Inti dari metode aksiomatik
Euclid
P.Dirac
Jika suatu teorema tidak dapat dibuktikan, maka teorema tersebut menjadi aksioma.
Matematika dibangun atas dasar konsep. Konsep dapat didefinisikan atau tidak ditentukan. Di bawah definisi memahami rumusan yang tepat dari suatu konsep tertentu. Mendefinisikan suatu konsep matematika berarti menunjukkan ciri-ciri atau sifat-sifatnya yang membedakan konsep tersebut dari konsep lainnya. Cara yang biasa untuk menentukan konsep matematika terdiri dari menunjukkan: 1) genus terdekat, yaitu konsep yang lebih umum yang mencakup konsep yang sedang didefinisikan; 2) perbedaan spesies, yaitu itu ciri ciri atau properti yang melekat dalam konsep khusus ini.
Contoh 1. Definisi: “Persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya sama besar.” Genus terdekat, yaitu konsep yang lebih umum, adalah konsep persegi panjang, dan perbedaan spesifiknya akan menunjukkan bahwa semua sisi persegi adalah sama. Sedangkan untuk persegi panjang konsep yang lebih umum adalah konsep jajar genjang, untuk jajar genjang - konsep segi empat, untuk segi empat - konsep poligon, dan seterusnya. Namun rantai ini bukannya tidak ada habisnya.
Ada konsep-konsep yang tidak dapat didefinisikan melalui konsep lain yang lebih besar konsep umum. Dalam matematika mereka disebut konsep dasar yang tidak terdefinisi . Contoh konsep dasar adalah titik, garis, bidang, jarak, himpunan, dan lain sebagainya.
Keterhubungan dan hubungan antar konsep dasar dirumuskan dengan menggunakan aksioma.
Aksioma adalah proposisi matematis yang diterima dalam teori tertentu tanpa bukti.
Ke sistem aksioma di mana satu atau lainnya dibangun teori matematika, ada persyaratan konsistensi, independensi, dan kelengkapan.
Sistem aksioma disebut konsisten , jika tidak mungkin untuk secara bersamaan memperoleh dua kalimat yang saling lepas darinya: A, tidak.
Sistem aksioma disebut mandiri , jika tidak ada aksioma sistem ini yang merupakan konsekuensi dari aksioma lain dari sistem ini.
Sistem aksioma disebut penuh , jika salah satu dari dua hal dapat dibuktikan di dalamnya: salah satu pernyataan A, atau tidak a.
Suatu dalil yang tidak ada dalam daftar aksioma harus dibuktikan. Usulan seperti ini disebut dalil .
Dalil adalah proposisi matematis yang kebenarannya ditetapkan melalui proses penalaran yang disebut pembuktian.
Aksioma: “Apapun garisnya, ada titik yang termasuk dalam garis tersebut dan ada titik yang tidak termasuk dalam garis tersebut.”
Dalil: “Jika diagonal-diagonal suatu segi empat berpotongan dan dibagi dua oleh titik potongnya, maka segi empat tersebut merupakan jajar genjang.”
Salah satu metode utama matematika modern adalah metode aksiomatik . Esensinya adalah sebagai berikut:
1) konsep-konsep utama yang belum terdefinisi dan hubungan-hubungan dari teori yang sedang dibangun dicantumkan (contoh hubungan: mengikuti..., terletak di antara...);
2) dirumuskan aksioma, diterima dalam teori ini tanpa pembuktian, yang mengungkapkan hubungan antara konsep dasar dan hubungannya;
3) kalimat-kalimat yang tidak termasuk dalam konsep dasar dan hubungan dasar harus didefinisikan;
4) dalil-dalil yang tidak termasuk dalam daftar aksioma harus dibuktikan berdasarkan aksioma-aksioma tersebut dan proposisi-proposisi yang telah dibuktikan sebelumnya.
1.2 Geometri Euclid - teori ilmu alam pertama
Tinjauan sejarah pembenaran geometri. Geometri sebelum menjadi teori aksiomatik, telah mengalami kemajuan pesat dalam perkembangan empiris.
Informasi pertama tentang geometri diperoleh oleh peradaban Timur Kuno(Mesir, Cina, India) sehubungan dengan perkembangan pertanian, terbatasnya lahan subur, dll. Di negara-negara ini, geometri bersifat empiris dan merupakan seperangkat “aturan-resep” terpisah untuk menyelesaikan masalah. tugas-tugas tertentu. Sudah di milenium ke-2 SM. orang Mesir tahu cara menghitung luas segitiga, volume piramida terpotong, luas lingkaran secara akurat, dan orang Babilonia mengetahui teorema Pythagoras. Perhatikan bahwa tidak ada bukti, melainkan aturan perhitungan.
periode Yunani Perkembangan geometri dimulai pada abad ke 7-6. SM di bawah pengaruh Mesir. Dianggap sebagai bapak matematika Yunani filsuf terkenal Thales (640-548 SM). Thales, atau lebih tepatnya, dia sekolah matematika milik bukti properti segitiga sama kaki, sudut vertikal. Kemudian seorang ahli geometri Yunani Kuno hasil yang diperoleh mencakup hampir seluruh isi modern kursus sekolah geometri.
