1લી ડિગ્રીનું એકરૂપ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ. સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો: સામાન્ય ઉકેલ યોજના

આ વિડીયો પાઠ સાથે, વિદ્યાર્થીઓ એકરૂપ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના વિષયનો અભ્યાસ કરી શકશે.

ચાલો વ્યાખ્યાઓ આપીએ:

1) પ્રથમ ડિગ્રીનું સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ sin x + b cos x = 0 જેવું લાગે છે;

2) બીજી ડિગ્રીનું સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 જેવું દેખાય છે.

a sin x + b cos x = 0 સમીકરણને ધ્યાનમાં લો. જો a શૂન્યની બરાબર હોય, તો સમીકરણ b cos x = 0 જેવું દેખાશે; જો b શૂન્યની બરાબર હોય, તો સમીકરણ sin x = 0 જેવું દેખાશે. આ એવા સમીકરણો છે જેને આપણે સૌથી સરળ કહીએ છીએ અને અગાઉના વિષયોમાં અગાઉ ઉકેલવામાં આવ્યા હતા.

હવે જ્યારે a અને b શૂન્ય સમાન ન હોય ત્યારે વિકલ્પને ધ્યાનમાં લો. સમીકરણના ભાગોને કોસાઇન x દ્વારા વિભાજિત કરીને, આપણે રૂપાંતરણ કરીએ છીએ. આપણને tg x + b = 0 મળે છે, પછી tg x બરાબર - b/a થશે.

ઉપરથી તે અનુસરે છે કે સમીકરણ a sin mx + b cos mx = 0 એકરૂપ છે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણહું ડિગ્રી. સમીકરણ ઉકેલવા માટે, તેના ભાગોને cos mx વડે વિભાજીત કરો.

ચાલો ઉદાહરણ 1 જોઈએ. 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0 ઉકેલો. પ્રથમ, સમીકરણના ભાગોને કોસાઈન (x/2) વડે વિભાજીત કરો. એ જાણીને કે સાઈનને કોસાઈન વડે વિભાજિત સ્પર્શક છે, આપણને 7 ટેન (x/2) - 5 = 0 મળે છે. અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કરતાં, આપણે શોધીએ છીએ કે ટેન (x/2) ની કિંમત 5/7 ની બરાબર છે. ઉકેલ આપેલ સમીકરણ x = arctan a + πn ફોર્મ ધરાવે છે, અમારા કિસ્સામાં x = 2 આર્ક્ટેન (5/7) + 2πn.

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

1) એ શૂન્ય બરાબરસમીકરણ b sin x cos x + c cos 2 x = 0 જેવું દેખાશે. રૂપાંતર કરીને, આપણે અભિવ્યક્તિ cos x (b sin x + c cos x) = 0 મેળવીએ છીએ અને બે સમીકરણોને ઉકેલવા આગળ વધીએ છીએ. સમીકરણના ભાગોને કોસાઇન x દ્વારા વિભાજિત કર્યા પછી, આપણને b tg x + c = 0 મળે છે, જેનો અર્થ tg x = - c/b થાય છે. જાણવું કે x = આર્ક્ટન a + πn, પછી ઉકેલ માં આ કિસ્સામાં x = આર્ક્ટેન (- c/b) + πn હશે.

2) જો a શૂન્યની બરાબર ન હોય, તો સમીકરણના ભાગોને કોસાઇન વર્ગ દ્વારા વિભાજીત કરીને, આપણે સ્પર્શક ધરાવતું સમીકરણ મેળવીએ છીએ, જે ચતુર્ભુજ હશે. આ સમીકરણ એક નવું ચલ રજૂ કરીને ઉકેલી શકાય છે.

3) જ્યારે c શૂન્યની બરાબર હોય, ત્યારે સમીકરણ sin 2 x + b sin x cos x = 0 નું સ્વરૂપ લેશે. જો આપણે x ની સાઈનને કૌંસમાંથી લઈએ તો આ સમીકરણ ઉકેલી શકાય છે.

1. જુઓ કે સમીકરણમાં પાપ 2 x છે કે કેમ;

2. જો સમીકરણમાં sin 2 x શબ્દ હોય, તો સમીકરણ બંને બાજુઓને કોસાઇન સ્ક્વેર દ્વારા વિભાજીત કરીને અને પછી એક નવું ચલ રજૂ કરીને ઉકેલી શકાય છે.

3. જો સમીકરણમાં sin 2 x ન હોય, તો કૌંસમાંથી cosx લઈને સમીકરણ ઉકેલી શકાય છે.

ચાલો ઉદાહરણ 2 ને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો કોસાઈનને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ અને બે સમીકરણો મેળવીએ. પ્રથમ સમીકરણનું મૂળ x = π/2 + πn છે. બીજા સમીકરણને ઉકેલવા માટે, આપણે આ સમીકરણના ભાગોને કોસાઇન x દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, અને પરિવર્તન દ્વારા આપણે x = π/3 + πn મેળવીએ છીએ. જવાબ: x = π/2 + πn અને x = π/3 + πn.

