La relation entre le sinus et le cosinus. Relation entre sinus, cosinus et tangente du même angle

Et le graphique sinusoïdal est vague par vague
L'axe des x s'enfuit.

D'une chanson d'étudiant.

BUTS ET OBJECTIFS DE LA LEÇON :

• ÉDUCATIF : dérivation de formules pour la relation entre le sinus, le cosinus et la tangente du même angle (nombre) ; apprendre à utiliser ces formules pour calculer les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente d'un nombre par valeur définie l'un d'eux.
• DÉVELOPPEMENT : apprendre à analyser, comparer, construire des analogies, généraliser et systématiser, prouver et réfuter, définir et expliquer des concepts.
• ÉDUCATIF : favoriser une attitude consciencieuse envers le travail et attitude positiveà la connaissance.

SAUVEGARDE DE LA SANTÉ : créer un climat psychologique confortable en classe, une atmosphère de coopération : élève - enseignant.

ÉQUIPEMENT METHODOLOGIQUE DE LA LEÇON :

BASE MATÉRIELLE ET TECHNIQUE : salle de mathématiques.

SUPPORT DIDACTIQUE À LA LEÇON : manuel, cahier, affiches sur le thème de la leçon, tables, ordinateur, disques, écran, projecteur.

METHODES D'ACTIVITE : travail en groupe et individuel au pupitre et au tableau.

TYPE DE LEÇON : leçon sur l'apprentissage de nouvelles connaissances.

DÉROULEMENT DE LA LEÇON

1. Moment d'organisation: saluer, vérifier la présence des élèves, remplir le journal de bord.

2. Vérifier l'état de préparation des élèves pour le cours : mettre les élèves dans l'ambiance de travail, leur présenter le plan de cours.

3. Analyse des erreurs dans les devoirs. Sur l'écran se trouve une image de devoirs correctement complétés. Chaque élève vérifie avec une explication frontale détaillée et note l'exactitude de l'exécution sur la fiche de travail de la leçon.

CARTE DE TRAVAIL DE LA LEÇON.

S/o – estime de soi.

O/t – évaluation d’un camarade.

4. Actualiser les connaissances, se préparer à percevoir du nouveau matériel.

La prochaine étape de notre leçon est la dictée. Nous notons brièvement les réponses - nous avons le dessin sur la diapositive.

Dictée (répétition orale des informations nécessaires) :

1. Définir :

• sinus angle aigu A d'un triangle rectangle ;
• cosinus de l'angle aigu B d'un triangle rectangle ;
• tangente de l'angle aigu A d'un triangle rectangle ;
• cotangente de l'angle aigu B d'un triangle rectangle ;
• quelles restrictions imposons-nous au sinus et au cosinus lors de la détermination de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu triangle rectangle.

2. Définissez :

• sinus de l'angle un un.
• cosinus de l'angle un par la coordonnée (qui) du point obtenue en faisant pivoter le point (1;0) autour de l'origine d'un angle un.
• tangente de l'angle un.
• cotangente de l'angle un.

3. Notez les signes du sinus, du cosinus, de la tangente, de la cotangente pour les angles obtenus en faisant tourner le point P(1;0) d'un angle

4. Pour tous ces angles, indiquez les quarts du plan de coordonnées.

Les enfants vérifient la dictée sur la diapositive avec l'enseignant, expliquent chaque affirmation et se donnent une note sur la fiche de cours.

5. De l'histoire de la trigonométrie. La forme moderne de la trigonométrie a été donnée par le plus grand mathématicien du XVIIIe siècle. Léonard Euler- Suisse de naissance, depuis de nombreuses années a travaillé en Russie et a été membre de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg. Il a introduit des définitions bien connues des fonctions trigonométriques, formulé et prouvé des formules de réduction que vous n'avez pas encore rencontrées et identifié des classes de fonctions paires et impaires.

