Berapa jarak pada gerak lengkung? Pergerakan suatu benda sepanjang lintasan yang melengkung

Definisi. Kombinasi vektor linier a 1 , ..., a n dengan koefisien x 1 , ..., x n disebut vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n .

remeh, jika semua koefisien x 1, ..., x n sama dengan nol.

Definisi. Kombinasi linier x 1 a 1 + ... + x n a n disebut tidak sepele, jika paling sedikit salah satu koefisien x 1, ..., x n tidak sama dengan nol.

independen linier, jika tidak ada kombinasi non-trivial dari vektor-vektor ini yang sama dengan vektor nol.

Artinya, vektor-vektor a 1, ..., a n bebas linier jika x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 jika dan hanya jika x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definisi. Vektor a 1, ..., a n disebut bergantung secara linier, jika ada kombinasi non-trivial dari vektor-vektor ini sama dengan vektor nol.

Sifat-sifat vektor bergantung linier:

Untuk vektor 2 dan 3 dimensi.

Dua linier vektor bergantung- segaris. ( Vektor kolinear- bergantung linier.) .

Untuk vektor 3 dimensi.

Tiga vektor bergantung linier bersifat koplanar. (Tiga vektor koplanar- bergantung linier.)

• Untuk vektor berdimensi n.

  n + 1 vektor selalu bergantung linier.

Contoh soal ketergantungan linier dan kemandirian linier vektor:

Contoh 1. Periksa apakah vektor a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) bebas linier .

Larutan:

Vektor-vektor akan bergantung linier, karena dimensi vektor lebih kecil dari jumlah vektor.

Contoh 2. Periksa apakah vektor a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) bebas linier.

Larutan:

kurangi baris kedua dari baris pertama; tambahkan baris kedua ke baris ketiga:

Penyelesaian ini menunjukkan bahwa sistem mempunyai banyak penyelesaian yaitu terdapat kombinasi nilai bilangan x 1, x 2, x 3 yang bukan nol sehingga kombinasi linier vektor a, b, c sama dengan vektor nol, Misalnya:

SEBUAH + b + c = 0

dan ini berarti vektor a, b, c bergantung linier.

Menjawab: vektor a, b, c bergantung linier.

Contoh 3. Periksa apakah vektor a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) bebas linier.

Larutan: Mari kita cari nilai koefisien di mana kombinasi linier dari vektor-vektor ini akan sama dengan vektor nol.

Ini persamaan vektor dapat ditulis sebagai suatu sistem persamaan linier

Mari selesaikan sistem ini menggunakan metode Gauss

kurangi baris pertama dari baris kedua; kurangi baris pertama dari baris ketiga:

kurangi baris kedua dari baris pertama; tambahkan baris kedua ke baris ketiga.

Tergantung pada bentuk lintasannya, gerak dibagi menjadi bujursangkar dan lengkung. DI DALAM dunia nyata kita paling sering menghadapi gerak lengkung, yang lintasannya berupa garis lengkung. Contoh gerak tersebut adalah lintasan suatu benda yang terlempar membentuk sudut terhadap cakrawala, gerak Bumi mengelilingi Matahari, gerak planet-planet, ujung jarum jam pada dial, dan lain-lain.

Gambar 1. Lintasan dan perpindahan pada gerak melengkung

Definisi

Gerakan lengkung adalah gerak yang lintasannya berupa garis lengkung (misalnya lingkaran, elips, hiperbola, parabola). Saat berkendara bersama lintasan lengkung vektor perpindahan $\overrightarrow(s)$ diarahkan sepanjang tali busur (Gbr. 1), dan l adalah panjang lintasan. Kecepatan sesaat suatu benda (yaitu, kecepatan suatu benda pada suatu titik lintasan tertentu) diarahkan secara tangensial pada titik lintasan di mana pada saat ini ada benda yang bergerak (Gbr. 2).