ચાલો ઉદાહરણ 3 હલ કરીએ, 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 સ્વરૂપનું સમીકરણ અને તેના મૂળ શોધીએ, જે - π થી π સુધીના સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત છે. કારણ કે આ સમીકરણ અસંગત છે, તેને ઘટાડવું જરૂરી છે એકરૂપ દેખાવ. ઉપયોગ કરીને પાપ સૂત્ર 2 x + cos 2 x = 1, આપણને મળે છે પાપ સમીકરણ 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. સમીકરણના તમામ ભાગોને cos 2 x વડે ભાગવાથી, આપણને tan 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 મળે છે. નવા ચલ z = tan 2x ના ઇનપુટનો ઉપયોગ કરીને , આપણે સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ જેનું મૂળ z = 1 હશે. પછી tan 2x = 1, જેનો અર્થ છે કે x = π/8 + (πn)/2. કારણ કે સમસ્યાની શરતો અનુસાર, તમારે મૂળ શોધવાની જરૂર છે કે જે - π થી π સુધીના સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત છે, ઉકેલમાં ફોર્મ હશે - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

ટેક્સ્ટ ડીકોડિંગ:

સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો

આજે આપણે "સમાન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો" કેવી રીતે ઉકેલાય છે તે જોઈશું. આ એક ખાસ પ્રકારના સમીકરણો છે.

ચાલો વ્યાખ્યાથી પરિચિત થઈએ.

ફોર્મનું સમીકરણ અને sin x+bcosx = 0 (અને સાઈન x વત્તા બી કોસાઈન x શૂન્ય બરાબર છે) એ પ્રથમ ડિગ્રીનું સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ કહેવાય છે;

ફોર્મનું સમીકરણ અને sin 2 x+bપાપ xcosx+scos 2 x= 0 (અને સાઈન સ્ક્વેર x વત્તા બી સાઈન x કોસાઈન x વત્તા સે કોસાઈન ચોરસ x શૂન્ય બરાબર) ને બીજી ડિગ્રીનું સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

જો a=0, પછી સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે bcosx = 0.

જો b = 0 , પછી આપણને મળે છે અને sin x= 0.

આ સમીકરણો પ્રાથમિક ત્રિકોણમિતિ છે, અને અમે અમારા અગાઉના વિષયોમાં તેમના ઉકેલની ચર્ચા કરી છે

ચાલો વિચાર કરીએજ્યારે બંને ગુણાંક શૂન્ય સમાન ન હોય ત્યારે. ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓ વિભાજીત કરીએ એપાપx+ bcosx = 0 સભ્ય દ્વારા સભ્ય cosx.

x નો કોસાઇન બિન-શૂન્ય હોવાથી આપણે આ કરી શકીએ છીએ. છેવટે, જો cosx = 0 , પછી સમીકરણ એપાપx+ bcosx = 0 ફોર્મ લેશે એપાપx = 0 , એ≠ 0, તેથી પાપx = 0 . જે અશક્ય છે, કારણ કે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખ અનુસાર sin 2 x+cos 2 x=1 .

સમીકરણની બંને બાજુઓનું વિભાજન એપાપx+ bcosx = 0 સભ્ય દ્વારા સભ્ય cosx, આપણને મળે છે: + =0

ચાલો પરિવર્તનો હાથ ધરીએ:

1. ત્યારથી = tg x, પછી =અને tg x

2 દ્વારા ઘટાડો cosx, પછી

આમ આપણને નીચેની અભિવ્યક્તિ મળે છે અને tg x + b =0.

ચાલો પરિવર્તન કરીએ:

1. વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુએ b ને ખસેડો

અને tg x =- b

2. ચાલો ગુણકથી છુટકારો મેળવીએ અને સમીકરણની બંને બાજુઓને a વડે વિભાજીત કરવી

ટેન x = -.

નિષ્કર્ષ: ફોર્મનું સમીકરણ એક પાપmx+bcosmx = 0 (અને sine em x plus be cosine em x બરાબર શૂન્ય) પણ પ્રથમ ડિગ્રીનું સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ કહેવાય છે. તેને હલ કરવા માટે, બંને બાજુઓ દ્વારા વિભાજીત કરો cosmx.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણ ઉકેલો 7 sin - 5 cos = 0 (સાત સાઈન x ઉપર બે ઓછા પાંચ કોસાઈન x બે બરાબર શૂન્ય)

ઉકેલ. સમીકરણ શબ્દની બંને બાજુઓને cos વડે વિભાજીત કરવાથી આપણને મળે છે

1. = 7 ટેન (કારણ કે સાઈન અને કોસાઈનનો ગુણોત્તર સ્પર્શક છે, તો પછી સાત સાઈન x બે ભાગ્યા કોસાઈન x બે બાય 7 ટેન x બે બરાબર)

2. -5 = -5 (cos સંક્ષેપ સાથે)

આ રીતે આપણને સમીકરણ મળ્યું

7tg - 5 = 0, ચાલો અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કરીએ, માઈનસ પાંચને જમણી બાજુએ ખસેડીએ, ચિહ્ન બદલીએ.

અમે સમીકરણને tg t = a, જ્યાં t=, a = ફોર્મમાં ઘટાડી દીધું છે. અને કારણ કે આ સમીકરણમાં કોઈપણ મૂલ્ય માટે ઉકેલ છે એ અને આ ઉકેલો ફોર્મ ધરાવે છે

x = arctan a + πn, તો આપણા સમીકરણના ઉકેલનું સ્વરૂપ હશે:

Arctg + πn, x શોધો

x=2 આર્ક્ટન + 2πn.

જવાબ: x=2 આર્ક્ટન + 2πn.

ચાલો બીજા ડિગ્રીના સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ

એsin 2 x+b sin x cos x +સાથેcos 2 x = 0.

ચાલો કેટલાક કેસો ધ્યાનમાં લઈએ.

I. જો a=0, પછી સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે bપાપxcosx+scos 2 x= 0.

ઉકેલતી વખતે ઇપછી આપણે સમીકરણોના અવયવીકરણની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમે તેને બહાર કાઢી લઈશું cosxકૌંસની બહાર અને અમને મળે છે: cosx(bપાપx+scosx)= 0 . જ્યાં cosx= 0 અથવા

b પાપ x +સાથેcos x = 0.અને આ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ.

