Chapitre 1. Ajout. Transformation cartésienne Coordonnées rectangulaires dans l'avion et dans l'espace. Systèmes de coordonnées spéciaux dans le plan et dans l'espace.
Les règles de construction de systèmes de coordonnées sur un plan et dans l'espace sont abordées dans la partie principale du chapitre 1. La commodité de l'utilisation de systèmes de coordonnées rectangulaires a été notée. À utilisation pratique Grâce à la géométrie analytique, il est souvent nécessaire de transformer le système de coordonnées adopté. Ceci est généralement dicté par des considérations de commodité : les images géométriques sont simplifiées, les modèles analytiques et les expressions algébriques utilisées dans les calculs deviennent plus claires.
Construction et utilisation systèmes spéciaux coordonnées : polaires, cylindriques et sphériques sont dictées sens géométrique le problème étant résolu. La modélisation utilisant des systèmes de coordonnées spéciaux facilite souvent le développement et l'utilisation de modèles analytiques pour résoudre des problèmes pratiques.
Les résultats obtenus en annexe du chapitre 1 seront utilisés dans algèbre linéaire, la plupart de-V analyse mathematique et en physique.
Transformation de coordonnées rectangulaires cartésiennes dans le plan et dans l'espace.
Lors de l'examen du problème de la construction d'un système de coordonnées sur un plan et dans l'espace, il a été noté que le système de coordonnées est formé en se coupant en un point axes numériques: il faut deux axes dans un plan, trois dans l'espace. Dans le cadre de la construction de modèles analytiques de vecteurs, l'introduction de l'opération produit scalaire vecteurs et en résolvant des problèmes de contenu géométrique, il a été démontré que l'utilisation de systèmes de coordonnées rectangulaires est la plus préférable.
Si l’on considère le problème de transformation système spécifique coordonne abstraitement, puis dans cas général il serait possible d'autoriser des mouvements arbitraires dans espace donné coordonner les axes avec le droit de renommer arbitrairement les axes.
Nous partirons du concept primaire systèmes de référence , accepté en physique. En observant le mouvement des corps, on a découvert que le mouvement corps isolé ne peut être déterminé par lui-même. Vous devez avoir au moins un corps supplémentaire par rapport auquel un mouvement est observé, c'est-à-dire un changement de celui-ci relatif des provisions. Pour obtenir des modèles analytiques, des lois et du mouvement, un système de coordonnées a été associé à ce deuxième corps, comme système de référence, et de telle manière que le système de coordonnées soit solide !
Puisque le mouvement arbitraire d'un corps rigide d'un point de l'espace à un autre peut être représenté par deux mouvements indépendants : translation et rotation, les options de transformation du système de coordonnées étaient limitées à deux mouvements :
1). Transfert parallèle : nous ne suivons qu'un seul point - le point.
2). Rotation des axes du système de coordonnées par rapport à un point : comme un corps rigide.
Conversion de coordonnées rectangulaires cartésiennes sur un plan.
Disons des systèmes de coordonnées sur le plan : , et . Le système de coordonnées est obtenu par translation parallèle du système. Le système de coordonnées est obtenu en faisant tourner le système d'un angle , et le sens de rotation positif est considéré comme une rotation antihoraire de l'axe.
Déterminons les vecteurs de base des systèmes de coordonnées adoptés. Puisque le système a été obtenu par transfert parallèle du système, alors pour ces deux systèmes, nous acceptons les vecteurs de base : , et ceux unitaires et coïncidant en direction avec les axes de coordonnées , , respectivement. Pour le système, on prend comme vecteurs de base vecteurs unitaires, coïncidant en direction avec les axes , .
Soit un système de coordonnées et un point = défini dedans. Nous supposerons qu'avant la transformation nous avons des systèmes de coordonnées et . Appliquer au système de coordonnées transfert parallèle, défini par le vecteur. Il est nécessaire de définir la transformation des coordonnées d'un point. Utilisons l'égalité vectorielle : = + , ou :
Illustrons la transformation par translation parallèle avec un exemple bien connu en algèbre élémentaire.
Exemple D–1 : L'équation de la parabole est donnée : = = . Réduisez l’équation de cette parabole à sa forme la plus simple.
Solution:
1). Utilisons la technique décharge carré complet : = , qui peut être facilement représenté par : –3 = .
2). Appliquons la transformation de coordonnées - transfert parallèle := . Après cela, l'équation de la parabole prend la forme : . Cette transformation en algèbre est définie comme suit : parabole = obtenue par déplacement la parabole la plus simple vers la droite de 2, et vers le haut de 3 unités.
Répondre: forme la plus simple paraboles : .
Soit un système de coordonnées et un point = défini dedans. Nous supposerons qu'avant la transformation nous avons des systèmes de coordonnées et . Appliquons une transformation de rotation au système de coordonnées de sorte que par rapport à sa position d'origine, c'est-à-dire par rapport au système, il s'avère pivoter d'un angle . Il est nécessaire de définir la transformation des coordonnées du point = . Écrivons le vecteur dans les systèmes de coordonnées et : = .
