સૂચનાઓ

અવેજી પદ્ધતિ એક ચલને એક્સપ્રેસ કરો અને તેને બીજા સમીકરણમાં બદલો. તમે તમારા વિવેકબુદ્ધિથી કોઈપણ ચલ વ્યક્ત કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, બીજા સમીકરણમાંથી y વ્યક્ત કરો:
x-y=2 => y=x-2પછી દરેક વસ્તુને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલો:
2x+(x-2)=10 “x” વગર બધું જ ખસેડો જમણી બાજુઅને ગણતરી કરો:
2x+x=10+2
3x=12 આગળ, x મેળવવા માટે, સમીકરણની બંને બાજુઓને 3 વડે વિભાજીત કરો:
x=4 તેથી, તમને “x. શોધો "y. આ કરવા માટે, "x" ને સમીકરણમાં બદલો કે જેમાંથી તમે "y" વ્યક્ત કર્યો છે:
y=x-2=4-2=2
y=2.

ચેક કરો. આ કરવા માટે, પરિણામી મૂલ્યોને સમીકરણોમાં બદલો:
2*4+2=10
4-2=2
અજાણ્યાઓ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યા છે!

સમીકરણો ઉમેરવા અથવા બાદબાકી કરવાની રીત કોઈપણ ચલમાંથી તરત જ છુટકારો મેળવો. અમારા કિસ્સામાં, "y" સાથે આ કરવાનું સરળ છે.
કારણ કે “y” માં “+” ચિહ્ન છે, અને બીજામાં “-”, તો પછી તમે વધારાની કામગીરી કરી શકો છો, એટલે કે. ડાબી બાજુતેને ડાબી બાજુ ઉમેરો અને જમણી બાજુ જમણી બાજુ ઉમેરો:
2x+y+(x-y)=10+2કન્વર્ટ:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4કોઈપણ સમીકરણમાં "x" ને અવેજી કરો અને "y" શોધો:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=21લી પદ્ધતિ દ્વારા તમે જોઈ શકો છો કે તેઓ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યા હતા.

જો ત્યાં કોઈ સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત ચલો નથી, તો પછી સમીકરણોને સહેજ રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી છે.
પ્રથમ સમીકરણમાં આપણી પાસે “2x” છે, અને બીજામાં આપણી પાસે ફક્ત “x” છે. વધારા દરમિયાન x ઘટાડવામાં આવે તે માટે, બીજા સમીકરણને 2 વડે ગુણાકાર કરો:
x-y=2
2x-2y=4પછી પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરો:
2x+y-(2x-2y)=10-4 નોંધ કરો કે જો કૌંસ પહેલા માઈનસ હોય, તો ખોલ્યા પછી, તેને વિરુદ્ધમાં બદલો:
2x+y-2x+2y=6
3u = 6
કોઈપણ સમીકરણમાંથી વ્યક્ત કરીને y=2x શોધો, એટલે કે.
x=4

વિષય પર વિડિઓ

ટીપ 2: બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણ કેવી રીતે હલ કરવું

સમીકરણ, સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખાયેલ ax+bу+c=0, બે સાથેનું રેખીય સમીકરણ કહેવાય છે ચલો. આ સમીકરણ પોતે સમાવે છે અનંત સમૂહઉકેલો, તેથી સમસ્યાઓમાં તે હંમેશા કંઈક સાથે પૂરક હોય છે - અન્ય સમીકરણ અથવા મર્યાદિત શરતો. સમસ્યા દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ શરતોના આધારે, બે સાથે રેખીય સમીકરણ ઉકેલો ચલોજોઈએ અલગ અલગ રીતે.

તમને જરૂર પડશે

- બે ચલો સાથે રેખીય સમીકરણ;
- બીજું સમીકરણ અથવા વધારાની શરતો.

સૂચનાઓ

જો બે સિસ્ટમ આપવામાં આવે છે રેખીય સમીકરણો, તેને નીચે પ્રમાણે હલ કરો. સમીકરણોમાંથી એક પસંદ કરો જેમાં ગુણાંક છે ચલોચલોમાંના એકને નાનું અને વ્યક્ત કરો, ઉદાહરણ તરીકે, x. પછી બીજા સમીકરણમાં y ધરાવતું આ મૂલ્ય બદલો. પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલ y હશે, બધા ભાગોને y સાથે ડાબી બાજુ ખસેડો, અને મુક્ત ભાગોને જમણી બાજુએ ખસેડો. x શોધવા માટે કોઈપણ મૂળ સમીકરણોમાં y શોધો અને તેને બદલે.

બે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની બીજી રીત છે. સમીકરણોમાંથી એકને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો જેથી x જેવા ચલોમાંના એકનો ગુણાંક બંને સમીકરણોમાં સમાન હોય. પછી બીજામાંથી એક સમીકરણ બાદ કરો (જો જમણી બાજુ 0 ની બરાબર ન હોય, તો તે જ રીતે જમણી બાજુની બાજુઓને બાદ કરવાનું યાદ રાખો). તમે જોશો કે x વેરીએબલ અદૃશ્ય થઈ ગયું છે અને માત્ર એક y ચલ બાકી છે. પરિણામી સમીકરણ ઉકેલો, અને y ના મળેલ મૂલ્યને કોઈપણ મૂળ સમાનતામાં બદલો. એક્સ શોધો.

બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની ત્રીજી રીત ગ્રાફિકલ છે. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ દોરો અને બે સીધી રેખાઓનો આલેખ કરો જેના સમીકરણો તમારી સિસ્ટમમાં આપવામાં આવ્યા છે. આ કરવા માટે, કોઈપણ બે x મૂલ્યોને સમીકરણમાં બદલો અને અનુરૂપ y શોધો - આ રેખા સાથે જોડાયેલા બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ હશે. સંકલન અક્ષો સાથે આંતરછેદ શોધવાની સૌથી અનુકૂળ રીત એ છે કે x=0 અને y=0 મૂલ્યોને બદલે. આ બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ એ કાર્યો હશે.

