ઘન સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા. ઘન સમીકરણ ઉકેલવા માટે કાર્ડાનો અને વિએટા સૂત્રો

પાઠ હેતુઓ.

1. "ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલવા" વિષય પર વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને વધુ ઊંડું કરવું અને શૈક્ષણિક સામગ્રીનું સામાન્યીકરણ કરવું.
2. વિદ્યાર્થીઓને ઉચ્ચ-ક્રમના સમીકરણો ઉકેલવા માટેની તકનીકોનો પરિચય આપો.
3. વિદ્યાર્થીઓને ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલતી વખતે વિભાજ્યતાનો સિદ્ધાંત લાગુ કરવાનું શીખવો.
4. વિદ્યાર્થીઓને એક ખૂણાનો ઉપયોગ કરીને બહુપદીને બહુપદી વડે કેવી રીતે વિભાજીત કરવી તે શીખવો.
5. ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો સાથે કામ કરવાની કુશળતા અને ક્ષમતાઓ વિકસાવો.

વિકાસલક્ષી:

1. વિદ્યાર્થીઓનું ધ્યાન વિકસાવવું.
2. કાર્યના પરિણામો પ્રાપ્ત કરવાની ક્ષમતાનો વિકાસ.
3. બીજગણિત અને સ્વતંત્ર કાર્ય કૌશલ્યોનો અભ્યાસ કરવામાં રસ કેળવવો.

શિક્ષણ:

1. સામૂહિકતાની ભાવનાને પ્રોત્સાહન આપવું.
2. કાર્યના પરિણામ માટે જવાબદારીની ભાવનાની રચના.
3. વિદ્યાર્થીઓમાં રચના પર્યાપ્ત આત્મસન્માનવર્ગમાં કામ માટે ગ્રેડ પસંદ કરતી વખતે.

સાધનો: કમ્પ્યુટર, પ્રોજેક્ટર.

પાઠ પ્રગતિ

કાર્યનો તબક્કો 1. સંસ્થાકીય ક્ષણ.

કાર્યનો તબક્કો 2. પ્રેરણા અને સમસ્યાનું નિરાકરણ

સમીકરણ એક સૌથી મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલોગણિત વિજ્ઞાન તરીકે ગણિતના જન્મથી શરૂ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓનો વિકાસ, લાંબા સમય સુધીબીજગણિતનો મુખ્ય વિષય હતો.

IN શાળા અભ્યાસક્રમગણિતના અભ્યાસમાં, વિવિધ પ્રકારના સમીકરણોને ઉકેલવા પર ઘણું ધ્યાન આપવામાં આવે છે. નવમા ધોરણ સુધી અમે માત્ર રેખીય અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો જ ઉકેલી શકતા હતા. ત્રીજા, ચોથા, વગેરેના સમીકરણો. ડિગ્રીને ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. નવમા ધોરણમાં, અમને ત્રીજા અને ચોથા અંશના કેટલાક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે બે મૂળભૂત તકનીકોનો પરિચય આપવામાં આવ્યો: બહુપદીનું પરિબળ બનાવવું અને ચલના ફેરફારનો ઉપયોગ કરવો.

શું ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલવા શક્ય છે? આજે આપણે આ પ્રશ્નનો જવાબ શોધવાનો પ્રયત્ન કરીશું.

કાર્યનો તબક્કો 3. અગાઉ શીખેલી સામગ્રીની સમીક્ષા કરો. ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણનો ખ્યાલ રજૂ કરો.

1) રેખીય સમીકરણ ઉકેલવું.

ફોર્મના સમીકરણને રેખીય કહેવામાં આવે છે, જ્યાં વ્યાખ્યા દ્વારા. આ સમીકરણ એક જ મૂળ ધરાવે છે.

2) ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું.

સ્વરૂપના સમીકરણને ચતુર્ભુજ કહેવાય છે , ક્યાં . મૂળની સંખ્યા અને મૂળ પોતે સમીકરણના ભેદભાવ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. કારણ કે સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી, માટે એક મૂળ છે (બે સમાન મૂળ)

ગણવામાં આવેલા રેખીય અને ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાંથી આપણે જોઈએ છીએ કે સમીકરણના મૂળની સંખ્યા તેની ડિગ્રી કરતા વધુ નથી. ઉચ્ચ બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં, તે સાબિત થાય છે કે ડિગ્રી 1 ના સમીકરણમાં n થી વધુ મૂળ નથી. મૂળની વાત કરીએ તો, પરિસ્થિતિ વધુ જટિલ છે. ત્રીજા અને ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણો માટે, મૂળ શોધવા માટેના સૂત્રો જાણીતા છે. જો કે, આ સૂત્રો ખૂબ જટિલ અને બોજારૂપ છે અને વ્યવહારુ એપ્લિકેશનનથી. પાંચમી અને ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો માટે, સામાન્ય સૂત્રો અસ્તિત્વમાં નથી અને અસ્તિત્વમાં નથી (જેમ કે N. Abel અને E. Galois દ્વારા 19મી સદીમાં સાબિત થયું હતું).

આપણે સમીકરણોને ત્રીજા, ચોથા, વગેરે કહીશું. ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો દ્વારા ડિગ્રી. કેટલાક સમીકરણો ઉચ્ચ ડિગ્રીબે મુખ્ય તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે: બહુપદીને પરિબળ કરીને અથવા ચલના ફેરફારનો ઉપયોગ કરીને.

3) ઘન સમીકરણનો ઉકેલ.

ચાલો ઘન સમીકરણ હલ કરીએ

ચાલો બહુપદીના પદોને સમીકરણની ડાબી બાજુએ જૂથબદ્ધ કરીએ અને તેમને અવયવ કરીએ. અમને મળે છે:

અવયવોનું ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે જો એક પરિબળ હોય શૂન્ય બરાબર. અમને ત્રણ રેખીય સમીકરણો મળે છે:

તેથી, આ ઘન સમીકરણના ત્રણ મૂળ છે: ; ;.

4) દ્વિપક્ષીય સમીકરણ ઉકેલવું.

દ્વિપક્ષીય સમીકરણો ખૂબ જ સામાન્ય છે, જેનું સ્વરૂપ હોય છે (એટલે ​​​​કે, દ્વિપક્ષીય સમીકરણો ). તેમને ઉકેલવા માટે, એક નવું ચલ રજૂ કરવામાં આવ્યું છે.

ચાલો નક્કી કરીએ દ્વિ ચતુર્ભુજ સમીકરણ.

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ અને એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવીએ જેના મૂળ સંખ્યાઓ અને 4 છે.

ચાલો જૂના ચલ પર પાછા જઈએ અને બે સૌથી સરળ ચતુર્ભુજ સમીકરણો મેળવીએ:

તેથી, આ દ્વિપક્ષીય સમીકરણ ચાર મૂળ ધરાવે છે:

; ;.

ચાલો ઉપર દર્શાવેલ તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરીએ.

નિષ્ફળ !!!

કાર્યનો તબક્કો 4. ફોર્મના બહુપદીના મૂળ વિશે કેટલાક વિધાન આપો, જ્યાં nth બહુપદીડિગ્રી

ફોર્મના બહુપદીના મૂળ વિશે અહીં કેટલાક નિવેદનો છે:

1) મી ડિગ્રીના બહુપદીમાં મૂળ કરતાં વધુ નથી (તેમની ગુણાકારને ધ્યાનમાં લેતા). ઉદાહરણ તરીકે, ત્રીજી ડિગ્રીના બહુપદીમાં ચાર મૂળ હોઈ શકતા નથી.

2) બહુપદી વિચિત્ર ડિગ્રીઓછામાં ઓછું એક મૂળ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ, ત્રીજા, પાંચમા, વગેરેના બહુપદી. ડિગ્રીમાં ઓછામાં ઓછું એક મૂળ હોય છે. સમાન ડિગ્રીના બહુપદીમાં મૂળ ન હોઈ શકે.

3) જો સેગમેન્ટના છેડે બહુપદીના મૂલ્યો અલગ અલગ ચિહ્નો ધરાવે છે (એટલે ​​કે, ), પછી અંતરાલમાં ઓછામાં ઓછું એક રુટ હોય છે. બહુપદીના મૂળની અંદાજે ગણતરી કરવા માટે આ વિધાનનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.

4) જો સંખ્યા એ ફોર્મની બહુપદીનું મૂળ હોય, તો આ બહુપદીને ગુણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં (મી ડિગ્રી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ફોર્મની બહુપદીને શેષ વિના વિભાજિત કરી શકાય છે. દ્વિપદી આનાથી મી ડિગ્રીના સમીકરણને (મી ડિગ્રી (સમીકરણની ડિગ્રી ઓછી) સુધી ઘટાડવાની મંજૂરી મળે છે.

5) જો તમામ પૂર્ણાંક ગુણાંક (અને મુક્ત શબ્દ) સાથેનું સમીકરણ હોય સંપૂર્ણ મૂળ, તો આ મૂળ એક વિભાજક છે મફત સભ્ય. આ વિધાન તમને બહુપદીનું સંપૂર્ણ મૂળ પસંદ કરવાની મંજૂરી આપે છે (જો ત્યાં એક હોય તો).

કાર્યનો તબક્કો 5. ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે વિભાજ્યતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે તે બતાવો. ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવાના ઉદાહરણોનો વિચાર કરો, જેમાં બહુપદી દ્વારા બહુપદીને વિભાજિત કરવાની "ખૂણા" પદ્ધતિનો ઉપયોગ ડાબી બાજુના ફેક્ટરાઇઝ કરવા માટે થાય છે.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણ ઉકેલો .

આમ, અમે વાસ્તવમાં સમીકરણની ડાબી બાજુનું પરિબળ બનાવ્યું છે:

જો પરિબળમાંથી એક શૂન્ય હોય તો અવયવોનું ઉત્પાદન શૂન્ય છે. આપણને બે સમીકરણો મળે છે.

ઘન સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે સમજાવે છે. જ્યારે એક મૂળ જાણીતું હોય ત્યારે કેસ ગણવામાં આવે છે. પૂર્ણાંકો શોધવા માટેની પદ્ધતિઓ અને તર્કસંગત મૂળ. કોઈપણ ઘન સમીકરણ ઉકેલવા માટે કાર્ડાનો અને વિએટા સૂત્રોનો ઉપયોગ.

અહીં આપણે ફોર્મના ઘન સમીકરણો ઉકેલવાનું વિચારીએ છીએ
(1) .
આગળ, અમે ધારીએ છીએ કે આ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.

(2) ,
પછી તેને વડે ભાગતા, આપણે ગુણાંક સાથે ફોર્મ (1) નું સમીકરણ મેળવીએ છીએ
.

સમીકરણ (1) ત્રણ મૂળ ધરાવે છે: , અને .

મૂળમાંથી એક હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે. અમે વાસ્તવિક મૂળને તરીકે દર્શાવીએ છીએ.

