જમણો ત્રિકોણ - આ એક ત્રિકોણ છે જેમાં એક ખૂણો સીધો છે, એટલે કે 90 ડિગ્રી જેટલો છે.

• જમણા ખૂણોની વિરુદ્ધ બાજુને કર્ણ કહેવામાં આવે છે (આકૃતિમાં આ રીતે દર્શાવેલ છે cઅથવા AB)
• જમણા ખૂણાને અડીને આવેલી બાજુને પગ કહેવામાં આવે છે. દરેક જમણા ત્રિકોણમાં બે પગ હોય છે (આકૃતિમાં તેઓ તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવ્યા છે aઅને b અથવા AC અને BC)

કાટકોણ ત્રિકોણના સૂત્રો અને ગુણધર્મો

(ઉપરનું ચિત્ર જુઓ)

a, b- જમણા ત્રિકોણના પગ

c- કર્ણ

α, β - ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણા

એસ- ચોરસ

h- ટોચ પરથી ઊંચાઈ ઘટી જમણો ખૂણોકર્ણ માટે

m a aવિરુદ્ધ ખૂણામાંથી ( α )

m b- બાજુ તરફ દોરેલ મધ્યક bવિરુદ્ધ ખૂણામાંથી ( β )

m c- બાજુ તરફ દોરેલ મધ્યક cવિરુદ્ધ ખૂણામાંથી ( γ )

IN જમણો ત્રિકોણ કોઈપણ પગ કર્ણ કરતા ઓછો છે(સૂત્ર 1 અને 2). આ મિલકતપાયથાગોરિયન પ્રમેયનું પરિણામ છે.

કોઈપણ તીવ્ર ખૂણાનો કોસાઈનએક કરતા ઓછા (ફોર્મ્યુલા 3 અને 4). આ મિલકત પાછલા એકથી અનુસરે છે. કોઈપણ પગ કર્ણ કરતા ઓછો હોવાથી, પગ અને કર્ણનો ગુણોત્તર હંમેશા એક કરતા ઓછો હોય છે.

કર્ણનો ચોરસ સરવાળો સમાનપગના ચોરસ (પાયથાગોરિયન પ્રમેય). (સૂત્ર 5). સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ મિલકતનો સતત ઉપયોગ થાય છે.

કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળપગના અડધા ઉત્પાદનની બરાબર (ફોર્મ્યુલા 6)

ચોરસ મધ્યનો સરવાળોપગ એ કર્ણના મધ્યના પાંચ ચોરસ અને કર્ણોના પાંચ ચોરસને ચાર વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે (સૂત્ર 7). ઉપરોક્ત ઉપરાંત, ત્યાં છે 5 વધુ સૂત્રો, તેથી, ભલામણ કરવામાં આવે છે કે તમે "જમણા ત્રિકોણનો મધ્યક" પાઠ પણ વાંચો, જે મધ્યના ગુણધર્મોને વધુ વિગતવાર વર્ણવે છે.

ઊંચાઈકાટકોણ ત્રિકોણ એ કર્ણ (સૂત્ર 8) દ્વારા વિભાજિત પગના ગુણાંક સમાન છે

પગના ચોરસ કર્પોટેન્યુસ (સૂત્ર 9) સુધી નીચી ઊંચાઈના ચોરસના વિપરીત પ્રમાણમાં હોય છે. આ ઓળખ પણ પાયથાગોરિયન પ્રમેયના પરિણામોમાંનું એક છે.

હાયપોટેન્યુઝ લંબાઈઘેરાયેલ વર્તુળ (સૂત્ર 10) ના વ્યાસ (બે ત્રિજ્યા) જેટલો. કાટકોણ ત્રિકોણનો હાયપોટેન્યુઝ પરિપત્રનો વ્યાસ છે. આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ ઘણીવાર સમસ્યાના નિરાકરણમાં થાય છે.

અંકિત ત્રિજ્યાવી જમણો ત્રિકોણ વર્તુળઆ ત્રિકોણના પગનો સરવાળો બાદબાકી કર્ણોની લંબાઈ સહિત અભિવ્યક્તિના અડધા ભાગ તરીકે શોધી શકાય છે. અથવા બધી બાજુઓના સરવાળા (પરિમિતિ) દ્વારા વિભાજિત પગના ઉત્પાદન તરીકે આપેલ ત્રિકોણ. (સૂત્ર 11)
કોણની સાઈન વિરુદ્ધ સંબંધ આ કોણ પગથી કર્ણ(સાઇનની વ્યાખ્યા દ્વારા). (સૂત્ર 12). સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ થાય છે. બાજુઓના કદને જાણીને, તમે તેઓ જે કોણ બનાવે છે તે શોધી શકો છો.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં કોણ A (α, alpha) ની કોસાઇન બરાબર હશે વલણ અડીનેઆ કોણ પગથી કર્ણ(સાઇનની વ્યાખ્યા દ્વારા). (સૂત્ર 13)

સરેરાશ સ્તર

જમણો ત્રિકોણ. સંપૂર્ણ સચિત્ર માર્ગદર્શિકા (2019)

જમણો ત્રિકોણ. પ્રથમ સ્તર.

