Biarkan nilai yang diberikan menjadi positif seri angka$ \jumlah_(n=1) ^\infty a_n $. Mari kita rumuskan tanda yang diperlukan konvergensi seri:

Jika suatu deret konvergen, maka limit suku persekutuannya adalah sama dengan nol: $$ \lim _(n \hingga \infty) a_n = 0 $$
Jika limit suku persekutuan suatu deret tidak sama dengan nol, maka deret tersebut divergen: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$

Deret harmonik umum

Deret ini ditulis sebagai berikut: $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $. Selain itu, bergantung pada $p$, deret tersebut konvergen atau divergen:

Jika $ p = 1 $, maka deret $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ divergen dan disebut harmonik, padahal suku umum $ a_n = \frac(1 )( n) \ke 0 $. Mengapa demikian? Pernyataan tersebut menyatakan bahwa kriteria yang diperlukan tidak memberikan jawaban tentang konvergensi, tetapi hanya tentang divergensi deret tersebut. Oleh karena itu, jika kita melamar bukti yang cukup, seperti uji integral Cauchy, maka akan terlihat jelas bahwa deret tersebut divergen!
Jika $p \leqslant 1 $, maka deretnya divergen. Contoh, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, dimana $ p = \frac(1)(2) $
Jika $p > 1$, maka deret tersebut konvergen. Contoh, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, dimana $ p = \frac(3)(2) > 1 $

Contoh solusi

Contoh 1
Buktikan divergensi deret $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(n)(6n+1) $
Larutan
Deretnya positif, kita tuliskan suku umumnya: $$ a_n = \frac(n)(6n+1) $$ Kami menghitung batasnya di $ n \to \infty $: $$ \lim _(n \ke \infty) \frac(n)(6n+1) = \frac(\infty)(\infty) = $$ Kita keluarkan $n$ dari tanda kurung pada penyebutnya, lalu lakukan pengurangannya: $$ = \lim_(n \ke \infty) \frac(n)(n(6+\frac(1)(n))) = \lim_(n \ke \infty) \frac(1)(6 + \frac(1)(n)) = \frac(1)(6) $$ Karena kita menemukan bahwa $ \lim_(n\to \infty) a_n = \frac(1)(6) \neq 0 $, maka uji Cauchy yang diperlukan tidak terpenuhi dan deretnya menyimpang. Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah Anda, kirimkan kepada kami. Kami akan menyediakan solusi terperinci. Anda akan dapat melihat kemajuan perhitungan dan mendapatkan informasi. Ini akan membantu Anda mendapatkan nilai dari guru Anda tepat waktu!
Menjawab
Serial ini berbeda

Contoh No.9

Selidiki konvergensi deret $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) $.

Karena batas bawah penjumlahan adalah 1, suku umum deret tersebut ditulis di bawah tanda penjumlahan: $u_n=\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n) -1))$ . Pertama, mari kita tentukan apakah deret ini positif, mis. Apakah pertidaksamaan $u_n≥ 0$ benar? Faktor $\frac(1)(\sqrt(n))> 0$, ini jelas, tapi bagaimana dengan tangen busurnya? Tidak ada yang rumit dengan arctange: karena $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) >0$, maka $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))>0 $. Kesimpulan: seri kami positif. Mari kita terapkan kriteria perbandingan untuk mempelajari masalah konvergensi deret ini.

Pertama, mari kita pilih seri yang akan kita bandingkan. Jika $n\ke\infty$, maka $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\ke 0$. Oleh karena itu, $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Mengapa demikian? Jika kita melihat tabel di akhir dokumen ini, kita akan melihat rumus $\arctg x\sim x$ untuk $x\to 0$. Kami menggunakan rumus ini, hanya dalam kasus kami $x=\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$.

Dalam ekspresi $\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$ kita mengganti tangen busur dengan pecahan $\frac(\pi)(\ persegi(2n- 1))$. Kita mendapatkan yang berikut: $\frac(1)(\sqrt(n))\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Kami telah mengerjakan pecahan seperti itu sebelumnya. Dengan membuang elemen “ekstra”, kita mendapatkan pecahan $\frac(1)(\sqrt(n)\cdot\sqrt(n))=\frac(1)(n^(\frac(1)(2) +\frac (1)(3)))=\frac(1)(n^(\frac(5)(6)))$. Dengan deret $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ yang akan kita bandingkan seri yang diberikan, menggunakan . Karena $\frac(5)(6)≤ 1$, maka deret $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ menyimpang.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1) (n^\frac(5)(6)))=\kiri|\frac(0)(0)\kanan|=\kiri|\begin(sejajar)&\frac(\pi)(\sqrt(2n- 1))\ke 0;\\&\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)).\end(sejajar) \benar| =\lim_(n\ke\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\cdot\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1)( n^\frac(5)(6))) =\\=\pi\cdot\lim_(n\ke\infty)\frac(\sqrt(n))(\sqrt(2n-1)) =\pi \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(1)(\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\pi\cdot\frac(1)(\sqrt(2-0) )=\frac(\pi)(\sqrt(2)). $$

Sejak $0<\frac{\pi}{\sqrt{2}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.

