Pemodelan adalah salah satu alat terpenting dalam kehidupan modern ketika mereka ingin meramalkan masa depan. Dan hal ini tidak mengherankan, karena keakuratan metode ini sangat tinggi. Mari kita lihat apa saja yang ada di artikel ini model deterministik.
Informasi umum
Model sistem deterministik memiliki kekhasan yaitu dapat dipelajari secara analitis jika model tersebut cukup sederhana. Sebaliknya, bila persamaan dan variabel digunakan dalam jumlah besar, komputer elektronik dapat digunakan untuk tujuan ini. Selain itu, bantuan komputer, pada umumnya, hanya bertujuan untuk menyelesaikannya dan menemukan jawabannya. Oleh karena itu, perlu dilakukan perubahan sistem persamaan dan menggunakan diskritisasi yang berbeda. Dan ini memerlukan peningkatan risiko kesalahan dalam perhitungan. Semua jenis model deterministik dicirikan oleh fakta bahwa pengetahuan tentang parameter pada interval tertentu yang diteliti memungkinkan kita untuk sepenuhnya menentukan dinamika perkembangan indikator yang diketahui di luar batas.
Keunikan
Pemodelan faktor
Referensi mengenai hal ini dapat dilihat di seluruh artikel, namun kami belum membahas apa itu. Pemodelan faktor menyiratkan bahwa ketentuan utama yang memerlukan perbandingan kuantitatif diidentifikasi. Untuk mencapai tujuan yang telah ditetapkan, penelitian mentransformasikan bentuknya.
Jika model deterministik ketat memiliki lebih dari dua faktor, maka model tersebut disebut multifaktorial. Analisisnya dapat dilakukan dengan menggunakan berbagai teknik. Sebagai contoh, mari kita berikan. Dalam hal ini, dia mempertimbangkan tugas yang diberikan dari sudut pandang model apriori yang telah ditetapkan sebelumnya dan dikerjakan. Pemilihan di antara mereka dilakukan sesuai dengan isinya.
Untuk membangun model yang berkualitas, perlu menggunakan teori dan studi eksperimental esensi proses teknologi dan hubungan sebab-akibatnya. Inilah keunggulan utama dari subjek yang kami pertimbangkan. Model deterministik memungkinkan peramalan yang akurat di banyak bidang kehidupan kita. Berkat parameter kualitas dan keserbagunaannya, mereka telah tersebar luas.
Model deterministik sibernetika
Mereka menarik bagi kami karena proses transien berbasis analisis yang terjadi dengan perubahan sifat agresif apa pun, bahkan yang paling kecil sekalipun. lingkungan eksternal. Untuk kesederhanaan dan kecepatan perhitungan situasi saat ini kasus digantikan oleh model yang disederhanakan. Yang penting bisa memenuhi semua kebutuhan dasar.
Kinerja sistem kendali otomatis dan efektivitas keputusan yang diambilnya bergantung pada kesatuan semua parameter yang diperlukan. Dalam hal ini, masalah berikut perlu diselesaikan: semakin banyak informasi yang dikumpulkan, semakin tinggi kemungkinan kesalahan dan semakin lama waktu pemrosesan. Namun jika Anda membatasi pengumpulan data, Anda akan mendapatkan hasil yang kurang dapat diandalkan. Oleh karena itu perlu untuk menemukannya berarti emas, yang memungkinkan Anda memperoleh informasi dengan akurasi yang memadai, dan pada saat yang sama tidak akan diperumit oleh elemen yang tidak perlu.
Model deterministik perkalian
Itu dibangun dengan membagi faktor menjadi banyak. Sebagai contoh, kita dapat memperhatikan proses pembentukan volume produk yang dihasilkan (PP). Jadi, untuk itu diperlukan tenaga kerja (PC), bahan (M) dan energi (E). Dalam hal ini faktor PP dapat dibagi menjadi himpunan (RS;M;E). Varian ini mencerminkan bentuk perkalian dari sistem faktor dan kemungkinan pembagiannya. Dalam hal ini, Anda dapat menggunakan metode transformasi berikut: ekspansi, dekomposisi formal, dan pemanjangan. Opsi pertama telah diterapkan secara luas dalam analisis. Bisa digunakan untuk menghitung kinerja karyawan, dan lain sebagainya.
Ketika diperpanjang, satu nilai digantikan oleh faktor lain. Tapi pada akhirnya angkanya harus sama. Contoh perpanjangan telah dibahas di atas. Yang tersisa hanyalah dekomposisi formal. Ini melibatkan penggunaan pemanjangan penyebut model faktor asli dengan mengganti satu atau lebih parameter. Mari kita perhatikan contoh ini: kita menghitung profitabilitas produksi. Untuk melakukan ini, jumlah keuntungan dibagi dengan jumlah biaya. Saat mengalikan, alih-alih menggunakan satu nilai, kita membaginya dengan jumlah biaya material, personel, pajak, dan sebagainya.
Kemungkinan
Oh, andai saja semuanya berjalan sesuai rencana! Namun hal ini jarang terjadi. Oleh karena itu, dalam praktiknya, deterministik dan apa yang dapat dikatakan tentang yang terakhir ini sering digunakan bersama-sama? Keunikan mereka adalah mereka juga memperhitungkan berbagai kemungkinan. Ambil contoh berikut ini. Ada dua negara bagian. Hubungan di antara mereka sangat buruk. Pihak ketiga memutuskan apakah akan berinvestasi dalam bisnis di salah satu negara. Lagi pula, jika perang pecah, keuntungan akan sangat berkurang. Atau anda bisa memberi contoh membangun pabrik di daerah yang tinggi aktivitas seismik. Mereka bekerja di sini faktor alam, yang tidak dapat diperhitungkan secara akurat, hal ini hanya dapat dilakukan kira-kira.