જો સમસ્યાની સ્થિતિમાં માત્ર એક રેખીય સમીકરણ હોય, તો તમને વધારાની શરતો આપવામાં આવી છે જેના દ્વારા તમે ઉકેલ શોધી શકો છો. આ શરતો શોધવા માટે સમસ્યાને કાળજીપૂર્વક વાંચો. જો ચલો x અને y અંતર, ઝડપ, વજન સૂચવે છે - x≥0 અને y≥0 મર્યાદા સેટ કરવા માટે નિઃસંકોચ. તે તદ્દન શક્ય છે કે x અથવા y સફરજન વગેરેની સંખ્યા છુપાવે છે. - પછી મૂલ્યો ફક્ત હોઈ શકે છે. જો x એ પુત્રની ઉંમર છે, તો તે સ્પષ્ટ છે કે તે તેના પિતા કરતા મોટો ન હોઈ શકે, તેથી સમસ્યાની સ્થિતિમાં આ સૂચવો.

સ્ત્રોતો:

એક ચલ સાથે સમીકરણ કેવી રીતે હલ કરવું

પોતે જ સમીકરણત્રણ સાથે અજ્ઞાતઘણા ઉકેલો છે, તેથી મોટાભાગે તે વધુ બે સમીકરણો અથવા શરતો દ્વારા પૂરક બને છે. પ્રારંભિક ડેટા શું છે તેના આધારે, નિર્ણયનો કોર્સ મોટાભાગે નિર્ભર રહેશે.

તમને જરૂર પડશે

- ત્રણ અજ્ઞાત સાથે ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ.

સૂચનાઓ

જો ત્રણમાંથી બે સિસ્ટમમાં ત્રણમાંથી માત્ર બે અજાણ્યા હોય, તો કેટલાક ચલોને અન્યના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરો અને તેમને બદલીને સમીકરણત્રણ સાથે અજ્ઞાત. આ કિસ્સામાં તમારું લક્ષ્ય તેને સામાન્યમાં ફેરવવાનું છે સમીકરણઅજાણ્યા વ્યક્તિ સાથે. જો આ છે, તો આગળનો ઉકેલ એકદમ સરળ છે - મળેલ મૂલ્યને અન્ય સમીકરણોમાં બદલો અને અન્ય તમામ અજ્ઞાત શોધો.

સમીકરણોની કેટલીક સિસ્ટમો એક સમીકરણમાંથી બીજા સમીકરણ દ્વારા બાદ કરી શકાય છે. જુઓ કે શું એક અથવા ચલનો ગુણાકાર કરવો શક્ય છે કે જેથી કરીને બે અજાણ્યાઓને એકસાથે રદ કરવામાં આવે. જો આવી તક હોય, તો તેનો લાભ લો, મોટે ભાગે, અનુગામી ઉકેલ મુશ્કેલ નહીં હોય. યાદ રાખો કે સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરતી વખતે, તમારે ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ બંનેનો ગુણાકાર કરવો જોઈએ. તેવી જ રીતે, સમીકરણો બાદબાકી કરતી વખતે, તમારે યાદ રાખવું જોઈએ કે જમણી બાજુની પણ બાદબાકી કરવી આવશ્યક છે.

જો અગાઉની પદ્ધતિઓ મદદ ન કરતી હોય, તો ઉપયોગ કરો સામાન્ય રીતેત્રણ સાથેના કોઈપણ સમીકરણોના ઉકેલો અજ્ઞાત. આ કરવા માટે, સમીકરણોને a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 સ્વરૂપમાં ફરીથી લખો. હવે x (A) માટે ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ, અજાણ્યાઓનું મેટ્રિક્સ (X) અને ફ્રી વેરિયેબલ્સ (B)નું મેટ્રિક્સ બનાવો. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અજ્ઞાતના મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાંકના મેટ્રિક્સને ગુણાકાર કરવાથી, તમે મેટ્રિક્સ, મેટ્રિક્સ મેળવો છો મફત સભ્યો, એટલે કે, A*X=B.

પ્રથમ શોધ કરીને મેટ્રિક્સ A ને ઘાત (-1) શોધો, નોંધ કરો કે તે ન હોવું જોઈએ શૂન્ય બરાબર. આ પછી, પરિણામી મેટ્રિક્સને મેટ્રિક્સ B દ્વારા ગુણાકાર કરો, પરિણામે તમને ઇચ્છિત મેટ્રિક્સ X પ્રાપ્ત થશે, જે તમામ મૂલ્યો દર્શાવે છે.

તમે ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ પણ શોધી શકો છો. આ કરવા માટે, સિસ્ટમ મેટ્રિક્સને અનુરૂપ તૃતીય-ક્રમ નિર્ણાયક ∆ શોધો. પછી અનુરૂપ કૉલમના મૂલ્યોને બદલે મુક્ત શબ્દોના મૂલ્યોને બદલીને ક્રમિક રીતે વધુ ત્રણ નિર્ધારકો ∆1, ∆2 અને ∆3 શોધો. હવે x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆ શોધો.

સ્ત્રોતો:

ત્રણ અજાણ્યા સમીકરણોના ઉકેલો

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી એ પડકારજનક અને ઉત્તેજક છે. કેવી રીતે વધુ જટિલ સિસ્ટમ, વધુ રસપ્રદ તે ઉકેલવા માટે છે. મોટે ભાગે ગણિતમાં ઉચ્ચ શાળાબે અજ્ઞાત સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમો છે, પરંતુ માં ઉચ્ચ ગણિતત્યાં વધુ ચલો હોઈ શકે છે. સિસ્ટમો ઘણી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.

સૂચનાઓ

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટેની સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિ અવેજી છે. આ કરવા માટે, તમારે એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવાની અને તેને બીજામાં બદલવાની જરૂર છે સમીકરણસિસ્ટમો, આમ અગ્રણી સમીકરણએક ચલ માટે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના સમીકરણો આપેલ છે: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

બીજા અભિવ્યક્તિમાંથી ચલોમાંના એકને વ્યક્ત કરવું અનુકૂળ છે, બાકીનું બધું અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુએ ખસેડવું, ગુણાંકના ચિહ્નને બદલવાનું ભૂલશો નહીં: x = 3-y.

કૌંસ ખોલો: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 અમે પરિણામી મૂલ્ય y ને અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ છીએ: x=3-y;x=3-1;x=2. .

પ્રથમ અભિવ્યક્તિમાં બધા શબ્દો 2 છે, તમે કૌંસની બહાર 2 મૂકી શકો છો વિતરણ મિલકતગુણાકાર: 2*(2x-y-3)=0. હવે અભિવ્યક્તિના બંને ભાગોને આ સંખ્યા દ્વારા ઘટાડી શકાય છે, અને પછી y તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે, કારણ કે તેના માટે મોડ્યુલસ ગુણાંક એક સમાન છે: -y = 3-2x અથવા y = 2x-3.

