આ પોસ્ટ એ જવાબનો મફત અનુવાદ છે જે માર્ક આઈચેનલોબે ક્વોરા વેબસાઈટ પર પૂછવામાં આવેલ એન્ટ્રોપીને સમજવાની સાહજિક રીત શું છે?

એન્ટ્રોપી. ભૌતિકશાસ્ત્રના અભ્યાસક્રમમાં તમે અનુભવી શકો છો તે સમજવા માટે આ કદાચ સૌથી મુશ્કેલ વિભાવનાઓમાંની એક છે, ઓછામાં ઓછું જ્યારે તે શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રની વાત આવે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રના થોડા સ્નાતકો તે શું છે તે સમજાવી શકે છે. એન્ટ્રોપીને સમજવાની મોટાભાગની સમસ્યાઓ, જો કે, એક વસ્તુને સમજીને ઉકેલી શકાય છે. એન્ટ્રોપી અન્ય થર્મોડાયનેમિક જથ્થાઓથી ગુણાત્મક રીતે અલગ છે: જેમ કે દબાણ, વોલ્યુમ અથવા આંતરિક ઊર્જા, કારણ કે તે સિસ્ટમની મિલકત નથી, પરંતુ આપણે આ સિસ્ટમને કેવી રીતે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. કમનસીબે, થર્મોડાયનેમિક્સના અભ્યાસક્રમોમાં તેને સામાન્ય રીતે અન્ય થર્મોડાયનેમિક કાર્યો સાથે સમાન ધોરણે ગણવામાં આવે છે, જે ગેરસમજને વધારે છે.

તો એન્ટ્રોપી શું છે?

ટૂંકમાં, પછી

એન્ટ્રોપી એ છે કે તમે સિસ્ટમ વિશે કેટલી માહિતી નથી જાણતા

ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે મને પૂછો કે હું ક્યાં રહું છું, અને હું જવાબ આપું છું: રશિયામાં, તો પછી તમારા માટે મારી એન્ટ્રોપી વધુ હશે, છેવટે, રશિયા મોટો દેશ. જો હું તમને મારો પિન કોડ કહું: 603081, તો તમારા માટે મારી એન્ટ્રોપી ઘટશે, કારણ કે તમને પ્રાપ્ત થશે વધુ માહિતી.

પોસ્ટલ કોડમાં છ અંકો હોય છે, એટલે કે મેં તમને છ અક્ષરોની માહિતી આપી છે. મારા વિશેના તમારા જ્ઞાનની એન્ટ્રોપીમાં અંદાજે 6 અક્ષરોનો ઘટાડો થયો છે. (ખરેખર, ખરેખર નથી, કારણ કે કેટલાક અનુક્રમણિકા વધુ સરનામાંઓને અનુરૂપ છે અને કેટલાક ઓછા માટે, પરંતુ અમે તેને અવગણીશું).

અથવા બીજું ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લો. મને દસ પાસાઓ (છ બાજુવાળા) રાખવા દો અને તેમને ફેંકી દઈને, હું તમને કહું છું કે તેમનો સરવાળો 30 છે. માત્ર આટલું જ જાણીને, તમે દરેક પાસામાં કઈ ચોક્કસ સંખ્યાઓ છે તે કહી શકતા નથી - તમારી પાસે માહિતીનો અભાવ છે. માં ડાઇસ પર આ ચોક્કસ નંબરો આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાઇક્રોસ્ટેટ કહેવાય છે, અને કુલ રકમ (અમારા કિસ્સામાં 30) ને મેક્રોસ્ટેટ કહેવામાં આવે છે. ત્યાં 2,930,455 માઇક્રોસ્ટેટ્સ છે જે 30 ના સરવાળાને અનુરૂપ છે. તેથી આ મેક્રોસ્ટેટની એન્ટ્રોપી લગભગ 6.5 અક્ષરો છે (અડધી એ હકીકતને કારણે દેખાય છે કે જ્યારે માઇક્રોસ્ટેટ્સને સાતમા અંકમાં ક્રમમાં નંબર આપવામાં આવે છે, ત્યારે બધી સંખ્યાઓ તમારા માટે ઉપલબ્ધ નથી, પરંતુ માત્ર 0, 1 અને 2).

જો મેં તમને કહ્યું કે સરવાળો 59 છે તો શું? આ મેક્રોસ્ટેટ માટે માત્ર 10 સંભવિત માઇક્રોસ્ટેટ્સ છે, તેથી તેની એન્ટ્રોપી માત્ર એક પ્રતીક છે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, વિવિધ મેક્રોસ્ટેટ્સમાં વિવિધ એન્ટ્રોપી હોય છે.

હવે હું તમને જણાવું કે પહેલા પાંચ પાસાઓનો સરવાળો 13 છે, અને બાકીના પાંચનો સરવાળો 17 છે, તેથી કુલ રકમફરીથી 30. જો કે, તમારી પાસે આ કિસ્સામાં વધુ માહિતી છે, તેથી સિસ્ટમની એન્ટ્રોપી તમારા માટે પડવી જોઈએ. અને, ખરેખર, પાંચ ડાઇસ પર 13 420 મેળવી શકે છે અલગ અલગ રીતે, અને 17 - 780 મી, એટલે કે સંપૂર્ણ સંખ્યામાઇક્રોસ્ટેટ્સ માત્ર 420x780 = 327,600 હશે. આવી સિસ્ટમની એન્ટ્રોપી પ્રથમ ઉદાહરણ કરતાં લગભગ એક અક્ષર ઓછી છે.

અમે એન્ટ્રોપીને માઇક્રોસ્ટેટ્સની સંખ્યા લખવા માટે જરૂરી પ્રતીકોની સંખ્યા તરીકે માપીએ છીએ. ગાણિતિક રીતે, આ જથ્થાને લઘુગણક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેથી પ્રતીક S સાથે એન્ટ્રોપી અને Ω પ્રતીક સાથે માઇક્રોસ્ટેટ્સની સંખ્યા સૂચવતા, આપણે લખી શકીએ છીએ:

આ એન્ટ્રોપી માટે બોલ્ટ્ઝમેન સૂત્ર (એક પરિબળ k સુધી, જે માપનના પસંદ કરેલા એકમો પર આધાર રાખે છે) કરતાં વધુ કંઈ નથી. જો મેક્રોસ્ટેટ એક માઇક્રોસ્ટેટને અનુરૂપ હોય, તો આ સૂત્ર અનુસાર તેની એન્ટ્રોપી શૂન્યની બરાબર છે. જો તમારી પાસે બે સિસ્ટમો હોય, તો કુલ એન્ટ્રોપી તે દરેક સિસ્ટમની એન્ટ્રોપીના સરવાળાની બરાબર છે, કારણ કે log(AB) = log A + log B.

