સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણનું અપૂર્ણ સમીકરણમાં રૂપાંતર આના જેવું દેખાય છે (કેસ $b=0$ માટે):

કિસ્સાઓ માટે જ્યારે $c=0$ અથવા જ્યારે બંને ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય, ત્યારે બધું સમાન છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે $a$ શૂન્યની બરાબર હોવાનો કોઈ પ્રશ્ન નથી, તે શૂન્યની બરાબર હોઈ શકતો નથી, કારણ કે આ કિસ્સામાં તે બદલાઈ જશે:

અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા.

સૌ પ્રથમ, તમારે એ સમજવાની જરૂર છે કે અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ હજુ પણ છે, અને તેથી તેને સામાન્ય ચતુર્ભુજ સમીકરણ (માર્ગે) ની જેમ જ ઉકેલી શકાય છે. આ કરવા માટે, આપણે શૂન્ય ગુણાંક સાથે સમીકરણનો ખૂટતો ઘટક ઉમેરીએ છીએ.

ઉદાહરણ : સમીકરણના મૂળ શોધો $3x^2-27=0$
ઉકેલ :

		આપણી પાસે ગુણાંક $b=0$ સાથે અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે. એટલે કે, આપણે નીચે પ્રમાણે સમીકરણ લખી શકીએ.
$3x^2+0\cdot x-27=0$		વાસ્તવમાં, આ શરૂઆતમાં સમાન સમીકરણ છે, પરંતુ હવે તેને સામાન્ય ચતુર્ભુજ તરીકે ઉકેલી શકાય છે. પ્રથમ આપણે ગુણાંક લખીએ છીએ.
$a=3;$ $b=0;$ $c=-27;$		ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભેદભાવની ગણતરી કરીએ $D=b^2-4ac$
$D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=$ $=0+324=324$		ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ શોધીએ $x_(1)=$$\frac(-b+\sqrt(D))(2a)$ અને $x_(2)=$$\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)$
$x_(1)=$ $\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)$$=$$\frac(18)(6)$ $=3$ $x_(2)=$ $\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)$$=$$\frac(-18)(6)$ $=-3$		જવાબ લખો

જવાબ આપો : $x_(1)=3$; $x_(2)=-3$

ઉદાહરણ : સમીકરણના મૂળ શોધો $-x^2+x=0$
ઉકેલ :

		ફરીથી એક અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ, પરંતુ હવે ગુણાંક $c$ શૂન્ય બરાબર છે. અમે સમીકરણને પૂર્ણ તરીકે લખીએ છીએ.

વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ 2: ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા

વ્યાખ્યાન: ચતુર્ભુજ સમીકરણો

સમીકરણ

સમીકરણ- આ અભિવ્યક્તિઓમાં એક પ્રકારની સમાનતા છે જેમાં ચલ છે.

સમીકરણ ઉકેલો- એટલે કે ચલને બદલે સંખ્યા શોધવી જે તેને સાચી સમાનતામાં લાવશે.

સમીકરણમાં એક ઉકેલ હોઈ શકે છે, ઘણા બધા અથવા કોઈ પણ નથી.

કોઈપણ સમીકરણને ઉકેલવા માટે, તેને ફોર્મમાં શક્ય તેટલું સરળ બનાવવું જોઈએ:

રેખીય: a*x = b;

ચોરસ: a*x 2 + b*x + c = 0.

એટલે કે, કોઈપણ સમીકરણોને ઉકેલતા પહેલા પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે.

કોઈપણ સમીકરણ બે રીતે ઉકેલી શકાય છે: વિશ્લેષણાત્મક અને ગ્રાફિકલ.

ગ્રાફ પર, સમીકરણનો ઉકેલ એ બિંદુઓ તરીકે ગણવામાં આવે છે કે જેના પર ગ્રાફ OX અક્ષને છેદે છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો

સમીકરણને ચતુર્ભુજ કહી શકાય જો, જ્યારે સરળ કરવામાં આવે, ત્યારે તે આ સ્વરૂપ લે છે:

a*x 2 + b*x + c = 0.

