ગાણિતિક મોડેલો

ગાણિતિક મોડલ - અંદાજિત ઓપીમોડેલિંગ ઑબ્જેક્ટનો અર્થ, ઉપયોગ કરીને વ્યક્તગાણિતિક પ્રતીકવાદ.

ઘણી સદીઓ પહેલા ગણિતની સાથે ગાણિતિક મોડેલો પણ દેખાયા હતા. વિકાસ માટે એક વિશાળ પ્રોત્સાહન ગાણિતિક મોડેલિંગકમ્પ્યુટરના આગમન દ્વારા લાવવામાં આવ્યું. અરજી કમ્પ્યુટર્સઘણા ગાણિતિક મોડેલોનું વિશ્લેષણ અને વ્યવહારમાં અમલ કરવાનું શક્ય બનાવ્યું જે અગાઉ વિશ્લેષણાત્મક સંશોધન માટે યોગ્ય ન હતા. કોમ્પ્યુટર પર ગાણિતિક રીતે અમલમાં મૂકાયેલ છેઆકાશ મોડેલકહેવાય છે કમ્પ્યુટર ગાણિતિક મોડેલ, એ કમ્પ્યુટર મોડેલનો ઉપયોગ કરીને લક્ષિત ગણતરીઓ હાથ ધરવાકહેવાય છે કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ.

કમ્પ્યુટર ગાણિતિક વિજ્ઞાનના તબક્કાઓવિભાગઆકૃતિમાં બતાવેલ છે. પ્રથમસ્ટેજ - મોડેલિંગ લક્ષ્યો વ્યાખ્યાયિત.આ લક્ષ્યો અલગ હોઈ શકે છે:

1. ચોક્કસ ઑબ્જેક્ટ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે, તેની રચના શું છે, તેના મૂળભૂત ગુણધર્મો, વિકાસના નિયમો અને ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સમજવા માટે એક મોડેલની જરૂર છે
   બહારની દુનિયા સાથે (સમજ);
2. ઑબ્જેક્ટ (અથવા પ્રક્રિયા)નું સંચાલન કેવી રીતે કરવું અને નિર્ધારિત કરવું તે શીખવા માટે એક મોડેલની જરૂર છે શ્રેષ્ઠ માર્ગોઆપેલ ધ્યેયો અને માપદંડ સાથેનું સંચાલન (વ્યવસ્થાપન);
3. અમલીકરણના પ્રત્યક્ષ અને પરોક્ષ પરિણામોની આગાહી કરવા માટે મોડેલની જરૂર છે આપેલ પદ્ધતિઓઅને ઑબ્જેક્ટ પર પ્રભાવના સ્વરૂપો (આગાહી).

સંપૂર્ણપણે અલગ વિસ્તારનું ઉદાહરણ: વ્યક્તિઓની બે પ્રજાતિઓની વસ્તી કે જેઓ શાંતિપૂર્ણ રીતે સ્થિર સંખ્યાઓ સાથે સહઅસ્તિત્વ ધરાવતા હતા અને સામાન્ય ખોરાક પુરવઠો ધરાવતા હતા, "અચાનક" તેમની સંખ્યામાં તીવ્ર ફેરફાર કરવાનું શરૂ કરે છે. અને અહીં ગાણિતિક મોડેલિંગ (વિશ્વસનીયતાની ચોક્કસ ડિગ્રી સાથે) કારણ સ્થાપિત કરવા (અથવા ઓછામાં ઓછું ચોક્કસ પૂર્વધારણાનું ખંડન) કરવાની મંજૂરી આપે છે.

ઑબ્જેક્ટનું સંચાલન કરવા માટેનો ખ્યાલ વિકસાવવો એ મોડેલિંગનો બીજો સંભવિત ધ્યેય છે. ફ્લાઇટ સલામત અને આર્થિક રીતે સૌથી વધુ નફાકારક છે તેની ખાતરી કરવા માટે મારે કયો એરક્રાફ્ટ ફ્લાઇટ મોડ પસંદ કરવો જોઈએ? એક મોટી સુવિધાના બાંધકામ પર સેંકડો પ્રકારનાં કામ કેવી રીતે શેડ્યૂલ કરવું જેથી તે શક્ય તેટલા ઓછા સમયમાં પૂર્ણ થાય? અર્થશાસ્ત્રીઓ, ડિઝાઇનરો અને વૈજ્ઞાનિકો સમક્ષ આવી ઘણી સમસ્યાઓ વ્યવસ્થિત રીતે ઊભી થાય છે.

છેવટે, ઑબ્જેક્ટ પર ચોક્કસ અસરોના પરિણામોની આગાહી કરવી એ સાદી ભૌતિક પ્રણાલીઓમાં પ્રમાણમાં સરળ બાબત અને અત્યંત જટિલ - જૈવિક, આર્થિક અને સામાજિક પ્રણાલીઓમાં - શક્યતાની આરે છે. જો તેના ઘટક એલોયમાં ફેરફારને કારણે પાતળા સળિયામાં ગરમીના વિતરણના મોડમાં ફેરફાર વિશેના પ્રશ્નનો જવાબ આપવો પ્રમાણમાં સરળ હોય, તો પછી પર્યાવરણીય અને આબોહવા પરિણામોબાંધકામ મોટું હાઇડ્રોઇલેક્ટ્રિક પાવર સ્ટેશનઅથવા સામાજિક પરિણામોકરવેરા કાયદામાં ફેરફારો અસાધારણ રીતે વધુ મુશ્કેલ છે. કદાચ અહીં પણ, ગાણિતિક મોડેલિંગ પદ્ધતિઓ ભવિષ્યમાં વધુ નોંધપાત્ર સહાય પૂરી પાડશે.

બીજો તબક્કો:મોડેલના ઇનપુટ અને આઉટપુટ પરિમાણોનું નિર્ધારણ; આઉટપુટ પર તેમના ફેરફારોના પ્રભાવના મહત્વની ડિગ્રી અનુસાર ઇનપુટ પરિમાણોનું વિભાજન. આ પ્રક્રિયાને રેન્કિંગ કહેવામાં આવે છે, અથવા રેન્ક દ્વારા વિભાજન (જુઓ. "ઔપચારિકતાtion અને મોડેલિંગ").

ત્રીજો તબક્કો:બાંધકામ ગાણિતિક મોડેલ. આ તબક્કે મોડલના અમૂર્ત ફોર્મ્યુલેશનમાંથી ચોક્કસ ફોર્મ્યુલેશનમાં સંક્રમણ થાય છે ગાણિતિક રજૂઆત. ગાણિતિક મોડલ એ સમીકરણો, સમીકરણોની પ્રણાલીઓ, અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓ, વિભેદક સમીકરણો અથવા આવા સમીકરણોની પ્રણાલીઓ વગેરે છે.

ચોથો તબક્કો:ગાણિતિક મોડેલનો અભ્યાસ કરવા માટેની પદ્ધતિ પસંદ કરવી. મોટેભાગે, સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ અહીં થાય છે, જે પોતાને પ્રોગ્રામિંગ માટે સારી રીતે ઉધાર આપે છે. એક નિયમ તરીકે, એક જ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓ યોગ્ય છે, જે ચોકસાઈ, સ્થિરતા વગેરેમાં ભિન્ન છે. થી યોગ્ય પસંદગીપદ્ધતિ ઘણીવાર સમગ્ર મોડેલિંગ પ્રક્રિયાની સફળતા પર આધાર રાખે છે.

પાંચમો તબક્કો:અલ્ગોરિધમનો વિકાસ કરવો, કોમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામનું સંકલન કરવું અને ડીબગ કરવું એ ઔપચારિક બનાવવા માટે મુશ્કેલ પ્રક્રિયા છે. પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓમાં, ઘણા વ્યાવસાયિકો ગાણિતિક મોડેલિંગ માટે ફોર્ટ્રેનને પસંદ કરે છે: બંને પરંપરાઓને કારણે અને કમ્પાઇલર્સની અભૂતપૂર્વ કાર્યક્ષમતા (ગણતરી કાર્ય માટે) અને તેમાં લખેલી ગાણિતિક પદ્ધતિઓ માટે પ્રમાણભૂત પ્રોગ્રામ્સની વિશાળ, કાળજીપૂર્વક ડિબગ કરેલ અને ઑપ્ટિમાઇઝ લાઇબ્રેરીઓની ઉપલબ્ધતાને કારણે. . PASCAL, BASIC, C જેવી ભાષાઓ પણ ઉપયોગમાં છે, જે કાર્યની પ્રકૃતિ અને પ્રોગ્રામરના ઝોકને આધારે છે.

છઠ્ઠો તબક્કો:પ્રોગ્રામ પરીક્ષણ. પ્રોગ્રામની કામગીરી અગાઉના જાણીતા જવાબ સાથે પરીક્ષણ સમસ્યા પર પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે. આ માત્ર એક પરીક્ષણ પ્રક્રિયાની શરૂઆત છે જેનું ઔપચારિક રીતે વ્યાપક રીતે વર્ણન કરવું મુશ્કેલ છે. સામાન્ય રીતે, જ્યારે વપરાશકર્તા, તેની વ્યાવસાયિક લાક્ષણિકતાઓના આધારે, પ્રોગ્રામને યોગ્ય માને છે ત્યારે પરીક્ષણ સમાપ્ત થાય છે.

સાતમો તબક્કો:વાસ્તવિક કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ, જે દરમિયાન તે નક્કી કરવામાં આવે છે કે શું મોડેલ વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ (પ્રક્રિયા) ને અનુરૂપ છે. જો કોમ્પ્યુટર પર મેળવેલ પ્રક્રિયાની કેટલીક વિશેષતાઓ ચોક્કસ પ્રમાણની ચોકસાઈ સાથે પ્રાયોગિક રીતે મેળવેલ લાક્ષણિકતાઓ સાથે મેળ ખાતી હોય તો મોડેલ વાસ્તવિક પ્રક્રિયા માટે પૂરતા પ્રમાણમાં પર્યાપ્ત છે. જો મોડેલ વાસ્તવિક પ્રક્રિયાને અનુરૂપ નથી, તો અમે પાછલા તબક્કામાંથી એક પર પાછા આવીએ છીએ.

ગાણિતિક મોડેલોનું વર્ગીકરણ

ગાણિતિક મોડેલોનું વર્ગીકરણ તેના આધારે કરી શકાય છે વિવિધ સિદ્ધાંતો. તમે વિજ્ઞાનની શાખાઓ (ભૌતિકશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન, સમાજશાસ્ત્ર, વગેરેમાં ગાણિતિક મોડેલો) દ્વારા મોડેલોનું વર્ગીકરણ કરી શકો છો. વપરાયેલ ગાણિતિક ઉપકરણ અનુસાર વર્ગીકૃત કરી શકાય છે (સામાન્યના ઉપયોગ પર આધારિત મોડેલો વિભેદક સમીકરણો, આંશિક વિભેદક સમીકરણો, સ્ટોકેસ્ટિક પદ્ધતિઓ, અલગ બીજગણિત પરિવર્તનવગેરે). છેવટે, જો આપણે ગાણિતિક ઉપકરણને ધ્યાનમાં લીધા વિના, વિવિધ વિજ્ઞાનમાં મોડેલિંગની સામાન્ય સમસ્યાઓથી આગળ વધીએ, તો નીચેનું વર્ગીકરણ સૌથી સ્વાભાવિક છે:

• વર્ણનાત્મક (વર્ણનાત્મક) મોડેલો;
• ઓપ્ટિમાઇઝેશન મોડલ;
• મલ્ટિક્રાઇટેરિયા મોડલ;
• રમત મોડેલો.

ચાલો આને ઉદાહરણો સાથે સમજાવીએ.

વર્ણનાત્મક (વર્ણનાત્મક) મોડેલો. ઉદાહરણ તરીકે, સૂર્યમંડળ પર આક્રમણ કરનાર ધૂમકેતુની ગતિનું મોડેલિંગ તેના ઉડાન માર્ગની આગાહી કરવા માટે કરવામાં આવે છે, તે પૃથ્વીથી કેટલા અંતરે પસાર થશે વગેરે. આ કિસ્સામાં, મોડેલિંગ લક્ષ્યો પ્રકૃતિમાં વર્ણનાત્મક છે, કારણ કે ધૂમકેતુની હિલચાલને પ્રભાવિત કરવાનો અથવા તેમાં કંઈપણ બદલવાનો કોઈ રસ્તો નથી.

ઓપ્ટિમાઇઝેશન મોડલ્સઆપેલ ધ્યેય હાંસલ કરવાના પ્રયાસમાં પ્રભાવિત થઈ શકે તેવી પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરવા માટે ઉપયોગ થાય છે. આ કિસ્સામાં, મોડેલમાં એક અથવા વધુ પરિમાણો શામેલ છે જે પ્રભાવિત થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અનાજની ભઠ્ઠીમાં થર્મલ શાસનને બદલતી વખતે, તમે એક શાસન પસંદ કરવાનું લક્ષ્ય સેટ કરી શકો છો જે મહત્તમ અનાજ સલામતી પ્રાપ્ત કરશે, એટલે કે. સંગ્રહ પ્રક્રિયાને ઑપ્ટિમાઇઝ કરો.

બહુવિધ માપદંડો. એકસાથે અનેક પરિમાણો સાથે પ્રક્રિયાને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવી ઘણીવાર જરૂરી હોય છે, અને ધ્યેયો તદ્દન વિરોધાભાસી હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ખોરાકની કિંમતો અને વ્યક્તિની ખોરાકની જરૂરિયાતને જાણીને, લોકોના મોટા જૂથો (સેનામાં, બાળકોના સમર કેમ્પ વગેરે) માટે શારીરિક રીતે યોગ્ય રીતે પોષણનું આયોજન કરવું જરૂરી છે અને તે જ સમયે, તેટલું સસ્તું. શક્ય. તે સ્પષ્ટ છે કે આ લક્ષ્યો બિલકુલ એકરૂપ નથી, એટલે કે. મોડેલિંગ કરતી વખતે, ઘણા માપદંડોનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે, જેની વચ્ચે સંતુલન શોધવું આવશ્યક છે.