Kesimpulan
Kami melihat apa saja modelnya analisis deterministik. Sayangnya, untuk memahaminya sepenuhnya dan dapat menerapkannya dalam praktik, Anda perlu belajar dengan baik. Landasan teori sudah ada di sana. Juga dalam kerangka artikel, pisahkan contoh sederhana. Selanjutnya, lebih baik mengikuti jalur yang secara bertahap memperumit materi kerja. Anda dapat menyederhanakan tugas Anda sedikit dan mulai belajar perangkat lunak, yang dapat melakukan simulasi yang sesuai. Namun apapun pilihannya, memahami dasar-dasarnya dan mampu menjawab pertanyaan tentang apa, bagaimana dan mengapa tetap diperlukan. Anda harus terlebih dahulu belajar memilih data masukan yang benar dan memilih tindakan yang diperlukan. Kemudian program akan berhasil menyelesaikan tugasnya.
Model sistem yang kita bicarakan sejauh ini bersifat deterministik (tertentu), yaitu. pengaturan pengaruh masukan secara unik menentukan keluaran sistem. Namun, dalam praktiknya hal ini jarang terjadi: deskripsi sistem nyata ketidakpastian biasanya melekat. Misalnya, untuk model statis, ketidakpastian dapat diperhitungkan dengan menuliskan relasi (2.1)
di mana kesalahan dinormalisasi ke output sistem.
Alasan ketidakpastian bermacam-macam:
– kesalahan dan gangguan dalam pengukuran masukan dan keluaran sistem (kesalahan alami);
– ketidakakuratan model sistem itu sendiri, yang memaksa kesalahan dimasukkan ke dalam model secara artifisial;
– informasi yang tidak lengkap tentang parameter sistem, dll.
Di antara dalam berbagai cara klarifikasi dan formalisasi ketidakpastian distribusi terbesar menerima pendekatan chaos (probabilistik), di mana besaran yang tidak pasti dianggap acak. Mengembangkan peralatan konseptual dan komputasi teori probabilitas dan statistik matematika memungkinkan Anda memberikan rekomendasi khusus dalam memilih struktur sistem dan menilai parameternya. Klasifikasi model stokastik sistem dan metode studinya disajikan pada Tabel. 1.4. Kesimpulan dan rekomendasi didasarkan pada efek rata-rata: penyimpangan acak hasil pengukuran suatu besaran tertentu dari nilai yang diharapkan saling meniadakan jika dijumlahkan, dan mean aritmatika jumlah besar pengukuran ternyata mendekati nilai yang diharapkan. Formulasi matematika efek ini diberikan oleh hukum jumlah yang besar dan teorema limit pusat. Hukum bilangan besar menyatakan bahwa jika merupakan variabel acak dengan ekspektasi matematis (nilai rata-rata) dan varians, maka
pada jumlah yang cukup besar N. Hal ini menunjukkan kemungkinan mendasar untuk membuat penilaian akurat berdasarkan pengukuran. Teorema limit pusat, yang memperjelas (2.32), menyatakan bahwa
di mana adalah variabel acak standar yang terdistribusi normal
Karena distribusi besaran diketahui dan ditabulasikan (misalnya, diketahui bahwa relasi (2.33) memungkinkan seseorang menghitung kesalahan estimasi. Misalkan, Anda ingin mencari pada jumlah pengukuran berapa kesalahan estimasi ekspektasi matematisnya dengan probabilitas 0,95 akan lebih kecil dari 0,01 , jika varians setiap pengukuran adalah 0,25. Dari (2.33) kita memperoleh bahwa pertidaksamaan berikut harus dipenuhi: T> 10000.
Tentu saja rumusan (2.32), (2.33) dapat diberikan lebih banyak tampilan yang ketat, dan ini dapat dengan mudah dilakukan dengan menggunakan konsep konvergensi probabilistik. Kesulitan muncul ketika mencoba menguji kondisi pernyataan ketat ini. Misalnya pada hukum bilangan besar dan sentral teorema batas independensi pengukuran individu (implementasi) diperlukan variabel acak dan keterbatasan variansnya. Jika syarat ini dilanggar, maka kesimpulannya juga bisa dilanggar. Misalnya, jika semua pengukuran bertepatan: maka, meskipun semua kondisi lainnya terpenuhi, tidak ada pertanyaan tentang rata-rata. Contoh lain: hukum bilangan besar tidak berlaku jika variabel acak terdistribusi menurut hukum Cauchy (dengan kepadatan distribusi yang tidak berhingga harapan matematis dan dispersi. Tapi hukum seperti itu terjadi dalam kehidupan! Misalnya, menurut Cauchy, penerangan integral titik-titik pada pantai bujursangkar didistribusikan oleh lampu sorot yang berputar seragam yang terletak di laut (di kapal) dan dinyalakan. momen acak waktu.