ચાલો સમીકરણ શબ્દની બંને બાજુઓને cosх વડે વિભાજીત કરીએ, આપણને મળે છે

1 (કારણ કે સાઈન અને કોસાઈનનો ગુણોત્તર સ્પર્શક છે).

આમ આપણને સમીકરણ મળે છે: b tg x+c=0

અમે સમીકરણને tg t = a ફોર્મમાં ઘટાડી દીધું છે, જ્યાં t= x, a =. અને કારણ કે આ સમીકરણમાં કોઈપણ મૂલ્ય માટે ઉકેલ છે એઅને આ ઉકેલો ફોર્મ ધરાવે છે

x = arctan a + πn, તો આપણા સમીકરણનો ઉકેલ આ હશે:

x = આર્ક્ટાન + πn, .

II. જો a≠0, પછી આપણે સમીકરણ પદની બંને બાજુઓને પદ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ cos 2 x.

(એવી જ રીતે દલીલ કરવી, જેમ કે પ્રથમ ડિગ્રીના સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણના કિસ્સામાં, કોસાઇન x શૂન્ય પર જઈ શકતું નથી).

III. જો c=0, પછી સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે એપાપ 2 x+ bપાપxcosx= 0. આ સમીકરણને ફેક્ટરાઇઝેશન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે (અમે બહાર કાઢીએ છીએ પાપxકૌંસની બહાર).

મતલબ કે સમીકરણ ઉકેલતી વખતે એપાપ 2 x+ bપાપxcosx+scos 2 x= 0 તમે અલ્ગોરિધમનો અનુસરી શકો છો:

ઉદાહરણ 2. સમીકરણ sinxcosx ઉકેલો - cos 2 x= 0 (કોસાઇન x ગુણ્યા કોસાઇન x ઓછા મૂળ ત્રણ ગુણ્યા કોસાઇન ચોરસ x શૂન્ય બરાબર).

ઉકેલ. ચાલો તેને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ (કોસક્સને કૌંસની બહાર મૂકો). અમને મળે છે

cos x(sin x - cos x)= 0, એટલે કે cos x=0 અથવા sin x - cos x= 0.

જવાબ: x =+ πn, x= + πn.

ઉદાહરણ 3. સમીકરણ 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (ત્રણ સાઈન સ્ક્વેર બે x બાદબાકી સાઈન બે x ગુણ્યા કોસાઈન બે x વત્તા ત્રણ કોસાઈન સ્ક્વેર્ડ બે x) ને ઉકેલો અને તેના મૂળ શોધો અંતરાલ (- π;

ઉકેલ. આ સમીકરણ સજાતીય નથી, તેથી ચાલો કેટલાક પરિવર્તનો કરીએ. અમે સમીકરણની જમણી બાજુએ સમાયેલ નંબર 2 ને ઉત્પાદન 2 1 સાથે બદલીએ છીએ

મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ ઓળખ દ્વારા sin 2 x + cos 2 x =1, પછી

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = કૌંસ ખોલવાથી આપણને મળે છે: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x

આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 ફોર્મ લેશે:

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

અમે બીજી ડિગ્રીનું એક સમાન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ મેળવ્યું. ચાલો cos 2 2x દ્વારા ટર્મ-બાય-ટર્મ ડિવિઝનની પદ્ધતિ લાગુ કરીએ:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ z=tan2х.

આપણી પાસે z 2 - 2 z + 1 = 0 છે. આ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે. ડાબી બાજુએ સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રને ધ્યાનમાં લેતા - તફાવતનો વર્ગ (), આપણે (z - 1) 2 = 0 મેળવીએ છીએ, એટલે કે. z = 1. ચાલો વિપરીત અવેજીમાં પાછા આવીએ:

આપણે સમીકરણને tg t = a ફોર્મમાં ઘટાડી દીધું છે, જ્યાં t= 2x, a =1. અને કારણ કે આ સમીકરણમાં કોઈપણ મૂલ્ય માટે ઉકેલ છે એઅને આ ઉકેલો ફોર્મ ધરાવે છે

x = arctan x a + πn, તો આપણા સમીકરણનો ઉકેલ આ હશે:

2х = આર્ક્ટાન1 + πn,

x = + , (x એ pi ગુણ્યા આઠ અને pi ગુણ્યા બેના સરવાળા બરાબર છે).

આપણે ફક્ત x ની કિંમતો શોધવાની છે જે અંતરાલમાં સમાયેલ છે

(- π; π), એટલે કે. બેવડી અસમાનતાને સંતોષો - π x π. કારણ કે

x= +, પછી - π + π. આ અસમાનતાના તમામ ભાગોને π વડે વિભાજીત કરો અને 8 વડે ગુણાકાર કરો, આપણને મળે છે

એકને જમણી અને ડાબી તરફ ખસેડો, ચિહ્નને માઈનસ વનમાં બદલો

ચાર વડે ભાગીએ તો આપણને મળે છે,

સગવડ માટે, અમે આખા ભાગોને અપૂર્ણાંકમાં અલગ કરીએ છીએ

-

આ અસમાનતા નીચેના પૂર્ણાંક n દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે: -2, -1, 0, 1

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી અંગત માહિતી સુરક્ષિત છે તેની ખાતરી કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોની વાત કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

બે અજાણ્યા સાથે બિનરેખીય સમીકરણો

વ્યાખ્યા 1. A ને અમુક રહેવા દો સંખ્યાઓની જોડીનો સમૂહ (x; y). સંખ્યાત્મક કાર્ય z બે ચલોમાંથી x અને y , જો કોઈ નિયમનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો હોય જેની મદદથી A સેટમાંથી સંખ્યાઓની દરેક જોડી ચોક્કસ સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ હોય.

