સંખ્યાઓ વર્ગમૂળ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. મોટી સંખ્યાનું મૂળ કાઢવું

વિદ્યાર્થીઓ હંમેશા પૂછે છે: “હું ગણિતની પરીક્ષામાં કેમ કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરી શકતો નથી? કેલ્ક્યુલેટર વગર સંખ્યાનું વર્ગમૂળ કેવી રીતે કાઢવું? ચાલો આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો પ્રયત્ન કરીએ.

કેલ્ક્યુલેટરની મદદ વગર સંખ્યાનું વર્ગમૂળ કેવી રીતે કાઢવું?

ક્રિયા વર્ગમૂળસ્ક્વેરિંગની ક્રિયાથી વિપરીત.

√81= 9 9 2 =81

જો તમે ધન સંખ્યાનું વર્ગમૂળ લો અને પરિણામનો વર્ગ કરો, તો તમને સમાન સંખ્યા મળશે.

નાની સંખ્યાઓ કે જે સંપૂર્ણ ચોરસ છે કુદરતી સંખ્યાઓ, ઉદાહરણ તરીકે 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 વર્ગમૂળ મૌખિક રીતે કાઢી શકાય છે. સામાન્ય રીતે શાળામાં તેઓ વીસ સુધીની કુદરતી સંખ્યાઓના ચોરસનું ટેબલ શીખવે છે. આ કોષ્ટકને જાણીને, 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 નંબરોમાંથી વર્ગમૂળ કાઢવાનું સરળ છે. 400 કરતાં મોટી સંખ્યાઓમાંથી તમે કેટલીક ટિપ્સનો ઉપયોગ કરીને પસંદગી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેમને કાઢી શકો છો. ચાલો આ પદ્ધતિને ઉદાહરણ સાથે જોવાનો પ્રયાસ કરીએ.

ઉદાહરણ: 676 નંબરનું મૂળ કાઢો.

અમે નોંધ્યું છે કે 20 2 = 400, અને 30 2 = 900, જેનો અર્થ થાય છે 20< √676 < 900.

કુદરતી સંખ્યાઓના ચોક્કસ વર્ગો 0 માં સમાપ્ત થાય છે; 1; 4; 5; 6; 9.
6 નંબર 4 2 અને 6 2 દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે જો રૂટ 676 માંથી લેવામાં આવે છે, તો તે કાં તો 24 અથવા 26 છે.

તે તપાસવાનું બાકી છે: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

જવાબ: √676 = 26 .

વધુ ઉદાહરણ: √6889 .

ત્યારથી 80 2 = 6400, અને 90 2 = 8100, પછી 80< √6889 < 90.
9 નંબર 3 2 અને 7 2 દ્વારા આપવામાં આવે છે, પછી √6889 83 અથવા 87 ની બરાબર છે.

ચાલો તપાસીએ: 83 2 = 6889.

જવાબ: √6889 = 83 .

જો તમને પસંદગી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવાનું મુશ્કેલ લાગે, તો તમે આમૂલ અભિવ્યક્તિને પરિબળ કરી શકો છો.

ઉદાહરણ તરીકે, √893025 શોધો.

ચાલો 893025 નંબરનું પરિબળ કરીએ, યાદ રાખો, તમે આ છઠ્ઠા ધોરણમાં કર્યું હતું.

આપણને મળે છે: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

વધુ ઉદાહરણ: √20736. ચાલો સંખ્યા 20736 ને પરિબળ કરીએ:

આપણને √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 મળે છે.

અલબત્ત, ફેક્ટરાઇઝેશન માટે વિભાજ્યતા ચિહ્નો અને ફેક્ટરાઇઝેશન કૌશલ્યનું જ્ઞાન જરૂરી છે.

અને છેવટે, ત્યાં છે વર્ગમૂળ કાઢવાનો નિયમ. ચાલો ઉદાહરણો સાથે આ નિયમથી પરિચિત થઈએ.

√279841ની ગણતરી કરો.

