Comment est déterminée la projection d'un vecteur sur les axes de coordonnées ? Opérations linéaires sur les vecteurs et leurs propriétés de base

Soit deux vecteurs et donnés dans l'espace. Reportons d'un point arbitraire Ô vecteurs et . Angle entre les vecteurs est appelé le plus petit des angles. Désigné .

Considérons l'axe je et tracez dessus un vecteur unitaire (c'est-à-dire un vecteur dont la longueur est égale à un).

À un angle entre le vecteur et l'axe je comprendre l'angle entre les vecteurs et .

Alors laisse je est un axe et est un vecteur.

Notons par Un 1 Et B1 projections sur l'axe je respectivement des points UN Et B. Faisons comme si Un 1 a une coordonnée x1, UN B1– coordonner x2 sur l'axe je.

Alors projection vecteur par axe je appelé différence x1 – x2 entre les coordonnées des projections de fin et de début du vecteur sur cet axe.

Projection du vecteur sur l'axe je nous noterons .

Il est clair que si l'angle entre le vecteur et l'axe jeépicé alors x2> x1, et projection x2 – x1> 0 ; si cet angle est obtus, alors x2< x1 et projection x2 – x1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси je, Que x2= x1 Et x2– x1=0.

Ainsi, la projection du vecteur sur l'axe je est la longueur du segment Un 1 B 1, pris avec un certain signe. Par conséquent, la projection du vecteur sur l’axe est un nombre ou un scalaire.

La projection d'un vecteur sur un autre est déterminée de la même manière. Dans ce cas, on retrouve les projections des extrémités de ce vecteur sur la droite sur laquelle se trouve le 2ème vecteur.

Regardons quelques éléments de base propriétés des projections.

SYSTÈMES VECTORIELS LINÉAIREMENT DÉPENDANTS ET LINÉAIREMENT INDÉPENDANTS

Considérons plusieurs vecteurs.

Combinaison linéaire de ces vecteurs est n'importe quel vecteur de la forme , où sont des nombres. Les nombres sont appelés coefficients de combinaison linéaire. Ils disent aussi que dans ce cas, cela s'exprime linéairement à travers ces vecteurs, c'est-à-dire en est obtenu à l'aide d'actions linéaires.

Par exemple, si trois vecteurs sont donnés, alors les vecteurs suivants peuvent être considérés comme leur combinaison linéaire :

Si un vecteur est représenté comme une combinaison linéaire de plusieurs vecteurs, alors on dit qu'il est disposé le long de ces vecteurs.

Les vecteurs sont appelés linéairement dépendant, s’il existe des nombres qui ne sont pas tous égaux à zéro, tels que . Il est clair que des vecteurs donnés seront linéairement dépendants si l’un de ces vecteurs est exprimé linéairement par rapport aux autres.

Sinon, c'est à dire quand le rapport effectué uniquement lorsque , ces vecteurs sont appelés linéairement indépendant.

Théorème 1. Deux vecteurs quelconques sont linéairement dépendants si et seulement s'ils sont colinéaires.

Preuve:

Le théorème suivant peut être prouvé de la même manière.

Théorème 2. Trois vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s'ils sont coplanaires.

Preuve.

BASE

Base est la collection de non nuls linéairement vecteurs indépendants. Nous désignerons les éléments de la base par .

Dans le paragraphe précédent, nous avons vu que deux vecteurs non colinéaires sur un plan sont linéairement indépendants. Par conséquent, selon le théorème 1 du paragraphe précédent, une base sur un plan est constituée de deux vecteurs non colinéaires quelconques sur ce plan.

De même, trois vecteurs non coplanaires sont linéairement indépendants dans l’espace. Par conséquent, nous appelons trois vecteurs non coplanaires une base dans l’espace.

La déclaration suivante est vraie.

Théorème. Soit une base donnée dans l'espace. Alors n’importe quel vecteur peut être représenté comme une combinaison linéaire , Où X, oui, z- quelques chiffres. C'est la seule décomposition.

Preuve.

Ainsi, la base permet à chaque vecteur d'être associé de manière unique à un triplet de nombres - les coefficients d'expansion de ce vecteur en vecteurs de base : . L'inverse est également vrai, pour trois nombres x, y, z en utilisant la base, vous pouvez comparer le vecteur si vous faites une combinaison linéaire .