રમત મોડલ્સસાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે કમ્પ્યુટર રમતો, પણ ખૂબ ગંભીર વસ્તુઓ. ઉદાહરણ તરીકે, વિશે અપૂર્ણ માહિતી સાથે યુદ્ધ પહેલાં કમાન્ડર વિરોધી સેનાએક યોજના વિકસાવવી આવશ્યક છે: કયા ક્રમમાં અમુક એકમોને યુદ્ધમાં દાખલ કરવા, વગેરે, ધ્યાનમાં લેતા અને સંભવિત પ્રતિક્રિયાદુશ્મન આધુનિક ગણિતની એક વિશેષ શાખા છે - ગેમ થિયરી - જે અધૂરી માહિતીની સ્થિતિમાં નિર્ણય લેવાની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરે છે.

IN શાળા અભ્યાસક્રમકોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં, વિદ્યાર્થીઓ મૂળભૂત કોર્સના ભાગ રૂપે કોમ્પ્યુટર મેથેમેટિકલ મોડેલીંગની પ્રારંભિક સમજ મેળવે છે. ઉચ્ચ શાળામાં, ગાણિતિક મોડેલિંગનો ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ કરી શકાય છે સામાન્ય શિક્ષણ અભ્યાસક્રમભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતના વર્ગો માટે, તેમજ વિશિષ્ટ વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમના માળખામાં.

ઉચ્ચ શાળામાં કોમ્પ્યુટર ગાણિતિક મોડેલિંગ શીખવવાના મુખ્ય સ્વરૂપો વ્યાખ્યાનો, પ્રયોગશાળા અને પરીક્ષણ વર્ગો છે. સામાન્ય રીતે, દરેક નવા મૉડલને બનાવવા અને તેનો અભ્યાસ કરવાની તૈયારી પરના કાર્યમાં 3-4 પાઠો લે છે. સામગ્રીની રજૂઆત દરમિયાન, સમસ્યાઓ સેટ કરવામાં આવે છે જે ભવિષ્યમાં વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે હલ થવી જોઈએ. સામાન્ય રૂપરેખાતેમને હલ કરવાની રીતો દર્શાવેલ છે. પ્રશ્નો ઘડવામાં આવે છે, જેના જવાબો કાર્યો પૂર્ણ કરતી વખતે મેળવવા જોઈએ. વધારાનું સાહિત્ય સૂચવવામાં આવ્યું છે જે તમને કાર્યોને વધુ સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કરવા માટે સહાયક માહિતી મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

નવી સામગ્રીનો અભ્યાસ કરતી વખતે વર્ગોના સંગઠનનું સ્વરૂપ સામાન્ય રીતે વ્યાખ્યાન હોય છે. આગળના મોડેલની ચર્ચા પૂર્ણ કર્યા પછી વિદ્યાર્થીઓતેમના નિકાલ પર જરૂરી છે સૈદ્ધાંતિક માહિતીઅને આગળના કામ માટે કાર્યોનો સમૂહ. કાર્ય પૂર્ણ કરવાની તૈયારીમાં, વિદ્યાર્થીઓ પસંદ કરે છે યોગ્ય પદ્ધતિઉકેલો, વિકસિત પ્રોગ્રામને ચકાસવા માટે કેટલાક જાણીતા ખાનગી ઉકેલોનો ઉપયોગ કરીને. કાર્યો પૂર્ણ કરતી વખતે તદ્દન સંભવિત મુશ્કેલીઓના કિસ્સામાં, પરામર્શ આપવામાં આવે છે, અને સાહિત્યિક સ્ત્રોતોમાં આ વિભાગોનો વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરવાની દરખાસ્ત કરવામાં આવે છે.

કમ્પ્યુટર મોડેલિંગ શીખવવાના વ્યવહારુ ભાગ માટે સૌથી યોગ્ય પ્રોજેક્ટ પદ્ધતિ છે. કાર્ય વિદ્યાર્થી માટે શૈક્ષણિક પ્રોજેક્ટના રૂપમાં ઘડવામાં આવે છે અને તે ઘણા પાઠોમાં હાથ ધરવામાં આવે છે, અને મુખ્ય સંસ્થાકીય સ્વરૂપ કમ્પ્યુટર છે. પ્રયોગશાળા કામો. પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મોડેલિંગની તાલીમ શૈક્ષણિક પ્રોજેક્ટ્સપર અમલ કરી શકાય છે વિવિધ સ્તરો. પ્રથમ પ્રોજેક્ટ પૂર્ણ કરવાની પ્રક્રિયાની સમસ્યારૂપ રજૂઆત છે, જેનું નેતૃત્વ શિક્ષક કરે છે. બીજું શિક્ષકના માર્ગદર્શન હેઠળ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા પ્રોજેક્ટનું અમલીકરણ છે. ત્રીજું વિદ્યાર્થીઓ માટે શૈક્ષણિક સંશોધન પ્રોજેક્ટ સ્વતંત્ર રીતે પૂર્ણ કરવાનું છે.

કાર્યના પરિણામો આંકડાકીય સ્વરૂપમાં, આલેખ અને આકૃતિઓના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવા આવશ્યક છે. જો શક્ય હોય તો, પ્રક્રિયા ગતિશીલતામાં કમ્પ્યુટર સ્ક્રીન પર રજૂ કરવામાં આવે છે. ગણતરીઓ અને પરિણામોની પ્રાપ્તિ પૂર્ણ થયા પછી, તેનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે અને તેની સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે. જાણીતા તથ્યોસિદ્ધાંતથી, વિશ્વસનીયતાની પુષ્ટિ થાય છે અને અર્થપૂર્ણ અર્થઘટન કરવામાં આવે છે, જે પછીથી લેખિત અહેવાલમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે.

જો પરિણામ વિદ્યાર્થી અને શિક્ષકને સંતુષ્ટ કરે તો કામ ગણતરીપૂર્ણ થાય છે, અને તેનો અંતિમ તબક્કો રિપોર્ટ તૈયાર કરવાનો છે. અહેવાલમાં અભ્યાસ હેઠળના વિષય પરની સંક્ષિપ્ત સૈદ્ધાંતિક માહિતી, સમસ્યાનું ગાણિતિક ફોર્મ્યુલેશન, સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ અને તેનું સમર્થન, કોમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ, પ્રોગ્રામના પરિણામો, પરિણામો અને તારણોનું વિશ્લેષણ અને સંદર્ભોની સૂચિનો સમાવેશ થાય છે.

જ્યારે તમામ અહેવાલો સંકલિત કરવામાં આવ્યા છે, ત્યારે વિદ્યાર્થીઓ તેમની રજૂઆત કરે છે ટૂંકા સંદેશાઓકરેલા કામ વિશે, તેમના પ્રોજેક્ટનો બચાવ કરો. આ પ્રોજેક્ટને વર્ગમાં લઈ જનાર જૂથ તરફથી અહેવાલનું એક અસરકારક સ્વરૂપ છે, જેમાં સમસ્યાનું નિરાકરણ, ઔપચારિક મોડેલ બનાવવું, મોડેલ સાથે કામ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ પસંદ કરવી, કમ્પ્યુટર પર મોડેલનો અમલ કરવો, તૈયાર મોડેલ સાથે કામ કરવું, અર્થઘટન કરવું. પરિણામો, અને આગાહીઓ કરવી. પરિણામે, વિદ્યાર્થીઓ બે ગ્રેડ મેળવી શકે છે: પ્રથમ - પ્રોજેક્ટના વિસ્તરણ અને તેના સંરક્ષણની સફળતા માટે, બીજો - પ્રોગ્રામ માટે, તેના અલ્ગોરિધમની શ્રેષ્ઠતા, ઇન્ટરફેસ વગેરે. વિદ્યાર્થીઓ થિયરી ક્વિઝ દરમિયાન પણ ગ્રેડ મેળવે છે.

એક આવશ્યક પ્રશ્ન એ છે કે ગાણિતિક મોડેલિંગ માટે શાળાના કોમ્પ્યુટર સાયન્સ કોર્સમાં કયા સાધનોનો ઉપયોગ કરવો? મોડેલોનું કમ્પ્યુટર અમલીકરણ હાથ ધરવામાં આવી શકે છે:

• સ્પ્રેડશીટ પ્રોસેસરનો ઉપયોગ કરીને (સામાન્ય રીતે એમએસ એક્સેલ);
• પરંપરાગત પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ (પાસ્કલ, બેઝિક, વગેરે), તેમજ તેમના આધુનિક સંસ્કરણો (ડેલ્ફી, વિઝ્યુઅલ) માં પ્રોગ્રામ્સ બનાવીને
  એપ્લિકેશન માટે મૂળભૂત, વગેરે);
• ગાણિતિક સમસ્યાઓ (MathCAD, વગેરે) ઉકેલવા માટે વિશિષ્ટ એપ્લિકેશન પેકેજોનો ઉપયોગ કરીને.

મૂળભૂત શાળા સ્તરે, પ્રથમ પદ્ધતિ વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ લાગે છે. જો કે, માં ઉચ્ચ શાળા, જ્યારે પ્રોગ્રામિંગ, મોડેલિંગ સાથે, કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં એક મુખ્ય વિષય છે, ત્યારે તેનો મોડેલિંગ સાધન તરીકે ઉપયોગ કરવો ઇચ્છનીય છે. પ્રોગ્રામિંગ પ્રક્રિયા દરમિયાન, ગાણિતિક પ્રક્રિયાઓની વિગતો વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉપલબ્ધ થાય છે; તદુપરાંત, તેઓને ફક્ત તેમને માસ્ટર કરવાની ફરજ પાડવામાં આવે છે, અને આમાં ફાળો આપે છે ગણિત શિક્ષણ. વિશિષ્ટ સૉફ્ટવેર પૅકેજના ઉપયોગ માટે, આ અન્ય સાધનોના પૂરક તરીકે વિશિષ્ટ કમ્પ્યુટર સાયન્સ કોર્સમાં યોગ્ય છે.

કસરત :

• મુખ્ય ખ્યાલોનો આકૃતિ બનાવો.

વિષયવસ્તુ ગાણિતિક મોડેલિંગનો વિષય. મોડેલિંગની મૂળભૂત બાબતો. એક મોડેલનો ખ્યાલ. મોડેલિંગ સિદ્ધાંત. એક પદ્ધતિ તરીકે મોડેલિંગ વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાન. મોડેલિંગ તબક્કાઓ. તબક્કા 1 - 2 ની લાક્ષણિકતાઓ. મોડેલિંગ તબક્કાઓ. 3 - 4 તબક્કાની લાક્ષણિકતાઓ. મોડેલોનું વર્ગીકરણ. સામાન્ય સમીક્ષા. આર્થિક અને ગાણિતિક મોડલનું વર્ગીકરણ. આર્થિક અને ગાણિતિક મોડેલિંગના તબક્કા. ગાણિતિક મોડેલ. લીનિયર પ્રોગ્રામિંગ. રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાનું નિવેદન. ભૌમિતિક અર્થઘટનઅને રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન. સિમ્પ્લેક્સ પદ્ધતિ. પ્રારંભિક બાંધકામ સંદર્ભ યોજના. સિમ્પ્લેક્સ કોષ્ટકો. સંદર્ભ યોજનાની શ્રેષ્ઠતાની નિશાની. દ્વૈતનો ખ્યાલ. દ્વિ સમસ્યાઓ અને તેમની મિલકતોનું નિર્માણ. પરિવહન સમસ્યા. પ્રારંભિક સંદર્ભ યોજનાનું નિર્માણ. પરિવહન સમસ્યા. સંભવિતતાની પદ્ધતિ.

વિષયવસ્તુ આલેખ સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ અને વ્યાખ્યાઓ. ડિગ્રાફના ઘટકોનો ક્રમ. ફુલ્કર્સનનું અલ્ગોરિધમ. આલેખમાં ટૂંકા માર્ગો શોધવાની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. મહત્તમ પ્રવાહ સમસ્યા અને તેના કાર્યક્રમો. નેટવર્ક ફોર્મ્યુલેશનમાં પરિવહન સમસ્યા. નેટવર્ક પ્લાનિંગના તત્વો. ડાયનેમિક પ્રોગ્રામિંગના સિદ્ધાંતો, પદ્ધતિની કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રક્રિયા. મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ. પદ્ધતિનો સાર. મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. મેટ્રિક્સ ગેમ્સના સિદ્ધાંતના તત્વો. જોડી કરેલ શૂન્ય-સમ મેટ્રિક્સ રમતો. મેટ્રિક્સ રમતો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ. પ્રકૃતિ સાથે રમતો. નિર્ણય લેવા માટેના માપદંડ. મેપલ 7 પેકેજની સામાન્ય ઝાંખી. તેની ક્ષમતાઓ. પ્રોગ્રામ ઇન્ટરફેસ, આદેશો સાથે કામ કરે છે. ચલોનો ઉપયોગ કરીને. કોષ્ટકો સાથે કામ.

ગાણિતિક મોડેલિંગનો વિષય. મોડેલિંગની મૂળભૂત બાબતો ગાણિતિક મોડેલિંગ એ ઘટનાઓ, પ્રક્રિયાઓ, સિસ્ટમો અથવા ઑબ્જેક્ટ્સનું નિર્માણ અને અભ્યાસ કરીને અને પછીનો ઉપયોગ કરીને લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવા અથવા સ્પષ્ટ કરવા માટેનો અભ્યાસ છે. તર્કસંગત રીતોનવી ડિઝાઇન કરેલી તકનીકી પ્રક્રિયાઓ, સિસ્ટમો અને વસ્તુઓનું નિર્માણ. ગાણિતિક મોડેલ એ વાસ્તવિક દુનિયાનું અમૂર્ત છે જેમાં સંશોધકો વચ્ચેના સંબંધો રસ ધરાવતા હોય છે. વાસ્તવિક તત્વોબદલી યોગ્ય સંબંધગાણિતિક શ્રેણીઓ વચ્ચે. આ સંબંધો સામાન્ય રીતે સમીકરણો અને (અથવા) અસમાનતાના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે જે સિમ્યુલેટેડ વાસ્તવિક સિસ્ટમની કામગીરીને લાક્ષણિકતા આપે છે. ગાણિતિક મોડેલો બનાવવાની કળા એ છે કે તેના ગાણિતિક વર્ણનમાં શક્ય તેટલી સંક્ષિપ્તતા સાથે સંશોધકને રુચિ ધરાવતા વિશ્લેષિત વાસ્તવિકતાના ચોક્કસ પાસાઓના મોડેલ પ્રજનનની પૂરતી ચોકસાઈ સાથે જોડવામાં આવે છે. મેનૂ મોડેલિંગ એ એક સર્જનાત્મક પ્રક્રિયા છે જેમાં મોટી માત્રામાં માહિતીની ગંભીર તૈયારી અને પ્રક્રિયાની જરૂર હોય છે, તે શ્રમની તીવ્રતા અને હ્યુરિસ્ટિક સિદ્ધાંતોને જોડે છે અને પ્રકૃતિમાં સંભવિત છે.