ઉપરોક્ત વર્ણન પરથી એ સ્પષ્ટ થાય છે કે એન્ટ્રોપીને શા માટે ન વિચારવું જોઈએ પોતાની મિલકતસિસ્ટમો સિસ્ટમમાં ચોક્કસ આંતરિક ઊર્જા, વેગ, ચાર્જ હોય છે, પરંતુ તેની પાસે ચોક્કસ એન્ટ્રોપી હોતી નથી: દસ ડાઇસની એન્ટ્રોપી તેના પર નિર્ભર કરે છે કે તમે માત્ર તેમનો કુલ સરવાળો જાણો છો, અથવા પાંચ ડાઇસનો આંશિક સરવાળો પણ જાણો છો.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એન્ટ્રોપી એ છે કે આપણે સિસ્ટમનું કેવી રીતે વર્ણન કરીએ છીએ. અને આ તેને અન્ય જથ્થાઓથી ખૂબ જ અલગ બનાવે છે જેની સાથે તે ભૌતિકશાસ્ત્રમાં કામ કરવાનો રિવાજ છે.

ભૌતિક ઉદાહરણ: પિસ્ટન હેઠળ ગેસ

ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ગણવામાં આવતી ક્લાસિકલ સિસ્ટમ એ પિસ્ટન હેઠળના વાસણમાં સ્થિત ગેસ છે. ગેસનું માઇક્રોસ્ટેટ તેના દરેક અણુની સ્થિતિ અને વેગ (વેગ) છે. આ અગાઉ ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણમાં દરેક મૃત્યુનું મૂલ્ય જાણવા જેવું છે. ગેસના મેક્રોસ્ટેટને દબાણ, ઘનતા, વોલ્યુમ, જેવા જથ્થા દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. રાસાયણિક રચના. તે ડાઇસ પર વળેલી સંખ્યાઓના સરવાળા જેવું છે.

મેક્રોસ્ટેટનું વર્ણન કરતી માત્રાઓ કહેવાતા "રાજ્યના સમીકરણ" દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે. તે આ જોડાણની હાજરી છે જે અમને માઇક્રોસ્ટેટ્સને જાણ્યા વિના, જો આપણે તેને ગરમ કરવા અથવા પિસ્ટનને ખસેડવાનું શરૂ કરીએ તો તેની સાથે શું થશે તેની આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે. માટે આદર્શ ગેસરાજ્યના સમીકરણનું એક સરળ સ્વરૂપ છે:

જ્યારે તમે કદાચ ક્લેપીરોન-મેન્ડેલીવ સમીકરણ pV = νRT થી વધુ પરિચિત છો - તે સમાન સમીકરણ છે, ફક્ત તમને મૂંઝવણમાં મૂકવા માટે કેટલાક સ્થિરાંકો ઉમેરવામાં આવે છે. આપેલ મેક્રોસ્ટેટને અનુરૂપ વધુ માઇક્રોસ્ટેટ્સ, એટલે કે, વધુ કણો કે જે આપણી સિસ્ટમનો ભાગ છે, રાજ્યનું સમીકરણ તેનું વર્ણન કરે છે. ગેસ માટે લાક્ષણિકતા મૂલ્યોકણોની સંખ્યા એવોગાડ્રોની સંખ્યા જેટલી છે, એટલે કે, તેઓ લગભગ 10 23 છે.

દબાણ, તાપમાન અને ઘનતા જેવા મૂલ્યોને સરેરાશ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તે આપેલ મેક્રોસ્ટેટ (અથવા તેના બદલે, તેની નજીકના મેક્રોસ્ટેટ્સ) ને અનુરૂપ સતત બદલાતા માઇક્રોસ્ટેટ્સનું સરેરાશ અભિવ્યક્તિ છે. સિસ્ટમ કયા માઇક્રોસ્ટેટમાં છે તે શોધવા માટે, અમને ઘણી માહિતીની જરૂર છે - આપણે દરેક કણની સ્થિતિ અને ગતિ જાણવાની જરૂર છે. આ માહિતીની માત્રાને એન્ટ્રોપી કહેવામાં આવે છે.

મેક્રોસ્ટેટમાં ફેરફાર સાથે એન્ટ્રોપી કેવી રીતે બદલાય છે? તે સમજવું સરળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે ગેસને થોડો ગરમ કરીએ, તો તેના કણોની ગતિ વધશે, તેથી, આ ગતિ વિશેની આપણી અજ્ઞાનતાની ડિગ્રી વધશે, એટલે કે એન્ટ્રોપી વધશે. અથવા, જો આપણે પિસ્ટનને પાછું ખેંચીને ગેસનું પ્રમાણ વધારીએ, તો કણોની સ્થિતિ વિશેની આપણી અજ્ઞાનતા વધશે, અને એન્ટ્રોપી પણ વધશે.

ઘન અને સંભવિત ઊર્જા

જો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ, તો ગેસને બદલે, કેટલાક નક્કર, ખાસ કરીને ઓર્ડર્ડ સ્ટ્રક્ચર સાથે, જેમ કે ક્રિસ્ટલ્સમાં, ઉદાહરણ તરીકે, ધાતુનો ટુકડો, પછી તેની એન્ટ્રોપી નાની હશે. શા માટે? કારણ કે આવી રચનામાં એક અણુની સ્થિતિ જાણીને, તમે અન્ય તમામની સ્થિતિ જાણો છો (તેઓ પણ યોગ્ય રીતે લાઇનમાં છે. સ્ફટિક માળખું), અણુઓનો વેગ ઓછો હોય છે, કારણ કે તેઓ તેમની સ્થિતિથી દૂર ઉડી શકતા નથી અને માત્ર સંતુલન સ્થિતિની આસપાસ સહેજ ઓસીલેટ કરે છે.

જો ધાતુનો ટુકડો ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં હોય (ઉદાહરણ તરીકે, પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપર ઉભો થયેલો), તો ધાતુના દરેક અણુની સંભવિત ઉર્જા અન્ય અણુઓની સંભવિત ઉર્જા જેટલી હોય છે અને તેની સાથે સંકળાયેલ એન્ટ્રોપી આ ઊર્જા ઓછી છે. આ સંભવિત ઊર્જાને ગતિ ઊર્જાથી અલગ પાડે છે, જે થર્મલ ગતિ માટે અણુથી અણુમાં મોટા પ્રમાણમાં બદલાઈ શકે છે.

જો ધાતુનો ટુકડો, ચોક્કસ ઊંચાઈ સુધી ઉભો કરવામાં આવે છે, તો તેની સંભવિત ઊર્જામાં રૂપાંતર થશે ગતિ ઊર્જા, પરંતુ એન્ટ્રોપી વ્યવહારીક રીતે વધશે નહીં, કારણ કે તમામ અણુઓ લગભગ સમાન રીતે આગળ વધશે. પરંતુ જ્યારે ટુકડો જમીન સાથે અથડાશે, ત્યારે અસર દરમિયાન ધાતુના અણુઓને ગતિની રેન્ડમ દિશા આપવામાં આવશે, અને એન્ટ્રોપી નાટકીય રીતે વધશે. નિર્દેશિત ગતિની ગતિ ઊર્જા થર્મલ ગતિની ગતિ ઊર્જામાં ફેરવાઈ જશે. અસર પહેલાં, અમે લગભગ દરેક અણુ કેવી રીતે આગળ વધી રહ્યા છે તે જાણતા હતા, પરંતુ હવે અમે આ માહિતી ગુમાવી દીધી છે.

