રેખીય સમીકરણનું મૂળ સ્વરૂપ શું છે. એક ચલમાં રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા

• ચલ સાથેની સમાનતાને સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.
• સમીકરણ ઉકેલવું એટલે તેના અનેક મૂળ શોધવા. સમીકરણમાં એક, બે, અનેક, ઘણા મૂળ અથવા કોઈ પણ હોઈ શકે નહીં.
• ચલની દરેક કિંમત કે જેના પર આપેલ સમીકરણ સાચી સમાનતામાં ફેરવાય છે તેને સમીકરણનું મૂળ કહેવામાં આવે છે.
• સમાન મૂળ ધરાવતા સમીકરણોને સમકક્ષ સમીકરણો કહેવામાં આવે છે.
• સમીકરણના કોઈપણ પદને સમાનતાના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે, શબ્દના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલીને.
• જો સમીકરણની બંને બાજુઓ સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે, તો તમને આપેલ સમીકરણની સમકક્ષ સમીકરણ મળશે.

ઉદાહરણો. સમીકરણ ઉકેલો.

1. 1.5x+4 = 0.3x-2.

1.5x-0.3x = -2-4. અમે સમાનતાની ડાબી બાજુએ ચલ ધરાવતી શરતો અને સમાનતાની જમણી બાજુએ મુક્ત શરતો એકત્રિત કરી. આ કિસ્સામાં, નીચેની મિલકતનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો:

1.2x = -6. લાવ્યા સમાન શરતોનિયમ અનુસાર:

x = -6 : 1.2. સમાનતાની બંને બાજુઓને ચલના ગુણાંક દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવી હતી, ત્યારથી

x = -5. દશાંશ અપૂર્ણાંકને વડે વિભાજિત કરવાના નિયમ અનુસાર વિભાજિત દશાંશ:

સંખ્યાને દશાંશ અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજિત કરવા માટે, તમારે ડિવિડન્ડ અને વિભાજકમાં અલ્પવિરામને જમણી બાજુએ ખસેડવાની જરૂર છે જેટલા વિભાજકમાં દશાંશ બિંદુ પછી છે, અને પછી કુદરતી સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર કરો:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

જવાબ: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. બાદબાકીને લગતા ગુણાકારના વિતરક નિયમનો ઉપયોગ કરીને અમે કૌંસ ખોલ્યા: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c

6x-4x = -16+27. અમે સમાનતાની ડાબી બાજુએ ચલ ધરાવતી શરતો અને સમાનતાની જમણી બાજુએ મુક્ત શરતો એકત્રિત કરી. આ કિસ્સામાં, નીચેની મિલકતનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો: સમીકરણના કોઈપણ પદને સમાનતાના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે, ત્યાંથી શબ્દના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલી શકાય છે.

2x = 11. સમાન શરતો નિયમ અનુસાર આપવામાં આવી હતી: સમાન શબ્દો લાવવા માટે, તમારે તેમના ગુણાંક ઉમેરવા અને પરિણામી પરિણામને તેમના સામાન્ય અક્ષરના ભાગથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે (એટલે ​​​​કે, પ્રાપ્ત પરિણામમાં તેમના સામાન્ય અક્ષરનો ભાગ ઉમેરો).

x = 11 : 2. સમાનતાની બંને બાજુઓને ચલના ગુણાંક દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવી હતી, ત્યારથી જો સમીકરણની બંને બાજુઓ સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે, તો તમને આપેલ સમીકરણની સમકક્ષ સમીકરણ મળશે.

જવાબ: 5,5.

3. 7x- (3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. અમે "-" ચિહ્નની આગળ કૌંસ ખોલવા માટેના નિયમ અનુસાર કૌંસ ખોલ્યા: જો કૌંસની સામે “-” ચિહ્ન હોય, તો પછી કૌંસ, “-” ચિહ્નને દૂર કરો અને વિપરીત ચિહ્નો સાથે કૌંસમાં શરતો લખો.

7x-2x-x = -9+3. અમે સમાનતાની ડાબી બાજુએ ચલ ધરાવતી શરતો અને સમાનતાની જમણી બાજુએ મુક્ત શરતો એકત્રિત કરી. આ કિસ્સામાં, નીચેની મિલકતનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો: સમીકરણના કોઈપણ પદને સમાનતાના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે, ત્યાંથી શબ્દના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલી શકાય છે.

4x = -6. સમાન શરતો નિયમ અનુસાર આપવામાં આવી હતી: સમાન શબ્દો લાવવા માટે, તમારે તેમના ગુણાંક ઉમેરવા અને પરિણામી પરિણામને તેમના સામાન્ય અક્ષરના ભાગથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે (એટલે ​​​​કે, પ્રાપ્ત પરિણામમાં તેમના સામાન્ય અક્ષરનો ભાગ ઉમેરો).

x = -6 : 4. સમાનતાની બંને બાજુઓને ચલના ગુણાંક દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવી હતી, ત્યારથી જો સમીકરણની બંને બાજુઓ સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે, તો તમને આપેલ સમીકરણની સમકક્ષ સમીકરણ મળશે.

જવાબ: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). સમીકરણની બંને બાજુઓને 12 વડે ગુણાકાર કરો - સૌથી નાની સામાન્ય છેદઆ અપૂર્ણાંકોના છેદ માટે.

3x-15 = 84-8x+44. બાદબાકીને લગતા ગુણાકારના વિતરક નિયમનો ઉપયોગ કરીને અમે કૌંસ ખોલ્યા: બે સંખ્યાના તફાવતને ત્રીજી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમે મિન્યુએન્ડને અલગથી ગુણાકાર કરી શકો છો અને ત્રીજા નંબરથી અલગથી બાદબાકી કરી શકો છો, અને પછી પ્રથમ પરિણામમાંથી બીજા પરિણામને બાદ કરી શકો છો, એટલે કે.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c

3x+8x = 84+44+15. અમે સમાનતાની ડાબી બાજુએ ચલ ધરાવતી શરતો અને સમાનતાની જમણી બાજુએ મુક્ત શરતો એકત્રિત કરી. આ કિસ્સામાં, નીચેની મિલકતનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો: સમીકરણના કોઈપણ પદને સમાનતાના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે, ત્યાંથી શબ્દના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલી શકાય છે.

રેખીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, અમે રુટ શોધવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ, એટલે કે ચલ માટેનું મૂલ્ય જે સમીકરણને સાચી સમાનતામાં ફેરવશે.

