આ માં વ્યવહારુ પાઠકેટલાક ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે લાક્ષણિક ઉદાહરણો, જે ઉકેલની પદ્ધતિઓ દર્શાવે છે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોઅને તેમની સિસ્ટમો.

આ પાઠ તમને કાર્યોના એક પ્રકાર માટે તૈયાર કરવામાં મદદ કરશે B5 અને C1.

ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી

પ્રયોગ

પાઠ 10. ત્રિકોણમિતિ કાર્યો. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને તેમની સિસ્ટમો.

પ્રેક્ટિસ કરો

પાઠ સારાંશ

અમે પાઠનો મુખ્ય ભાગ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે સમર્પિત કરીશું, પરંતુ અમે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગુણધર્મો પરના કાર્યોથી પ્રારંભ કરીશું જે સમીકરણો ઉકેલવાથી સંબંધિત નથી. ચાલો જટિલ દલીલો સાથે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની અવધિની ગણતરી કરીએ.

કાર્ય નંબર 1. કાર્યોના સમયગાળાની ગણતરી કરો a) ; b) .

ચાલો વ્યાખ્યાનમાં આપેલા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ.

a) કાર્ય માટે સમયગાળો અમારા કિસ્સામાં, એટલે કે. .

b) કાર્ય માટે સમયગાળો અમારી સાથે, કારણ કે દલીલને માત્ર ત્રણ વડે ભાગી જ નહીં, પણ વડે ગુણાકાર કરીને પણ રજૂ કરી શકાય છે. ફંક્શન સાથેની અન્ય ક્રિયાઓ (1 વડે ગુણાકાર કરીને, 1 ઉમેરીને) દલીલને અસર કરતી નથી, તેથી અમને રસ નથી.

અમે તે મેળવીએ છીએ

જવાબ આપો. એ); b)

ચાલો આપણી પ્રેક્ટિસના મુખ્ય ભાગ તરફ આગળ વધીએ અને ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવાનું શરૂ કરીએ. સગવડતા માટે, અમે સમીકરણોના મુખ્ય પ્રકારોને સૂચિબદ્ધ કરતી વખતે વ્યાખ્યાનમાં ઉલ્લેખિત કરેલા સમાન ઉદાહરણોના ઉકેલનું વિશ્લેષણ કરીશું.

કાર્ય નંબર 2. સમીકરણ ઉકેલો: a) ; b) ; વી) ; જી).

આવા સમીકરણોના મૂળ શોધવા માટે, અમે સામાન્ય ઉકેલો માટે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

આર્ક ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરવા માટે, અમે ચાપ સ્પર્શકની વિચિત્રતા અને ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યોના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જેની આપણે અગાઉના પાઠમાં વિગતવાર ચર્ચા કરી છે. અમે આગળ આ ક્રિયાઓ પર અલગથી ધ્યાન આપીશું નહીં.

d) સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, હું સામાન્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લખવા માંગુ છું , પરંતુ આ કરી શકાતું નથી. અહીં કોસાઇન મૂલ્યોની શ્રેણી તપાસવી મૂળભૂત રીતે મહત્વપૂર્ણ છે, જે સમીકરણ ઉકેલવાની શરૂઆતમાં તપાસવામાં આવે છે.

કારણ કે , જે ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણીમાં આવતું નથી, તેથી, સમીકરણ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી.

અર્થ સાથે મૂંઝવણ ન કરવી તે મહત્વપૂર્ણ છે કોષ્ટક મૂલ્યકોસાઇન, સાવચેત રહો!

ટિપ્પણી. ઘણી વાર, ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને પ્રણાલીઓને હલ કરતી સમસ્યાઓમાં, મૂળના અનંત કુટુંબનું નિદર્શન કરતું સામાન્ય ઉકેલ સૂચવવું જરૂરી નથી, પરંતુ મૂલ્યોની ચોક્કસ શ્રેણીમાં આવેલા તેમાંથી માત્ર થોડા જ પસંદ કરવા માટે. ચાલો બિંદુ “c” ના જવાબના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ પગલાંઓ કરીએ.

"c" ને નિર્દેશ કરવા માટે વધારાનું કાર્ય. અંતરાલ સાથે સંબંધિત સમીકરણના મૂળની સંખ્યા સૂચવો અને તેમને સૂચિબદ્ધ કરો.

અમે પહેલાથી જ સામાન્ય ઉકેલ જાણીએ છીએ:

ઉલ્લેખિત અંતરાલ સાથે જોડાયેલા મૂળ સૂચવવા માટે, તેઓને એક પછી એક લખવા જોઈએ, અવેજીમાં ચોક્કસ મૂલ્યોપરિમાણ. અમે , કારણ કે થી શરૂ થતા પૂર્ણાંકોને બદલીશું અમને શૂન્યની નજીકની શ્રેણીમાંથી મૂળમાં રસ છે.

અવેજી પર અમને વધુ મળે છે ઉચ્ચ મૂલ્યરુટ, તેથી આ કરવાનો કોઈ અર્થ નથી. ચાલો હવે નકારાત્મક મૂલ્યોને બદલીએ:

સમાન કારણોસર અવેજી કરવાનો કોઈ અર્થ નથી. તેથી, અમને સમીકરણનું એકમાત્ર મૂળ મળ્યું છે જે ઉલ્લેખિત શ્રેણીથી સંબંધિત છે.

જવાબ આપો. ; ઉલ્લેખિત શ્રેણી સમીકરણના મૂળનું એક મૂલ્ય ધરાવે છે.

સમીકરણોના મૂળના ચોક્કસ મૂલ્યો શોધવાના પ્રશ્નની સમાન રચના અન્ય પ્રકારના કાર્યોમાં પણ મળી શકે છે, આગળ આપણે આમાં સમય બગાડશું નહીં. જરૂરી મૂળની શોધ હંમેશા એ જ રીતે કરવામાં આવશે. કેટલીકવાર આ હેતુ માટે ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનું ચિત્રણ કરવામાં આવે છે. શ્રેણીમાં આવતા બિંદુઓ “a” અને “b” માંથી સમીકરણોના મૂળ વર્તુળ પર કાવતરું કરવાનો પ્રયાસ કરો.

કાર્ય નંબર 3. સમીકરણ ઉકેલો.

ચાલો મૂળ શોધવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ, જેમ કે વ્યાખ્યાનમાં દર્શાવવામાં આવ્યું હતું.

આપણે વર્તુળ પરના ખૂણાઓને અનુરૂપ બિંદુઓ દોરીએ છીએ જેના પર . એવો એક જ ખૂણો છે.

