Les séquences de nombres monotones le sont. je

Objectif : Donner le concept, la définition d'une séquence, finie, infinie, les différentes manières de définir des séquences, leurs différences, apprendre à les utiliser lors de la résolution d'exemples.

Équipement : Tableaux.

Déroulement de la leçon

JE. Moment d'organisation.

II. Contrôle frontal devoirs:

1) élève au tableau tâche n°2.636 (de la partie II du « Recueil de tâches pour l'examen écrit de la 9e année)

2) étudiant. Construire un graphique

3) frontalement avec toute la classe n° 2.334 (a).

III. Explication du nouveau matériel.

Un cours magistral est une forme d'organisation du processus éducatif qui oriente les étudiants lorsqu'ils étudient un sujet particulier vers l'essentiel et implique une large démonstration de l'attitude personnelle de l'enseignant et des étudiants à l'égard du matériel pédagogique. Parce que La leçon-cours prévoit une présentation en gros blocs de la matière par l'enseignant, puis la communication verbale entre l'enseignant et les étudiants est l'élément principal de sa technologie. La parole du professeur a un impact émotionnel, esthétique et crée une certaine attitude envers la matière. À l'aide d'un cours magistral, divers types d'activités des étudiants en classe sont guidés et, grâce aux connaissances, aux compétences et aux capacités, la cognition est formée comme base de l'activité éducative.

I. Notez les nombres à deux chiffres se terminant par 3 dans l'ordre croissant.

13; 23; 33;………….93.

À tout le monde numéro de série De 1 à 9, faites correspondre un nombre spécifique à deux chiffres :

1->13; 2->23;………9->93.

Une correspondance a été établie entre l'ensemble des neuf premiers nombres naturels et l'ensemble des nombres à deux chiffres se terminant par 3. Cette correspondance est une fonction.

Le domaine de définition est (1 ; 2 ; 3 ;……..9)

Beaucoup de valeurs (13 ; 23 ; 33 ;…….93).

Si la correspondance est notée f, alors

Cette séquence peut être spécifiée à l'aide du par.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

b) 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0

Tableau n°1

UN)

b)

II.

O.o.f. (1 ; 2 ; 3 ; 4 ;…..)

M.z.f. g(1) = ;

g(3) =;

...

g(60) =

Une fonction définie sur l’ensemble des nombres naturels est appelée une suite infinie.

c) 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ;……..

1 -> 2 ; 2 -> 4 ; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- les membres de la séquence.

Remarque : il faut distinguer la notion d'ensemble et la notion de séquence.

une) (10 ; 20 ; 30 ; 40)

{40; 30; 20; 10}

Le même ensemble.

b) cependant, les séquences 10 ; 20 ; 30 ; 40

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

Divers:

III. Considérons la séquence :

2) 10 ; 9 ; 8 ; 7 ; 6. -> final, décroissant.

UN)

Une suite est dite croissante si chaque membre, à partir du second, est supérieur au précédent.

b)

La définition d'une suite décroissante est donnée.

Les séquences croissantes ou décroissantes sont dites monotones.

1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0. - fluctuant ;

5 ; 5 ; 5 ; 5 ; ….. - constante.

IV. Les séquences peuvent être représentées géométriquement. Parce que séquence est une fonction dont le domaine de définition est l'ensemble N, alors le graphe, apparemment, est l'ensemble des points du plan (x; y).

Exemple : -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Traçons cette séquence

Graphique 1.

Exemple : Prouver qu'une suite donnée sous cette forme

99; 74; 49; 24; -1;……………

est en diminution.

V. Méthodes de spécification des séquences.

Parce que Une séquence est une fonction définie sur l'ensemble N, il existe alors cinq manières de définir des séquences :

I. Tabulaire

II. Méthode de description

III. Analytique

IV. Graphique

V. Récurrent

I. Tabulaire - très gênant. Nous dressons un tableau et l'utilisons pour déterminer quel membre ? quelle place prend-il……..

II. Méthode de description.

Exemple : La séquence est telle que chaque membre s'écrit avec le chiffre 4, et le nombre de chiffres est égal au numéro de la séquence.

III. Méthode analytique(en utilisant une formule).

Une formule qui exprime chaque membre d’une séquence en fonction de son numéro n est appelée formule pour le n membre de la séquence.