સમસ્યાઓમાં, જમણો ખૂણો બિલકુલ જરૂરી નથી - નીચે ડાબે, તેથી તમારે આ સ્વરૂપમાં જમણો ત્રિકોણ ઓળખવાનું શીખવાની જરૂર છે,

અને આમાં

અને આમાં

કાટકોણ ત્રિકોણ વિશે શું સારું છે? સારું... સૌ પ્રથમ, ત્યાં ખાસ છે સુંદર નામોતેની બાજુઓ માટે.

ડ્રોઇંગ પર ધ્યાન આપો!

યાદ રાખો અને ગૂંચવશો નહીં: ત્યાં બે પગ છે, અને માત્ર એક જ કર્ણો છે(એક અને માત્ર, અનન્ય અને સૌથી લાંબી)!

ઠીક છે, અમે નામોની ચર્ચા કરી છે, હવે સૌથી મહત્વની વસ્તુ: પાયથાગોરિયન પ્રમેય.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય.

આ પ્રમેય કાટખૂણ ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલી ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવાની ચાવી છે. પાયથાગોરસે તેને સંપૂર્ણ રીતે સાબિત કર્યું અનાદિકાળનો સમય, અને ત્યારથી તેણીએ જેઓ તેણીને ઓળખે છે તેમના માટે ઘણો લાભ લાવ્યો છે. અને તેના વિશે સૌથી સારી બાબત એ છે કે તે સરળ છે.

તેથી, પાયથાગોરિયન પ્રમેય:

શું તમને મજાક યાદ છે: "પાયથાગોરિયન પેન્ટ બધી બાજુઓ પર સમાન છે!"?

ચાલો આ જ દોરો પાયથાગોરિયન પેન્ટઅને ચાલો તેમને જોઈએ.

શું તે અમુક પ્રકારના શોર્ટ્સ જેવું નથી લાગતું? સારું, કઈ બાજુઓ પર અને ક્યાં સમાન છે? મજાક શા માટે અને ક્યાંથી આવી? અને આ મજાક પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાથે ચોક્કસ રીતે જોડાયેલ છે, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે પાયથાગોરસ પોતે જે રીતે તેના પ્રમેયને ઘડ્યો છે તેની સાથે. અને તેણે તેને આ રીતે ઘડ્યું:

"સમ ચોરસ વિસ્તારો, પગ પર બાંધવામાં, સમાન છે ચોરસ વિસ્તાર, કર્ણ પર બનેલ છે."

શું તે ખરેખર થોડું અલગ લાગે છે? અને તેથી, જ્યારે પાયથાગોરસે તેના પ્રમેયનું નિવેદન દોર્યું, ત્યારે આ બરાબર ચિત્ર બહાર આવ્યું.

આ ચિત્રમાં, નાના ચોરસના વિસ્તારોનો સરવાળો મોટા ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે. અને જેથી બાળકો વધુ સારી રીતે યાદ રાખી શકે કે પગના ચોરસનો સરવાળો કર્ણના ચોરસ જેટલો છે, કોઈ વિનોદી પાયથાગોરિયન પેન્ટ વિશે આ મજાક સાથે આવ્યો.

હવે આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેય શા માટે ઘડી રહ્યા છીએ?

શું પાયથાગોરસ પીડાતા હતા અને ચોરસ વિશે વાત કરતા હતા?

તમે જુઓ, પ્રાચીન સમયમાં કોઈ... બીજગણિત નહોતું! ત્યાં કોઈ ચિહ્નો નહોતા વગેરે. ત્યાં કોઈ શિલાલેખ ન હતા. શું તમે કલ્પના કરી શકો છો કે ગરીબ પ્રાચીન વિદ્યાર્થીઓ માટે બધું શબ્દોમાં યાદ રાખવું કેટલું ભયંકર હતું?! અને આપણે ખુશ થઈ શકીએ કે આપણી પાસે છે સરળ શબ્દરચનાપાયથાગોરિયન પ્રમેય. ચાલો તેને વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે તેને ફરીથી પુનરાવર્તન કરીએ:

તે હવે સરળ હોવું જોઈએ:

સારું, અહીં તે છે મુખ્ય પ્રમેયકાટકોણ ત્રિકોણ વિશે ચર્ચા કરી. જો તમને તે કેવી રીતે સાબિત થાય છે તેમાં રસ હોય, તો સિદ્ધાંતના નીચેના સ્તરો વાંચો અને હવે ચાલો આગળ વધીએ... શ્યામ જંગલ... ત્રિકોણમિતિ! ભયંકર શબ્દો માટે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ.

