ગણિતમાં અસમાનતા મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે. શાળામાં આપણે મુખ્યત્વે વ્યવહાર કરીએ છીએ સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ, જેની વ્યાખ્યા સાથે આપણે આ લેખ શરૂ કરીશું. અને પછી અમે સૂચિબદ્ધ કરીશું અને ન્યાયી કરીશું સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મો, જેના પર અસમાનતા સાથે કામ કરવાના તમામ સિદ્ધાંતો આધારિત છે.
ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ઘણા ગુણધર્મો સમાન છે. તેથી, અમે સમાન યોજના અનુસાર સામગ્રી રજૂ કરીશું: અમે એક મિલકત બનાવીએ છીએ, તેનું સમર્થન અને ઉદાહરણો આપીએ છીએ, જેના પછી અમે આગળની મિલકત પર જઈએ છીએ.
પૃષ્ઠ નેવિગેશન.
સંખ્યાત્મક અસમાનતા: વ્યાખ્યા, ઉદાહરણો
જ્યારે અમે અસમાનતાની વિભાવના રજૂ કરી, ત્યારે અમે નોંધ્યું કે અસમાનતાની વ્યાખ્યા ઘણી વખત લખવામાં આવે છે તે રીતે કરવામાં આવે છે. તેથી અમે અસમાનતા કહીએ છીએ જે અર્થમાં છે બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ≠ ના સમાન ચિહ્નો ધરાવતાં, કરતાં ઓછા<, больше >, ≤ કરતાં ઓછું અથવા બરાબર અથવા ≥ કરતાં વધુ અથવા બરાબર. ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાના આધારે, સંખ્યાત્મક અસમાનતાની વ્યાખ્યા આપવાનું અનુકૂળ છે:
સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ સાથેની મુલાકાત 1 થી 9 સુધીની પ્રથમ કુદરતી સંખ્યાઓ સાથે પરિચિત થયા પછી, અને તુલનાત્મક કામગીરીથી પરિચિત થયા પછી તરત જ પ્રથમ ધોરણમાં ગણિતના પાઠમાં થાય છે. સાચું, ત્યાં તેમને "સંખ્યાત્મક" ની વ્યાખ્યાને બાદ કરતાં, અસમાનતા કહેવામાં આવે છે. સ્પષ્ટતા માટે, તેમના અભ્યાસના તે તબક્કામાંથી સૌથી સરળ સંખ્યાત્મક અસમાનતાના કેટલાક ઉદાહરણો આપવાથી નુકસાન થશે નહીં: 1<2 , 5+2>3 .
અને આગળ થી કુદરતી સંખ્યાઓજ્ઞાન અન્ય પ્રકારની સંખ્યાઓ સુધી વિસ્તરે છે (પૂર્ણાંક, તર્કસંગત, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ), તેમની સરખામણી માટેના નિયમોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, અને આ નોંધપાત્ર રીતે વિસ્તરે છે પ્રજાતિઓની વિવિધતાસંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ: −5>−72, 3>−0.275·(7−5.6) , .
સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મો
વ્યવહારમાં, અસમાનતાઓ સાથે કામ કરવાની મંજૂરી આપે છે સંખ્યાબંધ સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મો. તેઓ અમે રજૂ કરેલ અસમાનતાના ખ્યાલને અનુસરે છે. સંખ્યાઓના સંબંધમાં, આ ખ્યાલ આપવામાં આવે છે નીચેનું નિવેદન, જેને સંખ્યાઓના સમૂહ પર "ઓછા" અને "થી વધુ" સંબંધોની વ્યાખ્યા ગણી શકાય (તેને ઘણીવાર અસમાનતાની તફાવત વ્યાખ્યા કહેવામાં આવે છે):
વ્યાખ્યા.
- સંખ્યા a વધુ સંખ્યા b જો અને માત્ર જો તફાવત a−b હોય હકારાત્મક સંખ્યા;
- નંબર એ ઓછી સંખ્યા b જો અને માત્ર જો તફાવત a−b નકારાત્મક સંખ્યા હોય;
- સંખ્યા a એ સંખ્યા b ની બરાબર છે જો અને માત્ર જો તફાવત a−b શૂન્ય હોય.
આ વ્યાખ્યાને સંબંધોની વ્યાખ્યામાં "ઓછા કરતા ઓછા અથવા સમાન" અને "તેના કરતા વધારે અથવા સમાન" તરીકે ફરીથી કાર્ય કરી શકાય છે. અહીં તેના શબ્દો છે:
વ્યાખ્યા.
- સંખ્યા a b કરતાં મોટો અથવા બરાબર છે જો અને માત્ર જો a−b - બિન-નકારાત્મક સંખ્યા;
- a એ b કરતા ઓછો અથવા બરાબર છે જો અને માત્ર જો a−b બિન-ધન સંખ્યા હોય.
સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મોને સાબિત કરતી વખતે અમે આ વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીશું, જેની સમીક્ષા માટે અમે આગળ વધીએ છીએ.
મૂળભૂત ગુણધર્મો
અમે અસમાનતાના ત્રણ મુખ્ય ગુણધર્મો સાથે સમીક્ષા શરૂ કરીએ છીએ. શા માટે તેઓ મૂળભૂત છે? કારણ કે તેઓ માં અસમાનતાના ગુણધર્મોનું પ્રતિબિંબ છે સામાન્ય અર્થમાં, અને માત્ર સંખ્યાત્મક અસમાનતાના સંબંધમાં જ નહીં.
ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને લખાયેલ સંખ્યાત્મક અસમાનતા< и >, લાક્ષણિકતા:
નબળા અસમાનતા ચિહ્નો ≤ અને ≥ નો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવેલી સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ માટે, તેમની પાસે રીફ્લેક્સિવિટીનો ગુણધર્મ છે (અને પ્રતિબિંબ વિરોધી નહીં), કારણ કે અસમાનતા a≤a અને a≥a માં સમાનતા a=a નો સમાવેશ થાય છે. તેઓ વિરોધી સમપ્રમાણતા અને સંક્રમણ દ્વારા પણ વર્ગીકૃત થયેલ છે.
તેથી, ≤ અને ≥ ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવેલી સંખ્યાત્મક અસમાનતામાં નીચેના ગુણધર્મો છે:
- રીફ્લેક્સિવિટી a≥a અને a≤a સાચી અસમાનતા છે;
- વિરોધી સમપ્રમાણતા, જો a≤b, તો b≥a, અને જો a≥b, તો b≤a.
- સંક્રમણ, જો a≤b અને b≤c, તો a≤c, અને એ પણ, જો a≥b અને b≥c, તો a≥c.
તેમનો પુરાવો પહેલાથી આપવામાં આવેલા પુરાવા સાથે ખૂબ સમાન છે, તેથી અમે તેમના પર ધ્યાન આપીશું નહીં, પરંતુ સંખ્યાત્મક અસમાનતાના અન્ય મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો પર આગળ વધીશું.
સંખ્યાત્મક અસમાનતાના અન્ય મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો
ચાલો સંખ્યાત્મક અસમાનતાના મૂળભૂત ગુણધર્મોને પરિણામોની શ્રેણી સાથે પૂરક બનાવીએ જે મોટા હોય છે વ્યવહારુ મહત્વ. અભિવ્યક્તિના મૂલ્યોનો અંદાજ કાઢવાની પદ્ધતિઓ તેમના પર આધારિત છે; અસમાનતાના ઉકેલોવગેરે તેથી, તેમને સારી રીતે સમજવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.
આ વિભાગમાં, અમે માત્ર એક ચિહ્ન માટે અસમાનતાના ગુણધર્મો ઘડીશું કડક અસમાનતા, પરંતુ તે ધ્યાનમાં રાખવું યોગ્ય છે કે સમાન ગુણધર્મો વિરુદ્ધ ચિહ્ન માટે, તેમજ બિન-કડક અસમાનતાના ચિહ્નો માટે માન્ય રહેશે. આ વાતને એક ઉદાહરણથી સમજાવીએ. નીચે અમે અસમાનતાની નીચેની મિલકતો ઘડીએ છીએ અને સાબિત કરીએ છીએ: જો a
સગવડ માટે, અમે સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મોને સૂચિના સ્વરૂપમાં રજૂ કરીશું, જ્યારે અમે અનુરૂપ નિવેદન આપીશું, તેને અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને ઔપચારિક રીતે લખીશું, સાબિતી આપીશું અને પછી ઉપયોગના ઉદાહરણો બતાવીશું. અને લેખના અંતે આપણે કોષ્ટકમાં સંખ્યાત્મક અસમાનતાના તમામ ગુણધર્મોનો સારાંશ આપીશું. ચાલો જઈએ!
પરિણામ. ફોર્મની સમાન સાચી અસમાનતાનો શબ્દવાર ગુણાકાર a
સાચા આંકડાકીય અસમાનતાની બંને બાજુએ કોઈપણ સંખ્યા ઉમેરવા (અથવા બાદબાકી) સાચી આપે છે સંખ્યાત્મક અસમાનતા. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો સંખ્યાઓ a અને b એવી હોય કે a
તેને સાબિત કરવા માટે, ચાલો છેલ્લી સંખ્યાત્મક અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓ વચ્ચેનો તફાવત બનાવીએ અને બતાવીએ કે તે શરત હેઠળ નકારાત્મક છે. (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. શરતથી એ
અમે સંખ્યા c ને બાદ કરવા માટે સંખ્યાત્મક અસમાનતાના આ ગુણધર્મના પુરાવા પર ધ્યાન આપતા નથી, કારણ કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર બાદબાકીને −c ઉમેરીને બદલી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા 7>3 ની બંને બાજુએ 15 નંબર ઉમેરો છો, તો તમને સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા 7+15>3+15 મળશે, જે સમાન વસ્તુ છે, 22>18.