મૂળ અને કાં તો વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંયોજક હોઈ શકે છે. વાસ્તવિક મૂળ ગુણાકાર હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો , પછી અને ડબલ મૂળ છે (અથવા બહુવિધ 2 ના મૂળ), અને એક સરળ મૂળ છે.

જો એક મૂળ જાણીતું હોય ચાલો ઘન સમીકરણ (1) નું એક મૂળ જાણીએ. ચાલો જાણીતા મૂળને તરીકે દર્શાવીએ.પછી સમીકરણ (1) ને વડે વિભાજિત કરવાથી, આપણે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવીએ છીએ. ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવાથી, આપણે વધુ બે મૂળ અને .
.
આ સાબિત કરવા માટે અમે હકીકતનો ઉપયોગ કરીશું

ઘન બહુપદી
"ખૂણા અને કૉલમ સાથે બહુપદી દ્વારા બહુપદીનો ભાગાકાર અને ગુણાકાર."
ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની ચર્ચા પૃષ્ઠ પર કરવામાં આવી છે
"ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ."

જો મૂળમાંથી એક આખું હોય

જો મૂળ સમીકરણ છે:
(2) ,
અને તેના ગુણાંક , , , પૂર્ણાંકો છે, તો પછી તમે પૂર્ણાંક મૂળ શોધવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. જો આ સમીકરણમાં પૂર્ણાંક મૂળ હોય, તો તે ગુણાંકનો વિભાજક છે.

પૂર્ણાંક મૂળ શોધવાની પદ્ધતિ એ છે કે આપણે સંખ્યાના તમામ વિભાજકો શોધીએ અને તપાસીએ કે સમીકરણ (2) તેમના માટે સંતુષ્ટ છે કે કેમ. જો સમીકરણ (2) સંતુષ્ટ છે, તો આપણે તેનું મૂળ શોધી કાઢ્યું છે. ચાલો તેને તરીકે દર્શાવીએ.
આગળ, આપણે સમીકરણ (2) ને .

આપણને એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ મળે છે. તેને હલ કરીને, આપણે વધુ બે મૂળ શોધીએ છીએ.

સંપૂર્ણ મૂળને વ્યાખ્યાયિત કરવાના ઉદાહરણો પૃષ્ઠ પર આપવામાં આવ્યા છે

પરિબળ બહુપદીના ઉદાહરણો >>>.
;
(3) .
તર્કસંગત મૂળ શોધો

જો સમીકરણમાં (2) , , , પૂર્ણાંકો છે, અને ત્યાં કોઈ પૂર્ણાંક મૂળ નથી, તો પછી તમે તર્કસંગત મૂળ શોધવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો, એટલે કે, સ્વરૂપના મૂળ, જ્યાં અને પૂર્ણાંકો છે. આ કરવા માટે, સમીકરણ (2) ને વડે ગુણાકાર કરો અને અવેજી બનાવો:આગળ, આપણે મુક્ત શબ્દના વિભાજકોમાં સમીકરણ (3) ના પૂર્ણાંક મૂળ શોધીએ છીએ.
.

જો આપણે સમીકરણ (3) નું સંપૂર્ણ મૂળ શોધી લીધું હોય, તો પછી, ચલ પર પાછા ફરવાથી, આપણને મળશે

તર્કસંગત મૂળ

સમીકરણો (2):
(1) .
ઘન સમીકરણ ઉકેલવા માટે કાર્ડાનો અને વિએટા સૂત્રો
.
જો આપણે એક પણ મૂળ જાણતા નથી, અને ત્યાં કોઈ સંપૂર્ણ મૂળ નથી, તો આપણે કાર્ડાનો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ઘન સમીકરણના મૂળ શોધી શકીએ છીએ.
(4) ,
ઘન સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:
(5) ; .

ચાલો એક અવેજી બનાવીએ:
આ પછી, સમીકરણ અપૂર્ણ અથવા ઘટાડેલા સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે:
જ્યાં

વપરાયેલ સાહિત્ય:

આઈ.એન. બ્રોન્સ્ટીન, કે.એ. સેમેન્દ્યાયેવ, ઇજનેરો અને કોલેજના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતની હેન્ડબુક, "લેન", 2009.

જી. કોર્ન, વૈજ્ઞાનિકો અને એન્જિનિયરો માટે ગણિતની હેન્ડબુક, 2012.

સિમોનિયન અલ્બીના

કાર્ય ઘન સમીકરણો ઉકેલવા માટેની તકનીકો અને પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરે છે. ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારીમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે કાર્ડાનો ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

મ્યુનિસિપલ એજ્યુકેશનલ ઇન્સ્ટિટ્યુશન ઓફ ચિલ્ડ્રન્સ એન્ડ યુથ ચિલ્ડ્રન્સ એન્ડ યુથ ક્રિએટીવીટી પેલેસ

યુવાન સંશોધકો માટે ડોન એકેડેમી ઓફ સાયન્સ

વિભાગ: ગણિત - બીજગણિત અને સંખ્યા સિદ્ધાંત સંશોધન કાર્ય

"ચાલો સૂત્રોની દુનિયામાં એક નજર કરીએ"

વિષય પર

1. "3જી ડિગ્રી સમીકરણો ઉકેલવા"
2. વડા: ગણિત શિક્ષક નતાલ્યા અલેકસેવના બેબીના
3. જી. સાલ્સ્ક 2010
4. પરિચય ……………………………………………………………………………….3
5. મુખ્ય ભાગ……………………………………………………………………….4
6. વ્યવહારુ ભાગ ……………………………………………………………………… 10-13

નિષ્કર્ષ ……………………………………………………………………………………………… 14

સાહિત્ય………………………………………………………………………………………………..15 માધ્યમિક શાળાઓ, છે આવશ્યક ઘટક સામાન્ય શિક્ષણઅને સામાન્ય સંસ્કૃતિ આધુનિક માણસ. વ્યક્તિની આસપાસની લગભગ દરેક વસ્તુ કોઈક રીતે ગણિત સાથે જોડાયેલી હોય છે. એ નવીનતમ સિદ્ધિઓભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ટેકનોલોજીમાં, માહિતી ટેકનોલોજીભવિષ્યમાં પણ સ્થિતિ એવી જ રહેશે તેમાં કોઈ શંકા નથી. તેથી, ઘણા નિર્ણય વ્યવહારુ સમસ્યાઓનિર્ણય પર આવે છે વિવિધ પ્રકારોસમીકરણો કે જેને ઉકેલવા માટે તમારે શીખવાની જરૂર છે. રેખીય સમીકરણોપ્રથમ ડિગ્રી, અમને પ્રથમ ધોરણમાં હલ કરવાનું શીખવવામાં આવ્યું હતું, અને વિશેષ રસઅમે તેમને કોઈ ચિંતા દર્શાવી નથી. વધુ રસપ્રદ બિનરેખીય સમીકરણો- સમીકરણો ઉચ્ચ ડિગ્રીઓ. ગણિત ક્રમ, સમપ્રમાણતા અને નિશ્ચિતતા દર્શાવે છે, અને આ છે ઉચ્ચ પ્રજાતિઓસુંદર

મારા પ્રોજેક્ટ "સૂત્રોની દુનિયામાં જુઓ" "ત્રીજી ડિગ્રીના ઘન સમીકરણો ઉકેલવા" વિષય પરનો ધ્યેય એ છે કે ક્યુબિક સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે વિશેના જ્ઞાનને વ્યવસ્થિત કરવું, મૂળ શોધવા માટેના સૂત્રના અસ્તિત્વની હકીકત સ્થાપિત કરવી. ત્રીજા ડિગ્રીના સમીકરણનું, તેમજ ઘન સમીકરણમાં મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેનું જોડાણ. વર્ગમાં અમે સમીકરણો હલ કર્યા, ઘન અને ઘન બંને 3 કરતા વધારે. સમીકરણો ઉકેલવા વિવિધ પદ્ધતિઓ, અમે ઉમેર્યા, બાદબાકી, ગુણાકાર, વિભાજિત ગુણાંક, તેમને સત્તામાં ઉભા કર્યા અને તેમાંથી મૂળ કાઢ્યા, ટૂંકમાં, અમે પ્રદર્શન કર્યું બીજગણિત કામગીરી. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક સૂત્ર છે. શું ત્રીજી ડિગ્રી સમીકરણ ઉકેલવા માટે કોઈ સૂત્ર છે, એટલે કે. મૂળ મેળવવા માટે ગુણાંક સાથે કયા ક્રમમાં અને કયા પ્રકારની બીજગણિત ક્રિયાઓ કરવી આવશ્યક છે તે સૂચનો. તેઓએ પ્રયત્ન કર્યો હતો કે કેમ તે જાણવામાં મને રસ હતો પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રીઓશોધો સામાન્ય સૂત્ર, ઘન સમીકરણો ઉકેલવા માટે યોગ્ય છે? અને જો તેઓએ પ્રયાસ કર્યો, તો શું તેઓ સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા મૂળ માટે અભિવ્યક્તિ મેળવવામાં સક્ષમ હતા?

2. મુખ્ય ભાગ:

તે દૂરના સમયમાં, જ્યારે ઋષિઓએ અજાણ્યા જથ્થાઓ ધરાવતી સમાનતા વિશે વિચારવાનું શરૂ કર્યું, ત્યારે કદાચ કોઈ સિક્કા અથવા પાકીટ નહોતા. પ્રાચીનોમાં ગાણિતિક સમસ્યાઓમેસોપોટેમિયા, ભારત, ચીન, ગ્રીસ, અજાણ્યા જથ્થામાં બગીચામાં મોરની સંખ્યા, ટોળામાં બળદની સંખ્યા, મિલકતનું વિભાજન કરતી વખતે ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી વસ્તુઓની સંપૂર્ણતા દર્શાવવામાં આવી છે. અમારા સુધી પહોંચેલા સ્ત્રોતો સૂચવે છે કે પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકો પાસે કેટલાક હતા સામાન્ય તકનીકોઅજ્ઞાત જથ્થા સાથે સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. જો કે, એક પણ પેપિરસ નહીં, એક પણ નહીં માટીની ગોળીઆ તકનીકોનું કોઈ વર્ણન આપવામાં આવ્યું નથી. એક અપવાદ એલેક્ઝાન્ડ્રિયા (III સદી) ના ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી ડાયોફેન્ટસ દ્વારા "અંકગણિત" છે - તેમના ઉકેલોની વ્યવસ્થિત રજૂઆત સાથે સમીકરણો કંપોઝ કરવા પર સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. જો કે, સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પ્રથમ માર્ગદર્શિકા જે વ્યાપકપણે જાણીતી બની હતી તે 9મી સદીના બગદાદના વૈજ્ઞાનિકનું કાર્ય હતું. મુહમ્મદ બેન મુસા અલ-ખ્વારીઝમી.