એક મોડેલનો ખ્યાલ. વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનની પદ્ધતિ તરીકે મોડેલિંગ એક મોડેલ એ વાસ્તવિક વસ્તુ, ઘટના અથવા પ્રક્રિયાની કેટલીક સરળ સામ્યતા છે. મૉડલ એ ભૌતિક અથવા માનસિક રીતે કલ્પનાશીલ ઑબ્જેક્ટ છે જે તેના અભ્યાસના હેતુ માટે મૂળ ઑબ્જેક્ટને બદલે છે, જે માટે કેટલીક મહત્વપૂર્ણ સાચવે છે. આ અભ્યાસલાક્ષણિક લક્ષણો અને મૂળ ગુણધર્મો. સારી રીતે બનાવેલ મોડેલ સામાન્ય રીતે સંશોધન માટે વધુ સુલભ હોય છે વાસ્તવિક પદાર્થ(ઉદાહરણ તરીકે, જેમ કે દેશની અર્થવ્યવસ્થા, સૌરમંડળ, વગેરે). અન્ય, મોડેલનો કોઈ ઓછો મહત્વનો હેતુ એ નથી કે તેની સહાયથી, સૌથી નોંધપાત્ર પરિબળો કે જે ઑબ્જેક્ટના ચોક્કસ ગુણધર્મો બનાવે છે તે ઓળખવામાં આવે છે. મોડેલ તમને ઑબ્જેક્ટને કેવી રીતે નિયંત્રિત કરવું તે શીખવાની પણ પરવાનગી આપે છે, જે એવા કિસ્સાઓમાં મહત્વપૂર્ણ છે કે જ્યાં ઑબ્જેક્ટ સાથે પ્રયોગ કરવો અસુવિધાજનક, મુશ્કેલ અથવા અશક્ય છે (ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે પ્રયોગ લાંબી અવધિઅથવા જ્યારે ઑબ્જેક્ટને અનિચ્છનીય અથવા બદલી ન શકાય તેવી સ્થિતિમાં ઘટાડવાનું જોખમ હોય છે). આમ, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે મોડેલ જરૂરી છે તે માટે: ચોક્કસ ઑબ્જેક્ટ કેવી રીતે રચાયેલ છે તે સમજવા - તેની રચના, મૂળભૂત ગુણધર્મો, વિકાસના નિયમો અને બાહ્ય વિશ્વ સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા શું છે; ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયાનું સંચાલન કરવાનું શીખો અને આપેલ લક્ષ્યો અને માપદંડો (ઑપ્ટિમાઇઝેશન) માટે શ્રેષ્ઠ વ્યવસ્થાપન પદ્ધતિઓ નક્કી કરો; મેનૂ ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયા પર નિર્દિષ્ટ પદ્ધતિઓ અને પ્રભાવના સ્વરૂપોના અમલીકરણના પ્રત્યક્ષ અને પરોક્ષ પરિણામોની આગાહી કરે છે.

મોડેલિંગ સ્ટેજ સ્ટેજ 1 સ્ટેજ I ની લાક્ષણિકતાઓ. કાર્ય હેઠળ જ સમસ્યાનું નિવેદન સામાન્ય અર્થમાંએક સમસ્યા છે જેને હલ કરવાની જરૂર છે. મુખ્ય વસ્તુ એ મોડેલિંગ ઑબ્જેક્ટને વ્યાખ્યાયિત કરવી અને પરિણામ શું હોવું જોઈએ તે સમજવું. રચનાની પ્રકૃતિના આધારે, બધી સમસ્યાઓને બે મુખ્ય જૂથોમાં વહેંચી શકાય છે. પ્રથમ જૂથમાં એવા કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે જેમાં કોઈ પદાર્થની લાક્ષણિકતાઓ તેના પર કેટલાક પ્રભાવ હેઠળ કેવી રીતે બદલાય છે તેનો અભ્યાસ કરવો જરૂરી છે. સમસ્યાની આ રચનાને સામાન્ય રીતે "શું થશે જો..." કહેવાય છે. સમસ્યાઓના બીજા જૂથમાં નીચેની સામાન્ય રચના છે: ઑબ્જેક્ટ પર શું અસર થવી જોઈએ જેથી તેના પરિમાણો ચોક્કસ સંતોષી શકે આપેલ શરત? સમસ્યાની આ રચનાને ઘણીવાર "કેવી રીતે કરવું તે..." કહેવામાં આવે છે. સિમ્યુલેશનના લક્ષ્યો મોડેલના ડિઝાઇન પરિમાણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. મોટેભાગે, આ સમસ્યાની રચનામાં પૂછાયેલા પ્રશ્નના જવાબની શોધ છે. આગળ તેઓ ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયાના વર્ણન પર આગળ વધે છે. આ તબક્કે, મોડેલની વર્તણૂક જેના પર આધાર રાખે છે તે પરિબળોને ઓળખવામાં આવે છે. માં મોડેલિંગ કરતી વખતે સ્પ્રેડશીટ્સજો કે, માત્ર તે જ પરિમાણોને ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે જેમાં માત્રાત્મક લાક્ષણિકતાઓ હોય છે. કેટલીકવાર સમસ્યાને પહેલાથી જ સરળ સ્વરૂપમાં ઘડવામાં આવી શકે છે, અને તે સ્પષ્ટપણે લક્ષ્યો નક્કી કરે છે અને મોડેલ પરિમાણોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે. ઑબ્જેક્ટનું પૃથ્થકરણ કરતી વખતે, નીચેના પ્રશ્નનો જવાબ આપવો જરૂરી છે: શું અભ્યાસ હેઠળની ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયાને એક સંપૂર્ણ તરીકે ગણી શકાય, અથવા તે સરળ ઑબ્જેક્ટ્સ ધરાવતી સિસ્ટમ છે? જો આ એક સંપૂર્ણ છે, તો પછી તમે માહિતી મોડેલ બનાવવા માટે આગળ વધી શકો છો. જો તે સિસ્ટમ છે, તો તમારે તેને બનાવેલ ઑબ્જેક્ટ્સનું વિશ્લેષણ કરવા અને તેમની વચ્ચેના જોડાણો નક્કી કરવા માટે આગળ વધવાની જરૂર છે. મેનુ

મોડેલિંગ સ્ટેજ સ્ટેજ 2 સ્ટેજ II ની લાક્ષણિકતાઓ. મોડલ ડેવલપમેન્ટ ઑબ્જેક્ટના વિશ્લેષણના પરિણામોના આધારે, એ માહિતી મોડેલ. તે ઑબ્જેક્ટના તમામ ગુણધર્મો, તેમના પરિમાણો, ક્રિયાઓ અને સંબંધોનું વિગતવાર વર્ણન કરે છે. આગળ, માહિતી મોડેલને પ્રતીકાત્મક સ્વરૂપોમાંથી એકમાં વ્યક્ત કરવું આવશ્યક છે. અમે સ્પ્રેડશીટ પર્યાવરણમાં કામ કરીશું તે ધ્યાનમાં લેતા, માહિતી મોડેલને ગાણિતિકમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે. માહિતી અને ગાણિતિક મોડેલોના આધારે, કોમ્પ્યુટર મોડેલ કોષ્ટકોના રૂપમાં સંકલિત કરવામાં આવે છે, જેમાં ડેટાના ત્રણ ક્ષેત્રોને અલગ પાડવામાં આવે છે: પ્રારંભિક ડેટા, મધ્યવર્તી ગણતરીઓ, પરિણામો. સ્ત્રોત ડેટા મેન્યુઅલી દાખલ કરવામાં આવે છે. ગણતરીઓ, મધ્યવર્તી અને અંતિમ બંને, સ્પ્રેડશીટ્સના નિયમો અનુસાર લખેલા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. મેનુ

મોડેલિંગ સ્ટેજ સ્ટેજ 3 સ્ટેજ III ની લાક્ષણિકતાઓ. કોમ્પ્યુટર પ્રયોગ નવી ડિઝાઇન વિકાસને જીવન આપવા માટે, નવા પરિચય માટે તકનીકી ઉકેલોઉત્પાદનમાં અથવા નવા વિચારોને ચકાસવા માટે, એક પ્રયોગની જરૂર છે. તાજેતરના ભૂતકાળમાં, આવા પ્રયોગ ક્યાં તો હાથ ધરવામાં આવી શકે છે પ્રયોગશાળા શરતોતેના માટે ખાસ બનાવેલ ઇન્સ્ટોલેશન પર, અથવા સિટુમાં, એટલે કે ઉત્પાદનના વાસ્તવિક નમૂના પર, તેને તમામ પ્રકારના પરીક્ષણોને આધિન. આ માટે ઘણું જરૂરી છે સામગ્રી ખર્ચઅને સમય. મોડેલોના કમ્પ્યુટર અભ્યાસ બચાવમાં આવ્યા. કમ્પ્યુટર પ્રયોગ કરતી વખતે, મોડેલોની શુદ્ધતા તપાસવામાં આવે છે. મોડેલની વર્તણૂકનો અભ્યાસ વિવિધ ઑબ્જેક્ટ પરિમાણો હેઠળ કરવામાં આવે છે. દરેક પ્રયોગ પરિણામોની સમજ સાથે છે. જો કોમ્પ્યુટર પ્રયોગના પરિણામો સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવાના અર્થનો વિરોધાભાસ કરે છે, તો ભૂલને ખોટી રીતે પસંદ કરેલ મોડેલમાં અથવા તેને ઉકેલવા માટેની અલ્ગોરિધમ અને પદ્ધતિમાં જોવી જોઈએ. ભૂલોને ઓળખવા અને દૂર કર્યા પછી, કમ્પ્યુટર પ્રયોગનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે. મેનુ

મોડેલિંગ સ્ટેજ સ્ટેજ 4 સ્ટેજ IV ની લાક્ષણિકતાઓ. સિમ્યુલેશન પરિણામોનું વિશ્લેષણ અંતિમ તબક્કોમોડેલિંગ - મોડેલ વિશ્લેષણ. પ્રાપ્ત ગણતરી ડેટાના આધારે, અમે તપાસ કરીએ છીએ કે ગણતરીઓ અમારી સમજણ અને મોડેલિંગ લક્ષ્યોને કેટલી સારી રીતે અનુરૂપ છે. આ તબક્કે, અપનાવેલ મોડેલને સુધારવા માટેની ભલામણો અને, જો શક્ય હોય તો, ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયા નક્કી કરવામાં આવે છે. મેનુ

મોડેલોનું વર્ગીકરણ ઉપયોગના ક્ષેત્ર દ્વારા વર્ગીકરણ શૈક્ષણિક: દ્રશ્ય સાધનો, વિવિધ સિમ્યુલેટર, તાલીમ કાર્યક્રમો. અનુભવી: વધુ અભ્યાસ (જહાજ, કાર, એરોપ્લેન, હાઇડ્રોઇલેક્ટ્રિક સ્ટેશનના મોડલ) માટે અભ્યાસ હેઠળની વસ્તુની ઘટાડેલી અથવા વિસ્તૃત નકલો. પ્રક્રિયાઓ અને ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી મોડેલો બનાવવામાં આવે છે (ટેલિવિઝનના પરીક્ષણ માટેનું સ્ટેન્ડ; સિંક્રોટ્રોન - ઇલેક્ટ્રોન એક્સિલરેટર, વગેરે). ગેમિંગ: લશ્કરી, આર્થિક, રમતગમત, વ્યવસાયિક રમતો. અનુકરણ: સચોટતાની વિવિધ ડિગ્રી સાથે વાસ્તવિકતાને પ્રતિબિંબિત કરો (ઉંદર પર સંખ્યાબંધ પ્રયોગોમાં નવી દવાનું પરીક્ષણ; ઉત્પાદનમાં પરિચય પર પ્રયોગો નવી ટેકનોલોજી). સમય પરિબળને ધ્યાનમાં લેતા વર્ગીકરણ સ્ટેટિક મોડલ - ઑબ્જેક્ટનું મોડેલ આ ક્ષણસમય. ડાયનેમિક મોડલતમને સમય જતાં ઑબ્જેક્ટમાં ફેરફારો જોવાની મંજૂરી આપે છે. મેનુ

મૉડલનું વર્ગીકરણ પ્રતિનિધિત્વની પદ્ધતિ દ્વારા વર્ગીકરણ એ મટીરિયલ મૉડલ એ ઑબ્જેક્ટની ભૌતિક સમાનતા છે. તેઓ મૂળના ભૌમિતિક અને ભૌતિક ગુણધર્મોનું પુનઃઉત્પાદન કરે છે (સ્ટફ્ડ પક્ષીઓ, પ્રાણીઓના નમૂનાઓ, આંતરિક અવયવો માનવ શરીર, ભૌગોલિક અને ઐતિહાસિક નકશા, સૌરમંડળનો આકૃતિ). માહિતી મૉડલ એ માહિતીનો સમૂહ છે જે ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા, ઘટના, તેમજ બહારની દુનિયા સાથેના સંબંધના ગુણધર્મો અને સ્થિતિઓને દર્શાવે છે. કોઈપણ માહિતી મૉડલમાં ઑબ્જેક્ટ વિશે માત્ર આવશ્યક માહિતી હોય છે, જે હેતુ માટે તે બનાવવામાં આવે છે તે ધ્યાનમાં લેતા. વિવિધ હેતુઓ માટે બનાવાયેલ સમાન ઑબ્જેક્ટના માહિતી મોડેલો સંપૂર્ણપણે અલગ હોઈ શકે છે. મૌખિક મોડેલ - માનસિક અથવા માહિતી મોડેલ બોલચાલનું સ્વરૂપ. સાઇન મોડલ એ એક માહિતી મોડેલ છે જે વિશેષ ચિહ્નો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, કોઈપણ ઔપચારિક ભાષા દ્વારા. આઇકોનિક મોડલ એ ડ્રોઇંગ, ટેક્સ્ટ, આલેખ, આકૃતિઓ, કોષ્ટકો વગેરે છે. કોમ્પ્યુટર મોડેલ એ સોફ્ટવેર એન્વાયર્નમેન્ટનો ઉપયોગ કરીને અમલમાં મુકાયેલ મોડેલ છે. ઑબ્જેક્ટ (ઘટના, પ્રક્રિયા) નું મોડેલ બનાવતા પહેલા, તેના ઘટક તત્વો અને તેમની વચ્ચેના જોડાણોને ઓળખવા (સિસ્ટમ વિશ્લેષણ હાથ ધરવા) અને પરિણામી રચનાને કેટલાક પૂર્વનિર્ધારિત સ્વરૂપમાં "અનુવાદ" કરવા - માહિતીને ઔપચારિક બનાવવા માટે જરૂરી છે. મેનુ ઔપચારિકતા એ કોઈ વસ્તુ, ઘટના અથવા પ્રક્રિયાની આંતરિક રચનાને વિશિષ્ટમાં પ્રકાશિત કરવાની અને અનુવાદ કરવાની પ્રક્રિયા છે. માહિતી માળખું- ફોર્મ.