બે ચલો x અને y નું સંખ્યાત્મક કાર્ય z સ્પષ્ટ કરવું એ ઘણી વાર છે સૂચવોતેથી:

જ્યાં f (x , y) - ફંક્શન સિવાયનું કોઈપણ કાર્ય

f (x , y) = ax+by+c ,

જ્યાં a, b, c નંબરો આપવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 3. સમીકરણ ઉકેલવું (2)નંબરોની જોડી પર કૉલ કરો ( x; y), જેના માટે સૂત્ર (2) સાચી સમાનતા છે.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણ ઉકેલો

કોઈપણ સંખ્યાનો વર્ગ બિન-ઋણાત્મક હોવાથી, તે સૂત્ર (4) પરથી અનુસરે છે કે અજ્ઞાત x અને y સમીકરણોની સિસ્ટમને સંતોષે છે

જેનો ઉકેલ એ સંખ્યાઓની જોડી છે (6; 3).

જવાબ: (6; 3)

ઉદાહરણ 2. સમીકરણ ઉકેલો

તેથી, સમીકરણ (6) નો ઉકેલ છે સંખ્યાઓની જોડીની અનંત સંખ્યાપ્રકાર

(1 + y ; y) ,

જ્યાં y કોઈપણ સંખ્યા છે.

રેખીય

વ્યાખ્યા 4. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી

નંબરોની જોડી પર કૉલ કરો ( x; y), જ્યારે તેમને આ સિસ્ટમના દરેક સમીકરણોમાં બદલીને, યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

બે સમીકરણોની સિસ્ટમો, જેમાંથી એક રેખીય છે, તેનું સ્વરૂપ છે

g(x , y)

ઉદાહરણ 4. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ. ચાલો સિસ્ટમ (7) ના પ્રથમ સમીકરણમાંથી અજાણ્યા x દ્વારા અજ્ઞાત y વ્યક્ત કરીએ અને પરિણામી અભિવ્યક્તિને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં બદલીએ:

સમીકરણ ઉકેલવું

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

આથી,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

બે સમીકરણોની સિસ્ટમો, જેમાંથી એક સજાતીય છે

બે સમીકરણોની સિસ્ટમો, જેમાંથી એક સજાતીય છે, તેનું સ્વરૂપ છે

જ્યાં a, b, c નંબરો આપવામાં આવે છે, અને g(x , y) - બે ચલોનું કાર્ય x અને y.

ઉદાહરણ 6. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ. ચાલો સજાતીય સમીકરણ હલ કરીએ

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

અજાણ્યા xના સંદર્ભમાં તેને ચતુર્ભુજ સમીકરણ તરીકે ગણવું:

.

કિસ્સામાં x = - 5y, સિસ્ટમના બીજા સમીકરણ (11)માંથી આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ

5y 2 = - 20 ,

જેના કોઈ મૂળ નથી.

કિસ્સામાં

સિસ્ટમના બીજા સમીકરણ (11)માંથી આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ

,

જેના મૂળ સંખ્યાઓ છે y 1 = 3 , y 2 = - 3 . આમાંના દરેક મૂલ્યો અને અનુરૂપ મૂલ્ય x માટે શોધીને, અમે સિસ્ટમના બે ઉકેલો મેળવીએ છીએ: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

જવાબ: (- 2; 3), (2; - 3)

અન્ય પ્રકારના સમીકરણોના ઉકેલની પ્રણાલીઓના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 8. સમીકરણોની સિસ્ટમ (MIPT) ઉકેલો

ઉકેલ. ચાલો નવા અજ્ઞાત u અને v નો પરિચય કરીએ, જે સૂત્રો અનુસાર x અને y દ્વારા વ્યક્ત થાય છે:

નવા અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં સિસ્ટમ (12) ને ફરીથી લખવા માટે, અમે પહેલા અજ્ઞાત x અને y ને u અને v ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ છીએ. સિસ્ટમ (13) થી તે તેને અનુસરે છે

ચાલો આ સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાંથી ચલ x નાબૂદ કરીને રેખીય સિસ્ટમ (14) ઉકેલીએ.

• આ હેતુ માટે, અમે સિસ્ટમ પર નીચેના પરિવર્તનો કરીએ છીએ (14):
• બીજા સમીકરણમાંથી આપણે પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરીએ છીએ અને પરિણામી તફાવત સાથે સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને બદલીએ છીએ.

પરિણામે, સિસ્ટમ (14) સમકક્ષ સિસ્ટમમાં રૂપાંતરિત થાય છે

જેમાંથી આપણે શોધીએ છીએ

સૂત્રો (13) અને (15) નો ઉપયોગ કરીને, અમે મૂળ સિસ્ટમ (12) ને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ

સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ (16) રેખીય છે, તેથી આપણે તેમાંથી અજ્ઞાત u ને અજાણ્યા v દ્વારા વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ અને આ અભિવ્યક્તિને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં બદલી શકીએ છીએ.

આજે આપણે સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોનો અભ્યાસ કરીશું. પ્રથમ, ચાલો પરિભાષા જોઈએ: એક સમાન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ શું છે. તે નીચેની લાક્ષણિકતાઓ ધરાવે છે:

1. તેમાં ઘણી શરતો હોવી આવશ્યક છે;
2. બધી શરતો સમાન ડિગ્રી હોવી જોઈએ;
3. સજાતીય ત્રિકોણમિતિ ઓળખમાં સમાવિષ્ટ તમામ કાર્યોમાં આવશ્યકપણે સમાન દલીલ હોવી આવશ્યક છે.