થર્મોડાયનેમિક્સનો બીજો નિયમ સમજવો

થર્મોડાયનેમિક્સનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે એન્ટ્રોપી ( બંધ સિસ્ટમ) ક્યારેય ઘટતું નથી. આપણે હવે સમજી શકીએ છીએ કે શા માટે: કારણ કે અચાનક માઇક્રોસ્ટેટ્સ વિશે વધુ માહિતી મેળવવી અશક્ય છે. એકવાર તમે કેટલીક માઇક્રોસ્ટેટ માહિતી ગુમાવી દો (જેમ કે જ્યારે ધાતુનો ટુકડો જમીન પર અથડાય છે), તો તમે તેને પાછી મેળવી શકતા નથી.

ચાલો પર પાછા જઈએ ડાઇસ. યાદ કરો કે 59 ની રકમ સાથે મેક્રોસ્ટેટની એન્ટ્રોપી ખૂબ ઓછી હોય છે, પરંતુ તે મેળવવાનું એટલું સરળ નથી. જો તમે ડાઇસને વારંવાર ફેંકી દો છો, તો સરવાળો (મેક્રોસ્ટેટ્સ) જે અનુરૂપ છે વધુમાઇક્રોસ્ટેટ્સ, એટલે કે, ઉચ્ચ એન્ટ્રોપીવાળા મેક્રોસ્ટેટ્સ પ્રાપ્ત થશે. સરવાળો 35 સૌથી વધુ એન્ટ્રોપી ધરાવે છે, અને તે આ રકમ છે જે અન્ય કરતા વધુ વખત દેખાશે. થર્મોડાયનેમિક્સનો બીજો નિયમ આ જ કહે છે. કોઈપણ અવ્યવસ્થિત (અનિયંત્રિત) ક્રિયાપ્રતિક્રિયા એન્ટ્રોપીમાં વધારો તરફ દોરી જાય છે, ઓછામાં ઓછું તે મહત્તમ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી.

વાયુઓનું મિશ્રણ

અને જે કહેવામાં આવ્યું છે તેને મજબૂત કરવા માટે એક વધુ ઉદાહરણ. ચાલો કન્ટેનરની મધ્યમાં સ્થિત પાર્ટીશન દ્વારા અલગ કરાયેલા બે ગેસ ધરાવતું કન્ટેનર લઈએ. ચાલો એક ગેસના અણુઓને વાદળી અને બીજાને લાલ કહીએ.

જો પાર્ટીશન ખોલવામાં આવે છે, તો વાયુઓ ભળવાનું શરૂ કરશે, કારણ કે માઇક્રોસ્ટેટ્સની સંખ્યા જેમાં વાયુઓ મિશ્રિત છે તે માઇક્રોસ્ટેટ્સ કરતાં ઘણી વધારે છે જેમાં તેઓ અલગ પડે છે, અને તમામ માઇક્રોસ્ટેટ્સ કુદરતી રીતે સમાન રીતે સંભવિત છે. જ્યારે અમે પાર્ટીશન ખોલ્યું, ત્યારે દરેક પરમાણુ માટે અમે પાર્ટીશનની કઈ બાજુ પર સ્થિત છે તેની માહિતી ગુમાવી દીધી. જો ત્યાં N અણુઓ હતા, તો માહિતીના N બિટ્સ (બિટ્સ અને પ્રતીકો, માં આ સંદર્ભમાં, આ, હકીકતમાં, એક જ વસ્તુ છે, અને માત્ર ચોક્કસ સ્થિર પરિબળમાં અલગ પડે છે).

મેક્સવેલના રાક્ષસ સાથે વ્યવહાર

અને અંતે, ચાલો મેક્સવેલના રાક્ષસના પ્રખ્યાત વિરોધાભાસના અમારા નમૂનાના માળખામાં ઉકેલને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે તે નીચે મુજબ છે. ચાલો આપણે વાદળી અને લાલ અણુઓના મિશ્રિત વાયુઓ ધરાવીએ. ચાલો પાર્ટીશનને પાછું મૂકીએ, તેમાં એક નાનો છિદ્ર બનાવીએ, જેમાં આપણે કાલ્પનિક રાક્ષસ મૂકીશું. તેનું કાર્ય ફક્ત લાલ રંગને ડાબેથી જમણે અને માત્ર વાદળી રંગને જમણેથી ડાબે પસાર કરવાનું છે. દેખીતી રીતે, થોડા સમય પછી વાયુઓ ફરીથી અલગ થઈ જશે: બધા વાદળી અણુઓ પાર્ટીશનની ડાબી બાજુએ હશે, અને બધા લાલ પરમાણુઓ જમણી તરફ હશે.

તે તારણ આપે છે કે આપણા રાક્ષસે સિસ્ટમની એન્ટ્રોપી ઓછી કરી છે. રાક્ષસને કંઈ થયું નથી, એટલે કે તેની એન્ટ્રોપી બદલાઈ નથી, અને આપણી સિસ્ટમ બંધ થઈ ગઈ છે. તે તારણ આપે છે કે જ્યારે થર્મોડાયનેમિક્સનો બીજો નિયમ સંતુષ્ટ નથી ત્યારે અમને એક ઉદાહરણ મળ્યું છે! આ કેવી રીતે શક્ય બન્યું?

આ વિરોધાભાસનો ઉકેલ, જોકે, ખૂબ જ સરળ છે. છેવટે, એન્ટ્રોપી એ સિસ્ટમની નહીં, પણ આ સિસ્ટમ વિશેની આપણી જાણકારીની મિલકત છે. તમે અને હું સિસ્ટમ વિશે થોડું જાણીએ છીએ, તેથી જ અમને લાગે છે કે તેની એન્ટ્રોપી ઘટી રહી છે. પરંતુ આપણો રાક્ષસ સિસ્ટમ વિશે ઘણું જાણે છે - પરમાણુઓને અલગ કરવા માટે, તેણે તેમાંથી દરેકની સ્થિતિ અને ગતિ જાણવી જોઈએ (ઓછામાં ઓછું જ્યારે તેની પાસે આવે છે). જો તે પરમાણુઓ વિશે બધું જ જાણે છે, તો તેના દૃષ્ટિકોણથી સિસ્ટમની એન્ટ્રોપી, હકીકતમાં, શૂન્યની બરાબર છે - તેની પાસે ફક્ત તેના વિશે ખૂટતી માહિતી નથી. આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમની એન્ટ્રોપી શૂન્યની બરાબર હતી અને રહે છે શૂન્ય બરાબર, અને થર્મોડાયનેમિક્સના બીજા નિયમનું ક્યાંય ઉલ્લંઘન થયું નથી.

પરંતુ જો રાક્ષસ સિસ્ટમની માઇક્રોસ્ટેટ વિશેની બધી માહિતી જાણતો ન હોય તો પણ, તેણે ઓછામાં ઓછું તેની પાસે આવતા પરમાણુના રંગને જાણવાની જરૂર છે કે તેને પસાર થવા દેવી કે નહીં. અને જો કુલ સંખ્યાઅણુઓ N છે, તો પછી રાક્ષસ પાસે સિસ્ટમ વિશેની માહિતીના N બિટ્સ હોવા જોઈએ - પરંતુ જ્યારે આપણે પાર્ટીશન ખોલ્યું ત્યારે આપણે કેટલી માહિતી ગુમાવી તે બરાબર છે. એટલે કે, ખોવાયેલી માહિતીની માત્રા એ સિસ્ટમ વિશેની માહિતીના જથ્થાની બરાબર બરાબર છે જે તેને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પરત કરવા માટે મેળવવાની જરૂર છે - અને આ તદ્દન તાર્કિક લાગે છે, અને ફરીથી થર્મોડાયનેમિક્સના બીજા નિયમનો વિરોધાભાસ કરતું નથી. .