6. Introduction de nouveau matériel :

L'essentiel n'est pas seulement d'informer les étudiants des conclusions finales, mais de les faire en quelque sorte participer à une recherche scientifique : en posant la question pour qu'ayant éveillé leur curiosité, ils s'impliquent dans la recherche, ce qui aide pour atteindre un niveau plus élevé de développement mental des étudiants.

Par conséquent, en introduisant du nouveau matériel, je crée une situation problématique - comment peut-il être plus facile et plus rationnel d'établir la relation entre le sinus et le cosinus du même angle - à travers l'équation du cercle unité ou à travers le théorème de Pythagore.

La classe est divisée en options dans la première et la deuxième options - sur l'écran il y a une diapositive avec les conditions et les dessins, il n'y a pas encore de solution.

L'option 1 établit la relation entre sinus et cosinus à travers l'équation d'un cercle avec un centre à l'origine et un rayon égal à 1x 2 +y 2 =1 ; péché 2 + cos 2 =1.

L'option 2 établit la relation entre sinus et cosinus à travers le théorème de Pythagore - dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes : OB 2 +AB 2 =OA 2 - et on obtient sin 2 +cos2 =1.

Ils comparent les résultats et tirent des conclusions : l'essentiel est que l'égalité soit vraie pour toutes les valeurs des lettres qui y sont incluses ? Les étudiants doivent répondre qu'il s'agit d'une identité

(les diaporamas bonne décision, tant pour la première que pour la deuxième option).

Nous avons obtenu une égalité valable pour toutes les valeurs des lettres qui y sont incluses. Comment appelle-t-on de telles égalités ? C'est vrai - les identités.

Rappelons-nous quelles autres identités nous connaissons en algèbre - formules de multiplication abrégées :

une 2 -b 2 =(une-b)(une+b),

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 ,

(une+b) 3 =une 3 +3une 2 b+3ab 2 +b 2 ,

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 3 -b 3 ,

une 3 -b 3 =(une-b)(une 2 +ab+b 2),

une 3 +b 3 =(une+b)(une 2 -ab+b 2).

Le problème suivant est de savoir pourquoi nous avons dérivé l'identité trigonométrique principale - sin 2 +cos 2 =1.

C'est vrai - pour trouver à partir d'une valeur connue de sinus, cosinus ou tangente - les valeurs de toutes les autres fonctions.

Maintenant, vous et moi pouvons toujours utiliser l'identité trigonométrique de base, mais l'essentiel est le même argument.

Application des connaissances acquises :

OPTION 1 – exprimer le sinus par le cosinus de l’angle.

Option 2 – exprimer le cosinus par le sinus de l’angle. La bonne réponse est sur la diapositive

Question du professeur : est-ce que quelqu'un a oublié de mettre les signes + et - ? Quel pourrait être l’angle ? - n'importe qui.

Dans ces formules, le signe devant la racine dépend de quoi ? sur quel quadrant se trouve l'angle (argument) de la fonction trigonométrique que nous définissons.

Nous intervenons au tableau 2 élèves n°457. – 1ère option - 1, 2ème option - 2.

La diapositive montre la bonne solution.

Travail indépendant reconnaître les bases identité trigonométrique

1. trouver le sens de l'expression :

2. exprimer le chiffre 1 sous un angle un, Si

Il y a un contrôle mutuel - sur la diapositive terminée et une évaluation du travail - à la fois par auto-évaluation et par l'évaluation d'un ami.

6. Consolidation du nouveau matériel (selon la technologie de G.E. Khazankin - technologie des tâches de support).

TÂCHE 1. Calculer ……….. si ………………………………………………………………….

1 élève au tableau en toute autonomie - puis un slide avec la bonne solution.

TÂCHE 2. Calculer……………., si……………………………………………………………..

2ème élève au tableau, puis un slide avec la bonne solution.

7. Minute d'éducation physique. Je sais que vous êtes déjà adultes et pensez que vous n'êtes pas fatigué du tout, surtout maintenant, alors que la leçon se déroule si activement que le temps semble s'allonger pour nous, selon la théorie de A. Einstein. relativité, mais faisons de la gymnastique pour les vaisseaux cérébraux :

• tourne et incline la tête de droite à gauche, de haut en bas
• massage de la ceinture scapulaire et du cuir chevelu - bras de la main, visage et arrière de la tête - de haut en bas.
• levez les épaules et détendez-vous. Nous effectuons chaque exercice 5 à 6 fois !