તમને જરૂરી સમીકરણનું મૂળ શોધવા માટે સમકક્ષ રૂપાંતરણો આપણને આપેલા સમીકરણને સ્વરૂપમાં લાવે છે

\(x=[નંબર]\)

આ સંખ્યા મૂળ હશે.

એટલે કે, અમે સમીકરણને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, દરેક પગલા સાથે તેને સરળ બનાવીએ છીએ, જ્યાં સુધી આપણે તેને સંપૂર્ણપણે આદિમ સમીકરણ "x = સંખ્યા" સુધી ઘટાડીએ નહીં, જ્યાં મૂળ સ્પષ્ટ છે. મોટેભાગે ઉકેલમાં વપરાય છે રેખીય સમીકરણોનીચેના રૂપાંતરણો છે:

ઉદાહરણ તરીકે: સમીકરણની બંને બાજુએ \(5\) ઉમેરો \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે સમીકરણની બીજી બાજુએ ફક્ત પાંચ લખીને અને તેનું ચિહ્ન બદલીને આપણે સમાન પરિણામ ઝડપથી મેળવી શકીએ છીએ. વાસ્તવમાં, શાળા "વિરુદ્ધમાં ચિહ્નના ફેરફાર સાથે સમાન દ્વારા સ્થાનાંતરણ" બરાબર આ રીતે થાય છે.

2. સમાન સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિ દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુનો ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર.

ઉદાહરણ તરીકે: સમીકરણ \(-2x=8\) ને ઓછા બે વડે વિભાજિત કરો

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

સામાન્ય રીતે આ પગલુંજ્યારે સમીકરણ પહેલાથી જ ફોર્મ \(ax=b\) માં ઘટાડી દેવામાં આવે છે, અને અમે તેને ડાબી બાજુથી દૂર કરવા માટે \(a\) વડે ભાગીએ છીએ.

3. ગણિતના ગુણધર્મો અને નિયમોનો ઉપયોગ કરવો: કૌંસ ખોલવા, સમાન શબ્દો લાવવા, અપૂર્ણાંક ઘટાડવા વગેરે.

ડાબે અને જમણે \(2x\) ઉમેરો

સમીકરણની બંને બાજુઓમાંથી \(24\) બાદ કરો

અમે ફરીથી સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ

હવે આપણે સમીકરણને \(-3\) વડે વિભાજીત કરીએ છીએ, આમ ડાબી બાજુએ આગળનો X દૂર કરીએ છીએ.

જવાબ આપો : \(7\)

જવાબ મળી ગયો છે. જો કે, ચાલો તેને તપાસીએ. જો સાત ખરેખર મૂળ છે, તો તેને X ને બદલે મૂળ સમીકરણમાં બદલવાથી સાચી સમાનતા આવશે - સમાન સંખ્યાઓડાબે અને જમણે. ચાલો પ્રયત્ન કરીએ.

પરીક્ષા:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

તે કામ કર્યું. આનો અર્થ એ છે કે સાત ખરેખર મૂળ રેખીય સમીકરણનું મૂળ છે.

અવેજી દ્વારા તમને મળેલા જવાબો તપાસવામાં આળસુ ન બનો, ખાસ કરીને જો તમે કોઈ કસોટી અથવા પરીક્ષામાં સમીકરણ હલ કરી રહ્યાં હોવ.

પ્રશ્ન રહે છે - આગલા પગલા પર સમીકરણ સાથે શું કરવું તે કેવી રીતે નક્કી કરવું? તેને બરાબર કેવી રીતે કન્વર્ટ કરવું? કંઈક દ્વારા ભાગાકાર? અથવા બાદબાકી? અને મારે બરાબર શું બાદબાકી કરવી જોઈએ? શેનાથી ભાગાકાર?

જવાબ સરળ છે:

તમારું લક્ષ્ય સમીકરણને \(x=[સંખ્યા]\) સ્વરૂપમાં લાવવાનું છે, એટલે કે, ડાબી બાજુએ ગુણાંક અને સંખ્યાઓ વિના x છે, અને જમણી બાજુએ ચલો વિનાની સંખ્યા છે. તેથી, તમને શું અટકાવે છે તે જુઓ અને દખલ કરનાર ઘટક જે કરે છે તેનાથી વિરુદ્ધ કરો.

આને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો રેખીય સમીકરણ \(x+3=13-4x\) ના સોલ્યુશનને સ્ટેપ બાય સ્ટેપ જોઈએ.

ચાલો વિચાર કરીએ: આ સમીકરણ \(x=[number]\) થી કેવી રીતે અલગ છે? અમને શું રોકી રહ્યું છે? શું ખોટું છે?

સારું, પ્રથમ, ત્રણ દખલ કરે છે, કારણ કે ડાબી બાજુએ નંબરો વિના, ફક્ત એકલો X હોવો જોઈએ. ટ્રોઇકા શું કરે છે? ઉમેર્યું X થી. તેથી, તેને દૂર કરવા માટે - બાદબાકીસમાન ત્રણ. પરંતુ જો આપણે ડાબી બાજુથી ત્રણ બાદ કરીએ, તો આપણે તેને જમણી બાજુથી બાદ કરીએ જેથી સમાનતાનું ઉલ્લંઘન ન થાય.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

દંડ. હવે તમને શું રોકે છે? \(4x\) જમણી બાજુએ, કારણ કે ત્યાં ફક્ત સંખ્યાઓ જ હોવી જોઈએ. \(4x\) કપાત- અમે દૂર કરીએ છીએ ઉમેરીને.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

હવે આપણે ડાબી અને જમણી બાજુએ સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ.

તે લગભગ તૈયાર છે. જે બાકી છે તે ડાબી બાજુના પાંચને દૂર કરવાનું છે. તેણી શું કરી રહી છે? ગુણાકાર કરે છે x પર. તો ચાલો તેને દૂર કરીએ વિભાગ.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

ઉકેલ પૂર્ણ છે, સમીકરણનું મૂળ બે છે. તમે અવેજી દ્વારા ચકાસી શકો છો.

તેની નોંધ લો મોટાભાગે રેખીય સમીકરણોમાં માત્ર એક જ મૂળ હોય છે. જો કે, બે વિશેષ કેસો આવી શકે છે.

ખાસ કેસ 1 - રેખીય સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી.

ઉદાહરણ . સમીકરણ ઉકેલો \(3x-1=2(x+3)+x\)

ઉકેલ :

જવાબ આપો : કોઈ મૂળ નથી.