જો માન્ય સંખ્યાત્મક અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન હકારાત્મક સંખ્યા c વડે ગુણાકાર (અથવા ભાગાકાર) કરવામાં આવે, તો તમને માન્ય સંખ્યાત્મક અસમાનતા મળે છે. જો અસમાનતાની બંને બાજુઓને ઋણ સંખ્યા c વડે ગુણાકાર (અથવા ભાગાકાર) કરવામાં આવે અને અસમાનતાની નિશાની ઉલટાવી દેવામાં આવે, તો અસમાનતા સાચી હશે. શાબ્દિક સ્વરૂપમાં: જો સંખ્યાઓ a અને b અસમાનતાને સંતોષે છે a b·c
પુરાવો. ચાલો કેસ સાથે શરૂ કરીએ જ્યારે c>0. ચાલો સાબિત થઈ રહેલી સંખ્યાત્મક અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુ વચ્ચેનો તફાવત બનાવીએ: a·c−b·c=(a−b)·c. શરતથી એ 0 , પછી ગુણાંક (a−b)·c એ ઋણ સંખ્યા a−b અને સકારાત્મક સંખ્યા c (જે માંથી અનુસરે છે) ના ગુણાંક તરીકે નકારાત્મક સંખ્યા હશે. તેથી, a·c−b·c<0
, откуда a·c અમે સાચા આંકડાકીય અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન સંખ્યા c વડે વિભાજીત કરવા માટે ગણવામાં આવેલ મિલકતના પુરાવા પર ધ્યાન આપતા નથી, કારણ કે ભાગાકારને હંમેશા 1/c વડે ગુણાકાર દ્વારા બદલી શકાય છે. ચાલો ચોક્કસ સંખ્યાઓ પર વિશ્લેષણ કરેલ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવાનું ઉદાહરણ બતાવીએ. ઉદાહરણ તરીકે, તમારી પાસે સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા 4 ની બંને બાજુઓ હોઈ શકે છે<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. સંખ્યાત્મક સમાનતાની બંને બાજુઓને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની હમણાં જ ચર્ચા કરેલી મિલકતમાંથી, બે વ્યવહારિક રીતે મૂલ્યવાન પરિણામો આવે છે. તેથી અમે તેમને પરિણામોના સ્વરૂપમાં ઘડીએ છીએ. આ ફકરામાં ઉપરોક્ત તમામ ગુણધર્મો એ હકીકત દ્વારા એકીકૃત છે કે પ્રથમ એક સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા આપવામાં આવે છે, અને તેમાંથી, અસમાનતા અને ચિહ્નના ભાગો સાથે કેટલાક મેનિપ્યુલેશન દ્વારા, બીજી સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે. હવે અમે પ્રોપર્ટીઝનો એક બ્લોક રજૂ કરીશું જેમાં એક નહીં, પરંતુ ઘણી સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ શરૂઆતમાં આપવામાં આવે છે, અને તેમના ભાગો ઉમેરીને અથવા ગુણાકાર કર્યા પછી તેમના સંયુક્ત ઉપયોગથી એક નવું પરિણામ પ્રાપ્ત થાય છે. જો સંખ્યાઓ a, b, c અને d અસમાનતાઓને સંતોષે છે a
ચાલો સાબિત કરીએ કે (a+c)-(b+d) એ નકારાત્મક સંખ્યા છે, આ સાબિત કરશે કે a+c ઇન્ડક્શન દ્વારા, આ ગુણધર્મ ત્રણ, ચાર, અને સામાન્ય રીતે, સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓની કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યામાં ટર્મ-બાય-ટર્મ ઉમેરા સુધી વિસ્તરે છે. તેથી, જો સંખ્યાઓ માટે a 1, a 2, …, a n અને b 1, b 2, …, b n નીચેની અસમાનતાઓ સાચી છે: a 1 a 1 +a 2 +…+a n . ઉદાહરણ તરીકે, અમને સમાન ચિહ્ન −5 ની ત્રણ સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ આપવામાં આવી છે<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. તમે સમાન સાઇન ટર્મની સંખ્યાત્મક અસમાનતાને ટર્મ દ્વારા ગુણાકાર કરી શકો છો, જેની બંને બાજુઓ હકારાત્મક સંખ્યાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, બે અસમાનતાઓ માટે એ
તેને સાબિત કરવા માટે, તમે અસમાનતાની બંને બાજુઓને ગુણાકાર કરી શકો છો a
આ ગુણધર્મ સકારાત્મક ભાગો સાથે સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓની કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યાના ગુણાકાર માટે પણ સાચું છે. એટલે કે, જો a 1, a 2, …, a n અને b 1, b 2, …, b n હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે, અને a 1 a 1 a 2…a n . અલગથી, એ નોંધવું યોગ્ય છે કે જો સંખ્યાત્મક અસમાનતા માટેના સંકેતમાં બિન-ધન સંખ્યાઓ શામેલ હોય, તો પછી તેમના શબ્દ-દર-ગાળાના ગુણાકારથી ખોટી સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
લેખના અંતે, વચન મુજબ, અમે તમામ અભ્યાસ કરેલ ગુણધર્મો એકત્રિત કરીશું સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મોનું કોષ્ટક:
સંદર્ભો.
- મોરો એમ. આઇ.. ગણિત. પાઠ્યપુસ્તક 1 વર્ગ માટે. શરૂઆત શાળા 2 ભાગોમાં. (વર્ષનો પ્રથમ અર્ધ) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6ઠ્ઠી આવૃત્તિ. - એમ.: એજ્યુકેશન, 2006. - 112 પૃ.: બીમાર.+ઉમેરો. (2 અલગ એલ. બીમાર). - ISBN 5-09-014951-8.
- ગણિત: પાઠ્યપુસ્તક 5મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2007. - 280 પૃષ્ઠ.: બીમાર. ISBN 5-346-00699-0.
- બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 8મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત. 8 મી ગ્રેડ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ. - 11મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2009. - 215 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-01155-2.
ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા એ અભિવ્યક્તિ છે \(x>5\).
અસમાનતાના પ્રકારો:
જો \(a\) અને \(b\) સંખ્યાઓ અથવા , તો અસમાનતા કહેવાય છે સંખ્યાત્મક. તે વાસ્તવમાં માત્ર બે સંખ્યાઓની સરખામણી કરે છે. આવી અસમાનતાઓને વિભાજિત કરવામાં આવે છે વિશ્વાસુઅને બેવફા.
ઉદાહરણ તરીકે:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) એ અયોગ્ય સંખ્યાત્મક અસમાનતા છે, કારણ કે \(17+3=20\), અને \(20\) \(115\) કરતા ઓછી છે (અને તેનાથી મોટી કે બરાબર નથી) .
જો \(a\) અને \(b\) એ ચલ ધરાવતા સમીકરણો છે, તો આપણી પાસે છે ચલ સાથે અસમાનતા. આવી અસમાનતાઓને સામગ્રીના આધારે પ્રકારોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
માત્ર પ્રથમ શક્તિ માટે ચલ |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
બીજી શક્તિ (ચોરસ) માં ચલ છે, પરંતુ ત્યાં કોઈ ઉચ્ચ શક્તિઓ નથી (ત્રીજી, ચોથી, વગેરે) |
|||
|
\(\log_(4)((x+1))<3\) |
||||
|
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\) |
અસમાનતાનો ઉકેલ શું છે?