ઉકેલ અલ્ગોરિધમનો

ચાલો શરતો પસંદ કરીએ

અને જો પ્રથમ મુદ્દા સાથે બધું સ્પષ્ટ છે, તો બીજા વિશે વધુ વિગતવાર વાત કરવી યોગ્ય છે. શરતોની સમાન ડિગ્રી હોવાનો અર્થ શું છે? ચાલો પ્રથમ સમસ્યા જોઈએ:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

આ સમીકરણમાં પ્રથમ પદ છે 3cosx 3\cos x. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અહીં માત્ર એક જ ત્રિકોણમિતિ કાર્ય છે - cosx\cos x - અને અન્ય કોઈ ત્રિકોણમિતિ વિધેયો અહીં હાજર નથી, તેથી આ પદની ડિગ્રી 1 છે. બીજા સાથે સમાન - 5sinx 5\sin x - અહીં માત્ર સાઈન હાજર છે, એટલે કે આ પદની ડિગ્રી પણ એકની બરાબર છે. તેથી, આપણી સમક્ષ એક ઓળખ છે જેમાં બે ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે, જેમાંના દરેકમાં ત્રિકોણમિતિ કાર્ય હોય છે, અને માત્ર એક. આ પ્રથમ ડિગ્રીનું સમીકરણ છે.

ચાલો બીજા અભિવ્યક્તિ તરફ આગળ વધીએ:

4પાપ2 x+sin2x−3=0

4((\sin)^(2))x+\sin 2x-3=0

આ બાંધકામના પ્રથમ સભ્ય છે 4પાપ2 x 4((\sin )^(2))x.

હવે આપણે નીચેનો ઉકેલ લખી શકીએ છીએ:

પાપ2 x=sinx⋅sinx

((\sin)^(2))x=\sin x\cdot \sin x

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રથમ શબ્દમાં બે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો છે, એટલે કે તેની ડિગ્રી બે છે. ચાલો બીજા તત્વ સાથે વ્યવહાર કરીએ - sin2x\sin 2x. ચાલો આ સૂત્રને યાદ કરીએ - ડબલ એન્ગલ ફોર્મ્યુલા:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

અને ફરીથી, પરિણામી સૂત્રમાં આપણી પાસે બે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો છે - સાઈન અને કોસાઈન. આમ, આ બાંધકામ શબ્દનું પાવર મૂલ્ય પણ બે જેટલું છે.

ચાલો ત્રીજા તત્વ તરફ આગળ વધીએ - 3. ગણિતના કોર્સમાંથી ઉચ્ચ શાળાઅમને યાદ છે કે કોઈપણ સંખ્યાને 1 વડે ગુણાકાર કરી શકાય છે, તેથી અમે તેને લખીએ છીએ:

˜ 3=3⋅1

અને એકમને નીચેના સ્વરૂપમાં મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે:

1=પાપ2 x⋅ cos2 x

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

તેથી, અમે 3 ને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:

3=3(પાપ2 x⋅ cos2 x)=3પાપ2 x+3 cos2 x

3=3\left((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

આમ, અમારું શબ્દ 3 બે ઘટકોમાં વિભાજિત થયેલ છે, જેમાંથી દરેક એકરૂપ છે અને બીજી ડિગ્રી ધરાવે છે. પ્રથમ ટર્મમાં સાઈન બે વાર થાય છે, બીજામાં કોસાઈન પણ બે વાર થાય છે. આમ, 3 ને બે ઘાતના ઘાત સાથે શબ્દ તરીકે પણ રજૂ કરી શકાય છે.

ત્રીજા અભિવ્યક્તિ સાથે સમાન વસ્તુ:

પાપ3 x+ પાપ2 xcosx=2 cos3 x

ચાલો જોઈએ. પ્રથમ મુદત છે પાપ3 x((\sin )^(3))x એ ત્રીજી ડિગ્રીનું ત્રિકોણમિતિ કાર્ય છે. બીજું તત્વ - પાપ2 xcosx((\sin)^(2))x\cos x.

પાપ2 ((\sin )^(2)) એ પાવર મૂલ્ય બે વડે ગુણાકાર સાથેની લિંક છે cosx\cos x એ પ્રથમ શબ્દ છે. કુલ મળીને, ત્રીજી મુદતમાં પણ ત્રણનું પાવર મૂલ્ય છે. છેલ્લે, જમણી બાજુએ બીજી લિંક છે - 2cos3 x 2((\cos )^(3))x એ ત્રીજી ડિગ્રીનું તત્વ છે. આમ, આપણી સમક્ષ ત્રીજા અંશનું એક સમાન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ છે.

અમારી પાસે અલગ-અલગ ડિગ્રીની ત્રણ ઓળખ લખેલી છે. બીજી અભિવ્યક્તિ પર ફરીથી ધ્યાન આપો. મૂળ રેકોર્ડમાં, એક સભ્યની દલીલ છે 2x 2x. અમને ડબલ એંગલ સાઈન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને તેને રૂપાંતરિત કરીને આ દલીલમાંથી છૂટકારો મેળવવાની ફરજ પડી છે, કારણ કે અમારી ઓળખમાં સમાવિષ્ટ તમામ કાર્યોમાં આવશ્યકપણે સમાન દલીલ હોવી જોઈએ. અને આ સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો માટે જરૂરી છે.