Saya perhatikan bahwa dalam kasus ini, alih-alih arctangent dalam ekspresi suku umum deret tersebut, mungkin ada sinus, arcsinus, atau tangen. Solusinya akan tetap sama.

Menjawab: serinya menyimpang.

Contoh No.10

Periksa deret $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(1-\cos\frac(7)(n)\right)$ untuk mengetahui konvergensi.

Karena batas bawah penjumlahan adalah 1, suku persekutuan dari deret tersebut ditulis di bawah tanda penjumlahan: $u_n=1-\cos\frac(7)(n)$. Karena untuk nilai berapa pun $x$ kita memiliki $-1≤\cos x≤ 1$, maka $\cos\frac(7)(n)≤ 1$. Oleh karena itu, $1-\cos\frac(7)(n)≥ 0$, yaitu $u_n≥ 0$. Kita sedang berhadapan dengan rangkaian positif.

Jika $n\ke\infty$, maka $\frac(7)(n)\ke 0$. Oleh karena itu, $1-\cos\frac(7)(n)\sim \frac(\left(\frac(7)(n)\right)^2)(2)=\frac(49)(2n^2) $. Mengapa demikian? Jika kita melihat tabel di akhir dokumen ini, kita akan melihat rumus $1-\cos x \sim \frac(x^2)(2)$ untuk $x\to 0$. Kami menggunakan rumus ini, hanya dalam kasus kami $x=\frac(7)(n)$.

Mari kita ganti ekspresi $1-\cos\frac(7)(n)$ dengan $\frac(49)(2n^2)$. Dengan membuang elemen “ekstra”, kita sampai pada pecahan $\frac(1)(n^2)$. Dengan deret $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ kita akan membandingkan deret yang diberikan menggunakan . Karena $2 > 1$, deret $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ konvergen.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(1-\cos\frac(7)(n))(\frac(1)(n^2))=\left|\frac(0)(0 )\kanan|= \kiri|\begin(sejajar)&\frac(7)(n)\ke 0;\\&1-\cos\frac(7)(n)\sim\frac(49)(2n^ 2).\end(sejajar)\kanan| =\lim_(n\hingga\infty)\frac(\frac(49)(2n^2))(\frac(1)(n^2))=\frac(49)(2). $$

Sejak $0<\frac{49}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$.

Menjawab: deret tersebut konvergen.

Contoh No.11

Selidiki konvergensi deret $\sum\limits_(n=1)^(\infty)n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$.

Karena batas bawah penjumlahan adalah 1, suku umum deret tersebut ditulis di bawah tanda penjumlahan: $u_n=n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$. Karena kedua faktornya positif, maka $u_n >0$, yaitu kita berhadapan dengan rangkaian positif.

Jika $n\ke\infty$, maka $\frac(3)(n)\ke 0$. Oleh karena itu, $e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3)(n)$. Rumus yang kami gunakan terdapat pada tabel di akhir dokumen ini: $e^x-1 \sim x$ di $x\to 0$. Dalam kasus kami, $x=\frac(3)(n)$.

Mari kita ganti ekspresi $e^\frac(3)(n)-1$ dengan $\frac(3)(n)$, sehingga memperoleh $n\cdot\left(\frac(3)(n)\right )^ 2=\frac(9)(n)$. Menghapus nomor tersebut, kita sampai pada pecahan $\frac(1)(n)$. Dengan deret harmonik $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ kita akan membandingkan deret yang diberikan menggunakan . Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa deret harmonik divergen.

$$ \lim_(n\ke\infty)\frac(n\left(e^\frac(3)(n)-1\kanan)^2)(\frac(1)(n))=\lim_( n\ke\infty)\frac(\left(e^\frac(3)(n)-1\kanan)^2)(\frac(1)(n^2)) =\left|\frac(0 )(0)\kanan|=\kiri|\begin(sejajar)&\frac(3)(n)\ke 0;\\&e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3) (n).\end(rata)\kanan| =\lim_(n\ke\infty)\frac(\frac(9)(n^2))(\frac(1)(n^2))=9. $$

Sejak $0<9<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$.

Menjawab: serinya menyimpang.

Contoh No.12

Selidiki konvergensi deret $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$.

Karena batas bawah penjumlahan adalah 1, suku umum deret tersebut ditulis di bawah tanda penjumlahan: $u_n=\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$. Karena untuk setiap nilai $n$ kita memiliki $n^3+7 > n^3+5$, maka $\frac(n^3+7)(n^3+5) > 1$. Oleh karena itu, $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5) > 0$, yaitu $u_n > 0$. Kita sedang berhadapan dengan rangkaian positif.

Agak sulit untuk memperhatikan kesetaraan yang diperlukan dalam kasus ini. Mari kita tuliskan ekspresi di bawah logaritma dalam bentuk yang sedikit berbeda:

$$ \ln\frac(n^3+7)(n^3+5)=\ln\frac(n^3+5+2)(n^3+5)=\ln\kiri(\frac( n^3+5)(n^3+5)+\frac(2)(n^3+5)\kanan)=\ln\kiri(1+\frac(2)(n^3+5)\ Kanan). $$

Sekarang rumusnya terlihat: $\ln(1+x)\sim x$ untuk $x\ke 0$. Karena untuk $n\to\infty$ kita memiliki $\frac(2)(n^3+5)\to 0$, maka $\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5) \kanan)\sim\frac(2)(n^3+5)$.