Aliran filsafat Pythagoras (570-471 SM) menemukan teorema jumlah sudut suatu segitiga, membuktikan teorema Pythagoras, dan menetapkan keberadaan lima jenis polihedra beraturan dan segmen tak dapat dibandingkan. Democritus (470-370 SM) menemukan teorema volume piramida dan kerucut. Eudoxus (410-356 SM) diciptakan teori geometri proporsi (yaitu teori bilangan proporsional).
Menaechmus dan Apollonius mempelajari bagian berbentuk kerucut. Archimedes (289-212 SM) menemukan aturan untuk menghitung luas permukaan dan volume bola serta bangun lainnya. Ia juga menemukan perkiraan nilai bilangan π.
Keistimewaan Khusus ilmuwan Yunani kuno adalah bahwa mereka adalah orang pertama yang mengajukan masalah konstruksi pengetahuan geometri secara ketat dan menyelesaikannya dengan perkiraan pertama. Masalah tersebut dikemukakan oleh Plato (428-348 SM). Aristoteles (384-322 SM) - filsuf terbesar, pendiri logika formal– termasuk dalam rumusan yang jelas tentang gagasan membangun geometri dalam bentuk rangkaian proposisi yang mengikuti satu sama lain hanya berdasarkan kaidah logika. Banyak ilmuwan Yunani (Hippocrates, Phaedius) mencoba memecahkan masalah ini.
Euclid (330-275 SM) - ahli geometri zaman kuno terbesar, lulusan sekolah Plato, tinggal di Mesir (di Alexandria). “Prinsip” yang disusunnya memberikan presentasi sistematis tentang prinsip-prinsip geometri, yang dilakukan berdasarkan hal tersebut tingkat ilmiah bahwa selama berabad-abad pengajaran geometri didasarkan pada karyanya. “Prinsip” terdiri dari 13 buku (bab):
I-VI – planimetri;
VII-IX – aritmatika dalam presentasi geometris;
X – segmen yang tidak dapat dibandingkan;
ХI-ХII – stereometri.
Tidak semua informasi yang diketahui dalam geometri dimasukkan dalam Elemen. Misalnya, buku-buku ini tidak memuat: teori bagian berbentuk kerucut, kurva orde yang lebih tinggi.
Setiap buku diawali dengan definisi konsep-konsep yang muncul di dalamnya. Misalnya pada Buku I ada 23 definisi. Berikut adalah definisi dari empat konsep pertama:
1 Titik adalah sesuatu yang tidak mempunyai bagian.
2 Sebuah garis adalah panjang tanpa lebar.
3 Batas suatu garis adalah titik.
Euclid memberikan proposisi yang diterima tanpa bukti, membaginya menjadi postulat dan aksioma. Dia memiliki lima postulat dan tujuh aksioma. Berikut beberapa di antaranya:
IV Dan agar semua sudut siku-siku sama besar.
V Dan setiap kali sebuah garis lurus, ketika berpotongan dengan dua garis lurus lainnya, membentuk sudut satu sisi dalam, yang jumlahnya kurang dari dua garis lurus, maka garis-garis lurus tersebut berpotongan pada sisi yang jumlahnya lebih kecil. dari dua garis lurus.
Aksioma
I Secara individu setara dengan yang ketiga setara satu sama lain.
II Dan jika kita menjumlahkan yang sama dengan yang sama, kita mendapatkan yang sama.
VII Dan yang digabungkan adalah sama.
Euclid tidak menunjukkan perbedaan antara postulat dan aksioma. Masih belum keputusan akhir pertanyaan ini.
Euclid mengemukakan teori geometri seperti yang dipersyaratkan oleh para ilmuwan Yunani khususnya Aristoteles, yaitu. Teorema-teorema tersebut disusun sedemikian rupa sehingga setiap teorema berikutnya dibuktikan hanya berdasarkan teorema-teorema sebelumnya. Dengan kata lain, Euclid mengembangkan teori geometri secara ketat secara logis. Inilah manfaat sejarah Euclid bagi sains.
“Elemen” Euclid memainkan peran besar dalam sejarah matematika dan seluruh kebudayaan manusia. Buku-buku ini telah diterjemahkan ke dalam semua bahasa utama dunia; setelah tahun 1482, buku-buku tersebut telah diterbitkan sebanyak 500 edisi.
Kekurangan sistem Euclid. Dari sudut pandang matematika modern, penyajian Unsur harus dianggap tidak sempurna. Sebutkan kelemahan utama sistem ini:
1) banyak konsep termasuk konsep yang pada gilirannya harus didefinisikan (misalnya, dalam definisi 1-4 Bab 1 digunakan konsep lebar, panjang, batas, yang juga harus didefinisikan);
2) daftar aksioma dan postulat tidak cukup untuk membangun geometri dengan cara yang logis. Misalnya, daftar ini tidak berisi aksioma keteraturan, yang tanpanya banyak teorema geometri tidak dapat dibuktikan; Mari kita perhatikan bahwa Gauss memperhatikan keadaan ini. Daftar ini juga kekurangan definisi tentang konsep gerak (kombinasi) dan sifat-sifat gerak, yaitu. aksioma gerak. Yang juga hilang dari daftar adalah aksioma Archimedes (salah satu dari dua aksioma kontinuitas), yang dimainkan peran penting dalam teori pengukuran panjang ruas, luas bangun dan benda. Perhatikan bahwa hal ini diperhatikan oleh Archimedes sezaman dengan Euclid;
3) Postulat IV jelas berlebihan; dapat dibuktikan sebagai teorema. Mari kita perhatikan secara khusus postulat kelima. Dalam Buku I Unsur, 28 proposisi pertama dibuktikan tanpa mengacu pada postulat kelima. Upaya untuk memperkecil daftar aksioma dan postulat, khususnya untuk membuktikan postulat V sebagai teorema, telah dilakukan sejak zaman Euclid sendiri. Proclus (abad ke-5 M), Omar Khayyam (1048-1123), Wallis (abad ke-17), Saccheri dan Lambert (abad ke-18), Legendre (1752-1833) juga mencoba membuktikan postulat V sebagai teorema. Bukti mereka cacat, namun mengarah pada hal tersebut hasil positif– hingga lahirnya dua geometri lagi (Riemann dan Lobachevsky).