અમે મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ ઓળખના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને અંતિમ ઉકેલ લખીએ છીએ

અમે શરતોને અલગ કરી છે, ચાલો ઉકેલ તરફ આગળ વધીએ. પાવર ઘાતાંકને ધ્યાનમાં લીધા વિના, આ પ્રકારની સમાનતાને ઉકેલવા હંમેશા બે પગલામાં કરવામાં આવે છે:

1) તે સાબિત કરો

cosx≠0

\cos x\ne 0. આ કરવા માટે, મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ ઓળખના સૂત્રને યાદ કરવા માટે તે પૂરતું છે (પાપ2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) અને આ ફોર્મ્યુલામાં અવેજી કરો cosx=0\cos x=0. અમને નીચેની અભિવ્યક્તિ મળશે:

પાપ2 x=1sinx=±1

\શરૂ(સંરેખિત કરો)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\અંત(સંરેખિત કરો)

પ્રાપ્ત મૂલ્યોને બદલીને, એટલે કે તેના બદલે cosx\cos x શૂન્ય છે, અને તેના બદલે sinx\sin x — 1 અથવા -1, મૂળ અભિવ્યક્તિમાં, આપણે ખોટી સંખ્યાત્મક સમાનતા મેળવીશું. આ તેનું સમર્થન છે

cosx≠0

2) બીજું પગલું તાર્કિક રીતે પ્રથમથી અનુસરે છે. ત્યારથી

cosx≠0

\cos x\ne 0, આપણે બંધારણની આપણી બંને બાજુઓને વડે વિભાજીત કરીએ છીએ cosn x((\cos )^(n))x, જ્યાં n n એ સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણનો ઘાત ઘાત છે. આ આપણને શું આપે છે:

\[\begin(એરે)(·(35)(l))

sinxcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(એરે)\]

આનો આભાર, આપણું બોજારૂપ પ્રારંભિક બાંધકામ સમીકરણમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યું છે nસ્પર્શકના સંદર્ભમાં n-ડિગ્રી, જેનો ઉકેલ ચલના ફેરફારનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી લખી શકાય છે. તે સમગ્ર અલ્ગોરિધમનો છે. ચાલો જોઈએ કે તે વ્યવહારમાં કેવી રીતે કાર્ય કરે છે.

અમે વાસ્તવિક સમસ્યાઓ હલ કરીએ છીએ

કાર્ય નંબર 1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

અમે પહેલાથી જ શોધી કાઢ્યું છે કે આ એક સમાન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ છે જેની ઘાત એક સમાન છે. તેથી, સૌ પ્રથમ, ચાલો તે શોધી કાઢીએ cosx≠0\cos x\ne 0. ધારો કે વિપરીત, તે

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

અમે પરિણામી મૂલ્યને અમારી અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ છીએ, અમને મળે છે:

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)

તેના આધારે આપણે એમ કહી શકીએ cosx≠0\cos x\ne 0. ચાલો આપણા સમીકરણને વડે ભાગીએ cosx\cos x કારણ કે આપણા સમગ્ર અભિવ્યક્તિની શક્તિ મૂલ્ય એક છે. અમને મળે છે:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(સંરેખિત)

આ કોષ્ટક મૂલ્ય નથી, તેથી જવાબમાં સમાવેશ થશે arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

ત્યારથી arctg arctg arctg એ એક વિચિત્ર કાર્ય છે, આપણે દલીલમાંથી "માઈનસ" લઈ શકીએ છીએ અને તેને arctg ની સામે મૂકી શકીએ છીએ. અમને અંતિમ જવાબ મળે છે:

x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

કાર્ય નંબર 2

4પાપ2 x+sin2x−3=0

4((\sin)^(2))x+\sin 2x-3=0

જેમ તમને યાદ છે, તમે તેને હલ કરવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે કેટલાક પરિવર્તનો કરવાની જરૂર છે. અમે પરિવર્તનો હાથ ધરીએ છીએ:

4પાપ2 x+2sinxcosx−3 (પાપ2 x+ cos2 x)=0 4પાપ2 x+2sinxcosx−3 પાપ2 x−3 cos2 x=0પાપ2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2) ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (સંરેખિત કરો)

અમને ત્રણ ઘટકોનું માળખું મળ્યું. પ્રથમ ટર્મમાં આપણે જોઈએ છીએ પાપ2 ((\sin )^(2)), એટલે કે તેની શક્તિ મૂલ્ય બે છે. બીજી મુદતમાં આપણે જોઈએ છીએ sinx\sin x અને cosx\cos x - ફરીથી બે કાર્યો છે, તેઓ ગુણાકાર થાય છે, તેથી કુલ ડિગ્રી ફરીથી બે છે. ત્રીજી કડીમાં આપણે જોઈએ છીએ cos2 x((\cos )^(2))x - પ્રથમ મૂલ્ય જેવું જ.

ચાલો તે સાબિત કરીએ cosx=0\cos x=0 એ આ બાંધકામનો ઉકેલ નથી. આ કરવા માટે, ચાલો વિરુદ્ધ ધારીએ:

\[\begin(એરે)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \\ \1=0 \\\અંત(એરે)\]

અમે તે સાબિત કર્યું છે cosx=0\cos x=0 એ ઉકેલ ન હોઈ શકે. ચાલો બીજા પગલા પર આગળ વધીએ - આપણી આખી અભિવ્યક્તિને વડે વિભાજીત કરીએ cos2 x((\cos )^(2))x. શા માટે ચોરસ? કારણ કે આ સજાતીય સમીકરણનો ઘાત ઘાત બે બરાબર છે:

પાપ2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 t g2 x+2tgx−3=0

\પ્રારંભ(સંરેખિત કરો)અને \frac((\sin )^(2))x)((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\અંત(સંરેખિત)

શું ભેદભાવનો ઉપયોગ કરીને આ અભિવ્યક્તિને હલ કરવી શક્ય છે? અલબત્ત તમે કરી શકો છો. પરંતુ હું વિએટાના પ્રમેય સાથેની પ્રમેયની વાતચીતને યાદ કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું, અને અમને મળે છે કે આપણે આ બહુપદીને બે સરળ બહુપદીના રૂપમાં રજૂ કરી શકીએ છીએ, એટલે કે:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ ટેક્સ્ટ( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(સંરેખિત)

ઘણા વિદ્યાર્થીઓ પૂછે છે કે શું ઓળખના ઉકેલોના દરેક જૂથ માટે અલગ-અલગ ગુણાંક લખવા યોગ્ય છે કે પરેશાન ન થવું અને દરેક જગ્યાએ એક જ ગુણાંક લખવો. અંગત રીતે, હું માનું છું કે વિવિધ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરવો તે વધુ સારું અને વધુ વિશ્વસનીય છે, જેથી જો તમે ગણિતમાં વધારાના પરીક્ષણો સાથે ગંભીર તકનીકી યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશ કરો છો, તો પરીક્ષકો જવાબમાં ખામી શોધી શકશે નહીં.