Par exemple:

et les élèves composent ces séquences, et vice versa : choisir une formule pour les termes des séquences :

une) 1 ; ;
b) ...
;…………..
V)
g)

e) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. IV. Méthode graphique

- pas très pratique non plus, ils ne l'utilisent généralement pas.

Théorème de Weierstrass sur la limite d'une séquence monotone Toute séquence délimitée monotone(xn) a limite finale , égal à la limite supérieure exacte, sup(xn) pour une borne inférieure non décroissante et exacte, inf(xn)
pour une séquence non croissante. Toute séquence monotone illimitée a limite infinie

, égal à plus l'infini pour une séquence non décroissante et moins l'infini pour une séquence non croissante.

1) Preuve non décroissant .

(1.1) .

séquence limitée
.
Puisque la séquence est bornée, elle a une limite supérieure étroite

• Cela signifie que :
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
pour tout n,
Ici, nous avons également utilisé (1.3). En combinant avec (1.2), on trouve :
à .
,
Depuis lors
Ici, nous avons également utilisé (1.3). En combinant avec (1.2), on trouve :
ou

2) La première partie du théorème a été prouvée. Soit maintenant la séquence:
(2.1) séquence bornée non croissante

Puisque la séquence est bornée, elle a une limite inférieure étroite
.
Cela signifie ce qui suit :

• pour tout n, les inégalités suivantes sont vraies :
  (2.2) ;
• pour n'importe qui nombre positif, il existe un nombre, dépendant de ε, pour lequel
  (2.3) .

.
Ici, nous avons également utilisé (2.3). En tenant compte de (2.2), on trouve :
Ici, nous avons également utilisé (1.3). En combinant avec (1.2), on trouve :
à .
,
Depuis lors
Ici, nous avons également utilisé (1.3). En combinant avec (1.2), on trouve :
Cela signifie que le nombre est la limite de la séquence.
La deuxième partie du théorème est prouvée.

Considérons maintenant séquences illimitées.
3) Soit la séquence séquence non décroissante illimitée.

Puisque la suite est non décroissante, les inégalités suivantes sont vraies pour tout n :
(3.1) .

Puisque la suite est non décroissante et illimitée, elle est illimitée avec côté droit. Alors pour tout nombre M il existe un nombre, dépendant de M, pour lequel
(3.2) .

Puisque la suite est non décroissante, alors quand on a :
.
Ici, nous avons également utilisé (3.2).

.
Cela signifie que la limite de la séquence est plus l'infini :
.
La troisième partie du théorème est prouvée.

4) Enfin, considérons le cas où séquence non croissante illimitée.

Semblable au précédent, puisque la suite est non croissante, alors
(4.1) séquence bornée non croissante

Puisque la séquence est non croissante et illimitée, elle est illimitée du côté gauche. Alors pour tout nombre M il existe un nombre, dépendant de M, pour lequel
(4.2) .

Puisque la suite est non croissante, alors quand on a :
.

Ainsi, pour tout nombre M, il existe un nombre naturel dépendant de M, de sorte que pour tous les nombres les inégalités suivantes sont vraies :
.
Cela signifie que la limite de la séquence est moins l'infini :
.
Le théorème est prouvé.

Exemple de solution de problème

En utilisant le théorème de Weierstrass, prouver convergence de séquence:
, , . . . , , . . .
Trouvez ensuite sa limite.

Représentons la séquence sous forme de formules récurrentes :
,
.

Montrons que la suite donnée est bornée au-dessus par la valeur
(P1) .
Nous effectuons la preuve en utilisant la méthode induction mathématique.
.
Laisser . Alors
.
L'inégalité (A1) est avérée.

Montrons que la suite augmente de façon monotone.
;
(P2) .
Puisque , alors le dénominateur de la fraction et le premier facteur du numérateur sont positifs. Du fait de la limitation des termes de la suite par l'inégalité (A1), le deuxième facteur est également positif. C'est pourquoi
.
Autrement dit, la séquence est strictement croissante.

Puisque la séquence est croissante et limitée au-dessus, il s’agit d’une séquence limitée. Par conséquent, selon le théorème de Weierstrass, il y a une limite.

Trouvons cette limite. Notons-le par a :
.
Utilisons le fait que
.
Appliquons cela à (A2), en utilisant les propriétés arithmétiques des limites des suites convergentes :
.
La condition est satisfaite par la racine.