આ રીતે મને પ્રોજેક્ટ બનાવવાનો વિચાર આવ્યો “ચાલો સૂત્રોની દુનિયામાં જોઈએ...”, મૂળભૂત મુદ્દાઓ આ પ્રોજેક્ટનાસ્ટીલ

1. ઘન સમીકરણો ઉકેલવા માટે કોઈ સૂત્ર છે કે કેમ તે નક્કી કરવું;
2. હકારાત્મક જવાબના કિસ્સામાં, ઘન સમીકરણના મૂળને વ્યક્ત કરતું સૂત્ર શોધો અંતિમ સંખ્યાતેના ગુણાંક પર બીજગણિતીય કામગીરી.

કારણ કે પાઠ્યપુસ્તકોમાં અને ગણિતના અન્ય પુસ્તકોમાં, મોટાભાગના તર્ક અને પુરાવાઓ પર આધારિત નથી ચોક્કસ ઉદાહરણો, પરંતુ સામાન્ય શબ્દોમાં, મેં ચોક્કસ ઉદાહરણો જોવાનું નક્કી કર્યું છે જે મારા વિચારની પુષ્ટિ કરે છે અથવા ખંડન કરે છે. ક્યુબિક સમીકરણો ઉકેલવા માટેના સૂત્રની શોધમાં, મેં ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે પરિચિત અલ્ગોરિધમ્સને અનુસરવાનું નક્કી કર્યું. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ ઉકેલવું x 3 + 2x 2 - 5x -6=0 સૂત્ર (x+a) નો ઉપયોગ કરીને સંપૂર્ણ સમઘનને અલગ કરો 3 =x 3 + 3x 2 a +3a 2 x+a 3 . મેં લીધેલા સમીકરણની ડાબી બાજુથી સંપૂર્ણ ક્યુબને અલગ કરવા માટે, મેં તેમાં 2x ફેરવ્યું 3x2 માં 2 a, એટલે કે હું કંઈક શોધી રહ્યો હતો જેથી સમાનતા ન્યાયી બને 2x 2 = 3x 2 a . એ = ની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ ન હતી. રૂપાંતરિત ડાબી બાજુઆપેલ સમીકરણનીચે પ્રમાણે: x 3 + 2x 2 -5x-6=0

(x 3 +3x 2 a+ 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3- 6x - 6 અવેજી બનાવેલ છે y = x +, એટલે કે. x = y - y 3 - 6(y -) - 6=0; 3 - 6y + 4- 6=0;મૂળ સમીકરણ 3 - ફોર્મ લીધું: 6у - 2=0; પરિણામ ખૂબ જ સુંદર સમીકરણ નથી, કારણ કે પૂર્ણાંક ગુણાંકને બદલે મારી પાસે હવે અપૂર્ણાંક ગુણાંક છે, જો કે અજ્ઞાત વર્ગ ધરાવતા સમીકરણમાં શબ્દ અદૃશ્ય થઈ ગયો છે! શું હું મારા ધ્યેયની નજીક છું? છેવટે, અજ્ઞાતની પ્રથમ ડિગ્રી ધરાવતો શબ્દ રહે છે. કદાચ સંપૂર્ણ સમઘન પસંદ કરવું જરૂરી હતું જેથી 5x શબ્દ અદૃશ્ય થઈ જાય? (x+a) 3 =x 3 +3x 2 a+ 3a 2 x + a 3. મને આના જેવું કંઈક મળ્યું જેથી 3a 2 x = -5x;તે જેથી 2

= - પરંતુ અહીં તે ખૂબ જ ખરાબ રીતે બહાર આવ્યું - આ સમાનતામાં ડાબી બાજુએ સકારાત્મક સંખ્યા છે, અને જમણી બાજુએ નકારાત્મક સંખ્યા છે. આવી કોઈ સમાનતા હોઈ શકે નહીં. હું હજી સુધી સમીકરણને હલ કરી શક્યો નથી; 3 - 6у - 2=0.તેથી, મેં કરેલા કાર્યનું પરિણામ પ્રારંભિક તબક્કો: હું ઘન સમીકરણમાંથી બીજી ડિગ્રી ધરાવતો શબ્દ દૂર કરવામાં સક્ષમ હતો, એટલે કે. જો આપવામાં આવેપ્રામાણિક સમીકરણ +сх+d, પછી તેને અપૂર્ણ ઘન સમીકરણ x સુધી ઘટાડી શકાય છે 3 +px+q=0. આગળ, વિવિધ સાથે કામ સંદર્ભ પુસ્તકો, હું એ શોધવામાં સક્ષમ હતો કે સમીકરણ સ્વરૂપનું છે x 3 + px = q ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી ડાલ ફેરો (1465-1526) તેને ઉકેલવામાં સફળ થયા. આ પ્રકાર માટે શા માટે અને આ પ્રકાર માટે નહીં x 3 +px+q=0? આ કારણ કે હજુ સુધી નકારાત્મક સંખ્યાઓ રજૂ કરવામાં આવી ન હતી અને સમીકરણો માત્ર હકારાત્મક ગુણાંક સાથે જ ગણવામાં આવતા હતા. અને નકારાત્મક સંખ્યાઓને થોડી વાર પછી માન્યતા મળી.ઐતિહાસિક માહિતી:ડાલ ફેરોએ ઉપરોક્ત ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટેના સૂત્ર સાથે સામ્યતા દ્વારા અસંખ્ય વિકલ્પો પસંદ કર્યા. તેણે આ રીતે તર્ક આપ્યો: ચતુર્ભુજ સમીકરણનું મૂળ છે - ± એટલે કે. ફોર્મ ધરાવે છે: x=t ±. આનો અર્થ એ છે કે ઘન સમીકરણનું મૂળ અમુક સંખ્યાઓનો સરવાળો અથવા તફાવત પણ હોવો જોઈએ, અને, સંભવતઃ, તેમની વચ્ચે ત્રીજા ડિગ્રીના મૂળ હોવા જોઈએ. જે બરાબર છે? અસંખ્ય વિકલ્પોમાંથી, એક સફળ થયો: તેને તફાવતના રૂપમાં જવાબ મળ્યો - તે અનુમાન કરવું વધુ મુશ્કેલ હતું કે t અને u પસંદ કરવા જોઈએ જેથી =. x ની જગ્યાએ તફાવત - , અને p ને બદલે ઉત્પાદનપ્રાપ્ત: (-) 3 +3 (-)=q. કૌંસ ખોલ્યા: t - 3 +3- u+3- 3=q. લાવ્યા પછી સમાન સભ્યોમળ્યું: t-u=q.

પરિણામ એ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:

t u = () 3 t-u=q. ચાલો જમણી અને ડાબી બાજુએ બાંધીએપ્રથમ સમીકરણના ભાગોનો ચોરસ કરો અને બીજા સમીકરણને 4 વડે ગુણાકાર કરો અને પ્રથમ અને બીજા સમીકરણો ઉમેરો. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 થી નવી સિસ્ટમ t+u=2 ; t -u=q અમારી પાસે છે: t= + ; u = -. x માટે અભિવ્યક્તિની જગ્યાએ, અમને મળ્યુંપ્રોજેક્ટ પર કામ કરતી વખતે, મેં કેટલીક રસપ્રદ સામગ્રી શીખી. તે તારણ આપે છે કે ડાલ ફેરોએ તેને મળેલી પદ્ધતિ પ્રકાશિત કરી ન હતી, પરંતુ તેના કેટલાક વિદ્યાર્થીઓ આ શોધ વિશે જાણતા હતા, અને ટૂંક સમયમાં તેમાંથી એક, એન્ટોનિયો ફિઓરે તેનો લાભ લેવાનું નક્કી કર્યું.તે વર્ષોમાં, જાહેર ચર્ચાઓ વૈજ્ઞાનિક મુદ્દાઓ. આવા વિવાદોના વિજેતાઓને સામાન્ય રીતે સારા પારિતોષિકો મળતા હતા અને ઘણી વખત ઉચ્ચ હોદ્દા પર આમંત્રિત કરવામાં આવતા હતા.

તે જ સમયે, ઇટાલિયન શહેર વેરોનામાં ગણિતના નબળા શિક્ષક નિકોલો (1499-1557) રહેતા હતા, જેનું હુલામણું નામ ટાર્ટાગ્લિયા (એટલે ​​​​કે, સ્ટટરર) હતું. તે ખૂબ જ પ્રતિભાશાળી હતો અને દાલ ફેરો ટેકનિક (પરિશિષ્ટ 1) ને ફરીથી શોધવામાં વ્યવસ્થાપિત હતો.ફિઓર અને ટાર્ટાગ્લિયા વચ્ચે દ્વંદ્વયુદ્ધ થયું. શરત મુજબ, હરીફોએ ત્રીસ સમસ્યાઓની આપલે કરી, જેના ઉકેલ માટે 50 દિવસનો સમય આપવામાં આવ્યો. પરંતુ કારણ કે ફિઓર અનિવાર્યપણે ફક્ત એક જ સમસ્યા જાણતો હતો અને તેને ખાતરી હતી કે કેટલાક શિક્ષક તેને હલ કરી શકશે નહીં, પછી બધી 30 સમસ્યાઓ સમાન પ્રકારની હોવાનું બહાર આવ્યું. ટાર્ટાગ્લિયાએ 2 કલાકમાં તેમની સાથે વ્યવહાર કર્યો. ફિઓર દુશ્મન દ્વારા પ્રસ્તાવિત એક પણ સમસ્યા હલ કરવામાં અસમર્થ હતો. આ વિજયે સમગ્ર ઇટાલીમાં ટાર્ટાગ્લિયાને મહિમા આપ્યો, પરંતુ આ મુદ્દો સંપૂર્ણપણે ઉકેલાયો ન હતો. .

ગેરોલામો કાર્ડાનો આ બધું કરવામાં સફળ રહ્યા. ડાલ ફેરોએ ટાર્ટાગ્લિયા દ્વારા શોધ્યું અને ફરીથી શોધ્યું તે ખૂબ જ સૂત્રને કાર્ડાનો સૂત્ર કહેવામાં આવે છે (પરિશિષ્ટ 2).