En même temps, pour n’importe quel angle nous avons : 
ce qui s'observe tout simplement sur la figure. Alors : = . Cette dernière peut s'écrire sous la forme : = . A partir de l'égalité vectorielle, nous obtenons la transformation des coordonnées du point : .Violation du droit d'auteur et
Transformations dans l'avion et dans l'espace
En infographie, tout ce qui concerne le cas plat est généralement désigné par 2D (2 dimensions) bidimensionnel, et tout ce qui concerne le cas spatial est 3D.
Transformations affines en surface
Affinis – apparenté (latin). Parce que les figures sont conservées sous transformations affines.
Supposons qu'il existe un système de coordonnées rectilignes (OXY). Ensuite, chaque point M peut être associé à un couple de coordonnées (x,y). En introduisant un autre système de coordonnées O * X * Y *, vous pouvez attribuer une autre paire de coordonnées (x *, y *) au même point M. Transition d'un système à un autre :
x * =ax+by+c, avec la condition |a b|¹0
y * =dx+ey+f |d e|
Ces formules peuvent être considérées de deux manières, soit le point est conservé et le système de coordonnées est modifié, soit le système de coordonnées est conservé et le point est modifié. A l'avenir, ces formules seront considérées précisément comme une transformation de points dans un système de coordonnées donné. De plus, tous les systèmes considérés seront rectangulaires (les formules permettent de travailler avec des systèmes non rectangulaires).
 |
Il est à noter que les coordonnées du point M peuvent être représentées comme un vecteur à partir de l'origine de coordonnées Mx, My.
Alors la transformation peut s’écrire forme vectorielle(cela n'est vrai que pour système rectangulaire coordonnées).
M*=((M-O*)X*,(M-O*)Y*)
Où sont les coordonnées O* de l'origine du deuxième système dans les coordonnées du premier. X*,Y* - vecteurs (directions vectorielles) du deuxième système de coordonnées dans les coordonnées du premier.
a=(Xx*), b=(Xy*),c=-O*X*
d=(Yx*), e=(Yy*),f=-O*Y*
Cette transformation peut également s'écrire sous forme matricielle
, ou 
, où les vecteurs sont considérés sous forme de matrices de la forme 1´2.
L'élément Cij de la matrice C=AB est la somme des produits des éléments de la i-ème ligne de la matrice A par les éléments de la j-ème colonne de la matrice B.
Conversion inversée– solution d’un système d’équations linéaires, ou utiliser la matrice inverse 
, mais pour le cas où le système est représenté par orts, cela peut être plus simple. Dans ce cas matrice inverseégal à celui transposé.
Transformation affine - transformation géométrique plan ou espace ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ peut être obtenu en combinant rotation, translation, réflexions spéculaires et mise à l'échelle dans les directions des axes de coordonnées.
Rotation (R - rotation). Autour de l'origine sous un angle a.
x * =x*cosa-y*sina
y * =x*sina+y*cosa
Tension, compression le long des axes de coordonnées (D – dilatation).
Réflexion (M – miroir). Par rapport à l'axe des abscisses.
Transfert (T – traduction).
Le transfert ne peut pas être représenté comme produits d’un vecteur par une matrice, mais il peut être représenté comme une somme de vecteurs. 
Au cours de la géométrie analytique, il a été prouvé que toute transformation peut être représentée comme une exécution séquentielle (superposition) de ces transformations les plus simples.
Parfois, il est pratique de représenter toutes les transformations en une seule forme matricielle, à cet effet, des coordonnées homogènes sont utilisées.
Coordonnées homogènes
Pour le point M avec coordonnées x,y dans le plan, les coordonnées homogènes sont un triplet de nombres x1, x2, x3, simultanément inégaux à zéro et reliés par des relations x1/x3=x, x2/x3=y. Un point de coordonnées x,y sur le plan est associé à un point xh,y,h,h dans un espace homogène, généralement h=1 (x,y,1).
Conversion générale points dans coordonnées homogènes ah peut être écrit sous la forme.
Et les matrices de transformation de base ressembleront à ceci :
Combinaison de transformations.
Supposons que vous deviez faire pivoter un point d’un angle autour d’un point A.
Tout d’abord, déplacez le point A à l’origine des coordonnées (-Ax,-Ay). Au prochain tour. Ensuite, revenez au point A. (Ax, Ay). Il est possible d'obtenir une seule transformation
Transformations affines dans l'espace
Dans l'espace 3D, un point (vecteur) est représenté par trois coordonnées (x,y,z), ou quatre coordonnées homogènes (x,y,z,1).
Les concepts de triplet de vecteurs gauche et droit doivent être introduits. Trois vecteur a,b,c former un triplet droitier si, après avoir combiné les débuts des vecteurs, le tour le plus court de a à b apparaît à un observateur regardant depuis l'extrémité du vecteur c dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Règle main droite– le vecteur a coïncide avec le coude, le vecteur b entre dans la paume, le vecteur c coïncide avec pouce. Un système de coordonnées est généralement appelé droitier si ses vecteurs directeurs forment un triplet droitier.