તે જ સમયે a, b, cએ સમીકરણના ગુણાંક છે જે શૂન્યથી અલગ છે. એ "X"- સમીકરણનું મૂળ. એવું માનવામાં આવે છે કે ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં બે મૂળ હોય છે અથવા તેનો કોઈ ઉકેલ ન પણ હોય. પરિણામી મૂળ સમાન હોઈ શકે છે.

"એ"- ગુણાંક કે જે વર્ગમૂળની આગળ રહે છે.

"બી"- પ્રથમ ડિગ્રીમાં અજ્ઞાતની સામે રહે છે.

"સાથે" - મફત સભ્યસમીકરણો

જો, ઉદાહરણ તરીકે, અમારી પાસે ફોર્મનું સમીકરણ છે:

2x 2 -5x+3=0

તેમાં, “2” એ સમીકરણના અગ્રણી પદનો ગુણાંક છે, “-5” એ બીજો ગુણાંક છે અને “3” એ મુક્ત શબ્દ છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું

ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલવા માટેની વિશાળ વિવિધતાઓ છે. જો કે, માં શાળા અભ્યાસક્રમગણિતમાં, વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને તેમજ ભેદભાવનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

ભેદભાવપૂર્ણ ઉકેલ:

સાથે ઉકેલતી વખતે આ પદ્ધતિસૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભેદભાવની ગણતરી કરવી જરૂરી છે:

જો ગણતરી દરમિયાન તમે શોધી કાઢો કે ભેદભાવ કરનાર શૂન્ય કરતાં ઓછું, આનો અર્થ એ છે કે આપેલ સમીકરણકોઈ ઉકેલ નથી.

જો ભેદભાવ કરનાર શૂન્ય બરાબર, તો સમીકરણમાં બે છે સમાન ઉકેલો. આ કિસ્સામાં, બહુપદીને સરવાળો અથવા તફાવતના વર્ગમાં સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંકુચિત કરી શકાય છે. પછી તેને રેખીય સમીકરણ તરીકે ઉકેલો. અથવા સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

જો ભેદભાવ કરનાર શૂન્ય કરતાં વધારે, પછી તમારે નીચેની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:

વિયેટાનું પ્રમેય

જો સમીકરણ આપવામાં આવે છે, તો અગ્રણી પદ માટે ગુણાંક છે એક સમાન, પછી તમે ઉપયોગ કરી શકો છો વિયેટાનું પ્રમેય.

તો ચાલો ધારીએ કે સમીકરણ છે:

સમીકરણના મૂળ નીચે મુજબ જોવા મળે છે.

અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ

અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવવા માટે ઘણા વિકલ્પો છે, જેનું સ્વરૂપ ગુણાંકની હાજરી પર આધારિત છે.

1. જો બીજા અને ત્રીજા ગુણાંક શૂન્ય છે (b = 0, c = 0), પછી ચતુર્ભુજ સમીકરણ આના જેવું દેખાશે:

આ સમીકરણ હશે એકમાત્ર ઉકેલ. સમીકરણનો ઉકેલ શૂન્ય હશે તો જ સમાનતા સાચી થશે.

આ સાથે ગણિત કાર્યક્રમતમે કરી શકો છો ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલો.

પ્રોગ્રામ માત્ર સમસ્યાનો જવાબ જ આપતું નથી, પણ ઉકેલની પ્રક્રિયાને બે રીતે પ્રદર્શિત કરે છે:
- ભેદભાવનો ઉપયોગ કરીને
- વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને (જો શક્ય હોય તો).