Tapi tetap saja kesulitan besar menyerukan pemeriksaan keabsahan penggunaan istilah “acak”. Apa itu variabel acak? peristiwa acak dll. Sering dikatakan bahwa suatu peristiwa A secara kebetulan, jika sebagai hasil percobaan hal itu dapat terjadi (dengan probabilitas P) atau tidak terjadi (dengan probabilitas 1- P). Namun semuanya tidak sesederhana itu. Konsep probabilitas itu sendiri dapat diasosiasikan dengan hasil percobaan hanya melalui frekuensi kemunculannya dalam sejumlah (rangkaian) percobaan tertentu: , dimana tidak ada- jumlah percobaan di mana peristiwa itu terjadi, N- jumlah total; eksperimen. Jika jumlahnya cukup besar N sedang mendekati beberapa angka konstan r A:
acara itu A bisa disebut acak, dan nomornya R- kemungkinannya. Dalam hal ini, frekuensi yang diamati dalam rangkaian percobaan yang berbeda harus berdekatan satu sama lain (sifat ini disebut stabilitas statistik atau kehomogenan). Hal di atas juga berlaku untuk konsep variabel acak, karena suatu nilai bersifat acak jika kejadiannya acak (dan<£<Ь} для любых чисел A,B. Frekuensi terjadinya peristiwa-peristiwa tersebut dalam rangkaian percobaan yang panjang harus dikelompokkan di sekitar nilai konstan tertentu.
Jadi, agar pendekatan stokastik dapat diterapkan, persyaratan berikut harus dipenuhi:
1) skala besar percobaan yang dilakukan, yaitu. jumlah yang cukup besar;
2) pengulangan kondisi percobaan, membenarkan perbandingan hasil percobaan yang berbeda;
3) stabilitas statistik.
Pendekatan stokastik jelas tidak dapat diterapkan pada eksperimen tunggal: ungkapan seperti “probabilitas besok akan turun hujan”, “dengan probabilitas 0,8, Zenit akan memenangkan piala”, dll. Namun meskipun eksperimen tersebut tersebar luas dan dapat diulang, mungkin tidak terdapat stabilitas statistik, dan memeriksa hal ini bukanlah tugas yang mudah. Perkiraan yang diketahui tentang penyimpangan frekuensi yang diizinkan dari probabilitas didasarkan pada teorema limit pusat atau pertidaksamaan Chebyshev dan memerlukan hipotesis tambahan tentang independensi atau ketergantungan pengukuran yang lemah. Verifikasi eksperimental terhadap kondisi independensi bahkan lebih sulit karena memerlukan eksperimen tambahan.
Metodologi dan resep praktis penerapan teori probabilitas disajikan lebih detail dalam buku instruktif karya V.N. Tutubalin, gambarannya diberikan oleh kutipan di bawah ini:
“Sangatlah penting untuk menghilangkan kesalahpahaman yang kadang-kadang terjadi di kalangan insinyur dan ilmuwan alam yang tidak cukup paham dengan teori probabilitas, bahwa hasil eksperimen apa pun dapat dianggap sebagai variabel acak. Dalam kasus yang sangat parah, hal ini disertai dengan keyakinan pada hukum distribusi normal, dan jika variabel acaknya sendiri tidak normal, maka mereka yakin bahwa logaritmanya normal.”
“Menurut konsep modern, ruang lingkup penerapan metode teori probabilitas terbatas pada fenomena yang bercirikan stabilitas statistik. Namun, pengujian stabilitas statistik sulit dilakukan dan selalu tidak lengkap, serta sering kali memberikan kesimpulan negatif. Akibatnya, di seluruh bidang ilmu pengetahuan, misalnya geologi, suatu pendekatan telah menjadi norma di mana stabilitas statistik tidak diperiksa sama sekali, yang pasti akan menimbulkan kesalahan yang serius. Selain itu, propaganda sibernetika yang dilakukan oleh para ilmuwan terkemuka kita telah memberikan (dalam beberapa kasus!) hasil yang agak tidak terduga: saat ini diyakini bahwa hanya mesin (dan bukan manusia) yang mampu memperoleh hasil ilmiah yang obyektif.
Dalam keadaan seperti itu, adalah tugas setiap guru untuk berulang kali menyebarkan kebenaran lama yang coba ditanamkan oleh Peter I (tidak berhasil) kepada para pedagang Rusia: bahwa seseorang harus berdagang dengan jujur, tanpa penipuan, karena pada akhirnya lebih menguntungkan bagi para pedagang. diri."
Bagaimana membangun model suatu sistem jika terdapat ketidakpastian dalam permasalahan, tetapi pendekatan stokastik tidak dapat diterapkan? Di bawah ini kami menguraikan secara singkat salah satu pendekatan alternatif, berdasarkan teori himpunan fuzzy.
Kami ingatkan Anda bahwa suatu relasi (hubungan antara dan) adalah himpunan bagian dari suatu himpunan. itu. beberapa himpunan pasangan R=(( X, pada)), Di mana,. Misalnya, hubungan fungsional (ketergantungan) dapat direpresentasikan sebagai hubungan antar himpunan, termasuk pasangan ( X, pada), untuk itu.
Dalam kasus yang paling sederhana, R adalah relasi identitas jika.
Contoh 12-15 pada tabel. 1. 1 ditemukan pada tahun 1988 oleh seorang siswa kelas 86 sekolah 292 M. Koroteev.
Ahli matematika di sini, tentu saja, akan memperhatikan bahwa nilai minimum pada (1.4), sebenarnya, mungkin tidak dapat dicapai dan dalam rumusan (1.4) rnin perlu diganti dengan inf (“infimum” adalah nilai infimum yang tepat dari mengatur). Namun, hal ini tidak akan mengubah keadaan: formalisasi dalam hal ini tidak mencerminkan esensi tugas, yaitu. dilakukan secara tidak benar. Kedepannya, agar tidak “menakut-nakuti” engineer, kita akan menggunakan notasi min, max; perlu diingat bahwa, jika perlu, mereka harus diganti dengan inf yang lebih umum, sup.