Découvrons maintenant la relation entre tangente et cotangente…………………………………………………………………………………………………… ……………………

Il y a une nouvelle étude sur le sujet : quel pourrait être l'angle dans la deuxième identité trigonométrique ?

L'ESSENTIEL EST DE DÉTERMINER L'ENSEMBLE SUR LEQUEL CES ÉGALITÉS SONT REMPLIES. MARQUEZ LES POINTS SUR LA FIGURE OÙ LES TANGÈNES ET LES COTENGENTES DE L'ANGLE N'EXISTENT PAS.

3ème élève au tableau. Les égalités sont valables pour……………………….

TÂCHE 3. Calculer………si………………………….

TÂCHE 4. Calculer…………….. si………………………………………………………………

Le reste des élèves travaille dans ses cahiers.

1 SOUTIEN……………………………………………………………………………………………

2 SOUTIEN…………………………………………………………………………………………………………………

3 SOUTIEN. Application de l'identité trigonométrique de base à la résolution de problèmes.

8. Mots croisés. Anatole France a dit un jour : « Apprendre doit être amusant... Pour digérer le savoir, il faut l'absorber avec appétit. »

Pour tester vos connaissances sur ce sujet, une grille de mots croisés vous est proposée.

1. Branche d'étude des mathématiques propriétés du sinus, cosinus, tangente...
2. Abscisse d'un point du cercle unité.
3. Le rapport du cosinus au sinus.
4. Le sinus est…..points sur le cercle unité.
5. Une égalité qui ne nécessite pas de preuve et qui est vraie pour toutes les valeurs des lettres qui y sont incluses.

Ça s'appelle...... Après avoir vérifié les mots croisés, les enfants se notent sur la carte du cours. L'enseignant donne des notes aux élèves qui ont été particulièrement actifs pendant la leçon. En bout de ligne - GPA

pour le travail en classe.

9. Demander à l'enseignant de faire ses devoirs.

11. 10. L'enseignant résume la leçon. Devoirs

: paragraphe 25 (avant le problème 5), n° 459 (pair), 460 (pair), 463*(4). Manuel de Sh.A Alimov « L'algèbre et les débuts de l'analyse », 10-11, « Lumières », M., 2005.

CARTE DE LA LEÇON « DÉPENDANCE ENTRE SINE, COSinus ET TANGENTE DU MÊME ANGLE »

Mes points : __________

Nombre maximum de points – 22

18 – 22 points – score « 5 »

15 à 17 points - score « 4 »

11 à 14 points - score « 3 »

Moins de 11 points - vous devez venir consulter dans les prochains jours, la matière n'est pas encore maîtrisée.

"Bref plan"

Vera Anatolyevna Golovatova, professeur de mathématiques

GB POU "Collège Okhta"

Résumé de deux leçons pour les étudiantsje cours (10e année) sur le thème :

"La relation entre le sinus, le cosinus et la tangente du même angle"

Cible:étudier la relation entre le sinus, le cosinus et la tangente du même angle.

Pour atteindre cet objectif, il faut :

Savoir:

formulations de définitions de fonctions trigonométriques de base (sinus, cosinus et tangente) ;

signes de fonctions trigonométriques par quartiers ;

ensemble de valeurs de fonctions trigonométriques ;

formules de base trigonométrie.

Comprendre:

que l'identité trigonométrique de base ne peut être utilisée que pour le même argument ;

algorithme pour calculer une fonction trigonométrique à travers une autre.

Appliquer:

capacité à choisir correctement la formule requise pour résoudre une tâche spécifique ;

capacité à travailler avec fractions simples;

capacité à effectuer des transformations d'expressions trigonométriques.

Analyse:

analyser les erreurs dans la logique du raisonnement.