Mari kita ganti ekspresi $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ dengan $\frac(2)(n^3+5)$. Dengan membuang elemen “ekstra”, kita sampai pada pecahan $\frac(1)(n^3)$. Dengan deret $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ kita akan membandingkan deret yang diberikan menggunakan . Karena $3 > 1$, deret $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ konvergen.

$$ \lim_(n\ke\infty)\frac(\ln\frac(n^3+7)(n^3+5))(\frac(1)(n^3))=\lim_(n \ke\infty)\frac(\ln\kiri(1+\frac(2)(n^3+5)\kanan))(\frac(1)(n^3))=\kiri|\frac( 0)(0)\kanan|= \kiri|\begin(sejajar)&\frac(2)(n^3+5)\ke 0;\\&\ln\kiri(1+\frac(2)( ) n^3+5)\kanan)\sim\frac(2)(n^3+5).\end(sejajar)\kanan|=\\ =\lim_(n\ke\infty)\frac(\ frac (2)(n^3+5))(\frac(1)(n^3)) =\lim_(n\ke\infty)\frac(2n^3)(n^3+5)=\ lim_ (n\ke\infty)\frac(2)(1+\frac(5)(n^3))=\frac(2)(1+0)=2. $$

Sejak $0<2<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$.

Menjawab: deret tersebut konvergen.

Contoh No.13

Jelajahi rangkaian $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n^n)(7^n\cdot n$ на сходимость.!}

Karena batas bawah penjumlahan adalah 1, suku persekutuan dari deret tersebut ditulis di bawah tanda penjumlahan: $u_n=\frac(n^n)(7^n\cdot n$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.!}

Baris untuk boneka. Contoh solusi

Saya menyambut semua yang selamat di tahun kedua! Dalam pelajaran ini, atau lebih tepatnya, dalam serangkaian pelajaran, kita akan belajar bagaimana mengelola baris. Topiknya tidak terlalu rumit, namun untuk menguasainya membutuhkan pengetahuan sejak tahun pertama, khususnya yang perlu Anda pahami apa itu batasnya, dan dapat menemukan batasan yang paling sederhana. Namun tidak apa-apa, seperti yang saya jelaskan, saya akan memberikan link yang relevan dengan pelajaran yang diperlukan. Bagi sebagian pembaca, topik deret matematika, metode penyelesaian, tanda, teorema mungkin tampak aneh, dan bahkan sok, tidak masuk akal. Dalam hal ini, Anda tidak perlu terlalu “terbebani”; kami menerima fakta apa adanya dan cukup belajar menyelesaikan tugas-tugas yang umum dan umum.

1) Baris untuk boneka, dan untuk samovar langsung isi :)

Untuk persiapan super cepat mengenai topik tersebut Ada kursus ekspres dalam format pdf, yang dengannya Anda benar-benar dapat “meningkatkan” latihan Anda hanya dalam sehari.

Konsep deret bilangan

Umumnya seri angka dapat ditulis seperti ini: .
Di Sini:
– ikon penjumlahan matematika;
– suku umum deret tersebut(ingat istilah sederhana ini);
– variabel “penghitung”. Notasinya berarti penjumlahan dilakukan dari 1 sampai “plus infinity”, yaitu pertama dengan kita, lalu, lalu, dan seterusnya - hingga tak terhingga. Alih-alih variabel, variabel atau kadang-kadang digunakan. Penjumlahan tidak harus dimulai dari satu; dalam beberapa kasus dapat dimulai dari nol, dari dua, atau dari mana pun bilangan asli.

Sesuai dengan variabel "penghitung", rangkaian apa pun dapat diperluas:
- dan seterusnya, tanpa batas waktu.

Komponen - Ini ANGKA yang disebut anggota baris. Jika semuanya non-negatif (lebih besar dari atau sama dengan nol), maka deret tersebut disebut deret bilangan positif.

Contoh 1

Omong-omong, ini sudah menjadi tugas "pertempuran" - dalam praktiknya, cukup sering beberapa suku dari suatu deret perlu dituliskan.

Pertama, lalu:
Lalu, lalu:
Lalu, lalu:

Prosesnya bisa dilanjutkan tanpa batas waktu, namun sesuai syaratnya harus dituliskan tiga suku pertama deret tersebut, maka kita tuliskan jawabannya:

Harap perhatikan perbedaan mendasar dari urutan nomor,
yang syarat-syaratnya tidak diringkas, tetapi dianggap demikian.

Contoh 2

Tuliskan tiga suku pertama deret tersebut

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri, jawabannya ada di akhir pelajaran

Bahkan untuk rangkaian yang sekilas rumit, tidak sulit untuk mendeskripsikannya dalam bentuk yang diperluas:

Contoh 3

Tuliskan tiga suku pertama deret tersebut

Faktanya, tugas tersebut dilakukan secara lisan: substitusikan secara mental ke dalam suku umum deret tersebut pertama, lalu dan. Sebagai akibat:

Kami meninggalkan jawabannya sebagai berikut: Suku deret yang dihasilkan sebaiknya tidak disederhanakan, itu jangan tampil tindakan: , , . Mengapa? Jawabannya ada pada formulir jauh lebih mudah dan nyaman bagi guru untuk memeriksanya.