વાસ્તવમાં, હકીકત એ છે કે અમે આવા પરિણામ પર આવીશું તે અગાઉ દૃશ્યમાન હતું, જ્યારે અમને \(3x-1=3x+6\) પ્રાપ્ત થયું ત્યારે પણ. તેના વિશે વિચારો: \(3x\) જેમાંથી આપણે \(1\) બાદ કર્યા છે અને \(3x\) જેમાં આપણે \(6\) ઉમેર્યા છે તે કેવી રીતે સમાન હોઈ શકે? દેખીતી રીતે, કોઈ રીત નથી, કારણ કે તેઓએ તે જ કર્યું વિવિધ ક્રિયાઓ! તે સ્પષ્ટ છે કે પરિણામો અલગ હશે.

ખાસ કેસ 2 - એક રેખીય સમીકરણમાં અનંત સંખ્યામાં મૂળ હોય છે.

ઉકેલ :

જવાબ આપો : કોઈપણ નંબર.

આ, માર્ગ દ્વારા, અગાઉ પણ, તબક્કે ધ્યાનપાત્ર હતું: \(8x+12=8x+12\). ખરેખર, ડાબે અને જમણે સમાન અભિવ્યક્તિઓ છે. તમે ગમે તે X ને બદલે, તે ત્યાં અને ત્યાં બંને સમાન સંખ્યા હશે.

વધુ જટિલ રેખીય સમીકરણો.

મૂળ સમીકરણ હંમેશા તરત જ રેખીય જેવું લાગતું નથી; કેટલીકવાર તે અન્યની જેમ "માસ્ક્ડ" હોય છે જટિલ સમીકરણો. જો કે, પરિવર્તનની પ્રક્રિયામાં, વેશ અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

ઉદાહરણ . સમીકરણનું મૂળ શોધો \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

ઉકેલ :

જવાબ આપો : \(x=5\)

ઉદાહરણ . રેખીય સમીકરણ ઉકેલો \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

ઉકેલ :

જવાબ આપો : \(x=-1.25\)

મહત્વપૂર્ણ નોંધો!
1. જો તમને સૂત્રોને બદલે ગોબ્લેડીગુક દેખાય, તો તમારી કેશ સાફ કરો. તમારા બ્રાઉઝરમાં આ કેવી રીતે કરવું તે અહીં લખ્યું છે:
2. તમે લેખ વાંચવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, સૌથી વધુ માટે અમારા નેવિગેટર પર ધ્યાન આપો ઉપયોગી સંસાધનમાટે

"રેખીય સમીકરણો" શું છે

અથવા માં મૌખિક રીતે- વાસ્યા પાસે બધા સફરજન હતા તેના આધારે ત્રણ મિત્રોને દરેકને સફરજન આપવામાં આવ્યા હતા.

અને હવે તમે પહેલેથી જ નક્કી કર્યું છે રેખીય સમીકરણ
હવે આ શબ્દને ગાણિતિક વ્યાખ્યા આપીએ.

રેખીય સમીકરણ - આ બીજગણિતીય સમીકરણ, જેની પાસે છે સંપૂર્ણ ડિગ્રીતેના ઘટક બહુપદીઓની બરાબર છે. તે આના જેવું દેખાય છે:

ક્યાં અને કોઈપણ સંખ્યાઓ છે અને

વાસ્યા અને સફરજન સાથેના અમારા કેસ માટે, અમે લખીશું:

- "જો વાસ્યા ત્રણેય મિત્રોને સમાન સંખ્યામાં સફરજન આપે છે, તો તેની પાસે કોઈ સફરજન બચશે નહીં"

"છુપાયેલ" રેખીય સમીકરણો, અથવા ઓળખ પરિવર્તનનું મહત્વ

હકીકત એ છે કે પ્રથમ નજરમાં બધું અત્યંત સરળ હોવા છતાં, સમીકરણોને હલ કરતી વખતે તમારે સાવચેત રહેવાની જરૂર છે, કારણ કે રેખીય સમીકરણોને ફક્ત આ પ્રકારના સમીકરણો જ નહીં, પણ કોઈપણ સમીકરણો કે જે પરિવર્તન અને સરળીકરણ દ્વારા આ પ્રકારમાં ઘટાડી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે:

આપણે જોઈએ છીએ કે જમણી બાજુએ શું છે, જે, સિદ્ધાંતમાં, પહેલેથી જ સૂચવે છે કે સમીકરણ રેખીય નથી. તદુપરાંત, જો આપણે કૌંસ ખોલીએ, તો આપણને વધુ બે શરતો મળશે જેમાં તે હશે, પરંતુ નિષ્કર્ષ પર ઉતાવળ કરશો નહીં! સમીકરણ રેખીય છે કે કેમ તે નક્કી કરતા પહેલા, તમામ રૂપાંતરણો કરવા અને આમ સરળ બનાવવા જરૂરી છે. મૂળ ઉદાહરણ. આ કિસ્સામાં, પરિવર્તન બદલાઈ શકે છે દેખાવ, પરંતુ સમીકરણનો સાર નથી.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ટ્રાન્સફોર્મેશન ડેટા હોવો જોઈએ સમાનઅથવા સમકક્ષ. આવા માત્ર બે જ રૂપાંતરણો છે, પરંતુ તેઓ ખૂબ જ ભજવે છે મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકાસમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે. ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને બંને પરિવર્તનો જોઈએ.

ડાબે - જમણે સ્થાનાંતરિત કરો.

ચાલો કહીએ કે આપણે નીચેના સમીકરણને હલ કરવાની જરૂર છે:

પાછા અંદર પ્રાથમિક શાળાઅમને કહેવામાં આવ્યું હતું: "X ની સાથે - ડાબી બાજુએ, X વિના - જમણી તરફ." જમણી બાજુએ X સાથે કઈ અભિવ્યક્તિ છે? તે સાચું છે, પરંતુ કેવી રીતે નહીં. અને આ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે જો આ ગેરસમજ છે, તો તે લાગશે સરળ પ્રશ્ન, ખોટો જવાબ બહાર આવે છે. ડાબી બાજુએ X સાથે કઈ અભિવ્યક્તિ છે? સાચું, .