વધુમાં, જવાબ ચોક્કસ તરીકે પ્રદર્શિત થાય છે, અંદાજિત નહીં.
ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ માટે $81x^2-16x-1=0$ જવાબ નીચેના સ્વરૂપમાં પ્રદર્શિત થાય છે:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ અને આના જેવું નથી: $x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05$

આ કાર્યક્રમહાઈસ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે માધ્યમિક શાળાઓની તૈયારીમાં પરીક્ષણોઅને પરીક્ષાઓ, જ્યારે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલાં જ્ઞાનની ચકાસણી કરતી વખતે, માતાપિતા માટે ગણિત અને બીજગણિતની ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલને નિયંત્રિત કરવા માટે. અથવા કદાચ તમારા માટે શિક્ષકને ભાડે રાખવું અથવા નવા પાઠ્યપુસ્તકો ખરીદવા તે ખૂબ ખર્ચાળ છે? અથવા તમે તેને શક્ય તેટલી ઝડપથી પૂર્ણ કરવા માંગો છો?હોમવર્ક

ગણિતમાં કે બીજગણિતમાં? આ કિસ્સામાં, તમે વિગતવાર ઉકેલો સાથે અમારા પ્રોગ્રામ્સનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો. આ રીતે તમે તમારી પોતાની તાલીમ અને/અથવા તમારી તાલીમ લઈ શકો છો.નાના ભાઈઓ

અથવા બહેનો, જ્યારે સમસ્યાઓના ઉકેલના ક્ષેત્રમાં શિક્ષણનું સ્તર વધે છે. જો તમે પ્રવેશ નિયમોથી પરિચિત નથીચતુર્ભુજ બહુપદી

, અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે તમારી જાતને તેમની સાથે પરિચિત કરો.

ચતુર્ભુજ બહુપદી દાખલ કરવાના નિયમો
કોઈપણ લેટિન અક્ષર ચલ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

ઉદાહરણ તરીકે: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$, વગેરે.
સંખ્યાઓ સંપૂર્ણ અથવા અપૂર્ણાંક સંખ્યા તરીકે દાખલ કરી શકાય છે. વધુમાં,અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ

માત્ર દશાંશ તરીકે જ નહીં, પણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે પણ દાખલ કરી શકાય છે.
દશાંશ અપૂર્ણાંક દાખલ કરવાના નિયમો. દશાંશમાંઅપૂર્ણાંક ભાગ
અવધિ અથવા અલ્પવિરામ દ્વારા સમગ્રથી અલગ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે દાખલ કરી શકો છોદશાંશ

આની જેમ: 2.5x - 3.5x^2
સામાન્ય અપૂર્ણાંક દાખલ કરવા માટેના નિયમો.

માત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યા જ અપૂર્ણાંકના અંશ, છેદ અને પૂર્ણાંક ભાગ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

છેદ નકારાત્મક ન હોઈ શકે. દાખલ કરતી વખતેસંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંક /
અંશને વિભાજન ચિહ્ન દ્વારા છેદથી અલગ કરવામાં આવે છે:આખો ભાગ &
એમ્પરસેન્ડ દ્વારા અપૂર્ણાંકથી અલગ:
ઇનપુટ: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

પરિણામ: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2$ જ્યારે અભિવ્યક્તિ દાખલ કરોતમે કૌંસનો ઉપયોગ કરી શકો છો
. આ કિસ્સામાં, ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, પરિચયિત અભિવ્યક્તિને પ્રથમ સરળ બનાવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ: x^2+2x-1

નક્કી કરો
તે જાણવા મળ્યું હતું કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી કેટલીક સ્ક્રિપ્ટો લોડ કરવામાં આવી ન હતી, અને પ્રોગ્રામ કામ કરી શકશે નહીં.
તમે AdBlock સક્ષમ કરેલ હોઈ શકે છે.

આ કિસ્સામાં, તેને અક્ષમ કરો અને પૃષ્ઠને તાજું કરો.
તમારા બ્રાઉઝરમાં JavaScript અક્ષમ છે.
ઉકેલ દેખાવા માટે, તમારે JavaScript સક્ષમ કરવાની જરૂર છે.