Gambar 2. Kecepatan sesaat pada gerak melengkung

Namun, pendekatan berikut ini lebih mudah. Gerakan ini dapat direpresentasikan sebagai kombinasi beberapa gerakan sepanjang busur lingkaran (lihat Gambar 4.). Partisi seperti itu akan lebih sedikit dibandingkan kasus sebelumnya, selain itu, pergerakan sepanjang lingkaran itu sendiri bersifat lengkung.

Gambar 4. Penguraian gerak lengkung menjadi gerak sepanjang busur lingkaran

Kesimpulan

Untuk mendeskripsikan gerak lengkung, Anda perlu belajar mendeskripsikan gerak melingkar, kemudian merepresentasikan gerak sembarang dalam bentuk rangkaian gerak sepanjang busur lingkaran.

Tugas mempelajari gerak lengkung poin materi adalah menyusun persamaan kinematik yang menggambarkan gerakan ini dan memungkinkan, sesuai dengan yang diberikan kondisi awal menentukan semua ciri-ciri gerakan ini.

Topik ini akan membahas lebih lanjut pandangan yang kompleks gerakan – KURVILINEAR. Seperti yang Anda duga, lengkung adalah gerak yang lintasannya berupa garis lengkung. Dan, karena gerak ini lebih kompleks daripada gerak lurus, besaran fisis yang disebutkan pada bab sebelumnya tidak lagi cukup untuk menggambarkannya.

Untuk deskripsi matematika gerak lengkung ada 2 kelompok besaran yaitu linier dan sudut.

KUANTITAS LINEAR.

1. Bergerak. Di bagian 1.1 kami tidak menjelaskan perbedaan antara konsep tersebut

Gambar.1.3 jalur (jarak) dan konsep gerakan,

karena dalam gerak lurus ini

perbedaan tidak memainkan peran mendasar, dan

Besaran ini ditunjukkan dengan huruf yang sama -

melolong S. Namun ketika berhadapan dengan gerak lengkung,

masalah ini perlu diklarifikasi. Jadi apa jalannya

(atau jarak)? – Ini adalah panjang lintasan

gerakan. Artinya, jika Anda melacak lintasannya

pergerakan tubuh dan mengukurnya (dalam meter, kilometer, dll), Anda akan mendapatkan nilai yang disebut jalur (atau jarak) S(lihat Gambar 1.3). Jadi jalannya adalah besaran skalar, yang hanya ditandai dengan angka.

Gambar 1.4 Dan gerakannya adalah jarak terpendek di antara

titik awal jalan dan titik akhir jalan. Dan sejak itu

gerakan ini memiliki arah yang ketat sejak awal

lintasan sampai ke ujungnya, maka besaran tersebut merupakan besaran vektor

dan dicirikan tidak hanya oleh nilai numerik, tetapi juga

arah (Gbr. 1.3). Tidak sulit menebak bagaimana jika

tubuh bergerak sepanjang lintasan tertutup, lalu ke

saat dia kembali ke posisi awal perpindahannya akan menjadi nol (lihat Gambar 1.4).

2 . Kecepatan linier. Pada bagian 1.1 kami memberikan definisi besaran ini, dan definisi tersebut tetap valid, meskipun kami tidak menentukan bahwa kecepatan ini linier. Kemana arah vektor kecepatan linier? Mari kita beralih ke Gambar 1.5. Sebuah fragmen ditampilkan di sini

lintasan lengkung tubuh. Setiap garis lengkung merupakan hubungan antara busur-busur lingkaran yang berbeda. Gambar 1.5 hanya menunjukkan dua diantaranya: lingkaran (O 1, r 1) dan lingkaran (O 2, r 2). Pada saat benda melewati busur lingkaran tertentu, pusatnya menjadi pusat rotasi sementara dengan radius sama dengan radiusnya lingkaran ini.

