes 4 C 4 1. Selon la règle du produit ( Et homme, Et deux femmes), nous avons C 4 2 x C 4 1 = 24.

c) Parmi quatre familles, on sélectionne 3 membres de la délégation de quatre manières (puisque C 4 3 = 4 ! / 3 !1 ! = 4). Mais dans chaque famille, il existe deux manières de sélectionner un membre de la délégation. D'après la règle du produit C 4 3 x2x2x2 = 4x8 =32.

Tâche 8. Le collège compte 2 000 étudiants. Est-il possible d’affirmer qu’au moins deux d’entre eux portent les mêmes initiales de prénom et de nom ?

Solution.

Il y a 33 lettres dans l'alphabet russe, dont ъ, ь, ы, é ne peuvent pas être utilisés, donc n = 33-4 = 29. Chacune des 29 lettres peut être une initiale Et nom, Et noms de famille. D'après la règle du produit 29x29 = 841< 2000. Значит может быть лишь 841 различных вариантов, и среди 2000 студентов обязательно будут совпадения.

La combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie la question du nombre de combinaisons différentes, soumises à certaines conditions, qui peuvent être réalisées à partir d'objets donnés. Les bases de la combinatoire sont très importantes pour estimer les probabilités d’événements aléatoires, car Ce sont eux qui nous permettent de calculer le nombre fondamentalement possible de scénarios différents d'évolution des événements.

Formule de base de la combinatoire

Soit k groupes d'éléments, et i-ème groupe se compose de n i éléments. Sélectionnons un élément de chaque groupe. Alors nombre total Les N façons dont un tel choix peut être fait sont déterminées par la relation N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Exemple 1. Expliquons cette règle avec un exemple simple. Supposons qu'il y ait deux groupes d'éléments, et le premier groupe est constitué de n 1 éléments et le second de n 2 éléments. Combien de paires d’éléments différentes peuvent être constituées à partir de ces deux groupes, de telle sorte que la paire contienne un élément de chaque groupe ? Disons que nous prenons le premier élément du premier groupe et, sans le modifier, parcourons toutes les paires possibles, en modifiant uniquement les éléments du deuxième groupe. Il peut y avoir n 2 paires de ce type pour cet élément. Ensuite, nous prenons le deuxième élément du premier groupe et formons également toutes les paires possibles. Il y aura également n 2 de ces paires. Puisqu'il n'y a que n 1 éléments dans le premier groupe, le total des options possibles sera n 1 *n 2 .

Exemple 2. Combien de nombres pairs à trois chiffres peut-on former à partir des chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, si les chiffres peuvent être répétés ?
Solution: n 1 =6 (car vous pouvez prendre n'importe quel nombre parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6 comme premier chiffre), n 2 =7 (car vous pouvez prendre n'importe quel nombre entre 0 et comme deuxième chiffre , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (puisque n'importe quel nombre entre 0, 2, 4, 6 peut être pris comme troisième chiffre).
Donc, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

Dans le cas où tous les groupes sont constitués de le même numéroéléments, c'est-à-dire n 1 =n 2 =...n k =n nous pouvons supposer que chaque sélection est effectuée dans le même groupe et que l'élément après sélection est renvoyé dans le groupe. Alors le nombre de toutes les méthodes de sélection est n k . Cette méthode de sélection en combinatoire est appelée échantillons avec retour.

Exemple 3. Combien de nombres à quatre chiffres peut-on former à partir des chiffres 1, 5, 6, 7, 8 ?
Solution. Pour chaque chiffre d'un nombre à quatre chiffres, il existe cinq possibilités, ce qui signifie N=5*5*5*5=5 4 =625.

Considérons un ensemble composé de n éléments. En combinatoire, cet ensemble est appelé population générale.

Nombre de placements de n éléments par m

Définition 1. Hébergement à partir de néléments par m en combinatoire tout ensemble commandé depuis m divers éléments sélectionnés parmi la population de néléments.

Exemple 4. Différents arrangements de trois éléments (1, 2, 3) par deux seront les ensembles (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). Les emplacements peuvent différer les uns des autres tant par les éléments que par leur ordre.

Le nombre de placements en combinatoire est noté A n m et se calcule par la formule :

Commentaire: n!=1*2*3*...*n (lire : « en factoriel »), de plus, on suppose que 0!=1.