કાર્ડાનો ગિરોલામો (24.9.1501-21.9.1576) - ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી, મિકેનિક અને ડૉક્ટર. પાવિયામાં થયો હતો. તેણે પાવિયા અને પડુઆની યુનિવર્સિટીઓમાં અભ્યાસ કર્યો. યુવાનીમાં તેણે દવાનો અભ્યાસ કર્યો. 1534 માં મિલાન અને બોલોગ્નામાં ગણિતના પ્રોફેસર બન્યા. ગણિતમાં, કાર્ડાનો નામ સામાન્ય રીતે ઘન સમીકરણને ઉકેલવા માટેના સૂત્ર સાથે સંકળાયેલું છે, જે તેણે એન. ટાર્ટાગ્લિયા પાસેથી ઉધાર લીધું હતું. આ સૂત્ર કાર્ડનોના પુસ્તક "ધ ગ્રેટ આર્ટ, અથવા ઓન ધ રૂલ્સ ઓફ બીજગણિત" (1545) માં પ્રકાશિત થયું હતું. તે સમયથી, ટાર્ટાગ્લિયા અને કાર્ડાનો જીવલેણ દુશ્મન બની ગયા. આ પુસ્તક વ્યવસ્થિત રીતે સમીકરણો ઉકેલવા માટે આધુનિક કાર્ડાનો પદ્ધતિઓ રજૂ કરે છે, મુખ્યત્વે ક્યુબિક. કાર્ડનો પૂર્ણ થયો રેખીય પરિવર્તન, જે આપણને ઘન સમીકરણને 2જી ડિગ્રીની મુદતથી મુક્ત સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે અને સમીકરણના મૂળ અને સહગુણાંકો વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે અને x –a ના તફાવત દ્વારા બહુપદીની વિભાજ્યતા, જો a તેની મૂળ કાર્ડાનો અસ્તિત્વનો સ્વીકાર કરનાર યુરોપમાં પ્રથમ હતા નકારાત્મક મૂળસમીકરણો તેમના કાર્યમાં, કાલ્પનિક જથ્થાઓ પ્રથમ વખત દેખાય છે. મિકેનિક્સમાં, કાર્ડનોએ લિવર અને વજનના સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કર્યો. સેગમેન્ટની બાજુની હિલચાલમાંથી એક જમણો ખૂણોમિકેનિક્સ કાર્ડને નવી ચળવળ કહે છે. તેથી, કાર્ડાનો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તમે ફોર્મના સમીકરણોને હલ કરી શકો છો x 3 +рх+q=0 (પરિશિષ્ટ 3)

એવું લાગે છે કે સમસ્યા હલ થઈ ગઈ છે. ઘન સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક સૂત્ર છે.

અહીં તેણી છે!

મૂળમાં અભિવ્યક્તિ છેભેદભાવપૂર્ણ ડી = () 2 + () 3 3 - મેં મારા સમીકરણ પર પાછા જવાનું નક્કી કર્યું અને કાર્ડાનો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેને હલ કરવાનો પ્રયાસ કર્યો: મારું સમીકરણ આના જેવું દેખાય છે: y 6у - 2=0, જ્યાં p= - 6=-; q = - 2 = - . તેની ગણતરી કરવી સરળ છે () = = - = - . આગળ શું? મેં આ અપૂર્ણાંકના અંશમાંથી મૂળ સરળતાથી કાઢ્યું, તે 15 બન્યું. છેદ સાથે શું કરવું? માત્ર રુટ સંપૂર્ણ રીતે કાઢવામાં આવતું નથી, પરંતુ તેને નકારાત્મક સંખ્યામાંથી પણ કાઢવાની જરૂર છે! શું વાત છે? આપણે ધારી શકીએ કે આ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે D માટે તેથી, પ્રોજેક્ટ પર કામ કરતી વખતે, મને બીજી સમસ્યાનો સામનો કરવો પડ્યો.શું વાત છે? મેં એવા સમીકરણો કંપોઝ કરવાનું શરૂ કર્યું કે જેમાં મૂળ હોય, પરંતુ તેમાં અજ્ઞાત વર્ગનો શબ્દ નથી:

1. મૂળ x = - 4 સાથે સમીકરણ બનાવ્યું.

x 3 +15x+124=0 અને ખરેખર, તપાસ કરીને મને ખાતરી થઈ કે -4 એ સમીકરણનું મૂળ છે. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

મેં ચેક કર્યું કે શું આ રુટ કાર્ડાનો ફોર્મ્યુલા x=+=+= =1- 5 =- 4 નો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.

સમજાયું, x = -4.

1. વાસ્તવિક મૂળ x=1: x ધરાવતા બીજા સમીકરણની રચના કરી 3 + 3x – 4 =0 અને સૂત્ર તપાસ્યું.

અને આ કિસ્સામાં, સૂત્ર દોષરહિત રીતે કામ કર્યું.

1. સમીકરણ x મળ્યું 3 +6x+2=0, જેમાં એક અતાર્કિક મૂળ છે.

નક્કી કર્યા પછી આપેલ સમીકરણ, મને આ રુટ x = - અને પછી મને એક અનુમાન હતું: જો સમીકરણમાં માત્ર એક જ રુટ હોય તો સૂત્ર કામ કરે છે. અને મારા સમીકરણ, જેનો ઉકેલ મને મૃત અંતમાં લઈ ગયો, તેના ત્રણ મૂળ હતા! આ તે છે જ્યાં તમારે કારણ શોધવાની જરૂર છે!હવે મેં એક સમીકરણ લીધું જેના ત્રણ મૂળ છે: 1; 2; -3. x 3 – 7x +6=0 p= -7; q = 6. ભેદભાવ તપાસ્યો: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

મેં ધાર્યું તેમ, વર્ગમૂળ ચિહ્ન હેઠળ તે ફરીથી બહાર આવ્યું નકારાત્મક સંખ્યા. હું નિષ્કર્ષ પર આવ્યો:સમીકરણ x ના ત્રણ મૂળનો માર્ગ 3 +px+q=0 નકારાત્મક સંખ્યાના વર્ગમૂળને લેવાની અશક્ય કામગીરી દ્વારા દોરી જાય છે.

1. હવે મારે ફક્ત એ શોધવાનું છે કે જ્યારે સમીકરણના બે મૂળ હશે ત્યારે હું શું સામનો કરીશ. મેં એક સમીકરણ પસંદ કર્યું જેમાં બે મૂળ છે: x 3 – 12 x + 16 = 0. p = -12, q = 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 =64-64=0 D = 64 – 64 = 0. હવે આપણે તારણ કાઢી શકીએ કે ફોર્મના ઘન સમીકરણના મૂળની સંખ્યા x 3 +px+q=0 ભેદભાવ D=() ની નિશાની પર આધાર રાખે છે 2 +() 3 નીચે મુજબ:

જો D>0 હોય, તો સમીકરણમાં 1 ઉકેલ છે.

જો ડી

જો D=0 હોય, તો સમીકરણમાં 2 ઉકેલો છે.

મને ગણિતના સંદર્ભ પુસ્તકમાં મારા નિષ્કર્ષની પુષ્ટિ મળી, લેખક એન.આઈ. તેથી મારા નિષ્કર્ષ: જ્યારે અમને ખાતરી હોય કે મૂળ અનન્ય છે ત્યારે કાર્ડનોના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.મને ઘન સમીકરણના મૂળ શોધવા માટે એક સૂત્ર છે તે સ્થાપિત કરવામાં વ્યવસ્થાપિત, પરંતુ ફોર્મ માટે x 3 + px + q = 0.

3. વ્યવહારુ ભાગ.

પ્રોજેક્ટ પર કામ કરવું “... પરિમાણો સાથેની કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મને ઘણી મદદ કરી. ઉદાહરણ તરીકે:1. ઓછામાં ઓછું કેટલું કુદરતી મૂલ્યઅને સમીકરણ x 3 -3x+4=a પાસે 1 ઉકેલ છે? સમીકરણ તરીકે ફરીથી લખવામાં આવ્યું હતું x 3 -3x+4-a=0; p= -3; q=4-a. શરત મુજબ, તેમાં 1 સોલ્યુશન હોવું આવશ્યક છે એટલે કે. ડી>0ચાલો D શોધીએ. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

A (-∞;2) (6; ∞)

આ અંતરાલમાંથી a નું સૌથી નાનું કુદરતી મૂલ્ય 1 છે.

જવાબ આપો. 1

2. શું પરિમાણ a, સમીકરણ xનું સૌથી મોટું કુદરતી મૂલ્ય 3 + x 2 -8x+2-a=0 ત્રણ મૂળ ધરાવે છે?

સમીકરણ x 3 + 3x 2 -24x+6-3a=0 ફોર્મ y માં ઘટાડ્યું છે 3 +py+q=0, જ્યાં a=1; in=3; c=-24; d=6-3a જ્યાં q= - + અને 3 p = q=32-3a; p=-27. આ પ્રકારના સમીકરણ D=() માટે 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; ડી 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 અને 1 = ==28, અને 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

A (-7; 28)

આ અંતરાલમાંથી a નું સૌથી મોટું કુદરતી મૂલ્ય 28 છે.

જવાબ.28

3. પરિમાણ a ના મૂલ્યો પર આધાર રાખીને, સમીકરણના મૂળની સંખ્યા શોધો x 3 – 3x – a=0

ઉકેલ. સમીકરણ p = -3 માં; q = -a. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

(-∞;-2) (2;∞) માટે સમીકરણમાં 1 ઉકેલ છે;

જ્યારે (-2;2) સમીકરણમાં 3 મૂળ હોય છે;

જ્યારે a = -2; સમીકરણ 2 પાસે 2 ઉકેલો છે.

પરીક્ષણો:

1. સમીકરણો કેટલા મૂળ ધરાવે છે:

1) x 3 -12x+8=0?

એ) 1; b) 2; c)3; ડી) 4

2) x 3 -9x+14=0

એ) 1; b) 2; c)3; ડી) 4

2. p ના કયા મૂલ્યો પર સમીકરણ x છે 3 +px+8=0 બે મૂળ ધરાવે છે?

a)3; b) 5; c) -3; ડી) 5

જવાબ: 1.d) 4

2.c) 3.

3.c)-3

ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી ફ્રાન્કોઈસ વિયેટે (1540-1603) આપણાથી 400 વર્ષ પહેલાં (પરિશિષ્ટ 4) સેકન્ડ-ડિગ્રી સમીકરણના મૂળ અને તેમના ગુણાંક વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરવામાં સક્ષમ હતા.

X 1 + x 2 = -p;

X 1 ∙x 2 =q.

મને જાણવામાં રસ હતો: શું તૃતીય-ડિગ્રી સમીકરણના મૂળ અને તેમના ગુણાંક વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરવું શક્ય છે? જો એમ હોય, તો આ જોડાણ શું છે? આ રીતે મારો મીની-પ્રોજેક્ટ અસ્તિત્વમાં આવ્યો. મેં મારી સમસ્યાને ઉકેલવા માટે ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં મારી હાલની કુશળતાનો ઉપયોગ કરવાનું નક્કી કર્યું. મેં સામ્યતાથી અભિનય કર્યો. મેં સમીકરણ x લીધું 3 +px 2 +qx+r =0. જો આપણે સમીકરણના મૂળ સૂચવીએ x 1, x 2, x 3 , પછી સમીકરણ ફોર્મમાં લખી શકાય છે (x-x 1 ) (x-x 2) (x-x 3 )=0 કૌંસ ખોલીને, આપણને મળે છે: x 3 -(x 1 +x 2 +x 3)x 2 +(x 1 x 2 + x 1 x 3 +x 2 x 3)x - x 1 x 2 x 3 =0. અમને નીચેની સિસ્ટમ મળી છે:

X 1 + x 2 + x 3 = - p;

X 1 x 2 x 3 = - આર.