Sistem geometri non-Euclidean. N. Lobachevsky (1792-1856), yang menemukan geometri baru– Geometri Lobachevsky, juga dimulai dengan upaya untuk membuktikan postulat V.
Nikolai Ivanovich mengembangkan sistemnya hingga sebatas “Prinsip” dengan harapan mendapatkan kontradiksi. Dia tidak menerimanya, tetapi pada tahun 1826 dia membuat kesimpulan yang benar: ada geometri yang berbeda dengan geometri Euclid.
Pada pandangan pertama, kesimpulan ini tampaknya tidak cukup berdasar: mungkin, jika dikembangkan lebih jauh, kita dapat menemukan kontradiksi. Namun pertanyaan yang sama juga berlaku pada geometri Euclidian. Dengan kata lain, kedua geometri tersebut setara ketika dihadapkan pada pertanyaan tentang konsistensi logis. Penelitian lebih lanjut menunjukkan bahwa konsistensi suatu geometri mengikuti konsistensi geometri lainnya, yaitu. ada kesetaraan sistem logis.
Lobachevsky adalah orang pertama, tetapi bukan satu-satunya, yang menyimpulkan bahwa ada geometri lain. Gauss (1777-1855) mengungkapkan gagasan ini sejak tahun 1816 dalam surat pribadinya, tetapi tidak membuat pernyataan dalam publikasi resmi.
Tiga tahun setelah publikasi hasil Lobachevsky (pada tahun 1829), yaitu. pada tahun 1832, karya J. Bolyai dari Hongaria (1802-1860) diterbitkan, yang pada tahun 1823 sampai pada kesimpulan tentang keberadaan geometri yang berbeda, tetapi menerbitkannya kemudian dan dalam bentuk yang kurang berkembang dibandingkan karya Lobachevsky. Oleh karena itu, wajar jika geometri ini menyandang nama Lobachevsky.
Penerimaan umum atas geometri Lobachevsky sangat difasilitasi oleh karya ahli geometri setelah Lobachevsky. Pada tahun 1868, ahli matematika Italia E. Beltrami (1825-1900) membuktikan bahwa geometri Lobachevsky terletak pada permukaan dengan kelengkungan negatif konstan (yang disebut pseudosfer). Titik lemah pembuktian konsistensi geometri Lobachevsky berdasarkan interpretasi Beltrami adalah, seperti yang ditunjukkan D. Hilbert (1862-1943), tidak ada permukaan penuh kelengkungan negatif konstan tanpa fitur. Oleh karena itu, pada permukaan dengan kelengkungan negatif konstan, hanya sebagian dari geometri datar Lobachevsky yang dapat diinterpretasikan. Kekurangan ini dihilangkan oleh A. Poincare (1854-1912) dan F. Klein (1849-1925).
Bukti konsistensi geometri Lobachevsky sekaligus merupakan bukti independensi postulat kelima dari postulat lainnya. Memang, dalam kasus ketergantungan, geometri Lobachevsky akan menjadi kontradiktif, karena memuat dua pernyataan yang saling eksklusif.
Studi lebih lanjut tentang geometri Euclidean menunjukkan ketidaklengkapan sistem aksioma dan postulat Euclid. Studi aksioma Euclid selesai pada tahun 1899 oleh Hilbert.
Aksiomatik Hilbert terdiri dari lima kelompok:
Aksioma koneksi (milik);
Aksioma keteraturan;
Aksioma kongruensi (kesetaraan, kebetulan);
Aksioma kontinuitas;
Aksioma paralelisme.
Aksioma-aksioma ini (total ada 20) mengacu pada tiga jenis objek: titik, garis, bidang, serta tiga hubungan di antara mereka: "milik", "terletak di antara", "kongruen". Arti khusus titik, garis, bidang dan relasi tidak ditentukan. Mereka secara tidak langsung didefinisikan melalui aksioma. Berkat ini, geometri yang dibangun berdasarkan aksioma Hilbert memungkinkan berbagai implementasi spesifik.
Sistem geometri yang dibangun berdasarkan aksioma-aksioma yang tercantum disebut geometri Euclidean, karena bertepatan dengan geometri yang dijelaskan oleh Euclid dalam Elemen.
Sistem geometri selain Euclidean disebut geometri non-Euclidean. Menurut teori umum relativitas, dalam ruang angkasa tidak satu pun yang benar-benar akurat, tetapi pada skala kecil (skala bumi juga cukup “kecil”) mereka cukup cocok untuk menggambarkan ruang. Alasan mengapa rumus Euclidean digunakan dalam praktik adalah kesederhanaannya.