Exemple 5. Combien y a-t-il de nombres à deux chiffres dans lesquels le chiffre des dizaines et celui des unités sont distincts et impairs ?
Solution: parce que S'il y a cinq chiffres impairs, à savoir 1, 3, 5, 7, 9, alors cette tâche revient à sélectionner et à placer deux des cinq chiffres différents dans deux positions différentes, c'est-à-dire numéros spécifiés volonté:

Définition 2. Combinaison depuis néléments par m en combinatoire tout ensemble non ordonné depuis m divers éléments, sélectionnés parmi la population générale de néléments.

Exemple 6. Pour l'ensemble (1, 2, 3), les combinaisons sont (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Nombre de combinaisons de n éléments, m chacun

Le nombre de combinaisons est noté C n m et est calculé par la formule :

Exemple 7. De combien de manières un lecteur peut-il choisir deux livres sur les six disponibles ?

Solution: Le nombre de méthodes est égal au nombre de combinaisons de six livres de deux, soit équivaut à:

Permutations de n éléments

Définition 3. Permutation depuis n les éléments sont appelés n'importe quel ensemble commandé ces éléments.

Exemple 7a. Toutes les permutations possibles d'un ensemble composé de trois éléments (1, 2, 3) sont : (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Le nombre de permutations différentes de n éléments est noté P n et est calculé par la formule P n = n !.

Exemple 8. De combien de manières peut-on disposer sept livres d’auteurs différents sur une seule rangée sur une étagère ?

Solution: ce problème concerne le nombre de permutations sept différents livres. Il existe P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 façons d'organiser les livres.

Discussion. On voit que le nombre de combinaisons possibles peut être calculé par règles différentes(permutations, combinaisons, placements) et le résultat sera différent, car Le principe de calcul et les formules elles-mêmes sont différentes. En regardant attentivement les définitions, vous remarquerez que le résultat dépend de plusieurs facteurs simultanément.

Premièrement, à partir de combien d’éléments pouvons-nous combiner leurs ensembles (quelle taille populationéléments).

Deuxièmement, le résultat dépend de la taille des ensembles d’éléments dont nous avons besoin.

Enfin, il est important de savoir si l’ordre des éléments dans l’ensemble est significatif pour nous. Expliquons le dernier facteur à l'aide de l'exemple suivant.

Exemple 9. Sur Réunion des parents 20 personnes sont présentes. Combien d’options de composition différentes existe-t-il ? comité de parents, si 5 personnes devaient y entrer ?
Solution: Dans cet exemple, nous ne nous intéressons pas à l’ordre des noms sur la liste des comités. Si, en conséquence, les mêmes personnes en font partie, alors, pour nous, c'est la même option. Par conséquent, nous pouvons utiliser la formule pour calculer le nombre combinaisons de 20 éléments 5 chacun.

Les choses seront différentes si chaque membre du comité est initialement responsable d'un domaine de travail précis. Alors, avec la même composition de liste du comité, il y en a peut-être 5 au sein de celui-ci ! choix permutations cela importe. Le nombre d'options différentes (tant en termes de composition que de domaine de responsabilité) est déterminé dans ce cas par le nombre emplacements de 20 éléments 5 chacun.

Tâches d'autotest
1. Combien de nombres pairs à trois chiffres peut-on former à partir des chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, si les chiffres peuvent être répétés ?

2. Combien y a-t-il de nombres à cinq chiffres qui se lisent de la même manière de gauche à droite et de droite à gauche ?

3. Il y a dix matières dans la classe et cinq leçons par jour. De combien de manières pouvez-vous créer un emploi du temps pour une journée ?

4. De combien de manières peut-on sélectionner 4 délégués pour une conférence s'il y a 20 personnes dans le groupe ?

5. De combien de façons peut-on placer huit lettres différentes dans huit enveloppes différentes si une seule lettre est placée dans chaque enveloppe ?

6. Une commission composée de deux mathématiciens et six économistes devrait être composée de trois mathématiciens et dix économistes. De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

Sujet : « Résoudre des problèmes combinatoires »

Cible: continuer à développer les compétences nécessaires pour résoudre les problèmes combinatoires les plus simples de contenu pratique ; envisager d'autres façons de résoudre des problèmes combinatoires ( Règle de multiplication ; tableau)

Tâches:

Éducatif:

Contribuer:

généralisation et systématisation des connaissances et des compétences des étudiants sur le sujet

À la fin de la leçon, les élèves devraient être capables de :

trouver combinaisons possibles, composé de nombres, de mots, d'objets qui répondent aux conditions de la tâche.