જેમ પ્રથમ કિસ્સામાં, અમે અવેજી આ અભિવ્યક્તિબીજામાં સમીકરણઅને આપણને મળે છે: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 પરિણામી મૂલ્યને અભિવ્યક્તિમાં બદલો: y=2x -3;y=4-3=1.

આપણે જોઈએ છીએ કે y માટે ગુણાંક મૂલ્યમાં સમાન છે, પરંતુ ચિહ્નમાં અલગ છે, તેથી, જો આપણે આ સમીકરણો ઉમેરીશું, તો આપણે y થી સંપૂર્ણપણે છુટકારો મેળવીશું: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2 સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણમાં x ની કિંમત બદલો અને y=1 મેળવો.

વિષય પર વિડિઓ

દ્વિપક્ષીય સમીકરણરજૂ કરે છે સમીકરણચોથી ડિગ્રી, સામાન્ય દૃશ્યજે અભિવ્યક્તિ ax^4 + bx^2 + c = 0 દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તેનું સોલ્યુશન અજાણ્યાઓની અવેજીની પદ્ધતિના ઉપયોગ પર આધારિત છે. IN આ કિસ્સામાં x^2 ને બીજા ચલ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. આમ, પરિણામ એક સામાન્ય ચોરસ છે સમીકરણ, જેને હલ કરવાની જરૂર છે.

સૂચનાઓ

ચતુર્ભુજ ઉકેલો સમીકરણ, રિપ્લેસમેન્ટના પરિણામે. આ કરવા માટે, પ્રથમ સૂત્ર અનુસાર મૂલ્યની ગણતરી કરો: D = b^2? 4ac. આ કિસ્સામાં, ચલ a, b, c એ આપણા સમીકરણના ગુણાંક છે.

મૂળ શોધો દ્વિપક્ષીય સમીકરણ. આ કરવા માટે, મેળવેલ ઉકેલોનું વર્ગમૂળ લો. જો ત્યાં એક ઉકેલ હતો, તો પછી ત્યાં બે હશે - હકારાત્મક અને નકારાત્મક મૂલ્યવર્ગમૂળ જો ત્યાં બે ઉકેલો હોય, તો દ્વિપક્ષીય સમીકરણના ચાર મૂળ હશે.

વિષય પર વિડિઓ

એક શાસ્ત્રીય પદ્ધતિઓરેખીય સમીકરણોની પ્રણાલી ઉકેલવી એ ગૌસ પદ્ધતિ છે. તે આવેલું છે સતત બાકાતચલો જ્યારે સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરે છે સરળ પરિવર્તનોસ્ટેપવાઇઝ સિસ્ટમમાં ભાષાંતર કરવામાં આવે છે, જેમાંથી તમામ ચલો ક્રમિક રીતે જોવા મળે છે, છેલ્લાથી શરૂ કરીને.

સૂચનાઓ

પ્રથમ, સમીકરણોની સિસ્ટમને આવા સ્વરૂપમાં લાવો જ્યારે તમામ અજાણ્યાઓ સખત રીતે હોય ચોક્કસ ક્રમમાં. ઉદાહરણ તરીકે, બધા અજાણ્યા X દરેક લાઇન પર પ્રથમ દેખાશે, બધા Y's X's પછી આવશે, બધા Z's Y's પછી આવશે, વગેરે. દરેક સમીકરણની જમણી બાજુએ કોઈ અજાણ્યું હોવું જોઈએ નહીં. દરેક અજાણ્યાની સામેના ગુણાંક તેમજ દરેક સમીકરણની જમણી બાજુના ગુણાંકને માનસિક રીતે નક્કી કરો.

જવાબ છોડ્યો મહેમાન

એક સાથે ડાઇસપરિસ્થિતિ અસ્પષ્ટ રીતે સરળ છે. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે સંભાવના P=m/n સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે
પી
=
m
n
, જ્યાં એન
n
- સમાન રીતે શક્ય તમામની સંખ્યા પ્રાથમિક પરિણામોડાઇ અથવા ડાઇસ ફેંકવાની સાથે પ્રયોગ કરો અને એમ
m
- ઇવેન્ટની તરફેણ કરતા પરિણામોની સંખ્યા.

ઉદાહરણ 1: ડાઇ એકવાર ફેંકવામાં આવે છે. તે થયું હોવાની સંભાવના કેટલી છે સમ સંખ્યાચશ્મા?

ડાઇ એ ક્યુબ હોવાથી (તેઓ નિયમિત ડાઇ પણ કહે છે, એટલે કે સંતુલિત ડાઇ જેથી તે બધી બાજુઓ પર સમાન સંભાવના સાથે ઉતરે), ક્યુબમાં 6 ચહેરાઓ હોય છે (1 થી 6 સુધીના પોઈન્ટની સંખ્યા સાથે, સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે. પોઈન્ટ દ્વારા), પછી અને કુલ સંખ્યાસમસ્યામાં પરિણામો n=6
n
=
6
. ઘટનાની તરફેણમાં માત્ર એવા પરિણામો છે જ્યાં 2, 4 અથવા 6 બિંદુઓ (ફક્ત સંખ્યાઓ) સાથેની બાજુ દેખાય છે ત્યાં m=3 આવી બાજુઓ છે;
m
=
3
. પછી જરૂરી સંભાવના P=3/6=1/2=0.5 છે
પી
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

ઉદાહરણ 2. ડાઇ ફેંકવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછા 5 પોઈન્ટ રોલ કરવાની સંભાવના શોધો.

અમે પાછલા ઉદાહરણની જેમ જ કારણ આપીએ છીએ. ડાઇ n=6 ફેંકતી વખતે સમાન સંભવિત પરિણામોની કુલ સંખ્યા
n
=
6
, અને શરત "ઓછામાં ઓછા 5 પોઈન્ટ રોલ્ડ", એટલે કે, "ક્યાં તો 5 અથવા 6 પોઈન્ટ રોલ્ડ" 2 પરિણામો દ્વારા સંતુષ્ટ છે, m=2
m
=
2
. જરૂરી સંભાવના P=2/6=1/3=0.333 છે
પી
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

મને વધુ ઉદાહરણો આપવાનો મુદ્દો પણ દેખાતો નથી, ચાલો બે પાસાઓ તરફ આગળ વધીએ, જ્યાં બધું વધુ રસપ્રદ અને જટિલ બને છે.