Hilbert memeriksa sistem aksiomanya secara komprehensif dan menunjukkan bahwa sistem tersebut konsisten jika aritmatika tidak konsisten (yaitu, pada kenyataannya, konsistensi substantif atau yang disebut eksternal terbukti). Dia menyelesaikan penelitian selama berabad-abad oleh para ahli geometri untuk mendukung geometri. Karya ini sangat dihargai dan dianugerahi Hadiah Lobachevsky pada tahun 1903.
Dalam presentasi aksiomatik modern geometri Euclid, aksioma Hilbert tidak selalu digunakan: buku teks geometri dibangun berdasarkan berbagai modifikasi sistem aksioma ini.
Pada abad ke-20 ditemukan bahwa geometri Lobachevsky tidak hanya memiliki penting untuk matematika abstrak sebagai salah satu geometri yang mungkin, tetapi juga berhubungan langsung dengan penerapan matematika. Ternyata hubungan antara ruang dan waktu, ditemukan oleh A. Einstein dan ilmuwan lain di dalamnya teori khusus relativitas, berhubungan langsung dengan geometri Lobachevsky.
“Dasar-dasar stereometri” - Gambar figur spasial pada bidang datar. Segi delapan. Sudut antara garis lurus dalam ruang. Rekayasa Bersamaan. Piramida. Proyeksi paralel angka datar. Pigura berduabelas segi. Volume bola. Tanda-tanda bidang sejajar. Sudut antara garis lurus dan bidang dalam ruang. Pythagoras. Gambaran dasar stereometri.
“Pesawat di luar angkasa” - Koefisien B=C=D=0. Persamaan garis lurus dalam ruang. 1. Persamaan umum langsung. 2. Persamaan umum bidang. Koefisien A,B,C dalam persamaan ditentukan koordinat vektor normal: Diberikan: suatu titik dan vektor normal Persamaan bidang: Mengkoordinasikan pesawat. 3. Syarat garis sejajar. 4. Kondisi tegak lurus garis.
"Bentuk spasial di pesawat" - Metode proyeksi. Proyeksi tengah. Garis sejajar dan berpotongan tidak mempunyai titik persekutuan. Tugas. Teater bayangan. Dua bidang dipotong oleh dua garis sejajar. Gerard Desargues. Proyeksi paralel. Proyeksi aksonometri. Sifat garis lurus dan bidang yang membentuk sudut satu sama lain.
"Pengantar Stereometri" - Stereometri -. Angka. Majalah "Kvant". Tubuh. Mari kita ambil 6 pertandingan. Geometri sekolah. Tempat tinggal bergerak orang India disebut Tipis. Pengetahuan geometris diterapkan. Teka-teki silang. Hitung. Pesawat. Mari kita terjemahkan ke dalam bahasa kotak. Planimetri. Menyimpulkan pelajaran. Pengetahuan geometris membantu.
“Aksioma Geometri” - Anda dapat memplot segmen dengan panjang tertentu dan hanya satu. titik. Pesawat yang berbeda punya poin umum. Kerja praktek. Jawaban untuk tes. Setiap ruas mempunyai panjang tertentu. Dua pesawat yang berbeda mempunyai titik temu. Anda dapat menggambar paling banyak satu garis lurus pada sebuah bidang. Di setengah garis mana pun dari titik awal Anda bisa mengesampingkan sudutnya.
"Subjek stereometri" - Pentagram. Semesta. Konsep dasar stereometri. Dari sejarah. Euclid. Stereometri. Apakah Anda ingat teorema Pythagoras? Petunjuk arah. Teorema Pythagoras. Representasi visual. Aksioma stereometri. Konsep yang tidak dapat didefinisikan. Polihedra biasa. Geometri. Konsep ilmu stereometri. Sisi yang tidak terlihat.
Ada total 15 presentasi dalam topik tersebut
Catatan penting!
1. Jika Anda melihat gobbledygook dan bukan rumus, kosongkan cache Anda. Cara melakukan ini di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel ini, perhatikan navigator kami semaksimal mungkin sumber daya yang berguna Untuk
1. Konsep dasar planimetri
Mengapa semuanya dalam gambar dan tanpa kata-kata? Apakah kata-kata diperlukan? Bagi saya, pada awalnya hal itu tidak terlalu diperlukan. Sebenarnya, ahli matematika, tentu saja, tahu bagaimana menggambarkan segala sesuatu dengan kata-kata, dan Anda dapat menemukan deskripsi seperti itu di tingkat teori berikut, tapi sekarang mari kita lanjutkan dengan gambar.
Apa lagi? Oh ya, kita perlu belajar cara mengukur segmen dan sudut.
Setiap segmen memiliki panjang - nomor yang ditetapkan untuk segmen ini (untuk beberapa alasan...). Panjangnya biasanya diukur... dengan penggaris, tentunya dalam sentimeter, milimeter, meter bahkan kilometer.
Dan sekarang mengukur sudut. Untuk beberapa alasan, sudut biasanya diukur dalam derajat. Mengapa? Ada sesuatu untuk itu alasan historis, tapi kita tidak sedang membahas sejarah sekarang. Oleh karena itu, kita harus menerima begitu saja perjanjian berikut ini.