હકીકતમાં, બધું એટલું ડરામણી નથી. અલબત્ત, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની "વાસ્તવિક" વ્યાખ્યા લેખમાં જોવી જોઈએ. પરંતુ હું ખરેખર નથી ઇચ્છતો, શું હું? અમે આનંદ કરી શકીએ છીએ: કાટકોણ ત્રિકોણ વિશેની સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે, તમે ફક્ત નીચેની સરળ વસ્તુઓ ભરી શકો છો:

શા માટે બધું માત્ર ખૂણા વિશે છે? ખૂણો ક્યાં છે? આ સમજવા માટે, તમારે જાણવાની જરૂર છે કે વિધાન 1 - 4 શબ્દોમાં કેવી રીતે લખાય છે. જુઓ, સમજો અને યાદ રાખો!

1.
વાસ્તવમાં તે આના જેવું લાગે છે:

કોણ વિશે શું? શું ત્યાં કોઈ પગ છે જે ખૂણાની વિરુદ્ધ છે, એટલે કે, વિરુદ્ધ (કોણ માટે) પગ છે? અલબત્ત છે! આ એક પગ છે!

કોણ વિશે શું? ધ્યાનથી જુઓ. કયો પગ ખૂણાને અડીને છે? અલબત્ત, પગ. આનો અર્થ એ છે કે કોણ માટે પગ અડીને છે, અને

હવે, ધ્યાન આપો! અમને શું મળ્યું તે જુઓ:

જુઓ કે તે કેટલું સરસ છે:

હવે આપણે સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ તરફ આગળ વધીએ.

હવે હું આને શબ્દોમાં કેવી રીતે લખી શકું? કોણના સંબંધમાં પગ શું છે? વિરુદ્ધ, અલબત્ત - તે ખૂણાની વિરુદ્ધ "જૂઠું" છે. પગ વિશે શું? ખૂણાને અડીને. તો આપણી પાસે શું છે?

જુઓ કે અંશ અને છેદના સ્થાનો કેવી રીતે બદલાયા છે?

અને હવે ફરીથી ખૂણાઓ અને વિનિમય કર્યો:

સારાંશ

ચાલો આપણે જે શીખ્યા તે બધું ટૂંકમાં લખીએ.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય:

કાટકોણ ત્રિકોણ વિશેનું મુખ્ય પ્રમેય પાયથાગોરિયન પ્રમેય છે.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય

માર્ગ દ્વારા, શું તમને સારી રીતે યાદ છે કે પગ અને કર્ણ શું છે? જો ખૂબ સારું ન હોય, તો પછી ચિત્ર જુઓ - તમારા જ્ઞાનને તાજું કરો

તે તદ્દન શક્ય છે કે તમે પહેલાથી જ ઘણી વખત પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યો છે, પરંતુ શું તમે ક્યારેય વિચાર્યું છે કે આવી પ્રમેય કેમ સાચી છે? હું તેને કેવી રીતે સાબિત કરી શકું? ચાલો પ્રાચીન ગ્રીકોની જેમ કરીએ. ચાલો બાજુ સાથે ચોરસ દોરીએ.

જુઓ કેટલી ચતુરાઈથી અમે તેની બાજુઓને લંબાઈમાં વિભાજિત કરી છે અને!

હવે ચાલો ચિહ્નિત બિંદુઓને જોડીએ

અહીં અમે, જો કે, કંઈક બીજું નોંધ્યું છે, પરંતુ તમે જાતે જ ડ્રોઇંગ જુઓ અને વિચારો કે આવું કેમ છે.

મોટા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

સાચું, .

નાના વિસ્તાર વિશે શું?

ચોક્કસપણે, .

ચાર ખૂણાઓનો કુલ વિસ્તાર રહે છે. કલ્પના કરો કે અમે તેમને એક સમયે બે લીધા અને તેમના કર્ણ સાથે તેમને એકબીજાની સામે ઝુકાવી દીધા.

શું થયું? બે લંબચોરસ. આનો અર્થ એ છે કે "કટ" નું ક્ષેત્રફળ સમાન છે.

ચાલો હવે તે બધાને એકસાથે મૂકીએ.

ચાલો પરિવર્તન કરીએ:

તેથી અમે પાયથાગોરસની મુલાકાત લીધી - અમે તેના પ્રમેયને પ્રાચીન રીતે સાબિત કર્યું.

કાટકોણ ત્રિકોણ અને ત્રિકોણમિતિ

કાટકોણ ત્રિકોણ માટે, નીચેના સંબંધો ધરાવે છે:

તીવ્ર કોણની સાઈન ગુણોત્તર સમાનકર્ણની વિરુદ્ધ બાજુ

તીવ્ર કોણનો કોસાઇન ગુણોત્તર સમાન છે અડીને પગકર્ણ માટે.

તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર સમાન છે.

એક્યુટ એન્ગલનો કોટેન્જેન્ટ એ અડીને બાજુની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર સમાન છે.

અને ફરી એકવાર આ બધું ટેબ્લેટના રૂપમાં:

તે ખૂબ જ આરામદાયક છે!

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો

I. બે બાજુએ

II. પગ અને કર્ણ દ્વારા

III. કર્ણ અને તીવ્ર કોણ દ્વારા

IV. પગ અને તીવ્ર કોણ સાથે

a)

b)

ધ્યાન આપો! અહીં તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે પગ "યોગ્ય" છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તે આના જેવું જાય:

પછી ત્રિકોણ સમાન નથી, એ હકીકત હોવા છતાં કે તેમની પાસે એક સમાન તીવ્ર કોણ છે.

જરૂર છે બંને ત્રિકોણમાં પગ અડીને હતો, અથવા બંનેમાં તે વિરુદ્ધ હતો.

શું તમે નોંધ્યું છે કે કાટકોણ ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો ત્રિકોણની સમાનતાના સામાન્ય ચિહ્નોથી કેવી રીતે અલગ પડે છે?

વિષય પર એક નજર નાખો "અને એ હકીકત પર ધ્યાન આપો કે "સામાન્ય" ત્રિકોણની સમાનતા માટે, તેમના ત્રણ ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ: બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ, બે ખૂણા અને તેમની વચ્ચેની બાજુ અથવા ત્રણ બાજુઓ.

પરંતુ કાટકોણ ત્રિકોણની સમાનતા માટે, ફક્ત બે અનુરૂપ તત્વો પૂરતા છે. મહાન, અધિકાર?

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો સાથે પરિસ્થિતિ લગભગ સમાન છે.

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો

I. તીવ્ર કોણ સાથે

II. બે બાજુઓ પર

III. પગ અને કર્ણ દ્વારા

કાટકોણ ત્રિકોણમાં મધ્યક

આવું કેમ છે?

કાટકોણ ત્રિકોણને બદલે, આખા લંબચોરસને ધ્યાનમાં લો.

ચાલો એક કર્ણ દોરીએ અને એક બિંદુને ધ્યાનમાં લઈએ - કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ. તમે લંબચોરસના કર્ણ વિશે શું જાણો છો?

અને આમાંથી શું થાય છે?

તેથી તે બહાર આવ્યું છે કે

1. - મધ્યક:

આ હકીકત યાદ રાખો! ખૂબ મદદ કરે છે!

તેનાથી પણ વધુ આશ્ચર્યજનક બાબત એ છે કે વિપરીત પણ સાચું છે.

એ હકીકતમાંથી શું સારું મેળવી શકાય છે કે કર્ણો તરફ દોરવામાં આવેલ મધ્યક અડધી કર્ણોની બરાબર છે? ચાલો ચિત્ર જોઈએ

ધ્યાનથી જુઓ. આપણી પાસે છે: , એટલે કે, બિંદુથી ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓનું અંતર સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું છે. પરંતુ ત્રિકોણમાં માત્ર એક બિંદુ છે, જેમાંથી ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓથી અંતર સમાન છે, અને આ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. તો શું થયુ?

તો ચાલો આ સાથે શરૂઆત કરીએ “આ સિવાય...”.

ચાલો જોઈએ અને.

પણ સમાન ત્રિકોણબધા ખૂણા સમાન છે!

અને વિશે પણ એવું જ કહી શકાય

હવે ચાલો તેને એકસાથે દોરીએ:

આ "ત્રણ" સમાનતામાંથી શું લાભ મેળવી શકાય?

સારું, ઉદાહરણ તરીકે - કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ માટેના બે સૂત્રો.

ચાલો અનુરૂપ પક્ષોના સંબંધો લખીએ:

ઊંચાઈ શોધવા માટે, અમે પ્રમાણને હલ કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ પ્રથમ સૂત્ર "કાટકોણ ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ":

તેથી, ચાલો સમાનતા લાગુ કરીએ: .

હવે શું થશે?

ફરીથી આપણે પ્રમાણ હલ કરીએ છીએ અને બીજું સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

તમારે આ બંને ફોર્મ્યુલાને ખૂબ સારી રીતે યાદ રાખવાની જરૂર છે અને જે વધુ અનુકૂળ હોય તેનો ઉપયોગ કરો.

ચાલો તેમને ફરીથી લખીએ

પાયથાગોરિયન પ્રમેય:

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણનો વર્ગ પગના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે: .