આમ, મનસ્વી ડિગ્રીના સમીકરણોના મૂળને તેમના ગુણાંક સાથે સાંકળવાનું શક્ય છે.મને રુચિ ધરાવતા પ્રશ્નમાં વિએટાના પ્રમેયમાંથી શું શીખી શકાય?

1. સમીકરણના તમામ મૂળનું ઉત્પાદન ફ્રી ટર્મના મોડ્યુલસ જેટલું છે. જો સમીકરણના મૂળ પૂર્ણાંકો હોય, તો તે મુક્ત પદના વિભાજક હોવા જોઈએ.

ચાલો સમીકરણ x પર પાછા જઈએ 3 + 2x 2 -5x-6=0. પૂર્ણાંકો સમૂહના હોવા જોઈએ: ±1; ±2; ±3; ±6. સંખ્યાઓને સમીકરણમાં સતત બદલીને, આપણને મૂળ મળે છે: -3; -1; 2.

2. જો તમે આ સમીકરણને ફેક્ટરિંગ દ્વારા હલ કરો છો, તો વિએટાનું પ્રમેય "સંકેત" આપે છે:તે જરૂરી છે કે વિઘટન માટે જૂથોનું સંકલન કરતી વખતે, સંખ્યાઓ દેખાય છે - મફત શબ્દના વિભાજકો. તે સ્પષ્ટ છે કે તમે તરત જ શીખી શકશો નહીં, કારણ કે બધા વિભાજકો સમીકરણના મૂળ નથી. અને, અરે, તે બિલકુલ કામ કરી શકશે નહીં - છેવટે, સમીકરણના મૂળ પૂર્ણાંકો ન હોઈ શકે.

ચાલો સમીકરણ x હલ કરીએ 3 +2x 2 -5x-6=0 ફેક્ટરીકરણ એક્સ 3 +2x 2 -5x-6=x 3 +(3x 2 - x 2)-3x-2x-6=x 2 (x+3)– x(x+3) – 2(x+3)=(x+3)(x 2 –x-2)= =(x+3)(x 2 +x -2x -2)=(x+3)(x(x+1)-2(x+1))=(x+2)(x+1)(x-2) મૂળ સમીકરણ સમકક્ષ છે : ( x+2)(x+1)(x-2)=0. અને આ સમીકરણના ત્રણ મૂળ છે: -3;-1;2. વિએટાના પ્રમેયના "સંકેત" નો ઉપયોગ કરીને, મેં નીચેના સમીકરણને હલ કર્યું: x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. ફ્રી ટર્મ વિભાજકો: ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. એક્સ 3 -12x+16= x 3 -4x-8x+16= (x 3 -4x)-(8x-16)=x(x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

=(x-2)(x(x+2)-8)=(x-2)(x 2 +2x-8) (x-2)(x 2 +2x-8)=0 x-2=0 અથવા x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; x 2 =2. જવાબ આપો. -4; 2.

3. સમાનતાઓની પરિણામી સિસ્ટમને જાણીને, તમે સમીકરણના મૂળમાંથી સમીકરણના અજાણ્યા ગુણાંક શોધી શકો છો.

પરીક્ષણો:

1. સમીકરણ x 3 + px 2 + 19x - 12=0 મૂળ 1, 3, 4 ધરાવે છે. ગુણાંક p શોધો;જવાબ આપો. એ) 12; b) 19; c) -12; d) -8 2. સમીકરણ x 3 - 10 x 2 + 41x +r=0 નું મૂળ 2, 3, 5 છે. ગુણાંક r શોધો;જવાબ આપો. એ) 19; b) -10; c) 30; ડી) -30.

માં આ પ્રોજેક્ટના પરિણામો લાગુ કરવાના કાર્યો પર્યાપ્ત જથ્થો M.I. Skanavi દ્વારા સંપાદિત યુનિવર્સિટીઓના અરજદારો માટેના માર્ગદર્શિકામાં મળી શકે છે. વિયેટાના પ્રમેયનું જ્ઞાન આવી સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં અમૂલ્ય મદદરૂપ થઈ શકે છે.

№6.354

4. નિષ્કર્ષ

1. એક સૂત્ર છે જે સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા બીજગણિત સમીકરણના મૂળને વ્યક્ત કરે છે:જ્યાં D==() 2 + () 3 D>0, 1 ઉકેલ. કાર્ડાનો સૂત્ર.

2. ઘન સમીકરણના મૂળની મિલકત

X 1 + x 2 + x 3 = - p;

X 1. x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = - આર.

પરિણામે, હું એવા નિષ્કર્ષ પર આવ્યો છું કે એક સૂત્ર છે જે તેના ગુણાંક દ્વારા ઘન સમીકરણોના મૂળને વ્યક્ત કરે છે, અને સમીકરણના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચે પણ જોડાણ છે.

5. સાહિત્ય:

1. એક યુવાન ગણિતશાસ્ત્રીનો જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ. એ.પી. સવિન. -એમ.: શિક્ષણ શાસ્ત્ર, 1989.

2. ગણિતમાં એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા - 2004. સમસ્યાઓ અને ઉકેલો. V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova અને અન્ય. પબ્લિશિંગ હાઉસ ચૂવાશ. યુનિવર્સિટી, 2004.

3. પરિમાણો સાથે સમીકરણો અને અસમાનતાઓ. વી.વી. મોચલોવ, વી.વી પરિમાણો સાથે સમીકરણો અને અસમાનતાઓ: પાઠ્યપુસ્તક. ભથ્થું - ચેબોક્સરી: ચૂવાશ પબ્લિશિંગ હાઉસ. યુનિવર્સિટી, 2004.

4.ગણિતની સમસ્યાઓ. બીજગણિત. સંદર્ભ માર્ગદર્શિકા. વાવિલોવ વી.વી., ઓલેહનિક એસ.એન.-એમ.: નૌકા, 1987.

5. ગણિતની તમામ સ્પર્ધાત્મક સમસ્યાઓનું નિરાકરણ, M.I. Skanavi દ્વારા સંપાદિત. પબ્લિશિંગ હાઉસ "યુક્રેનિયન એનસાયક્લોપીડિયા" એમ.પી. બાઝોવના નામ પરથી, 1993.

6. બીજગણિત પાઠ્યપુસ્તકના પાના પાછળ. એલ.એફ.પિચુરિન.-એમ.: શિક્ષણ, 1990.

સિમોનિયન અલ્બીના

પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને તેમાં લોગ ઇન કરો: https://accounts.google.com

સ્લાઇડ કૅપ્શન્સ:

ચાલો સૂત્રોની દુનિયામાં એક નજર કરીએ

માધ્યમિક શાળાઓમાં મેળવેલ ગાણિતિક શિક્ષણ એ સામાન્ય શિક્ષણ અને આધુનિક માણસની સામાન્ય સંસ્કૃતિનો આવશ્યક ઘટક છે. વ્યક્તિની આસપાસની લગભગ દરેક વસ્તુ કોઈક રીતે ગણિત સાથે જોડાયેલી હોય છે. અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, ટેક્નોલોજી અને ઇન્ફર્મેશન ટેક્નોલોજીમાં તાજેતરના વિકાસથી કોઈ શંકા નથી કે ભવિષ્યમાં સ્થિતિ એવી જ રહેશે. તેથી, ઘણી વ્યવહારુ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ વિવિધ પ્રકારના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે જેને તમારે હલ કરવાનું શીખવાની જરૂર છે. અમને પ્રથમ ધોરણમાં પ્રથમ ડિગ્રીના રેખીય સમીકરણો ઉકેલવાનું શીખવવામાં આવ્યું હતું, અને અમે તેમાં વધુ રસ દાખવ્યો ન હતો. બિનરેખીય સમીકરણો વધુ રસપ્રદ છે - મોટી ડિગ્રીના સમીકરણો. ગણિત ક્રમ, સમપ્રમાણતા અને નિશ્ચિતતા દર્શાવે છે, અને આ સુંદરતાના સર્વોચ્ચ પ્રકાર છે. પરિચય:

સમીકરણનું સ્વરૂપ છે (1) આપણે સમીકરણને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ જેથી કરીને ચોક્કસ સમઘનને અલગ કરી શકાય: આપણે (1) સમીકરણોને 3 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ (2) આપણે રૂપાંતરિત કરીએ છીએ (2) આપણને મળતા સમીકરણો નીચેના સમીકરણચાલો સમીકરણની જમણી અને ડાબી બાજુઓ (3) ને ત્રીજી ઘાતમાં વધારીએ, સમીકરણના મૂળ શોધો

ફોર્મના ચતુર્ભુજ સમીકરણો જેમાં ભેદભાવ હોય છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓકોઈ મૂળ નથી

ત્રીજી ડિગ્રી સમીકરણ

ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ: તે દૂરના સમયમાં, જ્યારે ઋષિઓએ અજાણ્યા જથ્થાઓ ધરાવતી સમાનતા વિશે વિચારવાનું શરૂ કર્યું, ત્યારે કદાચ કોઈ સિક્કા અથવા પાકીટ નહોતા. મેસોપોટેમિયા, ભારત, ચીન, ગ્રીસની પ્રાચીન ગાણિતિક સમસ્યાઓમાં, અજાણ્યા જથ્થાઓએ બગીચામાં મોરની સંખ્યા, ટોળામાં બળદની સંખ્યા અને મિલકતનું વિભાજન કરતી વખતે ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી વસ્તુઓની સંપૂર્ણતા દર્શાવી હતી. અમારા સુધી પહોંચેલા સ્ત્રોતો સૂચવે છે કે પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકો પાસે અજાણ્યા જથ્થા સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે કેટલીક સામાન્ય તકનીકો હતી. જો કે, એક પણ પેપિરસ અથવા માટીની ટેબ્લેટમાં આ તકનીકોનું વર્ણન નથી. એક અપવાદ એલેક્ઝાન્ડ્રિયા (III સદી) ના ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી ડાયોફેન્ટસ દ્વારા "અંકગણિત" છે - તેમના ઉકેલોની વ્યવસ્થિત રજૂઆત સાથે સમીકરણો કંપોઝ કરવા પર સમસ્યાઓનો સંગ્રહ. જો કે, સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પ્રથમ માર્ગદર્શિકા જે વ્યાપકપણે જાણીતી બની હતી તે 9મી સદીના બગદાદના વૈજ્ઞાનિકનું કાર્ય હતું. મુહમ્મદ બેન મુસા અલ-ખ્વારીઝમી.