બહુ-અંક પૂર્ણાંકના મૂળને કાઢવા માટે, અમે તેને 2 અંકો ધરાવતા ચહેરાઓમાં જમણેથી ડાબેથી વિભાજીત કરીએ છીએ (ડાબી બાજુની ધારમાં એક અંક હોઈ શકે છે). અમે તેને આ રીતે લખીએ છીએ: 27’98’41

મૂળ (5) નો પ્રથમ અંક મેળવવા માટે, અમે ડાબી બાજુના પ્રથમ ચહેરામાં સમાયેલ સૌથી મોટા સંપૂર્ણ ચોરસનું વર્ગમૂળ લઈએ છીએ (27).
પછી મૂળ (25) ના પ્રથમ અંકનો વર્ગ પ્રથમ ચહેરામાંથી બાદ કરવામાં આવે છે અને પછીનો ચહેરો (98) તફાવતમાં ઉમેરવામાં આવે છે (બાદબાકી).
પરિણામી સંખ્યા 298 ની ડાબી બાજુએ, મૂળ (10) નો ડબલ અંક લખો, અગાઉ મેળવેલી સંખ્યા (29/2 ≈ 2) ના તમામ દસની સંખ્યાને તેના દ્વારા ભાગાકાર કરો, ભાગ (102 ∙2 = 204) નું પરીક્ષણ કરો 298 થી વધુ ન હોવો જોઈએ) અને મૂળના પ્રથમ અંક પછી (2) લખો.
પછી પરિણામી ભાગાંક 204 ને 298 માંથી બાદ કરવામાં આવે છે અને આગલી ધાર (41) તફાવત (94) માં ઉમેરવામાં આવે છે.
પરિણામી સંખ્યા 9441 ની ડાબી બાજુએ, મૂળ (52 ∙2 = 104) ના અંકોનો બેવડો ગુણાંક લખો, સંખ્યા 9441 (944/104 ≈ 9) ના તમામ દસની સંખ્યાને આ ઉત્પાદન દ્વારા વિભાજીત કરો, પરીક્ષણ કરો. ભાગ (1049 ∙9 = 9441) 9441 હોવો જોઈએ અને તેને મૂળના બીજા અંક પછી (9) લખો.

અમને જવાબ √279841 = 529 મળ્યો.

એ જ રીતે બહાર કાઢો દશાંશ અપૂર્ણાંકના મૂળ. માત્ર આમૂલ સંખ્યાતેને કિનારીઓ પર તોડવું જરૂરી છે જેથી અલ્પવિરામ કિનારીઓ વચ્ચે હોય.

ઉદાહરણ. મૂલ્ય √0.00956484 શોધો.

તમારે ફક્ત યાદ રાખવું પડશે કે જો દશાંશધરાવે છે વિષમ સંખ્યાદશાંશ સ્થાનો, તેમાંથી વર્ગમૂળ બરાબર કાઢી શકાતું નથી.

તો હવે તમે રુટ કાઢવાની ત્રણ રીત જોઈ હશે. તમને સૌથી વધુ અનુકૂળ હોય તે પસંદ કરો અને પ્રેક્ટિસ કરો. સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખવા માટે, તમારે તેમને હલ કરવાની જરૂર છે. અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય, તો મારા પાઠ માટે સાઇન અપ કરો.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

ચોરસ ચોરસ પ્લોટજમીન 81 dm² છે. તેની બાજુ શોધો. ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ છે એક્સડેસીમીટર પછી પ્લોટનો વિસ્તાર છે એક્સ² ચોરસ ડેસિમીટર. ત્યારથી, શરત મુજબ, આ વિસ્તાર 81 dm² બરાબર છે એક્સ² = 81. ચોરસની બાજુની લંબાઈ એ ધન સંખ્યા છે. સકારાત્મક સંખ્યા જેનો વર્ગ 81 છે તે સંખ્યા 9 છે. સમસ્યા હલ કરતી વખતે, તે સંખ્યા x શોધવાની જરૂર હતી જેનો વર્ગ 81 છે, એટલે કે સમીકરણ ઉકેલો એક્સ² = 81. આ સમીકરણના બે મૂળ છે: x 1 = 9 અને x 2 = - 9, કારણ કે 9² = 81 અને (- 9)² = 81. 9 અને - 9 બંને સંખ્યાઓને 81 ના વર્ગમૂળ કહેવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે એક ચોરસ મૂળ એક્સ= 9 છે હકારાત્મક સંખ્યા. તેને 81 નું અંકગણિત વર્ગમૂળ કહેવામાં આવે છે અને તેને √81 સૂચવવામાં આવે છે, તેથી √81 = 9.