5. એક્સેલમાં એક અલગ સમીકરણમાંથી રેખીય ઇકોનોમેટ્રિક મોડેલનો અંદાજ કાઢવા માટેની પ્રક્રિયા. રીગ્રેસન સેવાના આઉટપુટ આંકડાકીય માહિતીનો અર્થ. (10) પૃષ્ઠ 41

6.પરિમાણોમાં બિનરેખીય ઇકોનોમેટ્રિક મોડલ્સની ઓછામાં ઓછી ચોરસ પદ્ધતિની સ્પષ્ટીકરણ અને અંદાજ. (30) પૃષ્ઠ.24-25,

7. ક્લાસિક પેરવાઇઝ રીગ્રેશન મોડલ. મોડલ સ્પષ્ટીકરણ. ગૌસ-માર્કોવ પ્રમેય.

8. ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિ: પદ્ધતિ અલ્ગોરિધમ, એપ્લિકેશન શરતો.

9. એક સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમના વ્યક્તિગત સમીકરણોની ઓળખ: ક્રમની સ્થિતિ. (30)

ઓળખની આવશ્યક સ્થિતિ

10. ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જોડી કરેલ રીગ્રેસન મોડેલના પરિમાણોનો અંદાજ. (10)

11.ડમી ચલો: વ્યાખ્યા, હેતુ, પ્રકારો.

12. રેન્ડમ ડિસ્ટર્બન્સનો સ્વતઃસંબંધ. કારણો. પરિણામો.

13. જોડી કરેલ રીગ્રેશન મોડેલમાં રીગ્રેસરના મહત્વને ચકાસવા માટે અલ્ગોરિધમ.

14. જોડી કરેલ રીગ્રેસન મોડેલમાં આશ્રિત ચલના અપેક્ષિત મૂલ્યનું અંતરાલ અંદાજ.

15. રીગ્રેશન મોડેલમાં માળખાકીય ફેરફારોની હાજરી માટે ચાઉ ટેસ્ટ. (20) પૃષ્ઠ 59.60

16. જોડી કરેલ રીગ્રેસન મોડેલની પર્યાપ્તતા ચકાસવા માટે અલ્ગોરિધમ. (20) પૃષ્ઠ 37, 79

17. જોડી કરેલ રીગ્રેસન મોડેલમાં નિર્ધારણનો ગુણાંક.

18. ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બહુવિધ રીગ્રેશન મોડેલના પરિમાણોનો અંદાજ.

20. રેન્ડમ ડિસ્ટર્બન્સની હેટરોસેડેસ્ટીસીટી. કારણો. પરિણામો. જીક્યુ ટેસ્ટ(20)

21.સ્લોપ ડમી ચલ: અસાઇનમેન્ટ; ડમી સ્લોપ વેરીએબલ સાથે રીગ્રેશન મોડલનું સ્પષ્ટીકરણ; બનાવટી ચલ માટે પરિમાણ મૂલ્ય. (20) પૃ.65

22..રેન્ડમ વિક્ષેપના સ્વતઃસંબંધની હાજરી (ગેરહાજરી) માટે ડર્બિન-વોટસન પરીક્ષણ માટે અલ્ગોરિધમ. (20) પૃષ્ઠ 33

23. ઇકોનોમેટ્રિક મોડલ્સના સ્પષ્ટીકરણના માળખાકીય અને ઘટાડેલા સ્વરૂપો.

24. રેન્ડમ ડિસ્ટર્બન્સની હેટરોસેડેસ્ટીસીટી. કારણો. પરિણામો. રેન્ડમ વિક્ષેપની હેટરોસ્કેડેસ્ટીસીટીની હાજરી અથવા ગેરહાજરી માટે ગોલ્ડફેલ્ડ-ક્વાન્ડટ ટેસ્ટ અલ્ગોરિધમ.

રેન્ડમ વિક્ષેપની હેટરોસ્કેડસ્ટીસીટીની હાજરી (ગેરહાજરી) માટે ગોલ્ડફેલ્ડ-ક્વાન્ડટ ટેસ્ટ માટે અલ્ગોરિધમ.

25. પરિમાણોમાં બિનરેખીય OLS ઇકોનોમેટ્રિક મોડલ્સની સ્પષ્ટીકરણ અને અંદાજ.

26. હેટરોસ્કેડેસ્ટીસીટીને સમાયોજિત કરવા માટેની પદ્ધતિઓ. વેઇટેડ ન્યૂનતમ ચોરસ પદ્ધતિ

27. બહુવિધ રીગ્રેસન મોડલ્સમાં મલ્ટિકોલિનરીટીની સમસ્યા.

28.લોગિટ, ટોબિટ, પ્રોબિટ શું છે.

29. મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ શું છે પૃષ્ઠ 62.

30. સ્થિર પ્રક્રિયા શું છે?

31.સમય શ્રેણીના ગુણધર્મો.

32.મોડલ્સ એઆર અને વર્.

33. સિસ્ટમની ઓળખાણ.

34. એક સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમ સાથે મોડેલ સેટ કરવું.

35. મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ શું છે પૃષ્ઠ 53

36. f, gq, dw (રેખીય) દ્વારા મોડેલની ગુણવત્તાનું મૂલ્યાંકન કરો. 33, 28-29

37. મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઇકોનોમેટ્રિક મોડેલ પરિમાણોની ભૂલોનો અંદાજ.

38. બિનહિસાબી પરિબળોના પ્રભાવના મોડેલમાં પ્રતિબિંબ. ગૌસ-માર્કોવ પ્રમેયની પૂર્વજરૂરીયાતો.

39.સમય શ્રેણીના મોડલ. સ્ટોક એક્સચેન્જ પર સ્ટોક પ્રાઇસ સિરીઝની પ્રોપર્ટીઝ (20) p.93.

40. રેન્ડમ વેરીએબલનું અપેક્ષિત મૂલ્ય, તેનું વિચલન અને પ્રમાણભૂત વિચલન. (20) પૃ.12-21

41. સોલ્યુશન સેવા માટે શોધનો ઉપયોગ કરીને ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જોડી કરેલ રીગ્રેસન મોડેલના પરિમાણોનો અંદાજ.

42. આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ, વિદ્યાર્થીના ટી-આંકડા, આત્મવિશ્વાસની સંભાવના અને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ, વિદ્યાર્થીના આંકડાઓના નિર્ણાયક મૂલ્યો. "ચરબીની પૂંછડીઓ" શું છે?

43. બહુવિધ રીગ્રેસન મોડલ્સમાં મલ્ટીકોલીનરીટીની સમસ્યા. મલ્ટિકોલિનેરિટીના ચિહ્નો

44. નિર્ધારણના આંશિક ગુણાંક.

46. રેખીય અને પાવર રીગ્રેશન સમીકરણોના ગુણાંકનો આર્થિક અર્થ.