Di sini istilah “struktur” digunakan dalam arti yang lebih sempit, seperti pada subbagian. 1.1, dan berarti susunan subsistem dalam sistem dan jenis koneksinya di antara mereka.
Grafik adalah pasangan ( G, R), dimana G=(g 1 ... g n) adalah himpunan titik berhingga, a - hubungan biner dengan G. Jika, maka dan hanya jika, maka graf tersebut disebut tidak berarah, jika tidak, berarah. Pasangan-pasangan tersebut disebut busur (tepian), dan elemen-elemen himpunan G- simpul grafik.
Artinya, aljabar atau transendental.
Tegasnya, himpunan terhitung merupakan idealisasi tertentu yang tidak dapat diwujudkan secara praktis karena terbatasnya ukuran sistem teknis dan keterbatasan persepsi manusia. Model ideal seperti itu (misalnya, himpunan bilangan asli N=(1, 2,...)) masuk akal untuk diperkenalkan pada himpunan berhingga, tetapi dengan jumlah elemen yang pada awalnya tidak terbatas (atau tidak diketahui).
Secara formal, konsep operasi merupakan kasus khusus dari konsep hubungan antar elemen himpunan. Misalnya, operasi penjumlahan dua bilangan menentukan relasi 3 tempat (terner). R: tiga angka (x, kamu, z) z) milik relasi R(kita menulis (x,y,z)), jika z = x+y.
Bilangan kompleks, argumen polinomial A(), DI DALAM().
Asumsi ini sering ditemui dalam praktik.
Jika besarannya tidak diketahui, maka pada (2.33) harus diganti dengan perkiraan dimana Dalam hal ini besaran tersebut tidak lagi berdistribusi normal, tetapi menurut hukum Student, yang secara praktis tidak dapat dibedakan dari normal.
Sangat mudah untuk melihat bahwa (2.34) adalah kasus khusus dari (2.32), jika kita ambil kejadiannya A masuk J- saya bereksperimen, sebaliknya. Pada saat yang sama
Dan hari ini Anda dapat menambahkan “...dan ilmu komputer” (catatan penulis).
Proses nyata apa pun ciri fluktuasi acak yang disebabkan oleh variabilitas fisik faktor apa pun dari waktu ke waktu. Selain itu, mungkin ada pengaruh eksternal yang tidak disengaja pada sistem. Oleh karena itu, dengan nilai rata-rata yang sama dari parameter masukan 
pada waktu yang berbeda parameter keluarannya akan berbeda. Oleh karena itu, jika dampak acak pada sistem yang diteliti signifikan, maka perlu dikembangkan probabilistik (stokastik) model objek, dengan mempertimbangkan hukum statistik distribusi parameter sistem dan memilih peralatan matematika yang sesuai.
Saat membangun model deterministik faktor acak diabaikan, hanya dengan mempertimbangkan kondisi spesifik dari masalah yang dipecahkan, sifat-sifat dan hubungan internal objek (hampir semua cabang fisika klasik dibangun berdasarkan prinsip ini)
Gagasan tentang metode deterministik- dalam penggunaan dinamika model itu sendiri selama evolusi sistem.
Dalam kursus kami metode-metode ini disajikan: metode dinamika molekuler, kelebihannya adalah: keakuratan dan kepastian algoritma numerik; Kerugiannya adalah padat karya karena perhitungan gaya interaksi antar partikel (untuk sistem yang terdiri dari N partikel, pada setiap langkah Anda perlu melakukan 
operasi penghitungan gaya-gaya ini).
Pada pendekatan deterministik persamaan gerak ditentukan dan diintegrasikan dari waktu ke waktu. Kami akan mempertimbangkan sistem banyak partikel. Posisi partikel menyumbangkan energi potensial terhadap energi total sistem, dan kecepatannya menentukan kontribusi energi kinetik. Sistem bergerak sepanjang lintasan dengan energi konstan dalam ruang fase (penjelasan lebih lanjut akan menyusul). Untuk metode deterministik, ansambel mikrokanonik bersifat alami, yang energinya merupakan integral gerak. Selain itu, dimungkinkan untuk mempelajari sistem yang integral geraknya adalah suhu dan (atau) tekanan. Dalam hal ini, sistem tidak tertutup, dan dapat direpresentasikan dalam kontak dengan reservoir termal (ansambel kanonik). Untuk memodelkannya, kita dapat menggunakan pendekatan yang membatasi sejumlah derajat kebebasan sistem (misalnya, kita menetapkan kondisi 
).
Seperti yang telah kita catat, dalam kasus ketika proses dalam suatu sistem terjadi secara tidak terduga, peristiwa dan kuantitas yang terkait dengannya disebut acak, dan algoritma untuk memodelkan proses dalam sistem - probabilistik (stokastik). Orang yunani stoohasticos- secara harafiah berarti “orang yang dapat menebak”.
Metode stokastik menggunakan pendekatan yang sedikit berbeda dengan metode deterministik: metode ini hanya perlu menghitung bagian konfigurasi masalahnya. Persamaan momentum suatu sistem selalu dapat diintegrasikan. Permasalahan yang kemudian muncul adalah bagaimana melakukan transisi dari satu konfigurasi ke konfigurasi lainnya, yang dalam pendekatan deterministik ditentukan oleh momentum. Transisi seperti itu dalam metode stokastik dilakukan dengan evolusi probabilistik proses Markov. Proses Markov adalah analogi probabilistik dari dinamika model itu sendiri.
Pendekatan ini memiliki keuntungan karena memungkinkan seseorang untuk memodelkan sistem yang tidak memiliki dinamika yang melekat.