આર્થિક અને ગાણિતિક મોડલનું વર્ગીકરણ આર્થિક અને ગાણિતિક મોડલ એ નિયંત્રિત અને નિયંત્રિત આર્થિક પ્રક્રિયાઓના નમૂના છે જેનો ઉપયોગ આર્થિક વાસ્તવિકતાને બદલવા માટે થાય છે. મોડલ ઑબ્જેક્ટ્સ માટે મોડલની પર્યાપ્તતા અવલોકન કરેલા તથ્યો સાથે સંશોધન પરિણામોના સંયોગ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં પ્રેક્ટિસનો અર્થ વાસ્તવિકતા છે. તેમના ઉદ્દેશ્ય મુજબ, આર્થિક-ગાણિતિક મોડલને આમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: સૈદ્ધાંતિક-વિશ્લેષણાત્મક; રાષ્ટ્રીય અર્થતંત્રઅને તેની સબસિસ્ટમ્સ (ઉદ્યોગો, પ્રદેશો, વગેરે) મોડલ કાર્યાત્મક અને માળખાકીય છે. મોડેલો વર્ણનાત્મક અથવા આદર્શમૂલક હોઈ શકે છે. વર્ણનાત્મક મોડેલો પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે: આ કેવી રીતે થાય છે અને તે કેવી રીતે વધુ વિકાસ કરી શકે છે? સામાન્ય મોડેલો પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે: આ કેવી રીતે હોવું જોઈએ? એટલે કે, તેઓ હેતુપૂર્ણ પ્રવૃત્તિનો સમાવેશ કરે છે. અવ્યવસ્થિતતા અને અનિશ્ચિતતાને ધ્યાનમાં લેતા સખત નિર્ધારિત મોડેલો અને મોડેલો છે. મોડેલો સ્થિર અથવા ગતિશીલ હોઈ શકે છે. વિચારણા હેઠળના સમયગાળાના આધારે, ટૂંકા ગાળાના (1-5 વર્ષ) અને લાંબા ગાળાના (10-15 અથવા વધુ વર્ષ) આગાહી અને આયોજનના મોડલને અલગ પાડવામાં આવે છે. આવા મોડેલોમાં સમય પોતે જ સતત અથવા વિવેકપૂર્ણ રીતે બદલાઈ શકે છે. મેનુ મોડલ રેખીય અથવા બિનરેખીય હોઈ શકે છે.

આર્થિક અને ગાણિતિક મોડેલિંગના તબક્કા. સ્ટેજીંગ આર્થિક સમસ્યાઅને તેનું વિશ્લેષણ. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે સમસ્યાનો સાર નક્કી કરવો, બનાવેલી ધારણાઓ અને પ્રશ્નો કે જેના જવાબો જરૂરી છે. સ્ટેજમાં ઑબ્જેક્ટની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ અને ગુણધર્મોને પ્રકાશિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે, ગૌણમાંથી અમૂર્ત. જો જરૂરી હોય તો, ઑબ્જેક્ટના વર્તન અને વિકાસને સમજાવતી પૂર્વધારણાઓની રચના. ગાણિતિક મોડેલનું નિર્માણ. આર્થિક સમસ્યાના ઔપચારિકકરણનો તબક્કો. તે માનવું ખોટું છે કે મોડેલ જેટલી વધુ હકીકતો ધ્યાનમાં લે છે, તે વધુ સારું છે. મોડેલની જટિલતા અને બોજારૂપતામાં ફેરફાર સંશોધન પ્રક્રિયાને જટિલ બનાવે છે. માહિતી અને ગાણિતિક આધારની વાસ્તવિક શક્યતાઓને ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે. પરિણામી અસર સાથે મોડેલિંગની કિંમતની તુલના કરવી જરૂરી છે. ગાણિતિક મૉડલની સૌથી મહત્ત્વની વિશેષતાઓમાંની એક વિવિધ સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે તેનો ઉપયોગ કરવાની સંભાવના છે. મેનુ

આર્થિક અને ગાણિતિક મોડેલિંગના તબક્કા. મોડેલનું ગાણિતિક વિશ્લેષણ. આ તબક્કાનો હેતુ શોધવાનો છે સામાન્ય ગુણધર્મોમોડેલો મહત્વનો મુદ્દો- ઉકેલના અસ્તિત્વનો પુરાવો. પ્રારંભિક માહિતીની તૈયારી જરૂરી માહિતી એકત્રિત કરવા માટે સમયમર્યાદા ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે, અને માહિતી તૈયાર કરવાના ખર્ચને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. તૈયારીની પ્રક્રિયામાં, સંભાવના સિદ્ધાંત, સૈદ્ધાંતિક અને ગાણિતિક આંકડાઓની પદ્ધતિઓનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. સંખ્યાત્મક ઉકેલ. સમસ્યાના સંખ્યાત્મક ઉકેલ માટે એલ્ગોરિધમ્સનો વિકાસ, કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ્સનું સંકલન અને સીધી ગણતરીઓ. આ તબક્કે મુશ્કેલી મોટા પરિમાણ દ્વારા બનાવવામાં આવી છે આર્થિક કાર્યોઅને માહિતીની નોંધપાત્ર માત્રામાં પ્રક્રિયા કરવાની જરૂરિયાત. મેનુ વિશ્લેષણ સંખ્યાત્મક પરિણામોઅને તેમની અરજી. આ તબક્કે, મોડેલિંગ પરિણામોની શુદ્ધતા અને સંપૂર્ણતા અને તેમની વ્યવહારિક લાગુ પડવાની ડિગ્રી વિશે પ્રશ્ન ઊભો થાય છે.

લીનિયર પ્રોગ્રામિંગ. આ ગાણિતિક મોડેલિંગની એક શાખા છે, જેની તમામ અવલંબન રેખીય છે. કોઈપણ રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાના ગાણિતિક મૉડલમાં બિન-નકારાત્મકતા Xj ≥ 0 માટે Z= max(min) મેનૂ શરતો ફોર્મ હોય છે.

ઉદાહરણ: ઉત્પાદનો u 1 અને u 2 ના ઉત્પાદનમાં, લેથ્સ અને મિલિંગ મશીનો, તેમજ સ્ટીલ અને નોન-ફેરસ મેટલ્સનો ઉપયોગ u 1, 300 અને 200 એકમોના ઉત્પાદન માટેના તકનીકી ધોરણો અનુસાર થાય છે; ટર્નિંગ અને મિલિંગ સાધનોની જરૂર છે, અનુક્રમે (કલાકોમાં), અને સ્ટીલ અને નોન-ફેરસ મેટલ્સના 10 અને 20 એકમો (કિલોમાં). ઉત્પાદન ઉત્પાદન કરવા માટે અનુક્રમે 2, 400, 100, 70, 50 સમાન સંસાધનોના એકમો જરૂરી છે. વર્કશોપમાં 12400 અને 6800 કલાક, 640 અને 840 કિ.ગ્રા. સામગ્રી ઉત્પાદનના યુનિટ દીઠ વેચાણમાંથી નફો u 1=6000 ડેન. એકમો , u 2=16000 ડેન. એકમો આવશ્યક: મોડેલ બનાવવા માટે અનુકૂળ કોષ્ટકમાં સ્રોત ડેટાનો સારાંશ આપો. સમસ્યાનું ગાણિતિક મોડેલ બનાવો. ઉત્પાદનો માટે ઉત્પાદન યોજના નક્કી કરો, શરત હેઠળ મહત્તમ નફો સુનિશ્ચિત કરો કે મિલીંગ મશીનોનો ઓપરેટિંગ સમય સંપૂર્ણ રીતે ઉપયોગમાં લેવાય.

ઉકેલ: x1 એ ઉત્પાદનોની સંખ્યા u 1 છે અને x2 એ ઉત્પાદનોની સંખ્યા u 2 છે, z એ કુલ નફો છે.

લીનિયર પ્રોગ્રામિંગ. આ નોટેશનનું સામાન્ય અથવા વ્યુત્પન્ન સ્વરૂપ છે. વેરિયેબલ્સ Xj કે જે અવરોધોની સિસ્ટમ અને બિન-નેગેટિવિટી સ્થિતિને સંતોષે છે તેને સ્વીકાર્ય કહેવાય છે. માન્ય ચલો કે જે ઉદ્દેશ્ય કાર્યને મહત્તમ અથવા લઘુત્તમમાં ફેરવે છે તેને શ્રેષ્ઠ કહેવામાં આવે છે. આવી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ સાર્વત્રિક અને વિશેષમાં વહેંચાયેલી છે. કોઈપણ PLP ઉકેલવા માટે સાર્વત્રિક પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. ખાસ પદ્ધતિઓમોડેલની સુવિધાઓ ધ્યાનમાં લો. ZLP ની વિશેષ વિશેષતા એ છે કે મહત્તમ (મિનિટ) ઉદ્દેશ્ય કાર્ય પ્રદેશની સીમા સુધી પહોંચે છે. સ્વીકાર્ય ઉકેલો. પીએલપીમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે: શ્રેષ્ઠ તકનીકો પસંદ કરવાની સમસ્યા; મિશ્રણ સમસ્યા; સામગ્રી કાપવાની સમસ્યા; પરિવહન સમસ્યા; મેનુ સમસ્યા સંસાધનોના શ્રેષ્ઠ ઉપયોગ વિશે છે; ઓર્ડર પ્લેસમેન્ટ સમસ્યા;

રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાનું નિવેદન કોઈપણ ZLP ગાણિતિક મોડેલનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે. રેકોર્ડિંગ PAP મેનુ જનરલના 3 સ્વરૂપો છે (મફત)

રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાનું નિવેદન આ તમામ સ્વરૂપો સમાન છે. મહત્તમથી લઘુત્તમ (અથવા ઊલટું) તરફ જવા માટે, તમારે લક્ષ્ય ફંક્શન નોટેશનમાં દરેક શબ્દના ચિહ્નો બદલવાની જરૂર છે. ફોર્મની અસમાનતાને ફોર્મની અસમાનતામાં ફેરવવા માટે (અને તેનાથી વિપરીત), તમારે અસમાનતાની બંને બાજુઓને -1 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. મેનુ કેનોનિકલ (મુખ્ય) અસમાનતાને સમાનતામાં ફેરવવા માટે (અને ઊલટું), તમારે ડાબી બાજુએ વધારાના બિન-નકારાત્મક ચલ ઉમેરવા અથવા બાદબાકી કરવાની જરૂર છે, તેને સંતુલન ચલ કહેવામાં આવે છે. ઉદ્દેશ્ય કાર્ય લખતી વખતે, તેની પાસે ગુણાંક =0 હોય છે.

મોડેલ (લેટિન મોડ્યુલસ - માપમાંથી) અને મોડેલિંગ એ સામાન્ય વૈજ્ઞાનિક ખ્યાલો છે. સામાન્ય વૈજ્ઞાનિક દૃષ્ટિકોણથી મોડેલિંગ એ વિશેષ પદાર્થો, પ્રણાલીઓ - અભ્યાસ કરેલ પદાર્થો, ઘટના અથવા પ્રક્રિયાઓના મોડેલોના નિર્માણ દ્વારા સમજશક્તિના માર્ગ તરીકે કાર્ય કરે છે. આ કિસ્સામાં, એક અથવા બીજા ઑબ્જેક્ટને મોડેલ કહેવામાં આવે છે જ્યારે તેનો ઉપયોગ અન્ય ઑબ્જેક્ટ સંબંધિત માહિતી મેળવવા માટે થાય છે - મોડેલનો પ્રોટોટાઇપ.

મોડેલિંગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ લગભગ તમામ વિજ્ઞાનમાં અપવાદ વિના અને વૈજ્ઞાનિક સંશોધનના તમામ તબક્કે થાય છે. આ પદ્ધતિની હ્યુરિસ્ટિક શક્તિ એ હકીકત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે કે મોડેલિંગ પદ્ધતિની મદદથી જટિલના અભ્યાસને સરળ, અદ્રશ્ય અને અમૂર્ત, દૃશ્યમાન અને મૂર્ત, વગેરેમાં ઘટાડી શકાય છે.

મોડેલિંગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઑબ્જેક્ટ (પ્રક્રિયા અથવા ઘટના) નો અભ્યાસ કરતી વખતે, અમે તે ગુણધર્મોને મોડેલ તરીકે પસંદ કરી શકીએ છીએ જે હાલમાં અમને રસ છે. કોઈપણ પદાર્થનો વૈજ્ઞાનિક અભ્યાસ હંમેશા સાપેક્ષ હોય છે. IN કેસ સ્ટડીકોઈ વસ્તુને તેની તમામ વિવિધતામાં ધ્યાનમાં લેવી અશક્ય છે. પરિણામે, એક જ ઑબ્જેક્ટમાં ઘણાં જુદાં જુદાં મોડલ હોઈ શકે છે અને તેમાંથી કોઈને એક જ ન કહી શકાય, વાસ્તવિક મોડેલઆ પદાર્થની.