હવે જ્યારે અમે આ શોધી કાઢ્યું છે, અમે તમામ શરતોને અજ્ઞાત સાથે સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ ડાબી બાજુ, અને જે જાણીતું છે તે બધું - જમણી બાજુએ, યાદ રાખવું કે જો નંબરની સામે કોઈ ચિહ્ન નથી, ઉદાહરણ તરીકે, તો પછી નંબર સકારાત્મક છે, એટલે કે, તેની સામે "" ચિહ્ન છે.

સ્થાનાંતરિત? તમને શું મળ્યું?

જે કરવાનું બાકી છે તે સમાન શરતો લાવવાનું છે. અમે પ્રસ્તુત કરીએ છીએ:

તેથી, અમે પ્રથમ સમાન રૂપાંતરણનું સફળતાપૂર્વક વિશ્લેષણ કર્યું છે, જો કે મને ખાતરી છે કે તમે તે પહેલાથી જ જાણતા હતા અને મારા વિના તેનો સક્રિયપણે ઉપયોગ કર્યો હતો. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે સમાન ચિહ્ન દ્વારા સ્થાનાંતરિત કરતી વખતે સંખ્યાઓના ચિહ્નો વિશે ભૂલી જવું અને તેમને વિરુદ્ધમાં બદલવું નહીં!

ગુણાકાર-ભાગાકાર.

ચાલો એક ઉદાહરણ સાથે તરત જ શરૂઆત કરીએ

ચાલો જોઈએ અને વિચારીએ: આ ઉદાહરણ વિશે આપણને શું ગમતું નથી? અજ્ઞાત બધું એક ભાગમાં છે, જ્ઞાત બીજા ભાગમાં છે, પરંતુ કંઈક આપણને રોકી રહ્યું છે... અને આ કંઈક ચાર છે, કારણ કે જો તે ન હોત, તો બધું સંપૂર્ણ હોત - x સંખ્યા જેટલી- બરાબર જેમ આપણને જરૂર છે!

તમે તેનાથી કેવી રીતે છુટકારો મેળવી શકો છો? આપણે તેને જમણી તરફ ખસેડી શકતા નથી, કારણ કે પછી આપણે સમગ્ર ગુણકને ખસેડવાની જરૂર છે (આપણે તેને લઈ શકતા નથી અને તેને તોડી શકતા નથી), અને સમગ્ર ગુણકને ખસેડવાનો પણ અર્થ નથી...

વિભાજન વિશે યાદ રાખવાનો સમય છે, તેથી ચાલો દરેક વસ્તુને વિભાજીત કરીએ! બધું - આનો અર્થ બંને ડાબે અને જમણી બાજુ. આ રીતે અને માત્ર આ રીતે! અમે શું કરી રહ્યા છીએ?

અહીં જવાબ છે.

ચાલો હવે બીજું ઉદાહરણ જોઈએ:

શું તમે અનુમાન કરી શકો છો કે આ કિસ્સામાં શું કરવાની જરૂર છે? તે સાચું છે, ડાબી અને જમણી બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરો! તમને શું જવાબ મળ્યો? અધિકાર. .

ચોક્કસ બધું વિશે છે ઓળખ પરિવર્તનતમે પહેલાથી જ જાણતા હતા. ધ્યાનમાં લો કે અમે તમારી સ્મૃતિમાં આ જ્ઞાનને ફક્ત તાજું કર્યું છે અને હવે કંઈક વધુ કરવાનો સમય છે - ઉદાહરણ તરીકે, અમારા મોટા ઉદાહરણને ઉકેલવા માટે:

આપણે અગાઉ કહ્યું તેમ, તેને જોઈને, તમે એમ ન કહી શકો કે આ સમીકરણ રેખીય છે, પરંતુ આપણે કૌંસ ખોલવાની અને સમાન પરિવર્તનો હાથ ધરવાની જરૂર છે. તો ચાલો પ્રારંભ કરીએ!

શરૂ કરવા માટે, અમે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેના સૂત્રોને યાદ કરીએ છીએ, ખાસ કરીને, સરવાળોનો વર્ગ અને તફાવતનો વર્ગ. જો તમને યાદ ન હોય કે તે શું છે અને કૌંસ કેવી રીતે ખોલવામાં આવે છે, તો હું વિષય વાંચવાની ખૂબ ભલામણ કરું છું, કારણ કે પરીક્ષામાં આવેલા લગભગ તમામ ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે આ કુશળતા તમારા માટે ઉપયોગી થશે.
પ્રગટ? ચાલો સરખામણી કરીએ:

હવે સમાન શરતો લાવવાનો સમય છે. તમને યાદ છે કે અમે કેવી રીતે સમાન હતા પ્રાથમિક શાળાશું તેઓએ કહ્યું હતું કે "અમે કટલેટ સાથે માખીઓ મૂકતા નથી"? અહીં હું તમને આની યાદ અપાવીશ. અમે દરેક વસ્તુને અલગથી ઉમેરીએ છીએ - જે પરિબળો હોય છે, જે પરિબળો હોય છે, અને બાકીના પરિબળો જે અજાણ્યા નથી હોતા. જ્યારે તમે સમાન શરતો લાવો છો, ત્યારે તમામ અજાણ્યાઓને ડાબી તરફ ખસેડો, અને તે બધાને જમણી તરફ ખસેડો. તમને શું મળ્યું?

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ચોરસમાંનો X અદૃશ્ય થઈ ગયો છે અને અમને કંઈક સંપૂર્ણપણે સામાન્ય દેખાય છે. રેખીય સમીકરણ. જે બાકી છે તે શોધવાનું છે!

અને અંતે હું એક વધુ કહીશ મહત્વપૂર્ણ વસ્તુઓળખ પરિવર્તન વિશે - ઓળખ પરિવર્તન માત્ર રેખીય સમીકરણો માટે જ નહીં, પણ ચતુર્ભુજ, અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અને અન્ય માટે પણ લાગુ પડે છે. તમારે ફક્ત એ યાદ રાખવાની જરૂર છે કે જ્યારે આપણે સમાન ચિન્હ દ્વારા પરિબળોને સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે સાઇનને વિરુદ્ધમાં બદલીએ છીએ, અને જ્યારે કોઈ સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર અથવા ગુણાકાર કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર/વિભાજિત કરીએ છીએ.

તમે આ ઉદાહરણમાંથી બીજું શું દૂર કર્યું? કે સમીકરણને જોઈને તે રેખીય છે કે નહીં તે સીધી અને સચોટ રીતે નક્કી કરવું હંમેશા શક્ય નથી. પ્રથમ અભિવ્યક્તિને સંપૂર્ણપણે સરળ બનાવવી જરૂરી છે, અને તે પછી જ તે શું છે તેનો નિર્ણય કરો.