ઉલ્લેખિત બિંદુને અનુરૂપ કોણનું પ્રથમ મૂલ્ય - બિંદુ કિરણ પર સ્થિત છે, જે મૂળ છે. આગળ, ફરીથી એ જ બિંદુ પર જવા માટે, પરંતુ એક અલગ કોણ મૂલ્ય સાથે, તમારે પ્રથમ રુટમાં ઉમેરવાની જરૂર છે અને આગળનું મૂળ મેળવવું પડશે. . આગામી રુટ મેળવવા માટે, તમારે સમાન કામગીરી કરવી આવશ્યક છે, વગેરે.

આમ, અમે એક સામાન્ય ઉકેલ સૂચવી શકીએ છીએ જે દર્શાવે છે કે સમીકરણના તમામ મૂળ મેળવવા માટે, પ્રથમ મૂલ્યમાં કોઈપણ પૂર્ણાંક સંખ્યા ઉમેરવાની જરૂર છે:

ચાલો યાદ કરીએ કે ફોર્મના સમીકરણો સમાન રીતે ઉકેલવામાં આવે છે:

કાર્ય નંબર 4. સમીકરણ ઉકેલો .

જટિલ દલીલની હાજરી એ હકીકતને બદલી શકતી નથી કે સમીકરણ હકીકતમાં, સૌથી સરળ છે, અને ઉકેલ માટેનો અભિગમ એ જ રહે છે. તે માત્ર એટલું જ છે કે હવે તે દલીલ તરીકે કાર્ય કરે છે. અમે તેને સૂત્રમાં લખીએ છીએ સામાન્ય ઉકેલ:

સમસ્યા #5. સમીકરણ ઉકેલો .

સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે અટકાવવું લાક્ષણિક ભૂલઅને સમીકરણની બંને બાજુઓને , કારણકે ઘટાડશો નહીં આ કિસ્સામાં આપણે અનુરૂપ સમીકરણના મૂળ ગુમાવીશું. ઉકેલવા માટે સક્ષમ અભિગમમાં તમામ અભિવ્યક્તિઓને એક બાજુ ખસેડવાનો અને સામાન્ય પરિબળ ઉમેરવાનો સમાવેશ થાય છે.

આ તબક્કે, તે યાદ રાખવું જરૂરી છે કે જો ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર છે, તો આ શક્ય છે જો કોઈ એક પરિબળ શૂન્ય બરાબર, અથવા અન્ય. આમ, આપણું સમીકરણ સમીકરણોના સમૂહમાં ફેરવાય છે:

આપણે પ્રથમ સમીકરણ આ રીતે હલ કરીએ છીએ ખાસ કેસસરળ સમીકરણ. તે જાતે કરો, અમે સમાપ્ત પરિણામ લખીશું. બીજા સમીકરણમાં, અમે તેને જટિલ દલીલ સાથે તેના સરળ સ્વરૂપમાં લાવવાની ક્રિયાઓ કરીશું અને મૂળના સામાન્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેને હલ કરીશું.

કૃપા કરીને આ સૂક્ષ્મતા પર ધ્યાન આપો - જ્યારે રેકોર્ડિંગ કરો સામાન્ય સૂત્રબીજા સમીકરણના મૂળ આપણે બીજા પેરામીટર "" નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ એ હકીકતને કારણે છે કે આપણે સ્વતંત્ર સમીકરણોનો સમૂહ હલ કરી રહ્યા છીએ અને ત્યાં કોઈ હોવું જોઈએ નહીં સામાન્ય પરિમાણો. પરિણામે, અમે ઉકેલોના બે સ્વતંત્ર પરિવારો મેળવીએ છીએ.

જવાબ આપો. ; .

સમસ્યા #6. સમીકરણ ઉકેલો.

સરળ બનાવવા માટે, આપણે ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના ઉત્પાદનને સરવાળામાં રૂપાંતરિત કરવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.

ચાલો કોસાઈનની સમાનતાનો લાભ લઈએ અને સમીકરણની બે બાજુઓમાં સમાન પદને રદ કરીએ.

ચાલો દરેક વસ્તુને એક બાજુએ લઈ જઈએ અને ફંક્શનનું ઉત્પાદન મેળવવા માટે કોસાઈનના તફાવત માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ, જે શૂન્યની બરાબર હશે. ચાલો આ માટે ફોર્મ્યુલા લાગુ કરીએ .

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને આના દ્વારા ઘટાડીએ:

અમે અગાઉના ઉદાહરણમાં મેળવેલા ઉત્પાદન સ્વરૂપમાં સમીકરણ ઘટાડી દીધું છે. અમે સૂચવીએ છીએ કે તમે તેને તમારા માટે તૈયાર કરો. ચાલો અંતિમ જવાબ સૂચવીએ.

સૈદ્ધાંતિક રીતે, આ અંતિમ જવાબ છે. જો કે, તે બે કરતાં વધુ ઉકેલોના એક કુટુંબ તરીકે વધુ સઘન રીતે લખી શકાય છે. પ્રથમ સોલ્યુશન ભાગોના તમામ ક્વાર્ટર્સને સૂચવે છે, અને બીજામાં ભાગોના તમામ ભાગોનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ અર્ધભાગ બે ચતુર્થાંશ હોવાથી, ક્વાર્ટર્સમાં શામેલ છે. આમ, મૂળના બીજા કુટુંબનો પ્રથમમાં સમાવેશ થાય છે, અને અંતિમ જવાબ ઉકેલોના પ્રથમ કુટુંબ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે.

આ દલીલોને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પર પરિણામી મૂળને કાવતરું કરવાનો પ્રયાસ કરો.

જવાબ આપો. અથવા

અમે ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને એક સમીકરણ જોયું, પરંતુ તેમાં વિશાળ વિવિધતા તેમજ પરિવર્તનના પ્રકારો છે. સાર્વત્રિકનો ઉપયોગ કરવા માટેનું સમીકરણ ત્રિકોણમિતિ અવેજી, જેનું ઉદાહરણ અમે છેલ્લા પહેલા પાઠમાં આપ્યું ન હતું, અમે રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિનું વિશ્લેષણ કર્યા પછી વિચારણા કરીશું.

સમસ્યા નંબર 7. સમીકરણ ઉકેલો.

IN આ બાબતેતમારે પહેલા સમીકરણને એકનો ઉપયોગ કરવા માટે ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ ત્રિકોણમિતિ કાર્ય. કારણ કે ત્રિકોણમિતિ એકમનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી વ્યક્ત થાય છે, આપણે સરળતાથી સમીકરણને સાઈન્સમાં ઘટાડી શકીએ છીએ.

ચાલો અભિવ્યક્તિને બદલીએ અમારા સમીકરણમાં:

દરેક વસ્તુને એક કાર્યમાં ઘટાડવામાં આવી હોવાથી, અમે રિપ્લેસમેન્ટ કરી શકીએ છીએ: .