Dalam sudut derajat yang dikembangkan.
Untuk singkatnya mereka menulis: . Dalam hal ini, tentu saja, besarnya semua sudut lainnya dapat ditemukan jika Anda mengetahui bagian mana dari sudut terbuka tersebut. sudut tertentu. Alat untuk mengukur sudut disebut busur derajat. Saya pikir Anda telah melihatnya lebih dari sekali dalam hidup Anda.
2. Dua Fakta Dasar Tentang Sudut
I. Sudut-sudut yang berdekatan bertambah.
Ini sepenuhnya wajar, bukan? Lagi pula, sudut-sudut yang berdekatan membentuk sudut terbalik!
II. Sudut vertikal sama.
Mengapa? Dan lihat:
Bagaimana sekarang? Ya, tentu saja, berikut ini. (Cukup, misalnya, mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama. Tapi nyatanya, Anda bisa melihat saja gambarnya).
Berapa ukuran sudut siku-siku?
Tentu saja! Bagaimanapun.
4. Sudut lancip dan tumpul.
Pada dasarnya hanya itu yang perlu Anda ketahui untuk memulai. Mengapa kita tidak mengatakan sepatah kata pun tentang aksioma?
Aksioma adalah aturan tindakan dengan objek dasar planimetri, pernyataan pertama tentang titik dan garis. Pernyataan-pernyataan ini dijadikan dasar, bukan dibuktikan.
Mengapa kita tidak tetap merumuskan dan mendiskusikannya? Anda tahu, aksioma planimetri, dalam arti tertentu, hanya menggambarkan hubungan yang jelas secara intuitif dalam jangka waktu yang agak panjang bahasa matematika. Pemahaman yang jelas tentang aksioma diperlukan nanti, ketika Anda sudah terbiasa konsep geometris pada tingkat akal sehat. Lalu - selamat datang di - ada pembahasan yang cukup mendetail tentang aksioma di sana. Sementara itu, cobalah bertindak seperti orang Yunani kuno, sebelum zaman Euclid - selesaikan saja masalah dengan menggunakan kewajaran. Saya yakinkan Anda, banyak tugas yang bisa Anda lakukan!
TINGKAT MENENGAH
Bayangkan Anda tiba-tiba menemukan diri Anda berada di planet lain, atau... di dalam permainan komputer.
Di depan Anda ada serangkaian produk yang tidak diketahui, dan tugas Anda adalah menyiapkan sebanyak mungkin hidangan lezat dari set ini. Apa yang Anda perlukan? Tentu saja, aturan, instruksi - apa yang bisa dilakukan dengan produk tertentu. Bagaimana jika Anda tiba-tiba memasak sesuatu yang hanya dimakan mentah atau sebaliknya memasukkan sesuatu ke dalam salad yang pasti perlu direbus atau digoreng? Jadi, tanpa instruksi - tidak ada tempat!
Oke, tapi kenapa perkenalan seperti itu? Apa hubungannya geometri dengan itu? Soalnya, banyak sekali pernyataan tentang segala macam bentuk dalam geometri yang merupakan “hidangan” yang harus kita pelajari untuk memasaknya. Tapi dari apa? Dari objek dasar geometri! Tapi instruksi untuk "penggunaannya" disebut dengan kata-kata yang cerdas "sistem aksioma".
Jadi, perhatikan!
Objek dasar dan aksioma planimetri.
Titik dan garis
Ini adalah konsep planimetri yang paling penting. Para ahli matematika mengatakan bahwa ini adalah “konsep yang tidak dapat dijelaskan”. Bagaimana bisa? Tapi jadi, Anda harus mulai dari suatu tempat.
Sekarang aturan pertama untuk menangani titik dan garis. Aturan matematika ini disebut "aksioma"- pernyataan yang dijadikan dasar, yang kemudian akan disimpulkan segala sesuatu yang mendasar (ingat bahwa kita memiliki misi kuliner besar untuk “memasak” geometri?). Jadi, rangkaian aksioma pertama disebut
I. Aksioma kepemilikan.
Harap dicatat, aksioma ini memungkinkan Anda menggambar seperti ini:
Seperti ini: ada dua poin:
Dan kemudian ditemukan garis lurus:
Tapi yang satu lagi tidak!
Jika semua ini tampak terlalu jelas bagi Anda, ingatlah bahwa Anda berada di planet lain dan masih tidak tahu apa yang harus dilakukan dengan benda-benda tersebut. "dot" Dan "lurus".
Sinar, segmen, sudut.
Sekarang kita telah belajar menempatkan titik pada garis dan menggambar garis melalui titik, jadi kita sudah bisa menyiapkan “hidangan” sederhana pertama -, segmen,sudut.
1) BALOK
Ini dia
2) POTONG
Sekarang mari kita bereskan semuanya. Rangkaian aksioma selanjutnya disebut:
II. Aksioma keteraturan.
Sekarang - level selanjutnya. Kami memerlukan petunjuk tentang pengukuran segmen dan sudut. Aksioma ini disebut
AKU AKU AKU. Aksioma ukuran segmen dan sudut.
Dan sekarang semuanya menjadi sangat aneh.