રેખીય સમીકરણો. ઉદાહરણો.

તમારી જાતે પ્રેક્ટિસ કરવા માટે અહીં કેટલાક વધુ ઉદાહરણો છે - સમીકરણ રેખીય છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરો અને જો એમ હોય, તો તેના મૂળ શોધો:

જવાબો:

1. છે.

2. તે નથી.

ચાલો કૌંસ ખોલીએ અને સમાન શરતો રજૂ કરીએ:

ચાલો એક સરખા રૂપાંતર કરીએ - ડાબી અને જમણી બાજુઓને આમાં વિભાજીત કરીએ:

આપણે જોઈએ છીએ કે સમીકરણ રેખીય નથી, તેથી તેના મૂળ શોધવાની જરૂર નથી.

3. છે.

ચાલો એક સરખા રૂપાંતર કરીએ - છેદથી છૂટકારો મેળવવા માટે ડાબી અને જમણી બાજુનો ગુણાકાર કરીએ.

તે શા માટે આટલું મહત્વપૂર્ણ છે તે વિશે વિચારો? જો તમે આ પ્રશ્નનો જવાબ જાણો છો, તો સમીકરણને વધુ ઉકેલવા માટે આગળ વધો, જો નહીં, તો વિષય પર ધ્યાન આપવાની ખાતરી કરો જેથી કરીને વધુ ભૂલો ન થાય જટિલ ઉદાહરણો. માર્ગ દ્વારા, જેમ તમે જોઈ શકો છો, પરિસ્થિતિ અશક્ય છે. શા માટે?
તેથી, ચાલો આગળ વધીએ અને સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ:

જો તમે મુશ્કેલી વિના બધું મેનેજ કર્યું હોય, તો ચાલો બે ચલો સાથે રેખીય સમીકરણો વિશે વાત કરીએ.

બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણો

હવે ચાલો થોડા વધુ જટિલ તરફ જઈએ - બે ચલો સાથે રેખીય સમીકરણો.

રેખીય સમીકરણોબે ચલો સાથે ફોર્મ છે:

ક્યાં, અને - કોઈપણ સંખ્યાઓ અને.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે સમીકરણમાં અન્ય ચલ ઉમેરવામાં આવે છે. અને તેથી બધું સમાન છે - ત્યાં કોઈ x વર્ગ નથી, ચલ દ્વારા કોઈ વિભાજન નથી, વગેરે. વગેરે

મારે તમને કયું લાવવું જોઈએ? જીવન ઉદાહરણ... ચાલો એ જ વાસ્ય લઈએ. ચાલો કહીએ કે તેણે નક્કી કર્યું કે તે દરેક 3 મિત્રોને સમાન સંખ્યામાં સફરજન આપશે, અને સફરજન પોતાના માટે રાખશે. જો વાસ્યા દરેક મિત્રને એક સફરજન આપે તો તેને કેટલા સફરજન ખરીદવાની જરૂર છે? શું વિશે? જો દ્વારા શું?

દરેક વ્યક્તિ દ્વારા પ્રાપ્ત થશે તે સફરજનની સંખ્યાની અવલંબન કુલ સંખ્યાજે સફરજન ખરીદવાની જરૂર છે તે સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવશે:

• - સફરજનની સંખ્યા જે વ્યક્તિને પ્રાપ્ત થશે (, અથવા, અથવા);
• - સફરજનની સંખ્યા જે વાસ્યા પોતાના માટે લેશે;
• - વ્યક્તિ દીઠ સફરજનની સંખ્યાને ધ્યાનમાં લેતા, વાસ્યાને કેટલા સફરજન ખરીદવાની જરૂર છે?

આ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરીને, અમને મળે છે કે જો વાસ્યા એક મિત્રને સફરજન આપે છે, તો તેને ટુકડાઓ ખરીદવાની જરૂર છે, જો તે સફરજન આપે છે, વગેરે.

અને સામાન્ય રીતે. અમારી પાસે બે ચલો છે. શા માટે આ સંબંધને ગ્રાફ પર કાવતરું નથી? અમે અમારા મૂલ્યનું નિર્માણ અને ચિહ્નિત કરીએ છીએ, એટલે કે, બિંદુઓ, કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે, અને!

જેમ તમે જોઈ શકો છો, તેઓ એકબીજા પર આધાર રાખે છે રેખીય, તેથી સમીકરણોનું નામ - “ રેખીય».

ચાલો સફરજનમાંથી અમૂર્ત કરીએ અને તેને ગ્રાફિકલી જોઈએ વિવિધ સમીકરણો. બાંધવામાં આવેલા બે આલેખને ધ્યાનથી જુઓ - એક સીધી રેખા અને એક પેરાબોલા, મનસ્વી કાર્યો દ્વારા ઉલ્લેખિત:

બંને ચિત્રોમાં અનુરૂપ બિંદુઓ શોધો અને ચિહ્નિત કરો.
તમને શું મળ્યું?

તમે તેને પ્રથમ કાર્યના ગ્રાફ પર જોશો એકલાઅનુલક્ષે છે એક, એટલે કે, તેઓ રેખીય રીતે એકબીજા પર આધાર રાખે છે, જે બીજા કાર્ય વિશે કહી શકાય નહીં. અલબત્ત, તમે દલીલ કરી શકો છો કે બીજા ગ્રાફમાં x - પણ અનુરૂપ છે, પરંતુ આ ફક્ત એક બિંદુ છે, તે છે ખાસ કેસ, કારણ કે તમે હજી પણ એક શોધી શકો છો જે ફક્ત એક કરતાં વધુ મેળ ખાતું હોય. અને બાંધવામાં આવેલ આલેખ કોઈપણ રીતે રેખા જેવો દેખાતો નથી, પરંતુ પેરાબોલા છે.

હું પુનરાવર્તન કરું છું, વધુ એક વખત: રેખીય સમીકરણનો ગ્રાફ એક સીધી રેખા હોવો જોઈએ.

હકીકત એ છે કે જો આપણે કોઈપણ ડિગ્રી પર જઈએ તો સમીકરણ રેખીય રહેશે નહીં - પેરાબોલાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ સમજી શકાય તેવું છે, જો કે તમે તમારા માટે થોડા વધુ બનાવી શકો છો. સરળ આલેખ, ઉદાહરણ તરીકે અથવા. પરંતુ હું તમને ખાતરી આપું છું - તેમાંથી કોઈ પણ સીધી રેખા નહીં હોય.