Oeuvre vectorielle c=a´b, c est un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs, formant avec eux un triplet droit.
Cx=Ay*Bz-Az*By, Cy=Az*Bx-Ax*Bz, C z=Ax*By-Ay*Bx
Les transformations restent les mêmes : rotation (seulement maintenant autour de trois axes), étirement, réflexion (par rapport à trois plans), transfert.
Rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, vue depuis l'origine pour le système de coordonnées gauche (pour celui de droite, vice versa).
, 
, 
, 
, 
, 
Par exemple, vous devez construire une matrice de rotation autour d’une ligne droite avec un vecteur directeur L passant par le point A.
1. Transférer A à l'origine
2. Aligner la ligne droite avec l'axe X.
Faites d'abord une rotation autour de l'axe X
par angle a, cosa=Lz/d, sina=Lx/d, où d=
Si d=0, alors la droite coïncide déjà avec l’axe X.
Faites ensuite pivoter autour de l’axe Y d’un angle b.
Le vecteur tourné est (Lx,Ly,Lz,1)=(Lx,0,d,1).
cosb=Lx, sinb=d 
3. Faites pivoter autour de l'axe X jusqu'à l'angle souhaité
4. Revenez à l'axe L,
5. Transfert au point A
La matrice générale sera
Conversion vers un système de coordonnées spécifié par orts
Si le système est donné par un triplet de vecteurs unitaires mutuellement perpendiculaires X*,Y*,Z*.
, transformation inverse – matrice transposée [R] T
Conception
Le design est avant tout extrêmement important pour afficher objets en trois dimensions sur un écran plat, mais il existe d'autres applications, comme les ombres.
Il existe deux types de conception les plus couramment utilisés : parallèle et centrale (perspective).
Lors de la projection d'un objet sur un plan, vous devez tracer une ligne droite à partir d'un faisceau projeté donné passant par chaque point de l'objet et trouver l'intersection de cette ligne droite avec le plan.
À conception parallèle le faisceau est constitué de lignes parallèles, dont une centrale passe par un certain point.
Les projections parallèles peuvent être divisées en deux types, lorsque les lignes de faisceau sont perpendiculaires au plan de projection - les projections sont dites axonométriques, et sinon, obliques (nous ne considérerons pas de telles projections).
Cependant, pour obtenir une projection axonométrique parallèle d'un objet sur l'écran, il faut combiner la direction du faisceau avec l'un des axes (généralement Z). Les axes X et Y coïncideront avec axes X,Y sur l'écran, et l'axe Z sera dirigé profondément dans l'écran.
Pour obtenir une projection en perspective d'un point, il est extrêmement important de placer le point de fuite du faisceau à l'origine des coordonnées, d'aligner la direction à l'écran (perpendiculaire du point de fuite au plan de projection) avec l'axe Z, puis Xp=X*d/Z, Yp=Y*d/Z, où d est la distance de l'origine au plan de projection.
Cette transformation peut s'écrire sous forme de matrice. 
,
La seule chose est que dans une telle transformation, la profondeur (z) est perdue, mais elle peut être calculée à partir de la dernière coordonnée du vecteur.
En plus de ces transformations de conception, il est extrêmement important d'en effectuer quelques autres pour garantir que l'image s'affiche correctement à l'écran. Tout d'abord, il doit être étiré à la taille de la fenêtre, deuxièmement, il doit être reflété autour de l'axe X (puisque l'axe Y est généralement dirigé vers le bas), troisièmement, il doit être déplacé vers le centre de l'axe X. fenêtre.
La matrice de transformation générale est la suivante.
Cx, Cy – coordonnées du centre de l'écran.
ratio – le rapport de la taille Y à la taille X, différent pour différentes résolutions d’écran. Résolution – le nombre de points par unité de surface, en dans ce cas unité – l’intégralité de l’écran du moniteur. L'écran du moniteur a un rapport taille horizontaleà vertical 4/3, donc pour des résolutions dont le nombre de pixels horizontaux et verticaux est un multiple de ce rapport numérique = 1 (par exemple 640/480). Sinon rapport = (4*sizey)/(3*sizex) (320x200 =0,83).
S – facteur d'échelle, pour projection parallèle sélectionné manuellement pour projection en perspective S est égal à un, mais d (distance au plan de conception) est calculé en fonction du FOV (champ de vision). FOV est l'angle maximum formé par les lignes droites dans le faisceau, l'angle de vue.
Le FOV varie généralement de 50° à 100°, le FOV de l'œil humain est de 90°.
Systèmes de coordonnées du monde, du modèle et de l'écran
World est le système de coordonnées principal dans lequel tous les objets de la scène sont spécifiés.
Modèle – système de coordonnées dans lequel le structure interne objets.