IV. Aksioma keberadaan segitiga sama dengan segitiga tertentu.
Dua akibat wajar dari aksioma ini lebih jelas:
Nah, yang terakhir memang legendaris aksioma paralel!
Tapi pertama-tama definisi:
V. Aksioma paralel.
Ya, ini sudah berakhir aksioma planimetri! Apakah jumlahnya terlalu banyak? Tapi bayangkan, itu semua dibutuhkan. Untuk masing-masing dari mereka ada alasan yang licik dan licik, yang menunjukkan bahwa jika aksioma ini dihilangkan, maka seluruh bangunan geometri akan runtuh! Ya, atau akan ada sesuatu yang sama sekali berbeda dari biasanya.
Sekarang, dua fakta dasar tentang sudut!
Sudut yang berdekatan dan vertikal.
Sinar-sinar yang membentuk sudut disebut sisi-sisi sudut, dan sisi-sisinya awal yang umum- atas
Ini sepenuhnya teorema sederhana, Kebenaran?
Bagaimanapun sisi umum sudut yang berdekatan cukup membagi sudut lurus menjadi dua sudut dan karenanya (PERHATIAN: Aksioma 3.2 berhasil!) jumlah sudut-sudut yang berdekatan sama dengan besar sudut terbuka, yaitu.
Lebih mudah menggambar daripada mendeskripsikan - lihat gambarnya.
Ini juga merupakan teorema yang mudah. Memastikan:
Sudut lancip dan tumpul.
DESKRIPSI SINGKAT DAN RUMUS DASAR
Aksioma kepemilikan:
- Aksioma 1. Apapun garisnya, ada titik yang termasuk dalam garis tersebut dan ada titik yang tidak termasuk dalam garis tersebut.
- Aksioma 2. Melalui dua titik mana pun dapat ditarik garis lurus, dan hanya satu.
Aksioma keteraturan:
- Aksioma 3. Dari tiga titik pada suatu garis, hanya satu yang terletak di antara dua titik lainnya.
- Aksioma 4. Sebuah garis lurus yang terletak pada suatu bidang membagi bidang tersebut menjadi dua setengah bidang. Jika ujung-ujung suatu ruas berada pada setengah bidang yang sama, maka ruas tersebut tidak memotong garis. Jika ujung-ujung suatu ruas berada pada setengah bidang yang berbeda, maka ruas tersebut memotong suatu garis.
Aksioma ukuran segmen dan sudut:
- Aksioma 5. Setiap ruas mempunyai panjang tertentu, lebih besar dari nol. Panjang suatu ruas sama dengan jumlah panjang bagian-bagian yang membaginya dengan salah satu titiknya.
- Aksioma 6. Setiap sudut mempunyai besaran derajat tertentu, lebih besar dari nol. Sudut lurusnya sama besar. Besar derajat suatu sudut sama dengan jumlah ukuran derajat sudut yang membaginya dengan sinar apa pun yang lewat di antara sisi-sisinya.
Aksioma keberadaan segitiga sama dengan segitiga tertentu:
Aksioma Paralel:
- Aksioma 8. Pada sebuah bidang, melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, paling banyak dapat ditarik satu garis lurus yang sejajar dengan garis tersebut.
Fakta dasar tentang sudut:
- Dalil. Jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah sama besar.
Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.
Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!
Sekarang hal yang paling penting.
Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.
Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...
Untuk apa?
Untuk sukses lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.
Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...
Orang yang menerima pendidikan yang baik, dapatkan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.
Tapi ini bukanlah hal yang utama.
Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena masih banyak yang terbuka di hadapan mereka lebih banyak kemungkinan dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...
Tapi pikirkan sendiri...
Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?
DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.
Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.
Anda akan membutuhkan memecahkan masalah melawan waktu.
Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.
Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.
Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!
Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.
Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.
Bagaimana? Ada dua pilihan:
- Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
- Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR
Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.
Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.
Dan sebagai kesimpulan...
Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.
“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.
Temukan masalah dan selesaikan!
Sebagai contoh aksiomatik, mari kita ambil geometri sebuah bidang. Demi kesederhanaan, kita hanya akan mempertimbangkan aksioma geometri posisi (yang dalam “Foundations of Geometry” karya Hilbert diberikan dengan nama aksioma koneksi dan aksioma keteraturan) dan aksioma paralel. Pada saat yang sama, untuk tujuan kita, akan lebih mudah untuk sedikit menyimpang dari sistem aksioma Hilbert: kita tidak akan memulai dari titik dan garis sebagai objek yang membentuk dua berbagai sistem, tapi mari kita ambil poinnya saja sebagai individu. Daripada relasi “titik dan y menentukan garis lurus”, kita akan mempunyai relasi rangkap tiga: titik-titik terletak pada garis lurus yang sama”, yang untuknya kita akan menggunakan notasi . Bersamaan dengan relasi ini, sebagai relasi utama kedua, kita akan mengambil relasi keteraturan: letak di antaranya yang akan kita menyusul Selanjutnya, dalam aksioma kita, sebagai konsep yang berkaitan dengan logika, kita akan menemukan relasi kesetaraan untuk menunjukkan hal ini relasi, kita akan menggunakan tanda sama dengan yang biasa:
Untuk pencatatan aksioma secara simbolis, kita juga memerlukan tanda-tanda logis dan, yang terpenting, tanda-tanda untuk mengungkapkan universalitas dan keberadaan; jika ada predikat yang berkaitan dengan individu x, maka artinya “semua x mempunyai sifat , dan - “ada x yang mempunyai sifat . Tanda disebut sebagai “pengukur universalitas” dan “pengukur keberadaan”. Pembilang universal dan
adanya sama dapat merujuk ke variabel x dan beberapa variabel lainnya. Variabel yang termasuk dalam pembilang tersebut “dihubungkan” dengan pembilang ini - seperti halnya variabel integrasi dihubungkan dengan tanda integral, sehingga seluruh pernyataan secara keseluruhan tidak lagi bergantung pada nilai apapun dari variabel tersebut.