બે ડાઇસ

જ્યારે અમે વાત કરી રહ્યા છીએરોલિંગ 2 ડાઇસને લગતી સમસ્યાઓ માટે, સ્કોરિંગ ટેબલનો ઉપયોગ કરવો ખૂબ જ અનુકૂળ છે. ચાલો પહેલા ડાઇસ પર પડેલા પોઈન્ટની સંખ્યા અને બીજા ડાઇસ પર પડેલા પોઈન્ટની સંખ્યાને આડી રીતે કાવતરું કરીએ. ચાલો આના જેવું કંઈક મેળવીએ (હું સામાન્ય રીતે તે Excel માં કરું છું, તમે નીચેની ફાઇલ ડાઉનલોડ કરી શકો છો):

2 ડાઇસ રોલ કરવા માટે પોઈન્ટ ટેબલ
ટેબલ કોષોમાં શું છે, તમે પૂછો છો? અને આ આપણે કઈ સમસ્યા હલ કરીશું તેના પર નિર્ભર છે. બિંદુઓના સરવાળા વિશે એક કાર્ય હશે - આપણે ત્યાં સરવાળો લખીશું, તફાવત વિશે - આપણે તફાવત લખીશું અને તેથી વધુ. ચાલો શરૂ કરીએ?

ઉદાહરણ 3: 2 ડાઇસ એક જ સમયે ફેંકવામાં આવે છે. કુલ 5 પોઈન્ટ કરતા ઓછા હશે તેવી સંભાવના શોધો.

પ્રથમ, ચાલો પ્રયોગના પરિણામોની કુલ સંખ્યા જોઈએ. જ્યારે આપણે એક ડાઇ ફેંકી દીધું, ત્યારે બધું સ્પષ્ટ હતું, 6 બાજુઓ - 6 પરિણામો. અહીં પહેલાથી જ બે ડાઇસ છે, તેથી પરિણામોને ફોર્મની સંખ્યાઓની ક્રમબદ્ધ જોડી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે (x,y)
x
,
y
, જ્યાં x
x
- પ્રથમ ડાઇ પર કેટલા પોઇન્ટ રોલ કરવામાં આવ્યા હતા (1 થી 6 સુધી), y
y
- બીજા ડાઇસ પર કેટલા પોઈન્ટ રોલ કરવામાં આવ્યા હતા (1 થી 6 સુધી). દેખીતી રીતે, n=6⋅6=36 આવી સંખ્યાઓની જોડી હશે
n
=
6
⋅
6
=
36
(અને પરિણામોના કોષ્ટકમાં બરાબર 36 કોષો તેમને અનુરૂપ છે).

હવે ટેબલ ભરવાનો સમય છે. દરેક કોષમાં આપણે પ્રથમ અને બીજા ડાઇસ પર વળેલા બિંદુઓની સંખ્યાનો સરવાળો દાખલ કરીએ છીએ અને આપણને નીચેનું ચિત્ર મળે છે:

2 ડાઇસ ફેંકતી વખતે પોઈન્ટના સરવાળાનું કોષ્ટક
હવે આ કોષ્ટક અમને ઇવેન્ટ માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા શોધવામાં મદદ કરશે "કુલ 5 કરતા ઓછા પોઈન્ટ દેખાશે." આ કરવા માટે, અમે કોષોની સંખ્યાની ગણતરી કરીએ છીએ જેમાં સરવાળા મૂલ્ય 5 કરતા ઓછું છે (એટલે કે, 2, 3 અથવા 4). સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો આ કોષોને રંગ કરીએ, ત્યાં m=6 હશે
m
=
6
:

2 ડાઇસ ફેંકતી વખતે કુલ 5 કરતા ઓછા પોઈન્ટનું ટેબલ
પછી સંભાવના છે: P=6/36=1/6
પી
=
6
36
=
1
6
.

ઉદાહરણ 4. બે ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે. પોઈન્ટની સંખ્યાનું ઉત્પાદન 3 વડે વિભાજ્ય છે તેવી સંભાવના શોધો.

અમે પ્રથમ અને બીજા ડાઇસ પર વળેલા બિંદુઓના ઉત્પાદનોનું કોષ્ટક બનાવીએ છીએ. અમે તરત જ તેમાં તે સંખ્યાઓ પ્રકાશિત કરીએ છીએ જે 3 ના ગુણાંક છે:

2 ડાઇસ ફેંકતી વખતે પોઈન્ટના ઉત્પાદનનું કોષ્ટક
જે બાકી છે તે લખવાનું છે કે પરિણામોની કુલ સંખ્યા n=36 છે
n
=
36
(અગાઉનું ઉદાહરણ જુઓ, તર્ક સમાન છે), અને અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (ઉપરના કોષ્ટકમાં છાંયેલા કોષોની સંખ્યા) m=20
m
=
20
. પછી ઘટનાની સંભાવના P=20/36=5/9 ની બરાબર હશે
પી
=
20
36
=
5
9
.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ પ્રકારની સમસ્યા, યોગ્ય તૈયારી સાથે (ચાલો થોડી વધુ સમસ્યાઓ જોઈએ), ઝડપથી અને સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે. વિવિધતા માટે, ચાલો એક અલગ ટેબલ સાથે વધુ એક કાર્ય કરીએ (તમામ કોષ્ટકો પૃષ્ઠના તળિયે ડાઉનલોડ કરી શકાય છે).

ઉદાહરણ 5: ડાઇ બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. પ્રથમ અને બીજા ડાઇસ પર પોઈન્ટની સંખ્યામાં તફાવત 2 થી 5 હશે તેવી સંભાવના શોધો.

ચાલો પોઈન્ટ ડિફરન્સનું ટેબલ લખીએ, તેમાંના કોષોને હાઈલાઈટ કરીએ જેમાં તફાવતનું મૂલ્ય 2 અને 5 ની વચ્ચે હશે:

2 ડાઇસ ફેંકતી વખતે પોઈન્ટમાં તફાવતનું ટેબલ
તેથી, સમાન સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામોની કુલ સંખ્યા n=36 છે
n
=
36
, અને અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (ઉપરના કોષ્ટકમાં છાંયેલા કોષોની સંખ્યા) m=10
m
=
10
. પછી ઘટનાની સંભાવના P=10/36=5/18 ની બરાબર હશે
પી
=
10
36
=
5
18
.