Si la base et , puis les chiffres x, y, z sont appelés coordonnées vecteur dans une base donnée. Les coordonnées du vecteur sont notées .

SYSTÈME DE COORDONNÉES CARTÉSIENNES

Soit un point donné dans l'espace Ô et trois vecteurs non coplanaires.

Système cartésien coordonnées dans l'espace (sur le plan) est l'ensemble d'un point et d'une base, c'est-à-dire un ensemble d'un point et de trois vecteurs non coplanaires (2 vecteurs non colinéaires) émanant de ce point.

Point Ô appelé l'origine; les lignes droites passant par l'origine des coordonnées dans la direction des vecteurs de base sont appelées axes de coordonnées - les axes des abscisses, des ordonnées et des applications. Les plans passant par les axes de coordonnées sont appelés plans de coordonnées.

Considérons dans le système de coordonnées sélectionné point arbitraire M.. Introduisons la notion de coordonnées de points M.. Vecteur reliant l'origine à un point M.. appelé vecteur de rayon points M..

Un vecteur dans la base sélectionnée peut être associé à un triplet de nombres – ses coordonnées : .

Coordonnées du rayon vecteur du point M.. sont appelés coordonnées du point M. dans le système de coordonnées considéré. M(x,y,z). La première coordonnée est appelée l'abscisse, la seconde est l'ordonnée et la troisième est l'appliquée.

De même défini Coordonnées cartésiennes en surface. Ici, le point n'a que deux coordonnées : l'abscisse et l'ordonnée.

Il est facile de constater que lorsque système donné coordonnées, chaque point a certaines coordonnées. En revanche, pour chaque triplet de nombres, il existe un point unique qui a ces nombres comme coordonnées.

Si les vecteurs pris comme base dans le système de coordonnées sélectionné ont une longueur unitaire et sont perpendiculaires par paires, alors le système de coordonnées est appelé Rectangulaire cartésien.

Il est facile de le montrer.

Les cosinus directeurs d’un vecteur déterminent complètement sa direction, mais ne disent rien sur sa longueur.

et sur un axe ou un autre vecteur il y a les concepts de sa projection géométrique et de sa projection numérique (ou algébrique). Le résultat d'une projection géométrique sera un vecteur et le résultat d'une projection algébrique sera un vecteur non négatif. nombre réel. Mais avant de passer à ces concepts, rappelons-nous information nécessaire.

Information préliminaire

Le concept principal est le concept de vecteur lui-même. Afin d’introduire la définition d’un vecteur géométrique, rappelons ce qu’est un segment. Introduisons la définition suivante.

Définition 1

Un segment est une partie d'une ligne qui a deux limites sous forme de points.

Un segment peut avoir 2 directions. Pour désigner la direction, nous appellerons l'une des limites du segment son début, et l'autre limite sa fin. La direction est indiquée du début à la fin du segment.

Définition 2

Un segment vectoriel ou orienté sera un segment pour lequel on sait laquelle des limites du segment est considérée comme le début et laquelle est sa fin.

Désignation : En deux lettres : $\overline(AB)$ – (où $A$ est son début et $B$ est sa fin).

En une petite lettre : $\overline(a)$ (Fig. 1).

Introduisons quelques concepts supplémentaires liés au concept de vecteur.

Définition 3

Nous appellerons deux vecteurs non nuls colinéaires s'ils se trouvent sur la même droite ou sur des droites parallèles entre elles (Fig. 2).

Définition 4

On appellera codirectionnels deux vecteurs non nuls s’ils satisfont à deux conditions :

1. Ces vecteurs sont colinéaires.
2. S'ils sont dirigés dans une direction (Fig. 3).

Notation : $\overline(a)\overline(b)$

Définition 5

On appellera deux vecteurs non nuls de direction opposée s'ils satisfont à deux conditions :

1. Ces vecteurs sont colinéaires.
2. S'ils sont dirigés vers différents côtés(Fig. 4).

Notation : $\overline(a)↓\overline(d)$

Définition 6

La longueur du vecteur $\overline(a)$ sera la longueur du segment $a$.