Vektor yang ditarik dari pusat rotasi ke titik dimana benda berada sekarang disebut vektor jari-jari. Pada Gambar 1.5, vektor radius diwakili oleh vektor dan . Gambar ini juga menunjukkan vektor kecepatan linier: vektor kecepatan linier selalu berarah tangensial terhadap lintasan dalam arah gerak. Oleh karena itu, sudut antara vektor dan vektor jari-jari ditarik pada titik ini lintasannya selalu 90°. Jika suatu benda bergerak dengan kecepatan linier yang konstan, maka besar vektornya tidak akan berubah, sedangkan arahnya selalu berubah tergantung pada bentuk lintasannya. Dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar 1.5, pergerakan dilakukan dengan kecepatan linier variabel, sehingga modulus vektor berubah. Namun karena pada gerak lengkung arah vektor selalu berubah, maka demikianlah kesimpulan penting:

pada gerak lengkung selalu ada percepatan! (Bahkan jika gerak dilakukan dengan kecepatan linier konstan.) Selain itu, percepatan yang dibahas pada dalam hal ini, berikut ini kita sebut percepatan linier.

3 . Akselerasi linier. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa percepatan terjadi ketika kecepatan berubah. Oleh karena itu, percepatan linier muncul ketika kecepatan linier berubah. Dan kecepatan linier pada gerak lengkung dapat berubah baik besarannya maupun arahnya. Jadi, percepatan linier total dipecah menjadi dua komponen, yang satu mempengaruhi arah vektor, dan yang kedua mempengaruhi besarnya. Mari kita perhatikan percepatan ini (Gbr. 1.6). Di gambar ini

beras. 1.6

TENTANG

menunjukkan sebuah benda bergerak sepanjang lintasan melingkar dengan pusat putaran di titik O.

Percepatan yang mengubah arah suatu vektor disebut normal dan ditunjuk. Disebut normal karena arahnya tegak lurus (normal) terhadap garis singgung, yaitu. sepanjang radius sampai ke pusat belokan . Disebut juga percepatan sentripetal.

Percepatan yang mengubah besar vektor disebut tangensial dan ditunjuk. Letaknya pada garis singgung dan dapat diarahkan ke arah vektor atau berlawanan dengannya :

Jika kecepatan linier meningkat, maka > 0 dan vektor-vektornya searah;

Jika kecepatan linier berkurang, kalau begitu< 0 и их вектора противоположно

diarahkan.

Jadi, kedua percepatan tersebut selalu membentuk sudut siku-siku (90º) satu sama lain dan merupakan komponen percepatan linier total, yaitu. percepatan linier total adalah jumlah vektor dari normal dan percepatan tangensial:

Saya perhatikan itu dalam kasus ini yang sedang kita bicarakan khususnya tentang jumlah vektor, tetapi tidak tentang jumlah skalar. Untuk menemukan nilai numerik, mengetahui dan , perlu menggunakan teorema Pythagoras (kuadrat sisi miring suatu segitiga secara numerik sama dengan jumlah kuadrat kaki-kaki segitiga ini):

(1.8).

Ini mengikuti dari ini:

(1.9).

Kami akan mempertimbangkan rumus apa yang akan digunakan untuk menghitung nanti.

NILAI SUDUT.

1 . Sudut rotasi φ . Selama gerak lengkung, benda tidak hanya bergerak dan melakukan gerakan tertentu, tetapi juga berputar dengan sudut tertentu (lihat Gambar 1.7(a)). Oleh karena itu, untuk menggambarkan gerakan seperti itu, diperkenalkan suatu besaran yang disebut sudut rotasi, dilambangkan dengan huruf Yunani φ (baca “fi”) Dalam sistem SI, sudut rotasi diukur dalam radian (simbol “rad”). Izinkan saya mengingatkan Anda hal itu putaran penuh sama dengan 2π radian, dan bilangan π adalah konstanta: π ≈ 3,14. pada Gambar. 1.7(a) menunjukkan lintasan suatu benda sepanjang radius lingkaran R dengan pusat di titik O. Sudut rotasi sendiri merupakan sudut antara vektor-vektor jari-jari benda pada waktu tertentu.