Berbeda dengan metode deterministik, metode stokastik pada PC lebih sederhana dan lebih cepat untuk diterapkan, tetapi untuk mendapatkan nilai yang mendekati nilai sebenarnya, diperlukan statistik yang baik, yang memerlukan pemodelan sejumlah besar partikel.
Contoh metode stokastik lengkap adalah Metode Monte Carlo. Metode stokastik menggunakan konsep penting dari proses Markov (rantai Markov). Proses Markov adalah analogi probabilistik dari proses dalam mekanika klasik. Rantai Markov dicirikan oleh tidak adanya memori, yaitu karakteristik statistik dalam waktu dekat hanya ditentukan oleh masa kini, tanpa memperhitungkan masa lalu.
Lebih praktis daripada sibuk 2.
Model jalan acak
Contoh(resmi)
Mari kita asumsikan bahwa partikel ditempatkan pada posisi sembarang di titik simpul kisi dua dimensi. Pada setiap langkah waktu, partikel “melompat” ke salah satu posisi diam. Artinya, sebuah partikel mempunyai kemampuan untuk memilih arah lompatannya ke salah satu dari empat tempat terdekat. Setelah melompat, partikel tersebut “tidak ingat” dari mana ia melompat. Kasus ini berhubungan dengan jalan acak dan merupakan rantai Markov. Hasil pada setiap langkah adalah keadaan sistem partikel yang baru. Transisi dari satu keadaan ke keadaan lain hanya bergantung pada keadaan sebelumnya, yaitu probabilitas sistem berada pada keadaan i hanya bergantung pada keadaan i-1.
Proses fisik apa dalam benda padat yang mengingatkan kita (mirip dengan) model formal jalan acak yang dijelaskan?
Tentu saja, difusi, yaitu proses-proses itu sendiri, mekanisme yang kita bahas selama perpindahan panas dan massa (kursus ke-3). Sebagai contoh, mari kita ingat difusi diri klasik yang biasa terjadi dalam kristal, ketika, tanpa mengubah sifat kasat mata, atom secara berkala berpindah tempat tinggal sementara dan berkeliaran di sekitar kisi, menggunakan apa yang disebut mekanisme “kekosongan”. Ini juga merupakan salah satu mekanisme difusi terpenting dalam paduan. Fenomena migrasi atom dalam padatan memainkan peran penting dalam banyak teknologi tradisional dan non-tradisional - metalurgi, pengerjaan logam, pembuatan semikonduktor dan superkonduktor, pelapis pelindung dan film tipis.
Ditemukan oleh Robert Austen pada tahun 1896 dengan mengamati difusi emas dan timah. Difusi- proses redistribusi konsentrasi atom di ruang angkasa melalui migrasi kacau (termal). Alasan, dari sudut pandang termodinamika, ada dua: entropi (selalu) dan energi (kadang-kadang). Alasan entropis adalah meningkatnya kekacauan ketika atom-atom dari jenis yang terukir bercampur. Energi - mendorong pembentukan paduan, ketika lebih menguntungkan jika memiliki atom-atom dari jenis yang berbeda di dekatnya, dan mendorong dekomposisi difusi, ketika perolehan energi dipastikan dengan menempatkan atom-atom dari jenis yang sama bersama-sama.
Mekanisme difusi yang paling umum adalah:
lowongan
ruas
mekanisme perpindahan
Untuk menerapkan mekanisme lowongan, diperlukan setidaknya satu lowongan. Migrasi kekosongan dilakukan dengan berpindah ke lokasi kosong salah satu atom tetangga. Sebuah atom dapat melakukan lompatan difusi jika terdapat kekosongan di sebelahnya. Kekosongan cm, dengan periode getaran termal suatu atom pada lokasi kisi, pada suhu T = 1330 K (sebesar 6 K< точки плавления), число скачков, которое совершает вакансия в 1с, путь за одну секунду-см=3 м (=10 км/ч). По прямой же путь, проходимый вакансиейсм, т. е. в 300 раз короче пути по ломаной.
Alam membutuhkannya. sehingga lowongan tersebut berpindah tempat tinggalnya dalam waktu 1 s, melewati garis putus-putus sejauh 3 m, dan bergerak sepanjang garis lurus hanya sejauh 10 mikron. Atom berperilaku lebih tenang daripada kekosongan. Namun mereka juga berpindah tempat tinggal jutaan kali per detik dan bergerak dengan kecepatan kurang lebih 1 m/jam.
Jadi. bahwa satu kekosongan per beberapa ribu atom cukup untuk menggerakkan atom pada tingkat mikro pada suhu yang mendekati titik leleh.
Sekarang mari kita membentuk model jalan acak untuk fenomena difusi dalam kristal. Proses pengembaraan atom bersifat kacau dan tidak dapat diprediksi. Namun, untuk kumpulan atom yang mengembara, keteraturan statistik akan muncul. Kami akan mempertimbangkan lompatan yang tidak berkorelasi.
Artinya jika 
Dan 
adalah pergerakan atom selama lompatan i dan j, kemudian setelah dirata-ratakan pada ansambel atom pengembara:
(hasil kali rata-rata = hasil kali rata-rata. Jika jalannya benar-benar acak, semua arahnya sama dan 
=0.)
Biarkan setiap partikel ansambel membuat N lompatan dasar. Maka perpindahan totalnya adalah:
;
dan kuadrat perpindahan rata-rata
Karena tidak ada korelasi, suku kedua =0.