જો તમે ચલને બદલે કોઈ સંખ્યાને અસમાનતામાં બદલો છો, તો તે સંખ્યાત્મકમાં ફેરવાઈ જશે.
જો x માટે આપેલ મૂલ્ય મૂળ અસમાનતાને સાચા આંકડાકીયમાં ફેરવે છે, તો તેને કહેવામાં આવે છે અસમાનતાનો ઉકેલ. જો નહીં, તો આ મૂલ્ય કોઈ ઉકેલ નથી. અને તેથી તે અસમાનતા ઉકેલો- તમારે તેના તમામ ઉકેલો શોધવાની જરૂર છે (અથવા બતાવો કે ત્યાં કોઈ નથી).
ઉદાહરણ તરીકે,જો આપણે સંખ્યા \(7\) ને રેખીય અસમાનતા \(x+6>10\) માં બદલીએ, તો આપણને સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા મળે છે: \(13>10\). અને જો આપણે \(2\) ને બદલીએ, તો ત્યાં એક ખોટી સંખ્યાત્મક અસમાનતા \(8>10\) હશે. એટલે કે, \(7\) એ મૂળ અસમાનતાનો ઉકેલ છે, પરંતુ \(2\) નથી.
જો કે, અસમાનતા \(x+6>10\) પાસે અન્ય ઉકેલો છે. ખરેખર, \(5\), અને \(12\), અને \(138\) ને બદલે ત્યારે આપણે સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા મેળવીશું... અને આપણે બધા સંભવિત ઉકેલો કેવી રીતે શોધી શકીએ? આ માટે તેઓ ઉપયોગ કરે છે અમારા કેસ માટે અમારી પાસે છે:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
એટલે કે, ચાર કરતા મોટી કોઈપણ સંખ્યા આપણને અનુકૂળ આવશે. હવે તમારે જવાબ લખવાની જરૂર છે. અસમાનતાના ઉકેલો સામાન્ય રીતે સંખ્યાત્મક રીતે લખવામાં આવે છે, વધુમાં તેમને શેડિંગ સાથે સંખ્યા અક્ષ પર ચિહ્નિત કરે છે. અમારા કેસ માટે અમારી પાસે છે:
જવાબ:
\(x\in(4;+\infty)\)
અસમાનતાની નિશાની ક્યારે બદલાય છે?
અસમાનતાઓમાં એક મોટી જાળ છે જેમાં વિદ્યાર્થીઓને પડવું ખરેખર "પ્રેમ" છે:
અસમાનતાને નકારાત્મક સંખ્યા વડે ગુણાકાર (અથવા ભાગાકાર) કરતી વખતે, તે ઉલટાવી દેવામાં આવે છે ("વધુ" "ઓછા", "વધુ અથવા સમાન" દ્વારા "ઓછા અથવા સમાન", અને તેથી વધુ)
આવું કેમ થઈ રહ્યું છે? આ સમજવા માટે, ચાલો સંખ્યાત્મક અસમાનતા \(3>1\) ના પરિવર્તનો જોઈએ. તે સાચું છે, ત્રણ ખરેખર એક કરતા વધારે છે. પ્રથમ, ચાલો તેને કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, બે:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, ગુણાકાર પછી અસમાનતા સાચી રહે છે. અને પછી ભલેને આપણે કઈ સકારાત્મક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ, આપણને હંમેશા સાચી અસમાનતા મળશે. હવે ચાલો નકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, ઓછા ત્રણ:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
પરિણામ એ ખોટી અસમાનતા છે, કારણ કે માઈનસ નવ એ માઈનસ ત્રણ કરતા ઓછો છે! એટલે કે, અસમાનતા સાચી બનવા માટે (અને તેથી, નકારાત્મક દ્વારા ગુણાકારનું રૂપાંતર "કાયદેસર" હતું), તમારે આની જેમ સરખામણી ચિહ્નને વિપરીત કરવાની જરૂર છે: \(−9<− 3\).
વિભાજન સાથે તે એ જ રીતે કાર્ય કરશે, તમે તેને જાતે ચકાસી શકો છો.
ઉપર લખેલ નિયમ તમામ પ્રકારની અસમાનતાઓને લાગુ પડે છે, માત્ર સંખ્યાત્મક જ નહીં.
ઉદાહરણ: અસમાનતા ઉકેલો \(2(x+1)-1<7+8x\)ઉકેલ:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
ચાલો \(8x\) ડાબી બાજુએ અને \(2\) અને \(-1\) ને જમણી તરફ લઈ જઈએ, ચિહ્નો બદલવાનું ભૂલતા નહિ |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
ચાલો અસમાનતાની બંને બાજુઓને \(-6\) દ્વારા વિભાજીત કરીએ, “ઓછા” થી “વધુ” માં બદલવાનું ભૂલશો નહીં |
|
ચાલો ધરી પર સંખ્યાત્મક અંતરાલને ચિહ્નિત કરીએ. અસમાનતા, તેથી આપણે \(-1\) મૂલ્યને જ "ચોરી" લઈએ છીએ અને તેને જવાબ તરીકે લેતા નથી |
|
|
ચાલો જવાબને અંતરાલ તરીકે લખીએ |
જવાબ: \(x\in(-1;\infty)\)
અસમાનતા અને અપંગતા
અસમાનતાઓ, સમીકરણોની જેમ, પર પ્રતિબંધો હોઈ શકે છે, એટલે કે, x ના મૂલ્યો પર. તદનુસાર, તે મૂલ્યો કે જે ડીઝેડ અનુસાર અસ્વીકાર્ય છે તે ઉકેલોની શ્રેણીમાંથી બાકાત રાખવા જોઈએ.