સમીકરણમાં ફોર્મ છે (1) ફોર્મ્યુલા લાગુ કરો 1) શોધો પસંદ કરીને અને જેથી નીચેની સમાનતા જળવાઈ રહે, અમે નીચે પ્રમાણે સમીકરણ (1) ની ડાબી બાજુનું રૂપાંતર કરીએ છીએ: સંપૂર્ણ ઘન પસંદ કરીને, સરવાળો y તરીકે લો, અમે મેળવીએ છીએ y માટે એક સમીકરણ (2) સરળ કરો (2) સમીકરણ (3) માં (3) અજ્ઞાતનો વર્ગ ધરાવતો શબ્દ અદૃશ્ય થઈ ગયો, પરંતુ અજ્ઞાતની પ્રથમ ડિગ્રી ધરાવતો શબ્દ રહ્યો 2) પસંદગી દ્વારા, શોધો અને જેથી કરીને નીચેની સમાનતા અસંભવ છે કારણ કે ડાબી બાજુએ એક ધન સંખ્યા છે અને જો આપણે આ માર્ગને અનુસરીશું તો આપણે અટવાઈ જઈશું... આપણે પસંદ કરેલા માર્ગમાં નિષ્ફળ જઈશું. અમે હજી સમીકરણ હલ કરી શકતા નથી.

ઘન સમીકરણો એ સ્વરૂપના સમીકરણો છે જ્યાં (1) 1. ચાલો સમીકરણોને a વડે ભાગીને સરળ બનાવીએ, તો “x” નો ગુણાંક 1 ની બરાબર બને છે, તેથી કોઈપણ ઘન સમીકરણનો ઉકેલ સરવાળો ઘન સૂત્ર પર આધારિત હોય છે. : (2) જો આપણે લઈએ તો સમીકરણ (1) સમીકરણથી અલગ પડે છે (2) માત્ર x ના ગુણાંક અને મુક્ત પદ દ્વારા. ચાલો સમીકરણો (1) અને (2) ઉમેરીએ અને સમાન સમીકરણો રજૂ કરીએ: જો આપણે અહીં અવેજી કરીએ, તો આપણને શબ્દ વિના y માટે ઘન સમીકરણ મળશે:

કાર્ડાનો ગિરોલામો

કાર્ડાનો ગિરોલામો (24.9.1501-21.9.1576) - ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી, મિકેનિક અને ડૉક્ટર. પાવિયામાં થયો હતો. તેણે પાવિયા અને પડુઆની યુનિવર્સિટીઓમાં અભ્યાસ કર્યો. યુવાનીમાં તેણે દવાનો અભ્યાસ કર્યો. 1534 માં મિલાન અને બોલોગ્નામાં ગણિતના પ્રોફેસર બન્યા. ગણિતમાં, કાર્ડાનો નામ સામાન્ય રીતે ઘન સમીકરણને ઉકેલવા માટેના સૂત્ર સાથે સંકળાયેલું છે, જે તેણે એન. ટાર્ટાગ્લિયા પાસેથી ઉધાર લીધું હતું. આ સૂત્ર કાર્ડનોના પુસ્તક "ધ ગ્રેટ આર્ટ, અથવા ઓન ધ રૂલ્સ ઓફ બીજગણિત" (1545) માં પ્રકાશિત થયું હતું. તે સમયથી, ટાર્ટાગ્લિયા અને કાર્ડાનો જીવલેણ દુશ્મન બની ગયા. આ પુસ્તક વ્યવસ્થિત રીતે સમીકરણો ઉકેલવા માટે આધુનિક કાર્ડાનો પદ્ધતિઓ રજૂ કરે છે, મુખ્યત્વે ક્યુબિક. કાર્ડનોએ એક રેખીય રૂપાંતર કર્યું જેણે ઘન સમીકરણને 2જી ડિગ્રીની મુદતથી મુક્ત સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનું શક્ય બનાવ્યું, તેણે સમીકરણના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધ અને x દ્વારા બહુપદીની વિભાજ્યતા દર્શાવી. -a, જો a તેનું મૂળ છે. કાર્ડાનો સમીકરણોના નકારાત્મક મૂળના અસ્તિત્વને સ્વીકારનાર યુરોપમાં પ્રથમ હતા. તેમના કાર્યમાં, કાલ્પનિક જથ્થાઓ પ્રથમ વખત દેખાય છે. મિકેનિક્સમાં, કાર્ડનોએ લિવર અને વજનના સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કર્યો. મિકેનિક્સના કાટખૂણાની બાજુઓ સાથેના સેગમેન્ટની એક હિલચાલને કાર્ડન ચળવળ કહેવામાં આવે છે. કાર્ડાનો ગિરોલામોનું જીવનચરિત્ર

તે જ સમયે, ઇટાલિયન શહેર વેરોનામાં ગણિતના નબળા શિક્ષક નિકોલો (1499-1557) રહેતા હતા, જેનું હુલામણું નામ ટાર્ટાગ્લિયા (એટલે ​​​​કે, સ્ટટરર) હતું. તે ખૂબ જ પ્રતિભાશાળી હતો અને દાલ ફેરો ટેકનિકને ફરીથી શોધવામાં સફળ રહ્યો. ફિઓર અને ટાર્ટાગ્લિયા વચ્ચે દ્વંદ્વયુદ્ધ થયું. શરત અનુસાર, હરીફોએ 30 સમસ્યાઓની આપલે કરી, જેના ઉકેલ માટે 50 દિવસનો સમય આપવામાં આવ્યો. પરંતુ ફિયોર અનિવાર્યપણે માત્ર એક જ સમસ્યા જાણતો હોવાથી અને તેને ખાતરી હતી કે કેટલાક શિક્ષક તેને હલ કરી શકશે નહીં, બધી 30 સમસ્યાઓ એક જ પ્રકારની હોવાનું બહાર આવ્યું. ટાર્ટાગ્લિયાએ બે કલાકમાં તેમની સાથે વ્યવહાર કર્યો. ફિઓર દુશ્મન દ્વારા પ્રસ્તાવિત એક પણ સમસ્યા હલ કરવામાં અસમર્થ હતો. આ વિજયે સમગ્ર ઇટાલીમાં ટાર્ટાગ્લિયાને ગૌરવ અપાવ્યું હતું, પરંતુ આ મુદ્દો સંપૂર્ણપણે ઉકેલાયો ન હતો, જેની મદદથી આપણે અજ્ઞાત મૂલ્યના વર્ગ (સંપૂર્ણ ક્યુબને પસંદ કરવા) ધરાવતા સમીકરણના સભ્યનો સામનો કરી શક્યા હતા તે હજુ સુધી શોધાયું ન હતું. સમીકરણોનો ઉકેલ વિવિધ પ્રકારોસિસ્ટમમાં સામેલ કરવામાં આવ્યું ન હતું. ટાર્ટાગ્લિયા સાથે ફિઓરનું દ્વંદ્વયુદ્ધ

આપેલ સમીકરણમાંથી ફોર્મનું સમીકરણ અને ચાલો સમીકરણના ભેદભાવની ગણતરી કરીએ માત્ર આ સમીકરણનું મૂળ સંપૂર્ણ રીતે કાઢવામાં આવતું નથી, પરંતુ તેને નકારાત્મક સંખ્યામાંથી પણ કાઢવાની જરૂર છે. શું વાત છે? આપણે ધારી શકીએ કે આ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે ડી

ઘન સમીકરણના મૂળ ભેદભાવ પર આધાર રાખે છે સમીકરણમાં 1 ઉકેલ છે સમીકરણમાં 3 ઉકેલો છે સમીકરણમાં 2 ઉકેલો છે નિષ્કર્ષ

સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: કાર્ડાનો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ શોધો કાર્ડાનો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઘન સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો

આપેલ સમીકરણમાંથી ફોર્મ (1) નું સમીકરણ અને ત્યારથી, શરત મુજબ, આ સમીકરણમાં 1 ઉકેલ હોવો આવશ્યક છે, પછી સમીકરણના ભેદભાવ (1) ની ગણતરી કરો + - + 2 6 જવાબ: આમાંથી a નું સૌથી નાનું કુદરતી મૂલ્ય અંતરાલ 1 છે સમીકરણનું સૌથી નાનું કુદરતી મૂલ્ય 1 ઉકેલ ધરાવે છે?

વિએટા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઘન સમીકરણો ઉકેલવા સમીકરણો ફોર્મ ધરાવે છે

એક સમીકરણ ઉકેલો જો તે જાણીતું હોય કે વિયેટાના પ્રમેય દ્વારા તેના બે મૂળનું ઉત્પાદન 1 બરાબર છે અને આપણી પાસે જે સ્થિતિ છે અથવા મૂલ્યને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલીએ અથવા ત્રીજા સમીકરણમાંથી મૂલ્યને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલીએ તો આપણે તેના મૂળ મેળવીએ. સમીકરણ અથવા જવાબ:

વપરાયેલ સાહિત્ય: “ગણિત. શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરની માર્ગદર્શિકા"યુ.એ. ગુસમેન, એ.ઓ. સ્મિર્નોવ. જ્ઞાનકોશ “હું વિશ્વનું અન્વેષણ કરું છું. ગણિત" - મોસ્કો, AST, 1996. "ગણિત." શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરની માર્ગદર્શિકા » V.T. લિસિચકિન. M.I. Skanavi દ્વારા સંપાદિત યુનિવર્સિટીઓમાં અરજદારો માટે એક માર્ગદર્શિકા. સિંગલ રાજ્ય પરીક્ષાગણિતમાં - 2004

તમારા ધ્યાન બદલ આભાર

ઘન સમીકરણ - બીજગણિતીય સમીકરણત્રીજી ડિગ્રી. ઘન સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0

આ સમીકરણમાં x ને નવા અજ્ઞાત y સાથે બદલીને, x = y – (b/3a) દ્વારા x સાથે સંકળાયેલ, ઘન સમીકરણને સરળ (પ્રમાણિક) સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે: y3 + pу + q = 0, જ્યાં p = - b2 + c , q = 2b – bс + d

3a2 a 27a3 3a2 a આ સમીકરણનો ઉકેલ કાર્ડાનો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.

1. 1 ઘન સમીકરણોનો ઇતિહાસ

"ક્યુબિક સમીકરણ" શબ્દ આર. ડેસકાર્ટેસ (1619) અને ડબલ્યુ. ઓગટ્રેડ (1631) દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો.

ક્યુબિક સમીકરણોમાં ઘટાડી શકાય તેવી સમસ્યાઓના ઉકેલો શોધવાના પ્રથમ પ્રયાસો પ્રાચીન ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા કરવામાં આવ્યા હતા (ઉદાહરણ તરીકે, ઘન બમણું કરવાની સમસ્યા અને ખૂણાના ત્રિ-વિભાજન).

પૂર્વના મધ્ય યુગના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ તદ્દન બનાવ્યું વિકસિત સિદ્ધાંત(વી ભૌમિતિક આકાર) ઘન સમીકરણો; બીજગણિત અને અલ્મુકાબાલા “ઓમારા હાયા” (લગભગ 1070) માં સમસ્યાઓના પુરાવા પરના ગ્રંથમાં તે ખૂબ જ સારી રીતે દર્શાવવામાં આવ્યું છે, જ્યાં શોધવાનો પ્રશ્ન હકારાત્મક મૂળ 14 પ્રકારના ઘન સમીકરણો જેમાં બંને બાજુઓ પર હકારાત્મક ગુણાંક સાથે માત્ર પદો હોય છે.