Sebagai tanda logika berikutnya, kita akan menambahkan tanda negasi dan tanda penggabungan pernyataan. Untuk menyangkal suatu pernyataan, kita akan menggunakan tanda sebelum pernyataan ini. Daripada 1 (x = y), agar singkatnya kita tuliskan tanda & (“dan”), yang berdiri di antara dua pernyataan, artinya kedua pernyataan tersebut benar (konjungsi). Tanda (“atau” dalam arti “vel”) yang berada di antara dua pernyataan berarti bahwa paling sedikit salah satu pernyataan tersebut benar (disjungsi).
Tanda yang berdiri di antara dua pernyataan berarti bahwa kebenaran pernyataan pertama mengandung kebenaran pernyataan kedua, atau, dengan kata lain, pernyataan pertama tidak mungkin benar tanpa pernyataan kedua juga benar (implikasi). Berdasarkan apa yang telah dikatakan, implikasi dari dua pernyataan 21 dan 95 adalah salah hanya jika 21 benar dan salah; dalam kasus lain itu benar.
Tanda implikasi dalam kombinasi dengan bilangan universal menggambarkan proposisi hipotetis yang umumnya afirmatif. Jadi, misalnya rumusnya
dimana dan adalah beberapa hubungan antara x dan y, mewakili kalimat berikut: “untuk setiap pasangan individu sedemikian rupa sehingga benar juga bahwa
Saat membuat formula dari mereka komponen Kami akan menggunakan metode penempatan tanda kurung yang biasa. Untuk menyelamatkannya, kita sepakat bahwa tanda membelah lebih kuat daripada tanda-tanda, yang membelah lebih kuat dari, dan bahwa tanda-tanda dan V membelah lebih kuat daripada bilangan-bilangan universalitas dan eksistensi. Kami juga setuju untuk menghilangkan tanda kurung jika hal ini tidak menimbulkan kesalahpahaman. Jadi, misalnya, alih-alih ekspresi
di mana menunjukkan hubungan apa pun antara x dan y, kita akan menuliskannya secara sederhana karena ungkapan ini hanya dapat dibaca dengan satu cara: “untuk setiap x terdapat y yang relasinya benar
Sekarang kita sudah bisa menuliskan sistem aksioma yang sedang dipertimbangkan menggunakan rumus. Untuk memudahkan pembacaan, pertama-tama kami akan menyertai aksioma dengan variannya yang ditulis menggunakan bahasa alami.
Pembagian aksioma yang diberikan di bawah ini ke dalam kelompok-kelompok tidak sesuai dengan pembagian yang diadopsi dalam “Prinsip Geometri” Hilbert. Oleh karena itu, kami akan memberikan komentar pada setiap kelompok aksioma tentang hubungan aksioma yang diungkapkan di sini menggunakan rumus dengan aksioma yang diberikan oleh Hilbert.
I. Aksioma koneksi (aksesoris):
(selalu berbaring pada garis lurus yang sama).
(jika titik x, y, z terletak pada garis yang sama, maka titik y, x, z dan titik-titik tersebut juga terletak pada garis yang sama).
(jika x dan y merupakan titik yang berbeda dan jika titik x, y, z dan titik x, y, dan terletak pada garis yang sama, maka x, z, dan juga terletak pada garis yang sama).
(ada titik x, y, z yang tidak terletak pada garis yang sama).
Aksioma 1) dan 2) ganti - dengan mempertimbangkan penghapusan konsep garis lurus - aksioma I 1); aksioma 3) sesuai dengan aksioma bagian kedua aksioma I 3).
II. Aksioma keteraturan
(jika titiknya berbeda, maka selalu ada titik yang terletak di antara y dan z).
Aksioma 1) dan 2), jika dipertimbangkan bersama-sama, merupakan bagian pertama dari aksioma Hilbert II 1); 3) merupakan gabungan bagian terakhir aksioma Hilbert II 1) dengan aksioma II 3); 4) merupakan aksioma aksioma orde bidang II 4).
AKU AKU AKU. Aksioma tentang paralel. Karena aksioma kongruensi tidak muncul dalam daftar aksioma kita, kita harus menyajikan aksioma paralel di sini dalam rumusan berikut: untuk setiap garis dan titik yang terletak di luarnya, hanya ada satu dan hanya satu garis yang melalui titik tersebut dan tidak memotong garis aslinya.