ઉદાહરણ: અસમાનતા ઉકેલો \(\sqrt(x+1)<3\)
ઉકેલ: તે સ્પષ્ટ છે કે ડાબી બાજુ \(3\) કરતાં ઓછી હોય તે માટે, આમૂલ અભિવ્યક્તિ \(9\) કરતાં ઓછી હોવી જોઈએ (છેવટે, \(9\) માત્ર \(3\) થી). અમને મળે છે:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)
બધા? \(8\) કરતાં નાની x ની કોઈપણ કિંમત આપણને અનુકૂળ પડશે? ના! કારણ કે જો આપણે, ઉદાહરણ તરીકે, જરૂરિયાતને અનુરૂપ લાગતું મૂલ્ય \(-5\) લઈએ, તો તે મૂળ અસમાનતાનો ઉકેલ નહીં હોય, કારણ કે તે આપણને નકારાત્મક સંખ્યાના મૂળની ગણતરી તરફ દોરી જશે.
\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)
તેથી, આપણે X ના મૂલ્ય પરના નિયંત્રણોને પણ ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ - તે એવું ન હોઈ શકે કે મૂળ હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યા હોય. આમ, અમારી પાસે x માટે બીજી આવશ્યકતા છે:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
અને x માટે અંતિમ ઉકેલ બનવા માટે, તે એક જ સમયે બંને આવશ્યકતાઓને સંતોષવી આવશ્યક છે: તે \(8\) (સોલ્યુશન બનવા માટે) કરતાં ઓછું અને \(-1\) કરતાં વધુ હોવું જોઈએ (સૈદ્ધાંતિક રીતે સ્વીકાર્ય હોવું). પર અરજી કરી રહી છે સંખ્યા અક્ષ, અમારી પાસે અંતિમ જવાબ છે:
જવાબ: \(\ડાબે[-1;8\જમણે)\)
અમે અસમાનતા વિશે શાળામાં શીખ્યા, જ્યાં અમે સંખ્યાત્મક અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ લેખમાં આપણે સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈશું, જેમાંથી તેમની સાથે કામ કરવાના સિદ્ધાંતો બાંધવામાં આવ્યા છે.
અસમાનતાના ગુણધર્મો સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મો જેવા જ છે. ગુણધર્મો, તેના સમર્થનને ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે, અને ઉદાહરણો આપવામાં આવશે.
Yandex.RTB R-A-339285-1
સંખ્યાત્મક અસમાનતા: વ્યાખ્યા, ઉદાહરણો
અસમાનતાનો ખ્યાલ રજૂ કરતી વખતે, અમારી પાસે છે કે તેમની વ્યાખ્યા રેકોર્ડના પ્રકાર દ્વારા કરવામાં આવે છે. ત્યાં બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓ છે જેમાં ચિહ્નો છે ≠,< , >, ≤ , ≥ . ચાલો એક વ્યાખ્યા આપીએ.
વ્યાખ્યા 1
સંખ્યાત્મક અસમાનતાઅસમાનતા કહેવાય છે જેમાં બંને બાજુ સંખ્યાઓ અને સંખ્યાત્મક સમીકરણો હોય છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો અભ્યાસ કર્યા પછી અમે શાળામાં સંખ્યાત્મક અસમાનતાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. આવી તુલનાત્મક કામગીરીનો તબક્કાવાર અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. પ્રારંભિક 1 જેવો દેખાય છે< 5 , 5 + 7 >3. જે પછી નિયમોની પૂર્તિ કરવામાં આવે છે, અને અસમાનતાઓ વધુ જટિલ બને છે, તો પછી આપણે ફોર્મ 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0 ની અસમાનતા મેળવીએ છીએ. 73 - 17 2< 0 .
સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મો
અસમાનતાઓ સાથે યોગ્ય રીતે કામ કરવા માટે, તમારે સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે. તેઓ અસમાનતાના ખ્યાલમાંથી આવે છે. આ ખ્યાલને નિવેદનનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેને "વધુ" અથવા "ઓછું" તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા 2
- સંખ્યા a એ b કરતા મોટી હોય છે જ્યારે તફાવત a - b હકારાત્મક સંખ્યા હોય છે;
- સંખ્યા a એ b કરતા ઓછી હોય છે જ્યારે તફાવત a - b એ નકારાત્મક સંખ્યા હોય છે;
- સંખ્યા a એ b ની બરાબર છે જ્યારે a - b નો તફાવત શૂન્ય છે.
આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ સંબંધો સાથેની અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે કરવામાં આવે છે "તેના કરતા ઓછા અથવા સમાન," "તેના કરતા વધારે અથવા સમાન." અમે તે મેળવીએ છીએ
વ્યાખ્યા 3
- જ્યારે a - b બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા હોય ત્યારે a b કરતાં મોટી અથવા બરાબર હોય છે;
- a એ b થી ઓછી અથવા બરાબર છે જ્યારે a - b બિન-ધન સંખ્યા છે.
વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મોને સાબિત કરવા માટે કરવામાં આવશે.
મૂળભૂત ગુણધર્મો
ચાલો 3 મુખ્ય અસમાનતાઓ જોઈએ. ચિહ્નોનો ઉપયોગ< и >નીચેના ગુણધર્મોની લાક્ષણિકતા:
વ્યાખ્યા 4
- વિરોધી રીફ્લેક્સિવિટી, જે કહે છે કે અસમાનતાઓમાંથી કોઈપણ સંખ્યા a< a и a >a ખોટો ગણવામાં આવે છે. તે જાણીતું છે કે કોઈપણ a માટે સમાનતા a − a = 0 ધરાવે છે, તેથી આપણે તે a = a મેળવીએ છીએ. તેથી એ< a и a >a ખોટું છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 ખોટા છે.