Terkadang tugas sebaliknya terjadi

Contoh 4

Tidak ada algoritma solusi yang jelas di sini, Anda hanya perlu melihat polanya.
Dalam hal ini:

Untuk memeriksanya, rangkaian yang dihasilkan dapat “ditulis kembali” dalam bentuk yang diperluas.

Namun berikut ini contoh yang sedikit lebih rumit untuk Anda selesaikan sendiri:

Contoh 5

Tuliskan jumlah dalam bentuk yang diciutkan dengan suku umum deret tersebut

Lakukan pengecekan dengan menulis kembali rangkaian tersebut dalam bentuk diperluas

Konvergensi deret bilangan

Salah satu tujuan utama dari topik ini adalah studi deret untuk konvergensi. Dalam hal ini, ada dua kasus yang mungkin terjadi:

1) Barismenyimpang. Artinya, jumlah tak terhingga sama dengan tak terhingga: atau jumlah secara umum tidak ada, seperti, misalnya, dalam serial
(Omong-omong, ini adalah contoh deret dengan suku negatif). Contoh yang baik dari deret bilangan divergen ditemukan di awal pelajaran: . Di sini cukup jelas bahwa setiap anggota deret berikutnya lebih besar dari yang sebelumnya dan, oleh karena itu, deretnya menyimpang. Contoh yang lebih sepele lagi: .

2) Barismenyatu. Artinya, jumlah tak terhingga sama dengan sejumlah nomor terbatas: . Silakan: – deret ini konvergen dan jumlahnya nol. Sebagai contoh yang lebih bermakna, kita dapat mengutip menurun tanpa batas perkembangan geometri, yang kita kenal sejak sekolah: . Jumlah suku-suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga dihitung dengan menggunakan rumus: , dimana adalah suku pertama barisan tersebut, dan merupakan basisnya, yang biasanya ditulis dalam bentuk benar pecahan Dalam hal ini: , . Dengan demikian: Diperoleh suatu bilangan berhingga yang berarti deret tersebut konvergen, dan hal ini perlu dibuktikan.

Namun, pada sebagian besar kasus carilah jumlah deret tersebut tidak sesederhana itu, oleh karena itu dalam prakteknya, untuk mempelajari konvergensi suatu deret, digunakan tanda-tanda khusus yang telah dibuktikan secara teoritis.

Ada beberapa tanda konvergensi deret: uji yang diperlukan untuk kekonvergenan suatu deret, uji perbandingan, uji D'Alembert, uji Cauchy, tanda Leibniz dan beberapa tanda lainnya. Kapan menggunakan tanda yang mana? Itu tergantung pada anggota umum dari rangkaian tersebut, secara kiasan, pada "pengisian" rangkaian tersebut. Dan segera kami akan menyelesaikan semuanya.

! Untuk mempelajari pelajaran lebih lanjut, Anda harus memahami dengan baik apa itu batasan dan bagus untuk bisa mengungkap ketidakpastian suatu tipe. Untuk mengulas atau mempelajari materi, silakan merujuk ke artikel Batasan. Contoh solusi.

Tanda penting dari konvergensi suatu deret

Jika suatu deret konvergen, maka suku persekutuannya cenderung nol: .

Hal sebaliknya tidak berlaku pada kasus umum, yaitu jika , maka deret tersebut dapat konvergen atau divergen. Oleh karena itu tanda ini digunakan untuk pembenaran divergensi baris:

Jika suku umum deret tersebut tidak cenderung nol, maka deretnya divergen

Atau singkatnya: jika , maka deretnya divergen. Secara khusus, situasi mungkin terjadi ketika batasnya tidak ada sama sekali, seperti membatasi. Jadi mereka langsung membenarkan perbedaan satu seri :)

Namun lebih sering, limit deret divergen sama dengan tak terhingga, dan alih-alih “x”, ia bertindak sebagai variabel “dinamis”. Mari kita segarkan kembali pengetahuan kita: limit dengan “x” disebut limit fungsi, dan limit dengan variabel “en” disebut limit barisan numerik. Perbedaan yang jelas adalah bahwa variabel "en" mengambil nilai natural yang diskrit (terputus-putus): 1, 2, 3, dst. Namun fakta ini tidak banyak berpengaruh pada metode pemecahan batasan dan metode pengungkapan ketidakpastian.

Mari kita buktikan bahwa deret dari contoh pertama divergen.
Anggota umum dari seri ini:

Kesimpulan: baris menyimpang

Fitur yang diperlukan sering digunakan dalam tugas-tugas praktis nyata:

Contoh 6

Kami memiliki polinomial pada pembilang dan penyebutnya. Yang membaca dan memahami dengan cermat cara mengungkapkan ketidakpastian dalam artikel Batasan. Contoh solusi, saya mungkin menangkapnya ketika pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya setara, maka batasnya adalah nomor terbatas .

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan

Seri sedang dipelajari menyimpang, karena kriteria yang diperlukan untuk konvergensi deret tersebut tidak terpenuhi.