મારા પર વિશ્વાસ નથી થતો? તેને બનાવો અને પછી મને જે મળ્યું તેની સાથે તેની તુલના કરો:

જો આપણે કોઈ વસ્તુને, ઉદાહરણ તરીકે, અમુક સંખ્યા વડે ભાગીએ તો શું થાય? હશે રેખીય અવલંબનઅને? ચાલો દલીલ ન કરીએ, પરંતુ ચાલો બાંધીએ! ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ.

કોઈક રીતે તે સીધી રેખા તરીકે બાંધવામાં આવ્યું હોય તેવું લાગતું નથી... તે મુજબ, સમીકરણ રેખીય નથી.
ચાલો સારાંશ આપીએ:

1. રેખીય સમીકરણ -બીજગણિતીય સમીકરણ છે જેમાં તેના ઘટક બહુપદીઓની કુલ ડિગ્રી સમાન છે.
2. રેખીય સમીકરણએક ચલ સાથે ફોર્મ ધરાવે છે:
   , ક્યાં અને કોઈપણ સંખ્યાઓ છે;
   રેખીય સમીકરણબે ચલો સાથે:
   , ક્યાં, અને કોઈપણ સંખ્યાઓ છે.
3. સમીકરણ રેખીય છે કે નહીં તે તરત જ નક્કી કરવું હંમેશા શક્ય નથી. કેટલીકવાર, આને સમજવા માટે, સમાન રૂપાંતરણો હાથ ધરવા, સમાન શબ્દોને ડાબે/જમણે ખસેડવા, ચિહ્ન બદલવાનું ભૂલશો નહીં, અથવા સમીકરણની બંને બાજુઓને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર/વિભાજિત કરવા જરૂરી છે.

રેખીય સમીકરણો. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

1. રેખીય સમીકરણ

આ એક બીજગણિતીય સમીકરણ છે જેમાં તેના ઘટક બહુપદીઓની કુલ ડિગ્રી સમાન છે.

2. એક ચલ સાથે રેખીય સમીકરણફોર્મ ધરાવે છે:

ક્યાં અને કોઈપણ સંખ્યાઓ છે;

3. બે ચલો સાથે રેખીય સમીકરણફોર્મ ધરાવે છે:

ક્યાં, અને - કોઈપણ નંબરો.

4. ઓળખ પરિવર્તન

સમીકરણ રેખીય છે કે નહીં તે નિર્ધારિત કરવા માટે, સમાન રૂપાંતરણો કરવા જરૂરી છે:

• સમાન શબ્દોને ડાબે/જમણે ખસેડો, સાઇન બદલવાનું ભૂલશો નહીં;
• સમીકરણની બંને બાજુઓને સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર/વિભાજિત કરો.

બસ, વિષય પૂરો થયો. જો તમે આ લાઈનો વાંચી રહ્યા છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તમે ખૂબ જ શાનદાર છો.

કારણ કે માત્ર 5% લોકો જ પોતાના પર કંઈક માસ્ટર કરવામાં સક્ષમ છે. અને જો તમે અંત સુધી વાંચો છો, તો તમે આ 5% માં છો!

હવે સૌથી મહત્વની વાત.

તમે આ વિષય પરનો સિદ્ધાંત સમજી ગયા છો. અને, હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ... આ માત્ર સુપર છે! તમે તમારા મોટા ભાગના સાથીદારો કરતા પહેલાથી જ સારા છો.

સમસ્યા એ છે કે આ પૂરતું નથી...

શેના માટે?

સફળ થવા માટે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવી, બજેટમાં કૉલેજમાં પ્રવેશ માટે અને, સૌથી મહત્વપૂર્ણ, જીવન માટે.

હું તમને કંઈપણ સમજાવીશ નહીં, હું ફક્ત એક વાત કહીશ ...

જે લોકો પ્રાપ્ત થયા હતા સારું શિક્ષણ, જેમણે તે પ્રાપ્ત કર્યું નથી તેના કરતા ઘણું વધારે કમાઓ. આ આંકડા છે.

પરંતુ આ મુખ્ય વસ્તુ નથી.

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વધુ ખુશ છે (ત્યાં આવા અભ્યાસો છે). કદાચ કારણ કે તેમની સામે ઘણું બધું ખુલ્લું છે વધુ શક્યતાઓઅને જીવન તેજસ્વી બને છે? ખબર નથી...

પણ તમારા માટે વિચારો ...

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અન્ય કરતા વધુ સારા બનવાની ખાતરી કરવા અને આખરે... ખુશ રહેવા માટે શું જરૂરી છે?

આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરીને તમારો હાથ મેળવો.

પરીક્ષા દરમિયાન તમને થિયરી માટે પૂછવામાં આવશે નહીં.

તમને જરૂર પડશે સમય સામે સમસ્યાઓ ઉકેલો.

અને, જો તમે તેમને ઉકેલ્યા નથી (ઘણું!), તો તમે ચોક્કસપણે ક્યાંક મૂર્ખ ભૂલ કરશો અથવા તમારી પાસે સમય નહીં હોય.

તે રમતગમતની જેમ છે - ખાતરી માટે જીતવા માટે તમારે તેને ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે.

તમે ઇચ્છો ત્યાં સંગ્રહ શોધો, આવશ્યકપણે ઉકેલો સાથે, વિગતવાર વિશ્લેષણ અને નક્કી કરો, નક્કી કરો, નક્કી કરો!

તમે અમારા કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો (વૈકલ્પિક) અને અમે, અલબત્ત, તેમની ભલામણ કરીએ છીએ.

અમારા કાર્યોને વધુ સારી રીતે ઉપયોગમાં લેવા માટે, તમે હાલમાં વાંચી રહ્યાં છો તે YouClever પાઠ્યપુસ્તકના જીવનને લંબાવવામાં મદદ કરવાની જરૂર છે.

કેવી રીતે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. આ લેખમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોને અનલૉક કરો -
2. પાઠ્યપુસ્તકના તમામ 99 લેખોમાં તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસને અનલૉક કરો - પાઠ્યપુસ્તક ખરીદો - 499 RUR

હા, અમારી પાઠ્યપુસ્તકમાં આવા 99 લેખો છે અને તમામ કાર્યોની ઍક્સેસ છે અને તેમાં છુપાયેલા તમામ પાઠો તરત જ ખોલી શકાય છે.