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો:

• બે બાજુઓ પર:
• પગ અને કર્ણ દ્વારા: અથવા
• પગ અને નજીકના તીવ્ર કોણ સાથે: અથવા
• પગ સાથે અને વિરુદ્ધ તીવ્ર કોણ: અથવા
• કર્ણ અને તીવ્ર કોણ દ્વારા: અથવા.

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો:

• એક તીવ્ર ખૂણો: અથવા
• બે પગના પ્રમાણથી:
• પગ અને કર્ણની પ્રમાણસરતામાંથી: અથવા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ

• કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર કોણની સાઈન એ કર્ણાકારની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે:
• કાટકોણ ત્રિકોણના એક્યુટ એન્ગલનો કોસાઇન એ કર્ણની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે:
• કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે:
• કાટકોણ ત્રિકોણના એક્યુટ કોણનો કોટેન્જેન્ટ એ અડીને બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે: .

કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ: અથવા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કાટખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરવામાં આવેલ મધ્યક અડધી કર્ણોની બરાબર છે: .

કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:

• પગ દ્વારા:
• પગ દ્વારા અને તીક્ષ્ણ ખૂણો: .

બસ, વિષય પૂરો થયો. જો તમે આ પંક્તિઓ વાંચી રહ્યા છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તમે ખૂબ જ શાનદાર છો.

કારણ કે માત્ર 5% લોકો જ પોતાના પર કંઈક માસ્ટર કરવામાં સક્ષમ છે. અને જો તમે અંત સુધી વાંચો છો, તો તમે આ 5% માં છો!

હવે સૌથી મહત્વની વાત.

તમે આ વિષય પરનો સિદ્ધાંત સમજી ગયા છો. અને, હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ... આ માત્ર સુપર છે! તમે તમારા મોટા ભાગના સાથીદારો કરતા પહેલાથી જ સારા છો.

સમસ્યા એ છે કે આ પૂરતું નથી...

શેના માટે?

માટે સફળ સમાપ્તિયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા, બજેટમાં કૉલેજમાં પ્રવેશ માટે અને, સૌથી મહત્વપૂર્ણ, જીવન માટે.

હું તમને કંઈપણ સમજાવીશ નહીં, હું ફક્ત એક વાત કહીશ ...

જે લોકો પ્રાપ્ત થયા હતા સારું શિક્ષણ, જેમણે તે પ્રાપ્ત કર્યું નથી તેના કરતા ઘણું વધારે કમાઓ. આ આંકડા છે.

પરંતુ આ મુખ્ય વસ્તુ નથી.

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વધુ ખુશ છે (ત્યાં આવા અભ્યાસો છે). કદાચ કારણ કે તેમની સામે ઘણું બધું ખુલ્લું છે વધુ શક્યતાઓઅને જીવન તેજસ્વી બને છે? ખબર નથી...

પણ તમારા માટે વિચારો ...

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અન્ય કરતા વધુ સારા બનવાની ખાતરી કરવા અને આખરે... ખુશ રહેવા માટે શું જરૂરી છે?

આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરીને તમારો હાથ મેળવો.

પરીક્ષા દરમિયાન તમને થિયરી માટે પૂછવામાં આવશે નહીં.

તમને જરૂર પડશે સમય સામે સમસ્યાઓ ઉકેલો.

અને, જો તમે તેમને ઉકેલ્યા નથી (ઘણું!), તો તમે ચોક્કસપણે ક્યાંક મૂર્ખ ભૂલ કરશો અથવા તમારી પાસે સમય નહીં હોય.

તે રમતગમતની જેમ છે - ખાતરી માટે જીતવા માટે તમારે તેને ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે.

તમે ઇચ્છો ત્યાં સંગ્રહ શોધો, આવશ્યકપણે ઉકેલો સાથે, વિગતવાર વિશ્લેષણ અને નક્કી કરો, નક્કી કરો, નક્કી કરો!

તમે અમારા કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો (વૈકલ્પિક) અને અમે, અલબત્ત, તેમની ભલામણ કરીએ છીએ.

અમારા કાર્યોને વધુ સારી રીતે ઉપયોગમાં લેવા માટે, તમે હાલમાં વાંચી રહ્યાં છો તે YouClever પાઠ્યપુસ્તકના જીવનને લંબાવવામાં મદદ કરવાની જરૂર છે.

કેવી રીતે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. આ લેખમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોને અનલૉક કરો - 299 ઘસવું.
2. પાઠ્યપુસ્તકના તમામ 99 લેખોમાં તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસને અનલૉક કરો - 499 ઘસવું.

હા, અમારી પાઠ્યપુસ્તકમાં આવા 99 લેખો છે અને તમામ કાર્યોની ઍક્સેસ છે અને તેમાં છુપાયેલા તમામ પાઠો તરત જ ખોલી શકાય છે.