Contoh 7

Periksa deret tersebut untuk konvergensi

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran

Jadi, ketika kita diberikan seri angka APAPUN, Pertama kita periksa (secara mental atau draf): apakah suku umumnya cenderung nol? Jika tidak, kita rumuskan penyelesaiannya berdasarkan contoh no. 6, 7 dan berikan jawaban deretnya divergen.

Jenis deret divergen apa yang telah kita pertimbangkan? Jelas sekali bahwa deret tersebut suka atau berbeda. Rangkaian dari contoh No. 6, 7 juga berbeda: bila pembilang dan penyebutnya mengandung polinomial, dan pangkat utama pembilangnya lebih besar atau sama dengan pangkat utama penyebutnya. Dalam semua kasus ini, saat menyelesaikan dan menyiapkan contoh, kami menggunakan tanda konvergensi deret yang diperlukan.

Mengapa tanda itu disebut diperlukan? Pahami dengan cara yang paling alami: agar suatu deret bertemu, diperlukan, sehingga suku persekutuannya cenderung nol. Dan semuanya akan bagus, tapi masih ada lagi tidak cukup. Dengan kata lain, jika suku persekutuan suatu deret cenderung nol, BUKAN BERARTI deret tersebut konvergen– ia bisa menyatu dan menyimpang!

Bertemu:

Seri ini disebut deret harmonik. Harap diingat! Di antara seri nomor, dia adalah balerina prima. Lebih tepatnya, seorang balerina =)

Sangat mudah untuk melihatnya , TETAPI. Dalam teori analisis matematis telah dibuktikan bahwa deret harmonik divergen.

Anda juga harus mengingat konsep deret harmonik umum:

1) Baris ini menyimpang pada . Misalnya deret , , divergen.
2) Baris ini menyatu pada . Misalnya deret , , , konvergen. Saya tekankan sekali lagi bahwa dalam hampir semua tugas praktek sama sekali tidak penting bagi kita berapa jumlah, misalnya deret tersebut, fakta konvergensinya sangatlah penting.

Ini adalah fakta dasar dari teori deret yang telah dibuktikan, dan ketika memecahkan contoh praktis apa pun, Anda dapat dengan aman merujuk, misalnya, pada divergensi suatu deret atau konvergensi suatu deret.

Secara umum materi yang dimaksud sangat mirip dengan mempelajari integral tak wajar, dan akan lebih mudah bagi mereka yang telah mempelajari topik ini. Nah, bagi yang belum mempelajarinya, lebih mudah dua kali lipat :)

Lalu, apa yang harus dilakukan jika suku persekutuan suatu deret CENDERUNG nol? Dalam kasus seperti itu, untuk menyelesaikan contoh, Anda perlu menggunakan yang lain, memadai tanda-tanda konvergensi/divergensi:

Kriteria perbandingan deret bilangan positif

Saya menarik perhatian Anda, bahwa di sini kita hanya berbicara tentang deret bilangan positif (dengan istilah non-negatif).

Ada dua tanda perbandingan, salah satunya akan saya sebutkan saja tanda perbandingan, lain - batas perbandingan.

Mari kita pertimbangkan dulu tanda perbandingan, atau lebih tepatnya, bagian pertama:

Perhatikan dua deret bilangan positif dan . Jika diketahui, bahwa seri – menyatu, dan, dimulai dari suatu bilangan, pertidaksamaannya dipenuhi, lalu deretnya juga menyatu.

Dengan kata lain: Dari konvergensi deret yang sukunya lebih besar, diikuti konvergensi deret yang sukunya lebih kecil. Dalam praktiknya, ketimpangan sering kali terjadi pada semua nilai:

Contoh 8

Periksa deret tersebut untuk konvergensi

Pertama, mari kita periksa(secara mental atau dalam draft) eksekusi:
, yang berarti tidak mungkin “lepas dengan sedikit darah”.

Kami melihat ke dalam "paket" deret harmonik umum dan, dengan fokus pada tingkat tertinggi, kami menemukan deret serupa: Dari teori diketahui bahwa deret tersebut konvergen.

Untuk semua bilangan asli, pertidaksamaan yang nyata berlaku:

dan penyebut yang lebih besar berhubungan dengan pecahan yang lebih kecil:
, artinya berdasarkan kriteria perbandingan, rangkaian yang diteliti menyatu bersama dengan di sebelah.

Jika Anda ragu, Anda selalu dapat menjelaskan ketimpangan tersebut secara mendetail! Mari kita tuliskan pertidaksamaan yang dikonstruksi untuk beberapa bilangan “en”:
Jika , maka
Jika , maka
Jika , maka
Jika , maka
….
dan kini sangat jelas terlihat adanya ketimpangan terpenuhi untuk semua bilangan asli “en”.

Mari kita menganalisis kriteria perbandingan dan contoh penyelesaian dari sudut pandang informal. Namun, mengapa rangkaian tersebut menyatu? Inilah alasannya. Jika suatu deret konvergen, maka deret tersebut mempunyai beberapa terakhir jumlah: . Dan karena semua anggota serial lebih sedikit suku-suku yang bersesuaian dari deret tersebut, maka jelaslah bahwa jumlah deret tersebut tidak boleh lebih besar dari bilangan tersebut, terlebih lagi, tidak boleh sama dengan tak terhingga!

Demikian pula, kita dapat membuktikan konvergensi deret “serupa”: , , dll.