Écran 
– système de coordonnées de l’observateur, également appelé système de coordonnées de la caméra.
Le modèle est généralement placé dans le système de modèle de telle manière que le centre du système coïncide avec le centre géométrique ou le centre de masse du modèle, l'axe X coïncide avec la direction avant, l'axe Y coïncide avec la bonne direction. , et l'axe Z coïncide avec la direction vers le haut.
Le modèle est spécifié dans le système de coordonnées mondial par les coordonnées du centre du modèle M (vecteur) et d'orientation (soit trois orts, soit trois angles de roulis (X), tangage (Y), cap (Z), la matrice est formé comme une séquence de rotations). Pour effectuer une transformation à partir des coordonnées du modèle, vous devez d'abord effectuer une rotation en fonction de la matrice d'orientation, puis effectuer une translation vers .
Pas de rouleau de cours
La position et l'orientation de la caméra peuvent être réglées exactement de la même manière que la position du modèle. Mais souvent, la seule direction du champ de vision de la caméra suffit. Habituellement (en vrai vie) la caméra n'a pas de roulis, ᴛ.ᴇ. L'axe X (à droite) est toujours horizontal, et le plan YZ est donc toujours vertical.
Par conséquent, si nous supposons que l'axe Z de la caméra (direction de visualisation) n'est pas vertical, alors nous pouvons trouver l'axe X=Norm(Z´Up), où Up(0,0,1) est un vecteur vertical ( X sera perpendiculaire au vecteur vertical Up , ce qui signifie horizontal). Enfin l'axe Y=X´Z (vers le haut). Assurez-vous que le système reste à gauche.
Pour convertir des points du système mondial en points d'écran, il est essentiel d'appliquer d'abord une translation, puis une rotation par la matrice d'orientation de la caméra transposée T.
Cependant, afin de convertir un point des coordonnées du modèle en coordonnées de l'écran, il est extrêmement important d'effectuer la transformation suivante T . Après de telles transformations, l’axe Z sera dirigé dans la direction de la vue et la conception pourra être réalisée.
Conférence 6-7-8
Transformations dans le plan et dans l'espace - concept et types. Classement et caractéristiques de la catégorie « Transformations dans l'avion et dans l'espace » 2017, 2018.
Prenons un vecteur dans le plan (ou dans l'espace) (Fig. 142). Lors d'une transformation affine, les points sont respectivement transformés en points qui ont les mêmes coordonnées par rapport au nouveau repère que les points avaient par rapport à l'ancien. Puisque les coordonnées d'un vecteur sont obtenues en soustrayant les coordonnées de son point de départà partir des coordonnées de son extrémité, alors les coordonnées du vecteur par rapport au nouveau repère sont les mêmes que les coordonnées du vecteur par rapport à l'ancien repère. Donc:
Lors d'une transformation affine, un vecteur est associé à un vecteur qui a, par rapport au nouveau repère, les mêmes coordonnées que le vecteur avait par rapport à l'ancien.
De là, il s'ensuit immédiatement que sous la transformation affine vecteurs égaux match égal, donc :
2° Une transformation affine d'un plan (espace) génère une application bijective sur lui-même (transformation) de la variété V de tous les vecteurs libres du plan (resp. espace).
Cette transformation a la propriété suivante linéarité : si, avec une transformation donnée, les vecteurs u, v correspondent aux vecteurs u, v, alors le vecteur correspondra au vecteur, et le vecteur correspondra au vecteur de Lie (cela peut être prouvé en passant immédiatement au coordonnées). De la propriété de linéarité il résulte :
Si pour une transformation affine donnée les vecteurs correspondent aux vecteurs , alors toute combinaison linéaire
les vecteurs correspondent à une combinaison linéaire
vecteurs (avec les mêmes coefficients).
Puisque lors d'une transformation affine le vecteur zéro correspond évidemment à zéro, il résulte de ce qui a été prouvé :
4° Avec transformation affine dépendance linéaire vecteurs est préservé, ce qui signifie que deux vecteurs colinéaires quelconques se transforment en vecteurs colinéaires, trois vecteurs colinéaires quelconques vecteur coplanaire devenir coplanaire).
5° La transformation inverse en transformation affine est une transformation affine.
En fait, si une transformation affine donnée A du plan est donnée par le passage de repère en repère, alors la transformation affine donnée par le passage de repère en repère est, comme il est facile de le voir, une transformation inverse de la transformation A.
Il en va de même pour l'espace.
Nous avons vu que sous une transformation affine la dépendance linéaire des vecteurs est conservée. Enregistré et indépendance linéaire vecteurs :
6° Sous une transformation affine A, tout linéaire Pas système dépendant leurs vecteurs, . passé en un système linéairement indépendant - sinon, avec une transformation affine inverse de A, un système linéairement dépendant et, . deviendrait linéairement indépendant, ce qui, comme nous le savons, est impossible.