કાર્ય નંબર 3

પાપ3 x+ પાપ2 xcosx=2 cos3 x

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે આ ત્રીજી ડિગ્રીનું સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ છે, કોઈ ખાસ સૂત્રોની જરૂર નથી, અને આપણા માટે જે જરૂરી છે તે શબ્દને ખસેડવાનું છે. 2cos3 xડાબી બાજુએ 2((\cos )^(3))x. ચાલો ફરીથી લખીએ:

પાપ3 x+ પાપ2 xcosx−2 cos3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

આપણે જોઈએ છીએ કે દરેક તત્વ ત્રણ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો ધરાવે છે, તેથી આ સમીકરણની શક્તિ મૂલ્ય ત્રણ છે. ચાલો તેને હલ કરીએ. સૌ પ્રથમ, આપણે તે સાબિત કરવાની જરૂર છે cosx=0\cos x=0 એ રુટ નથી:

\[\begin(એરે)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(એરે)\]

ચાલો આ સંખ્યાઓને અમારા મૂળ બાંધકામમાં બદલીએ:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\પ્રારંભ(સંરેખિત કરો)& ((\ડાબે(\pm 1 \જમણે))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\અંત(સંરેખિત કરો)

આથી, cosx=0\cos x=0 એ ઉકેલ નથી. અમે તે સાબિત કર્યું છે cosx≠0\cos x\ne 0. હવે જ્યારે આપણે આ સાબિત કર્યું છે, તો ચાલો આપણા મૂળ સમીકરણને વડે વિભાજીત કરીએ cos3 x((\cos )^(3))x. શા માટે સમઘન માં? કારણ કે અમે હમણાં જ સાબિત કર્યું છે કે અમારા મૂળ સમીકરણમાં ત્રીજી શક્તિ છે:

પાપ3 xcos3 x+પાપ2 xcosxcos3 x−2=0 t g3 x+t g2 x−2=0

\પ્રારંભ(સંરેખિત કરો)& \frac(((\sin )^(3))x)((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\અંત(સંરેખિત કરો)

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ:

tgx=t

ચાલો બાંધકામ ફરીથી લખીએ:

t3 +t2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

આપણી પાસે ઘન સમીકરણ છે. તેને કેવી રીતે ઉકેલવું? શરૂઆતમાં, જ્યારે હું આ વિડિયો ટ્યુટોરીયલને એકસાથે મૂકી રહ્યો હતો, ત્યારે મેં સૌપ્રથમ ફેક્ટરિંગ બહુપદી અને અન્ય તકનીકો વિશે વાત કરવાનું આયોજન કર્યું. પરંતુ આ કિસ્સામાં, બધું ખૂબ સરળ છે. અમારી આપેલ ઓળખ પર એક નજર નાખો, 1 મૂલ્યના ઉચ્ચતમ ડિગ્રી સાથેના શબ્દ સાથે. વધુમાં, બધા ગુણાંક પૂર્ણાંકો છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે બેઝાઉટના પ્રમેયમાંથી કોરોલરીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ, જે જણાવે છે કે તમામ મૂળ સંખ્યા -2 ના વિભાજક છે, એટલે કે મુક્ત શબ્દ.

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: -2 ને શેના વડે ભાગવામાં આવે છે? 2 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી, ત્યાં ઘણા બધા વિકલ્પો નથી. આ નીચેની સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે: 1; 2; -1; -2. નકારાત્મક મૂળ તરત જ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. શા માટે? કારણ કે તે બંને નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં 0 કરતા વધારે છે, તેથી t3 ((t)^(3)) મોડ્યુલસ કરતાં વધુ હશે t2 ((t)^(2)). અને સમઘન એક વિષમ કાર્ય હોવાથી, તેથી ક્યુબમાં સંખ્યા નકારાત્મક હશે, અને t2 ((t)^(2)) - હકારાત્મક, અને આ સમગ્ર બાંધકામ, સાથે t=−1 t=-1 અને t=−2 t=-2, 0 થી વધુ નહીં હોય. તેમાંથી -2 બાદ કરો અને એવી સંખ્યા મેળવો જે ચોક્કસપણે 0 કરતા ઓછી હોય. ચાલો આમાંની દરેક સંખ્યાને બદલીએ:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0

અમે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા મેળવી છે. આથી, t=1 t=1 એ મૂળ છે.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2 t=2 એ રુટ નથી.