Untuk menyederhanakan rumusan simbolik aksioma ini, kami memperkenalkan singkatan: simbol
Ada apa di belakang sebuah kata yang misterius"aksioma", dari mana asalnya dan apa maksudnya? Seorang siswa kelas 7-8 dapat dengan mudah menjawab pertanyaan ini, karena baru-baru ini, ketika menguasainya kursus dasar planimetri, dia telah menghadapi tugas: "Pernyataan apa yang disebut aksioma, berikan contohnya." Pertanyaan serupa dari orang dewasa kemungkinan besar akan menimbulkan kesulitan. Semakin lama waktu berlalu sejak belajar, semakin sulit mengingat dasar-dasar ilmu pengetahuan. Pada saat yang sama, kata “aksioma” sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari.
Definisi istilah
Jadi pernyataan apa yang disebut aksioma? Contoh aksioma sangat beragam dan tidak terbatas pada satu bidang ilmu saja. Istilah yang disebutkan berasal dari bahasa Yunani kuno dan masuk terjemahan literal menyiratkan "posisi yang diterima".
Definisi tegas istilah ini menyatakan bahwa aksioma merupakan tesis pokok suatu teori yang tidak memerlukan pembuktian. Konsep ini tersebar luas dalam matematika (dan khususnya geometri), logika, dan filsafat.
Lagi Yunani kuno Aristoteles menyatakan hal itu fakta yang jelas tidak diperlukan bukti. Misalnya, tidak ada yang meragukan hal itu sinar matahari hanya terlihat pada siang hari. Teori ini dikembangkan oleh ahli matematika lain - Euclid. Contoh aksioma yang tidak pernah berpotongan adalah miliknya.
Seiring berjalannya waktu, definisi istilah tersebut telah berubah. Kini aksioma tersebut dianggap tidak hanya sebagai permulaan ilmu pengetahuan, tetapi juga sebagai sesuatu yang diperoleh yang menjadi titik tolak bagi teori selanjutnya.
Pernyataan dari kursus sekolah
Anak sekolah dikenalkan dengan postulat yang tidak memerlukan konfirmasi dalam pelajaran matematika. Oleh karena itu, ketika lulusan SMA diberi tugas: “Berikan contoh aksioma”, mereka paling sering mengingat mata kuliah geometri dan aljabar. Berikut adalah contoh jawaban umum:
- untuk suatu garis terdapat titik-titik yang berhubungan dengannya (yaitu terletak pada garis) dan tidak berhubungan dengannya (tidak terletak pada garis);
- garis lurus dapat ditarik melalui dua titik mana pun;
- untuk membagi bidang menjadi dua setengah bidang, Anda perlu menggambar garis lurus.
Aljabar dan aritmatika tidak secara eksplisit memperkenalkan pernyataan seperti itu, namun contoh aksioma dapat ditemukan dalam ilmu-ilmu berikut:
- bilangan apa pun sama dengan bilangan itu sendiri;
- satu mendahului semua bilangan asli;
- jika k=l, maka l=k.
Demikian melalui tesis sederhana selengkapnya konsep yang kompleks, akibat wajar dibuat dan teorema diturunkan.
Membangun teori ilmiah berdasarkan aksioma
Untuk membangun teori ilmiah(tidak peduli bidang penelitian apa yang sedang kita bicarakan), kita memerlukan fondasi - batu bata yang akan digunakan untuk membangunnya. Esensinya adalah kamus istilah dibuat, contoh aksioma dirumuskan, yang menjadi dasar diturunkannya postulat-postulat lainnya.
Glosarium ilmiah harus memuat konsep dasar, yaitu yang tidak dapat ditentukan melalui orang lain:
- Dengan menjelaskan setiap istilah secara konsisten dan menguraikan maknanya, seseorang mencapai dasar-dasar ilmu pengetahuan apa pun.
- Langkah selanjutnya adalah mengidentifikasi serangkaian pernyataan dasar yang cukup untuk membuktikan pernyataan teori lainnya. Postulat dasar itu sendiri diterima tanpa pembenaran.
- Langkah terakhir adalah konstruksi dan derivasi logis dari teorema.
Postulat dari berbagai ilmu
Ekspresi tanpa bukti tidak hanya ada di ilmu eksakta, tetapi juga pada mereka yang biasanya diklasifikasikan sebagai kemanusiaan. Sebuah contoh yang mencolok- filsafat yang mengartikan aksioma sebagai pernyataan yang dapat diketahui tanpa pengetahuan praktis.
Ada contoh aksioma di ilmu hukum: “Anda tidak bisa menilai tindakan Anda sendiri.” Berdasarkan pernyataan ini, norma diturunkan hukum perdata- ketidakberpihakan dalam proses peradilan, yaitu hakim tidak dapat mempertimbangkan suatu perkara jika ia berkepentingan baik langsung maupun tidak langsung.
Tidak semuanya dianggap remeh
Untuk memahami perbedaan antara aksioma yang benar dan ekspresi sederhana, yang dinyatakan benar, perlu dilakukan analisis sikap terhadapnya. Misalnya, jika kita berbicara tentang agama, yang segala sesuatunya didasarkan pada keyakinan, maka prinsipnya tersebar luas di sana keyakinan penuh bahwa sesuatu itu benar karena tidak dapat dibuktikan. Dan dalam komunitas ilmiah mereka berbicara tentang ketidakmungkinan memverifikasi posisi apa pun, oleh karena itu, ini akan menjadi sebuah aksioma. Kesediaan untuk ragu dan mengecek ulang itulah yang membedakan ilmuwan sejati.