47. સેમ્યુઅલસન-હિક્સ મોડેલના ગુણાંકનો અંદાજ

48. મોડેલમાં નજીવા વેરિયેબલ્સનો સમાવેશ કરવાથી અથવા નોંધપાત્રને બાદ કરતાં ભૂલો. P.80

49. બહુવિધ રીગ્રેસન મોડેલનું સંશોધન પૃષ્ઠ 74-79.

50. મલ્ટીકોલીનરીટી: તે શા માટે ખરાબ છે, તેને કેવી રીતે શોધવું અને તેની સામે કેવી રીતે લડવું.

51. સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયાની સ્થિરતાના ચિહ્નો. સફેદ અવાજ શું છે? p.100

52. ઇકોનોમેટ્રિક મોડલ્સના સ્પષ્ટીકરણના માળખાકીય અને ઘટાડેલા સ્વરૂપો.

53. જોડી કરેલ રીગ્રેશન મોડેલમાં રીગ્રેસરના મહત્વને ચકાસવા માટે અલ્ગોરિધમ. ટી-આંકડા દ્વારા, એફ-આંકડા દ્વારા.

54. શેરબજારમાં ભાવ શ્રેણીના ગુણધર્મ. માર્કોવિટ્ઝના પોર્ટફોલિયો બાંધકામના સિદ્ધાંતો p.93,102

55. એક સાથે રેખીય સમીકરણોમાંથી ડાયનેમિક મોડલ (ઉદાહરણ આપો) p.105.

56. મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ: સિદ્ધાંતો અને ઉપયોગની શક્યતા

57. મલ્ટિપલ રીગ્રેશન મોડલના સંશોધનના તબક્કાઓ પૃષ્ઠ 74-79.

30. શું છે સ્થિર પ્રક્રિયા?

સ્થિરતા એ પ્રક્રિયાની મિલકત છે જે સમય જતાં તેની લાક્ષણિકતાઓમાં ફેરફાર ન કરે. વિજ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં અર્થપૂર્ણ છે. અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયાની સ્થિરતાનો અર્થ છે સમય જતાં તેની સંભવિત પેટર્નની આવર્તન

સમય શ્રેણી અંતિમ અમલીકરણ છે સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા: રેન્ડમ ચલોનો સમૂહ Y(t) જનરેટ કરે છે.

સ્ટોકેસ્ટિક પ્રક્રિયા સ્થિર અને બિન-સ્થિર હોઈ શકે છે. પ્રક્રિયા સ્થિર છે જો

1. ચલ મૂલ્યોની ગાણિતિક અપેક્ષા બદલાતી નથી.

2. ચલોના ભિન્નતાની ગાણિતિક અપેક્ષા બદલાતી નથી.

3. કોઈ સામયિક વધઘટ નથી.

સ્થિરતાની ઓળખ:

1. ચાર્ટ: વ્યવસ્થિત વૃદ્ધિ અથવા ઘટાડો, લાંબી શ્રેણીમાં તરંગો અને ઉચ્ચ અસ્થિરતા (વિક્ષેપ) ના ઝોન તરત જ દેખાય છે.

2. સ્વતઃસંબંધ (જેમ જેમ લેગ વધે તેમ ઘટે છે)

3. વલણ પરીક્ષણો: પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવું કે t પર ગુણાંક શૂન્યની બરાબર છે.

4. સ્ટેટા સોફ્ટવેર પેકેજોમાં સમાવિષ્ટ વિશેષ પરીક્ષણો,

31.સમય શ્રેણીના ગુણધર્મો.

ત્રણ પ્રકારના ઇનપુટ ડેટાનો ઉપયોગ કરીને ઇકોનોમેટ્રિક મોડલ બનાવી શકાય છે:

સમયના ચોક્કસ બિંદુ (અવધિ) પર વિવિધ પદાર્થોના સંગ્રહને દર્શાવતો ડેટા: ક્રોસ વિભાગીય ડેટા , "અવકાશી";

સળંગ સંખ્યાબંધ ક્ષણો માટે એક ઑબ્જેક્ટનું લક્ષણ દર્શાવતો ડેટા

સમય (સમય) સમય શ્રેણી, સમય શ્રેણી ;

સંખ્યાબંધ ક્રમિક પળો માટે વિવિધ ઑબ્જેક્ટના સમૂહને દર્શાવતો ડેટા: પેનલ ડેટા , "પેનલ".

સમય શ્રેણી સમયની કેટલીક ક્રમિક ક્ષણો (અવધિ) માટે કોઈપણ સૂચકના મૂલ્યોનો સમૂહ છે. તે પ્રભાવ હેઠળ રચાય છે મોટી સંખ્યામાંપરિબળોને ત્રણ જૂથોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

વલણને આકાર આપતા પરિબળો ( વલણ ) પંક્તિ;

આકાર આપતા પરિબળો ચક્રીય શ્રેણીની વધઘટ, ઉદાહરણ તરીકે મોસમી, સાપ્તાહિક; શેરબજારમાં ભાવોની શ્રેણી દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે બિન-સામયિક ઓસિલેશન્સ;

રેન્ડમ પરિબળો

સળંગ સંખ્યાબંધ સમયગાળામાં એક ઑબ્જેક્ટની લાક્ષણિકતા દર્શાવતા ડેટાનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવેલા મૉડલ્સને ટાઇમ સિરીઝ મોડલ કહેવામાં આવે છે.

સમય શ્રેણીનું દરેક સ્તર તેમના વલણ (T), ચક્રીય અથવા મોસમી ઘટકો (S), તેમજ રેન્ડમ (E) ઘટકો દ્વારા રચી શકાય છે.

મોડેલો જ્યાં સમય શ્રેણીને સૂચિબદ્ધ ઘટકોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, જો ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં હોય, તો તેને ગુણાકાર મોડલ કહેવામાં આવે છે;

એડિટિવ મોડલ ફોર્મ ધરાવે છે: Y=T+S+E

ગુણાકાર મોડેલનું સ્વરૂપ છે: Y=T*S*E

સમય શ્રેણીનું મોડેલ બનાવવું:

સમય શ્રેણી ગોઠવણી કરો (ઉદાહરણ તરીકે, મૂવિંગ એવરેજ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને); 2. મોસમી ઘટકના મૂલ્યોની ગણતરી કરો; 3. મોસમી ઘટક નાબૂદ થાય છે અને સંરેખિત પંક્તિ પ્રાપ્ત થાય છે; 4. સ્તરોનું વિશ્લેષણાત્મક સંરેખણ (T અને E) અને E મૂલ્યોની ગણતરી પરિણામી વલણ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે; 5. T અને E ના મૂલ્યોની ગણતરી કરો; 6. સંપૂર્ણ અને સંબંધિત ભૂલોની ગણતરી કરો.

સમય શ્રેણી પર કોઈપણ અર્થમિતિની સમસ્યામાં વલણનું મોડેલિંગ કરતી વખતે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યના નિર્માણને સમય શ્રેણીનું વિશ્લેષણાત્મક સંરેખણ કહેવામાં આવે છે અને નીચેના કાર્યોનો મુખ્યત્વે ઉપયોગ થાય છે: રેખીય, શક્તિ, હાયપરબોલિક, પેરાબોલિક, વગેરે.