સાઇટના સમગ્ર જીવન માટે તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

અને નિષ્કર્ષમાં ...

જો તમને અમારા કાર્યો પસંદ ન હોય, તો અન્યને શોધો. ફક્ત સિદ્ધાંત પર અટકશો નહીં.

"સમજ્યું" અને "હું હલ કરી શકું છું" એ સંપૂર્ણપણે અલગ કુશળતા છે. તમારે બંનેની જરૂર છે.

સમસ્યાઓ શોધો અને તેમને હલ કરો!

ગણિતમાં સમીકરણો રશિયનમાં ક્રિયાપદો જેટલા જ મહત્વપૂર્ણ છે. સમીકરણનું મૂળ શોધવાની ક્ષમતા વિના, તે કહેવું મુશ્કેલ છે કે વિદ્યાર્થીએ બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં નિપુણતા મેળવી છે. વધુમાં, દરેક પ્રકારના તેના પોતાના વિશિષ્ટ ઉકેલો છે.

તે શું છે?

સમીકરણ એ ચલો ધરાવતા બે મનસ્વી અભિવ્યક્તિઓ છે, જેની વચ્ચે સમાન ચિહ્ન મૂકવામાં આવે છે. વધુમાં, અજાણ્યા જથ્થાઓની સંખ્યા મનસ્વી હોઈ શકે છે. ન્યૂનતમ જથ્થો- એક.

તેને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે સમીકરણનું મૂળ છે કે કેમ તે શોધવું. એટલે કે, તે સંખ્યા જે તેને સાચી સમાનતામાં ફેરવે છે. જો ત્યાં કોઈ નથી, તો જવાબ એ નિવેદન છે કે "કોઈ મૂળ નથી." પરંતુ વિપરીત પણ સાચું હોઈ શકે છે, જ્યારે જવાબ સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

કયા પ્રકારના સમીકરણો છે?

રેખીય. તેમાં એક ચલ છે જેની ડિગ્રી એક જેટલી છે.

• ચોરસ. ચલમાં 2 ની શક્તિ હોય છે, અથવા પરિવર્તનો આવી શક્તિના દેખાવમાં પરિણમે છે.
• ઉચ્ચતમ ડિગ્રીનું સમીકરણ.
• અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત. જ્યારે ચલ અપૂર્ણાંકના છેદમાં દેખાય છે.
• મોડ્યુલ સાથે.
• અતાર્કિક. એટલે કે, જે બીજગણિત મૂળ ધરાવે છે.

રેખીય સમીકરણ કેવી રીતે હલ કરવું?

તે મૂળભૂત છે. આ તે દેખાવ છે જે અન્ય લોકો હાંસલ કરવા માટે પ્રયત્ન કરે છે. કારણ કે સમીકરણનું મૂળ શોધવું એકદમ સરળ છે.

• પ્રથમ તમારે સંભવિત પરિવર્તન કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, કૌંસ ખોલો અને સમાન શરતો લાવો.
• ના તમામ મોનોમિયલ્સને ખસેડો ચલસમાનતાની ડાબી બાજુએ, જમણી બાજુએ મફત શરતો છોડીને.
• ઉકેલાઈ રહેલા સમીકરણના દરેક ભાગમાં સમાન પદો આપો.
• પરિણામી સમાનતામાં, ડાબા અડધા ભાગમાં ગુણાંક અને ચલનું ઉત્પાદન હશે, અને જમણા અડધા ભાગમાં સંખ્યા હશે.
• અજ્ઞાતની સામે ગુણાંક વડે જમણી બાજુની સંખ્યાને વિભાજિત કરીને સમીકરણનું મૂળ શોધવાનું બાકી છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ કેવી રીતે શોધી શકાય?

પહેલા તેને લાવવો પડશે પ્રમાણભૂત દૃશ્ય, એટલે કે, બધા કૌંસ ખોલો, સમાન શરતો લાવો અને તમામ મોનોમિયલ્સને ડાબી બાજુ ખસેડો. સમાનતાની જમણી બાજુએ માત્ર શૂન્ય બાકી હોવું જોઈએ.

• ભેદભાવપૂર્ણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. પાવર “1” સાથે અજાણ્યા ગુણાંકનો વર્ગ કરો. ફ્રી મોનોમિયલ અને ચલ વર્ગની સામેની સંખ્યાને 4 નંબર વડે ગુણાકાર કરો. પરિણામી ચોરસમાંથી ઉત્પાદન બાદ કરો.
• ભેદભાવ કરનારની કિંમતનો અંદાજ કાઢો. તે નકારાત્મક છે - સોલ્યુશન પૂર્ણ છે, કારણ કે તેમાં કોઈ મૂળ નથી. શૂન્યની બરાબર- જવાબ એક નંબર હશે. હકારાત્મક - ચલની બે કિંમતો છે.

ઘન સમીકરણ કેવી રીતે હલ કરવું?

પ્રથમ x સમીકરણનું મૂળ શોધો. તે એવી સંખ્યાઓ પસંદ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે જે ફ્રી ટર્મના વિભાજક છે. પર આ પદ્ધતિ ધ્યાનમાં લેવી અનુકૂળ છે ચોક્કસ ઉદાહરણ. ચાલો સમીકરણ હોઈએ: x 3 - 3x 2 - 4x + 12 = 0.

તેમના મફત સભ્ય 12 ની બરાબર છે. પછી જે વિભાજકોને તપાસવાની જરૂર છે તે હકારાત્મક હશે અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ: 1, 2, 3, 4, 6 અને 12. શોધ પહેલાથી જ નંબર 2 પર પૂર્ણ કરી શકાય છે. તે સમીકરણમાં યોગ્ય સમાનતા આપે છે. એટલે કે, તેના ડાબી બાજુશૂન્ય બહાર વળે છે. તેથી સંખ્યા 2 એ ઘન સમીકરણનું પ્રથમ મૂળ છે.

હવે તમારે મૂળ સમીકરણને ચલ અને પ્રથમ મૂળના તફાવત દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. વિશિષ્ટ ઉદાહરણમાં તે છે (x - 2). એક સરળ પરિવર્તન અંશને નીચેના અવયવીકરણ તરફ દોરી જાય છે: (x - 2)(x + 2)(x - 3). અંશ અને છેદના સમાન પરિબળો રદ કરે છે, અને બાકીના બે કૌંસ જ્યારે ખોલવામાં આવે ત્યારે એક સરળ ચતુર્ભુજ સમીકરણ: x 2 - x - 6 = 0.