! Harap dicatat, bahwa dalam semua kasus kita memiliki “plus” pada penyebutnya. Kehadiran setidaknya satu kekurangan dapat mempersulit penggunaan produk tersebut. tanda perbandingan. Misalnya, jika suatu deret dibandingkan dengan deret konvergen dengan cara yang sama (tuliskan beberapa pertidaksamaan untuk suku pertama), maka kondisi tersebut tidak akan terpenuhi sama sekali! Di sini Anda dapat mengelak dan memilih deret konvergen lain untuk perbandingan, misalnya, tetapi hal ini akan memerlukan reservasi yang tidak perlu dan kesulitan lain yang tidak perlu. Oleh karena itu, untuk membuktikan kekonvergenan suatu deret lebih mudah digunakan batas perbandingan(lihat paragraf berikutnya).

Contoh 9

Periksa deret tersebut untuk konvergensi

Dan dalam contoh ini, saya sarankan Anda mempertimbangkannya sendiri bagian kedua dari atribut perbandingan:

Jika diketahui, bahwa seri – menyimpang, dan mulai dari nomor tertentu (seringkali sejak awal), pertidaksamaan terpenuhi, lalu deretnya juga menyimpang.

Dengan kata lain: Dari divergensi suatu deret yang suku-sukunya lebih kecil timbullah divergensi suatu deret yang suku-sukunya lebih besar.

Apa yang perlu dilakukan?
Perlu dilakukan perbandingan deret yang diteliti dengan deret harmonik divergen. Untuk pemahaman yang lebih baik, susunlah beberapa ketimpangan spesifik dan pastikan ketimpangan tersebut adil.

Solusi dan contoh desain ada di akhir pelajaran.

Sebagaimana telah disebutkan, dalam praktiknya, kriteria perbandingan yang baru saja dibahas jarang digunakan. Pekerja keras sebenarnya dari deret bilangan adalah batas perbandingan, dan dalam hal frekuensi penggunaan hanya dapat bersaing dengannya tanda d'Alembert.

Uji batas untuk membandingkan deret positif numerik

Perhatikan dua deret bilangan positif dan . Jika limit perbandingan suku-suku persekutuan deret tersebut sama dengan bilangan berhingga yang bukan nol: , kemudian kedua deret tersebut konvergen atau divergen secara bersamaan.

Kapan kriteria pembatas digunakan? Kriteria pembatas untuk perbandingan digunakan ketika “pengisian” deret tersebut adalah polinomial. Salah satu polinomial pada penyebutnya, atau polinomial pada pembilang dan penyebutnya. Secara opsional, polinomial dapat ditempatkan di bawah akar.

Mari kita berurusan dengan baris yang tanda perbandingan sebelumnya terhenti.

Contoh 10

Periksa deret tersebut untuk konvergensi

Mari kita bandingkan deret ini dengan deret konvergen. Kami menggunakan kriteria pembatas untuk perbandingan. Diketahui deret tersebut konvergen. Jika kita bisa menunjukkannya sama terbatas, bukan nol bilangan tersebut, maka terbukti bahwa deret tersebut juga konvergen.

Diperoleh bilangan berhingga bukan nol yang berarti deret yang diteliti adalah menyatu bersama dengan di sebelah.

Mengapa serial ini dipilih untuk perbandingan? Jika kita memilih deret lain dari “sangkar” deret harmonik umum, maka kita tidak akan berhasil mencapai batasnya. terbatas, bukan nol angka (Anda dapat bereksperimen).

Catatan: ketika kita menggunakan kriteria perbandingan pembatas, tidak masalah, bagaimana cara menyusun relasi anggota-anggota biasa, pada contoh yang dibahas, relasi tersebut dapat disusun sebaliknya: - hal ini tidak akan mengubah hakikat persoalan.