કોરોલરી અને તે જ બેઝાઉટના પ્રમેય મુજબ, કોઈપણ બહુપદી જેનું મૂળ છે x0 ((x)_(0)), તેને ફોર્મમાં રજૂ કરો:

Q(x)=(x= x0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

અમારા કિસ્સામાં, ભૂમિકામાં x x એ ચલ છે tટી, અને ભૂમિકામાં x0 ((x)_(0)) એ 1 ના બરાબર મૂળ છે. આપણને મળે છે:

t3 +t2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

બહુપદી કેવી રીતે શોધવી પી (ટી)પી\ડાબે(ટી\જમણે)? દેખીતી રીતે, તમારે નીચેના કરવાની જરૂર છે:

P(t) = t3 +t2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

ચાલો અવેજી કરીએ:

t3 +t2 +0⋅t−2t−1=t2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

તેથી, આપણા મૂળ બહુપદીને શેષ વિના વિભાજિત કરવામાં આવે છે. આમ, અમે અમારી મૂળ સમાનતાને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:

(t−1)( t2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય હોય ત્યારે ઉત્પાદન શૂન્ય હોય છે. અમે પહેલાથી જ પ્રથમ ગુણકને ધ્યાનમાં લીધું છે. ચાલો બીજાને જોઈએ:

t2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

અનુભવી વિદ્યાર્થીઓ કદાચ પહેલાથી જ સમજી ગયા છે કે આ બાંધકામમાં કોઈ મૂળ નથી, પરંતુ ચાલો હજુ પણ ભેદભાવની ગણતરી કરીએ.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

ભેદભાવ 0 કરતા ઓછો છે, તેથી અભિવ્યક્તિનું કોઈ મૂળ નથી. કુલ મળીને, વિશાળ બાંધકામ સામાન્ય સમાનતામાં ઘટાડવામાં આવ્યું હતું:

\[\begin(એરે)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(એરે)\]

નિષ્કર્ષમાં, હું છેલ્લા કાર્ય પર કેટલીક ટિપ્પણીઓ ઉમેરવા માંગુ છું:

1. શું સ્થિતિ હંમેશા સંતુષ્ટ થશે? cosx≠0\cos x\ne 0, અને શું આ ચેક કરવા યોગ્ય છે? અલબત્ત, હંમેશા નહીં. કિસ્સાઓમાં જ્યાં cosx=0\cos x=0 એ આપણી સમાનતાનો ઉકેલ છે; આપણે તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવું ​​જોઈએ, અને પછી એક સંપૂર્ણ સજાતીય સમીકરણ કૌંસમાં રહેશે.
2. બહુપદીને બહુપદી વડે વિભાજિત કરવાનું શું છે. ખરેખર, મોટાભાગની શાળાઓ આનો અભ્યાસ કરતી નથી, અને જ્યારે વિદ્યાર્થીઓ પ્રથમ વખત આવી ડિઝાઇન જુએ છે, ત્યારે તેઓ થોડો આંચકો અનુભવે છે. પરંતુ, હકીકતમાં, આ એક સરળ અને સુંદર તકનીક છે જે ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણોના ઉકેલને મોટા પ્રમાણમાં સુવિધા આપે છે. અલબત્ત, એક અલગ વિડિયો ટ્યુટોરીયલ તેને સમર્પિત કરવામાં આવશે, જે હું નજીકના ભવિષ્યમાં પ્રકાશિત કરીશ.

કી પોઈન્ટ્સ

સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો તમામ પ્રકારની કસોટીઓમાં પ્રિય વિષય છે. તેઓ ખૂબ જ સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે - ફક્ત એકવાર પ્રેક્ટિસ કરો. અમે શું વાત કરી રહ્યા છીએ તે સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો એક નવી વ્યાખ્યા રજૂ કરીએ.

સજાતીય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ એ એક છે જેમાં પ્રત્યેક બિન-શૂન્ય પદ ત્રિકોણમિતિ પરિબળોની સમાન સંખ્યા ધરાવે છે. આ સાઈન, કોસાઈન્સ અથવા તેના સંયોજનો હોઈ શકે છે - ઉકેલ પદ્ધતિ હંમેશા સમાન હોય છે.

એક સમાન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણની ડિગ્રી એ બિન-શૂન્ય શરતોમાં સમાવિષ્ટ ત્રિકોણમિતિ પરિબળોની સંખ્યા છે:

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - 1લી ડિગ્રીની ઓળખ;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text(sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2જી ડિગ્રી;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3જી ડિગ્રી;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - અને આ સમીકરણ સજાતીય નથી, કારણ કે જમણી બાજુએ એક એકમ છે - બિન-શૂન્ય શબ્દ જેમાં કોઈ ત્રિકોણમિતિ પરિબળો નથી;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 એ પણ બિન-સમાન સમીકરણ છે. તત્વ sin2x\sin 2x એ બીજી ડિગ્રી છે (કારણ કે તે રજૂ કરી શકાય છે

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x એ પ્રથમ છે, અને શબ્દ 3 સામાન્ય રીતે શૂન્ય છે, કારણ કે તેમાં કોઈ સાઈન અથવા કોસાઈન નથી.

સામાન્ય ઉકેલ યોજના

ઉકેલ યોજના હંમેશા સમાન હોય છે:

ચાલો માની લઈએ કે cosx=0\cos x=0. પછી sinx=±1\sin x=\pm 1 - આ મુખ્ય ઓળખથી અનુસરે છે. ચાલો અવેજી કરીએ sinx\sin x અને cosxમૂળ અભિવ્યક્તિમાં \cos x, અને જો પરિણામ બકવાસ છે (ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ 5=0 5=0), બીજા બિંદુ પર જાઓ;

આપણે દરેક વસ્તુને કોસાઈનની શક્તિ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ: cosx, cos2x, cos3x... - સમીકરણની શક્તિ મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે. અમે સ્પર્શક સાથે સામાન્ય સમાનતા મેળવીએ છીએ, જે tgx=t ને બદલ્યા પછી સુરક્ષિત રીતે ઉકેલી શકાય છે.

tgx=tમળેલા મૂળ મૂળ અભિવ્યક્તિનો જવાબ હશે.