2 . Kecepatan sudut ω – ini adalah besaran yang menunjukkan bagaimana sudut rotasi berubah per satuan waktu. (ω – surat Yunani, baca “omega”.) Pada Gambar. 1.7(b) menunjukkan kedudukan suatu titik material yang bergerak sepanjang lintasan melingkar yang berpusat di titik O, pada selang waktu Δt . Jika sudut rotasi benda selama interval ini sama, maka kecepatan sudutnya konstan, dan gerakan ini dianggap seragam. Dan jika sudut putarannya berbeda, maka gerakannya tidak merata. Dan, karena kecepatan sudut menunjukkan berapa radian

benda diputar dalam satu detik, maka satuan ukurannya adalah radian per detik

(dilambangkan dengan " rad/s »).

beras. 1.7

A). B). Δt

Δt

Δt

TENTANG φ TENTANG Δt

3 . Akselerasi sudut ε adalah besaran yang menunjukkan perubahannya tiap satuan waktu. Dan sejak itu percepatan sudut ε muncul ketika kecepatan sudut berubah ω , maka kita dapat menyimpulkan bahwa percepatan sudut hanya terjadi pada gerak lengkung tak beraturan. Satuan ukuran percepatan sudut adalah “ rad/s 2 » (radian per detik kuadrat).

Jadi, tabel 1.1 dapat dilengkapi dengan tiga nilai lagi:

Tabel 1.2

Sekarang kita bisa langsung membahas semua jenis gerak lengkung, dan hanya ada tiga di antaranya.

Anda tahu betul bahwa tergantung pada bentuk lintasannya, gerakan dibagi menjadi seperti garis lurus Dan melengkung. DENGAN gerakan bujursangkar kita telah mempelajari cara kerjanya pada pelajaran sebelumnya yaitu menyelesaikan masalah utama mekanika untuk jenis gerak ini.

Namun yang jelas di dunia nyata kita paling sering berhadapan dengan gerak lengkung, yang lintasannya berupa garis lengkung. Contoh gerak tersebut adalah lintasan benda yang terlempar membentuk sudut terhadap cakrawala, gerak Bumi mengelilingi Matahari, bahkan lintasan gerak mata Anda yang kini mengikuti catatan tersebut.

Pertanyaan tentang bagaimana menyelesaikannya tugas utama mekanika dalam kasus gerak lengkung, dan pelajaran ini akan dikhususkan.

Pertama, mari kita putuskan apa perbedaan mendasar apakah gerak lengkung (Gbr. 1) memiliki pengaruh relatif terhadap gerak lurus dan apa yang menyebabkan perbedaan ini.

Beras. 1. Lintasan gerak lengkung

Mari kita bicara tentang betapa mudahnya menggambarkan pergerakan suatu benda selama gerak lengkung.

Gerakan dapat dibagi menjadi beberapa bagian yang terpisah, yang masing-masing gerakannya dapat dianggap bujursangkar (Gbr. 2).

Beras. 2. Membagi gerak lengkung menjadi bagian-bagian gerak lurus

Namun, pendekatan berikut ini lebih mudah. Kita akan membayangkan gerakan ini sebagai kombinasi beberapa gerakan sepanjang busur lingkaran (Gbr. 3). Harap dicatat bahwa jumlah partisi seperti itu lebih sedikit daripada kasus sebelumnya, selain itu, gerakan sepanjang lingkaran bersifat lengkung. Selain itu, contoh gerak melingkar sangat umum terjadi di alam. Dari sini kita dapat menyimpulkan:

Untuk mendeskripsikan gerak lengkung, Anda perlu belajar mendeskripsikan gerak melingkar, kemudian merepresentasikan gerak sembarang dalam bentuk rangkaian gerak sepanjang busur lingkaran.

Beras. 3. Membagi gerak lengkung menjadi gerak sepanjang busur lingkaran

Jadi, mari kita mulai mempelajari gerak lengkung dengan belajar gerak seragam di sekitar lingkar. Mari kita cari tahu apa perbedaan mendasar antara gerak lengkung dan gerak lurus. Pertama-tama, mari kita ingat bahwa di kelas sembilan kita mempelajari fakta bahwa kecepatan suatu benda ketika bergerak melingkar diarahkan bersinggungan dengan lintasan (Gbr. 4). Omong-omong, Anda dapat mengamati fakta ini secara eksperimental jika Anda mengamati bagaimana percikan api bergerak saat menggunakan batu asah.