Puisque le cadre est un système linéaire vecteurs indépendants(deux dans le plan, trois dans l'espace) appliqué à un point O donné, alors sous une transformation affine chaque image devient une image. De plus, il existe une proposition
7° Avec une application affine (donnée par le passage du repère I au repère ) chaque repère II va au repère [ et tout point M (chaque vecteur u) va au point M (au vecteur ) avec les mêmes coordonnées relatives au repère que point M et vecteur et avait par rapport au repère II.
La preuve dans le cas d’un plan et dans le cas de l’espace est la même. Limitons-nous au cas d'un avion. Soit II le cadre (Fig. 143), et que le cadre soit d'abord une déclaration concernant les vecteurs. Si le vecteur a des coordonnées par rapport au référentiel, alors . Mais alors l'image du vecteur est, par la propriété 3°, un vecteur
ayant des coordonnées par rapport au repère. Soit le point M avoir des coordonnées relatives au point de référence.
Alors , de sorte que, d'après la précédente, par rapport au point de référence, le secteur OM, et donc le point M, ont des coordonnées . La déclaration a été prouvée.
L'énoncé prouvé est significatif : il en résulte que, après avoir défini une transformation affine par transition d'un repère à l'autre , nous pouvons la définir en prenant n'importe quel repère comme initial et en indiquant le repère vers lequel il doit aller.
En application de la remarque qui vient d'être faite, nous prouvons que le produit de deux transformations affines est une transformation affine.
En effet, que la transformation affine soit donnée par la transition de la trame I à la trame II. D'après ce qui vient d'être prouvé, on peut définir une transformation affine en passant du référentiel II à un référentiel III. Alors la transformation affine donnée par le passage du cadre I au cadre III est évidemment le produit de la transformation et de la transformation .
Remarque 1. Les propriétés récemment prouvées des transformations affines 1° - 7° s'appliquent évidemment également aux applications affines d'un plan à un autre (une instance d'un espace tridimensionnel à une autre).
La transformation identique d'un plan, ou d'un espace, est évidemment une transformation affine. Rappelons qu'une transformation inverse d'une transformation affine est affine. Enfin, comme nous venons de le prouver, le produit de deux transformations affines est une transformation affine. De là - sur la base de la condition énoncée au § 6, paragraphe 6, annexe - découle immédiatement le grand principe suivant :
Théorème 1. Dans le groupe de toutes les transformations planes (espace), les transformations affines forment un sous-groupe.
Parmi les transformations affines, les mouvements se distinguent par le fait qu'ils peuvent être spécifiés par passage d'un système de coordonnées rectangulaires à un autre, également rectangulaire et ayant la même échelle. La transformation inverse en mouvement est le mouvement, et le produit de deux mouvements est le mouvement. Parce que transformation de l'identité Il y a cas particulier mouvement, alors (en complète analogie avec le théorème 1) nous avons aussi
Théorème 1. Dans le groupe de toutes les transformations affines, les mouvements forment un sous-groupe.
Nous continuons à énumérer les propriétés les plus simples des transformations affines et des mappages.
Trois points sont colinéaires si et seulement si les vecteurs sont colinéaires. Et comme la colinéarité des vecteurs est préservée lors d'une transformation affine, la colinéarité des points est également préservée. Il en découle :
Avec une cartographie affine (d'un plan ou d'un espace), une ligne droite devient une ligne droite.
Nous allons maintenant donner une deuxième preuve de ce fait.
Donnons une cartographie affine. Cela consiste dans le fait que chaque point M de coordonnées (en système de coordonnées) va au point M, qui a les mêmes coordonnées dans le deuxième système. Cela implique:
9° Avec une application affine donnée (définie par la transition de repère en repère) l'ensemble de tous les points dont les coordonnées (dans le système de coordonnées) satisfont à une équation entre dans l'ensemble des points dont les coordonnées dans le système satisfont à la même équation .
En particulier, la droite d'équation
(dans le système) ira dans une ligne droite qui a la même équation, mais uniquement dans le système de coordonnées.
De la même manière, avec une transformation affine de l'espace (définie par le passage de repère en repère), un plan ayant dans le système l'équation
va dans un plan qui a la même équation (2), mais uniquement dans le système de coordonnées .
Une droite définie dans l’espace par son « équation générale »
ou l'une ou l'autre version spéciale de celui-ci, par exemple l'équation canonique
avec une transformation affine donnée, elle se transformera en une ligne droite qui a les mêmes équations, mais uniquement dans le système de coordonnées. C'est donc prouvé
Théorème 2. Avec une transformation affine d'un plan, respectivement de l'espace, les droites se transforment en droites, les plans deviennent des plans.
Dans le même temps, le parallélisme est maintenu.
En fait, si deux droites (ou deux plans, ou une droite et un plan) sont parallèles, alors leurs équations relatives au repère satisfont aux conditions de parallélisme connues ; mais les images de ces lignes (plans) ont les mêmes équations par rapport au repère, et satisfont donc aux mêmes conditions de parallélisme.
Remarque 2. La préservation du parallélisme sous une transformation affine peut également être déduite en utilisant le fait que la transformation affine est biunivoque.