Éducatif:

Contribuer:

formation intérêt cognitif au sujet;

formation attitude consciente travailler.

Éducatif:

Contribuer:

développement pensée mathématique Et discours logiqueétudiants;

développement de la capacité à choisir de manière indépendante une méthode de solution et la capacité de justifier le choix.

Les mathématiques sont partout -
Il suffit de le regarder
Et j'aurai plein d'exemples tout de suite
Vous trouverez autour de vous...

L'épigraphe de notre leçon sera constituée de vers poétiques, dont la lecture détermine le but de la leçon d'aujourd'hui - (prouver, s'assurer que la connaissance des mathématiques est nécessaire dans toute activité humaine)

Aujourd'hui, nous allons mener des recherches et prouver que les mathématiques sont partout autour de nous.

Le 4 novembre est un jour férié. Combien d’entre vous savent comment s’appelle cette fête ? (Jour unité nationale)

Afficher la diapositive 1 (Il y a presque 4 siècles début novembre soulèvement civil dirigée par le marchand Minine et le gouverneur Pojarski, chassa les interventionnistes polonais de Moscou et marqua le début de la fin du soi-disant Temps des Troubles. La milice de Minine et de Pojarski est unique en ce sens qu'elle est le seul exemple dans l'histoire russe de cette période. le sort du pays et de l'État était décidé par le peuple lui-même, sans la participation des autorités en tant que telles. Les gens ont donné leurs derniers sous à l'armement et sont allés libérer les terres et rétablir l'ordre dans la capitale. Nos arrière-arrière-arrière-arrière-arrière-grands-pères sont allés se battre à plusieurs reprises pour la terre et ils ont gagné.Alors toutes les classes, toutes les nationalités, les villages, les villes et les métropoles se sont réunis. Cette journée est à juste titre appelée Journée de l’unité nationale. Il n’y a pas eu d’autre jour comme celui-ci dans l’histoire de la Russie).

Un des symboles État russe est le drapeau.

(lire les informations sur le drapeau)

!!!(Donner aux enfants, travailler en binôme)

Drapeau - un panneau, généralement de forme rectangulaire, élevé sur un mât spécial (mât de drapeau)

22 août 1991, séance d'urgence Conseil SUPREME La RSFSR a décidé de considérer « un tissu de ............, ………….., ……………. le drapeau national officiel de la Russie.

(une fois que les enfants ont rempli, demandez ce qui s'est passé et écoutez les réponses)

Diapositive n°1

!!! Combien d’entre vous savent ce que signifie chaque couleur ?

 - couleur rouge - symbolise l'énergie, la force, le sang versé pour la patrie.

 - Couleur bleue– la couleur de la foi (la couleur de la Mère de Dieu, sous la protection de laquelle se trouve la Russie) ;

 - couleur blanche– signifie liberté et indépendance ;

Voyons combien il existe de drapeaux dans le monde, composés de 3 bandes horizontales blanches, rouges et bleues :

Tâche: 1. Lisez le problème.

- A quel sujet appartient-il ? cette tâche? (peigne.arrière)

Enquête orale.

Solution:

Méthode - énumération (laissez-les dessiner - préparer des rectangles)

2.méthode : Arbre d’options.

Nous allons maintenant examiner deux autres façons de résoudre des problèmes combinatoires : a) la règle de multiplication ;

b) à l'aide d'un tableau.

3.voie - Règle de multiplication

De combien de manières chaque bande peut-elle être sélectionnée ?

1 voie - 3 voies

2 voies - 2 voies

3 voies - 1 voie

Règle de base du travail:

Si le premier élément d'une combinaison peut être sélectionné UN façons, après quoi le deuxième élément – b façons, alors le nombre total de combinaisons sera égal à un x b .

3 ∙ 2 ∙ 1 = 6

Réponse : 6 façons

AVEC

Sask.

avant JC

Méthode : Tableau des options

Notons les noms des rayures du drapeau : KSB ; BKS; KBS ; SBC ; BSK SKB.
Parmi ces drapeaux, y a-t-il un drapeau national de la Fédération de Russie ?
Ce que les autres États utilisent pour leur drapeau national un tel symbolisme ?
Il s’avère qu’il existe des États où les drapeaux ont les mêmes couleurs et la même disposition.