ચાર મુખ્યને અલગ પાડવાનો રિવાજ છે ગુણધર્મોમોડેલો

· અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા પદાર્થની સરખામણીમાં સરળીકરણ;

· અભ્યાસના વિષયને પ્રતિબિંબિત અથવા પુનઃઉત્પાદિત કરવાની ક્ષમતા;

· તેની સમજશક્તિના ચોક્કસ તબક્કામાં સંશોધનના ઑબ્જેક્ટને બદલવાની ક્ષમતા;

· અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા ઑબ્જેક્ટ વિશે નવી માહિતી મેળવવાની ક્ષમતા.

ગાણિતિક પદ્ધતિઓ દ્વારા વિવિધ ઘટનાઓ અથવા પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ ગાણિતિક મોડેલનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. ગાણિતિક મોડેલઅભ્યાસ હેઠળના પદાર્થનું ગણિતની ભાષામાં ઔપચારિક વર્ણન છે. આ પ્રકારનું ઔપચારિક વર્ણન રેખીય, બિનરેખીય અથવા વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ, અસમાનતાઓની સિસ્ટમ, ચોક્કસ અભિન્ન, અજાણ્યા ગુણાંક સાથે બહુપદી વગેરે હોઈ શકે છે. ગાણિતિક મોડેલ અભ્યાસ હેઠળની ઑબ્જેક્ટની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓને આવરી લેવું જોઈએ અને પ્રતિબિંબિત કરવું જોઈએ. તેમની વચ્ચે જોડાણો.

ઑબ્જેક્ટ (પ્રક્રિયા અથવા ઘટના) નું ગાણિતિક મોડેલ બનાવતા પહેલા, તેનો લાંબા સમય સુધી અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. વિવિધ પદ્ધતિઓ: અવલોકન, ખાસ સંગઠિત પ્રયોગો, સૈદ્ધાંતિક વિશ્લેષણ, વગેરે, એટલે કે, તેઓ ઘટનાની ગુણાત્મક બાજુનો ખૂબ સારી રીતે અભ્યાસ કરે છે, તે સંબંધોને ઓળખે છે જેમાં પદાર્થના તત્વો સ્થિત છે. પછી ઑબ્જેક્ટને સરળ બનાવવામાં આવે છે, અને તેના અંતર્ગત ગુણધર્મોની વિવિધતામાંથી સૌથી આવશ્યક વસ્તુઓને અલગ પાડવામાં આવે છે. જો જરૂરી હોય તો, બાહ્ય વિશ્વ સાથેના હાલના જોડાણો વિશે ધારણાઓ બનાવવામાં આવે છે.

અગાઉ કહ્યું તેમ, કોઈપણ મોડેલ ઘટના સાથે સરખું હોતું નથી; પરંતુ મોડેલ તમામ ધારણાઓને સૂચિબદ્ધ કરે છે જે તે અંતર્ગત છે. આ ધારણાઓ અસંસ્કારી હોઈ શકે છે અને છતાં વાસ્તવિકતાનો સંપૂર્ણ સંતોષકારક અંદાજ પૂરો પાડે છે. એક જ ઘટના માટે ગાણિતિક સહિત અનેક મોડેલો બનાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે આનો ઉપયોગ કરીને સૌરમંડળના ગ્રહોની હિલચાલનું વર્ણન કરી શકો છો:

8 કેપ્લરનું મોડેલ, જેમાં ત્રણ કાયદાનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં સમાવેશ થાય છે ગાણિતિક સૂત્રો(લંબગોળ સમીકરણ);

8 ન્યુટનનું મોડેલ, જેમાં એક સૂત્ર છે, પરંતુ તેમ છતાં તે વધુ સામાન્ય અને સચોટ છે.

ઓપ્ટિક્સમાં, પ્રકાશના ઘણા મોડેલો ગણવામાં આવતા હતા: કોર્પસ્ક્યુલર, તરંગ અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક. અસંખ્ય જથ્થાત્મક દાખલાઓ તેમના માટે લેવામાં આવ્યા હતા. આમાંના દરેક મોડેલને તેના પોતાના ગાણિતિક અભિગમ અને યોગ્ય ગાણિતિક સાધનોની જરૂર હતી. કોર્પસ્ક્યુલર ઓપ્ટિક્સે યુક્લિડિયન ભૂમિતિના માધ્યમોનો ઉપયોગ કર્યો અને પ્રકાશના પ્રતિબિંબ અને રીફ્રેક્શનના નિયમોના નિષ્કર્ષ પર આવ્યા. પ્રકાશના સિદ્ધાંતના તરંગ મોડેલને નવાની જરૂર હતી ગાણિતિક વિચારોઅને કેવળ કોમ્પ્યુટેશનલ માધ્યમો દ્વારા પ્રકાશના વિવર્તન અને દખલગીરીની ઘટનાને લગતા નવા તથ્યો શોધવામાં આવ્યા હતા, જે અગાઉ જોવા મળ્યા ન હતા. ભૌમિતિક ઓપ્ટિક્સ, કોર્પસ્ક્યુલર મોડેલ સાથે સંકળાયેલ, અહીં શક્તિહીન હોવાનું બહાર આવ્યું.

બાંધવામાં આવેલ મોડેલ એવું હોવું જોઈએ કે તે સંશોધનમાં ઑબ્જેક્ટ (પ્રક્રિયા અથવા ઘટના) ને બદલી શકે અને તેની સાથે સમાન સુવિધાઓ હોવી જોઈએ. સમાનતા ક્યાં તો બંધારણમાં સમાનતા (આઇસોમોર્ફિઝમ) અથવા વર્તન અથવા કાર્યમાં સમાનતા (આઇસોફંક્શનલિટી) દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે. મૉડલ અને ઑરિજિનલ ઇન વચ્ચેની રચના અથવા કાર્યની સમાનતાને આધારે આધુનિક ટેકનોલોજીતપાસો, ગણતરી કરો અને ડિઝાઇન કરો અત્યંત જટિલ સિસ્ટમો, મશીનો અને માળખાં.

ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, એક જ ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા ઘટના માટે ઘણાં વિવિધ મોડેલો બનાવી શકાય છે. તેમાંના કેટલાક (જરૂરી નથી કે બધા) આઇસોમોર્ફિક હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, માં વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિસમતલમાં વળાંકનો ઉપયોગ અનુરૂપ બે-ચલ સમીકરણ માટે મોડેલ તરીકે થાય છે. આ કિસ્સામાં, મોડેલ (વળાંક) અને પ્રોટોટાઇપ (સમીકરણ) સિસ્ટમો માટે આઇસોમોર્ફિક છે (વળાંક પર આવેલા બિંદુઓ અને સમીકરણને સંતોષતી સંખ્યાઓની અનુરૂપ જોડી),

"ગણિત એક પ્રયોગ કરે છે" પુસ્તકમાં વિદ્વાન એન.એન. મોઇસેવ લખે છે કે કોઈપણ ગાણિતિક મોડલ ત્રણ રીતે ઉદ્ભવી શકે છે:

· ઑબ્જેક્ટ (પ્રક્રિયા અથવા ઘટના) (અસાધારણ ઘટના) ના સીધા અભ્યાસ અને સમજના પરિણામે (ઉદાહરણ - વાતાવરણ, સમુદ્રની ગતિશીલતાનું વર્ણન કરતા સમીકરણો),

કપાતની કેટલીક પ્રક્રિયાના પરિણામે, જ્યારે નવું મોડેલ પ્રાપ્ત થાય છે ખાસ કેસવધુ સામાન્ય મોડેલ (એસિમ્પટમેટિક) (ઉદાહરણ - વાતાવરણના હાઇડ્રો-થર્મોડાયનેમિક્સના સમીકરણો),

ઇન્ડક્શનની કેટલીક પ્રક્રિયાના પરિણામે, જ્યારે નવું મોડલ "પ્રાથમિક" મોડલ્સ (એન્સેમ્બલ મોડલ અથવા સામાન્યકૃત મોડલ) નું કુદરતી સામાન્યીકરણ છે.

ગાણિતિક મોડેલો વિકસાવવાની પ્રક્રિયામાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે તબક્કાઓ:

· સમસ્યાનું નિર્માણ;

· મોડેલિંગના હેતુનું નિર્ધારણ;

· વિષય વિસ્તારના સંશોધનનું આયોજન અને સંચાલન (મોડેલિંગ ઑબ્જેક્ટના ગુણધર્મોનું સંશોધન);

· મોડેલ વિકાસ;

તેની ચોકસાઈ અને વાસ્તવિકતા સાથે અનુપાલન તપાસવું;

· વ્યવહારુ ઉપયોગ, એટલે કે મોડેલનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ હેઠળની ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયામાં પ્રાપ્ત જ્ઞાનનું ટ્રાન્સફર.

વિશેષ અર્થપ્રત્યક્ષ અવલોકન અથવા પ્રયોગો માટે સંપૂર્ણપણે સુલભ ન હોય તેવા પદાર્થોના અભ્યાસમાં પ્રકૃતિના નિયમો અને ઘટનાઓને સમજવાના માર્ગ તરીકે મોડેલિંગ. આનો સમાવેશ થાય છે સામાજિક સિસ્ટમો, અભ્યાસ કરવાની એકમાત્ર સંભવિત રીત જે ઘણીવાર મોડેલિંગ છે.

સામાન્ય પદ્ધતિઓગાણિતિક મોડેલોનું કોઈ બાંધકામ નથી. દરેક ચોક્કસ કિસ્સામાં, ઉપલબ્ધ ડેટા, લક્ષ્ય અભિગમ, અભ્યાસના ઉદ્દેશ્યોને ધ્યાનમાં લેવું અને મોડેલની ચોકસાઈ અને વિગતને સંતુલિત કરવું જરૂરી છે. તે ઘટનાની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓને પ્રતિબિંબિત કરવી જોઈએ, આવશ્યક પરિબળો કે જેના પર મોડેલિંગની સફળતા મુખ્યત્વે આધાર રાખે છે.

મોડેલો વિકસાવતી વખતે, તમારે નીચેના મૂળભૂત સિદ્ધાંતોનું પાલન કરવું આવશ્યક છે: પદ્ધતિસરના સિદ્ધાંતોમોડેલિંગ સામાજિક ઘટના:

· સમસ્યારૂપતાનો સિદ્ધાંત, જે તૈયાર "સાર્વત્રિક" ગાણિતિક મોડેલોથી સમસ્યાઓ તરફ નહીં, પરંતુ વાસ્તવિક, વાસ્તવિક સમસ્યાઓથી - વિશેષ મોડલની શોધ અને વિકાસ તરફનો હિલચાલ સૂચવે છે;

· વ્યવસ્થિતતાનો સિદ્ધાંત, જે સિસ્ટમના તત્વો અને તેના પર્યાવરણના સંદર્ભમાં મોડેલની ઘટનાના તમામ સંબંધોને ધ્યાનમાં લે છે;

· પ્રકૃતિ અને સમાજના વિકાસના નિયમોમાં વિશિષ્ટ તફાવતો સાથે સંકળાયેલ વ્યવસ્થાપન પ્રક્રિયાઓના ઔપચારિકરણમાં પરિવર્તનશીલતાનો સિદ્ધાંત. તેને સમજાવવા માટે, સામાજિક પ્રક્રિયાઓના નમૂનાઓ અને કુદરતી ઘટનાઓનું વર્ણન કરતા મોડેલો વચ્ચેના મૂળભૂત તફાવતને જાહેર કરવો જરૂરી છે.

લેક્ચર નંબર 1

પરિચય. ગાણિતિક મોડેલો અને પદ્ધતિઓનો ખ્યાલ

વિભાગ 1. પરિચય

2. ગાણિતિક મોડેલો બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓ. નો ખ્યાલ વ્યવસ્થિત અભિગમ. 1

3. ગાણિતિક મોડેલિંગની મૂળભૂત વિભાવનાઓ આર્થિક સિસ્ટમો.. 4

4. વિશ્લેષણાત્મક, સિમ્યુલેશન અને પૂર્ણ-સ્કેલ મોડેલિંગની પદ્ધતિઓ. 5

પરીક્ષણ પ્રશ્નો.. 6

1. "મોડેલિંગ પદ્ધતિઓ" શિસ્તની સામગ્રીઓ, ધ્યેયો અને ઉદ્દેશ્યો

આ શિસ્ત મોડેલિંગ પદ્ધતિઓના અભ્યાસ માટે સમર્પિત છે અને વ્યવહારુ એપ્લિકેશનજ્ઞાન મેળવ્યું. શિસ્તનો હેતુ વિદ્યાર્થીઓને શિક્ષિત કરવાનો છે સામાન્ય મુદ્દાઓમૉડેલિંગ થિયરી, ગાણિતિક મૉડલ્સ બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓ અને ઔપચારિક વર્ણનપ્રક્રિયાઓ અને ઑબ્જેક્ટ્સ, કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગો કરવા અને ઉકેલવા માટે ગાણિતિક મોડેલોનો ઉપયોગ ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ, આધુનિક કમ્પ્યુટિંગ સાધનોનો ઉપયોગ કરીને.

શિસ્તના ઉદ્દેશ્યોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

વિદ્યાર્થીઓને ગાણિતિક મોડેલિંગના સિદ્ધાંત, સિસ્ટમ સિદ્ધાંત, સમાનતા સિદ્ધાંત, પ્રાયોગિક આયોજનનો સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક મોડેલો બનાવવા માટે વપરાતા પ્રાયોગિક ડેટાની પ્રક્રિયાના મૂળભૂત ખ્યાલોથી પરિચિત કરવા,

વિદ્યાર્થીઓને મોડેલિંગ સમસ્યાઓ, ઑબ્જેક્ટ/પ્રક્રિયાઓ/નું ગાણિતિક વર્ણન, કમ્પ્યુટર પર ગાણિતિક મોડલ્સને અમલમાં મૂકવા અને ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓના ક્ષેત્રમાં કુશળતા પ્રદાન કરવા.