યુરોપમાં પ્રથમ વખત ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપઘન સમીકરણના એક કેસનો ઉકેલ વિએથ (1953) દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો.

ક્યુબિક સમીકરણોના એક પ્રકારના રેડિકલમાં પ્રથમ ઉકેલ એસ. ફેરો (1515ની આસપાસ) દ્વારા મળી આવ્યો હતો, પરંતુ તે પ્રકાશિત થયો ન હતો. ટાર્ટાગ્લિયા (1535) દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે આ શોધને પુનરાવર્તિત કરવામાં આવી હતી, જે અન્ય બે પ્રકારના ઘન સમીકરણોને ઉકેલવા માટેનો નિયમ દર્શાવે છે. આ શોધો 1545 માં જી. કાર્ડાનો દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી, જેમણે એન. ટાર્ટાગ્લિયાના લેખકત્વનો ઉલ્લેખ કર્યો હતો.

15મી સદીના અંતમાં. રોમની યુનિવર્સિટીઓમાં ગણિતના પ્રોફેસર અને મિલાન લુકા પેસિઓલીએ તેમના પ્રખ્યાત પાઠ્યપુસ્તક "અંકગણિત, ભૂમિતિ, સંબંધો અને પ્રમાણસરતાના જ્ઞાનનો સરવાળો" શોધવાની સમસ્યા સામાન્ય પદ્ધતિઘન સમીકરણો ઉકેલવા માટે તેણે તેને વર્તુળના વર્ગીકરણની સમસ્યાની સમકક્ષ મૂક્યું. અને તેમ છતાં, ઇટાલિયન બીજગણિતશાસ્ત્રીઓના પ્રયત્નો દ્વારા, આવી પદ્ધતિ ટૂંક સમયમાં મળી આવી.

ચાલો સરળીકરણ સાથે પ્રારંભ કરીએ

જો ઘન સમીકરણ સામાન્ય દૃશ્ય ax3 + bx2 + cx + d = 0, જ્યાં a ≠ 0, a વડે ભાગવામાં આવે તો x3 નો ગુણાંક 1 બરાબર થશે. તેથી, ભવિષ્યમાં આપણે સમીકરણ x3 + Px2 + Qx + R = 0 થી આગળ વધીશું. (1)

જેમ ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ઉકેલ સરવાળોના વર્ગના સૂત્ર પર આધારિત છે, તેમ ઘન સમીકરણનો ઉકેલ સરવાળાના ઘન માટેના સૂત્ર પર આધારિત છે:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

ગુણાંકમાં મૂંઝવણમાં ન આવવા માટે, ચાલો અહીં x સાથે બદલીએ અને શરતોને ફરીથી ગોઠવીએ:

(x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3. (2)

આપણે જોઈએ છીએ કે b નો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરીને, એટલે કે b = P/3 લઈને, આપણે તે હાંસલ કરી શકીએ છીએ જમણી બાજુઆ સૂત્ર x3 + Px2 + Qx + R = 0 સમીકરણની ડાબી બાજુથી માત્ર x ના ગુણાંક અને મુક્ત પદથી અલગ હશે. ચાલો સમીકરણ x3 + Px2 + Qx + R = 0 અને (x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 ઉમેરીએ અને સમાન સમીકરણો આપીએ:

(x + b)3 + (Q – 3b2)x + R – b3 = 0.

જો આપણે અહીં y = x + b અવેજી બનાવીએ, તો આપણે y2: y3 + py + q = 0 સાથેના શબ્દ વગર y માટે ઘન સમીકરણ મેળવીએ છીએ.

તેથી, અમે બતાવ્યું છે કે ઘન સમીકરણ x3 + Px2 + Qx + R = 0 માં, યોગ્ય અવેજીનો ઉપયોગ કરીને, આપણે અજ્ઞાત વર્ગ ધરાવતા શબ્દમાંથી છુટકારો મેળવી શકીએ છીએ. તેથી, હવે આપણે x3 + рх + q = 0 ફોર્મનું સમીકરણ હલ કરીશું. (3)

1. 2 કાર્ડાનો ફોર્મ્યુલાનો ઇતિહાસ

કાર્ડાનો ફોર્મ્યુલાનું નામ જી. કાર્ડાનોના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેને 1545માં પ્રથમ વખત પ્રકાશિત કર્યું હતું.

આ સૂત્રના લેખક નિકોલો ટાર્ટાગ્લિયા છે. તેમણે આ સોલ્યુશન 1535માં ખાસ કરીને ગાણિતિક સ્પર્ધામાં ભાગ લેવા માટે બનાવ્યું હતું, જે સ્વાભાવિક રીતે જ તેઓ જીત્યા હતા. ટાર્ટાગ્લિયા, કાર્ડનોને સૂત્ર (કાવ્યાત્મક સ્વરૂપમાં) સંચાર કરતા, ઘન સમીકરણના ઉકેલનો માત્ર તે ભાગ રજૂ કરે છે જેમાં મૂળનું એક (વાસ્તવિક) મૂલ્ય છે.

આ ફોર્મ્યુલામાં કાર્ડાનોનાં પરિણામો કહેવાતા અફર ન થઈ શકે તેવા કેસની વિચારણા સાથે સંબંધિત છે, જેમાં સમીકરણમાં ત્રણ મૂલ્યો છે ( વાસ્તવિક મૂલ્યો, તે દિવસોમાં કાલ્પનિક અથવા નકારાત્મક સંખ્યાઓ ન હતી, જો કે આ દિશામાં પ્રયાસો થયા હતા). જો કે, કાર્ડનોએ તેના પ્રકાશનમાં ટાર્ટાગ્લિયાના લેખક તરીકે જે સૂચવ્યું હતું તેનાથી વિપરીત, સૂત્રને કાર્ડનોના નામથી ઓળખવામાં આવે છે.

1. 3 કાર્ડાનો ફોર્મ્યુલા

હવે ચાલો ફરી સમ ક્યુબ ફોર્મ્યુલા તરફ વળીએ, પણ તેને અલગ રીતે લખીએ:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

આ એન્ટ્રીને સમીકરણ x3 + px + q = 0 સાથે સરખાવો અને તેમની વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરવાનો પ્રયાસ કરો. ચાલો આપણા ફોર્મ્યુલામાં x = a + b ને બદલીએ: x3 = a3 + b3 + 3abx, અથવા x3 – 3abx – (a3 + b3) = 0

હવે તે સ્પષ્ટ છે: સમીકરણ x3 + рх + q = 0 નું મૂળ શોધવા માટે, તે સમીકરણોની સિસ્ટમ a3 + b3 = - q, a3 + b3 = - q, અથવા

3ab = - p,a3b3 = - p 3,

3 અને a અને b નો સરવાળો x તરીકે લો. u = a3, v = b3 ને બદલીને, આ સિસ્ટમ સંપૂર્ણપણે ઘટી જાય છે સરળ દૃશ્ય: અને + v = - q, અને v = - p 3.

પછી તમે જુદી જુદી રીતે કાર્ય કરી શકો છો, પરંતુ બધા "રસ્તાઓ" સમાન ચતુર્ભુજ સમીકરણ તરફ દોરી જશે. ઉદાહરણ તરીકે, વિયેટાના પ્રમેય મુજબ, ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો માઈનસ ચિહ્ન સાથે x ના ગુણાંક જેટલો છે, અને ઉત્પાદન મુક્ત પદની બરાબર છે. તે અનુસરે છે કે બંને અને v એ સમીકરણ t2 + qt – (p/3)3 = 0 ના મૂળ છે.

ચાલો આ મૂળ લખીએ: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.

ચલ a અને b સમાન છે ક્યુબ મૂળ t1 અને t2 માંથી, અને ઘન સમીકરણ x3 + рх + q = 0 નો ઇચ્છિત ઉકેલ આ મૂળનો સરવાળો છે: x = 3 – q + q 2 + p 3+ 3 – q – q 2 + p 3.

આ સૂત્ર કાર્ડનોના સૂત્ર તરીકે ઓળખાય છે.

સમીકરણો ઉકેલવા

કાર્યમાં કાર્ડાનોના સૂત્રને જોતા પહેલા, ચાલો સમજાવીએ કે ઘન સમીકરણ x3 + px + q = 0 ના એક રુટનો ઉપયોગ તેના અન્ય મૂળ શોધવા માટે કેવી રીતે કરવો, જો કોઈ હોય તો.

જણાવી દઈએ કે આપણા સમીકરણમાં રુટ h છે. પછી તેની ડાબી બાજુ રેખીય અને વિઘટન કરી શકાય છે ચોરસ પરિબળો. આ ખૂબ જ સરળ રીતે કરવામાં આવે છે. અમે રુટ q = - h3 - ph દ્વારા સમીકરણમાં મુક્ત શબ્દની અભિવ્યક્તિને બદલીએ છીએ અને સમઘનનાં તફાવત માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

0 = x3 – h3 + px – ph = (x – h)(x2 + hx + h2) + p(x - h) = (x – h)(x2 + hx + h2 + p).

હવે તમે ચતુર્ભુજ સમીકરણ x2 + hx + h2 + p = 0 હલ કરી શકો છો અને આ ઘન સમીકરણના બાકીના મૂળ શોધી શકો છો.

તેથી, અમે સંપૂર્ણ સશસ્ત્ર છીએ અને, એવું લાગે છે કે, અમે કોઈપણ ઘન સમીકરણનો સામનો કરી શકીએ છીએ. ચાલો હાથ અજમાવીએ.

1. ચાલો x3 + 6x – 2 = 0 સમીકરણથી શરૂઆત કરીએ

અમે કાર્ડાનો સૂત્રમાં p = 6 અને q = -2 ને બદલીએ છીએ અને સરળ સંક્ષેપ પછી આપણને જવાબ મળે છે: x = 3√4 – 3√2. સારું, સૂત્ર ખૂબ સરસ છે. માત્ર સમીકરણની ડાબી બાજુથી પરિબળ x - (3√4 - 3√2) દૂર કરવાની અને બાકીના ચતુર્ભુજ સમીકરણને અન્ય મૂળની ગણતરી કરવા માટે "ભયંકર" ગુણાંક સાથે ઉકેલવાની સંભાવના ખૂબ પ્રેરણાદાયક નથી. જો કે, સમીકરણને નજીકથી જોતા, તમે શાંત થઈ શકો છો: ડાબી બાજુનું કાર્ય સખત રીતે વધી રહ્યું છે અને તેથી તે ફક્ત એક જ વાર અદૃશ્ય થઈ શકે છે. આનો અર્થ એ છે કે મળેલી સંખ્યા એ સમીકરણનું એકમાત્ર વાસ્તવિક મૂળ છે.

y y = x3 + 6x – 2

3√4 – 3√2 x

ચોખા. 1 ફંક્શન y = x3 + 6x – 2 નો આલેખ x-અક્ષને એક બિંદુ - 3√4 – 3√2 પર છેદે છે.