Misalkan setiap lompatan mempunyai panjang h yang sama dan arah acak, dan jumlah rata-rata lompatan per satuan waktu adalah v. Kemudian
Jelas sekali 
Sebut saja kuantitasnya 
- koefisien difusi atom pengembara. Kemudian 
;
Untuk kasus tiga dimensi - 
.
Kami punya hukum difusi parabola- kuadrat rata-rata perpindahan sebanding dengan waktu pengembaraan.
Masalah inilah yang harus kita pecahkan dalam pekerjaan laboratorium berikutnya - memodelkan jalan acak satu dimensi.
Model numerik.
Kita mendefinisikan ansambel M partikel, yang masing-masing mengambil N langkah, secara independen satu sama lain, ke kanan atau ke kiri dengan probabilitas yang sama. Panjang langkah = h.
Untuk setiap partikel kita menghitung kuadrat perpindahannya 
dalam N langkah. Kemudian kami melakukan rata-rata pada ansambel - 
. Besarnya 
, Jika 
, yaitu kuadrat rata-rata perpindahan sebanding dengan waktu berjalan acak 
- waktu rata-rata satu langkah) - hukum difusi parabola.
Model matematika di bidang ekonomi dan pemrograman
1. Model matematika deterministik dan probabilistik dalam ilmu ekonomi. Keuntungan dan Kerugian
Metode mempelajari proses ekonomi didasarkan pada penggunaan model matematis - deterministik dan probabilistik - yang mewakili proses, sistem atau jenis kegiatan yang dipelajari. Model-model tersebut memberikan gambaran kuantitatif tentang masalah dan berfungsi sebagai dasar pengambilan keputusan manajemen ketika mencari pilihan terbaik. Seberapa beralasan keputusan-keputusan ini, apakah yang terbaik, apakah semua faktor yang menentukan solusi optimal diperhitungkan dan ditimbang, apa kriteria untuk menentukan bahwa solusi ini benar-benar yang terbaik - ini adalah rangkaian pertanyaan yang ada sangat penting bagi manajer produksi, dan jawabannya dapat ditemukan dengan menggunakan metode riset operasi [Chesnokov S.V. - M.: Nauka, 1982, hal.45].
Salah satu prinsip pembentukan sistem kendali adalah metode model sibernetik (matematis). Pemodelan matematika menempati posisi perantara antara eksperimen dan teori: tidak perlu membangun model fisik nyata dari sistem, melainkan akan digantikan oleh model matematika. Keunikan pembentukan sistem kendali terletak pada pendekatan statistik probabilistik terhadap proses pengendalian. Dalam sibernetika, diterima bahwa setiap proses pengendalian tunduk pada pengaruh acak dan mengganggu. Dengan demikian, proses produksi dipengaruhi oleh banyak faktor yang tidak dapat diperhitungkan secara deterministik. Oleh karena itu, proses produksi dianggap dipengaruhi oleh sinyal acak. Oleh karena itu, perencanaan usaha hanya bersifat probabilistik.
Oleh karena itu, ketika berbicara tentang pemodelan matematis proses ekonomi, yang dimaksud dengan model probabilistik sering kali.
Mari kita jelaskan setiap jenis model matematika.
Model matematika deterministik dicirikan oleh fakta bahwa mereka menggambarkan hubungan beberapa faktor dengan indikator efektif sebagai ketergantungan fungsional, yaitu dalam model deterministik, indikator efektif model disajikan dalam bentuk produk, hasil bagi, aljabar jumlah faktor, atau dalam bentuk fungsi lainnya. Jenis model matematika ini adalah yang paling umum, karena cukup mudah digunakan (dibandingkan dengan model probabilistik), model ini memungkinkan seseorang untuk memahami logika tindakan faktor-faktor utama dalam perkembangan proses ekonomi, mengukur pengaruhnya, memahami faktor-faktor mana dan dalam proporsi apa yang mungkin dan disarankan untuk diubah untuk meningkatkan efisiensi produksi.
Model matematika probabilistik pada dasarnya berbeda dari model deterministik karena dalam model probabilistik hubungan antara faktor dan atribut yang dihasilkan bersifat probabilistik (stokastik): dengan ketergantungan fungsional (model deterministik), keadaan faktor yang sama sesuai dengan keadaan tunggal dari hasil. atribut, sedangkan dalam model probabilistik keadaan faktor yang sama sesuai dengan seluruh rangkaian keadaan atribut yang dihasilkan [Tolstova Yu. N. Logika analisis matematis proses ekonomi. - M.: Nauka, 2001, hal. 32-33].
Keuntungan model deterministik adalah kemudahan penggunaannya. Kelemahan utamanya adalah rendahnya kecukupan realitas, karena, seperti disebutkan di atas, sebagian besar proses ekonomi bersifat probabilistik.
Keuntungan model probabilistik adalah, pada umumnya, model tersebut lebih konsisten dengan kenyataan (lebih memadai) daripada model deterministik. Namun, kelemahan model probabilistik adalah kompleksitas dan sifat penerapannya yang padat karya, sehingga dalam banyak situasi cukup membatasi diri pada model deterministik.
2. Pernyataan masalah program linier dengan menggunakan contoh masalah jatah makanan
Untuk pertama kalinya, rumusan masalah program linier berupa usulan penyusunan rencana transportasi yang optimal; memungkinkan untuk meminimalkan total jarak tempuh diberikan dalam karya ekonom Soviet A. N. Tolstoy pada tahun 1930.