અમે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવ્યું છે જે તમારા માટે અનુકૂળ કોઈપણ રીતે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને તે મેળવવાનું સરળ છે:

પ્રથમ સમીકરણમાં કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે સાઈન મૂલ્ય બહાર છે માન્ય વિસ્તાર.

અમે સૂચવીએ છીએ કે તમે બીજા સમીકરણ જાતે ઉકેલો, કારણ કે... આ સરળ સમીકરણોના વિશિષ્ટ કેસોનો પ્રકાર છે જે આપણે પહેલાથી જ ધ્યાનમાં લીધા છે. ચાલો તેના મૂળ લખીએ:

જવાબ આપો. .

સમસ્યા નંબર 8. સમીકરણ ઉકેલો.

આ સમીકરણમાં, ઉકેલની પદ્ધતિઓ કે જે આપણે પહેલાથી જ ધ્યાનમાં લીધી છે તે તરત જ દેખાતી નથી. આવા કિસ્સાઓમાં, તમારે સાર્વત્રિક ત્રિકોણમિતિ અવેજીનાં સૂત્રો લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ, જે સમીકરણને એક કાર્યમાં ઘટાડવામાં મદદ કરશે.

ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ: અને , જે સમગ્ર સમીકરણને લાવશે.

હવે તે સ્પષ્ટ છે કે રિપ્લેસમેન્ટ કરવું શક્ય છે.

ચાલો અપૂર્ણાંક ઉમેરીએ અને સમીકરણની બંને બાજુઓને છેદ વડે ગુણાકાર કરીએ, કારણ કે તે શૂન્ય બરાબર નથી.

અમે પહેલાથી જ ચર્ચા કરેલ ફોર્મમાં સમીકરણ ઘટાડી દીધું છે, એટલે કે. પરિબળોના ઉત્પાદન માટે, જે શૂન્યની બરાબર છે.

ચાલો વિપરીત અવેજી કરીએ:

ઉકેલોના બંને પરિણામી પરિવારોને સરળતાથી એકમાં જોડી શકાય છે:

જવાબ આપો. .

સમસ્યા નંબર 9. સમીકરણ ઉકેલો. તમારા જવાબમાં, માત્ર એવા મૂળ પ્રદાન કરો કે જે નાં ગુણાંકમાં હોય.

દર્શાવેલ સમીકરણ સાઈન અથવા કોસાઈનમાં ઘટાડા પછી વધુ જટિલ બને છે, કારણ કે કોઈ વ્યક્તિ ત્રિકોણમિતિ એકમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માંગે છે. તેથી, બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે.

અમે સૂચવેલા સમીકરણને સજાતીય કહ્યા છે, આ તે સમીકરણોને આપવામાં આવેલ નામ છે જેમાં, અજાણ્યા કાર્યો અથવા ચલોને ફરીથી ગોઠવ્યા પછી, કંઈપણ બદલાશે નહીં. સાઈન અને કોસાઈનને સ્વેપ કરો અને તમે જોશો કે આ અમારો કેસ છે.

સજાતીય સમીકરણો ફંક્શનની સર્વોચ્ચ શક્તિ દ્વારા બંને બાજુઓને વિભાજીત કરીને ઉકેલવામાં આવે છે. અમારા કિસ્સામાં તે ક્યાં તો છે અથવા. અમે અમને સૌથી વધુ ગમે તે પસંદ કરીએ છીએ અને તેના દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુઓને વિભાજીત કરીએ છીએ. ચાલો આને ઉદાહરણ તરીકે લઈએ. આ કિસ્સામાં, તે તપાસવું આવશ્યક છે કે શું આવા વિભાજન દરમિયાન આપણે અનુરૂપ મૂળ ગુમાવીશું નહીં, એટલે કે. . આ કરવા માટે, પ્રથમ મૂળ સમીકરણમાં અવેજી કરો.

અમે ઓળખ મેળવી નથી, તેથી અમારા સમીકરણના મૂળ અનુરૂપ રહેશે નહીં.

હવે આપણે સુરક્ષિત રીતે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:

અમે સમીકરણને અવેજીમાં ઘટાડી દીધું છે, અને ઉકેલની આ પદ્ધતિ પહેલાથી જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી છે. જેમ જેમ તેઓ કહે છે, "ચાલો કીટલીમાંથી પાણી રેડીએ" અને સમસ્યાને પહેલાથી જ જાણીતી વસ્તુમાં ઘટાડો. આગળ જાતે નક્કી કરો. અમે અંતિમ જવાબ સૂચવીશું:

સમસ્યાના નિવેદનમાં અમારે માત્ર બહુવિધ મૂળ સૂચવવાની જરૂર હોવાથી, અમે જવાબ તરીકે ઉકેલોના પ્રથમ કુટુંબને જ લખીશું.

સમસ્યા નંબર 10. સમીકરણ ઉકેલો .

આ સમીકરણ આશ્ચર્યજનક છે કારણ કે તેમાં બે અજાણ્યા છે, અને જેમ આપણે જાણીએ છીએ, તે આમાં ઉકેલી શકાય છે સામાન્ય કેસઆવા સમીકરણ અશક્ય છે. બીજી સમસ્યા એ છે કે આ સમીકરણ અગાઉ ચર્ચા કરાયેલા તમામ કરતાં મૂળભૂત રીતે અલગ છે, કારણ કે તેમાં અજ્ઞાત માત્ર ત્રિકોણમિતિ કાર્યની દલીલમાં જ નથી.

તેને ઉકેલવા માટે, ચાલો ફંક્શનના ગુણધર્મો પર ધ્યાન આપીએ જે ડાબી અને જમણી બાજુએ સમાન છે. ખાસ કરીને, અમને રસ છે કે આ કાર્યો કયા મૂલ્યો સુધી મર્યાદિત છે.

કોસાઇન માટે આપણે મૂલ્યોની શ્રેણી જાણીએ છીએ:

ચતુર્ભુજ કાર્ય માટે:

આના પરથી આપણે તારણ કાઢી શકીએ કે આ અભિવ્યક્તિઓ માત્ર એક જ હોઈ શકે છે સામાન્ય અર્થ, જ્યારે તેમાંથી દરેક 1 સમાન હોય છે. અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

બંને સમીકરણો સ્વતંત્ર હોવાનું બહાર આવ્યું છે અને દરેકમાં એક ચલ સમાવિષ્ટ છે, તેથી તે અમને પહેલેથી જ જાણીતી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

અલબત્ત, આ પદ્ધતિ સ્પષ્ટ નથી, અને કાર્ય કાર્યો સાથે સંબંધિત છે વધેલી જટિલતા. આ પદ્ધતિકેટલીકવાર "મિની-મેક્સ" કહેવાય છે, કારણ કે લઘુત્તમ ની સમાનતા અને મહત્તમ મૂલ્યકાર્યો

હવે આપણે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની અલગથી પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીશું. તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ પ્રમાણભૂત છે, અમે ફક્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના રૂપાંતરણ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીશું. ચાલો આવી સિસ્ટમોના સૌથી સામાન્ય પ્રકારો જોઈએ.