Notation : $|\overline(a)|$

Passons à la détermination de l'égalité de deux vecteurs

Définition 7

On appellera deux vecteurs égaux s’ils satisfont à deux conditions :

1. Ils sont codirectionnels ;
2. Leurs longueurs sont égales (Fig. 5).

Projection géométrique

Comme nous l'avons dit précédemment, le résultat d'une projection géométrique sera un vecteur.

Définition 8

La projection géométrique du vecteur $\overline(AB)$ sur un axe est un vecteur qui s'obtient comme suit : Le point d'origine du vecteur $A$ est projeté sur cet axe. Nous obtenons le point $A"$ - le début du vecteur souhaité. Le point final du vecteur $B$ est projeté sur cet axe. Nous obtenons le point $B"$ - la fin du vecteur souhaité. Le vecteur $\overline(A"B")$ sera le vecteur souhaité.

Considérons le problème :

Exemple 1

Construire projection géométrique$\overline(AB)$ à l'axe $l$, illustré à la figure 6.

Traçons une perpendiculaire du point $A$ à l'axe $l$, nous obtenons le point $A"$ dessus. Ensuite, nous traçons une perpendiculaire du point $B$ à l'axe $l$, nous obtenons le point $B "$ dessus (Fig. 7).

et sur un axe ou un autre vecteur il y a les concepts de sa projection géométrique et de sa projection numérique (ou algébrique). Le résultat d’une projection géométrique sera un vecteur et le résultat d’une projection algébrique sera un nombre réel non négatif. Mais avant d’aborder ces notions, rappelons les informations nécessaires.

Information préliminaire

Le concept principal est le concept de vecteur lui-même. Afin d’introduire la définition d’un vecteur géométrique, rappelons ce qu’est un segment. Introduisons la définition suivante.

Définition 1

Un segment est une partie d'une ligne qui a deux limites sous forme de points.

Un segment peut avoir 2 directions. Pour désigner la direction, nous appellerons l'une des limites du segment son début, et l'autre limite sa fin. La direction est indiquée du début à la fin du segment.

Définition 2

Un segment vectoriel ou orienté sera un segment pour lequel on sait laquelle des limites du segment est considérée comme le début et laquelle est sa fin.

Désignation : En deux lettres : $\overline(AB)$ – (où $A$ est son début et $B$ est sa fin).

En une petite lettre : $\overline(a)$ (Fig. 1).

Introduisons quelques concepts supplémentaires liés au concept de vecteur.

Définition 3

Nous appellerons deux vecteurs non nuls colinéaires s'ils se trouvent sur la même droite ou sur des droites parallèles entre elles (Fig. 2).

Définition 4

On appellera codirectionnels deux vecteurs non nuls s’ils satisfont à deux conditions :

1. Ces vecteurs sont colinéaires.
2. S'ils sont dirigés dans une direction (Fig. 3).

Notation : $\overline(a)\overline(b)$

Définition 5

On appellera deux vecteurs non nuls de direction opposée s'ils satisfont à deux conditions :

1. Ces vecteurs sont colinéaires.
2. S'ils sont dirigés dans des directions différentes (Fig. 4).

Notation : $\overline(a)↓\overline(d)$

Définition 6

La longueur du vecteur $\overline(a)$ sera la longueur du segment $a$.

Notation : $|\overline(a)|$

Passons à la détermination de l'égalité de deux vecteurs

Définition 7

On appellera deux vecteurs égaux s’ils satisfont à deux conditions :

1. Ils sont codirectionnels ;
2. Leurs longueurs sont égales (Fig. 5).

Projection géométrique

Comme nous l'avons dit précédemment, le résultat d'une projection géométrique sera un vecteur.

Définition 8

La projection géométrique du vecteur $\overline(AB)$ sur un axe est un vecteur qui s'obtient comme suit : Le point d'origine du vecteur $A$ est projeté sur cet axe. Nous obtenons le point $A"$ - le début du vecteur souhaité. Le point final du vecteur $B$ est projeté sur cet axe. Nous obtenons le point $B"$ - la fin du vecteur souhaité. Le vecteur $\overline(A"B")$ sera le vecteur souhaité.