Studi sistematis tentang masalah program linier dan pengembangan metode umum untuk menyelesaikannya dikembangkan lebih lanjut dalam karya matematikawan Rusia L.V. Kantorovich, V.S. Nemchinov dan ahli matematika dan ekonom lainnya. Selain itu, banyak karya ilmuwan asing dan, yang terpenting, ilmuwan Amerika dikhususkan untuk metode pemrograman linier.
Masalah program linier adalah memaksimalkan (meminimalkan) suatu fungsi linier.
di bawah pembatasan
dan semuanya
Komentar. Ketimpangan juga bisa mempunyai arti yang berlawanan. Dengan mengalikan pertidaksamaan yang bersesuaian dengan (-1) seseorang selalu dapat memperoleh sistem berbentuk (*).
Jika banyaknya variabel sistem kendala dan fungsi tujuan pada model matematika permasalahan adalah 2, maka dapat diselesaikan secara grafis.
Jadi, kita perlu memaksimalkan fungsi tersebut ke sistem kendala yang memuaskan.
Mari kita beralih ke salah satu ketidaksetaraan dalam sistem pembatasan.
Dari sudut pandang geometri, semua titik yang memenuhi pertidaksamaan ini pasti terletak pada garis atau termasuk dalam salah satu setengah bidang yang membagi bidang garis tersebut. Untuk mengetahuinya, Anda perlu memeriksa mana yang mengandung titik ().
Catatan 2. Jika , maka lebih mudah mengambil poin (0;0).
Kondisi non-negatif juga menentukan setengah bidang dengan garis batas. Kita asumsikan bahwa sistem pertidaksamaan itu konsisten, maka setengah bidang yang berpotongan membentuk bagian yang sama, yaitu himpunan cembung dan mewakili himpunan titik-titik yang koordinatnya merupakan penyelesaian sistem ini - inilah himpunan yang dapat diterima. solusi. Himpunan titik-titik ini (solusi) disebut poligon solusi. Ini bisa berupa titik, sinar, poligon, atau area poligonal tak berbatas. Jadi, tugas program linier adalah mencari titik pada poligon keputusan di mana fungsi tujuan mempunyai nilai maksimum (minimum). Titik ini ada ketika poligon solusi tidak kosong dan fungsi tujuan di atasnya dibatasi dari atas (dari bawah). Dalam kondisi tertentu, pada salah satu simpul poligon solusi, fungsi tujuan mengambil nilai maksimum. Untuk menentukan titik sudut ini, kita membuat garis lurus (di mana h adalah suatu konstanta). Paling sering diambil garis lurus. Masih mencari tahu arah pergerakan garis ini. Arah ini ditentukan oleh gradien (antigradien) dari fungsi tujuan.
Vektor pada setiap titik tegak lurus terhadap garis, sehingga nilai f akan bertambah seiring pergerakan garis searah gradien (berkurang dalam arah antigradien). Caranya, gambarlah garis lurus yang sejajar dengan garis lurus, bergeser searah dengan gradien (anti gradien).
Kami akan melanjutkan konstruksi ini hingga garis melewati titik sudut terakhir poligon solusi. Poin ini menentukan nilai optimal.
Jadi, mencari solusi masalah program linier dengan menggunakan metode geometri meliputi langkah-langkah sebagai berikut:
Garis dibuat, persamaannya diperoleh dengan mengganti tanda pertidaksamaan pada batasan dengan tanda persamaan eksak.
Temukan setengah bidang yang ditentukan oleh masing-masing batasan masalah.
Temukan poligon solusi.
Bangun sebuah vektor.
Mereka sedang membangun garis lurus.
Mereka membuat garis lurus sejajar ke arah gradien atau antigradien, sebagai hasilnya mereka menemukan titik di mana fungsi tersebut mengambil nilai maksimum atau minimum, atau menetapkan bahwa fungsi tersebut tidak dibatasi dari atas (dari bawah) pada set yang dapat diterima.
Koordinat titik maksimum (minimum) suatu fungsi ditentukan dan nilai fungsi tujuan pada titik tersebut dihitung.
Masalah gizi rasional (masalah jatah makanan)
Pernyataan masalah
Peternakan menggemukkan ternak untuk tujuan komersial. Untuk mempermudah, asumsikan hanya ada empat jenis produk: P1, P2, P3, P4; Biaya per unit setiap produk masing-masing sama dengan C1, C2, C3, C4. Dari produk-produk ini Anda perlu membuat makanan yang harus mengandung: protein - setidaknya b1 unit; karbohidrat - setidaknya unit b2; lemak - setidaknya unit b3. Untuk produk P1, P2, P3, P4, kandungan protein, karbohidrat dan lemak (dalam satuan per unit produk) diketahui dan tercantum dalam tabel, dimana aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - beberapa nomor tertentu; indeks pertama menunjukkan nomor produk, yang kedua - nomor elemen (protein, karbohidrat, lemak).
Model prediksi matematis probabilistik-deterministik grafik beban energi merupakan kombinasi model statistik dan deterministik. Model-model inilah yang memungkinkan untuk memastikan akurasi perkiraan terbaik dan kemampuan beradaptasi terhadap perubahan proses konsumsi daya.
Mereka didasarkan pada konsep pemodelan standar beban, mis. dekomposisi aditif dari beban aktual pada grafik standar (komponen dasar, tren deterministik) 
dan komponen sisa 
:
Di mana T– waktu dalam sehari; D– jumlah hari, misalnya dalam satu tahun.