સાઇટના સમગ્ર જીવન માટે તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

નિષ્કર્ષમાં...

જો તમને અમારા કાર્યો પસંદ નથી, તો અન્યને શોધો. ફક્ત સિદ્ધાંત પર અટકશો નહીં.

"સમજ્યું" અને "હું હલ કરી શકું છું" એ સંપૂર્ણપણે અલગ કુશળતા છે. તમારે બંનેની જરૂર છે.

સમસ્યાઓ શોધો અને તેમને હલ કરો!

ત્રિકોણ - આ સૌથી પ્રખ્યાત ભૌમિતિક આકૃતિઓમાંની એક છે. તેનો ઉપયોગ દરેક જગ્યાએ થાય છે - માત્ર રેખાંકનોમાં જ નહીં, પણ આંતરિક વસ્તુઓ, વિવિધ ડિઝાઇન અને ઇમારતોના ભાગો તરીકે પણ. આ આકૃતિના ઘણા પ્રકારો છે - લંબચોરસ તેમાંથી એક છે. તેમના વિશિષ્ટ લક્ષણસમાન કાટકોણની હાજરી છે 90°. ત્રણમાંથી બે ઊંચાઈ શોધવા માટે, પગને માપવા માટે તે પૂરતું છે. ત્રીજું એ જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુ અને કર્ણોની મધ્ય વચ્ચેનું મૂલ્ય છે. ઘણીવાર ભૂમિતિમાં પ્રશ્ન એ છે કે કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી. ચાલો આ સરળ સમસ્યા હલ કરીએ.

જરૂરી:

- શાસક;
- ભૂમિતિ પરનું પુસ્તક;
- જમણો ત્રિકોણ.

સૂચનાઓ:

• જમણા ખૂણો સાથે ત્રિકોણ દોરો ABC, કોણ ક્યાં છે ABCબરાબર 90 ° , એટલે કે, તે સીધુ છે. ઊંચાઈ ઓછી કરો એચજમણા ખૂણાથી કર્ણ સુધી - એક સેગમેન્ટ એ.એસ. તે સ્થાનને ચિહ્નિત કરો જ્યાં સેગમેન્ટ્સ બિંદુથી સ્પર્શ કરે છે. ડી.
• તમારી પાસે હવે બીજો ત્રિકોણ હોવો જોઈએ - એ.ડી.બી.. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે તે હાલના એક જેવું જ છે ABC, કોણ થી ABSઅને ADB = 90°, પછી તેઓ એકબીજાના સમાન છે, અને કોણ ખરાબબંને ભૌમિતિક આકૃતિઓ માટે સામાન્ય છે. તેમની સરખામણી કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે પક્ષો AD/AB = BD/BS = AB/AS. પરિણામી સંબંધો પરથી તે નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે એડીબરાબર AB²/AS.
• પરિણામી ત્રિકોણ થી એ.ડી.બી.જમણો ખૂણો છે, જ્યારે તેની બાજુઓ અને કર્ણને માપવામાં આવે છે, ત્યારે તમે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકો છો. તે આના જેવું દેખાય છે તે અહીં છે: AB² = AD² + BD². તેને ઉકેલવા માટે, પરિણામી સમાનતાનો ઉપયોગ કરો ઈ.સ. તમારે નીચેના મેળવવું જોઈએ: BD² = AB² - (AB²/AC)². ત્રિકોણ માપવામાં આવી રહ્યું હોવાથી ABSપછી લંબચોરસ છે BS²બરાબર AS² — AB². તેથી, બાજુ BD²બરાબર AB²BC²/AC², જે મૂળના નિષ્કર્ષણ સાથે સમાન હશે BD = AB*BS/AS.
• એ જ રીતે, ઉકેલ બીજા પરિણામી ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે -
  BDS. IN આ બાબતે, તે પણ મૂળ જેવું જ છે ABC, બે ખૂણા માટે આભાર - ABSઅને BDS = 90°, અને કોણ ડીએસબીસામાન્ય છે. આગળ, અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, પ્રમાણ પાસા રેશિયોમાં પ્રદર્શિત થાય છે, જ્યાં BD/AB = DS/BS = BS/AS. તેથી મૂલ્ય ડી.એસ.સમાનતા દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે BS²/AS. કારણ કે, AB² = AD*AS , તે BS² = DS*AS. આના પરથી આપણે એવું તારણ કાઢીએ છીએ BD² = (AB*BS/AS)²અથવા AD*AS*DS*AS/AS², જે બરાબર છે AD*DS. આ કિસ્સામાં ઊંચાઈ શોધવા માટે તે ઉત્પાદનમાંથી રુટ દૂર કરવા માટે પૂરતું છે ડી.એસ.અને ઈ.સ.