સમસ્યા નંબર 11. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો .

અમે અવેજી પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલીએ છીએ, એક સરળ રેખીય સમીકરણમાંથી વ્યક્ત કરીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, અને તેને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

બીજા સમીકરણમાં આપણે સાઈનનો સમયગાળો શું છે તેનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, એટલે કે. તેને દૂર કરી શકાય છે, અને સાઈન વિચિત્ર કાર્ય, એટલે કે તેમાંથી માઈનસ લેવામાં આવે છે.

ઉમેરા સૂત્ર મુજબ હાર્મોનિક સ્પંદનોઆપણે બીજા સમીકરણને એક ત્રિકોણમિતિ કાર્યમાં ઘટાડીએ છીએ. આ રૂપાંતરણો જાતે અજમાવી જુઓ.

ચાલો પરિણામી ઉકેલને અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ:

આ કિસ્સામાં, અમે ઉકેલોના બંને પરિવારો માટે સમાન પરિમાણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, કારણ કે તેઓ એકબીજા પર નિર્ભર છે.

સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોની સિસ્ટમો.

સમસ્યા નંબર 12. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો .

સિસ્ટમમાં બંને સમીકરણો સૌથી સરળ સમીકરણોના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ છે, અમે તેમને કેવી રીતે હલ કરવું તે જાણીએ છીએ, અને સિસ્ટમ ઝડપથી રેખીય થઈ જાય છે.

બંને સમીકરણોમાં પરિમાણો અલગ છે, કારણ કે અમે સમીકરણોને એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે હલ કર્યા અને ચલો હજી એક બીજા દ્વારા વ્યક્ત થયા ન હતા.

હવે નક્કી કરીએ રેખીય સિસ્ટમઅવેજી અથવા વધારાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, જેમ તમે પસંદ કરો છો, આ પગલાંઓ જાતે કરો. ચાલો અંતિમ પરિણામ સૂચવીએ.

જ્યારે ચલો એકસાથે બે પરિમાણો પર આધારિત હોય ત્યારે સિસ્ટમના સોલ્યુશનના રેકોર્ડિંગ પર ધ્યાન આપો. બહાર લખવા માટે સંખ્યાત્મક મૂલ્યોઆ કિસ્સામાં, પરિમાણોના તમામ પૂર્ણાંક મૂલ્યો કે જે એકબીજા પર આધાર રાખતા નથી તે બદલામાં બદલવામાં આવે છે.

પાઠના આ વ્યવહારિક ભાગમાં, અમે કેટલાક લાક્ષણિક ઉદાહરણો જોયા જેમાં અમે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને તેમની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ દર્શાવી.

પાઠ 54-55. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોની પ્રણાલીઓ ( વૈકલ્પિક પ્રવૃત્તિ)

લક્ષ્ય: સૌથી વધુ ધ્યાનમાં લો લાક્ષણિક સિસ્ટમોત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

I. પાઠના વિષય અને હેતુ વિશે વાતચીત કરવી

II. આવરી લેવામાં આવેલ સામગ્રીનું પુનરાવર્તન અને એકીકરણ

1. વિશે પ્રશ્નોના જવાબો ગૃહ કાર્ય(વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ).

2. સામગ્રીના એસિમિલેશનનું નિરીક્ષણ કરવું (સ્વતંત્ર કાર્ય).

વિકલ્પ 1

અસમાનતા ઉકેલો:

વિકલ્પ 2

અસમાનતા ઉકેલો:

III. નવી સામગ્રી શીખવી

પરીક્ષાઓમાં, ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોની સિસ્ટમો ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને અસમાનતાઓ કરતાં ઘણી ઓછી સામાન્ય છે. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોની સિસ્ટમોનું કોઈ સ્પષ્ટ વર્ગીકરણ નથી. તેથી, અમે તેમને શરતી રીતે જૂથોમાં વહેંચીશું અને આ સમસ્યાઓ હલ કરવાની રીતો પર વિચાર કરીશું.

1. સમીકરણોની સરળ સિસ્ટમો

આમાં એવી પ્રણાલીઓનો સમાવેશ થાય છે કે જેમાં કોઈ એક સમીકરણ રેખીય હોય અથવા સિસ્ટમના સમીકરણો એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલી શકાય.

ઉદાહરણ 1

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ

પ્રથમ સમીકરણ રેખીય હોવાથી, આપણે તેમાંથી ચલ વ્યક્ત કરીએ છીએઅને બીજા સમીકરણમાં બદલો:અમે ઘટાડો સૂત્ર અને મૂળભૂત ઉપયોગ ત્રિકોણમિતિ ઓળખ. અમને સમીકરણ મળે છેઅથવા ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ t = પાપ u આપણી પાસે ચતુર્ભુજ સમીકરણ 3 છેટી 2 - 7 ટી + 2 = 0, જેના મૂળ t 1 = 1/3 અને t 2 = 2 (કારણ કે યોગ્ય નથીપાપ y ≤ 1). ચાલો જૂના અજાણ્યા પર પાછા ફરીએ અને સમીકરણ મેળવીએસિની = 1/3, જેનો ઉકેલહવે અજાણ્યાને શોધવાનું સરળ છે:તેથી, સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ઉકેલો છેજ્યાં n ∈ Z.

ઉદાહરણ 2

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ

સિસ્ટમના સમીકરણો સ્વતંત્ર છે. તેથી, આપણે દરેક સમીકરણના ઉકેલો લખી શકીએ. અમને મળે છે:ચાલો આ સિસ્ટમ ટર્મના સમીકરણોને ટર્મ દ્વારા ઉમેરીએ અને બાદ કરીએ રેખીય સમીકરણોઅને શોધો:જ્યાં

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે સમીકરણોની સ્વતંત્રતાને લીધે, x - y અને x + y શોધતી વખતે, વિવિધ પૂર્ણાંકોનો ઉલ્લેખ કરવો આવશ્યક છે. n અને k. જો k બદલે પણ પૂરી પાડવામાં આવી હતી n , પછી ઉકેલો આના જેવા દેખાશે:આ કિસ્સામાં તે ખોવાઈ જશે અનંત સમૂહનિર્ણયો અને વધુમાં, ચલો વચ્ચે જોડાણ હશે x અને y: x = 3y (જે વાસ્તવિકતામાં નથી). ઉદાહરણ તરીકે, તે તપાસવું સરળ છે આ સિસ્ટમ x = 5π અને y = n ઉકેલ ધરાવે છે (મેળવેલ સૂત્રો અનુસાર), જે જ્યારે k = n શોધવું અશક્ય છે. તેથી સાવચેત રહો.