Synthèse:

suggérer votre propre façon de résoudre des exemples ;

créez des mots croisés en utilisant les connaissances que vous avez acquises.

Grade:

connaissances et compétences sur ce sujet pour une utilisation dans d'autres sections de l'algèbre.

Équipement: mise en page cercle trigonométrique, distributeur matériel de référence avec formules et tableaux de valeurs des fonctions trigonométriques, ordinateur, projecteur multimédia, présentation, fiches avec tâches pour travail autonome.

Sources utilisées :

Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les classes 10-11. enseignement général institutions / Sh.A.Alimov, Yu.V. Sidorov et coll. Éducation, 2006.

Quêtes Banque ouverte pour préparer l'examen d'État unifié de mathématiques, 2011.

Ressources du réseau INTERNET.

Bref plan leçon:

Moment organisationnel.

Salutations. Communiquer le but de la leçon et le plan de la leçon - 3-5 minutes.

Actualisation des connaissances et des compétences.

Les étudiants reçoivent des fiches de cours et des explications sur la façon de travailler avec elles.

Les questions sont affichées à l'écran ; les élèves notent les réponses dans un cahier ; L'enseignant affiche la bonne réponse à l'écran. Après avoir répondu au sondage, les élèves ajoutent des points à la carte de cours pour Tâches n°1 – 10 minutes.

Explication du nouveau matériel.

L'enseignant dérive la formule de l'identité trigonométrique de base - 5 minutes.

Les étudiants sont invités à compléter indépendamment l'enregistrement des exemples affichés à l'écran, à vérifier l'exactitude des réponses et à ajouter des points à la fiche de cours pour Tâches n°2 – 5 minutes.

Dans le cahier, les élèves sont invités à exprimer indépendamment le sinus par le cosinus et le cosinus par le sinus à partir de l’identité trigonométrique de base. La bonne réponse s'affiche à l'écran, les élèves vérifient et ajoutent des points à la carte de cours pour Tâches n°3 – 5-7 minutes.

L’enseignant résout des exemples au tableau en utilisant l’identité trigonométrique de base. Les élèves répondent aux questions du professeur pendant l'explication et notent des exemples dans leur cahier - 15 minutes.

L'enseignant dérive des formules montrant la relation entre la tangente et la cotangente, les élèves participent activement à la dérivation des formules, répondent aux questions et prennent des notes dans un cahier - 5 minutes.

L'enseignant dérive des formules montrant la relation entre la tangente et le cosinus, entre le sinus et la cotangente - 5 minutes.

Les élèves sont appelés au tableau à volonté et, avec l'aide de l'enseignant, résolvent des exemples à l'aide d'un algorithme. Tout le monde écrit et répond aux questions si nécessaire - 10 minutes.

Renforcer la matière apprise

A la fin du cours, les bonnes réponses s'affichent à l'écran, les élèves vérifient leurs réponses et ajoutent des points à la fiche de cours pour Tâches n°4 – 20 minutes.

Devoirs: Les élèves écrivent leurs devoirs dans leurs cahiers - 3 minutes.

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"Réflexion"

Après avoir assisté à des séminaires sur le RNS et animé une leçon utilisant carte technologique Il est devenu évident pour moi que le système de notation stimule au maximum l'intérêt possible des étudiants pour un sujet particulier. Dans mon cas, ce sont les formules de base de la trigonométrie.

La trigonométrie est très souvent mal perçue par les étudiants, non pas tant à cause de sa complexité, mais parce que grande quantité des formules avec lesquelles vous devez être capable de travailler.

Il est difficile, après un cours dispensé à l'aide d'une carte technologique, de s'attendre à ce que un succès incroyable et des résultats, mais il me semble que les bénéfices système de notation dans l'étude de la trigonométrie et des mathématiques en général sont les suivants :

il est devenu possible d'organiser et de soutenir à la fois le travail en classe et le travail indépendant et systématique des étudiants à la maison ;

La fréquentation et le niveau de discipline des cours devraient augmenter ;

la motivation pour les activités éducatives augmente ;

diminuer situations stressantes après avoir reçu des notes insatisfaisantes ;

stimulé attitude créative travailler.