તેથી, તે કિસ્સામાં જ્યાં આપણે 2 ડાઇસ ફેંકવાની વાત કરી રહ્યા છીએ અને સરળ ઘટના, તમારે એક ટેબલ બનાવવાની જરૂર છે, તેમાં જરૂરી કોષો પસંદ કરો અને તેમની સંખ્યાને 36 વડે વિભાજીત કરો, આ સંભાવના હશે. પોઈન્ટની સંખ્યાના સરવાળા, ઉત્પાદન અને તફાવત પરની સમસ્યાઓ ઉપરાંત, તફાવતના મોડ્યુલસ પર પણ સમસ્યાઓ છે, દોરેલા બિંદુઓની સૌથી નાની અને સૌથી મોટી સંખ્યા (તમને એક્સેલ ફાઇલમાં યોગ્ય કોષ્ટકો મળશે).

તમામ કાર્યોમાં B6 ચાલુ છે સંભાવના સિદ્ધાંત, જે માં પ્રસ્તુત છે માટે ટાસ્ક બેંક ખોલો, તમારે શોધવાની જરૂર છે સંભાવનાકોઈપણ ઘટના.

તમારે ફક્ત એક જ જાણવાની જરૂર છે સૂત્ર, જેનો ઉપયોગ ગણતરી કરવા માટે થાય છે સંભાવના:

આ સૂત્રમાં p - ઘટનાની સંભાવના,

k- ઘટનાઓની સંખ્યા જે આપણને ભાષામાં "સંતુષ્ટ" કરે છે સંભાવના સિદ્ધાંતતેઓ કહેવામાં આવે છે અનુકૂળ પરિણામો.

n-બધાની સંખ્યા શક્ય ઘટનાઓ, અથવા તમામ સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા.

દેખીતી રીતે, તમામ સંભવિત ઘટનાઓની સંખ્યા અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા કરતા વધારે છે, તેથી સંભાવનાએક મૂલ્ય છે જે 1 કરતા ઓછું અથવા બરાબર છે.

જો સંભાવનાઘટના 1 ની બરાબર છે, આનો અર્થ છે આ ઘટનાચોક્કસપણે થશે. આવી ઘટના કહેવાય છે વિશ્વસનીય. ઉદાહરણ તરીકે, હકીકત એ છે કે રવિવાર પછી સોમવાર હશે, કમનસીબે, વિશ્વસનીય ઘટનાઅને તેની સંભાવના 1 છે.

સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં સૌથી મોટી મુશ્કેલીઓ k અને n નંબરો શોધવા સાથે ચોક્કસપણે ઊભી થાય છે.

અલબત્ત, કોઈપણ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, જ્યારે સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવે ત્યારે સંભાવના સિદ્ધાંતશું આપવામાં આવ્યું છે અને તમારે શું શોધવાની જરૂર છે તે યોગ્ય રીતે સમજવા માટે તમારે શરતને કાળજીપૂર્વક વાંચવાની જરૂર છે.

ચાલો સમસ્યાઓ હલ કરવાના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ થી બેંક ખોલોમાટે કાર્યો .

ઉદાહરણ 1. IN રેન્ડમ પ્રયોગબે ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે. કુલ 8 પોઈન્ટ હશે તેવી સંભાવના શોધો. પરિણામને સોમાં રાઉન્ડ કરો.

પ્રથમ ડાઇસને એક બિંદુ ફેરવવા દો, પછી બીજા ડાઇસ 6 વિવિધ વિકલ્પોને રોલ કરી શકે છે. આમ, પ્રથમ ડાઇમાં 6 જુદા જુદા ચહેરા હોવાથી, વિવિધ વિકલ્પોની કુલ સંખ્યા 6x6=36 છે.

પરંતુ અમે દરેક વસ્તુથી સંતુષ્ટ નથી. સમસ્યાની શરતો અનુસાર, દોરેલા પોઈન્ટનો સરવાળો 8 જેવો હોવો જોઈએ. ચાલો અનુકૂળ પરિણામોનું કોષ્ટક બનાવીએ:

અમે જોઈએ છીએ કે અમને અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 5 છે.

આમ, કુલ 8 પોઈન્ટ દેખાશે તેવી સંભાવના 5/36=0.13(8) છે.

ફરી એકવાર આપણે સમસ્યાનો પ્રશ્ન વાંચીએ છીએ: પરિણામ સોમાં ગોળાકાર હોવું જોઈએ.

ચાલો યાદ કરીએ ગોળાકાર નિયમ.

અમારે નજીકના સોમા સુધી રાઉન્ડ કરવાની જરૂર છે. જો સોમા (એટલે કે હજારમા સ્થાને) પછીની કોઈ સંખ્યા છે જે 5 કરતા મોટી અથવા બરાબર છે, તો આપણે સોમા સ્થાનની સંખ્યામાં 1 ઉમેરીશું, જો આ સંખ્યા 5 કરતા ઓછી છે; પછી સોમા સ્થાનેની સંખ્યા યથાવત રહે છે.

અમારા કિસ્સામાં, હજારમા સ્થાને સંખ્યા 8 છે, તેથી અમે સંખ્યા 3, જે સોમા સ્થાને છે, 1 વડે વધારીએ છીએ.

તેથી, p=5/36 ≈0.14

જવાબ: 0.14

ઉદાહરણ 2. 20 એથ્લેટ્સ જિમ્નેસ્ટિક્સ ચેમ્પિયનશિપમાં ભાગ લઈ રહ્યા છે: 8 રશિયામાંથી, 7 યુએસએમાંથી, બાકીના ચીનમાંથી. જિમ્નેસ્ટ કયા ક્રમમાં પ્રદર્શન કરે છે તે લોટ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે પ્રથમ સ્પર્ધા કરનાર એથ્લેટ ચીનનો છે.

આ સમસ્યામાં, સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા 20 છે - આ તમામ એથ્લેટ્સની સંખ્યા છે.

ચાલો અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા શોધીએ. તે ચીનની મહિલા ખેલાડીઓની સંખ્યા જેટલી છે.