2. પ્રકાર સિસ્ટમો

સમીકરણો ઉમેરી અને બાદબાકી કરીને આવી પ્રણાલીઓને સરળમાં ઘટાડવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં અમે સિસ્ટમો મેળવીએ છીએઅથવા ચાલો એક સ્પષ્ટ મર્યાદા નોંધીએ:અને આવી સિસ્ટમોનો ઉકેલ પોતે જ કોઈ મુશ્કેલીઓ રજૂ કરતું નથી.

ઉદાહરણ 3

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ

ચાલો પહેલા સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને બદલીએઅમને મળે છે: ચાલો પ્રથમ સમીકરણને આ અપૂર્ણાંકના અંશમાં બદલીએ:અને વ્યક્ત કરો હવે આપણી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છેચાલો આ સમીકરણો ઉમેરી અને બાદ કરીએ. અમારી પાસે: અથવાચાલો આ સરળ સિસ્ટમના ઉકેલો લખીએ:આ રેખીય સમીકરણો ઉમેરીને અને બાદબાકી કરવાથી આપણને મળે છે:

3. પ્રકાર સિસ્ટમો

આવી સિસ્ટમોને સૌથી સરળ ગણી શકાય અને તે મુજબ ઉકેલી શકાય. જો કે, તેને હલ કરવાની બીજી રીત છે: ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના સરવાળાને ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરો અને બાકીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરો.

ઉદાહરણ 4

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ

સૌપ્રથમ, આપણે ખૂણાઓના સાઈનના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ સમીકરણને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. અમને મળે છે:બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, અમારી પાસે છે:જ્યાં ચાલો આ સમીકરણના ઉકેલો લખીએ:આ સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને ધ્યાનમાં લેતા, અમે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએઆ સિસ્ટમમાંથી આપણે શોધીએ છીએ આવા ઉકેલો વધુ લખવા માટે અનુકૂળ છે તર્કસંગત સ્વરૂપ. ઉપલા ચિહ્નો માટે અમારી પાસે છે:નીચલા ચિહ્નો માટે -

4. પ્રકાર સિસ્ટમો

સૌ પ્રથમ, માત્ર એક અજ્ઞાત સમીકરણ મેળવવું જરૂરી છે. આ કરવા માટે, ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો એક સમીકરણમાંથી વ્યક્ત કરીએ sin y, બીજાથી - cos u ચાલો આ ગુણોત્તરોનો વર્ગ કરીએ અને તેમને ઉમેરીએ. પછી આપણને અજ્ઞાત x ધરાવતું ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ મળે છે. ચાલો આ સમીકરણ ઉકેલીએ. પછી, આ સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, આપણે અજ્ઞાત y શોધવા માટે એક સમીકરણ મેળવીએ છીએ.

ઉદાહરણ 5

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ

ચાલો ફોર્મમાં સિસ્ટમ લખીએચાલો સિસ્ટમના દરેક સમીકરણનો વર્ગ કરીએ અને મેળવીએ:ચાલો આ સિસ્ટમના સમીકરણો ઉમેરીએ:અથવા મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખનો ઉપયોગ કરીને, અમે ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ છીએઅથવા આ સમીકરણના ઉકેલો cos x = 1/2 (પછી ) અને cos x = 1/4 (ક્યાંથી ), જ્યાં n, k ∈ Z . અજાણ્યાઓ વચ્ચેના જોડાણને ધ્યાનમાં લેતા cos y = 1 – 3 cos x, આપણને મળે છે: cos x = 1/2 cos y = -1/2 માટે; cos x = 1/4 cos y માટે = 1/4. તે યાદ રાખવું આવશ્યક છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરતી વખતે, સ્ક્વેરિંગ હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું અને આ કામગીરી દેખાવ તરફ દોરી શકે છે. બાહ્ય મૂળ. તેથી, આ સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે જથ્થા sin x અને sin y પાસે સમાન ચિહ્ન હોવું આવશ્યક છે.

આને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે સમીકરણોની આ સિસ્ટમના ઉકેલો મેળવીએ છીએઅને જ્યાં n, m, k, l ∈ Z . આ કિસ્સામાં, અજાણ્યા x અને y માટે, કાં તો ઉપલા અથવા નીચલા ચિહ્નો એકસાથે પસંદ કરવામાં આવે છે.

ખાસ કિસ્સામાંસિસ્ટમને ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના સરવાળા (અથવા તફાવત)ને ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરીને અને પછી સમીકરણો શબ્દને પદ દ્વારા વિભાજીત કરીને ઉકેલી શકાય છે.

ઉદાહરણ 6

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ

દરેક સમીકરણમાં, આપણે ફંક્શનના સરવાળા અને તફાવતને ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ અને દરેક સમીકરણને 2 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ. આપણને મળે છે:સમીકરણોની ડાબી બાજુઓ પર એક પણ પરિબળ શૂન્ય સમાન ન હોવાથી, આપણે સમીકરણો શબ્દને પદ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ દ્વારા બીજો). અમને મળે છે:જ્યાં ચાલો મળેલ મૂલ્યને બદલીએઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ સમીકરણમાં:ચાલો તે ધ્યાનમાં લઈએ પછી જ્યાં

અમે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીઆ સિસ્ટમના સમીકરણો ઉમેરીને અને બાદબાકી કરીને, આપણે શોધીએ છીએઅને જ્યાં n, k ∈ Z.

5. સિસ્ટમો અજ્ઞાતને બદલીને ઉકેલી

જો સિસ્ટમમાં ફક્ત બે ત્રિકોણમિતિ વિધેયો હોય અથવા તેને આ ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય, તો તે અજ્ઞાતની બદલીનો ઉપયોગ કરવા માટે અનુકૂળ છે.

ઉદાહરણ 7

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ

આ સિસ્ટમમાં માત્ર બે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો સમાવેશ થતો હોવાથી, અમે નવા ચલ a = રજૂ કરીએ છીએ tan x અને b = sin u અમે બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએપ્રથમ સમીકરણથી આપણે a = વ્યક્ત કરીએ છીએ b + 3 અને બીજામાં બદલો:અથવા આ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ b 1 = 1 અને b 2 = -4. અનુરૂપ મૂલ્યો a1 = 4 અને a2 = -1 છે. ચાલો જૂના અજાણ્યાઓ પર પાછા ફરીએ. અમે સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોની બે સિસ્ટમો મેળવીએ છીએ:

એ) તેણીનો નિર્ણય જ્યાં n, k ∈ Z.

b) કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે sin y ≥ -1.