En effet, pour tout mappage bijectif (par exemple un espace sur lui-même), l'image de l'intersection de deux (n'importe quels) ensembles est l'intersection des images de ces ensembles.
Cela signifie que deux ensembles qui se croisent deviennent des ensembles qui se croisent sous n'importe quel mappage un-à-un.
Il s'ensuit qu'avec une transformation affine d'un plan, il y a deux lignes parallèles, et avec une application affine de l'espace, il y a deux plans parallèles devenir parallèle; la propriété de parallélisme entre une droite et un plan est également conservée.
Soit deux droites parallèles dans l'espace ; ils se trouvent dans le même plan et ne se coupent pas. Avec une transformation affine de l'espace, ces deux lignes se transformeront en deux lignes qui se situent également dans le même plan et ne se coupent pas, c'est-à-dire en deux lignes parallèles.
Théorème 3. Lorsqu'une transformation affine d'un plan (espace) transforme la droite d en droite , un segment de droite d entre dans un segment de droite et le point M de droite d divisant le segment en à cet égard K, va au point
M est une droite d divisant le segment dans le même rapport (Fig. 144).
Preuve. Puisque pour le positif A on obtient des points situés à l'intérieur du segment (respectivement, et pour le négatif - en dehors de ce segment), alors le premier découle du deuxième énoncé du théorème 3. Nous prouvons le deuxième énoncé du théorème 3, en nous limitant au cas de un plan. Soit (dans le système de coordonnées) nous avons
Puisque le point M divise le segment par rapport à , alors
dans l'espace ces égalités seront complétées par l'égalité . Avec cette transformation affine, les points se transformeront en points avec les mêmes coordonnées que les points, mais uniquement dans le système de coordonnées. Ces coordonnées sont toujours reliées par les relations (3), d'où il résulte que le segment MM se divise dans le rapport . Cela prouve le théorème 3.
Supposons que, sous une transformation affine A de l'espace, un plan soit mappé sur un plan. Prenons un point de référence dans le plan, c'est-à-dire une paire de vecteurs non colliaires appliqués à un point o (Fig. 145). Lors de la transformation de A, le point sur le plan ira en point sur le plan, les vecteurs non colinéaires iront en vecteurs non colinéaires, c'est-à-dire que le point de référence du plan passera au point de référence du plan.
Tout vecteur situé dans le plan sera transformé en un vecteur situé dans le plan avec les mêmes coordonnées par rapport au point de référence que le vecteur avait par rapport au point de référence. Il s'ensuit que tout point M du plan ira vers un point M du plan, qui a, par rapport au point de référence, les mêmes coordonnées que le point M avait dans le plan par rapport au point de référence. En d'autres termes, théorème 4. Supposons que, sous une transformation affine de l'espace, le plan i entre dans le plan . Ensuite, la transformation A mappe un plan de référence arbitraire sur un certain plan de référence et attribue à chaque point M du plan un point M du plan, qui a, par rapport au point de référence, les mêmes coordonnées que le point M par rapport à la référence. indiquer. Autrement dit : la transformation A génère une application affine du plan au plan.
Comme vous pouvez le deviner, avec l’espace, tout est comme avec un avion. Toutes les règles qui concernaient AP en coordonnées homogènes sur le plan sont conservées dans l'espace, tous les problèmes qui étaient sur le plan restent dans l'espace. On peut supposer que toutes ces règles sont valables pour n'importe quel espace à n dimensions. Ce qu'il faut bien retenir : il y a différentes notions: le rayon vecteur est essentiellement un point du CG, et le vecteur libre est simplement la direction, et le troisième concept est la normale. Les transformations sont définies différemment pour eux. Dans l'espace, tout est pareil, et dans l'espace, c'est plus pertinent, car Il existe de nombreux problèmes dans les graphiques tridimensionnels qui ne sont pas souvent ou pas rencontrés dans un avion.
Ainsi, dans l'espace nous avons trois coordonnées x, y, z et la coordonnée W est en outre introduite pour obtenir la propriété d'homogénéité. Également pour AP, nous supposons que W=1 et alors (x, y, z) = ( , ).
Les transformations dans le cas général peuvent être représentées comme un produit scalaire d'un vecteur - une ligne et une matrice de transformation - diapositive 29 :
Il y a 12 coefficients dans la matrice. Le bloc (3x3) (comme dans un bloc 2D (2x2)) est responsable des transformations - rotation, mise à l'échelle... La ligne du bas est responsable de la translation parallèle, la colonne de droite devrait être responsable des transformations de perspective, mais nous n'envisagerons pas ces problèmes pour l'instant. Les matrices de transformation ont une apparence et une signification similaires - (diapositive 30)
et tourne - (diapositive 31)
Si nous rappelons l'exemple de la rotation d'un point, cela ne peut pas être fait aussi facilement dans l'espace. La rotation considérée sur le plan a été essentiellement effectuée autour de l'axe Z, et s'il est nécessaire de faire pivoter un point de l'espace, alors elle ne peut pas être précisée sans ambiguïté action simple. Il sera décrit par trois matrices– autour de l’axe Z, de l’axe X, de l’axe Y, c’est à dire il devra être décomposé en un certain nombre d'actions distinctes, en trois volets.