Mari kita perhatikan pergerakan suatu benda sepanjang busur lingkaran (Gbr. 5).

Beras. 5. Kecepatan tubuh saat bergerak melingkar

Perlu diperhatikan bahwa dalam hal ini modulus kecepatan benda pada titik tersebut sama dengan modulus kecepatan benda di titik:

Namun, vektornya tidak sama dengan vektor. Jadi, kita mempunyai vektor perbedaan kecepatan (Gbr. 6):

Beras. 6. Vektor perbedaan kecepatan

Apalagi perubahan kecepatan terjadi setelah beberapa waktu. Jadi kita mendapatkan kombinasi yang familiar:

Ini tidak lebih dari perubahan kecepatan selama periode waktu tertentu, atau percepatan suatu benda. Sebuah kesimpulan yang sangat penting dapat ditarik:

Pergerakan sepanjang jalur melengkung dipercepat. Sifat percepatan ini adalah perubahan arah vektor kecepatan secara terus menerus.

Mari kita perhatikan sekali lagi bahwa, meskipun dikatakan bahwa benda bergerak beraturan dalam lingkaran, modulus kecepatan benda tidak berubah. Akan tetapi, pergerakan tersebut selalu dipercepat, karena arah kecepatannya berubah.

Di kelas sembilan, Anda mempelajari apa yang dimaksud dengan percepatan ini dan bagaimana arahnya (Gbr. 7). Percepatan sentripetal selalu diarahkan ke pusat lingkaran tempat benda bergerak.

Beras. 7. Percepatan sentripetal

Modul percepatan sentripetal dapat dihitung dengan rumus:

Mari kita lanjutkan ke deskripsi gerak seragam suatu benda dalam lingkaran. Mari kita sepakat bahwa kecepatan yang Anda gunakan saat mendeskripsikan gerak translasi sekarang disebut kecepatan linier. Dan dengan kecepatan linier kita akan memahaminya kecepatan sesaat pada suatu titik pada lintasan benda yang berputar.

Beras. 8. Pergerakan titik-titik cakram

Pertimbangkan disk yang berputar searah jarum jam untuk kepastian. Pada radiusnya kita tandai dua titik dan (Gbr. 8). Mari kita pertimbangkan pergerakan mereka. Seiring waktu, titik-titik ini akan bergerak sepanjang busur lingkaran dan menjadi titik dan. Jelas sekali bahwa intinya telah berpindah lebih dari sekedar intinya. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa semakin jauh suatu titik dari sumbu rotasi, semakin besar kecepatan linier pergerakannya

Namun, jika Anda melihat lebih dekat pada titik-titik tersebut dan , kita dapat mengatakan bahwa sudut rotasinya relatif terhadap sumbu rotasi tetap tidak berubah. Ciri-ciri sudut itulah yang akan kita gunakan untuk menggambarkan gerak dalam lingkaran. Perhatikan bahwa untuk menggambarkan gerak melingkar kita dapat menggunakan sudut karakteristik.

Mari kita mulai mempertimbangkan gerak melingkar dari awal kasus sederhana– gerakan seragam dalam lingkaran. Ingat seragam itu gerakan maju adalah gerak yang dilakukan suatu benda dengan gerak yang sama dalam selang waktu yang sama. Dengan analogi, kita dapat memberikan definisi gerak beraturan dalam lingkaran.

Gerak melingkar beraturan adalah gerak yang memutar benda dengan sudut yang sama besar dalam selang waktu yang sama.

Mirip dengan konsep kecepatan linier, konsep kecepatan sudut juga diperkenalkan.

Kecepatan sudut gerak beraturan ( disebut besaran fisis sama dengan rasionya sudut di mana benda berputar, dengan waktu terjadinya rotasi tersebut.