Le seul inconvénient du RNS (à mon avis) est une grande quantité de travail pour l'enseignant, mais c'est un travail pour les résultats. Après un seul cours dispensé avec ce système, les étudiants se demandent constamment si nous allons continuer à travailler de cette façon. Cela signifie qu'ils étaient accros à quelque chose. Et nous devons continuer à travailler.

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"Travail indépendant"

TRAVAIL INDÉPENDANT

Quel que soit le niveau que vous choisissez, examinez d'abord attentivement toutes les tâches que je vous ai confiées, puis complétez la tâche correspondant au niveau que vous avez choisi (Avant d'aborder les tâches de quatre options, le numéro de l'option correspond aux niveaux d'estime de soi.)

1 possibilité

Instructions:

Instructions:

Résolvez vous-même cet exemple :

Option 2

Astuce : Pour déterminer la fonction cosinus, utilisez la formule (3) de la leçon d'aujourd'hui. N'oubliez pas de déterminer le signe qui apparaîtra devant la racine. Pour calculer les valeurs de la tangente et de la cotangente, vous pouvez utiliser la définition de ces fonctions ou utiliser les formules que nous avons développées aujourd'hui en classe.

Note. Regroupez les premier et troisième termes de l'expression, retirez le facteur commun entre parenthèses....

Option 3

Option 4

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"Présentation"

Répétition:

1. Dans quel quartier se trouve l'angle

1 radian et à quoi est-il approximativement égal ?

Au premier trimestre, 1 rad.  57,3°

2. Quel mot manque dans la définition de la fonction sinusoïdale ?

Sinus de l'angle  appelés ………… points du cercle unité.

ORDONNEE

3. Quel mot manque dans la définition de la fonction cosinus ?

Cosinus de l'angle  appelé

………… points du cercle unité.

ABSCISSE

4. Complétez la formule :





tg



5. Déterminez le signe du produit :

tg

6. Quelle valeur le sinus peut-il prendre ?





ou

7. Calculez :

oui

B(x;y)

R.

Y = péché 





Ô

x

x=cos 

Terminez l'enregistrement :









x

oui

x

oui

x

x









x

oui

x

oui

x

x









• J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme, en regardant le cahier, mais à l'aide de questions suggestives (carte - instructions).
• J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme, en regardant le cahier, en utilisant les instructions du professeur.
• + J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme, en regardant le cahier, sans questions ni instructions suggestives.
• + J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme sans regarder le cahier.

Option 1 :

Option 3 :

2.Options :

Option 4 :

"Théorème des sinus et cosinus" - 1) Écrivez le théorème des sinus pour triangle donné: Trouvez l'angle B. Écrivez la formule de calcul : Théorème des sinus : Trouvez la longueur du côté BC. Théorèmes des sinus et des cosinus. Les côtés d'un triangle sont proportionnels aux sinus des angles opposés. 2) Écrivez le théorème du cosinus pour calculer le côté du MC : Travail indépendant :

"Résoudre les inégalités trigonométriques" - Toutes les valeurs y sur l'intervalle MN. 1. Construire des graphiques de fonctions : Les intervalles restants. La droite y=-1/2 coupe la sinusoïde en nombre infini points, et cercle trigonométrique- au point A. nombre infini lacunes. Et sur une sinusoïde, la plage de valeurs x la plus proche de l'origine pour laquelle sinx>-1/2,

« Formules trigonométriques » - Formules pour convertir la somme des fonctions trigonométriques en un produit. Formules pour convertir le produit de fonctions trigonométriques en une somme. Formules d'addition. Par fonctions trigonométriques d'un angle ?. Formules coins doubles. En additionnant les égalités (3) et (4) terme par terme, on obtient : On dérive formules auxiliaires, vous permettant de trouver.

