Séquence croissante. II

Si tout le monde nombre naturel n est attribué à certains nombre réel x n , alors ils disent que c'est donné séquence de nombres

x 1 , x 2 , … xn , …

Nombre x 1 est appelé membre de la séquence avec le numéro 1 ou premier terme de la suite, nombre x 2 - membre de la séquence avec le numéro 2 ou le deuxième membre de la séquence, etc. Le nombre x n est appelé membre de la séquence avec numéro n.

Il existe deux manières de spécifier des séquences de nombres : avec et avec formule récurrente.

Séquence utilisant formules membre général séquences– c'est une tâche séquentielle

x 1 , x 2 , … xn , …

en utilisant une formule exprimant la dépendance du terme x n sur son nombre n.

Exemple 1. Séquence numérique

1, 4, 9, … n 2 , …

donné en utilisant la formule du terme courant

xn = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Spécifier une séquence à l'aide d'une formule exprimant un membre de séquence x n à travers les membres de séquence avec les numéros précédents est appelé spécifier une séquence à l'aide de formule récurrente.

x 1 , x 2 , … xn , …

appelé en séquence croissante, plus membre précédent.

Autrement dit, pour tout le monde n

x n + 1 >x n

Exemple 3. Séquence de nombres naturels

1, 2, 3, … n, …

est séquence ascendante.

Définition 2. Séquence numérique

x 1 , x 2 , … xn , …

appelé séquence décroissante si chaque membre de cette séquence moins membre précédent.

Autrement dit, pour tout le monde n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

x n + 1 < x n

Exemple 4. Sous-séquence

donné par la formule

est séquence décroissante.

Exemple 5. Séquence numérique

1, - 1, 1, - 1, …

donné par la formule

xn = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

n'est pas ni en augmentation ni en diminution séquence.

Définition 3. Les séquences de nombres croissants et décroissants sont appelées séquences monotones.

Séquences limitées et illimitées

Définition 4. Suite de nombres

x 1 , x 2 , … xn , …

appelé limité d'en haut, s'il existe un nombre M tel que chaque membre de cette séquence moins les numéros M.

Autrement dit, pour tout le monde n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

Définition 5. Séquence numérique

x 1 , x 2 , … xn , …

appelé délimité en dessous, s'il existe un nombre m tel que chaque membre de cette séquence plus nombres m.

Autrement dit, pour tout le monde n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

Définition 6. Suite de nombres

x 1 , x 2 , … xn , …

est appelé limité s'il limité au-dessus et au-dessous.

En d’autres termes, il existe des nombres M et m tels que pour tout n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

m< x n < M

Définition 7. Séquences de nombres, lequel ne sont pas limités, appelé séquences illimitées.

Exemple 6. Séquence numérique

1, 4, 9, … n 2 , …

donné par la formule

xn = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

délimité en dessous, par exemple, le nombre 0. Cependant, cette séquence illimité d'en haut.

Exemple 7. Sous-séquence

donné par la formule

est séquence limitée , parce que pour tout le monde n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

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Parfois, ces séquences sont appelées strictement croissant et, et le terme "V. p." s'applique aux séquences qui satisfont à toutes les conditions. Ces séquences sont appelées. également non décroissante. Toute suite non décroissante délimitée au-dessus a une suite finie, et toute suite non délimitée au-dessus a limite infinie, égal à +infini. L.D. Kudryavtsev.

Encyclopédie mathématique. - M. : Encyclopédie soviétique.

I.M. Vinogradov.

1977-1985. Voyez ce qu’est « INCURING SEQUENCE » dans d’autres dictionnaires : séquence croissante- - [L.G. Sumenko. Dictionnaire anglais-russe sur les technologies de l'information. M. : Entreprise d'État TsNIIS, 2003.] Sujets informatique

en général FR séquence ascendante...