શિસ્તના અભ્યાસના પરિણામ સ્વરૂપે, વિદ્યાર્થીએ પ્રક્રિયાઓ અને ઑબ્જેક્ટ્સના ગાણિતિક મોડેલિંગની પદ્ધતિમાં નિપુણતા મેળવવી જ જોઈએ સમસ્યાની રચનાથી લઈને કમ્પ્યુટર પર ગાણિતિક મોડેલોના અમલીકરણ સુધી અને મોડેલ સંશોધનના પરિણામોની રજૂઆત.

શિસ્ત અભ્યાસક્રમમાં 12 પ્રવચનો અને 12 વ્યવહારુ કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે. શિસ્તના અભ્યાસના પરિણામ સ્વરૂપે, વિદ્યાર્થીએ ગણિતના મોડેલિંગની પદ્ધતિમાં નિપુણતા મેળવવી જ જોઈએ સમસ્યાની રચનાથી લઈને કમ્પ્યુટર પર ગાણિતિક મોડેલોના અમલીકરણ સુધી.

2. ગાણિતિક મોડેલો બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓ. સિસ્ટમ અભિગમનો ખ્યાલ

5. સમસ્યાનું નિરાકરણ.

ઑપરેશન સંશોધન પદ્ધતિઓનો સતત ઉપયોગ અને આધુનિક માહિતી અને કમ્પ્યુટિંગ ટેક્નોલૉજી પર તેમના અમલીકરણથી વ્યક્તિત્વને દૂર કરવાનું શક્ય બને છે અને ઉદ્દેશ્ય સંજોગોના કડક અને સચોટ હિસાબના આધારે નહીં, પરંતુ રેન્ડમ લાગણીઓ અને વ્યક્તિગત હિતોના આધારે કહેવાતા મજબૂત-ઇચ્છાવાળા નિર્ણયોને દૂર કરવાનું શક્ય બને છે. સંચાલકો વિવિધ સ્તરોજે, વધુમાં, આ સ્વૈચ્છિક નિર્ણયોનું સંકલન કરી શકતા નથી.

સિસ્ટમ વિશ્લેષણ વ્યક્તિલક્ષી, કાર્યક્ષમતા માપદંડને બદલે, ઉદ્દેશ્યના દૃષ્ટિકોણથી લીધેલા નિર્ણયોનું સંકલન કરવા, સંચાલિત ઑબ્જેક્ટ વિશેની બધી ઉપલબ્ધ માહિતીને ધ્યાનમાં લેવાનું અને સંચાલનમાં ઉપયોગ કરવાનું શક્ય બનાવે છે. નિયંત્રણ કરતી વખતે ગણતરીઓ પર બચત એ ગોળીબાર કરતી વખતે લક્ષ્ય પર બચત કરવા સમાન છે. જો કે, કોમ્પ્યુટર માત્ર તમામ માહિતીને ધ્યાનમાં લેવાનું શક્ય બનાવતું નથી, પણ મેનેજરને બિનજરૂરી માહિતીથી રાહત આપે છે, અને વ્યક્તિને બાયપાસ કરીને તમામ જરૂરી માહિતીને બાયપાસ કરે છે, તેને ફક્ત સૌથી સામાન્ય માહિતી, ક્વીનસેન્સ સાથે રજૂ કરે છે. અર્થશાસ્ત્રમાં સિસ્ટમનો અભિગમ કોમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કર્યા વિના, સંશોધન પદ્ધતિ તરીકે અસરકારક છે, અને તે અગાઉ શોધાયેલા આર્થિક કાયદાઓને બદલતો નથી, પરંતુ ફક્ત તેનો શ્રેષ્ઠ ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખવે છે.

4. વિશ્લેષણાત્મક, સિમ્યુલેશન અને પૂર્ણ-સ્કેલ મોડેલિંગની પદ્ધતિઓ

સિમ્યુલેશન છે શક્તિશાળી પદ્ધતિવૈજ્ઞાનિક જ્ઞાન, જેમાં અભ્યાસ હેઠળની વસ્તુને મોડેલ તરીકે ઓળખાતી સરળ વસ્તુ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. મોડેલિંગ પ્રક્રિયાના મુખ્ય પ્રકારોને બે પ્રકારના ગણી શકાય - ગાણિતિક અને ભૌતિક મોડેલિંગ. ભૌતિક (સંપૂર્ણ-સ્કેલ) મોડેલિંગ દરમિયાન, અભ્યાસ હેઠળની સિસ્ટમ તેના અનુરૂપ અન્ય દ્વારા બદલવામાં આવે છે. સામગ્રી સિસ્ટમ, જે અભ્યાસ હેઠળની સિસ્ટમના ગુણધર્મોને સાચવીને પુનઃઉત્પાદન કરે છે ભૌતિક પ્રકૃતિ. આ પ્રકારના મોડેલિંગનું ઉદાહરણ એ એક પાયલોટ નેટવર્ક છે, જેની મદદથી ચોક્કસ કમ્પ્યુટર્સ, સંચાર ઉપકરણો, ઑપરેટિંગ સિસ્ટમ્સ અને એપ્લિકેશન્સ પર આધારિત નેટવર્ક બનાવવાની મૂળભૂત સંભાવનાનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

ભૌતિક મોડેલિંગ ક્ષમતાઓ તદ્દન મર્યાદિત છે. અભ્યાસ હેઠળના સિસ્ટમ પરિમાણોના સંયોજનોની નાની સંખ્યાનો ઉલ્લેખ કરતી વખતે તે તમને વ્યક્તિગત સમસ્યાઓ હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ખરેખર, જ્યારે પૂર્ણ-સ્કેલ મોડેલિંગકમ્પ્યુટર નેટવર્કનો ઉપયોગ કરીને વિકલ્પો માટે તેની કામગીરી તપાસવી લગભગ અશક્ય છે વિવિધ પ્રકારોસંચાર ઉપકરણો - રાઉટર્સ, સ્વીચો વગેરે. લગભગ એક ડઝનનું પ્રાયોગિક પરીક્ષણ વિવિધ પ્રકારોરૂટીંગ માત્ર મહાન પ્રયત્નો અને સમયના ખર્ચ સાથે જ નહીં, પણ નોંધપાત્ર સામગ્રી ખર્ચ સાથે પણ સંકળાયેલું છે.

પરંતુ એવા કિસ્સામાં પણ કે જ્યાં નેટવર્ક ઑપ્ટિમાઇઝેશન દરમિયાન, ઉપકરણો અને ઑપરેટિંગ સિસ્ટમ્સના પ્રકારો બદલાતા નથી, પરંતુ ફક્ત તેમના પરિમાણો, આ પરિમાણોના વિવિધ સંયોજનોની વિશાળ સંખ્યા માટે વાસ્તવિક સમયમાં પ્રયોગો હાથ ધરવા વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે. સમય. કોઈપણ પ્રોટોકોલમાં મહત્તમ પેકેટ કદ બદલવા માટે પણ પુનઃરૂપરેખાંકન જરૂરી છે ઓપરેટિંગ સિસ્ટમનેટવર્ક પરના સેંકડો કમ્પ્યુટર્સ પર, જેને નેટવર્ક એડમિનિસ્ટ્રેટર પાસેથી ઘણું કામ કરવાની જરૂર છે.

તેથી, નેટવર્કને ઑપ્ટિમાઇઝ કરતી વખતે, ઘણા કિસ્સાઓમાં તે ગાણિતિક મોડેલિંગનો ઉપયોગ કરવાનું વધુ સારું છે. ગાણિતિક મોડલ એ સંબંધોનો સમૂહ છે (સૂત્રો, સમીકરણો, અસમાનતાઓ, તાર્કિક પરિસ્થિતિઓ) જે તેના પરિમાણો, ઇનપુટ સિગ્નલોના આધારે સિસ્ટમની સ્થિતિને બદલવાની પ્રક્રિયા નક્કી કરે છે. પ્રારંભિક શરતોઅને સમય.

ગાણિતિક મોડલ્સનો એક ખાસ વર્ગ સિમ્યુલેશન મોડલ છે. આવા મોડેલો છે કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ, જે તબક્કાવાર ઘટનાઓનું પુનરુત્પાદન કરે છે વાસ્તવિક સિસ્ટમ. કોમ્પ્યુટર નેટવર્કના સંબંધમાં, તેમના સિમ્યુલેશન મોડલ્સ એપ્લીકેશનો દ્વારા સંદેશાઓ બનાવવાની પ્રક્રિયાઓનું પુનઃઉત્પાદન કરે છે, અમુક પ્રોટોકોલના પેકેટો અને ફ્રેમ્સમાં સંદેશાઓને તોડી નાખે છે, સંદેશાઓની પ્રક્રિયા સાથે સંકળાયેલ વિલંબ, ઓપરેટિંગ સિસ્ટમમાં પેકેટો અને ફ્રેમ્સ, કમ્પ્યુટરની ઍક્સેસ મેળવવાની પ્રક્રિયા. વહેંચાયેલ નેટવર્ક વાતાવરણ, રાઉટર દ્વારા ઇનકમિંગ પેકેટો પર પ્રક્રિયા કરવાની પ્રક્રિયા વગેરે. નેટવર્કનું અનુકરણ કરતી વખતે, ખર્ચાળ સાધનો ખરીદવાની જરૂર નથી - તેનું સંચાલન એવા પ્રોગ્રામ્સ દ્વારા સિમ્યુલેટ કરવામાં આવે છે જે આવા સાધનોના તમામ મુખ્ય લક્ષણો અને પરિમાણોને તદ્દન સચોટ રીતે પુનઃઉત્પાદિત કરે છે.

સિમ્યુલેશન મોડલ્સનો ફાયદો એ છે કે અભ્યાસ હેઠળની સિસ્ટમમાં બદલાતી ઘટનાઓની પ્રક્રિયાને રીઅલ ટાઇમમાં પ્રોગ્રામની ગતિએ બદલાતી ઘટનાઓની ઝડપી પ્રક્રિયા સાથે બદલવાની ક્ષમતા. પરિણામે, થોડીવારમાં નેટવર્કના ઓપરેશનને ઘણા દિવસો સુધી પુનઃઉત્પાદિત કરવું શક્ય બને છે, જે વિવિધ પરિમાણોની વિશાળ શ્રેણીમાં નેટવર્કના સંચાલનનું મૂલ્યાંકન કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

સિમ્યુલેશન મોડલનું પરિણામ એ સૌથી વધુ વિશે ચાલી રહેલી ઘટનાઓના અવલોકન દરમિયાન એકત્રિત કરાયેલ આંકડાકીય માહિતી છે મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓનેટવર્ક: પ્રતિભાવ સમય, ચેનલો અને નોડ્સનો ઉપયોગ દર, પેકેટ નુકશાનની સંભાવના, વગેરે.

ખાસ ભાષાઓ છે સિમ્યુલેશન મોડેલિંગ, જે સાર્વત્રિક પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓના ઉપયોગની તુલનામાં પ્રોગ્રામ મોડેલ બનાવવાની પ્રક્રિયાને સરળ બનાવે છે. સિમ્યુલેશન ભાષાઓના ઉદાહરણોમાં SIMULA, GPSS, SIMDIS જેવી ભાષાઓનો સમાવેશ થાય છે.

ત્યાં સિમ્યુલેશન મોડેલિંગ સિસ્ટમ્સ પણ છે જે અભ્યાસ કરવામાં આવતી સિસ્ટમ્સના સાંકડા વર્ગ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે અને તમને પ્રોગ્રામિંગ વિના મોડેલ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે.

નિયંત્રણ પ્રશ્નો

લેક્ચર 4

ગાણિતિક મોડેલિંગની વ્યાખ્યા અને હેતુ

હેઠળ મોડેલ(લેટિન મોડ્યુલસ - માપ, નમૂના, ધોરણમાંથી) આપણે આવા ભૌતિક અથવા માનસિક રીતે રજૂ કરાયેલ પદાર્થને સમજીશું, જે સમજશક્તિ (અભ્યાસ) ની પ્રક્રિયામાં મૂળ પદાર્થને બદલે છે, તેના કેટલાક વિશિષ્ટ લક્ષણોને સાચવે છે જે આ અભ્યાસ માટે મહત્વપૂર્ણ છે. મોડેલ બનાવવાની અને તેનો ઉપયોગ કરવાની પ્રક્રિયાને મોડેલિંગ કહેવામાં આવે છે.

સાર ગાણિતિક મોડેલિંગ (એમએમ) અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટ (પ્રક્રિયા) ને પર્યાપ્ત ગાણિતિક મોડલ વડે બદલવાનો અને વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓ અથવા કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગોનો ઉપયોગ કરીને આ મોડેલના ગુણધર્મોના અનુગામી અભ્યાસનો સમાવેશ કરે છે.

કેટલીકવાર તે વધુ ઉપયોગી છે, કડક વ્યાખ્યાઓ આપવાને બદલે, ચોક્કસ ખ્યાલને સંદર્ભમાં વર્ણવવા માટે ચોક્કસ ઉદાહરણ. તેથી, અમે ચોક્કસ આવેગની ગણતરી કરવાની સમસ્યાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને MM ની ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાઓને સમજાવીએ છીએ. 60 ના દાયકાની શરૂઆતમાં, વૈજ્ઞાનિકોને સૌથી વધુ ચોક્કસ આવેગ સાથે રોકેટ બળતણ વિકસાવવાના કાર્યનો સામનો કરવો પડ્યો હતો. રોકેટ પ્રોપલ્શનનો સિદ્ધાંત નીચે મુજબ છે: રોકેટ ટાંકીમાંથી પ્રવાહી ઇંધણ અને ઓક્સિડાઇઝર એન્જિનને પૂરા પાડવામાં આવે છે, જ્યાં તે બળી જાય છે, અને કમ્બશન ઉત્પાદનો વાતાવરણમાં છોડવામાં આવે છે. વેગના સંરક્ષણના કાયદા પરથી તે અનુસરે છે કે આ કિસ્સામાં રોકેટ ઝડપ સાથે આગળ વધશે.