ઉદાહરણ 8

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ

ચાલો સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને રૂપાંતરિત કરીએ જેથી તેમાં માત્ર ફંક્શન જ હોય sin x અને cos u આ કરવા માટે, અમે ઘટાડો ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમને મળે છે:(ક્યાં ) અને (પછી ). સિસ્ટમના બીજા સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:અથવા અમે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીચાલો નવા ચલોનો પરિચય કરીએ a = sin x અને b = cos u આપણી પાસે સમીકરણોની સપ્રમાણ પદ્ધતિ છે માત્ર નિર્ણયજે a = b = 1/2. ચાલો જૂના અજાણ્યાઓ પર પાછા જઈએ અને મેળવીએ સૌથી સરળ સિસ્ટમત્રિકોણમિતિ સમીકરણોજેનો ઉકેલ જ્યાં n, k ∈ Z.

6. સિસ્ટમો જેના માટે સમીકરણોની વિશેષતાઓ મહત્વપૂર્ણ છે

લગભગ કોઈપણ સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરતી વખતે, તેની એક અથવા બીજી વિશેષતાઓનો ઉપયોગ થાય છે. ખાસ કરીને, સૌથી વધુ એક સામાન્ય તકનીકોસિસ્ટમના ઉકેલો સમાન પરિવર્તનો છે જે ફક્ત એક જ અજ્ઞાત સમીકરણ મેળવવાનું શક્ય બનાવે છે. પરિવર્તનની પસંદગી, અલબત્ત, સિસ્ટમ સમીકરણોની વિશિષ્ટતાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 9

ચાલો સિસ્ટમ હલ કરીએ

ચાલો આપણે સમીકરણોની ડાબી બાજુઓ પર ધ્યાન આપીએ, ઉદાહરણ તરીકેરિડક્શન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને, અમે તેને દલીલ π/4 + x સાથે ફંક્શન બનાવીએ છીએ. અમને મળે છે:પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ આના જેવી દેખાય છે:ચલ x નાબૂદ કરવા માટે, આપણે સમીકરણો શબ્દને ટર્મ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:અથવા 1 = sin 3 2у, જ્યાંથી sin 2у = 1. આપણે શોધીએ છીએ અને સમાન અને વિષમ મૂલ્યોના કેસોને અલગથી ધ્યાનમાં લેવાનું અનુકૂળ છે n સમ n (n = 2 k, જ્યાં k ∈ Z) માટે પછી આ સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ:જ્યાં m ∈ Z. વિષમ માટે પછી પ્રથમ સમીકરણથી આપણી પાસે છે:તેથી, આ સિસ્ટમમાં ઉકેલો છે

સમીકરણોના કિસ્સામાં, ઘણી વખત સમીકરણોની પ્રણાલીઓ હોય છે જેમાં સાઈન અને કોસાઈન કાર્યોની મર્યાદિત પ્રકૃતિ નોંધપાત્ર ભૂમિકા ભજવે છે.

ઉદાહરણ 10

ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ

સૌ પ્રથમ, અમે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને બદલીએ છીએ:અથવા અથવા અથવા અથવા સાઈન ફંક્શનની મર્યાદિત પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે જોઈએ છીએ કે સમીકરણની ડાબી બાજુ 2 કરતા ઓછી નથી, અને જમણો ભાગ 2 થી વધુ નહીં. તેથી, આવા સમીકરણ શરતોની સમકક્ષ છે sin 2 2x = 1 અને sin 2 y = 1.

અમે ફોર્મમાં સિસ્ટમનું બીજું સમીકરણ લખીએ છીએ sin 2 y = 1 - cos 2 z અથવા sin 2 y = sin 2 z, અને પછી sin 2 z = 1. અમે સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવી છેડિગ્રી ઘટાડવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે ફોર્મમાં સિસ્ટમ લખીએ છીએઅથવા પછી

અલબત્ત, ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોની અન્ય પ્રણાલીઓને હલ કરતી વખતે, આ સમીકરણોની વિશેષતાઓ પર ધ્યાન આપવું પણ જરૂરી છે.

સામગ્રી ડાઉનલોડ કરો

સામગ્રીના સંપૂર્ણ ટેક્સ્ટ માટે ડાઉનલોડ કરવા યોગ્ય ફાઇલ જુઓ.
પૃષ્ઠમાં સામગ્રીનો માત્ર એક ભાગ છે.

સમાપ્ત થયેલ કામો

ડીગ્રી વર્ક્સ

ઘણું બધું પસાર થઈ ગયું છે અને હવે તમે સ્નાતક છો, જો, અલબત્ત, તમે સમયસર તમારો થીસીસ લખો છો. પરંતુ જીવન એક એવી વસ્તુ છે કે ફક્ત હવે તમને તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે કે, વિદ્યાર્થી બનવાનું બંધ કર્યા પછી, તમે વિદ્યાર્થીની બધી ખુશીઓ ગુમાવશો, જેમાંથી ઘણા તમે ક્યારેય પ્રયાસ કર્યા નથી, બધું બંધ કરી દીધું છે અને પછી સુધી તેને મુલતવી રાખશો. અને હવે, પકડવાને બદલે, તમે તમારા થીસીસ પર કામ કરી રહ્યા છો? એક ઉત્તમ ઉકેલ છે: અમારી વેબસાઇટ પરથી તમને જોઈતી થીસીસ ડાઉનલોડ કરો - અને તમારી પાસે તરત જ ઘણો ખાલી સમય હશે!
કઝાકિસ્તાન પ્રજાસત્તાકની અગ્રણી યુનિવર્સિટીઓમાં થીસીસનો સફળતાપૂર્વક બચાવ કરવામાં આવ્યો છે.
20,000 ટેંગેથી કામની કિંમત

કોર્સ વર્ક્સ

કોર્સ પ્રોજેક્ટ એ પ્રથમ ગંભીર વ્યવહારુ કાર્ય છે. તે અભ્યાસક્રમના લેખન સાથે છે કે વિકાસ માટેની તૈયારી શરૂ થાય છે. ગ્રેજ્યુએશન પ્રોજેક્ટ્સ. જો કોઈ વિદ્યાર્થી વિષયની સામગ્રીને યોગ્ય રીતે રજૂ કરવાનું શીખે છે કોર્સ પ્રોજેક્ટઅને તેને યોગ્ય રીતે દોરો, પછી ભવિષ્યમાં તેને અહેવાલો લખવામાં અથવા દોરવામાં સમસ્યા નહીં હોય થીસીસ, કે અન્યના અમલીકરણ સાથે વ્યવહારુ કાર્યો. વિદ્યાર્થીઓને આ પ્રકારના વિદ્યાર્થી કાર્યને લખવામાં મદદ કરવા અને તેની તૈયારી દરમિયાન ઉદ્ભવતા પ્રશ્નોની સ્પષ્ટતા કરવા માટે, હકીકતમાં, આ માહિતી વિભાગ બનાવવામાં આવ્યો હતો.
2,500 ટેંગેથી કામની કિંમત