વલણના પરિમાણો ઓએલએસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય રીગ્રેશનના કિસ્સામાં નક્કી કરવામાં આવે છે, જ્યાં સમય સ્વતંત્ર ચલ છે અને સમય શ્રેણી સ્તરો આશ્રિત ચલ છે. પસંદગી માપદંડ શ્રેષ્ઠ આકારએક વલણ તરીકે સેવા આપે છે ઉચ્ચતમ મૂલ્યનિર્ધારણ, ફિશર અને વિદ્યાર્થી પરીક્ષણોના ગુણાંક.

અવશેષોમાં સ્વતઃસંબંધ એ સમયના વર્તમાન અને અગાઉના બિંદુઓ માટેના અવશેષોના મૂલ્યો વચ્ચેનો સહસંબંધ છે. અવશેષોના સ્વતઃસંબંધને નિર્ધારિત કરવા માટે, ડર્બિન-વોટસન માપદંડનો ઉપયોગ થાય છે:

ટાઈમ સીરિઝ એ સમય t માં પૂર્ણાંક પોઈન્ટ પર ડેટેડ આર્થિક ચલ છે. આ ચલ ચોક્કસ આર્થિક ઑબ્જેક્ટની માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા તરીકે સેવા આપે છે, તેથી સમય જતાં આ ચલમાં ફેરફાર સમય જતાં આ ઑબ્જેક્ટને પ્રભાવિત કરતા પરિબળો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

બધા પરિબળોને 3 વર્ગોમાં વહેંચવામાં આવ્યા છે. વર્ગ 1: પરિબળો ("ધર્મનિરપેક્ષ" પ્રભાવો), જેનો પરિણામી પ્રભાવ આપેલ ઑબ્જેક્ટ પર લાંબા સમય સુધી તેની દિશા બદલી શકતો નથી. તેઓ એકવિધ ઘટક (વૃત્તિ અથવા વલણ) જનરેટ કરે છે. વર્ગ 2: પરિબળો (ચક્રીય પ્રભાવો), જેના પરિણામે પદાર્થ પર અમુક નિશ્ચિત સમયગાળા દરમિયાન એક સંપૂર્ણ વર્તુળ બનાવે છે. ઊંચી ઝડપે. 3 વર્ગના પરિબળો તમને સમયના દરેક સમયગાળામાં મૂલ્યનું રેન્ડમ ચલ તરીકે અર્થઘટન કરવાની મંજૂરી આપે છે

વ્યાખ્યા [ | ]

X t (⋅) : Ω → R , t ∈ T (\displaystyle X_(t)(\cdot)\colon \Omega \to \mathbb (R) ,\quad t\in T),

જ્યાં T (\Displaystyle T)એક મનસ્વી સમૂહ કહેવાય છે રેન્ડમ કાર્ય .

પરિભાષા [ | ]

આ વર્ગીકરણ કડક નથી. ખાસ કરીને, "રેન્ડમ પ્રક્રિયા" શબ્દનો ઉપયોગ ઘણીવાર "રેન્ડમ ફંક્શન" શબ્દના સંપૂર્ણ સમાનાર્થી તરીકે થાય છે.

વર્ગીકરણ [ | ]

રેન્ડમ પ્રક્રિયા X (t) (\displaystyle X(t))પ્રક્રિયા કહેવાય છે સમયસર અલગ, જો સિસ્ટમ કે જેમાં તે થાય છે તે ફક્ત સમયની ક્ષણો પર તેની સ્થિતિઓને બદલે છે t 1 , t 2 , … (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ), જેની સંખ્યા મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર છે. રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સાથે પ્રક્રિયા સતત સમય , જો રાજ્યથી રાજ્યમાં સંક્રમણ કોઈપણ સમયે થઈ શકે છે.
રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સાથે પ્રક્રિયા સતત અવસ્થાઓ , જો રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું મૂલ્ય સતત હોય રેન્ડમ ચલ. રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે અલગ અવસ્થાઓ સાથે રેન્ડમ પ્રક્રિયા, જો રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું મૂલ્ય એક અલગ રેન્ડમ ચલ છે:
રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સ્થિર, જો તમામ બહુપરિમાણીય વિતરણ કાયદાઓ ફક્ત તેના પર આધાર રાખે છે સંબંધિત સ્થિતિસમય માં ક્ષણો t 1 , t 2 , … , t n (\ displaystyle \;t_(1), t_(2), \ldots ,t_(n)), પરંતુ આ જથ્થાના મૂલ્યો પર નહીં. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેન્ડમ પ્રક્રિયાને સ્થિર કહેવામાં આવે છે જો તેની સંભવિત પેટર્ન સમય સાથે સ્થિર હોય. નહિંતર, તે કહેવામાં આવે છે બિન-સ્થિર.
રેન્ડમ ફંક્શન કહેવામાં આવે છે માં સ્થિર વ્યાપક અર્થમાં , જો તેની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા સતત હોય, અને ACF માત્ર સમયની ક્ષણો વચ્ચેના તફાવત પર આધાર રાખે છે જેના માટે ઓર્ડિનેટ લેવામાં આવે છે રેન્ડમ કાર્ય. આ ખ્યાલ એ. યા દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો.
રેન્ડમ પ્રક્રિયાને સ્થિર વૃદ્ધિ સાથેની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે ચોક્કસ ઓર્ડર, જો આવા વધારાની સંભવિત પેટર્ન સમય સાથે સ્થિર હોય. આવી પ્રક્રિયાઓ યગ્લોમ દ્વારા ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી.
જો રેન્ડમ ફંક્શનના ઓર્ડિનેટ્સ સામાન્ય વિતરણ કાયદાનું પાલન કરે છે, તો ફંક્શન પોતે જ કહેવાય છે સામાન્ય.
રેન્ડમ ફંક્શન્સ, ઓર્ડિનેટ્સના વિતરણનો કાયદો જે ભવિષ્યના સમયે પ્રક્રિયાના ઑર્ડિનેટના મૂલ્ય દ્વારા સંપૂર્ણપણે નક્કી કરવામાં આવે છે. વર્તમાન ક્ષણસમય અને અગાઉના સમયે પ્રક્રિયાના ઓર્ડિનેટ મૂલ્યો પર આધાર રાખતો નથી કહેવાય છે માર્કોવિયન.
રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સ્વતંત્ર વૃદ્ધિ સાથે પ્રક્રિયા, જો કોઈ સેટ માટે t 1 , t 2 , … , t n (\ displaystyle t_(1), t_(2), \ldots ,t_(n)), ક્યાં n > 2 (\Displaystyle n>2), એ ટી 1< t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1} , રેન્ડમ ચલો (X t 2 − X t 1) (\displaystyle (X_(t_(2))-X_(t_(1)))), (X t 3 − X t 2) (\displaystyle (X_(t_(3))-X_(t_(2)))), … (\displaystyle \ldots), (X t n − X t n − 1) (\Displaystyle (X_(t_(n))-X_(t_(n-1))))સામૂહિક રીતે સ્વતંત્ર.
જો, સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ક્ષણના કાર્યોને નિર્ધારિત કરતી વખતે, આંકડાકીય જોડાણની સરેરાશની કામગીરીને સમય જતાં સરેરાશ દ્વારા બદલી શકાય છે, તો આવી સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. એર્ગોડિક .
રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓમાં, આવેગજન્ય રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓને અલગ પાડવામાં આવે છે.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાનો માર્ગ[ | ]