સંખ્યાનું અંકગણિત વર્ગમૂળ એબિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે જેનો વર્ગ બરાબર છે એ.

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 6 અને - 6 એ 36 નંબરના વર્ગમૂળ છે. જો કે, સંખ્યા 6 એ 36 નું અંકગણિત વર્ગમૂળ છે, કારણ કે 6 એ બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે અને 6² = 36. સંખ્યા - 6 એ નથી અંકગણિત મૂળ.

સંખ્યાનું અંકગણિત વર્ગમૂળ એનીચે પ્રમાણે સૂચિત: √ એ.

ચિહ્નને અંકગણિત વર્ગમૂળ ચિહ્ન કહેવામાં આવે છે; એ- એક આમૂલ અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે. અભિવ્યક્તિ √ એવાંચો આની જેમ: સંખ્યાનું અંકગણિત વર્ગમૂળ એ.ઉદાહરણ તરીકે, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. કિસ્સાઓમાં જ્યાં તે સ્પષ્ટ છે કે અમે વાત કરી રહ્યા છીએઅંકગણિત મૂળ વિશે, તેઓ ટૂંકમાં કહે છે: “નું વર્ગમૂળ એ«.

સંખ્યાનું વર્ગમૂળ શોધવાની ક્રિયાને વર્ગમૂળ કહેવામાં આવે છે. આ ક્રિયા સ્ક્વેરિંગની વિપરીત છે.

તમે કોઈપણ સંખ્યાનો વર્ગ કરી શકો છો, પરંતુ તમે કોઈપણ સંખ્યામાંથી વર્ગમૂળ કાઢી શકતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, નંબરનું વર્ગમૂળ કાઢવું ​​અશક્ય છે - 4. જો આવા મૂળ અસ્તિત્વમાં હોય, તો પછી, તેને અક્ષરથી સૂચિત કરીને એક્સ, આપણને અયોગ્ય સમાનતા x² = - 4 મળશે, કારણ કે ડાબી બાજુએ બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે અને જમણી બાજુએ નકારાત્મક સંખ્યા છે.

અભિવ્યક્તિ √ એત્યારે જ અર્થ થાય છે a ≥ 0. વર્ગમૂળની વ્યાખ્યા ટૂંકમાં આ રીતે લખી શકાય છે: √ a ≥ 0, (√એ)² = એ. સમાનતા (√ એ)² = એમાટે માન્ય a ≥ 0. આમ, તેની ખાતરી કરવા માટે કે બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ છે એબરાબર b, એટલે કે હકીકતમાં કે √ એ =b, તમારે તપાસવાની જરૂર છે કે નીચેની બે શરતો પૂરી થઈ છે: b ≥ 0, b² = એ.

અપૂર્ણાંકનું વર્ગમૂળ

ચાલો ગણતરી કરીએ. નોંધ કરો કે √25 = 5, √36 = 6, અને ચાલો તપાસ કરીએ કે સમાનતા ધરાવે છે કે કેમ.

કારણ કે અને, પછી સમાનતા સાચી છે. તેથી, .

પ્રમેય:જો એ≥ 0 અને b> 0, એટલે કે, અપૂર્ણાંકનું મૂળ મૂળની સમાનછેદના મૂળ વડે ભાગેલા અંશમાંથી. તે સાબિત કરવું જરૂરી છે: અને .

ત્યારથી √ એ≥0 અને √ b> 0, પછી.