"Résoudre des inégalités trigonométriques simples" - cos x. Méthodes de résolution des inégalités trigonométriques. péché. Inégalités trigonométriques sont appelées inégalités contenant une variable dans l'argument d'une fonction trigonométrique. Résoudre des inégalités trigonométriques simples.

"Sin et cos" - Est-il vrai que le cosinus vaut 6,5 supérieur à zéro? Le sinus de 60° est égal à ?? Est-ce vrai, parce que ? x - siroter ? x = 1 ? Une branche des mathématiques qui étudie les propriétés du sinus, du cosinus... Leçon d'algèbre et d'analyse de base en 10e année. Solution équations trigonométriques et les inégalités. Abscisse d'un point du cercle unité. Le rapport cosinus/sinus...

"Le théorème du cosinus pour un triangle" - Travail oral. Éléments inconnus. Triangle. Côté carré d'un triangle. Énoncez le théorème du cosinus. Théorème. Théorème du cosinus. Résoudre des problèmes sur du papier carré. Coins et côtés. Énoncez le théorème du cosinus. Tâches basées sur des dessins finis. Données présentées dans la figure.

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Sujet: Formules trigonométriques(25 heures)
Leçon 6 – 7 : La relation entre le sinus, le cosinus et la tangente du même angle.
Cible:étudier la relation entre le sinus, le cosinus et la tangente du même angle. Pour atteindre cet objectif, il faut :

Savoir:

formulations de définitions de fonctions trigonométriques de base (sinus, cosinus et tangente) ; signes de fonctions trigonométriques par quartiers ; ensemble de valeurs de fonctions trigonométriques ; formules de base de la trigonométrie.

Comprendre:

que l'identité trigonométrique de base ne peut être utilisée que pour le même argument ; algorithme pour calculer une fonction trigonométrique à travers une autre.

Appliquer:

la capacité de choisir correctement la bonne formule pour résoudre une tâche spécifique ; capacité à travailler avec des fractions simples ; capacité à effectuer des transformations d'expressions trigonométriques.

Analyse:

analyser les erreurs dans la logique du raisonnement.

Synthèse:

suggérez votre propre façon de résoudre des exemples ; créez des mots croisés en utilisant les connaissances que vous avez acquises.

Grade:

connaissances et compétences sur ce sujet pour une utilisation dans d'autres sections de l'algèbre.

Moment organisationnel.

Actualisation des connaissances et des compétences.

Dans quel quartier se trouve un angle de 1 radian et à quoi est-il approximativement égal ?

Quel mot manque dans la définition de la fonction sinus ?

Quel mot manque dans la définition de la fonction cosinus ?

Quelles valeurs le sinus peut-il prendre ?

Explication du nouveau matériel.

Pour trouver la cotangente de l'angle , il convient d'utiliser la formule (6) :

Utilisons la formule (7). Nous avons:

Consolidation.

Et maintenant, l'écran présente des rubriques d'auto-évaluation sur ce sujet. Marquez le niveau que vous aimeriez atteindre aujourd’hui.

J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme, en regardant le cahier, mais à l'aide de questions suggestives (carte - instructions).

J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme, en regardant le cahier, en utilisant les instructions du professeur.

J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme, en regardant le cahier, sans questions ni instructions suggestives.

J'ai compris le sujet et je peux résoudre des exemples en utilisant l'algorithme sans regarder le cahier.

Quel que soit le niveau que vous choisissez, examinez d'abord attentivement toutes les tâches que je vous ai confiées, puis complétez la tâche correspondant au niveau que vous avez choisi (il y a des tâches devant vous en quatre options, le numéro de l'option correspond au niveaux d'estime de soi.)

1 possibilité

Option 4

Maintenant les gars, vérifions les réponses. Les réponses correctes sont affichées à l'écran et les élèves vérifient leur travail et ajoutent des points à la carte de cours pour Tâches n°4. Évaluez-vous à l’aide de la carte de cours. Calculez vos points et mettez-les sur la carte.

Devoirs.
Notez toutes les formules dérivées dans l'ouvrage de référence. D'après le manuel n° 459 (3, 5), n° 460 (1)