તમારા બ્રાઉઝરમાં JavaScript ને કેવી રીતે સક્ષમ કરવું તેની સૂચનાઓ અહીં છે.
કારણ કે સમસ્યા હલ કરવા માટે ઘણા બધા લોકો તૈયાર છે, તમારી વિનંતી કતારમાં છે.
થોડીવારમાં ઉકેલ નીચે દેખાશે. કૃપા કરીને રાહ જુઓ

સેકન્ડ... જો તમેઉકેલમાં ભૂલ નોંધાઈ
, તો પછી તમે આ વિશે ફીડબેક ફોર્મમાં લખી શકો છો. ભૂલશો નહીંકયું કાર્ય સૂચવે છે તમે શું નક્કી કરો.

ક્ષેત્રોમાં દાખલ કરો

થોડો સિદ્ધાંત.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ અને તેના મૂળ. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો

દરેક સમીકરણો
$-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 $
જેવો દેખાય છે
$ax^2+bx+c=0, $
જ્યાં x એ ચલ છે, a, b અને c એ સંખ્યાઓ છે.
પ્રથમ સમીકરણમાં a = -1, b = 6 અને c = 1.4, બીજામાં a = 8, b = -7 અને c = 0, ત્રીજામાં a = 1, b = 0 અને c = 4/9. આવા સમીકરણો કહેવાય છે ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

વ્યાખ્યા.
ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax 2 +bx+c=0 ફોર્મનું સમીકરણ કહેવાય છે, જ્યાં x એ ચલ છે, a, b અને c કેટલીક સંખ્યાઓ છે, અને $a \neq 0 $.

સંખ્યાઓ a, b અને c એ ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંક છે. નંબર a ને પ્રથમ ગુણાંક કહેવામાં આવે છે, સંખ્યા b એ બીજો ગુણાંક છે, અને સંખ્યા c એ મુક્ત પદ છે.

ફોર્મ ax 2 +bx+c=0 ના દરેક સમીકરણોમાં, જ્યાં $a \neq 0 $, ચલ x ની સૌથી મોટી ઘાત એક ચોરસ છે. તેથી નામ: ચતુર્ભુજ સમીકરણ.

નોંધ કરો કે ચતુર્ભુજ સમીકરણને બીજી ડિગ્રીનું સમીકરણ પણ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેની ડાબી બાજુ બીજી ડિગ્રીની બહુપદી છે.

એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ કે જેમાં x 2 નો ગુણાંક 1 બરાબર હોય તેને કહેવામાં આવે છે આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણ. ઉદાહરણ તરીકે, આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણો સમીકરણો છે
$x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 $

જો ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax 2 +bx+c=0 માં ઓછામાં ઓછું એક ગુણાંક b અથવા c શૂન્ય સમાન હોય, તો આવા સમીકરણને કહેવામાં આવે છે. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ. આમ, સમીકરણો -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 એ અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો છે. તેમાંથી પ્રથમમાં b=0, બીજામાં c=0, ત્રીજામાં b=0 અને c=0.

ત્રણ પ્રકારના અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો છે:
1) ax 2 +c=0, જ્યાં $c \neq 0 $;
2) ax 2 +bx=0, જ્યાં $b \neq 0 $;
3) કુહાડી 2 =0.

ચાલો આ દરેક પ્રકારના સમીકરણો ઉકેલવા પર વિચાર કરીએ.

$c \neq 0 $ માટે ફોર્મ ax 2 +c=0 ના અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલવા માટે, તેના મુક્ત પદને જમણી બાજુએ ખસેડો અને સમીકરણની બંને બાજુઓને a વડે વિભાજીત કરો:
$x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) $

ત્યારથી $c \neq 0 $, પછી $-\frac(c)(a) \neq 0 $

જો $-\frac(c)(a)>0$, તો સમીકરણ બે મૂળ ધરાવે છે.