Guide du traducteur technique

La tâche de trouver la sous-séquence croissante la plus longue est de trouver la sous-séquence croissante la plus longue dans une séquence d’éléments donnée. Contenu 1 Énoncé du problème 2 Algorithmes associés ... Wikipédia Une fonction monotone est une fonction dont l'incrément ne change pas de signe, c'est-à-dire qu'elle est soit toujours non négative, soit toujours non positive. Si de plus l’incrément n’est pas nul, alors la fonction est dite strictement monotone. Table des matières 1 Définitions 2 ... ... Wikipédia Séquence Une séquence de nombres est une séquence d'éléments

espace numérique . Nombres numériques... Wikipédia Il s'agit d'une séquence dont les éléments ne diminuent pas à mesure que le nombre augmente, ou, au contraire, n'augmentent pas. De telles séquences sont souvent rencontrées en recherche et présentent un certain nombre de

traits distinctifs et propriétés supplémentaires.... ... Wikipédia Une séquence monotone est une séquence qui satisfait l’un des

Branche de la théorie des nombres dans laquelle des ensembles de nombres possédant certaines propriétés arithmétiques sont étudiés et caractérisés métriquement (c'est-à-dire sur la base de la théorie de la mesure). propriétés. M. t.h. est étroitement lié à la théorie des probabilités, ce qui permet parfois... ... Encyclopédie mathématique

Déclare que toute séquence croissante bornée a une limite, et cette limite est égale à sa valeur exacte bord supérieur. Malgré la simplicité de la preuve, ce théorème s'avère très pratique pour trouver les limites de beaucoup... ... Wikipédia

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L'espace conjugué à l'espace des fonctions de base (assez bonnes). Rôle important Les espaces de Fréchet (de type FS) et les espaces fortement conjugués (de type DFS) jouent ici. Un espace de type FS est la limite projective d'un compact... ... Encyclopédie mathématique

Définition 1. La séquence s’appelle décroissant (non croissant ), si pour tout le monde
l’inégalité persiste
.

Définition 2. Cohérence
appelé croissant (non décroissant ), si pour tout le monde
l’inégalité persiste
.

Définition 3. Les séquences décroissantes, non croissantes, croissantes et non décroissantes sont appelées monotone les séquences, les séquences décroissantes et croissantes sont également appelées strictement monotone séquences.

Évidemment, une suite non décroissante est bornée par le bas, et une suite non croissante est bornée par le haut. Par conséquent, toute séquence monotone est évidemment limitée d’un côté.

Exemple 1. Cohérence
augmente, ne diminue pas,
diminue
n'augmente pas
– séquence non monotone.

Pour les séquences monotones, les éléments suivants jouent un rôle important :

Théorème 1. Si une séquence non décroissante (non croissante) est bornée au-dessus (en dessous), alors elle converge.

Preuve. Laissez la séquence
ne diminue pas et est délimité par le haut, c'est-à-dire
et beaucoup
limitée par le haut. D'après le théorème 1 § 2 il y a
. Prouvons que
.

Prenons
arbitrairement. Parce que UN– limite supérieure exacte, il y a un nombre N tel que
. Puisque la suite est non décroissante, alors pour tout
nous avons, c'est-à-dire
, c'est pourquoi
pour tout le monde
, et cela signifie que
.

Pour une suite non croissante délimitée ci-dessous, la preuve est similaire à ( les élèves peuvent prouver cette affirmation par eux-mêmes à la maison). Le théorème a été prouvé.

Commentaire. Le théorème 1 peut être formulé différemment.

Théorème 2. Pour qu’une suite monotone converge, il faut et il suffit qu’elle soit bornée.

La suffisance est établie dans le théorème 1, la nécessité – dans le théorème 2 du § 5.

La condition de monotonie n’est pas nécessaire à la convergence d’une suite, puisqu’une suite convergente n’est pas nécessairement monotone. Par exemple, la séquence
pas monotone, mais converge vers zéro.

Conséquence. Si la séquence
augmente (diminue) et est limité par le haut (par le bas), alors
(
).

En effet, d'après le théorème 1
(
).

Définition 4. Si
à
, alors la séquence s'appelle système de contraction de segments imbriqués .

Théorème 3 (principe des segments imbriqués). Chaque système contractuel de segments imbriqués a, en outre, un point unique Avec, appartenant à tous les segments de ce système.

Preuve. Montrons que le point Avec existe. Parce que
, Que
et donc la séquence
ne diminue pas, mais la séquence
n'augmente pas. En même temps
Et
limité parce que. Alors, d’après le théorème 1, il existe
Et
, mais depuis
, Que
=
. Point trouvé Avec appartient à tous les segments du système, puisque par le corollaire du théorème 1
,
, c'est-à-dire
pour toutes les valeurs n.

Montrons maintenant que le point Avec- le seul. Supposons qu'il existe deux de ces points : Avec Et d et laissez pour certitude
. Puis le segment
appartient à tous les segments
, c'est-à-dire
pour tout le monde n, ce qui est impossible puisque
et donc, à partir d'un certain nombre,
. Le théorème a été prouvé.