- અસમપ્રમાણતા. જ્યારે a અને b સંખ્યાઓ એવી હોય કે a< b , то b >a, અને જો a > b, તો b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a તેનો બીજો ભાગ પણ એવી જ રીતે સાબિત થાય છે.
ઉદાહરણ 1
ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા 5 જોતાં< 11 имеем, что 11 >5, જેનો અર્થ છે તેની સંખ્યાત્મક અસમાનતા − 0, 27 > − 1, 3 ને −1, 3 તરીકે ફરીથી લખવામાં આવશે< − 0 , 27 .
આગલી પ્રોપર્ટી પર જતા પહેલા, નોંધ લો કે અસમપ્રમાણતાની મદદથી તમે અસમાનતાને જમણેથી ડાબે અને તેનાથી વિપરીત વાંચી શકો છો. આ રીતે, સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓને સુધારી અને અદલાબદલી કરી શકાય છે.
વ્યાખ્યા 5
- સંક્રમણ. જ્યારે સંખ્યાઓ a, b, c શરત a ને પૂર્ણ કરે છે< b и b < c , тогда a < c , и если a >b અને b > c , પછી a > c .
પુરાવા 1
પ્રથમ નિવેદન સાબિત કરી શકાય છે. શરત એ< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.
સંક્રમણ ગુણધર્મ સાથેનો બીજો ભાગ એ જ રીતે સાબિત થયો છે.
ઉદાહરણ 2
અમે અસમાનતા - 1 ના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને વિશ્લેષણ કરેલ મિલકતને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 અને 1 8 > 1 32 તે 1 2 > 1 32 ને અનુસરે છે.
સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ, જે નબળા અસમાનતા ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે, તેમાં રીફ્લેક્સિવિટીનો ગુણધર્મ હોય છે, કારણ કે a ≤ a અને a ≥ a ની સમાનતા a = a હોઈ શકે છે. તેઓ અસમપ્રમાણતા અને સંક્રમણ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.
વ્યાખ્યા 6
અસમાનતા કે જેઓ તેમના લેખનમાં ≤ અને ≥ ચિહ્નો ધરાવે છે તે નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:
- રીફ્લેક્સિવિટી a ≥ a અને a ≤ a ને સાચી અસમાનતા ગણવામાં આવે છે;
- પ્રતિસમપ્રમાણતા, જ્યારે a ≤ b, પછી b ≥ a, અને જો a ≥ b, તો b ≤ a.
- સંક્રમણ, જ્યારે a ≤ b અને b ≤ c, પછી a ≤ c, અને એ પણ, જો a ≥ b અને b ≥ c, તો a ≥ c.
સાબિતી એ જ રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે.
સંખ્યાત્મક અસમાનતાના અન્ય મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો
અસમાનતાના મૂળભૂત ગુણધર્મોને પૂરક બનાવવા માટે, વ્યવહારિક મહત્વના પરિણામોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પદ્ધતિના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યોના અંદાજ માટે થાય છે, જેના પર અસમાનતાઓને ઉકેલવાના સિદ્ધાંતો આધારિત છે.
આ ફકરો કડક અસમાનતાની એક નિશાની માટે અસમાનતાના ગુણધર્મો દર્શાવે છે. તે જ બિન-કડક રાશિઓ માટે કરવામાં આવે છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ, અસમાનતા ઘડતા જો a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:
- જો a > b, તો a + c > b + c;
- જો a ≤ b, તો a + c ≤ b + c;
- જો a ≥ b, તો a + c ≥ b + c.
અનુકૂળ પ્રસ્તુતિ માટે, અમે અનુરૂપ નિવેદન આપીએ છીએ, જે લખવામાં આવે છે અને પુરાવા આપવામાં આવે છે, ઉપયોગના ઉદાહરણો બતાવવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા 7
બંને બાજુએ સંખ્યા ઉમેરવા અથવા ગણતરી કરવી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે a અને b અસમાનતા a ને અનુરૂપ હોય છે< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .
પુરાવા 2
આ સાબિત કરવા માટે, સમીકરણ એ શરતને સંતોષવી આવશ્યક છે< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.
ઉદાહરણ 3
ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે અસમાનતા 7 > 3 ની બંને બાજુઓને 15 વડે વધારીએ, તો આપણને તે 7 + 15 > 3 + 15 મળે છે. આ 22 > 18 બરાબર છે.
વ્યાખ્યા 8
જ્યારે અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન સંખ્યા c દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે આપણે સાચી અસમાનતા મેળવીએ છીએ. જો તમે નકારાત્મક સંખ્યા લો છો, તો ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાશે. નહિંતર તે આના જેવું લાગે છે: a અને b માટે અસમાનતા જ્યારે a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b·c
પુરાવા 3
જ્યારે કેસ c > 0 હોય, ત્યારે અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓ વચ્ચેનો તફાવત રચવો જરૂરી છે. પછી આપણને મળે છે કે a · c − b · c = (a − b) · c . શરતથી એ< b , то a − b < 0 , а c >0, પછી ઉત્પાદન (a − b) c નકારાત્મક હશે. તે અનુસરે છે કે a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.
સાબિત કરતી વખતે, પૂર્ણાંક વડે ભાગાકારને આપેલ એકના વ્યસ્ત વડે ગુણાકાર દ્વારા બદલી શકાય છે, એટલે કે 1 c. ચાલો ચોક્કસ સંખ્યાઓ પરની મિલકતનું ઉદાહરણ જોઈએ.
ઉદાહરણ 4
અસમાનતા 4 ની બંને બાજુઓને મંજૂરી છે< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .
હવે ચાલો નીચેના બે પરિણામો ઘડીએ, જેનો ઉપયોગ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે થાય છે:
- કોરોલરી 1. સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ભાગોના ચિહ્નોને બદલતી વખતે, અસમાનતાનું ચિહ્ન પોતે વિરુદ્ધમાં બદલાય છે,< b , как − a >- બી. આ બંને બાજુઓને - 1 વડે ગુણાકાર કરવાના નિયમને અનુસરે છે. તે સંક્રમણ માટે લાગુ પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, −6< − 2 , то 6 > 2 .
- કોરોલરી 2. જ્યારે સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ભાગોને વિરુદ્ધ સંખ્યાઓ સાથે બદલો, ત્યારે તેની નિશાની પણ બદલાય છે, અને અસમાનતા સાચી રહે છે. આમાંથી આપણી પાસે છે કે a અને b એ ધન સંખ્યા છે, a< b , 1 a >1 બી.
અસમાનતાની બંને બાજુઓને વિભાજીત કરતી વખતે a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 આપણી પાસે તે 1 5 છે< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b ખોટું હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ 5
ઉદાહરણ તરીકે, −2< 3 , однако, - 1 2 >13 એ ખોટું સમીકરણ છે.
બધા બિંદુઓ એ હકીકત દ્વારા એક થાય છે કે અસમાનતાના ભાગો પરની ક્રિયાઓ આઉટપુટ પર યોગ્ય અસમાનતા આપે છે. ચાલો એવા ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યાં શરૂઆતમાં સંખ્યાબંધ અસમાનતાઓ હોય છે, અને તેનું પરિણામ તેના ભાગો ઉમેરીને અથવા ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા 9
જ્યારે સંખ્યાઓ a, b, c, d અસમાનતાઓ a માટે માન્ય હોય છે< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.
પુરાવો 4
ચાલો સાબિત કરીએ કે (a + c) − (b + d) એ ઋણ સંખ્યા છે, તો આપણને મળે છે કે a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.
મિલકતનો ઉપયોગ ત્રણ, ચાર અથવા વધુ સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓના ટર્મ-બાય-ટર્મ ઉમેરા માટે થાય છે. સંખ્યાઓ a 1 , a 2 , … , a n અને b 1 , b 2 , … , b n અસમાનતાઓ a 1 ને સંતોષે છે< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .
ઉદાહરણ 6
ઉદાહરણ તરીકે, સમાન ચિહ્ન − 5 ની ત્રણ સંખ્યાત્મક અસમાનતા આપેલ છે< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.
વ્યાખ્યા 10
બંને બાજુઓનો શબ્દવાર ગુણાકાર હકારાત્મક સંખ્યામાં પરિણમે છે. જ્યારે એ< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.
પુરાવા 5
આ સાબિત કરવા માટે, અમને અસમાનતાની બંને બાજુની જરૂર છે a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .
આ ગુણધર્મને સંખ્યાઓની સંખ્યા માટે માન્ય ગણવામાં આવે છે જેના દ્વારા અસમાનતાની બંને બાજુનો ગુણાકાર થવો જોઈએ. પછી a 1 , a 2 , … , a nઅને b 1, b 2, …, b nહકારાત્મક સંખ્યાઓ છે, જ્યાં 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .
નોંધ કરો કે અસમાનતા લખતી વખતે બિન-ધન સંખ્યાઓ હોય છે, તો પછી તેમની મુદત-બાય-ટર્મ ગુણાકાર ખોટી અસમાનતાઓ તરફ દોરી જાય છે.
ઉદાહરણ 7
ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.
પરિણામ: અસમાનતાનો શબ્દવાર ગુણાકાર a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .
સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મો
ચાલો સંખ્યાત્મક અસમાનતાના નીચેના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ.
- a< a , a >a - ખોટી અસમાનતાઓ,
a ≤ a, a ≥ a સાચી અસમાનતા છે. - જો એ< b , то b >a - વિરોધી સમપ્રમાણતા.
- જો એ< b и b < c то a < c - транзитивность.
- જો એ< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
- જો એ< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
જો એ< b и c - отрицательное число, то a · c >b·c
કોરોલરી 1: જો a< b , то - a >-બી.
કોરોલરી 2: જો a અને b હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે અને a< b , то 1 a >1 બી.
- જો 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
- જો 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n એ ધન સંખ્યાઓ અને a 1 છે< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .
કોરોલરી 1: જો a< b , a અને b હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે, પછી n< b n .
જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો
તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.
વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ
વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.
જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.
અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.
અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:
- જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.
અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:
- અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
- સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
- અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
- જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત
અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.
અપવાદો:
- જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા રશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશમાં સરકારી સત્તાવાળાઓની જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા માટે. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
- પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.
વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ
અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.
કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો
તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.
સિદ્ધાંત:
અસમાનતાઓને હલ કરતી વખતે, નીચેના નિયમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:
1. અસમાનતાના કોઈપણ શબ્દને એક ભાગમાંથી સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે
વિપરીત ચિહ્ન સાથે અન્યમાં અસમાનતા, પરંતુ અસમાનતાની નિશાની બદલાતી નથી.
2. અસમાનતાની બંને બાજુઓને એક વડે ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરી શકાય છે
અને અસમાનતા ચિહ્ન બદલ્યા વિના સમાન હકારાત્મક સંખ્યા.
3. અસમાનતાની બંને બાજુઓને એક વડે ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરી શકાય છે
અને સમાન ઋણ સંખ્યા, અસમાનતા ચિહ્નને માં બદલીને
વિરુદ્ધ
અસમાનતા ઉકેલો − 8 x + 11<
−
3
x
−
4
ઉકેલ.