જો $-\frac(c)(a) ફોર્મ ax 2 +bx=0 ના અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલવા માટે \(b \neq 0 $ સાથે તેને વિસ્તૃત કરો ડાબી બાજુપરિબળો દ્વારા અને સમીકરણ મેળવો
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (એરે)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

આનો અર્થ એ છે કે $b \neq 0 $ માટે ax 2 +bx=0 ફોર્મનું અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ હંમેશા બે મૂળ ધરાવે છે.

ax 2 =0 ફોર્મનું અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 =0 સમીકરણની સમકક્ષ છે અને તેથી તેનું એક મૂળ 0 છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટેનું સૂત્ર

ચાલો હવે વિચારીએ કે કેવી રીતે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા કે જેમાં અજાણ્યાના ગુણાંક અને મુક્ત શબ્દ બંને બિનશૂન્ય છે.

ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપમાં હલ કરીએ અને પરિણામે આપણે મૂળ માટેનું સૂત્ર મેળવીએ. આ સૂત્ર પછી કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે વાપરી શકાય છે.

ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax 2 +bx+c=0 હલ કરીએ

બંને બાજુઓને a વડે વિભાજીત કરવાથી, આપણે સમકક્ષ ઘટાડેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવીએ છીએ
$x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 $

ચાલો દ્વિપદીનો વર્ગ પસંદ કરીને આ સમીકરણને બદલીએ:
$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow $

$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow $ $\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow $ $x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow $ $x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) $

આમૂલ અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ભેદભાવ ax 2 +bx+c=0 (લેટિનમાં "ભેદભાવ" - ભેદભાવ કરનાર). તે અક્ષર ડી દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, એટલે કે.
$D = b^2-4ac$

હવે, ભેદભાવપૂર્ણ સંકેતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટે સૂત્ર ફરીથી લખીએ છીએ:
$x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) $, જ્યાં $D= b^2-4ac $

તે સ્પષ્ટ છે કે:
1) જો D>0 હોય, તો ચતુર્ભુજ સમીકરણ બે મૂળ ધરાવે છે.
2) જો D=0, તો ચતુર્ભુજ સમીકરણનું એક મૂળ છે $x=-\frac(b)(2a)$.
3) જો D આમ, ભેદભાવના મૂલ્યના આધારે, ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં બે મૂળ હોઈ શકે છે (D > 0 માટે), એક મૂળ (D = 0 માટે) અથવા કોઈ મૂળ નથી (D માટે જ્યારે આનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવામાં આવે છે. સૂત્ર, નીચેની રીતે કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:
1) ભેદભાવની ગણતરી કરો અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવો;
2) જો ભેદભાવ કરનાર સકારાત્મક અથવા શૂન્ય સમાન હોય, તો મૂળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો જો ભેદભાવ નકારાત્મક હોય, તો લખો કે ત્યાં કોઈ મૂળ નથી;

વિયેટાનું પ્રમેય

આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax 2 -7x+10=0 મૂળ 2 અને 5 ધરાવે છે. મૂળનો સરવાળો 7 છે અને ગુણાંક 10 છે. આપણે જોઈએ છીએ કે મૂળનો સરવાળો બીજા ગુણાંક જેટલો છે. વિરોધી ચિહ્ન, અને મૂળનું ઉત્પાદન ફ્રી ટર્મ જેટલું છે. કોઈપણ ઘટાડેલું ચતુર્ભુજ સમીકરણ કે જેમાં મૂળ હોય છે તે આ ગુણધર્મ ધરાવે છે.

ઉપરોક્ત ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો વિરોધી ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવેલા બીજા ગુણાંક જેટલો છે અને મૂળનો ગુણાંક મુક્ત પદની બરાબર છે.

તે. વિએટાનું પ્રમેય જણાવે છે કે ઘટેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 +px+q=0 ના મૂળ x 1 અને x 2 પાસે ગુણધર્મ છે:
$\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(એરે) \જમણે. $

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 અથવા x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

પ્રથમ ડિગ્રીના સમીકરણોને હલ કરવાનું શીખ્યા પછી, અલબત્ત, તમે અન્ય લોકો સાથે કામ કરવા માંગો છો, ખાસ કરીને, બીજી ડિગ્રીના સમીકરણો સાથે, જેને અન્યથા ક્વાડ્રેટિક કહેવામાં આવે છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ax² + bx + c = 0 જેવા સમીકરણો છે, જ્યાં ચલ x છે, સંખ્યાઓ a, b, c છે, જ્યાં a શૂન્યની બરાબર નથી.