Si tout le monde nombre naturel n est attribué à certains nombre réel x n , alors ils disent que c'est donné séquence de nombres

x 1 , x 2 , … xn , …

Nombre x 1 est appelé membre de la séquence avec le numéro 1 ou premier terme de la suite, nombre x 2 - membre de la séquence avec le numéro 2 ou le deuxième membre de la séquence, etc. Le nombre x n est appelé membre de la séquence avec numéro n.

Il existe deux manières de spécifier des séquences de nombres : avec et avec formule récurrente.

Séquence utilisant formules membre général séquences– c'est une tâche séquentielle

x 1 , x 2 , … xn , …

en utilisant une formule exprimant la dépendance du terme x n sur son nombre n.

Exemple 1. Séquence numérique

1, 4, 9, … n 2 , …

donné en utilisant la formule du terme courant

xn = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Spécifier une séquence à l'aide d'une formule exprimant un membre de séquence x n à travers les membres de séquence avec les numéros précédents est appelé spécifier une séquence à l'aide de formule récurrente.

x 1 , x 2 , … xn , …

appelé en séquence croissante, plus membre précédent.

Autrement dit, pour tout le monde n

x n + 1 >x n

Exemple 3. Séquence de nombres naturels

1, 2, 3, … n, …

est séquence ascendante.

Définition 2. Séquence numérique

x 1 , x 2 , … xn , …

appelé séquence décroissante si chaque membre de cette séquence moins membre précédent.

Autrement dit, pour tout le monde n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

x n + 1 < x n

Exemple 4. Sous-séquence

donné par la formule

est séquence décroissante.

Exemple 5. Séquence numérique

1, - 1, 1, - 1, …

donné par la formule

xn = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

n'est pas ni en augmentation ni en diminution séquence.

Définition 3. Les séquences de nombres croissants et décroissants sont appelées séquences monotones.

Séquences limitées et illimitées

Définition 4. Suite de nombres

x 1 , x 2 , … xn , …

appelé limité d'en haut, s'il existe un nombre M tel que chaque membre de cette séquence moins les numéros M.

Autrement dit, pour tout le monde n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

Définition 5. Séquence numérique

x 1 , x 2 , … xn , …

appelé délimité en dessous, s'il existe un nombre m tel que chaque membre de cette séquence plus nombres m.

Autrement dit, pour tout le monde n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

Définition 6. Suite de nombres

x 1 , x 2 , … xn , …

est appelé limité s'il limité au-dessus et au-dessous.

En d’autres termes, il existe des nombres M et m tels que pour tout n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

m< x n < M

Définition 7. Séquences de nombres, lequel ne sont pas limités, appelé séquences illimitées.

Exemple 6. Séquence numérique

1, 4, 9, … n 2 , …

donné par la formule

xn = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

délimité en dessous, par exemple, le nombre 0. Cependant, cette séquence illimité d'en haut.

Exemple 7. Sous-séquence

donné par la formule

est séquence limitée, parce que pour tout le monde n= 1, 2, 3, … l'inégalité est satisfaite

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La monotonie de la séquence

Séquence monotone- séquence satisfaisant l'une des conditions suivantes :

Parmi les séquences monotones, on distingue les suivantes : strictement monotone séquences satisfaisant l’une des conditions suivantes :

Parfois, une variante de terminologie est utilisée dans laquelle le terme « séquence croissante » est considéré comme synonyme du terme « séquence non décroissante », et le terme « séquence décroissante » est considéré comme synonyme du terme « séquence non croissante ». ". Dans un tel cas, les séquences croissantes et décroissantes de la définition ci-dessus sont appelées respectivement « strictement croissantes » et « strictement décroissantes ».

Quelques généralisations

Il se peut que les conditions ci-dessus ne soient pas remplies pour tous les nombres, mais uniquement pour les nombres d'une certaine plage.

(ici il est permis d'inverser la bordure droite N+ à l'infini). Dans ce cas, la séquence est appelée monotone sur l'intervalle je , et la gamme elle-même je appelé un intervalle de monotonie séquences.

Exemples

Voir aussi

Fondation Wikimédia.

2010.

Voyez ce qu'est « Monotonicité d'une séquence » dans d'autres dictionnaires : Branche des mathématiques concernée par l'étude des propriétés diverses fonctions . La théorie des fonctions se divise en deux domaines : la théorie des fonctions d'une variable réelle et la théorie des fonctions d'une variable complexe, dont la différence est si grande que... ...