Notez que l'essentiel ici est que les intervalles fermés soient considérés, c'est-à-dire segments. Si l’on considère un système d’intervalles de contraction, alors le principe est, d’une manière générale, incorrect. Par exemple, les intervalles
, se contracte évidemment jusqu'à un certain point
, mais je souligne
n'appartient à aucun intervalle de ce système.

Considérons maintenant des exemples de séquences monotones convergentes.

1) Numéro e.

Considérons maintenant la séquence
. Comment se comporte-t-elle ? Base

degrés
, c'est pourquoi
? De l'autre côté,
, UN
, c'est pourquoi
? Ou n'y a-t-il pas de limite ?

Pour répondre à ces questions, considérons la séquence auxiliaire
. Montrons qu'il diminue et est borné en dessous. En même temps, nous aurons besoin

Lemme. Si
, alors pour toutes les valeurs naturelles n nous avons

(inégalité de Bernoulli).

Preuve. Utilisons la méthode induction mathématique.

Si
, Que
, c'est-à-dire l'inégalité est vraie.

Supposons que cela soit vrai pour
et prouver sa validité pour
+1.

Droite
. Multiplions cette inégalité par
:

Ainsi, . Cela signifie que, selon le principe d’induction mathématique, l’inégalité de Bernoulli est vraie pour toutes les valeurs naturelles. n. Le lemme est prouvé.

Montrons que la suite
diminue. Nous avons

‌‌‌׀L'inégalité de Bernoulli׀
, et cela signifie que la séquence
diminue.

La limite d’en bas découle de l’inégalité
‌‌‌׀L'inégalité de Bernoulli׀
pour toutes les valeurs naturelles n.

D'après le théorème 1, il y a
, qui est désigné par la lettre e. C'est pourquoi
.

Nombre e irrationnel et transcendantal, e= 2,718281828… . C'est, comme on le sait, la base des logarithmes naturels.

Remarques. 1) L'inégalité de Bernoulli peut être utilisée pour prouver que
à
. En effet, si
, Que
. Alors, d’après l’inégalité de Bernoulli, avec
. Par conséquent, à
nous avons
, c'est
à
.

2) Dans l’exemple évoqué ci-dessus, la base du diplôme tend vers 1, et l'exposant n- À , c'est-à-dire qu'il existe une incertitude sur la forme . Une incertitude de ce type, comme nous l'avons montré, est révélée par la remarquable limite
.

2)
(*)

Montrons que cette suite converge. Pour ce faire, nous montrons qu’elle est bornée par le bas et n’augmente pas. Dans ce cas, on utilise l'inégalité
pour tout le monde
, ce qui est une conséquence de l'inégalité
.

Nous avons
voir les inégalités sont plus élevées
, c'est-à-dire la séquence est délimitée ci-dessous par le nombre
.

Suivant,
depuis

, c'est-à-dire la séquence n'augmente pas.

D'après le théorème 1, il y a
, que nous désignons X. Passant en égalité (*) à la limite en
, nous obtenons

, c'est-à-dire
, où
(on prend le signe plus, puisque tous les termes de la suite sont positifs).

La séquence (*) est utilisée dans le calcul
environ. Pour prenez n’importe quel nombre positif. Par exemple, trouvons
. Laisser
. Alors
,. Ainsi,
.

3)
.

Nous avons
. Parce que
à
, il y a un numéro N, de telle sorte que pour tout le monde
l’inégalité persiste
. Donc la séquence
, à partir d'un certain nombre N, diminue et est borné en dessous, puisque
pour toutes les valeurs n. Cela signifie que d'après le théorème 1 il y a
. Parce que
, nous avons
.

Donc,
.

4)
, droite - n racines.

En utilisant la méthode d’induction mathématique, nous montrerons que
pour toutes les valeurs n. Nous avons
. Laisser
. Nous obtenons alors un énoncé basé sur le principe de l’induction mathématique. En utilisant ce fait, nous trouvons, c'est-à-dire sous-séquence
augmente et est délimité par le haut. Il existe donc parce que
.

Ainsi,
.

Objectif : Donner le concept, la définition d'une séquence, finie, infinie, les différentes manières de définir des séquences, leurs différences, apprendre à les utiliser lors de la résolution d'exemples.