રેન્ડમ પ્રક્રિયા આપવા દો ( X t ) t ∈ T (\ displaystyle \(X_(t)\)_(t\in T)). પછી દરેક નિશ્ચિત માટે t ∈ T (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઈલ t\in T) X t (\ displaystyle X_(t))- એક રેન્ડમ ચલ કહેવાય છે ક્રોસ વિભાગ. જો પ્રાથમિક પરિણામ નિશ્ચિત છે ω ∈ Ω (\displaystyle \omega \in \Omega ), તે X t: T → R (\displaystyle X_(t)\colon T\to \mathbb (R) )- નિર્ધારિત પરિમાણ કાર્ય t (\ પ્રદર્શન શૈલી t). આ કાર્ય કહેવામાં આવે છે માર્ગઅથવા અમલીકરણરેન્ડમ કાર્ય ( X t ) (\ displaystyle \(X_(t)\)).

વ્યાખ્યા. રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા એક્સ(t) એક પ્રક્રિયા છે જેનું મૂલ્ય દલીલના કોઈપણ મૂલ્ય માટે છે tરેન્ડમ ચલ છે.

વ્યવહારમાં, આપણે ઘણીવાર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનો સામનો કરીએ છીએ જે સમય જતાં લગભગ એકસરખી રીતે આગળ વધે છે અને ચોક્કસ સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ રેન્ડમ ઓસિલેશનનું સ્વરૂપ ધરાવે છે, અને ન તો સરેરાશ કંપનવિસ્તાર કે ન તો આ ઓસિલેશનની પ્રકૃતિ સમય સાથે નોંધપાત્ર રીતે બદલાતી હોય છે. આવી રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓને કહેવામાં આવે છે સ્થિર. સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના ઉદાહરણોમાં સ્થિર-સ્થિતિની આડી ફ્લાઇટમાં એરક્રાફ્ટનું ઓસિલેશન, ઇલેક્ટ્રિકલ સર્કિટમાં વોલ્ટેજની વધઘટ, રેડિયો રીસીવરમાં રેન્ડમ અવાજ, જહાજને હલાવવાની પ્રક્રિયા વગેરેનો સમાવેશ થાય છે.

દરેક સ્થિર પ્રક્રિયાને લાંબા સમય સુધી સતત સમયસર ચાલુ ગણી શકાય અને સ્થિર પ્રક્રિયાનો અભ્યાસ કરતી વખતે, સમયના કોઈપણ બિંદુને પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે પસંદ કરી શકાય છે. કોઈપણ સમયે સ્થિર પ્રક્રિયાનો અભ્યાસ કરીને, આપણે સમાન લાક્ષણિકતાઓ પ્રાપ્ત કરવી જોઈએ.

નિયમ પ્રમાણે, કોઈપણ ગતિશીલ સિસ્ટમમાં રેન્ડમ પ્રક્રિયા બિન-સ્થિર તબક્કાથી શરૂ થાય છે, જે પછી સિસ્ટમ સામાન્ય રીતે સ્થિર સ્થિતિમાં જાય છે, અને પછી તેમાં થતી પ્રક્રિયાઓને સ્થિર ગણી શકાય. આ સંદર્ભે, તે વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનો સિદ્ધાંતઅથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, સ્થિર રેન્ડમ કાર્યોનો સિદ્ધાંત(કારણ કે સામાન્ય કિસ્સામાં સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શનની દલીલ સમય ન હોઈ શકે).

વ્યાખ્યા . રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t) કહેવાય છે સ્થિર , જો તેની તમામ સંભવિત લાક્ષણિકતાઓ પર આધાર રાખતો નથી t(વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તેઓ દલીલોની કોઈપણ પાળી સાથે બદલાતા નથી કે જેના પર તેઓ ધરી સાથે આધાર રાખે છે t).

અગાઉના પ્રકરણમાં, રેન્ડમ ફંક્શન્સનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અમે વિતરણ કાયદા તરીકે આવી સંભવિત લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ કર્યો ન હતો: અમે ફક્ત અભ્યાસ કર્યો ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા અને સહસંબંધ કાર્ય. ચાલો આ લાક્ષણિકતાઓના સંદર્ભમાં સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શનની વ્યાખ્યા ઘડીએ.

કારણ કે સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શનમાં ફેરફાર સમયસર એકસરખી રીતે થવો જોઈએ, તે જરૂરી છે કે તેની ગાણિતિક અપેક્ષા સતત હોવી જોઈએ:

m x(t) = m x = const.

ચાલો આપણે એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે આ આવશ્યકતા આવશ્યક નથી: આપણે તે રેન્ડમ ફંક્શનથી જાણીએ છીએ એક્સ(t) તમે હંમેશા કેન્દ્રિત રેન્ડમ ફંક્શન પર જઈ શકો છો જેના માટે ગાણિતિક અપેક્ષા શૂન્ય સમાન હોય છે. આમ, જો કોઈ અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયા માત્ર ગાણિતિક અપેક્ષાને કારણે બિનસ્થિર હોય, તો આ તેને સ્થિર તરીકે અભ્યાસ કરવામાં રોકી શકતી નથી.

બીજી શરત કે જે સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શને દેખીતી રીતે સંતોષવી જોઈએ તે સતત વિચલનની સ્થિતિ છે:

ડીએક્સ(t) = ડીએક્સ = const.

હવે ચાલો સ્થાપિત કરીએ કે સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શનના સહસંબંધ કાર્યને કઈ સ્થિતિ સંતોષવી જોઈએ. રેન્ડમ ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો એક્સ(t) અને અભિવ્યક્તિમાં મૂકો કે એક્સ(t 1 , t 2) t 2 = t 1 + τ . ચાલો હવે વિચાર કરીએ કે એક્સ(t 1 , t 1 + τ ) – સમય અંતરાલ દ્વારા અલગ કરાયેલ રેન્ડમ ફંક્શનના બે વિભાગોની સહસંબંધ ક્ષણ τ . દેખીતી રીતે, જો રેન્ડમ પ્રક્રિયા ખરેખર સ્થિર હોય, તો પછી આ સહસંબંધ ક્ષણ પર આધાર રાખવો જોઈએ નહીં તેમાંથી, જ્યાં બરાબર ધરી પર છે 0tઅમે પ્લોટ લીધો τ , પરંતુ માત્ર લંબાઈ થીઆ વિસ્તાર. એટલે કે, સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું સહસંબંધ કાર્ય ફક્ત પ્રથમ અને બીજી દલીલો વચ્ચેના અંતર પર આધારિત હોવું જોઈએ.

કે એક્સ(t 1 , t 1 + τ ) = k x(τ ).

આમ, સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું સહસંબંધ કાર્ય એ એક દલીલનું કાર્ય છે, જે સ્થિર રેન્ડમ કાર્યો પરની કામગીરીને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે.