Encyclopédie de Collier Le test de séquences pseudo-aléatoires est un ensemble de méthodes permettant de déterminer le degré de proximité d'une séquence pseudo-aléatoire donnée par rapport à une séquence aléatoire. Cette mesure est généralement la présence de répartition uniforme

, grand... ... Wikipédia Ce terme a d'autres significations, voir Mesure. La mesure d'un ensemble est une quantité non négative, intuitivement interprétée comme la taille (le volume) de l'ensemble. En fait, c'est une mesure fonction numérique

Écrivain célèbre. Genre. à Orel en 1871 ; son père était géomètre. Il a étudié au gymnase d'Orel et dans les universités de Saint-Pétersbourg et de Moscou, selon Faculté de droit. L'étudiant était dans le besoin. C'est alors qu'il écrit sa première histoire « sur... ... Grande encyclopédie biographique

Méthodes numériques de résolution de méthodes qui remplacent la solution problème de valeur limite résoudre un problème discret (voir Problème de valeur limite linéaire ; méthodes numériques de solution et Équation non linéaire ; méthodes numériques de solution). Dans de nombreux cas, surtout si l’on considère... ... Encyclopédie mathématique

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L'un des principaux concepts mathématiques, dont la signification a fait l'objet de nombreuses généralisations avec le développement des mathématiques. I. Même dans les « Éléments » d’Euclide (IIIe siècle av. J.-C.), les propriétés de V., aujourd’hui appelé, étaient clairement formulées pour les distinguer de... ... Grande Encyclopédie Soviétique

Définition 1. La séquence s’appelle décroissant (non croissant ), si pour tout le monde
l’inégalité persiste
.

Définition 2. Cohérence
appelé croissant (non décroissant ), si pour tout le monde
l’inégalité persiste
.

Définition 3. Les séquences décroissantes, non croissantes, croissantes et non décroissantes sont appelées monotone les séquences, les séquences décroissantes et croissantes sont également appelées strictement monotone séquences.

Évidemment, une suite non décroissante est bornée par le bas, et une suite non croissante est bornée par le haut. Par conséquent, toute séquence monotone est évidemment limitée d’un côté.

Exemple 1. Cohérence
augmente, ne diminue pas,
diminue
n'augmente pas
– séquence non monotone.

Pour les séquences monotones, les éléments suivants jouent un rôle important :

Théorème 1. Si une séquence non décroissante (non croissante) est bornée au-dessus (en dessous), alors elle converge.

Preuve. Laissez la séquence
ne diminue pas et est délimité par le haut, c'est-à-dire
et beaucoup
limitée par le haut. D'après le théorème 1 § 2 il y a
. Prouvons que
.

Prenons
arbitrairement. Depuis UN– limite supérieure exacte, il y a un nombre N tel que
. Puisque la suite est non décroissante, alors pour tout
nous avons, c'est-à-dire
, c'est pourquoi
pour tout le monde
, et cela signifie que
.

Pour une suite non croissante délimitée ci-dessous, la preuve est similaire à ( les élèves peuvent prouver cette affirmation par eux-mêmes à la maison). Le théorème est prouvé.

Commentaire. Le théorème 1 peut être formulé différemment.

Théorème 2. Pour qu’une suite monotone converge, il faut et il suffit qu’elle soit bornée.

La suffisance est établie dans le théorème 1, la nécessité – dans le théorème 2 § 5.

La condition de monotonie n’est pas nécessaire à la convergence d’une suite, puisqu’une suite convergente n’est pas nécessairement monotone. Par exemple, la séquence
pas monotone, mais converge vers zéro.

Conséquence. Si la séquence
augmente (diminue) et est limité par le haut (par le bas), alors
(
).

En effet, d'après le théorème 1
(
).

Définition 4. Si
à
, alors la séquence s'appelle système de contraction de segments imbriqués .

Théorème 3 (principe des segments imbriqués). Chaque système contractuel de segments imbriqués a, en outre, un point unique Avec, appartenant à tous les segments de ce système.

Preuve. Montrons que le point Avec existe. Depuis
, Que
et donc la séquence
ne diminue pas, mais la séquence
n'augmente pas. En même temps
Et
limité parce que. Alors, d’après le théorème 1, il existe
Et
, mais depuis
, Que
=
. Point trouvé Avec appartient à tous les segments du système, puisque par le corollaire du théorème 1
,
, c'est-à-dire
pour toutes les valeurs n.