Dalam fisika, ukuran sudut radian paling sering digunakan. Misalnya sudut di sama dengan radian. Kecepatan sudut diukur dalam radian per detik:

Mari kita cari hubungan antara kecepatan sudut rotasi suatu titik dan kecepatan linier titik tersebut.

Beras. 9. Hubungan antara kecepatan sudut dan kecepatan linier

Saat berputar, suatu titik melewati busur yang panjangnya , berputar membentuk sudut . Dari definisi besaran radian suatu sudut kita dapat menulis:

Mari kita bagi ruas kiri dan kanan persamaan dengan periode waktu terjadinya gerakan, kemudian gunakan definisi kecepatan sudut dan linier:

Perlu diketahui bahwa semakin jauh suatu titik dari sumbu rotasi, semakin tinggi kecepatan liniernya. Dan titik-titik yang terletak pada sumbu rotasi itu sendiri tidak bergerak. Contohnya adalah carousel: semakin dekat Anda ke pusat carousel, semakin mudah bagi Anda untuk tetap berada di dalamnya.

Ketergantungan kecepatan linier dan sudut ini digunakan pada satelit geostasioner (satelit yang selalu berada di atas titik yang sama permukaan bumi). Berkat satelit tersebut, kita dapat menerima sinyal televisi.

Ingatlah bahwa sebelumnya kita telah memperkenalkan konsep periode dan frekuensi rotasi.

Periode rotasi adalah waktu satu putaran penuh. Periode rotasi ditunjukkan dengan huruf dan diukur dalam SI detik:

Frekuensi rotasi adalah besaran fisis yang sama dengan jumlah putaran yang dilakukan suatu benda per satuan waktu.

Frekuensi ditunjukkan dengan huruf dan diukur dalam detik timbal balik:

Mereka dihubungkan oleh relasi:

Ada hubungan antara kecepatan sudut dan frekuensi rotasi benda. Jika kita ingat bahwa satu putaran penuh sama dengan , mudah untuk melihat bahwa kecepatan sudutnya adalah:

Mengganti ekspresi ini ke dalam hubungan antara kecepatan sudut dan linier, kita dapat memperoleh ketergantungan kecepatan linier pada periode atau frekuensi:

Mari kita tuliskan juga hubungan antara percepatan sentripetal dan besaran berikut:

Dengan demikian, kita mengetahui hubungan antara semua sifat gerak melingkar beraturan.

Mari kita rangkum. Pada pelajaran ini kita mulai menjelaskan gerak lengkung. Kita memahami bagaimana kita dapat menghubungkan gerak lengkung dengan gerak melingkar. Gerak melingkar selalu dipercepat, dan adanya percepatan menentukan fakta bahwa kecepatan selalu berubah arah. Percepatan ini disebut sentripetal. Terakhir, kita mengingat beberapa ciri gerak melingkar ( kecepatan linier, kecepatan sudut, periode dan frekuensi rotasi) dan menemukan hubungan di antara keduanya.

Referensi

1. G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky. Fisika 10. - M.: Pendidikan, 2008.
2. AP Rymkevich. Fisika. Buku Soal 10-11. - M.: Bustard, 2006.
3. O.Ya. Savchenko. Masalah fisika. - M.: Nauka, 1988.
4. A.V. Peryshkin, V.V. Krauklis. mata kuliah Fisika. T. 1. - M.: Negara. guru ed. menit. pendidikan RSFSR, 1957.

1. yp.ru().
2. Wikipedia().

Pekerjaan rumah

Setelah memecahkan masalah untuk pelajaran ini, Anda dapat mempersiapkan soal 1 GIA dan soal A1, A2 Ujian Negara Bersatu.

1. Soal 92, 94, 98, 106, 110 - Sat. masalah A.P. Rymkevich, ed. 10
2. Hitung kecepatan sudut jarum menit, detik, dan jam. Hitung percepatan sentripetal yang bekerja pada ujung panah-panah tersebut jika jari-jari masing-masing panah adalah satu meter.