અહીં, અગાઉના વિભાગમાં વર્ણવેલ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના બે મૂળ શોધો. તેઓ નંબરો છે: 3 અને -2.

કુલ, ચોક્કસ માટે ઘન સમીકરણઅમને ત્રણ મૂળ મળ્યા: 2, -2 અને 3.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો કેવી રીતે ઉકેલાય છે?

અજ્ઞાતને દૂર કરવા માટેની એક પદ્ધતિ અહીં પ્રસ્તાવિત છે. તેમાં એક અજ્ઞાતને એક સમીકરણમાં બીજાની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવાનો અને આ અભિવ્યક્તિને બીજામાં બદલવાનો સમાવેશ થાય છે. તદુપરાંત, બે અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ હંમેશા ચલોની જોડી હોય છે.

જો તેમાંના ચલોને x 1 અને x 2 અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવ્યા હોય, તો પછી પ્રથમ સમાનતામાંથી, ઉદાહરણ તરીકે, x 2 મેળવવાનું શક્ય છે. પછી તેને બીજામાં બદલવામાં આવે છે. જરૂરી પરિવર્તન હાથ ધરવામાં આવે છે: કૌંસ ખોલીને અને કાસ્ટિંગ સમાન સભ્યો. પરિણામ એ એક સરળ રેખીય સમીકરણ છે, જેના મૂળની ગણતરી કરવી સરળ છે.

હવે પ્રથમ સમીકરણ પર પાછા જાઓ અને પરિણામી સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ x 2 નું મૂળ શોધો. આ બે નંબરો જવાબ છે.

પ્રાપ્ત જવાબની ખાતરી કરવા માટે, હંમેશા તપાસવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે. તે લખવાની જરૂર નથી.

જો એક સમીકરણ ઉકેલાઈ રહ્યું હોય, તો તેના દરેક મૂળને મૂળ સમાનતામાં બદલવા જોઈએ અને બંને બાજુએ સમાન સંખ્યાઓ મેળવવી જોઈએ. બધું એકસાથે આવ્યું - નિર્ણય સાચો હતો.

સિસ્ટમ સાથે કામ કરતી વખતે, દરેક સોલ્યુશનમાં અને બધામાં મૂળ દાખલ કરવા આવશ્યક છે શક્ય ક્રિયાઓ. શું સમીકરણ સાચું છે? તેથી નિર્ણય સાચો છે.

પ્રથમ તમારે તે શું છે તે સમજવાની જરૂર છે.

એક સરળ વ્યાખ્યા છે રેખીય સમીકરણજે આપવામાં આવે છે નિયમિત શાળા: "એક સમીકરણ જેમાં ચલ માત્ર પ્રથમ ઘાત માટે જ દેખાય છે." પરંતુ તે સંપૂર્ણ રીતે સાચું નથી: સમીકરણ રેખીય નથી, તે તેનાથી ઓછું પણ થતું નથી, તે ચતુર્ભુજમાં ઘટે છે.

વધુ ચોક્કસ વ્યાખ્યાઆ છે: રેખીય સમીકરણએક સમીકરણ છે જેનો ઉપયોગ કરીને સમકક્ષ પરિવર્તનો ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે, જ્યાં title="a,b bbR માં, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

વાસ્તવમાં, સમીકરણ રેખીય છે કે નહીં તે સમજવા માટે, તેને પ્રથમ સરળ બનાવવું આવશ્યક છે, એટલે કે, તેનું વર્ગીકરણ અસ્પષ્ટ હશે. યાદ રાખો, તમે સમીકરણ સાથે તમે જે ઇચ્છો તે કરી શકો છો જ્યાં સુધી તે તેના મૂળને બદલતું નથી - તે તે જ છે. સમકક્ષ રૂપાંતર. સૌથી સરળ સમકક્ષ પરિવર્તનોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

1. ઓપનિંગ કૌંસ
2. સમાન લાવવું
3. સમીકરણની બંને બાજુઓને બિનશૂન્ય સંખ્યા વડે ગુણાકાર અને/અથવા ભાગાકાર કરવો
4. સમાન સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિની બંને બાજુઓમાંથી ઉમેરવા અને/અથવા બાદબાકી*

ઉદાહરણ 1:
(ચાલો કૌંસ ખોલીએ)
(બંને ભાગોમાં ઉમેરો અને નંબરના ચિહ્નને ડાબી તરફ અને ચલોને જમણી તરફ બદલવા સાથે બાદબાકી/ટ્રાન્સફર કરો)
(ચાલો સમાન આપીએ)
(સમીકરણની બંને બાજુઓને 3 વડે વિભાજીત કરો)

તેથી આપણને એક સમીકરણ મળે છે જેનું મૂળ મૂળ સમાન હોય છે. ચાલો વાચકને તે યાદ અપાવીએ "સમીકરણ ઉકેલો"- એટલે તેના તમામ મૂળ શોધવા અને સાબિત કરવું કે ત્યાં કોઈ અન્ય નથી, અને "સમીકરણનું મૂળ"- આ એક એવો નંબર છે જે, જ્યારે અજ્ઞાતને બદલે છે, ત્યારે તે સમીકરણને સાચી સમાનતામાં ફેરવશે. ઠીક છે, છેલ્લા સમીકરણમાં, એક સંખ્યા શોધવી જે સમીકરણને સાચી સમાનતામાં ફેરવે છે તે ખૂબ જ સરળ છે - આ સંખ્યા છે. તરફથી અન્ય કોઈ ઓળખ નંબર નથી આપેલ સમીકરણતે કરશે નહીં. જવાબ:

ઉદાહરણ 2:
(સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરો , ખાતરી કર્યા પછી કે આપણે : title="x3/2 દ્વારા ગુણાકાર કરી રહ્યા નથી"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(ચાલો કૌંસ ખોલીએ)
(ચાલો શરતો ખસેડીએ)
(ચાલો સમાન આપીએ)
(અમે બંને ભાગોને દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ)

આ રીતે તમામ રેખીય સમીકરણો હલ થાય છે. નાના વાચકો માટે, મોટે ભાગે સમજૂતી આપીજટિલ લાગતું હતું, તેથી અમે એક સંસ્કરણ ઑફર કરીએ છીએ "ગ્રેડ 5 માટે રેખીય સમીકરણો"