Dalam komponen standar 
selama pemodelan, mereka juga melakukan pemilihan aditif komponen individu dengan mempertimbangkan: perubahan beban musiman rata-rata 
; siklus mingguan perubahan konsumsi daya 
; komponen tren yang memodelkan efek tambahan yang terkait dengan perubahan waktu matahari terbit dan terbenam dari musim ke musim 
; komponen yang memperhitungkan ketergantungan konsumsi daya pada faktor meteorologi 
, khususnya suhu, dll.
Mari kita pertimbangkan secara lebih rinci pendekatan untuk memodelkan masing-masing komponen berdasarkan model deterministik dan statistik yang disebutkan di atas.
Pemodelan beban musiman rata-rata 
sering dilakukan dengan menggunakan rata-rata bergerak sederhana:
dimana N adalah jumlah hari kerja reguler biasa (hari kerja) yang terdapat dalam n minggu terakhir. 
, karena “hari khusus”, “hari tidak biasa”, hari libur, dll. tidak termasuk dalam minggu tersebut. Pembaruan harian dilakukan dengan rata-rata data selama n minggu terakhir.
Simulasi siklus mingguan 
juga dilakukan dengan rata-rata bergerak dari formulir
diperbarui setiap minggu dengan rata-rata data selama n minggu terakhir, atau menggunakan rata-rata pergerakan tertimbang secara eksponensial:
di mana adalah parameter pemulusan yang ditentukan secara empiris ( 
).
Sedang bekerja untuk modeling 
Dan 
tujuh komponen digunakan 
, 
untuk setiap hari dalam seminggu, dan masing-masing 
ditentukan secara terpisah menggunakan model pemulusan eksponensial.
Penulis karya modeling 
Pemulusan eksponensial ganda tipe Holt – Winters digunakan. Sedang bekerja untuk modeling 
menggunakan representasi bentuk yang harmonis
dengan parameter yang diperkirakan dari data empiris (nilai “52” menentukan jumlah minggu dalam setahun). Namun, masalah estimasi operasional adaptif parameter-parameter ini dalam penelitian ini belum sepenuhnya terpecahkan.
Pemodelan 
, 
dalam beberapa kasus, dilakukan dengan menggunakan deret Fourier terbatas: dengan periode mingguan, dengan periode harian, atau dengan pemodelan terpisah masing-masing hari kerja dan akhir pekan, dengan periode lima dan dua hari:
Untuk memodelkan komponen tren 
gunakan polinomial orde 2 - 4, atau berbagai fungsi empiris nonlinier, misalnya dalam bentuk:
di mana adalah polinomial derajat keempat yang menggambarkan perubahan beban yang dihaluskan secara relatif lambat 
pada siang hari sesuai musim; , , – berfungsi memodelkan efek yang terkait dengan perubahan waktu matahari terbit dan terbenam menurut musim.
Untuk memperhitungkan ketergantungan konsumsi energi pada faktor meteorologi, dalam beberapa kasus, komponen tambahan diperkenalkan 
. Pekerjaan ini secara teoritis mendukung inklusi 
ke dalam model, namun kemungkinan pemodelan efek suhu hanya dipertimbangkan sampai batas tertentu. Jadi, untuk mewakili komponen suhu 
untuk kondisi Mesir, model polinomial digunakan
dimana suhu udara pada jam ke-t.
Metode regresi digunakan untuk “menormalkan” puncak dan lembah proses dengan mempertimbangkan suhu, dengan data yang dinormalisasi diwakili oleh model rata-rata bergerak terintegrasi autoregresif satu dimensi (ARISS).
Juga digunakan untuk pemodelan 
dengan mempertimbangkan suhu, filter Kalman rekursif, yang mencakup faktor eksternal - perkiraan suhu. Atau mereka menggunakan interpolasi kubik polinomial dari beban per jam dalam rentang jangka pendek dan memperhitungkan pengaruh suhu dalam model.
Untuk memperhitungkan prakiraan suhu rata-rata harian, berbagai kondisi cuaca untuk pelaksanaan proses yang dianalisis dan sekaligus meningkatkan stabilitas model, diusulkan untuk menggunakan modifikasi khusus model rata-rata bergerak.
,
dimana untuk berbagai kondisi cuaca yang berhubungan dengan probabilitas terbentuk rangkaian grafik beban m 
, dan ramalan didefinisikan sebagai ekspektasi matematis bersyarat. Probabilitas diperbarui menggunakan metode Bayes ketika nilai dan faktor beban aktual baru tersedia pada hari itu.
Pemodelan komponen sisa 
dilakukan baik dengan menggunakan model satu dimensi maupun multidimensi, dengan memperhatikan faktor meteorologi dan faktor eksternal lainnya. Jadi, model autoregresif AR(k) berorde k sering digunakan sebagai model satu dimensi (satu faktor).
,
di mana sisa white noise. Untuk memprediksi pembacaan setiap jam (setengah jam), model AR(1), AR(2) dan bahkan AR(24) digunakan. Bahkan jika model ARISS yang digeneralisasi digunakan 
bagaimanapun, penerapannya turun ke model AR(1), AR(2) untuk pengukuran beban lima menit dan per jam.
Model satu faktor lainnya untuk memodelkan komponen 
apakah modelnya single atau double pemulusan eksponensial. Model ini memungkinkan Anda mengidentifikasi tren jangka pendek secara efektif seiring dengan perubahan beban sisa. Kesederhanaan, ekonomi, rekursif, dan efisiensi komputasi membuat metode pemulusan eksponensial dapat diterapkan secara luas. Menggunakan pemulusan eksponensial sederhana 
pada konstanta yang berbeda dan tentukan dua rata-rata eksponensial 
Dan 
. Perkiraan komponen sisa 
ditentukan secara proaktif oleh rumus