(
Réponse : Slovaquie, Slovénie, Croatie, Serbie)

Performances des étudiants :

La Slovaquie, la Slovénie, la Croatie et la Serbie sont États slaves, les couleurs blanc, rouge, bleu symbolisent début général Slaves

Drapeaux des pays européens où se retrouvent les couleurs : blanc, bleu, rouge - ce sont les Pays-Bas et la France.

Drapeau de la Slovaquie

Drapeau de la Slovénie

Drapeau de la Croatie

Drapeau de la Serbie

Professeur: Les gars, notre leçon touche à sa fin.

Pensez-vous que nous avons atteint l'objectif de la leçon d'aujourd'hui, pourquoi ?

Qu’est-ce qui a été difficile dans la leçon et pourquoi ?

De plus, les étudiants sont invités à répondre à 3 questions rapides :

Dans la leçon d'aujourd'hui, j'étais... (facile, généralement, difficile)

Nouveau matériel Je... (J'ai appris et je peux postuler, j'ai appris et j'ai du mal à postuler, je n'ai pas appris)

Mon estime de moi pour la leçon...

Résumé de la leçon- Évier.

Combinatoire

Intéressant, inconnu.

Étudier, comprendre, faire le tri.

Présent dans tous les domaines.

Variabilité.

5) Devoirs:

Tâches

Un mousquetaire assez célèbre possède 3 chapeaux élégants, 4 magnifiques capes et 2 paires de superbes bottes. Combien d’options de costumes peut-il créer ?

Il y a 11 personnes dans l'équipe de football. Il faut choisir un capitaine et son adjoint. De combien de manières cela peut-il être réalisé ?

Combien de nombres différents à deux chiffres peuvent être créés en utilisant les nombres 1, 4, 7, si les nombres sont répétés

Combien de différents nombres à trois chiffres peut-on composer à partir des nombres 1, 2, 3, 4, 5, à condition qu'aucun nombre ne soit répété ?

Combien de nombres différents à deux chiffres peuvent être créés à partir des nombres 0, 1, 2, 3 si les nombres : a) peuvent être répétés ; b) ne peut pas être répété ?

Le code du coffre-fort se compose de cinq chiffres différents. Combien d’options différentes pour créer un chiffre ?

1) a) Combien de nombres à deux chiffres peut-on former à partir des nombres 1, 3, 5, 7, 9 ?

b) Combien de nombres à deux chiffres peut-on former à partir des nombres 1, 3, 5, 7, 9, à condition que les nombres ne soient pas répétés.

2) Créez un problème concernant votre classe.

3) Plusieurs pays ont décidé d'utiliser des symboles pour leur drapeau national sous la forme de 3 bandes horizontales de largeurs différentes, Couleurs différentes- Blanc bleu rouge. Combien de pays peuvent utiliser de tels symboles, à condition que chaque pays ait son propre drapeau ?

De combien de manières peut-on asseoir 6 personnes à une table avec 6 couverts ?

En cinquième année, 8 matières sont étudiées. Combien d'options d'horaires différentes peuvent être créées pour le lundi, s'il doit y avoir 5 cours ce jour-là et que tous les cours sont différents ?

Combien de numéros de téléphone à sept chiffres possibles peuvent être créés si vous excluez les numéros commençant par 0 et 9 ?

Application:

Exercice 1 :

Drapeau - un panneau, généralement de forme rectangulaire, élevé sur un mât spécial (mât de drapeau)
Le drapeau national est celui de l'État……………..

Le 22 août 1991, une séance d'urgence du Conseil suprême de la RSFSR décide d'examiner le « tissu de ......................, ……………., …………… rayures » comme drapeau national officiel de la Russie.

Tâche 2

1. Lisez le problème.

Problème : (solution dans le cahier)

Combien existe-t-il de drapeaux constitués de trois bandes horizontales de même largeur et de couleurs différentes – blanc, rouge et bleu ?

Devoirs:

1.Répétez les noms des composants de l'action de division ;

Où se trouve chaque composant.

2. Effectuez trois tâches de la liste ci-dessus, en utilisant n'importe quelle méthode de résolution.

Réflexion:

1.Aujourd'hui dans la leçon, j'étais …………. (facile, généralement, difficile)

2. Je… (j'ai appris et peux appliquer le nouveau matériel, j'ai appris et j'ai du mal à l'appliquer, je n'ai pas appris)

3.Mon estime de moi pour la leçon...