Équipement : Tableaux.

Déroulement de la leçon

I. Moment organisationnel.

II. Contrôle frontal devoirs:

1) élève au tableau problème n°2.636 (de la partie II du « Recueil de tâches pour l'examen écrit de la 9e année)

2) étudiant. Construire un graphique

3) frontalement avec toute la classe n° 2.334 (a).

III. Explication du nouveau matériel.

Un cours magistral est une forme d'organisation du processus éducatif qui oriente les étudiants lorsqu'ils étudient un sujet particulier vers l'essentiel et implique une large démonstration de l'attitude personnelle de l'enseignant et des étudiants à l'égard du matériel pédagogique. Parce que La leçon-cours prévoit une présentation en gros blocs de la matière par l'enseignant, puis la communication verbale entre l'enseignant et les étudiants est l'élément principal de sa technologie. La parole du professeur a un impact émotionnel, esthétique et crée une certaine attitude envers la matière. À l'aide d'un cours magistral, divers types d'activités des étudiants en classe sont guidés et, grâce aux connaissances, aux compétences et aux capacités, la cognition est formée comme base de l'activité éducative.

I. Notez les nombres à deux chiffres se terminant par 3 dans l'ordre croissant.

13; 23; 33;………….93.

À tout le monde numéro de série De 1 à 9, faites correspondre un nombre spécifique à deux chiffres :

1->13; 2->23;………9->93.

Une correspondance a été établie entre l'ensemble des neuf premiers nombres naturels et l'ensemble des nombres à deux chiffres se terminant par le chiffre 3. Cette correspondance est une fonction.

Le domaine de définition est (1 ; 2 ; 3 ;……..9)

Beaucoup de valeurs (13 ; 23 ; 33 ;…….93).

Si la correspondance est notée f, alors

Cette séquence peut être spécifiée à l'aide du par.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

b) 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0

Tableau n°1

UN)

b)

II.

O.o.f. (1 ; 2 ; 3 ; 4 ;…..)

M.z.f. g(1) = ;

g(3) =;

...

g(60) =

Une fonction définie sur l’ensemble des nombres naturels est appelée une suite infinie.

c) 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ;……..

1 -> 2 ; 2 -> 4 ; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- les membres de la séquence.

Remarque : il faut distinguer la notion d'ensemble et la notion de séquence.

une) (10 ; 20 ; 30 ; 40)

{40; 30; 20; 10}

Le même ensemble.

b) cependant, les séquences 10 ; 20 ; 30 ; 40

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

Divers:

III. Considérons la séquence :

1) 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ;……. -> infini, croissant

2) 10 ; 9 ; 8 ; 7 ; 6. -> final, décroissant.

UN)

Une suite est dite croissante si chaque membre, à partir du second, est supérieur au précédent.

b)

La définition d'une suite décroissante est donnée.

Les séquences croissantes ou décroissantes sont dites monotones.

1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0. - fluctuant ;

5 ; 5 ; 5 ; 5 ; ….. - constante.

IV. Les séquences peuvent être représentées géométriquement. Parce que séquence est une fonction dont le domaine de définition est l'ensemble N, alors le graphe, apparemment, est l'ensemble des points du plan (x; y).

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Exemple : -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3.

Traçons cette séquence

Graphique 1.

99; 74; 49; 24; -1;……………

Exemple : Prouver qu'une suite donnée sous cette forme

V. Méthodes de spécification des séquences.

Parce que Une séquence est une fonction définie sur l'ensemble N, il existe alors cinq manières de définir des séquences :

I. Tabulaire

II. Méthode de description

III. Analytique

IV. Graphique

V. Récurrent

I. Tabulaire - très gênant. Nous dressons un tableau et l'utilisons pour déterminer quel membre ? quelle place prend-il……..

II. Méthode de description.

Exemple : La séquence est telle que chaque membre s'écrit avec le chiffre 4, et le nombre de chiffres est égal au numéro de la séquence.

III. Méthode analytique(en utilisant une formule).

Une formule qui exprime chaque membre d’une séquence en fonction de son numéro n est appelée formule pour le n membre de la séquence.

Par exemple:

et les élèves composent ces séquences, et vice versa : choisir une formule pour les termes des séquences :

une) 1 ; ;
Une suite est dite croissante si chaque membre, à partir du second, est supérieur au précédent. ...
;…………..
V)
G)

e) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. IV. Méthode graphique