અપૂર્ણાંકને ઘાતમાં વધારવાની મિલકત અને વર્ગમૂળની વ્યાખ્યા પર પ્રમેય સાબિત થાય છે. ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ.

સાબિત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો .

બીજું ઉદાહરણ: તે સાબિત કરો , જો એ ≤ 0, b < 0. .

બીજું ઉદાહરણ: ગણતરી કરો.

.

સ્ક્વેર રૂટ રૂપાંતર

રુટ ચિહ્નની નીચેથી ગુણકને દૂર કરવું. અભિવ્યક્તિ આપવા દો. જો એ≥ 0 અને b≥ 0, પછી ઉત્પાદન રુટ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે લખી શકીએ:

આ પરિવર્તનને મૂળ ચિહ્નમાંથી પરિબળ દૂર કરવું કહેવામાં આવે છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ;

પર ગણતરી કરો એક્સ= 2. ડાયરેક્ટ અવેજી એક્સઆમૂલ અભિવ્યક્તિમાં = 2 તરફ દોરી જાય છે જટિલ ગણતરીઓ. આ ગણતરીઓને સરળ બનાવી શકાય છે જો તમે પ્રથમ રુટ ચિહ્ન હેઠળના પરિબળોને દૂર કરો: . હવે x = 2 ને બદલીને, આપણને મળે છે:.

તેથી, મૂળ ચિહ્નની નીચેથી પરિબળને દૂર કરતી વખતે, ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં આમૂલ અભિવ્યક્તિનું પ્રતિનિધિત્વ કરો જેમાં એક અથવા વધુ પરિબળો ચોરસ છે. બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ. પછી ઉત્પાદન રુટ પ્રમેય લાગુ કરો અને દરેક પરિબળનું મૂળ લો. ચાલો એક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ: રુટ ચિહ્નની નીચેથી પ્રથમ બે પદોમાંના પરિબળોને લઈને A = √8 + √18 - 4√2 અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો, આપણને મળે છે:. અમે તે સમાનતા પર ભાર મૂકીએ છીએ માત્ર ત્યારે જ માન્ય એ≥ 0 અને b≥ 0. જો એ < 0, то .

સંખ્યાને ઘાતમાં વધારવી એ બહુવિધ ગુણાકારની ક્રિયાને લખવાનું એક ટૂંકું સ્વરૂપ છે, જેમાં તમામ પરિબળો મૂળ સંખ્યાના સમાન હોય છે. અને મૂળ કાઢવાનો અર્થ થાય છે વિપરીત કામગીરી- ગુણકનું નિર્ધારણ કે જે બહુવિધ ગુણાકાર કામગીરીમાં સામેલ હોવું જોઈએ જેથી પરિણામ આમૂલ સંખ્યા હોય. ઘાતાંક અને મૂળ ઘાતાંક બંને એક જ વસ્તુ સૂચવે છે - આવા ગુણાકારની ક્રિયામાં કેટલા પરિબળો હોવા જોઈએ.

તમને જરૂર પડશે

• ઇન્ટરનેટ ઍક્સેસ.