Montrons maintenant que le point Avec- le seul. Supposons qu'il existe deux de ces points : Avec Et d et laissez pour certitude
. Puis le segment
appartient à tous les segments
, c'est-à-dire
pour tout le monde n, ce qui est impossible puisque
et donc, à partir d'un certain nombre,
. Le théorème est prouvé.

Notez que l'essentiel ici est que les intervalles fermés soient considérés, c'est-à-dire segments. Si l’on considère un système d’intervalles de contraction, alors le principe est, d’une manière générale, incorrect. Par exemple, les intervalles
, se contracte évidemment jusqu'à un certain point
, mais je souligne
n'appartient à aucun intervalle de ce système.

Considérons maintenant des exemples de séquences monotones convergentes.

1) Numéro e.

Considérons maintenant la séquence
. Comment se comporte-t-elle ? Base

degrés
, c'est pourquoi
? De l'autre côté,
, UN
, c'est pourquoi
? Ou n'y a-t-il pas de limite ?

Pour répondre à ces questions, considérons la séquence auxiliaire
. Montrons qu'elle diminue et est bornée en dessous. En même temps, nous aurons besoin

Lemme. Si
, alors pour toutes les valeurs naturelles n nous avons

(inégalité de Bernoulli).

Preuve. Utilisons la méthode d'induction mathématique.

Si
, Que
, c'est-à-dire l'inégalité est vraie.

Supposons que cela soit vrai pour
et prouver sa validité pour
+1.

Droite
. Multiplions cette inégalité par
:

Ainsi, . Cela signifie que, selon le principe d’induction mathématique, l’inégalité de Bernoulli est vraie pour toutes les valeurs naturelles. n. Le lemme est prouvé.

Montrons que la suite
diminue. Nous avons

‌‌‌׀L'inégalité de Bernoulli׀
, et cela signifie que la séquence
diminue.

La limite d’en bas découle de l’inégalité
‌‌‌׀L'inégalité de Bernoulli׀
pour toutes les valeurs naturelles n.

D'après le théorème 1, il y a
, qui est désigné par la lettre e. C'est pourquoi
.

Nombre e irrationnel et transcendantal, e= 2,718281828… . C'est, comme on le sait, la base des logarithmes naturels.

Remarques. 1) L'inégalité de Bernoulli peut être utilisée pour prouver que
à
. En effet, si
, Que
. Alors, d’après l’inégalité de Bernoulli, avec
. Par conséquent, à
nous avons
, c'est
à
.

2) Dans l’exemple évoqué ci-dessus, la base du diplôme tend vers 1, et l'exposant n- À , c'est-à-dire qu'il existe une incertitude sur la forme . Une incertitude de ce type, comme nous l'avons montré, est révélée par la remarquable limite
.

2)
(*)

Montrons que cette suite converge. Pour ce faire, nous montrons qu’elle est bornée par le bas et n’augmente pas. Dans ce cas, on utilise l'inégalité
pour tout le monde
, ce qui est une conséquence de l'inégalité
.

Nous avons
voir les inégalités sont plus élevées
, c'est-à-dire la séquence est délimitée ci-dessous par le nombre
.

Suivant,
depuis

, c'est-à-dire la séquence n'augmente pas.

D'après le théorème 1, il y a
, que nous désignons X. Passant en égalité (*) à la limite en
, nous obtenons

, c'est-à-dire
, où
(on prend le signe plus, puisque tous les termes de la suite sont positifs).

La séquence (*) est utilisée dans le calcul
environ. Pour prenez n’importe quel nombre positif. Par exemple, trouvons
. Laisser
. Alors
,. Ainsi,
.

3)
.

Nous avons
. Depuis
à
, il y a un numéro N, de telle sorte que pour tout le monde
l’inégalité persiste
. Donc la séquence
, à partir d'un certain nombre N, diminue et est borné ci-dessous, puisque
pour toutes les valeurs n. Cela signifie que d’après le théorème 1 il y a
. Depuis
, nous avons
.

Donc,
.

4)
, droite - n racines.

En utilisant la méthode d’induction mathématique, nous montrerons que
pour toutes les valeurs n. Nous avons
. Laisser
. Nous obtenons alors un énoncé basé sur le principe de l’induction mathématique. En utilisant ce fait, nous trouvons, c'est-à-dire sous-séquence
augmente et est délimité par le haut. Il existe donc parce que
.

Ainsi,
.