Considérons le problème :

Exemple 1

Construisez une projection géométrique $\overline(AB)$ sur l'axe $l$ illustré à la figure 6.

Traçons une perpendiculaire du point $A$ à l'axe $l$, nous obtenons le point $A"$ dessus. Ensuite, nous traçons une perpendiculaire du point $B$ à l'axe $l$, nous obtenons le point $B "$ dessus (Fig. 7).

Images dans les dessins corps géométriques sont construits selon la méthode de projection. Mais pour cela, une seule image ne suffit pas ; il faut au moins deux projections. Avec leur aide, des points dans l'espace sont déterminés. Il faut donc savoir comment trouver la projection d’un point.

Projection d'un point

Pour ce faire, vous devrez considérer l'espace angle dièdre, avec un point (A) situé à l'intérieur. Ici, les plans de projection horizontal P1 et vertical P2 sont utilisés. Le point (A) est projeté orthogonalement sur les plans de projection. Quant aux rayons projetés perpendiculaires, ils se combinent en un plan projetant, perpendiculaire aux plans projections. Ainsi, en combinant les plans horizontal P1 et frontal P2 en tournant selon l'axe P2/P1, on obtient un dessin plat.

Ensuite, une ligne sur laquelle se trouvent les points de projection est affichée perpendiculairement à l'axe. Il s'avère donc dessin complexe. Grâce aux segments construits dessus et ligne verticale connexion, vous pouvez facilement déterminer la position d’un point par rapport aux plans de projection.

Pour mieux comprendre comment trouver la projection, vous devez considérer triangle rectangle. Son côté court est la jambe et son côté long est l'hypoténuse. Si vous projetez une jambe sur l’hypoténuse, elle sera divisée en deux segments. Pour déterminer leur valeur, vous devez calculer un ensemble de données initiales. Regardons triangle donné, méthodes de calcul des principales projections.

En règle générale, dans ce problème, ils indiquent la longueur de la jambe N et la longueur de l'hypoténuse D, dont il faut trouver la projection. Pour ce faire, nous allons découvrir comment retrouver la projection de la jambe.

Considérons une méthode pour trouver la longueur de la jambe (A). Considérant que la moyenne géométrique de la projection de la jambe et de la longueur de l'hypoténuse est égale à la valeur de la jambe que l'on recherche : N = √(D*Nd).

Comment trouver la longueur de projection

La racine du produit peut être trouvée en mettant au carré la longueur de la jambe souhaitée (N), puis en la divisant par la longueur de l'hypoténuse : Nd = (N / √ D)² = N² / D. Lors de la spécification des valeurs ​​des seules branches D et N dans les données sources, les projections de longueur doivent être trouvées à l'aide du théorème de Pythagore.
Trouvons la longueur de l'hypoténuse D. Pour ce faire, vous devez utiliser les valeurs des jambes √ (N² + T²), puis substituer la valeur résultante dans la formule suivante pour trouver la projection : Nd = N² / √ (N² + T²).

Lorsque les données sources contiennent des données sur la longueur de la projection de la jambe RD, ainsi que des données sur la valeur de l'hypoténuse D, la longueur de la projection de la deuxième jambe ND doit être calculée à l'aide d'une simple formule de soustraction : ND = D-RD.

Projection de la vitesse

Voyons comment trouver la projection de la vitesse. Pour qu'un vecteur donné représente une description du mouvement, il doit être placé en projection sur axes de coordonnées. Il y a un axe de coordonnées (rayon), deux axes de coordonnées (plan) et trois axes de coordonnées (espace). Lors de la recherche d'une projection, il est nécessaire d'abaisser les perpendiculaires des extrémités du vecteur sur l'axe.

Afin de comprendre la signification de la projection, vous devez savoir comment trouver la projection d’un vecteur.

Projection vectorielle

Lorsque le corps se déplace perpendiculairement à l'axe, la projection sera représentée comme un point et aura la valeur égal à zéro. Si le mouvement est effectué parallèlement à l'axe des coordonnées, alors la projection coïncidera avec le module vectoriel. Dans le cas où le corps se déplace de telle manière que le vecteur vitesse soit dirigé selon un angle φ par rapport à l'axe (x), la projection sur cet axe sera un segment : V(x) = V cos(φ), où V est le modèle du vecteur vitesse. Lorsque les directions du vecteur vitesse et de l'axe des coordonnées coïncident, alors la projection est positive, et vice versa.