સૂચનાઓ

• જો તમારે રુટને કાઢવાની અને તેને સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિની શક્તિમાં વધારવાની બંને ક્રિયાઓ લાગુ કરવાની જરૂર હોય, તો બંને ક્રિયાઓને એકમાં ઘટાડી દો - અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિમાં વધારો. અપૂર્ણાંકના અંશમાં ઘાતાંક હોવું આવશ્યક છે, અને છેદમાં મૂળ હોવું આવશ્યક છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમારે ક્યુબિક ચોરસ કરવાની જરૂર હોય મૂળ, તો પછી આ બે ક્રિયાઓ ⅔ પાવરમાં સંખ્યા વધારવા માટે સમાન હશે.
• જો શરતોને સ્ક્વેરિંગની જરૂર હોય મૂળબેના સમાન ઘાતાંક સાથે, આ ગણતરીનું કાર્ય નથી, પરંતુ તમારા જ્ઞાનની કસોટી છે. પ્રથમ પગલાથી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો અને તમને અપૂર્ણાંક 2/2 મળશે, એટલે કે. 1. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ સંખ્યાના વર્ગમૂળનું વર્ગીકરણ કરવાનું પરિણામ તે સંખ્યા જ હશે.
• જો જરૂરી હોય તો ચોરસ મૂળસમાન ઘાતાંક સાથે, ઓપરેશનને સરળ બનાવવાની શક્યતા હંમેશા રહે છે. બે થી (અંશ) અપૂર્ણાંક સૂચકડિગ્રી) અને કોઈપણ સમ સંખ્યા (છેદ) છે સામાન્ય વિભાજક, પછી અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવ્યા પછી, એક અંશમાં રહેશે, જેનો અર્થ છે કે ગણતરીમાં ઘાત વધારવાની જરૂર નથી, તે કાઢવા માટે પૂરતું છે. મૂળઅડધા ઘાતાંક સાથે. ઉદાહરણ તરીકે, આઠના છઠ્ઠા રુટને ચોરસ કરીને કાઢવામાં ઘટાડો કરી શકાય છે ઘનમૂળ, કારણ કે 2/6=1/3.
• રુટના કોઈપણ ઘાતાંક માટે પરિણામની ગણતરી કરવા માટે, ઉદાહરણ તરીકે, કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો શોધ એન્જિન Google આ કદાચ સૌથી વધુ છે સરળ માર્ગજો તમારી પાસે તમારા કમ્પ્યુટરથી ઇન્ટરનેટની ઍક્સેસ હોય તો ગણતરીઓ. ઘાતીકરણની ક્રિયાના સંકેત માટે સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત વિકલ્પ આ "ઢાંકણ" છે: ^. Google માં શોધ ક્વેરી દાખલ કરતી વખતે તેનો ઉપયોગ કરો. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે ચોરસ કરવા માંગો છો મૂળ 750 નંબરની પાંચમી શક્તિ, નીચે પ્રમાણે ક્વેરી બનાવો: 750^(2/5). તેને દાખલ કર્યા પછી, સર્ચ એન્જિન, સર્વર પર મોકલો બટન દબાવ્યા વિના પણ, ગણતરીના પરિણામને સાત દશાંશ સ્થાનો પર ચોક્કસ બતાવશે: 750^(2/5) = 14.1261725.

રુટ સૂત્રો. વર્ગમૂળના ગુણધર્મો.

ધ્યાન આપો!
ત્યાં વધારાના છે
વિશેષ કલમ 555 માં સામગ્રી.
જેઓ ખૂબ "ખૂબ નથી..." છે તેમના માટે
અને જેઓ "ખૂબ જ...")

અગાઉના પાઠમાં આપણે વર્ગમૂળ શું છે તે શોધી કાઢ્યું. કયા અસ્તિત્વમાં છે તે શોધવાનો સમય છે મૂળ માટે સૂત્રોશું છે મૂળના ગુણધર્મો, અને આ બધા સાથે શું કરી શકાય છે.

મૂળના સૂત્રો, મૂળના ગુણધર્મો અને મૂળ સાથે કામ કરવાના નિયમો- આ અનિવાર્યપણે સમાન વસ્તુ છે. ચોરસ મૂળ માટે આશ્ચર્યજનક રીતે થોડા સૂત્રો છે. જે ચોક્કસપણે મને ખુશ કરે છે! અથવા તેના બદલે, તમે ઘણાં વિવિધ સૂત્રો લખી શકો છો, પરંતુ મૂળ સાથે વ્યવહારુ અને આત્મવિશ્વાસપૂર્ણ કાર્ય માટે, ફક્ત ત્રણ જ પૂરતા છે. બીજું બધું આ ત્રણમાંથી વહે છે. જોકે ઘણા લોકો ત્રણ મૂળ સૂત્રમાં મૂંઝવણ અનુભવે છે, હા...

ચાલો સૌથી સરળ સાથે શરૂ કરીએ. તે અહીં છે:

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.