Aplikasi

Situs layanan online akan membantu Anda mencari jumlah suatu deret secara online, baik deret bilangan maupun deret fungsional. Penjumlahan suatu deret bagi ahli matematika merupakan sesuatu yang istimewa dalam memahami analisis besaran numerik dan lolos ke limit. Banyak karya bermanfaat telah dikatakan dan ditulis tentang solusi umum rangkaian selama beberapa abad terakhir. Secara pribadi, merupakan tugas penting bagi setiap guru untuk menyampaikan akumulasi pengetahuannya di bidang matematika kepada pendengar akhir, yaitu siswa. Mencari jumlah deret 1/n itu semudah mengupas buah pir. Jumlah deret 1/n^2 akan disajikan dalam notasi singkat. Selain menentukan jumlah deret online dalam barisan numerik, situs tersebut juga dapat menemukan apa yang disebut dengan jumlah parsial deret tersebut secara online. Hal ini tentunya akan membantu dalam representasi analitis, ketika jumlah suatu deret online perlu dinyatakan dan dicari sebagai solusi terhadap limit suatu deret numerik dari jumlah parsial suatu deret. Pada intinya, penjumlahan suatu deret tidak lebih dari operasi kebalikan dari perluasan suatu fungsi menjadi deret. Transaksi-transaksi tersebut hampir bersifat timbal balik. Kebetulan konvergensi suatu deret dipelajari setelah menyelesaikan mata kuliah analisis matematis setelah limit. Solusi yang ditemukan dari deret tersebut berarti hasil mempelajari konvergensi atau divergensinya. Hasil ini ditentukan dengan jelas. Dibandingkan dengan analog, situs ini memiliki keunggulan yang tidak dapat disangkal, karena dapat menemukan jumlah deret online, baik deret numerik maupun fungsional, yang memungkinkan Anda menentukan secara jelas luas konvergensi deret awal, menggunakan hampir semua metodologi yang dikenal sains. Berdasarkan teori deret, syarat yang diperlukan setiap saat untuk kekonvergenan suatu barisan bilangan adalah persamaan limit suku persekutuan barisan bilangan tersebut hingga nol di tak terhingga. Namun kondisi ini tidak cukup untuk menetapkan konvergensi suatu deret bilangan secara online. Mari kita menyimpang sedikit dari masalah yang mendesak dan berpikir dari posisi filosofis yang berbeda tentang deret dalam matematika. Bagi Anda, solusi seri online ini akan memungkinkan Anda menjadi kalkulator dan asisten terbaik setiap hari. Tidak ada keinginan untuk duduk melewati hari-hari musim dingin yang indah sambil belajar ketika jumlah seri sudah ada di depan mata Anda. Jika seseorang perlu menentukan peredaran suatu rangkaian, diperlukan waktu beberapa detik setelah pertama kali memasukkan data yang benar. Meskipun situs serupa memerlukan kompensasi atas layanan mereka, kami mencoba bermanfaat bagi semua orang yang ingin mencoba mempelajari sendiri cara menyelesaikan contoh menggunakan layanan sederhana kami. Sesuai kebijaksanaan Anda, kami dapat menyajikan solusi deret secara online di perangkat modern apa pun, yaitu di browser apa pun. Jadi, menemukan dan membuktikan bahwa jumlah deret 1/n divergen hingga tak terhingga akan menjadi tugas yang sederhana. Ingatlah selalu bagaimana jumlah deret 1/n^2 menyatu dan memiliki makna semantik yang sangat besar dalam matematika. Namun jumlah deret berhingga biasanya ditentukan setelah menggunakan, misalnya uji integral atau uji Raabe, yang hanya sedikit orang yang mengetahuinya di universitas biasa. Dengan menentukan konvergensi deret secara online, para ilmuwan telah memperoleh berbagai kriteria yang memadai untuk konvergensi atau divergensi suatu deret. Metode yang paling terkenal dan sering digunakan adalah uji D'Alembert, uji konvergensi Cauchy, uji konvergensi Raabe, uji perbandingan deret bilangan, serta uji integral konvergensi suatu deret bilangan deret yang tanda-tanda sukunya harus bergantian secara ketat patut mendapat perhatian khusus satu demi satu dari minus ke plus dan sebaliknya, dan nilai absolut deret bilangan ini berkurang secara monoton, yaitu seragam ternyata untuk deret bilangan seperti itu tanda kekonvergenan deret bolak-balik online sudah cukup, yaitu limit suku umum sama dengan nol agar setara dengan metode lain yang digunakan. Konvergensi suatu deret membutuhkan banyak waktu, karena prosesnya sendiri melibatkan studi fungsi secara lengkap.. Ada banyak situs berbeda yang menyediakan layanan untuk menghitung jumlah deret secara online, serta penguraian fungsi secara deret online pada titik mana pun dari domain definisi fungsi yang diteliti. Anda dapat dengan mudah memperluas suatu fungsi menjadi rangkaian online di layanan ini, karena fungsi perhitungan turunan digunakan, tetapi operasi kebalikannya - menemukan jumlah rangkaian fungsional online, yang anggotanya bukan angka, tetapi fungsi, seringkali tidak mungkin dilakukan. dalam praktiknya karena kesulitan yang timbul karena kurangnya sumber daya komputasi yang diperlukan.. Gunakan sumber daya kami untuk menghitung jumlah seri secara online, periksa dan konsolidasikan pengetahuan Anda. Jika jumlah deretnya berbeda, maka kita tidak akan mendapatkan hasil yang diharapkan untuk tindakan selanjutnya dalam beberapa tugas umum. Hal ini dapat dihindari terlebih dahulu dengan menerapkan pengetahuan Anda sebagai seorang spesialis. Terakhir, perlu disebutkan bagaimana penjumlahan deret 1/n merupakan ekspresi yang paling sederhana