2. આગલું ઉદાહરણ– સમીકરણ x3 + 3x – 4 = 0.

કાર્ડનોનું સૂત્ર x = 3 2 + √5 + 3 2 - √5 આપે છે.

અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, આપણે જોઈએ છીએ કે આ મૂળ અનન્ય છે. પરંતુ તમારે સમીકરણને જોઈને, તેના મૂળનું અનુમાન લગાવવા માટે અતિશય સમજદાર બનવાની જરૂર નથી: x = 1. આપણે સ્વીકારવું પડશે કે ફોર્મ્યુલાએ આવા વિચિત્ર સ્વરૂપમાં એક સામાન્ય એકમ બનાવ્યું છે. માર્ગ દ્વારા, આ બોજારૂપને સરળ બનાવવા માટે, પરંતુ ગ્રેસ, અભિવ્યક્તિથી વંચિત નથી બીજગણિત પરિવર્તનનિષ્ફળ જાય છે - તેમાં રહેલી ક્યુબિક અતાર્કિકતાઓ બદલી ન શકાય તેવી છે.

3. સારું, હવે ચાલો એક સમીકરણ લઈએ જે દેખીતી રીતે ત્રણ વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે. તે બનાવવું સરળ છે – માત્ર x – b ફોર્મના ત્રણ કૌંસનો ગુણાકાર કરો. તમારે ફક્ત ખાતરી કરવાની જરૂર છે કે મૂળનો સરવાળો શૂન્ય બરાબર છે, કારણ કે, તે મુજબ સામાન્ય પ્રમેયવિએટા, તે માત્ર ચિહ્નમાં x2 પર ગુણાંકથી અલગ છે. આવા મૂળનો સૌથી સરળ સમૂહ 0, 1 અને – 1 છે.

ચાલો કાર્ડનોના સૂત્રને સમીકરણ x (x – 1)(x + 1) = 0, અથવા x3 – x = 0 પર લાગુ કરીએ.

તેમાં p = -1 અને q = 0 મૂકવાથી, આપણને x = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27 મળે છે.

y y = x (x - 1)(x + 1)

ચોખા. 2 સમીકરણ x (x – 1)(x + 1) = 0 ત્રણ વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે: -1, 0 અને 1. તદનુસાર, કાર્યનો ગ્રાફ y = x (x – 1)(x + 1) ને છેદે છે ત્રણ બિંદુઓ પર x-અક્ષ.

વર્ગમૂળ ચિહ્ન હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યા દેખાય છે. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે પણ આવું થાય છે. પરંતુ આ કિસ્સામાં ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી, જ્યારે ઘન સમીકરણમાં ત્રણ છે!

વધુ સંપૂર્ણ વિશ્લેષણબતાવે છે કે અમે અકસ્માતે આ જાળમાં પડ્યા નથી. સમીકરણ x3 + px + q = 0 ત્રણ વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે જો અને માત્ર જો અભિવ્યક્તિ Δ = (q/2)2 + (p/3)3 વર્ગમૂળકાર્ડાનો સૂત્રમાં નકારાત્મક છે. જો Δ > 0 હોય, તો એક વાસ્તવિક મૂળ છે (ફિગ. 3, b), અને જો Δ = 0, તો તેમાંથી બે છે (તેમાંથી એક ડબલ છે), p = q = 0 કેસ સિવાય, જ્યારે ત્રણેય મૂળ ભળી જાય છે.

y Δ 0 y = -pх - q y = x3

0 x 0 x y = -pх - q y = x3 a) b)

ચોખા. 3 ઘન સમીકરણ x3 + px + q = 0 x3 = -px – q તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આના પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સમીકરણના મૂળ બે ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓના એબ્સિસાસને અનુરૂપ હશે: y = x3 અને y = -px – q. જો Δ 0 – એક.

1. 4 વિયેટાનું પ્રમેય

વિયેટાનું પ્રમેય. જો સંપૂર્ણ તર્કસંગત સમીકરણડિગ્રી n, સુધી ઘટાડી પ્રમાણભૂત દૃશ્ય, n અલગ અલગ વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે x1, x2,. xn, પછી તેઓ સમાનતાને સંતોષે છે: x1 + x2 + + xn = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + + xn-1xn = a2 a0 x1 · x2 · · xn = (-1)nаn.

ત્રીજા ડિગ્રી સમીકરણ a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0 ના મૂળ માટે, જ્યાં a0 ≠ 0, નીચેની સમાનતાઓ માન્ય છે: x1 + x2 + x3 = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, a0 x1x2x3 = - a3.

1. 5 બેઝાઉટનું પ્રમેય. હોર્નર યોજના

સમીકરણોનું નિરાકરણ બહુપદીના પરિબળ સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે. તેથી, સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, બહુપદીમાં પસંદગીને લગતી દરેક વસ્તુ મહત્વપૂર્ણ છે રેખીય ગુણક, એટલે કે, દ્વિપદી x – α દ્વારા બહુપદી A(x) ના વિભાજન સાથે. બહુપદી A(x) ને દ્વિપદી x – α વડે વિભાજિત કરવા વિશેના ઘણા જ્ઞાનનો આધાર આના કારણે પ્રમેય છે ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રીએટીન બેઝાઉટ (1730-1783) અને તેનું નામ ધરાવે છે.

બેઝાઉટનું પ્રમેય. બહુપદી A(x) ને દ્વિપદી x – α દ્વારા વિભાજિત કરવાનો બાકીનો ભાગ A(α) (એટલે ​​​​કે, x = α પર બહુપદી A(x) ની કિંમત) ની બરાબર છે.

બહુપદી A(x) = x4 – 6x3 + 8 ને x + 2 વડે વિભાજિત કરતી વખતે ચાલો શેષ શોધીએ.

ઉકેલ. બેઝાઉટના પ્રમેય મુજબ, x + 2 દ્વારા ભાગાકારનો બાકીનો ભાગ A(-2) = (-2)4 – 6(-2)3 + 8 = 72 છે.

જ્યારે બહુપદીના મૂલ્યો શોધવાની અનુકૂળ રીત મૂલ્ય સેટ કરોચલ x ની રજૂઆત અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી વિલિયમ્સ જ્યોર્જ હોર્નર (1786-1837) દ્વારા કરવામાં આવી હતી. આ પદ્ધતિ પાછળથી હોર્નર સ્કીમ તરીકે જાણીતી બની. તેમાં બે પંક્તિઓના કેટલાક કોષ્ટક ભરવાનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અગાઉના ઉદાહરણમાં A(-2) ની ગણતરી કરવા માટે, કોષ્ટકની ટોચની પંક્તિમાં આપણે આ બહુપદીના ગુણાંકની સૂચિ બનાવીએ છીએ, જે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ x4 – 6x3 + 8 = x4 + (-6)x3 + 0 માં લખાયેલ છે. x2 + 0 x + 8.

અમે નીચેની લીટીમાં ઉચ્ચતમ ડિગ્રીના ગુણાંકનું ડુપ્લિકેટ કરીએ છીએ, અને તે પહેલાં આપણે x = -2 ચલનું મૂલ્ય લખીએ છીએ, જેના પર બહુપદીનું મૂલ્ય ગણવામાં આવે છે. આ નીચેના કોષ્ટકમાં પરિણમે છે:

કોષ્ટકના ખાલી કોષો અનુસાર ભરો આગામી નિયમ: નીચેની પંક્તિ પરની સૌથી જમણી સંખ્યાને -2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને ખાલી કોષની ઉપરની સંખ્યામાં ઉમેરવામાં આવે છે. આ નિયમ મુજબ, પ્રથમ ખાલી કોષમાં સંખ્યા (-2) 1 + (-6) = -8 હોય છે, બીજા કોષમાં સંખ્યા (-2) (-8) + 0 = 16 હોય છે, ત્રીજા કોષમાં સંખ્યા (- 2) · 16 + 0 = - 32, છેલ્લા કોષમાં - સંખ્યા (-2) · (-32) + 8 = 72. હોર્નરની યોજના અનુસાર સંપૂર્ણ રીતે ભરેલું કોષ્ટક આના જેવું દેખાય છે:

2 1 -8 16 -32 72

બહુપદીને x + 2, A(-2) = 72 વડે વિભાજિત કરતી વખતે છેલ્લા કોષની સંખ્યા શેષ છે.

વાસ્તવમાં, પરિણામી કોષ્ટકમાંથી, હોર્નરની યોજના અનુસાર ભરવામાં આવે છે, ફક્ત બાકીના ભાગને જ નહીં, પણ અપૂર્ણ ભાગ પણ લખી શકાય છે.

Q(x) = x3 – 8x2 + 16x – 32, કારણ કે બીજી લીટી પરની સંખ્યા (છેલ્લીમાંથી ગણાતી નથી) એ બહુપદી Q(x) ના ગુણાંક છે - x + 2 વડે ભાગાકારનો અપૂર્ણ ભાગ.

ચાલો સમીકરણ x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0 હલ કરીએ

ચાલો સમીકરણના મુક્ત પદના તમામ વિભાજકો લખીએ: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

x = 1, x = -2, x = 3

જવાબ: x = 1, x = -2, x = 3

2. નિષ્કર્ષ

હું કરેલા કામ વિશે મુખ્ય તારણો ઘડીશ.

કાર્યની પ્રક્રિયામાં, હું ત્રીજા-ડિગ્રી સમીકરણને હલ કરવાની સમસ્યાના વિકાસના ઇતિહાસથી પરિચિત થયો. પ્રાપ્ત પરિણામોનું સૈદ્ધાંતિક મહત્વ એ હકીકતમાં રહેલું છે કે તે સભાનપણે કેટલાક તૃતીય-ડિગ્રી સમીકરણોને ઉકેલવામાં કાર્ડાનો સૂત્રનું સ્થાન લે છે. મને ખાતરી હતી કે તૃતીય-ડિગ્રી સમીકરણ ઉકેલવા માટેનું એક સૂત્ર અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ તેના બોજારૂપ સ્વભાવને લીધે, તે લોકપ્રિય નથી અને ખૂબ વિશ્વસનીય નથી, કારણ કે તે હંમેશા અંતિમ પરિણામ પ્રાપ્ત કરતું નથી.

ભવિષ્યમાં, અમે નીચેના પ્રશ્નો પર વિચાર કરી શકીએ છીએ: ત્રીજી ડિગ્રીના સમીકરણના મૂળ શું છે તે અગાઉથી કેવી રીતે શોધવું; શું ઘન સમીકરણ ઉકેલવું શક્ય છે? ગ્રાફિકલી, જો શક્ય હોય, તો પછી કેવી રીતે; ઘન સમીકરણના મૂળનો અંદાજ કેવી રીતે કાઢવો?