બળતણનો ચોક્કસ આવેગ એ પ્રાપ્ત થયેલ આવેગ છે જેને બળતણના સમૂહ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. પ્રયોગો હાથ ધરવા ખૂબ ખર્ચાળ હતા અને તેના કારણે સાધનોને વ્યવસ્થિત નુકસાન થયું હતું. તે બહાર આવ્યું છે કે થર્મોડાયનેમિક કાર્યોની ગણતરી કરવી સરળ અને સસ્તી છે આદર્શ વાયુઓ, તેનો ઉપયોગ કરીને બહાર નીકળતા વાયુઓની રચના અને પ્લાઝ્મા તાપમાન અને પછી ચોક્કસ આવેગની ગણતરી કરો. એટલે કે, બળતણ કમ્બશન પ્રક્રિયાના એમએમ હાથ ધરવા.

ગાણિતિક મોડેલિંગ (MM) નો ખ્યાલ આજે વૈજ્ઞાનિક સાહિત્યમાં સૌથી સામાન્ય છે. આધુનિક ડિપ્લોમાની વિશાળ બહુમતી અને નિબંધોયોગ્ય ગાણિતિક મોડેલોના વિકાસ અને ઉપયોગ સાથે સંકળાયેલ. કમ્પ્યુટર આજે એમ.એમ અભિન્ન ભાગઘણા વિસ્તારો માનવ પ્રવૃત્તિ(વિજ્ઞાન, ટેકનોલોજી, અર્થશાસ્ત્ર, સમાજશાસ્ત્ર, વગેરે). આજે ઇન્ફોર્મેશન ટેક્નોલોજીના ક્ષેત્રમાં નિષ્ણાતોની અછતનું આ એક કારણ છે.

કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીના ઝડપી સુધારાને કારણે ગાણિતિક મોડેલિંગનો ઝડપી વિકાસ થયો છે. જો 20 વર્ષ પહેલાં સંખ્યાત્મક ગણતરીમાં માત્ર થોડી સંખ્યામાં પ્રોગ્રામરો સામેલ હતા, તો હવે આધુનિક કમ્પ્યુટર્સની મેમરી ક્ષમતા અને ઝડપ યુનિવર્સિટીના વિદ્યાર્થીઓ સહિત તમામ નિષ્ણાતો માટે સુલભ ગાણિતિક મોડેલિંગ સમસ્યાઓ ઉકેલવાનું શક્ય બનાવે છે.

કોઈપણ શિસ્તમાં, ઘટનાનું ગુણાત્મક વર્ણન પ્રથમ આપવામાં આવે છે. અને પછી - જથ્થાત્મક, વચ્ચે જોડાણો સ્થાપિત કરતા કાયદાના સ્વરૂપમાં ઘડવામાં આવે છે વિવિધ માત્રામાંગાણિતિક સમીકરણોના સ્વરૂપમાં (ક્ષેત્રની શક્તિ, સ્કેટરિંગ તીવ્રતા, ઇલેક્ટ્રોન ચાર્જ, ...) તેથી, આપણે કહી શકીએ કે દરેક વિદ્યાશાખામાં ગણિત જેટલું વિજ્ઞાન છે, અને આ હકીકત ગાણિતિક મોડેલિંગ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઘણી સમસ્યાઓને સફળતાપૂર્વક હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

આ કોર્સ એપ્લાઇડ મેથેમેટિક્સમાં મુખ્ય કરતા વિદ્યાર્થીઓ માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યો છે જેઓ વિવિધ ક્ષેત્રોમાં કામ કરતા અગ્રણી વૈજ્ઞાનિકોની દેખરેખ હેઠળ તેમના સ્નાતક કાર્ય પૂર્ણ કરી રહ્યાં છે. તેથી, આ કોર્સ જરૂરી છે એટલું જ નહીં શૈક્ષણિક સામગ્રી, પણ માટે તૈયારી તરીકે ડિપ્લોમા કામ. આ અભ્યાસક્રમનો અભ્યાસ કરવા માટે અમને ગણિતના નીચેના વિભાગોની જરૂર પડશે:

1. સમીકરણો ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર(કેન્ટ મિકેનિક્સ, ગેસ અને હાઇડ્રોડાયનેમિક્સ)

2. રેખીય બીજગણિત (સ્થિતિસ્થાપકતા સિદ્ધાંત)

3. સ્કેલર અને વેક્ટર ક્ષેત્રો (ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત)

4. સંભાવના સિદ્ધાંત (ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ, આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્ર, ભૌતિક ગતિશાસ્ત્ર)

5. વિશેષ કાર્યો.

6. ટેન્સર વિશ્લેષણ (સ્થિતિસ્થાપકતા સિદ્ધાંત)

7. ગાણિતિક વિશ્લેષણ

કુદરતી વિજ્ઞાન, ટેકનોલોજી અને અર્થશાસ્ત્રમાં MM

ચાલો સૌપ્રથમ પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાન, ટેકનોલોજી અને અર્થશાસ્ત્રના વિવિધ વિભાગોને ધ્યાનમાં લઈએ જેમાં ગાણિતિક મોડેલોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

કુદરતી વિજ્ઞાન

ભૌતિકશાસ્ત્ર, જે કુદરતી વિજ્ઞાનના મૂળભૂત નિયમોને સ્થાપિત કરે છે, તેને લાંબા સમયથી સૈદ્ધાંતિક અને પ્રાયોગિકમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યું છે. સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર ભૌતિક ઘટનાઓનું વર્ણન કરતા સમીકરણોના વ્યુત્પત્તિ સાથે વ્યવહાર કરે છે. આમ, સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રને પણ ગાણિતિક મોડેલિંગના ક્ષેત્રોમાંનું એક ગણી શકાય. (યાદ રાખો કે ભૌતિકશાસ્ત્ર પરના પ્રથમ પુસ્તકનું શીર્ષક - આઇ. ન્યૂટન દ્વારા “ધ મેથેમેટિકલ પ્રિન્સિપલ ઓફ નેચરલ ફિલોસોફી” નો અનુવાદ કરી શકાય છે. આધુનિક ભાષા"કુદરતી વિજ્ઞાનના ગાણિતિક મોડલ" તરીકે.) પ્રાપ્ત કાયદાઓના આધારે, એન્જિનિયરિંગ ગણતરીઓ હાથ ધરવામાં આવે છે, જે વિવિધ સંસ્થાઓ, કંપનીઓ, ડિઝાઇન બ્યુરોમાં હાથ ધરવામાં આવે છે. આ સંસ્થાઓ આધુનિક ઉત્પાદનોના ઉત્પાદન માટે તકનીકો વિકસાવે છે જે જ્ઞાન-સઘન છે આમ, વિજ્ઞાન-સઘન તકનીકોના ખ્યાલમાં યોગ્ય ગાણિતિક મોડલનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓનો સમાવેશ થાય છે.

ભૌતિકશાસ્ત્રની સૌથી વ્યાપક શાખાઓમાંની એક છે શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ(ક્યારેક આ વિભાગને સૈદ્ધાંતિક અથવા વિશ્લેષણાત્મક મિકેનિક્સ). આ વિભાગ સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રશરીરની હિલચાલ અને ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનો અભ્યાસ કરે છે. સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સશરીરના પરિભ્રમણનો અભ્યાસ કરતી વખતે જરૂરી છે (જડતાની ક્ષણોની ગણતરી, ગાયરોસ્ટેટ્સ - ઉપકરણો કે જે પરિભ્રમણની ધરીને સ્થિર રાખે છે), વાયુહીન અવકાશમાં શરીરની હિલચાલનું વિશ્લેષણ વગેરે. સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સના વિભાગોમાંથી એકને સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે છે સ્થિરતાની અને ઘણા ગાણિતિક મોડલને નીચે આપે છે જે એરક્રાફ્ટ, જહાજો, મિસાઇલોની હિલચાલનું વર્ણન કરે છે. વિભાગો વ્યવહારુ મિકેનિક્સ- અભ્યાસક્રમો "મશીનો અને મિકેનિઝમનો સિદ્ધાંત", "મશીન ભાગો", લગભગ તમામ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. તકનીકી યુનિવર્સિટીઓ(MGIU સહિત).

સ્થિતિસ્થાપકતા સિદ્ધાંત- વિભાગનો ભાગ મિકેનિક્સ સાતત્ય , ધારી રહ્યા છીએ કે સામગ્રી સ્થિતિસ્થાપક શરીરએકરૂપ અને શરીરના સમગ્ર જથ્થામાં સતત વિતરિત, જેથી શરીરમાંથી કાપવામાં આવેલ સૌથી નાનું તત્વ સમાન હોય. ભૌતિક ગુણધર્મો, આખા શરીરની જેમ. સ્થિતિસ્થાપકતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ - "સામગ્રીની શક્તિ" કોર્સ, તમામ તકનીકી યુનિવર્સિટીઓ (મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી સહિત) ના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. આ વિભાગ તમામ તાકાત ગણતરીઓ માટે જરૂરી છે. આમાં જહાજો, એરક્રાફ્ટ, રોકેટના હલ્સની તાકાતની ગણતરી, સ્ટીલની તાકાતની ગણતરી અને ઇમારતોના પ્રબલિત કોંક્રિટ માળખાં અને ઘણું બધું શામેલ છે.

ગેસ અને હાઇડ્રોડાયનેમિક્સ, સ્થિતિસ્થાપકતાના સિદ્ધાંતની જેમ, વિભાગનો એક ભાગ છે સાતત્ય મિકેનિક્સ, પ્રવાહી અને વાયુઓની ગતિના નિયમોની તપાસ કરે છે. પ્રવાહી અને વાયુયુક્ત માધ્યમો (ઉપગ્રહો, સબમરીન, રોકેટ, શેલ્સ, કાર), જ્યારે રોકેટ અને એરક્રાફ્ટ એન્જિનના નોઝલમાંથી ગેસના આઉટફ્લોની ગણતરી કરવામાં આવે છે. હાઇડ્રોડાયનેમિક્સનો વ્યવહારુ ઉપયોગ - હાઇડ્રોલિક્સ (બ્રેક, સ્ટીયરિંગ વ્હીલ,...)

મિકેનિક્સના અગાઉના વિભાગો મેક્રોકોઝમમાં શરીરની હિલચાલને ધ્યાનમાં લેતા હતા, અને ભૌતિક કાયદામાઇક્રોકોઝમમાં મેક્રોકોઝમ લાગુ પડતું નથી, જેમાં પદાર્થના કણો - પ્રોટોન, ન્યુટ્રોન, ઇલેક્ટ્રોન ફરે છે. સંપૂર્ણપણે અલગ સિદ્ધાંતો અહીં લાગુ પડે છે, અને માઇક્રોવર્લ્ડનું વર્ણન કરવા માટે તે જરૂરી છે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ. માઇક્રોપાર્ટિકલ્સની વર્તણૂકનું વર્ણન કરતું મૂળભૂત સમીકરણ એ શ્રોડિન્જર સમીકરણ છે: . અહીં હેમિલ્ટોનિયન ઓપરેટર (હેમિલ્ટનિયન) છે. કણ ગતિના એક-પરિમાણીય સમીકરણ માટે https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-સંભવિત ઊર્જા. આનો ઉકેલ સમીકરણ એ સમૂહ છે eigenvaluesઊર્જા અને eigenfunctions..gif" width="55" height="24 src=">– સંભાવના ઘનતા. નવી સામગ્રી (માઈક્રોસર્કિટ્સ), લેસરોની રચના, પદ્ધતિઓના વિકાસ માટે ક્વોન્ટમ યાંત્રિક ગણતરીઓ જરૂરી છે. સ્પેક્ટ્રલ વિશ્લેષણ, અને વગેરે.

મોટી સંખ્યામાં સમસ્યાઓ હલ કરો ગતિશાસ્ત્ર, કણોની હિલચાલ અને ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું વર્ણન કરે છે. અહીં આપણી પાસે પ્રસરણ, હીટ ટ્રાન્સફર અને પ્લાઝ્માનો સિદ્ધાંત છે - પદાર્થની ચોથી અવસ્થા.

આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રકણોના જોડાણને ધ્યાનમાં લે છે, અમને વ્યક્તિગત કણોના ગુણધર્મોના આધારે જોડાણના પરિમાણો વિશે કહેવાની મંજૂરી આપે છે. જો જોડાણમાં ગેસના પરમાણુઓ હોય, તો પછી વ્યુત્પન્ન પદ્ધતિઓ આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રએસેમ્બલના ગુણધર્મો એ ગેસ સ્ટેટના સમીકરણો છે, જે હાઇ સ્કૂલથી જાણીતું છે: https://pandia.ru/text/78/009/images/image009_85.gif" width="16" height="17 src=" >.gif" પહોળાઈ = "16" height="17">-ગેસનું મોલેક્યુલર વજન. K - રાયડબર્ગ સતત. આંકડાકીય પદ્ધતિઓધાતુઓમાં ઉકેલો, સ્ફટિકો અને ઇલેક્ટ્રોનના ગુણધર્મો પણ ગણવામાં આવે છે. આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રનો MM - સૈદ્ધાંતિક આધારથર્મોડાયનેમિક્સ, જે એન્જિન, હીટિંગ નેટવર્ક અને સ્ટેશનોની ગણતરીને અંતર્ગત કરે છે.

ક્ષેત્ર સિદ્ધાંત MM પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને દ્રવ્યના મુખ્ય સ્વરૂપો પૈકી એકનું વર્ણન કરે છે - ક્ષેત્ર. આ કિસ્સામાં, મુખ્ય રસ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રો છે. સમીકરણો ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર(ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ) મેક્સવેલ દ્વારા લેવામાં આવ્યા હતા: , , . અહીં અને https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - ચાર્જ ઘનતા, - વર્તમાન ઘનતા. ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના સમીકરણો પ્રચારની ગણતરીઓને અન્ડરલી કરે છે રેડિયો તરંગો (રેડિયો, ટેલિવિઝન, સેલ્યુલર કોમ્યુનિકેશન્સ) ના પ્રસારનું વર્ણન કરવા અને રડાર સ્ટેશનોના સંચાલનને સમજાવવા માટે જરૂરી ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોની.