માસ્ટર્સ ડિસર્ટેશન્સ

હાલમાં ઉચ્ચમાં છે શૈક્ષણિક સંસ્થાઓકઝાકિસ્તાન અને સીઆઈએસ દેશોમાં, ઉચ્ચ શિક્ષણનું સ્તર ખૂબ સામાન્ય છે વ્યાવસાયિક શિક્ષણ, જે સ્નાતકની ડિગ્રીને અનુસરે છે - માસ્ટર ડિગ્રી. માસ્ટર પ્રોગ્રામમાં, વિદ્યાર્થીઓ માસ્ટર ડિગ્રી મેળવવાના ઉદ્દેશ્ય સાથે અભ્યાસ કરે છે, જે વિશ્વના મોટાભાગના દેશોમાં સ્નાતકની ડિગ્રી કરતાં વધુ માન્ય છે, અને વિદેશી નોકરીદાતાઓ દ્વારા પણ માન્યતા પ્રાપ્ત છે. માસ્ટરના અભ્યાસનું પરિણામ સંરક્ષણ છે માસ્ટરની થીસીસ.
અમે તમને અપ-ટૂ-ડેટ વિશ્લેષણાત્મક અને ટેક્સ્ટ સામગ્રી પ્રદાન કરીશું, કિંમતમાં 2 શામેલ છે વિજ્ઞાન લેખોઅને અમૂર્ત.
35,000 ટેંગેથી કામની કિંમત

પ્રેક્ટિસ રિપોર્ટ્સ

કોઈપણ પ્રકારની સ્ટુડન્ટ ઇન્ટર્નશિપ (શૈક્ષણિક, ઔદ્યોગિક, પ્રી-ગ્રેજ્યુએશન) પૂર્ણ કર્યા પછી, એક રિપોર્ટ આવશ્યક છે. આ દસ્તાવેજની પુષ્ટિ થશે વ્યવહારુ કામવિદ્યાર્થી અને અભ્યાસ માટે મૂલ્યાંકન બનાવવાનો આધાર. સામાન્ય રીતે, ઇન્ટર્નશીપ પર અહેવાલ તૈયાર કરવા માટે, એન્ટરપ્રાઇઝ વિશેની માહિતી એકત્રિત કરવી અને તેનું વિશ્લેષણ કરવું જરૂરી છે, જે સંસ્થામાં ઇન્ટર્નશિપ થઈ રહી છે તેની રચના અને કાર્યની દિનચર્યાને ધ્યાનમાં લેવી અને કમ્પાઇલ કરવું જરૂરી છે. કૅલેન્ડર યોજનાઅને તમારું વર્ણન કરો વ્યવહારુ પ્રવૃત્તિઓ.
ચોક્કસ એન્ટરપ્રાઇઝની પ્રવૃત્તિઓની વિશિષ્ટતાઓને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે તમારી ઇન્ટર્નશિપ પર રિપોર્ટ લખવામાં મદદ કરીશું.

જ્યારે ઘણા ઉકેલો ગાણિતિક સમસ્યાઓ , ખાસ કરીને તે કે જે ધોરણ 10 પહેલાં થાય છે, કરવામાં આવતી ક્રિયાઓનો ક્રમ જે ધ્યેય તરફ દોરી જશે તે સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. આવી સમસ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, રેખીય અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો, રેખીય અને ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓ, અપૂર્ણાંક સમીકરણોઅને સમીકરણો જે ઘટાડીને ચતુર્ભુજમાં આવે છે. દરેક ઉલ્લેખિત સમસ્યાઓને સફળતાપૂર્વક હલ કરવાનો સિદ્ધાંત નીચે મુજબ છે: તમારે સ્થાપિત કરવાની જરૂર છે કે તમે કયા પ્રકારની સમસ્યા હલ કરી રહ્યાં છો, ક્રિયાઓનો આવશ્યક ક્રમ યાદ રાખો જે ઇચ્છિત પરિણામ તરફ દોરી જશે, એટલે કે. જવાબ આપો અને આ પગલાં અનુસરો.

તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈ ચોક્કસ સમસ્યાને ઉકેલવામાં સફળતા અથવા નિષ્ફળતા મુખ્યત્વે તેના પર નિર્ભર કરે છે કે કેવી રીતે યોગ્ય રીતે સમીકરણનો પ્રકાર નક્કી કરવામાં આવે છે, તેના ઉકેલના તમામ તબક્કાઓનો ક્રમ કેવી રીતે યોગ્ય રીતે પુનઃઉત્પાદિત થાય છે. અલબત્ત, પ્રદર્શન કરવા માટે કુશળતા હોવી જરૂરી છે ઓળખ પરિવર્તનઅને કમ્પ્યુટિંગ.

સાથે પરિસ્થિતિ અલગ છે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો.સમીકરણ ત્રિકોણમિતિ છે તે હકીકત સ્થાપિત કરવી બિલકુલ મુશ્કેલ નથી. ક્રિયાઓનો ક્રમ નક્કી કરતી વખતે મુશ્કેલીઓ ઊભી થાય છે જે સાચા જવાબ તરફ દોરી જશે.

દ્વારા દેખાવસમીકરણ ક્યારેક તેનો પ્રકાર નક્કી કરવું મુશ્કેલ હોય છે. અને સમીકરણના પ્રકારને જાણ્યા વિના, કેટલાક ડઝન ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોમાંથી યોગ્ય પસંદ કરવાનું લગભગ અશક્ય છે.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ ઉકેલવા માટે, તમારે પ્રયાસ કરવાની જરૂર છે:

1. સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ તમામ કાર્યોને "સમાન ખૂણા" પર લાવો;
2. સમીકરણને "સમાન કાર્યો" પર લાવો;
3. પ્રગટ કરો ડાબી બાજુફેક્ટરિંગ સમીકરણો, વગેરે.

ચાલો વિચાર કરીએ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ.

I. સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોમાં ઘટાડો

સોલ્યુશન ડાયાગ્રામ

પગલું 1.જાણીતા ઘટકોના સંદર્ભમાં ત્રિકોણમિતિ કાર્યને વ્યક્ત કરો.

પગલું 2.સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શન દલીલ શોધો:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = આર્ક્ટન a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

પગલું 3.અજ્ઞાત ચલ શોધો.