કયા શાળાના અભ્યાસક્રમમાં ભૂમિતિ જેવા વિષયનો સમાવેશ થાય છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી. અમારામાંના દરેકે, એક વિદ્યાર્થી તરીકે, અભ્યાસ કર્યો આ શિસ્તઅને અમુક સમસ્યાઓ હલ કરી. પરંતુ ઘણા લોકો માટે શાળા વર્ષપાછળ રહી ગયા હતા અને હસ્તગત જ્ઞાનનો ભાગ મેમરીમાંથી ભૂંસી નાખવામાં આવ્યો હતો.

જો તમને અચાનક કોઈ ચોક્કસ પ્રશ્નનો જવાબ શોધવાની જરૂર હોય તો શું કરવું શાળા પાઠ્યપુસ્તક, ઉદાહરણ તરીકે, કાટકોણ ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી? આ કિસ્સામાં, આધુનિક અદ્યતન કમ્પ્યુટર વપરાશકર્તા પ્રથમ ઈન્ટરનેટ ખોલશે અને તેને રસ હોય તેવી માહિતી મેળવશે.

ત્રિકોણ વિશે મૂળભૂત માહિતી

આ ભૌમિતિક આકૃતિમાં એકબીજા સાથે જોડાયેલા 3 સેગમેન્ટ્સ ધરાવે છે અંતિમ બિંદુઓ, અને આ બિંદુઓના સંપર્કના સ્થાનો સમાન સીધી રેખા પર નથી. ત્રિકોણ બનાવે છે તે ભાગોને તેની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે. બાજુઓના જંકશન આકૃતિની ટોચ, તેમજ તેના ખૂણાઓ બનાવે છે.

ખૂણાઓ પર આધાર રાખીને ત્રિકોણના પ્રકાર

આ આકૃતિમાં 3 પ્રકારના ખૂણા હોઈ શકે છે: તીક્ષ્ણ, સ્થૂળ અને સીધા. આના આધારે, ત્રિકોણમાં નીચેની જાતોને અલગ પાડવામાં આવે છે:

બાજુઓની લંબાઈના આધારે ત્રિકોણના પ્રકાર

અગાઉ સૂચવ્યા મુજબ, આ આંકડો 3 વિભાગોમાંથી દેખાય છે. તેમના કદના આધારે, નીચેના પ્રકારના ત્રિકોણને અલગ પાડવામાં આવે છે:

કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી

કાટકોણ ત્રિકોણની બે સરખી બાજુઓ જે સંપર્કના બિંદુ પર કાટખૂણો બનાવે છે તેને પગ કહેવામાં આવે છે. તેમને જોડતા સેગમેન્ટને "હાયપોટેન્યુસ" કહેવામાં આવે છે. આપેલ ભૌમિતિક આકૃતિમાં ઊંચાઈ શોધવા માટે, તમારે જમણા ખૂણોની ઉપરથી કર્ણ સુધીની રેખા નીચે કરવાની જરૂર છે. આ બધા સાથે આ રેખાકોણ 90 વડે ભાગવું જોઈએ? બરાબર અડધા ભાગમાં. આવા સેગમેન્ટને દ્વિભાજક કહેવામાં આવે છે.

ઉપરનું ચિત્ર એક કાટકોણ ત્રિકોણ બતાવે છે, જેની ઊંચાઈ આપણે ગણતરી કરવી પડશે. આ ઘણી રીતે કરી શકાય છે:

જો તમે ત્રિકોણની આસપાસ વર્તુળ દોરો અને ત્રિજ્યા દોરો, તો તેનું મૂલ્ય કર્ણોના કદ કરતાં અડધું હશે. તેના આધારે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈની ગણતરી કરી શકાય છે:

સૌ પ્રથમ, ત્રિકોણ એ ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા રચાય છે જે એક જ સીધી રેખા પર નથી અને ત્રણ ભાગો દ્વારા જોડાયેલ છે. ત્રિકોણની ઊંચાઈ શોધવા માટે, તમારે પ્રથમ તેનો પ્રકાર નક્કી કરવો આવશ્યક છે. ત્રિકોણ ખૂણા અને સંખ્યાના કદમાં અલગ પડે છે સમાન ખૂણા. ખૂણાઓના કદ અનુસાર, ત્રિકોણ તીવ્ર, સ્થૂળ અને લંબચોરસ હોઈ શકે છે. સમાન બાજુઓની સંખ્યાના આધારે, ત્રિકોણને સમદ્વિબાજુ, સમબાજુ અને સ્કેલેન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ઊંચાઈ એ કાટખૂણે છે જે નીચે આવે છે વિરુદ્ધ બાજુતેના શિરોબિંદુમાંથી ત્રિકોણ. ત્રિકોણની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી?