જો ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં એક અથવા અન્ય ગુણાંક (c અથવા b) શૂન્ય સમાન હોય, તો આ સમીકરણને અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવશે.

જો વિદ્યાર્થીઓ અત્યાર સુધી માત્ર પ્રથમ ડિગ્રીના સમીકરણો જ ઉકેલી શક્યા હોય તો અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ કેવી રીતે ઉકેલવું? અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ધ્યાનમાં લો વિવિધ પ્રકારોઅને તેમને હલ કરવાની સરળ રીતો.

a) જો ગુણાંક c 0 ની બરાબર હોય, અને ગુણાંક b શૂન્યની બરાબર ન હોય, તો ax ² + bx + 0 = 0 એ ax ² + bx = 0 સ્વરૂપના સમીકરણમાં ઘટાડો થાય છે.

આવા સમીકરણને ઉકેલવા માટે, તમારે અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલવા માટેનું સૂત્ર જાણવાની જરૂર છે, જેમાં તેની ડાબી બાજુ ફેક્ટરિંગનો સમાવેશ થાય છે અને બાદમાં ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે તેવી સ્થિતિનો ઉપયોગ કરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 5x² - 20x = 0. સામાન્ય રીતે કરતી વખતે, અમે સમીકરણની ડાબી બાજુએ પરિબળ કરીએ છીએ ગાણિતિક કામગીરી: ટેકઅવે સામાન્ય ગુણકકૌંસની બહાર

5x (x - 4) = 0

અમે શરતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કે ઉત્પાદનો શૂન્ય સમાન છે.

5 x = 0 અથવા x - 4 = 0

જવાબ હશે: પ્રથમ મૂળ 0 છે; બીજું મૂળ 4 છે.

b) જો b = 0 હોય, અને મુક્ત પદ શૂન્યની બરાબર ન હોય, તો સમીકરણ ax ² + 0x + c = 0 એ ax ² + c = 0 સ્વરૂપના સમીકરણમાં ઘટાડો થાય છે. સમીકરણો બે રીતે ઉકેલાય છે : a) સમીકરણના બહુપદીને ડાબી બાજુએ ફેક્ટર કરીને ; b) અંકગણિતના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને વર્ગમૂળ. આવા સમીકરણને એક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. જવાબ હશે: પ્રથમ મૂળ 5/2 છે; બીજું મૂળ બરાબર છે - 5/2.

c) જો b 0 ની બરાબર હોય અને c 0 ની બરાબર હોય, તો ax ² + 0 + 0 = 0 એ ax ² = 0 ના સમીકરણમાં ઘટાડો થાય છે. આવા સમીકરણમાં x 0 ની બરાબર હશે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં બે કરતાં વધુ મૂળ હોઈ શકે નહીં.

", એટલે કે, પ્રથમ ડિગ્રીના સમીકરણો. આ પાઠમાં આપણે જોઈશું જેને ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવાય છેઅને તેને કેવી રીતે ઉકેલવું.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ શું છે?

મહત્વપૂર્ણ!

સમીકરણની ડિગ્રી એ ઉચ્ચતમ ડિગ્રી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે કે જ્યાં અજ્ઞાત રહે છે.

જો મહત્તમ ડિગ્રી, જેમાં અજ્ઞાત "2" છે, જેનો અર્થ છે કે તમારી પાસે ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ઉદાહરણો

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0.25x = 0
x 2 − 8 = 0

મહત્વપૂર્ણ! ચતુર્ભુજ સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ આના જેવું દેખાય છે:

A x 2 + b x + c = 0

“a”, “b” અને “c” નંબરો આપવામાં આવ્યા છે.