Encore une remarque - le déterminant de la matrice est égal à 1. Cela signifie que pendant le processus de rotation, l'objet ne changera pas de taille et ne subira aucune déformation, c'est-à-dire se comporte comme un corps solide. Ce corps peut recevoir l'orientation requise dans l'espace. On peut en dire autant du transfert parallèle.
Il y en a plus méthode universelle effectuer une rotation autour d'un axe arbitraire passant par l'origine. La matrice d'une telle transformation est construite sur des QUATERNIONS et est donnée ci-dessous :
Vous devriez vous familiariser avec les quaternions !
Une note sur les quaternions.
Lors de la dérivation de la dernière relation, le concept de quaternions a été utilisé. Il s'agit d'un système de nombres hypercomplexes (proposé en 1843 par Hamilton, alors astronome en chef d'Angleterre).
Un quaternion est une paire (a, ū ). a est un scalaire, un nombre réel. ū - vecteur d'espace tridimensionnel. Les quaternions forment un système (série) de nombres hypercomplexes, semblable à d'autres séries de nombres. En bref, c'est un 4 composants abstraction mathématique avec ses propres propriétés et règles pour effectuer des opérations d'addition et de multiplication. Un quaternion en général peut être représenté par la somme a+bi+cj+dk, où a,b,c,d – nombres réels, et i,j,k sont irréductibles unités imaginaires, et pour eux il est déterminé que
je 2 =j 2 =k 2 =ijk= -1;
Exemples série de nombres:
Naturel : 1,2,3,4,5….
Nombres entiers : 0,1,-1,2,-2,…
Rationnel : 1;-1;1/2 ; 0,12,..
Réel : rationnel + irrationnel : π, e, ,….
Complexe : -1 ; ½ ; π ; 3i+z; -еiπ/3;… (inclure tous les précédents)
Quaternions : 1 ; -1; 1/2 ; JE; j; k; πj-1/2k ; ...
9. Un exemple de transformation tridimensionnelle - construction d'une matrice de caméra -(diapositive 34)
Très souvent, un changement de l'observation à la scène est nécessaire. Ceux. Il y a une scène et vous souhaitez modifier l'observation vers cette scène à l'aide d'une matrice de transformation tridimensionnelle.
Nous supposons que l'observateur virtuel (caméra) est situé à un point « C » dans système orthogonal coordonnées U, V, N
et il existe un autre système de coordonnées – X,Y,Z (monde). Les coordonnées mondiales décrivent la véritable position des objets dans l'espace. Le système de coordonnées de l'écran est conçu pour synthétiser (créer) une image sur un ordinateur. avion. Ce système peut être bidimensionnel ou tridimensionnel. Il existe également d'autres systèmes de coordonnées en tant que systèmes de dispositifs d'image qui affichent l'image sous une forme donnée.
Projection- un procédé d'affichage d'un objet sur un dispositif graphique : écran, papier, tissu ou autre support matériel sur un plan ou une surface.
Nous supposerons que les deux systèmes de coordonnées sont droitiers, ainsi que celui de la caméra et celui du monde. Cela signifie que l'axe Z nous fait face. Tous les vecteurs directeurs sont normalisés et, naturellement, orthogonaux. Ceci est nécessaire pour réduire l'ensemble des calculs. La caméra C doit être considérée comme une abstraction jetable définie une fois dans le programme. Il peut être configuré à l'avance puis appliqué à tous les objets.
Que signifie configurer ? Ajuster signifie orthonormaliser tous les vecteurs et les coordonner avec des vecteurs - directions dans un autre CS. Et puis appliquez-le aussi longtemps que la situation l’exige.
Qu'allons-nous chercher ? Nous rechercherons une transformation qui transfère un objet du système de coordonnées mondial au système de coordonnées de l’observateur.
Comment allons-nous procéder ?
Tout d'abord, déplaçons la caméra vers l'origine des coordonnées World CS à (- C z), (- C y), (- C x) ; puis nous tournerons, et de telle manière que l'axe -U coïncide avec l'axe X, V coïncide avec l'axe Y et l'axe N avec l'axe Z ; ceux. Nous chercherons une matrice de transformation sous la forme : translation-rotation.
Puisque la caméra est en position point « C » de coordonnées (x,y,z), il est nécessaire d'effectuer sa translation inverse : la matrice de translation est présentée sur la diapositive 33.
où T est la matrice de transfert
Une transformation affine préserve le parallélisme des lignes, mais pas nécessairement des angles ou des longueurs.