આમ,

જવાબ: 0.25

ઉદાહરણ 3: સરેરાશ, વેચાયેલા 1000 ગાર્ડન પંપમાંથી, 5 લીક. નિયંત્રણ માટે રેન્ડમલી પસંદ કરેલ એક પંપ લીક થતો નથી તેવી સંભાવના શોધો.

આ સમસ્યામાં n=1000.

અમને એવા પંપમાં રસ છે જે લીક થતા નથી. તેમની સંખ્યા 1000-5=995 છે. તે.

પ્રોબેબિલિટી થિયરીમાં બીજી એક લોકપ્રિય સમસ્યા (સિક્કા ટૉસની સમસ્યા સાથે) છે ડાઇસ ફેંકવાની સમસ્યા.

સામાન્ય રીતે કાર્ય આના જેવું લાગે છે: એક અથવા વધુ ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે (સામાન્ય રીતે 2, ઓછી વાર 3). તમારે એ સંભાવના શોધવાની જરૂર છે કે પોઈન્ટની સંખ્યા 4 છે, અથવા પોઈન્ટનો સરવાળો 10 છે, અથવા પોઈન્ટની સંખ્યાનું ઉત્પાદન 2 વડે વિભાજ્ય છે, અથવા પોઈન્ટની સંખ્યા 3 વડે અલગ છે, વગેરે.

મૂળભૂત ઉકેલ પદ્ધતિ સમાન કાર્યો- શાસ્ત્રીય સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ, જે અમે નીચેના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને વિશ્લેષણ કરીશું.

ઉકેલની પદ્ધતિઓથી પોતાને પરિચિત કર્યા પછી, તમે 2 ડાઇસ (કોષ્ટકો અને ઉદાહરણો સાથે) ફેંકવા માટે એક સુપર-ઉપયોગી ઉકેલ ડાઉનલોડ કરી શકો છો.

એક ડાઇસ

એક ડાઇસ સાથે પરિસ્થિતિ અશિષ્ટ રીતે સરળ છે. હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે સંભાવના $P=m/n$ સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે, જ્યાં $n$ એ સમઘન અથવા ડાઇસ ફેંકવાના પ્રયોગના તમામ સમાન સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા છે અને $m$ એ સંખ્યા છે. તે પરિણામો કે જે ઘટના તરફેણ કરે છે.

ઉદાહરણ 1. ડાઇ એકવાર ફેંકવામાં આવે છે. પોઈન્ટની એક સમાન સંખ્યાને ફેરવવામાં આવે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ડાઇ એ ક્યુબ હોવાથી (તેઓ પણ કહે છે વાજબી ડાઇસ, એટલે કે, સમઘન સંતુલિત છે, તેથી તે સમાન સંભાવના સાથે બધી બાજુઓ પર ઊતરે છે), ક્યુબની 6 બાજુઓ છે (1 થી 6 સુધીના પોઈન્ટની સંખ્યા સાથે, સામાન્ય રીતે નિયુક્ત બિંદુઓ), પછી કુલ પરિણામોની સંખ્યા સમસ્યા $n=6$ છે. ઘટનાની તરફેણ કરતા માત્ર પરિણામો એ છે કે જ્યાં 2, 4 અથવા 6 પોઈન્ટ (માત્ર એક પણ) દેખાય છે ત્યાં આવી બાજુઓ $m=3$ છે; પછી ઇચ્છિત સંભાવના $P=3/6=1/2=0.5$ બરાબર છે.

ઉદાહરણ 2. ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછા 5 પોઈન્ટ રોલ કરવાની સંભાવના શોધો.

અમે પાછલા ઉદાહરણની જેમ જ કારણ આપીએ છીએ. ડાઇ ફેંકતી વખતે સમાન સંભવિત પરિણામોની કુલ સંખ્યા $n=6$ છે, અને "ઓછામાં ઓછા 5 પોઈન્ટ રોલ અપ" એટલે કે, "ક્યાં તો 5 અથવા 6 પોઈન્ટ રોલ અપ" 2 પરિણામોથી સંતુષ્ટ છે, $m =2$. આવશ્યક સંભાવના $P=2/6=1/3=0.333$ છે.

બે ડાઇસ

જ્યારે રોલિંગ 2 ડાઇસને લગતી સમસ્યાઓની વાત આવે છે, ત્યારે તેનો ઉપયોગ કરવો ખૂબ જ અનુકૂળ છે પોઈન્ટ ટેબલ. ચાલો પહેલા ડાઇસ પર પડેલા પોઈન્ટની સંખ્યા અને બીજા ડાઇસ પર પડેલા પોઈન્ટની સંખ્યાને આડી રીતે કાવતરું કરીએ. ચાલો આના જેવું કંઈક મેળવીએ (હું સામાન્ય રીતે તે એક્સેલમાં કરું છું, તમે ફાઇલ ડાઉનલોડ કરી શકો છો):

ટેબલ કોષોમાં શું છે, તમે પૂછો છો? અને આ આપણે કઈ સમસ્યા હલ કરીશું તેના પર નિર્ભર છે. બિંદુઓના સરવાળા વિશે એક કાર્ય હશે - આપણે ત્યાં સરવાળો લખીશું, તફાવત વિશે - આપણે તફાવત લખીશું અને તેથી વધુ. ચાલો શરૂ કરીએ?

ઉદાહરણ 3. એક જ સમયે 2 ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે. કુલ 5 પોઈન્ટ કરતા ઓછા હશે તેવી સંભાવના શોધો.

પ્રથમ, ચાલો પ્રયોગના પરિણામોની કુલ સંખ્યા જોઈએ. જ્યારે આપણે એક ડાઇ ફેંકી દીધું, ત્યારે બધું સ્પષ્ટ હતું, 6 બાજુઓ - 6 પરિણામો. અહીં પહેલાથી જ બે ડાઇસ છે, તેથી પરિણામોને $(x,y)$ ફોર્મની સંખ્યાઓની ક્રમબદ્ધ જોડી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં $x$ એ પ્રથમ ડાઇસ (1 થી 6 સુધી), $ પર કેટલા પોઈન્ટ પડ્યા છે. y$ એટલે બીજા ડાઇસ પર કેટલા પોઈન્ટ પડ્યા (1 થી 6 સુધી). દેખીતી રીતે, સંખ્યાઓની આવી જોડીની કુલ સંખ્યા $n=6\cdot 6=36$ હશે (અને તેઓ પરિણામોના કોષ્ટકમાં બરાબર 36 કોષોને અનુરૂપ છે).