રસાયણશાસ્ત્રને બે પાસાઓમાં રજૂ કરી શકાય છે, વર્ણનાત્મક રસાયણશાસ્ત્ર - રાસાયણિક પરિબળોની શોધ અને તેમના વર્ણન - અને સૈદ્ધાંતિક રસાયણશાસ્ત્ર - સિદ્ધાંતોનો વિકાસ જે સ્થાપિત પરિબળોને સામાન્ય બનાવવા અને તેમને ચોક્કસ સિસ્ટમના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે (એલ. પાઉલિંગ ). સૈદ્ધાંતિક રસાયણશાસ્ત્રને ભૌતિક રસાયણશાસ્ત્ર પણ કહેવામાં આવે છે અને તે સારમાં, ભૌતિકશાસ્ત્રની એક શાખા છે જે પદાર્થો અને તેમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરે છે. તેથી, ભૌતિકશાસ્ત્ર વિશે જે કહેવામાં આવ્યું છે તે બધું રસાયણશાસ્ત્રને સંપૂર્ણપણે લાગુ પડે છે. વિભાગો ભૌતિક રસાયણશાસ્ત્રત્યાં થર્મોકેમિસ્ટ્રી હશે, જે પ્રતિક્રિયાઓની થર્મલ અસરો, રાસાયણિક ગતિશાસ્ત્ર (પ્રતિક્રિયા દર), ક્વોન્ટમ રસાયણશાસ્ત્ર (પરમાણુઓની રચના) નો અભ્યાસ કરે છે. તે જ સમયે, રસાયણશાસ્ત્રની સમસ્યાઓ અત્યંત જટિલ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્વોન્ટમ રસાયણશાસ્ત્રની સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે - અણુઓ અને પરમાણુઓની રચનાનું વિજ્ઞાન - એવા કાર્યક્રમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જે દેશના હવાઈ સંરક્ષણ કાર્યક્રમોના અવકાશમાં તુલનાત્મક છે. ઉદાહરણ તરીકે, UCl4 પરમાણુનું વર્ણન કરવા માટે, જેમાં 5 અણુ ન્યુક્લી અને +17*4) ઇલેક્ટ્રોન હોય છે, તમારે ગતિના સમીકરણ - આંશિક વિભેદક સમીકરણો લખવાની જરૂર છે.

બાયોલોજી

ગણિત ખરેખર 20મી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં જ જીવવિજ્ઞાનમાં આવ્યું. ગાણિતિક રીતે વર્ણન કરવાનો પ્રથમ પ્રયાસ જૈવિક પ્રક્રિયાઓવસ્તી ગતિશીલતાના નમૂનાઓનો સંદર્ભ લો. વસ્તી એ એક જ પ્રજાતિના વ્યક્તિઓનો સમુદાય છે જે પૃથ્વી પર અવકાશના ચોક્કસ ક્ષેત્ર પર કબજો કરે છે. આ વિસ્તાર ગાણિતિક જીવવિજ્ઞાન, જે વસ્તીના કદમાં થતા ફેરફારોનો અભ્યાસ કરે છે વિવિધ શરતો(સ્પર્ધક પ્રજાતિઓ, શિકારી, રોગો, વગેરેની હાજરી) અને ત્યારબાદ ગાણિતિક પરીક્ષણ ગ્રાઉન્ડ તરીકે સેવા આપી હતી જેના પર ગાણિતિક મોડેલોનું "પરીક્ષણ" કરવામાં આવ્યું હતું. વિવિધ વિસ્તારોબાયોલોજી. ઉત્ક્રાંતિ, માઇક્રોબાયોલોજી, ઇમ્યુનોલોજી અને કોષની વસ્તી સંબંધિત અન્ય ક્ષેત્રોના મોડેલો સહિત.
જૈવિક ફોર્મ્યુલેશનમાં ઘડવામાં આવેલું ખૂબ જ પ્રથમ જાણીતું મોડેલ પ્રખ્યાત ફિબોનાકી શ્રેણી છે (દરેક અનુગામી સંખ્યા અગાઉના બેનો સરવાળો છે), જે પીસાના લિયોનાર્ડોએ 13મી સદીમાં તેમના કાર્યમાં ટાંક્યો હતો. આ સંખ્યાઓની શ્રેણી છે જે દર મહિને જન્મેલા સસલાની જોડીની સંખ્યાનું વર્ણન કરે છે જો સસલા બીજા મહિનાથી સંવર્ધન શરૂ કરે અને દર મહિને સસલાની જોડી ઉત્પન્ન કરે. પંક્તિ સંખ્યાઓનો ક્રમ દર્શાવે છે: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

8, 13, …

બીજું ઉદાહરણ કૃત્રિમ બાયલેયર મેમ્બ્રેન પર આયન ટ્રાન્સમેમ્બ્રેન પરિવહન પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ છે. અહીં, છિદ્રની રચનાના નિયમોનો અભ્યાસ કરવા માટે, જેના દ્વારા આયન કોષમાં પટલમાંથી પસાર થાય છે, એક મોડેલ સિસ્ટમ બનાવવી જરૂરી છે જેનો પ્રાયોગિક રીતે અભ્યાસ કરી શકાય, અને જેના માટે વિજ્ઞાન દ્વારા સારી રીતે વિકસિત ભૌતિક વર્ણન વાપરેલુ.

એમએમનું ઉત્તમ ઉદાહરણ ડ્રોસોફિલાની વસ્તી પણ છે. એક વધુ અનુકૂળ મોડલ વાયરસ છે, જે વિટ્રોમાં પ્રચાર કરી શકાય છે. જીવવિજ્ઞાનમાં મોડેલિંગ પદ્ધતિઓ ગતિશીલ સિસ્ટમ સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓ છે, અને અર્થ એ છે વિભેદક અને તફાવત સમીકરણો, વિભેદક સમીકરણોના ગુણાત્મક સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓ અને સિમ્યુલેશન મોડેલિંગ.
જીવવિજ્ઞાનમાં મોડેલિંગના લક્ષ્યો:
3. સિસ્ટમ તત્વો વચ્ચે ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની પદ્ધતિઓનું સ્પષ્ટીકરણ
4. પ્રાયોગિક ડેટાનો ઉપયોગ કરીને મોડેલ પરિમાણોની ઓળખ અને ચકાસણી.
5. સિસ્ટમ (મોડેલ) ની સ્થિરતાનું મૂલ્યાંકન.

6. વિવિધ બાહ્ય પ્રભાવ હેઠળ સિસ્ટમના વર્તનની આગાહી, વિવિધ રીતેસંચાલન, વગેરે.
7. પસંદ કરેલ શ્રેષ્ઠતા માપદંડ અનુસાર સિસ્ટમનું શ્રેષ્ઠ નિયંત્રણ.

ટેકનીક

ટેકનોલોજી સુધારે છે મોટી સંખ્યામાનિષ્ણાતો કે જેઓ તેમના કાર્યને પરિણામો પર આધાર રાખે છે વૈજ્ઞાનિક સંશોધન. તેથી, ટેક્નોલોજીમાં MM એ કુદરતી વિજ્ઞાનમાં MM સમાન છે, જેની ઉપર ચર્ચા કરવામાં આવી હતી.

અર્થશાસ્ત્ર અને સામાજિક પ્રક્રિયાઓ

તે સામાન્ય રીતે સ્વીકારવામાં આવે છે કે મેક્રોઇકોનોમિક પ્રક્રિયાઓનું વિશ્લેષણ કરવાની પદ્ધતિ તરીકે ગાણિતિક મોડેલિંગનો ઉપયોગ સૌપ્રથમ રાજા લુઇસ XV ના ચિકિત્સક ડૉ. ફ્રાન્કોઇસ ક્વેસ્ને, જેમણે 1758 માં "ઇકોનોમિક ટેબલ" કૃતિ પ્રકાશિત કરી. આ કાર્ય માત્રાત્મક રીતે વર્ણવવાનો પ્રથમ પ્રયાસ હતો રાષ્ટ્રીય અર્થતંત્ર. અને પુસ્તકમાં 1838 માં ઓ. કોર્નોટ"એ સ્ટડી ઓફ ધ મેથેમેટિકલ પ્રિન્સિપલ ઓફ વેલ્થ થિયરી" જથ્થાત્મક પદ્ધતિઓનો સૌપ્રથમ ઉપયોગ બજારની વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં ઉત્પાદન બજારમાં સ્પર્ધાનું વિશ્લેષણ કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો.

માલ્થસનો વસ્તીનો સિદ્ધાંત પણ વ્યાપકપણે જાણીતો છે, જેમાં તેણે આ વિચારનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો: વસ્તી વૃદ્ધિ હંમેશા ઇચ્છનીય નથી, અને આ વૃદ્ધિ ઝડપથી જાય છે, જે વસ્તીને ખોરાક પૂરો પાડવાની શક્યતાઓને વધારે છે. આવી પ્રક્રિયાનું ગાણિતિક મોડલ એકદમ સરળ છે: સમય દરમિયાન વસ્તી વૃદ્ધિ થવા દો https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> પ્રજનનક્ષમતા અને મૃત્યુદર (વ્યક્તિ/વર્ષ) ને ધ્યાનમાં લેતા.

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટલ અને ગાણિતિક પદ્ધતિઓ " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="બુકમાર્ક"> ગાણિતિક પદ્ધતિઓવિશ્લેષણ (ઉદાહરણ તરીકે, તાજેતરના દાયકાઓમાં, માનવતામાં સાંસ્કૃતિક વિકાસના ગાણિતિક સિદ્ધાંતો દેખાયા છે, ગતિશીલતાના ગાણિતિક મોડેલો બનાવવામાં આવ્યા છે અને તેનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે, ચક્રીય વિકાસસામાજિક-સાંસ્કૃતિક પ્રક્રિયાઓ, લોકો અને સરકાર વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું મોડેલ, શસ્ત્ર સ્પર્ધાનું મોડેલ, વગેરે).

સૌથી સામાન્ય શબ્દોમાં, સામાજિક-આર્થિક પ્રક્રિયાઓની MM પ્રક્રિયાને ચાર તબક્કામાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

પૂર્વધારણાઓની સિસ્ટમની રચના અને વૈચારિક મોડેલનો વિકાસ; ગાણિતિક મોડેલનો વિકાસ; મોડેલ ગણતરીઓના પરિણામોનું વિશ્લેષણ, જેમાં પ્રેક્ટિસ સાથે તેમની સરખામણી કરવાનો સમાવેશ થાય છે; ગણતરીના પરિણામો અને વ્યવહારુ ડેટા વચ્ચે વિસંગતતાના કિસ્સામાં નવી પૂર્વધારણાઓનું નિર્માણ અને મોડેલનું શુદ્ધિકરણ.

નોંધ કરો કે, એક નિયમ તરીકે, ગાણિતિક મોડેલિંગની પ્રક્રિયા ચક્રીય છે, કારણ કે તુલનાત્મક રીતે અભ્યાસ કરતી વખતે પણ સરળ પ્રક્રિયાઓપર્યાપ્ત ગાણિતિક મોડેલ બનાવવું અને પ્રથમ પગલાથી તેના ચોક્કસ પરિમાણો પસંદ કરવાનું ભાગ્યે જ શક્ય છે.

હાલમાં, અર્થતંત્રને જટિલ વિકાસશીલ સિસ્ટમ તરીકે ગણવામાં આવે છે, માટે માત્રાત્મક વર્ણનજે જટિલતાની વિવિધ ડિગ્રીના ગતિશીલ ગાણિતિક મોડલનો ઉપયોગ કરે છે. મેક્રોઇકોનોમિક ડાયનેમિક્સમાં સંશોધનનું એક ક્ષેત્ર પ્રમાણમાં સરળ બિનરેખીય સિમ્યુલેશન મોડલ્સના નિર્માણ અને વિશ્લેષણ સાથે સંકળાયેલું છે જે વિવિધ સબસિસ્ટમ્સની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને પ્રતિબિંબિત કરે છે - શ્રમ બજાર, માલ બજાર, નાણાકીય સિસ્ટમ, કુદરતી વાતાવરણઅને વગેરે

આપત્તિનો સિદ્ધાંત સફળતાપૂર્વક વિકાસ કરી રહ્યો છે. આ સિદ્ધાંત તે પરિસ્થિતિઓના પ્રશ્નને સંબોધે છે કે જેના હેઠળ પરિમાણોમાં ફેરફાર થાય છે બિનરેખીય સિસ્ટમબિંદુને ખસેડવાનું કારણ બને છે તબક્કાની જગ્યા, સિસ્ટમની સ્થિતિની લાક્ષણિકતા, આકર્ષણના પ્રદેશથી પ્રારંભિક સંતુલન સ્થિતિ તરફ આકર્ષણના પ્રદેશ સુધી અન્ય સંતુલન સ્થિતિ. બાદમાં માત્ર તકનીકી પ્રણાલીઓના વિશ્લેષણ માટે જ નહીં, પણ સામાજિક-આર્થિક પ્રક્રિયાઓની સ્થિરતાને સમજવા માટે પણ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. આ સંદર્ભે, તારણો રસપ્રદ છે મેનેજમેન્ટ માટે નોનલાઇનર મોડલ્સના અભ્યાસના મહત્વ વિશે. 1990 માં પ્રકાશિત થયેલ પુસ્તક "ધ થિયરી ઓફ ડિઝાસ્ટર" માં, તેઓ ખાસ કરીને લખે છે: "... વર્તમાન પુનર્ગઠન મોટાભાગે એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે કે ઓછામાં ઓછી કેટલીક મિકેનિઝમ્સ કામ કરવાનું શરૂ કર્યું છે. પ્રતિસાદ(વ્યક્તિગત વિનાશનો ડર).

(મોડેલ પરિમાણો)

વાસ્તવિક વસ્તુઓ અને અસાધારણ ઘટનાના નમૂનાઓ બનાવતી વખતે, વ્યક્તિએ ઘણીવાર માહિતીના અભાવનો સામનો કરવો પડે છે. અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટ માટે, ગુણધર્મોનું વિતરણ, અસરના પરિમાણો અને પ્રારંભિક સ્થિતિ અનિશ્ચિતતાની વિવિધ ડિગ્રી સાથે જાણીતી છે. મોડેલ બનાવતી વખતે, અનિશ્ચિત પરિમાણોનું વર્ણન કરવા માટે નીચેના વિકલ્પો શક્ય છે:

ગાણિતિક મોડેલોનું વર્ગીકરણ

(અમલીકરણ પદ્ધતિઓ)

MM અમલીકરણ માટેની પદ્ધતિઓ નીચે આપેલા કોષ્ટક અનુસાર વર્ગીકૃત કરી શકાય છે.