ઉદાહરણ.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

ઉકેલ.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

જવાબ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ

સોલ્યુશન ડાયાગ્રામ

પગલું 1.સુધી સમીકરણ ઘટાડવું બીજગણિત સ્વરૂપત્રિકોણમિતિ કાર્યોમાંના એકને સંબંધિત.

પગલું 2.ચલ t દ્વારા પરિણામી કાર્ય દર્શાવો (જો જરૂરી હોય તો, t પર પ્રતિબંધો દાખલ કરો).

પગલું 3.પરિણામી બીજગણિતીય સમીકરણ લખો અને હલ કરો.

પગલું 4.રિવર્સ રિપ્લેસમેન્ટ કરો.

પગલું 5.સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ ઉકેલો.

ઉદાહરણ.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

ઉકેલ.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) ચાલો sin (x/2) = t, જ્યાં |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 અથવા e = -3/2, શરતને સંતોષતું નથી |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

જવાબ: x = π + 4πn, n Є Z.

III. સમીકરણ ઓર્ડર ઘટાડવાની પદ્ધતિ

સોલ્યુશન ડાયાગ્રામ

પગલું 1.બદલો આપેલ સમીકરણરેખીય, ડિગ્રી ઘટાડવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

પગલું 2.પદ્ધતિ I અને II નો ઉપયોગ કરીને પરિણામી સમીકરણ ઉકેલો.

ઉદાહરણ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

ઉકેલ.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

જવાબ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. સજાતીય સમીકરણો

સોલ્યુશન ડાયાગ્રામ

પગલું 1.આ સમીકરણને ફોર્મમાં ઘટાડો

a) a sin x + b cos x = 0 ( સજાતીય સમીકરણપ્રથમ ડિગ્રી)

અથવા દૃશ્ય માટે

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (બીજી ડિગ્રીનું સજાતીય સમીકરણ).

પગલું 2.દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુઓને વિભાજીત કરો

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

અને tan x માટે સમીકરણ મેળવો:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

પગલું 3.જાણીતી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલો.

ઉદાહરણ.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

ઉકેલ.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) ચાલો tg x = t, પછી

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 અથવા t = -4, જેનો અર્થ થાય છે

tg x = 1 અથવા tg x = -4.

પ્રથમ સમીકરણ x = π/4 + πn, n Є Z; બીજા સમીકરણ x = -arctg 4 + માંથી πk, k Є Z.

જવાબ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને રૂપાંતરિત કરવાની પદ્ધતિ

સોલ્યુશન ડાયાગ્રામ

પગલું 1.તમામ પ્રકારના ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો, આ સમીકરણને I, II, III, IV પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલવામાં આવેલા સમીકરણમાં ઘટાડો.

પગલું 2.જાણીતી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને પરિણામી સમીકરણ ઉકેલો.

ઉદાહરણ.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

ઉકેલ.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 અથવા 2cos x + 1 = 0;

પ્રથમ સમીકરણ 2x = π/2 + πn, n Є Z; બીજા થી cos સમીકરણો x = -1/2.

આપણી પાસે x = π/4 + πn/2, n Є Z; બીજા સમીકરણમાંથી x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

પરિણામે, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

જવાબ: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવાની ક્ષમતા અને કૌશલ્ય ખૂબ જ છે મહત્વપૂર્ણ, તેમના વિકાસ માટે વિદ્યાર્થી અને શિક્ષક બંને તરફથી નોંધપાત્ર પ્રયત્નોની જરૂર છે.

સ્ટીરિયોમેટ્રી, ભૌતિકશાસ્ત્ર વગેરેની ઘણી સમસ્યાઓ ત્રિકોણમિતિના સમીકરણોના ઉકેલ સાથે સંકળાયેલી છે.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો લે છે મહત્વપૂર્ણ સ્થાનસામાન્ય રીતે ગણિત અને વ્યક્તિત્વ વિકાસ શીખવવાની પ્રક્રિયામાં.

હજુ પણ પ્રશ્નો છે? ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે ખબર નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે, નોંધણી કરો.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

આપણા જીવનમાં સમીકરણોનો ઉપયોગ વ્યાપક છે. તેઓ ઘણી ગણતરીઓ, માળખાના નિર્માણ અને રમતગમતમાં પણ ઉપયોગમાં લેવાય છે. માણસ પ્રાચીન સમયમાં સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતો હતો, અને ત્યારથી તેનો ઉપયોગ વધ્યો છે. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો એ તમામ સમીકરણો છે જેમાં ત્રિકોણમિતિ કાર્યની નિશાની હેઠળ ચલનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે: \[\sin x= a, \cos x = b\]. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવાથી નીચેના પેટા કાર્યો થાય છે:

* સમીકરણ ઉકેલવા;

* મૂળની પસંદગી.

આવા સમીકરણોમાં જવાબ આ રીતે લખાયેલ છે:

ડિગ્રી;

રેડિયન.

ઉકેલવું આ પ્રકારનીસમીકરણો, સમીકરણને એક/કેટલાક મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોમાં રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી છે: \[\sin x = a; \cos x = a: \tan x = a; \cot x = a.\] અને આવા મૂળભૂત સમીકરણોનો ઉકેલ એ રૂપાંતરણ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવો અથવા એકમ વર્તુળ પર \[x\] ની સ્થિતિ શોધવાનો છે.

ઉદાહરણ તરીકે, આપેલ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો જે નીચેના સ્વરૂપના રૂપાંતરણ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે:

\[\tan (x - \pi/4) = 0\]

જવાબ: \

\[\cot2x = 1.732\]

જવાબ: x = \[\pi /12 + \pi n\]

\[\sin x = 0.866\]

જવાબ: \[ x = \pi/3 \]

હું ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોની સિસ્ટમને મફતમાં ઓનલાઈન ક્યાં ઉકેલી શકું?

તમે અમારી વેબસાઇટ https://site પર સમીકરણ ઉકેલી શકો છો. મફત ઓનલાઇન સોલ્વરતમને સેકન્ડોની બાબતમાં કોઈપણ જટિલતાના ઓનલાઈન સમીકરણો ઉકેલવા દેશે. તમારે ફક્ત તમારા ડેટાને સોલ્વરમાં દાખલ કરવાની જરૂર છે. તમે વિડિઓ સૂચનાઓ પણ જોઈ શકો છો અને અમારી વેબસાઇટ પર સમીકરણ કેવી રીતે હલ કરવું તે શીખી શકો છો. અને જો તમારી પાસે હજુ પણ પ્રશ્નો હોય, તો તમે તેમને અમારા VKontakte જૂથ http://vk.com/pocketteacher માં પૂછી શકો છો. અમારા જૂથમાં જોડાઓ, અમે તમને મદદ કરવામાં હંમેશા ખુશ છીએ.