En infographie, tout ce qui concerne cas bidimensionnel, généralement désigné par le symbole 2D (2 dimensions). Supposons qu'un système de coordonnées rectiligne soit introduit sur le plan. Ensuite, chaque point M se voit attribuer une paire ordonnée de nombres (x, y) de ses coordonnées (Fig. 1).
Les formules ci-dessus peuvent être considérées de deux manières : soit le point est conservé et le système de coordonnées change, auquel cas un point arbitraire M reste le même, seules ses coordonnées (x, y) (x*, y*) changent, soit le point change et le système de coordonnées est conservé dans ce cas. Dans ce cas, les formules définissent une cartographie qui prend un point arbitraire M(x, y) vers un point M*(x*, y*), dont les coordonnées sont défini dans le même système de coordonnées. À l'avenir, nous interpréterons les formules, en règle générale, selon lesquelles les points du plan sont transformés dans un système donné de coordonnées rectilignes.
Dans les transformations affines du plan rôle spécial jouer plusieurs cas particuliers importants qui ont des caractéristiques géométriques bien traçables. Lors de l'exploration du sens géométrique coefficients numériques dans les formules pour ces cas, il convient de supposer que système donné les coordonnées sont cartésiennes rectangulaires.
Les techniques les plus couramment utilisées sont : infographie: translation, mise à l'échelle, rotation, réflexion. Expressions algébriques et les chiffres expliquant ces transformations sont résumés dans le tableau 1.
Transformations affines dans le plan
Par transfert, nous entendons déplacer les primitives de sortie vers le même vecteur.
La mise à l'échelle consiste à agrandir ou à réduire l'image entière ou une partie de celle-ci. Lors de la mise à l'échelle, les coordonnées des points de l'image sont multipliées par un certain nombre.
La rotation fait référence à la rotation des primitives de sortie autour d'un axe donné. (Dans le plan de dessin, la rotation se produit autour d'un point.)
La réflexion fait référence à l'obtention d'une image miroir d'une image par rapport à l'un des axes (par exemple, X).
Le choix de ces quatre cas particuliers est déterminé par deux circonstances :
1. Chacune des transformations ci-dessus a une signification géométrique simple et claire (également dotée d'une signification géométrique nombres constants inclus dans les formules ci-dessus).
2. Comme cela est prouvé au cours de la géométrie analytique, toute transformation de la forme (*) peut toujours être représentée comme une exécution séquentielle (superposition) des transformations les plus simples des formes A, B, C et D (ou des parties de celles-ci transformations).
Ainsi, ce qui suit est vrai propriété importante transformations affines du plan : toute application de la forme (*) peut être décrite à l'aide d'applications spécifiées par les formules A, B, C et D.
Pour utilisation efficace ces formules connues dans les tâches d'infographie, il est plus pratique de les utiliser notation matricielle.
Pour combiner ces transformations, des coordonnées homogènes sont introduites. Les coordonnées homogènes d'un point sont des triples quelconques, pas simultanément égal à zéro nombres x1, x2, x3 associés à nombres donnés x et y par les relations suivantes :
Alors le point M(x, y) s'écrit M(hX, hY, h), où h 0 est le facteur d'échelle. Bidimensionnel Coordonnées cartésiennes peut être trouvé comme
En géométrie projective, ces coordonnées sont introduites pour éliminer les incertitudes qui surviennent lors de la spécification d'éléments infiniment distants (impropres). Les coordonnées homogènes peuvent être interprétées comme l'intégration d'un plan mis à l'échelle par un facteur h dans le plan Z= h dans espace tridimensionnel.
Les points en coordonnées homogènes sont écrits dans des vecteurs lignes à trois éléments. Les matrices de transformation doivent être de taille 3x3.
En utilisant des triplets de coordonnées homogènes et des matrices du troisième ordre, toute transformation affine d'un plan peut être décrite.
En fait, en supposant h = 1, comparons deux entrées : celle marquée du symbole (*) et celle matricielle suivante :
Vous pouvez désormais utiliser des compositions de transformations, en utilisant une résultante au lieu d'une série de transformations se succédant. Vous pouvez, par exemple, tâche difficile décomposez-le en un certain nombre d’éléments simples. Faites pivoter le point A d'environ point arbitraire Peut être décomposé en trois tâches :
transfert, dans lequel B = 0 (où 0 est l'origine) ;
tourner;
transfert inverse, dans lequel le point B revient à sa place, etc.
La composition est la plus vue générale des opérations T, D, R, M a une matrice :
La partie supérieure Taille 2x2 - une matrice combinée de rotation et de mise à l'échelle, et tx et ty décrivent la traduction totale.
Les transformations fondamentales décrites sont les suivantes :
défilement déplacer une fenêtre sur la surface de rendu (si le mouvement est limité uniquement aux directions haut et bas, on parle alors de défilement vertical) ;
Zoom changement progressif de l'échelle de l'image ;
saut périlleux une image dynamique des primitives de sortie tournant autour d'un certain axe, dont l'orientation change continuellement dans l'espace ;
poêle transfert progressif d’une image pour créer une sensation visuelle de mouvement.