"a" એ પ્રથમ અથવા સર્વોચ્ચ ગુણાંક છે;
"b" એ બીજો ગુણાંક છે;
"c" એક મફત સભ્ય છે.

“a”, “b” અને “c” શોધવા માટે તમારે તમારા સમીકરણને ચતુર્ભુજ સમીકરણ “ax 2 + bx + c = 0” ના સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવવાની જરૂર છે.

ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં "a", "b" અને "c" ગુણાંક નક્કી કરવાની પ્રેક્ટિસ કરીએ.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

સમીકરણ	મતભેદ
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

= 0

a = −1
b = 1
c =
1
3

x 2 + 0.25x = 0

a = 1
b = 0.25
c = 0

x 2 − 8 = 0

a = 1
b = 0
c = −8

ચતુર્ભુજ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા

વિપરીત રેખીય સમીકરણોચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટે, એક વિશેષ મૂળ શોધવા માટેનું સૂત્ર.

યાદ રાખો!

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે તમારે આની જરૂર છે:

સુધી ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઘટાડવું સામાન્ય દેખાવ"ax 2 + bx + c = 0".
એટલે કે, ફક્ત "0" જમણી બાજુએ રહેવું જોઈએ;

મૂળ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તેનું ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ.

X 2 − 3x − 4 = 0 સમીકરણ “x 2 − 3x − 4 = 0” પહેલાથી જ સામાન્ય સ્વરૂપ “ax 2 + bx + c = 0” માં ઘટાડી દેવામાં આવ્યું છે અને તેને વધારાના સરળીકરણની જરૂર નથી. તેને હલ કરવા માટે, આપણે ફક્ત અરજી કરવાની જરૂર છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટેનું સૂત્ર

ચાલો આ સમીકરણ માટે “a”, “b” અને “c” ગુણાંક નક્કી કરીએ.
ચાલો આ સમીકરણ માટે “a”, “b” અને “c” ગુણાંક નક્કી કરીએ.
ચાલો આ સમીકરણ માટે “a”, “b” અને “c” ગુણાંક નક્કી કરીએ.
ચાલો આ સમીકરણ માટે “a”, “b” અને “c” ગુણાંક નક્કી કરીએ.

x 1;2 =

તેનો ઉપયોગ કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટે થઈ શકે છે.
સૂત્ર “x 1;2 = ” માં આમૂલ અભિવ્યક્તિ ઘણીવાર બદલાઈ જાય છે

"b 2 − 4ac" અક્ષર "D" માટે અને તેને ભેદભાવ કહેવામાં આવે છે. "ભેદભાવ કરનાર શું છે" પાઠમાં ભેદભાવ કરનારની વિભાવનાની વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણનું બીજું ઉદાહરણ જોઈએ.

x 2 + 9 + x = 7x

આ સ્વરૂપમાં, ગુણાંક “a”, “b” અને “c” નક્કી કરવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. ચાલો પહેલા સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપ “ax 2 + bx + c = 0” માં ઘટાડીએ.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0

x 2 − 6x + 9 = 0

હવે તમે મૂળ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો.
X 1;2 =
X 1;2 =
X 1;2 =
x 1;2 =

x =
x = 3

જવાબ: x = 3

		આપણી પાસે ગુણાંક \(b=0\) સાથે અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે. એટલે કે, આપણે નીચે પ્રમાણે સમીકરણ લખી શકીએ.
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		વાસ્તવમાં, આ શરૂઆતમાં સમાન સમીકરણ છે, પરંતુ હવે તેને સામાન્ય ચતુર્ભુજ તરીકે ઉકેલી શકાય છે. પ્રથમ આપણે ગુણાંક લખીએ છીએ.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભેદભાવની ગણતરી કરીએ \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ શોધીએ \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) અને \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		જવાબ લખો

2 ચતુર્ભુજ સમીકરણ સૂત્ર. ચતુર્ભુજ સમીકરણો