Prenons ce qui suit équation de coordonnées: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Dans ce cas, la fonction vitesse sera projetée sur trois axes et aura la forme suivante : V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). Il s'ensuit que pour trouver la vitesse il faut prendre des dérivées. Le vecteur vitesse lui-même est exprimé par une équation de la forme suivante : V = V(x) i + V(y) j + V(z) k . Ici i, j, k sont vecteurs unitaires axes de coordonnées x, y, z respectivement. Ainsi, le module de vitesse est calculé par la formule suivante: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).

L'axe est la direction. Cela signifie que la projection sur un axe ou sur une ligne dirigée est considérée comme la même. La projection peut être algébrique ou géométrique. En termes géométriques, la projection d'un vecteur sur un axe est comprise comme un vecteur, et en termes algébriques, elle est comprise comme un nombre. C'est-à-dire que les concepts de projection d'un vecteur sur un axe et de projection numérique d'un vecteur sur un axe sont utilisés.

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Si nous avons un axe L et un vecteur A B → non nul, alors nous pouvons construire un vecteur A 1 B 1 ⇀, désignant les projections de ses points A 1 et B 1.

A 1 B → 1 sera la projection du vecteur A B → sur L.

Définition 1

Projection du vecteur sur l'axe est un vecteur dont le début et la fin sont des projections du début et de la fin au-delà vecteur donné. n p L A B → → il est d'usage de désigner la projection A B → sur L. Pour construire une projection sur L, les perpendiculaires sont déposées sur L.

Exemple 1

Un exemple de projection vectorielle sur un axe.

Sur avion coordonnéÀ propos de x y le point M 1 (x 1 , y 1) est spécifié. Il est nécessaire de construire des projections sur O x et O y pour imager le rayon vecteur du point M 1. On obtient les coordonnées des vecteurs (x 1, 0) et (0, y 1).

Si nous parlons deà propos de la projection de a → sur un b → non nul ou de la projection de a → sur la direction b → , alors nous entendons la projection de a → sur l'axe avec lequel la direction b → coïncide. La projection de a → sur la droite définie par b → est notée n p b → a → → . On sait que lorsque l'angle entre a → et b → , n p b → a → → et b → peut être considéré comme codirectionnel. Dans le cas où l'angle est obtus, n p b → a → → et b → sont dans des directions opposées. Dans une situation de perpendiculaire a → et b →, et a → est nul, la projection de a → dans la direction b → est le vecteur zéro.

La caractéristique numérique de la projection d'un vecteur sur un axe est la projection numérique d'un vecteur sur un axe donné.

Définition 2

Projection numérique du vecteur sur l'axe est un nombre égal au produit de la longueur d'un vecteur donné et du cosinus de l'angle entre le vecteur donné et le vecteur qui détermine la direction de l'axe.

La projection numérique de A B → sur L est notée n p L A B → , et a → sur b → - n p b → a → .

Sur la base de la formule, nous obtenons n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , d'où a → est la longueur du vecteur a → , a ⇀ , b → ^ est l'angle entre les vecteurs a → et b → .

On obtient la formule de calcul de la projection numérique : n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Il est applicable pour les longueurs connues a → et b → et l'angle entre elles. La formule est applicable pour les coordonnées connues a → et b →, mais il existe une forme simplifiée.

Exemple 2

Découvrez la projection numérique de a → sur une droite dans la direction b → d'une longueur a → égale à 8 et d'un angle entre elles de 60 degrés. Par condition on a a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. Alors, remplaçons valeurs numériques dans la formule n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Répondre: 4.

Avec cos connu (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , nous avons a → , b → comme produit scalaire une → et b → . Suite à la formule n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , nous pouvons trouver la projection numérique a → dirigée le long du vecteur b → et obtenir n p b → a → = a → , b → b → . La formule est équivalente à la définition donnée au début du paragraphe.