હવે આ કોષ્ટક અમને ઇવેન્ટ માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા શોધવામાં મદદ કરશે "કુલ 5 કરતા ઓછા પોઈન્ટ દેખાશે." આ કરવા માટે, અમે કોષોની સંખ્યાની ગણતરી કરીએ છીએ જેમાં સરવાળા મૂલ્ય 5 કરતા ઓછું છે (એટલે કે, 2, 3 અથવા 4). સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો આ કોષોને રંગ કરીએ, ત્યાં $m=6$ હશે:

પછી સંભાવના બરાબર છે: $P=6/36=1/6$.

ઉદાહરણ 4. બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે. પોઈન્ટની સંખ્યાનું ઉત્પાદન 3 વડે વિભાજ્ય છે તેવી સંભાવના શોધો.

જે બાકી છે તે લખવાનું છે કે પરિણામોની કુલ સંખ્યા $n=36$ છે (અગાઉનું ઉદાહરણ જુઓ, તર્ક સમાન છે), અને અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (ઉપરના કોષ્ટકમાં છાંયેલા કોષોની સંખ્યા) છે. $m=20$. પછી ઘટનાની સંભાવના $P=20/36=5/9$ જેટલી હશે.

ઉદાહરણ 5. ડાઇસ બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. પ્રથમ અને બીજા ડાઇસ પર પોઈન્ટની સંખ્યામાં તફાવત 2 થી 5 હશે તેવી સંભાવના શોધો.

તેથી, સમાન સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામોની કુલ સંખ્યા $n=36$ છે, અને અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (ઉપરના કોષ્ટકમાં છાંયેલા કોષોની સંખ્યા) $m=10$ છે. પછી ઘટનાની સંભાવના $P=10/36=5/18$ જેટલી હશે.

તેથી, જ્યારે આપણે 2 ડાઇસ અને એક સરળ ઘટના ફેંકવાની વાત કરી રહ્યા છીએ, ત્યારે તમારે એક ટેબલ બનાવવાની જરૂર છે, તેમાં જરૂરી કોષો પસંદ કરો અને તેમની સંખ્યાને 36 વડે વિભાજીત કરો, આ સંભાવના હશે. પોઈન્ટની સંખ્યાના સરવાળા, ઉત્પાદન અને તફાવતની સમસ્યાઓ ઉપરાંત, તફાવતના મોડ્યુલસ પર પણ સમસ્યાઓ છે, દોરેલા બિંદુઓની સૌથી નાની અને સૌથી મોટી સંખ્યા (તમને યોગ્ય કોષ્ટકો મળશે).

ડાઇસ અને ક્યુબ્સ વિશેની અન્ય સમસ્યાઓ

અલબત્ત, આ બાબત ઉપર ચર્ચા કરેલ ડાઇસ ફેંકવાની સમસ્યાઓના બે વર્ગો સુધી સીમિત નથી (તેઓ ફક્ત સમસ્યા પુસ્તકો અને તાલીમ માર્ગદર્શિકાઓમાં સૌથી વધુ વારંવાર જોવા મળે છે), અન્ય પણ છે. અંદાજિત ઉકેલ પદ્ધતિની વિવિધતા અને સમજણ માટે, અમે વધુ ત્રણનું વિશ્લેષણ કરીશું લાક્ષણિક ઉદાહરણો: 3 ડાઇસ ફેંકવા માટે, શરતી સંભાવના માટે અને બર્નૌલીના સૂત્ર માટે.

ઉદાહરણ 6. 3 ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે. કુલ 15 પોઈન્ટ છે તેવી સંભાવના શોધો.

3 ડાઇસના કિસ્સામાં, કોષ્ટકો ઓછી વાર દોરવામાં આવે છે, કારણ કે તમારે 6 જેટલા ટુકડાની જરૂર પડશે (અને એક નહીં, ઉપરની જેમ), તે ફક્ત જરૂરી સંયોજનો દ્વારા શોધ કરીને પ્રાપ્ત થાય છે.

ચાલો પ્રયોગના પરિણામોની કુલ સંખ્યા શોધીએ. પરિણામોને $(x,y,z)$ ફોર્મની સંખ્યાના ક્રમાંકિત ત્રિપુટી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં $x$ એ પ્રથમ ડાઇ પર કેટલા પોઈન્ટ પડ્યા (1 થી 6 સુધી), $y$ એટલે કેટલા પોઈન્ટ પડ્યા બીજા ડાઈ પર (1 થી 6 સુધી), $z$ - ત્રીજા ડાઈ પર કેટલા પોઈન્ટ વળ્યા (1 થી 6 સુધી). દેખીતી રીતે, સંખ્યાઓના આવા ત્રિવિધની કુલ સંખ્યા $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ હશે.

હવે ચાલો એવા પરિણામો પસંદ કરીએ જે કુલ 15 પોઈન્ટ આપે.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

અમને $m=3+6+1=10$ પરિણામો મળ્યા. ઇચ્છિત સંભાવના $P=10/216=0.046$ છે.

ઉદાહરણ 7. 2 ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે. સંભવિતતા શોધો કે પ્રથમ ડાઇ રોલ 4 પોઈન્ટથી વધુ ન હોય, જો કે પોઈન્ટની કુલ સંખ્યા સમાન હોય.

આ સમસ્યાને હલ કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે ટેબલનો ફરીથી ઉપયોગ કરવો (બધું સ્પષ્ટ થશે), પહેલાની જેમ. અમે બિંદુની રકમનું કોષ્ટક લખીએ છીએ અને સમાન મૂલ્યો સાથે માત્ર કોષો પસંદ કરીએ છીએ:

અમે શોધીએ છીએ કે પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, ત્યાં 36 નથી, પરંતુ $n=18$ પરિણામો છે (જ્યારે પોઈન્ટનો સરવાળો સમાન હોય છે).

હવે આ કોષોમાંથીચાલો ફક્ત તે જ પસંદ કરીએ જે ઇવેન્ટને અનુરૂપ હોય "પ્રથમ ડાઇ પર 4 પોઇન્ટથી વધુ નહીં" - એટલે કે, હકીકતમાં, કોષ્ટકની પ્રથમ 4 પંક્તિઓ (નારંગી રંગમાં પ્રકાશિત) માં કોષો હશે, ત્યાં $m= હશે. 12$.