નોંધ કરો કે વિક્ષેપની સ્થિરતા ઉપરોક્ત સૂત્રનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે, ત્યારથી ડીએક્સ(t) = કે એક્સ(t, t) = k x(0) = const.

આમ, ઉપરોક્ત તર્કનો ઉપયોગ કરીને, અમે સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શનની વ્યાખ્યાને સુધારીએ છીએ - આ રેન્ડમ ફંક્શન છે એક્સ(t), જેની ગાણિતિક અપેક્ષા દલીલના તમામ મૂલ્યો માટે સ્થિર છે tઅને જેનું સહસંબંધ કાર્ય ફક્ત દલીલો વચ્ચેના તફાવત પર આધારિત છે t 2 - t 1. આ કિસ્સામાં, સહસંબંધ કાર્ય એ એક દલીલનું કાર્ય છે, અને વિક્ષેપ એ મૂળ પરના સહસંબંધ કાર્યના મૂલ્ય જેટલું છે (પર τ = t 2 - t 1 = 0).

સ્થિર કાર્યના સહસંબંધ કાર્યના ગુણધર્મો.

1 0 સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શનનું સહસંબંધ કાર્ય - સમ કાર્ય: k x(τ ) = k x(-τ ). આ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે કે એક્સ(t 1 , t 2) = કે એક્સ(t 2 , t 1).

2 0 સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શનના સહસંબંધ કાર્યનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય મૂળમાં તેના મૂલ્ય કરતાં વધી જતું નથી: | k x(τ )| ≤ k x(0).

વ્યવહારમાં, સહસંબંધ કાર્યને બદલે k x(τ ) વારંવાર વપરાય છે સામાન્યકૃત સહસંબંધ કાર્ય:

ρx(τ ) = ,

જ્યાં ડીએક્સ = k x(0) - સ્થિર પ્રક્રિયાનું સતત વિક્ષેપ. તે સ્પષ્ટ છે કે ρx(0) ≡ 1.

ચાલો સ્થિરતા સંબંધિત અન્ય ખ્યાલ રજૂ કરીએ.

વ્યાખ્યા . બે રેન્ડમ ફંક્શન કહેવામાં આવે છે કાયમી રીતે જોડાયેલ , જો તેમના પરસ્પર સહસંબંધ કાર્ય ફક્ત દલીલોમાંના તફાવત પર આધાર રાખે છે.

ચાલો એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે દરેક બે સ્થિર કાર્યો સ્થિર જોડાયેલા નથી; બીજી બાજુ, બે બિન-સ્થિર કાર્યો સ્થિર સંબંધિત હોઈ શકે છે.

વ્યાખ્યા [ | ]

X t (⋅) : Ω → R , t ∈ T (\displaystyle X_(t)(\cdot)\colon \Omega \to \mathbb (R) ,\quad t\in T),

જ્યાં T (\Displaystyle T)એક મનસ્વી સમૂહ કહેવાય છે રેન્ડમ કાર્ય .

પરિભાષા [ | ]

વર્ગીકરણ [ | ]

રેન્ડમ પ્રક્રિયા X (t) (\displaystyle X(t))પ્રક્રિયા કહેવાય છે સમયસર અલગ, જો સિસ્ટમ કે જેમાં તે થાય છે તે ફક્ત સમયની ક્ષણો પર તેની સ્થિતિઓને બદલે છે t 1 , t 2 , … (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ), જેની સંખ્યા મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર છે. રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સતત સમય પ્રક્રિયા, જો રાજ્યથી રાજ્યમાં સંક્રમણ કોઈપણ સમયે થઈ શકે છે.
રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સતત અવસ્થાઓ સાથે પ્રક્રિયા, જો રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું મૂલ્ય સતત રેન્ડમ ચલ છે. રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે અલગ અવસ્થાઓ સાથે રેન્ડમ પ્રક્રિયા, જો રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું મૂલ્ય એક અલગ રેન્ડમ ચલ છે:
રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સ્થિર, જો તમામ બહુપરિમાણીય વિતરણ કાયદાઓ ફક્ત સમયની ક્ષણોની સંબંધિત સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે t 1 , t 2 , … , t n (\ displaystyle \;t_(1), t_(2), \ldots ,t_(n)), પરંતુ આ જથ્થાના મૂલ્યો પર નહીં. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેન્ડમ પ્રક્રિયાને સ્થિર કહેવામાં આવે છે જો તેની સંભવિત પેટર્ન સમય સાથે સ્થિર હોય. નહિંતર, તે કહેવામાં આવે છે બિન-સ્થિર.
રેન્ડમ ફંક્શન કહેવામાં આવે છે વ્યાપક અર્થમાં સ્થિર, જો તેની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા સતત હોય, અને ACF માત્ર સમયની ક્ષણો વચ્ચેના તફાવત પર આધાર રાખે છે જેના માટે રેન્ડમ ફંક્શનના ઓર્ડિનેટ લેવામાં આવે છે. આ ખ્યાલ એ. યા દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો.
રેન્ડમ પ્રક્રિયાને ચોક્કસ ક્રમમાં સ્થિર વૃદ્ધિ સાથેની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે જો આવા વધારાની સંભવિત પેટર્ન સમય સાથે સતત હોય. આવી પ્રક્રિયાઓ યગ્લોમ દ્વારા ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી.
જો રેન્ડમ ફંક્શનના ઓર્ડિનેટ્સ સામાન્ય વિતરણ કાયદાનું પાલન કરે છે, તો ફંક્શન પોતે જ કહેવાય છે સામાન્ય.
રેન્ડમ ફંક્શન્સ, ઓર્ડિનેટ્સના વિતરણનો કાયદો, જેમાંથી ભાવિ ક્ષણે સમયની વર્તમાન ક્ષણે પ્રક્રિયાના ઑર્ડિનેટના મૂલ્ય દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે અને તે પ્રક્રિયાના ઑર્ડિનેટ્સના મૂલ્યો પર આધારિત નથી. અગાઉના સમયે, કહેવાય છે માર્કોવિયન.
રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સ્વતંત્ર વૃદ્ધિ સાથે પ્રક્રિયા, જો કોઈ સેટ માટે t 1 , t 2 , … , t n (\ displaystyle t_(1), t_(2), \ldots ,t_(n)), ક્યાં n > 2 (\Displaystyle n>2), એ ટી 1< t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1} , રેન્ડમ ચલો (X t 2 − X t 1) (\displaystyle (X_(t_(2))-X_(t_(1)))), (X t 3 − X t 2) (\displaystyle (X_(t_(3))-X_(t_(2)))), … (\displaystyle \ldots), (X t n − X t n − 1) (\Displaystyle (X_(t_(n))-X_(t_(n-1))))સામૂહિક રીતે સ્વતંત્ર.
જો, સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ક્ષણના કાર્યોને નિર્ધારિત કરતી વખતે, આંકડાકીય જોડાણની સરેરાશની કામગીરીને સમય જતાં સરેરાશ દ્વારા બદલી શકાય છે, તો આવી સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. એર્ગોડિક .
રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓમાં, આવેગજન્ય રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓને અલગ પાડવામાં આવે છે.