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી

માટે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણલાક્ષણિકતા એ છે કે તેના આધાર પરની બાજુઓ અને ખૂણાઓ સમાન છે, તેથી બાજુની બાજુઓ તરફ દોરવામાં આવેલા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ હંમેશા એકબીજાની સમાન હોય છે. ઉપરાંત, આ ત્રિકોણની ઊંચાઈ મધ્ય અને દ્વિભાજક બંને છે. તદનુસાર, ઊંચાઈ આધારને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. અમે પરિણામી કાટકોણ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ અને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બાજુ, એટલે કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ શોધીએ છીએ. નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે ઊંચાઈની ગણતરી કરીએ છીએ: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, જ્યાં: a - બાજુઆપેલ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો, b એ આપેલ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો આધાર છે.

સમભુજ ત્રિકોણની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી

સાથે ત્રિકોણ સમાન બાજુઓસમભુજ કહેવાય છે. આવા ત્રિકોણની ઊંચાઈ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈના સૂત્રમાંથી મેળવવામાં આવે છે. તે તારણ આપે છે: H = √3/2*a, જ્યાં a આ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ છે.

સ્કેલેન ત્રિકોણની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી

સ્કેલેન એક ત્રિકોણ છે જેમાં કોઈપણ બે બાજુઓ એકબીજાની સમાન નથી. આવા ત્રિકોણમાં, ત્રણેય ઊંચાઈ અલગ હશે. તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઊંચાઈની લંબાઈની ગણતરી કરી શકો છો: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, જ્યાં a ત્રિકોણની બાજુ છે અથવા પ્રથમ હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો, જે આના જેવું દેખાય છે: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, જ્યાં a, b, c બાજુઓ છે સ્કેલીન ત્રિકોણ, અને p તેની અર્ધ-પરિમિતિ છે. દરેક ઊંચાઈ = 2*વિસ્તાર/બાજુ

કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી

કાટકોણ ત્રિકોણમાં એક કાટકોણ હોય છે. જે ઊંચાઈ એક પગ સુધી જાય છે તે જ સમયે બીજા પગની છે. તેથી, પગ પર પડેલી ઊંચાઈ શોધવા માટે, તમારે સંશોધિત પાયથાગોરિયન સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે: a = √(c 2 − b 2), જ્યાં a, b એ પગ છે (a એ પગ છે જેને શોધવાની જરૂર છે), c એ કર્ણની લંબાઈ છે. બીજી ઊંચાઈ શોધવા માટે, તમારે b ની જગ્યાએ પરિણામી મૂલ્ય a મૂકવાની જરૂર છે. ત્રિકોણની અંદર પડેલી ત્રીજી ઊંચાઈ શોધવા માટે, ઉપયોગ કરો નીચેના સૂત્ર: h = 2s/a, જ્યાં h એ કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે, s એ તેનું ક્ષેત્રફળ છે, a એ બાજુની લંબાઈ છે જેની ઊંચાઈ લંબરૂપ હશે.

ત્રિકોણને તીવ્ર કહેવામાં આવે છે જો તેના બધા ખૂણા તીવ્ર હોય. આ કિસ્સામાં, ત્રણેય ઊંચાઈ અંદર સ્થિત છે તીવ્ર ત્રિકોણ. જો ત્રિકોણ હોય તો તેને સ્થૂળ કહેવામાં આવે છે અસ્પષ્ટ કોણ. બે ઊંચાઈ સ્થૂળ ત્રિકોણત્રિકોણની બહાર છે અને બાજુઓના ચાલુ રાખવા પર પડે છે. ત્રીજી બાજુ ત્રિકોણની અંદર છે. સમાન પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઊંચાઈ નક્કી કરવામાં આવે છે.

ત્રિકોણની ઊંચાઈની ગણતરી કરવા માટેના સામાન્ય સૂત્રો

• બાજુઓ દ્વારા ત્રિકોણની ઊંચાઈ શોધવા માટેનું સૂત્ર: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), જ્યાં h એ શોધવાની ઊંચાઈ છે, a, b અને c તેની બાજુઓ છે આપેલ ત્રિકોણ, p તેની અર્ધ પરિમિતિ છે.
• કોણ અને બાજુનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની ઊંચાઈ શોધવા માટેનું સૂત્ર: H=b sin y = c sin ß
• વિસ્તાર અને બાજુ દ્વારા ત્રિકોણની ઊંચાઈ શોધવા માટેનું સૂત્ર: h = 2S/a, જ્યાં a ત્રિકોણની બાજુ છે અને h એ બાજુ a ની બાંધવામાં આવેલી ઊંચાઈ છે.
• ત્રિજ્યા અને બાજુઓનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની ઊંચાઈ શોધવા માટેનું સૂત્ર: H= bc/2R.