1. ચાલો શિશ્નને ખસેડીએ − 3 xઅસમાનતાની ડાબી બાજુએ, અને શબ્દ 11
- અસમાનતાની જમણી બાજુએ, જ્યારે ચિહ્નોને વિરુદ્ધમાં બદલો − 3 xઅને ખાતે 11
.
પછી આપણને મળે છે
− 8 x + 3 x< − 4 − 11
− 5 x< − 15
2. ચાલો અસમાનતાની બંને બાજુઓને વિભાજીત કરીએ − 5 x<
−
15
નકારાત્મક સંખ્યા સુધી −
5
, અને અસમાનતાનું ચિહ્ન <
, માં બદલાશે >
, એટલે કે આપણે વિરુદ્ધ અર્થની અસમાનતા તરફ આગળ વધીએ છીએ.
અમને મળે છે:
− 5 x< − 15 | : (− 5 )
x > − 15 : (− 5 )
x > 3
x > 3- આપેલ અસમાનતાનો ઉકેલ.
ધ્યાન આપો!
ઉકેલ લખવા માટે બે વિકલ્પો છે: x > 3અથવા સંખ્યા અંતરાલ તરીકે.
ચાલો સંખ્યા રેખા પર અસમાનતાના ઉકેલોના સમૂહને ચિહ્નિત કરીએ અને સંખ્યાત્મક અંતરાલના રૂપમાં જવાબ લખીએ.
x ∈ (3 ; + ∞ )
જવાબ: x > 3અથવા x ∈ (3 ; + ∞ )
બીજગણિત અસમાનતા.
ચતુર્ભુજ અસમાનતા. તર્કસંગત અસમાનતાઓઉચ્ચ ડિગ્રીઓ.
અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ મુખ્યત્વે તેના પર આધાર રાખે છે કે અસમાનતા બનાવતા કાર્યો કયા વર્ગના છે.
- આઈ. ચતુર્ભુજ અસમાનતા, એટલે કે, સ્વરૂપની અસમાનતા
ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.
અસમાનતાને હલ કરવા માટે તમે આ કરી શકો છો:
- ચોરસ ત્રિપદીફેક્ટરાઇઝ કરો, એટલે કે ફોર્મમાં અસમાનતા લખો
a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).
- સંખ્યારેખા પર બહુપદીના મૂળને પ્લોટ કરો. મૂળ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે, જેમાંના દરેકમાં અનુરૂપ ચતુર્ભુજ કાર્ય સતત સંકેતનું હશે.
- દરેક અંતરાલમાં a (x - x 1) (x - x 2) નું ચિહ્ન નક્કી કરો અને જવાબ લખો.
જો ચોરસ ત્રિનોમીમાં મૂળ ન હોય, તો D માટે<0 и a>0 ચોરસ ત્રિપદી કોઈપણ x માટે ધન છે.
- અસમાનતા ઉકેલો. x 2 + x - 6 > 0.
ચતુર્ભુજ ત્રિપદી (x + 3) (x - 2) > 0 નો અવયવ કરો
જવાબ: x (-∞; -3) (2; +∞).
2) (x - 6) 2 > 0
આ અસમાનતા x = 6 સિવાય કોઈપણ x માટે સાચી છે.
જવાબ: (-∞; 6) (6; +∞).
3) x² + 4x + 15< 0.
અહીં ડી< 0, a = 1 >0. ચોરસ ત્રિનોમી બધા x માટે ધન છે.
જવાબ: x Î Ø.
અસમાનતાઓ ઉકેલો:
- 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
- 3x² - 12x + 12 ≤ 0. જવાબ:
- 3x² - 7x + 5 ≤ 0. જવાબ:
- 2x² - 12x + 18 > 0. જવાબ:
- અસમાનતા કયા મૂલ્યો માટે કરે છે
x² - ax > કોઈપણ x માટે ધરાવે છે? જવાબ:
- II. ઉચ્ચ ડિગ્રીની તર્કસંગત અસમાનતાઓ,એટલે કે, સ્વરૂપની અસમાનતા
a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.
બહુપદી ઉચ્ચતમ ડિગ્રીપરિબળ હોવું જોઈએ, એટલે કે, અસમાનતા ફોર્મમાં લખવી જોઈએ
a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).
સંખ્યા રેખા પરના બિંદુઓને ચિહ્નિત કરો કે જેના પર બહુપદી અદૃશ્ય થઈ જાય છે.
દરેક અંતરાલ પર બહુપદીના ચિહ્નો નક્કી કરો.
1) અસમાનતા x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x ઉકેલો< 0.
x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =
x (x - 1) (x - 2) (x - 3). તેથી x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0
જવાબ: (0; 1) (2; 3).
2) અસમાનતા ઉકેલો (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.
ચાલો સંખ્યા અક્ષ પરના બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ કે જેના પર બહુપદી અદૃશ્ય થઈ જાય છે. આ x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½ છે.
બિંદુ x = - ½ પર ચિહ્નનો કોઈ ફેરફાર થતો નથી કારણ કે દ્વિપદી (2x + 1) એક સમાન ઘાતમાં ઉછરે છે, એટલે કે, x = બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે અભિવ્યક્તિ (2x + 1) 4 ચિહ્ન બદલાતું નથી. - ½.
જવાબ: (-∞; -2) (½; 1).
3) અસમાનતા ઉકેલો: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.
આ અસમાનતા નીચેના સમૂહની સમકક્ષ છે
(1) નો ઉકેલ x (-∞; -2) (3; +∞) છે. (2) નો ઉકેલ x = 0, x = -2, x = 3 છે. મેળવેલા ઉકેલોને જોડીને, આપણે x О (-∞; -2] (0) (0) ) મેળવીએ છીએ.