Définition 3

La projection numérique du vecteur a → sur un axe coïncidant en direction avec b → est le rapport du produit scalaire des vecteurs a → et b → à la longueur b → . La formule n p b → a → = a → , b → b → est applicable pour trouver la projection numérique de a → sur une ligne coïncidant en direction avec b → , avec des coordonnées a → et b → connues.

Exemple 3

Étant donné b → = (- 3 , 4) . Trouvez la projection numérique a → = (1, 7) sur L.

Solution

Sur le plan de coordonnées n p b → a → = a → , b → b → a la forme n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , avec a → = (a x , a y ) et b → = b X , par y . Pour trouver la projection numérique du vecteur a → sur l'axe L, vous avez besoin de : n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + by y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Répondre: 5.

Exemple 4

Trouvez la projection de a → sur L, coïncidant avec la direction b →, où il y a a → = - 2, 3, 1 et b → = (3, - 2, 6). L'espace tridimensionnel est spécifié.

Solution

Étant donné a → = a x , a y , a z et b → = b x , by , b z , nous calculons le produit scalaire : a ⇀ , b → = a x · b x + a y · by + a z · b z . Nous trouvons la longueur b → en utilisant la formule b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Il s'ensuit que la formule pour déterminer la projection numérique a → sera : n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Remplacez les valeurs numériques : n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Réponse : - 6 7.

Regardons la connexion entre a → sur L et la longueur de la projection a → sur L. Traçons un axe L, en ajoutant a → et b → à partir d'un point sur L, après quoi nous traçons une ligne perpendiculaire de l'extrémité a → à L et dessinons une projection sur L. Il existe 5 variantes de l'image :

D'abord le cas avec a → = n p b → a → → signifie a → = n p b → a → → , donc n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → une → → .

Deuxième le cas implique l'utilisation de n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , ce qui signifie n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Troisième le cas explique que lorsque n p b → a → → = 0 → on obtient n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , alors n p b → a → → = 0 et n p b → une → = 0 = n p b → une → → .

Quatrième le cas montre n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , suit n p b → a → = a → · cos ( une → , b → ^) = - n p b → une → → .

Cinquième le cas montre a → = n p b → a → → , ce qui signifie a → = n p b → a → → , donc nous avons n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - une → = - n p b → une → .

Définition 4

La projection numérique du vecteur a → sur l'axe L, qui est orienté de la même manière que b →, a la valeur suivante :

• la longueur de la projection du vecteur a → sur L, à condition que l'angle entre a → et b → soit inférieur à 90 degrés ou égal à 0 : n p b → a → = n p b → a → → avec la condition 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• zéro à condition que a → et b → soient perpendiculaires : n p b → a → = 0, lorsque (a → , b → ^) = 90° ;
• la longueur de la projection a → sur L, multipliée par -1, lorsqu'il existe un angle obtus ou droit des vecteurs a → et b → : n p b → a → = - n p b → a → → avec la condition de 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Exemple 5

Étant donné la longueur de la projection a → sur L, égale à 2. Trouvez la projection numérique a → à condition que l'angle soit de 5 π 6 radians.

Solution

D'après la condition, il est clair que angle donné est obtus : π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Réponse : - 2.

Exemple 6

Étant donné un plan O x y z de longueur vectorielle a → égale à 6 3, b → (- 2, 1, 2) avec un angle de 30 degrés. Trouvez les coordonnées de la projection a → sur l'axe L.

Solution

Tout d'abord, nous calculons la projection numérique du vecteur a → : n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Par condition, l'angle est aigu, alors la projection numérique a → = la longueur de la projection du vecteur a → : n p L a → = n p L a → → = 9. Ce cas montre que les vecteurs n p L a → → et b → sont co-dirigés, ce qui signifie qu'il existe un nombre t pour lequel l'égalité est vraie : n p L a → → = t · b → . De là, nous voyons que n p L a → → = t · b → , ce qui signifie que nous pouvons trouver la valeur du paramètre t : t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Alors n p L a → → = 3 · b → avec les coordonnées de la projection du vecteur a → sur l'axe L égales à b → = (- 2 , 1 , 2) , où il faut multiplier les valeurs par 3. Nous avons n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Réponse : (- 6, 3, 6).

Il est nécessaire de répéter les informations précédemment apprises sur la condition de colinéarité des vecteurs.

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