આવશ્યક સંભાવના $P=12/18=2/3.$

સમાન કાર્ય હોઈ શકે છે અલગ રીતે નક્કી કરોશરતી સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને. ચાલો ઘટનાઓ દાખલ કરીએ:
A = પોઈન્ટની સંખ્યાનો સરવાળો સમ છે
B = પ્રથમ ડાઇ પર 4 પોઇન્ટથી વધુ નહીં
AB = પોઈન્ટની સંખ્યાનો સરવાળો સરવાળો છે અને પ્રથમ ડાઈ પર 4 થી વધુ પોઈન્ટ રોલ કરવામાં આવ્યા નથી
પછી ઇચ્છિત સંભાવના માટેના સૂત્રનું સ્વરૂપ છે: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ સંભાવનાઓ શોધવી. પરિણામોની કુલ સંખ્યા $n=36$ છે, ઇવેન્ટ A માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (ઉપરના કોષ્ટકો જુઓ) $m(A)=18$ છે, અને ઇવેન્ટ AB - $m(AB)=12$ છે. આપણને મળે છે: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P) (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ જવાબો સમાન હતા.

ઉદાહરણ 8. ડાઇસ 4 વખત ફેંકવામાં આવે છે. પોઈન્ટની સમાન સંખ્યા બરાબર 3 વખત દેખાશે તેવી સંભાવના શોધો.

કિસ્સામાં જ્યારે ડાઇસ ઘણી વખત ફેંકે છે, અને ઘટના રકમ, ઉત્પાદન, વગેરે વિશે નથી. અભિન્ન લાક્ષણિકતાઓ, પરંતુ માત્ર વિશે ટીપાંની સંખ્યાચોક્કસ પ્રકારનું, તમે તેનો ઉપયોગ સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે કરી શકો છો

સમસ્યાઓ 1.4 - 1.6

સમસ્યાની સ્થિતિ 1.4

સમસ્યાના "ઉકેલ" માં ભૂલ સૂચવો: બે ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે; સંભવિતતા શોધો કે દોરેલા બિંદુઓનો સરવાળો 3 (ઘટના A) છે. "ઉકેલ". કસોટીના બે સંભવિત પરિણામો છે: દોરેલા પોઈન્ટનો સરવાળો 3 છે, દોરેલા પોઈન્ટનો સરવાળો 3 જેવો નથી. ઘટના A ને એક પરિણામની તરફેણ કરવામાં આવે છે, પરિણામોની કુલ સંખ્યા બે છે. તેથી, ઇચ્છિત સંભાવના P(A) = 1/2 ની બરાબર છે.

સમસ્યાનો ઉકેલ 1.4

આ "ઉકેલ" માં ભૂલ એ છે કે પ્રશ્નમાંના પરિણામો સમાન રીતે શક્ય નથી. યોગ્ય નિર્ણય: સમાન સંભવિત પરિણામોની કુલ સંખ્યા સમાન છે (એક ડાઇ પર વળેલા પોઈન્ટની દરેક સંખ્યાને બીજા ડાઈ પર વળેલા તમામ પોઈન્ટની સંખ્યા સાથે જોડી શકાય છે). આ પરિણામો પૈકી, માત્ર બે પરિણામો ઘટનાની તરફેણ કરે છે: (1; 2) અને (2; 1). આનો અર્થ એ થાય કે જરૂરી સંભાવના

જવાબ:

સમસ્યાની સ્થિતિ 1.5

બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે. નીચેની ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધો: a) દોરેલા પોઈન્ટનો સરવાળો સાત છે; b) દોરેલા પોઈન્ટનો સરવાળો આઠ છે, અને તફાવત ચાર છે; c) દોરેલા પોઈન્ટનો સરવાળો આઠ છે, જો તે જાણીતું હોય કે તેમનો તફાવત ચાર છે; d) રોલ્ડ પોઈન્ટનો સરવાળો પાંચ છે, અને ઉત્પાદન ચાર છે.

સમસ્યાનું સમાધાન 1.5

a) પ્રથમ ડાઇ પર છ વિકલ્પો, બીજા પર છ. કુલ વિકલ્પો: (ઉત્પાદન નિયમ અનુસાર). 7 સમાન રકમ માટેના વિકલ્પો: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - કુલ છ વિકલ્પો. અર્થ,

b) માત્ર બે યોગ્ય વિકલ્પો: (6.2) અને (2.6). અર્થ,

c) ફક્ત બે જ યોગ્ય વિકલ્પો છે: (2,6), (6,2). પરંતુ કુલ શક્ય વિકલ્પો 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). મતલબ, .

d) 5 ની બરાબર રકમ માટે, નીચેના વિકલ્પો યોગ્ય છે: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). ઉત્પાદન માત્ર બે વિકલ્પો માટે 4 છે. પછી

જવાબ: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; ડી) 1/18

સમસ્યાની સ્થિતિ 1.6

એક ક્યુબ, જેની તમામ કિનારીઓ રંગીન હોય છે, તેને હજાર ક્યુબ્સમાં કાપવામાં આવે છે સમાન કદ, જે પછી સંપૂર્ણપણે મિશ્ર કરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે નસીબ દ્વારા દોરવામાં આવેલા ક્યુબમાં રંગીન ચહેરા છે: a) એક; b) બે; c) ત્રણ.

સમસ્યાનું સમાધાન 1.6

કુલ 1000 સમઘનનું નિર્માણ થયું. ત્રણ રંગીન ચહેરાવાળા ક્યુબ્સ: 8 (આ કોર્નર ક્યુબ્સ છે). બે રંગીન ચહેરા સાથે: 96 (કારણ કે દરેક ધાર પર 8 સમઘન સાથે ક્યુબની 12 કિનારીઓ છે). રંગીન કિનારીઓ સાથે ડાઇસ: 384 (કારણ કે ત્યાં 6 ચહેરા છે અને દરેક ચહેરા પર 64 ક્યુબ્સ છે). બાકી રહેલા દરેક જથ્થાને 1000 વડે વિભાજીત કરવાનું છે.

જવાબ: a) 0.384; b) 0.096 c) 0.008