dan sering dikutip sebagai contoh. Bahkan ketika mereka ingin menunjukkan suatu tanda konvergensi dalam suatu kasus, mereka membuktikannya untuk jumlah deret 1/n^2, karena representasi seperti itu transparan bagi siswa dan siswa tidak menjadi bingung. Karena kita mempunyai ekspresi untuk suku umum kompleks dari deret tersebut, jumlah deret berhingga akan berguna jika konvergensinya terbukti untuk deret mayor (relatif terhadap deret aslinya). Di sisi lain, konvergensi deret akan terjadi terlepas dari kondisi awal permasalahan. Solusi seri terbaik hanya dapat ditawarkan oleh website layanan kami, karena hanya kami yang menjamin penghematan waktu Anda dengan mengkorelasikan biaya perhitungan dengan kegunaan dan keakuratan hasil. Karena jumlah yang diperlukan dari suatu deret dalam banyak kasus dapat diwakili oleh deret mayor, maka lebih tepat untuk mempelajarinya. Oleh karena itu, konvergensi deret dari suku umum mayoritas akan dengan jelas menunjukkan konvergensi ekspresi utama, dan masalahnya akan segera teratasi dengan sendirinya. Guru dari institusi pendidikan tinggi juga dapat menggunakan solusi deret kami secara online dan memeriksa pekerjaannya taruna mereka. Untuk beberapa kasus, jumlah suatu deret dapat dihitung dalam suatu soal fisika, kimia atau suatu disiplin ilmu terapan, tanpa terjebak dalam perhitungan rutin, agar tidak menyimpang dari arah utama ketika mempelajari suatu proses alam. Untuk memulainya, mereka biasanya menuliskan ekspresi yang paling disederhanakan dalam bentuk jumlah deret 1/n dan pendekatan ini dapat dibenarkan. Bilangan Pi terdapat dalam banyak operasi komputasi, tetapi jumlah deret 1/n^2 dapat dikatakan sebagai contoh klasik konvergensi deret harmonik di tak terhingga. Apa yang dimaksud dengan ungkapan “jumlah deret berhingga”? Artinya, ia konvergen dan limit jumlah parsialnya mempunyai nilai numerik tertentu. Jika konvergensi rangkaian dikonfirmasi dan ini mempengaruhi stabilitas akhir sistem, maka parameter masukan masalah dapat diubah dan coba lagi. Terakhir, kami ingin memberi Anda nasihat yang sekilas tersirat, namun sangat berguna dalam praktik. Bahkan jika Anda memiliki pengalaman yang cukup dalam menyelesaikan deret dan tidak memerlukan layanan tersebut untuk menyelesaikan deret secara online, kami sarankan Anda mulai mencari jumlah deret dengan menentukan konvergensi deret tersebut. Luangkan waktu sebentar untuk tindakan ini, menggunakan situs ini, sehingga selama penghitungan jumlah deret, ingatlah fakta ini. Tidak akan terlalu banyak! Banyak yang telah ditulis tentang jumlah suatu deret secara online di situs web matematika; banyak ilustrasi telah dilampirkan tentang bagaimana pada abad terakhir para ilmuwan menggunakan simbol untuk menunjukkan ekspresi jumlah suatu deret. Secara umum, hanya sedikit yang berubah, tetapi ada hal menarik. Jika konvergensi rangkaian online tampaknya mustahil, cukup periksa data yang dimasukkan dan ulangi permintaan dengan tenang. Sebaiknya periksa kembali suku umum deret tersebut terlebih dahulu. Dan setiap solusi seri online akan langsung muncul di situs Anda tidak perlu mengklik link tambahan untuk mendapatkan jawaban dari masalahnya. Yang terbaik, menurut para ahli, membuat siswa lebih menuntut dalam memilih kalkulator untuk menyelesaikan deret. Penjumlahan suatu deret sebagai layanan online mencakup konsep konvergensi deret, yaitu adanya suatu jumlah yang berhingga. Topik-topik dasar seperti integral dan turunan diperkenalkan bersama dengan bagian ini, karena semuanya berkaitan erat. Mari kita bahas bersama kita tentang bagaimana jumlah deret 1/n divergen karena variabelnya cenderung tak terhingga. Namun, sebaliknya, jumlah lain dari deret seperti 1/n^2 akan menyatu dan mengambil ekspresi numerik berhingga. Menarik untuk mempelajari kasus-kasus ketika jumlah suatu deret berhingga disajikan secara bertahap dalam bentuk jumlah parsial antara deret tersebut dengan peningkatan variabel secara bertahap sebesar satu, atau mungkin beberapa unit sekaligus. Kami merekomendasikan untuk memeriksa konvergensi rangkaian secara online setelah menyelesaikan sendiri masalahnya. Ini akan memungkinkan Anda untuk memahami topik secara detail dan meningkatkan tingkat pengetahuan Anda. Jangan pernah lupakan ini, kami mencoba hanya untuk Anda. Suatu ketika dalam pembelajaran, guru menunjukkan cara menyelesaikan deret secara online dengan menggunakan teknologi komputer. Saya harus mengatakan bahwa semua orang cukup menyukainya. Setelah kejadian ini, kalkulator diminati sepanjang kursus matematika. Tidaklah berlebihan untuk memeriksa bagaimana jumlah deret tersebut dihitung dengan kalkulator online dalam beberapa detik setelah Anda meminta untuk menunjukkan hasilnya. Akan segera menjadi jelas ke arah mana kemajuan dalam penyelesaian masalah harus diupayakan. Karena tidak banyak yang ditulis tentang konvergensi deret di beberapa buku teks mahal, lebih baik mengunduh beberapa laporan bagus dari ilmuwan terkemuka dari Internet dan mengikuti kursus pelatihan menggunakan metode mereka. Hasilnya akan bagus. Saat menyelesaikan deret, tanda pertama konvergensi tidak dapat dikesampingkan, yaitu kecenderungan limit suku persekutuannya ke nol. Meskipun kondisi ini tidak cukup, namun selalu diperlukan. Integritas dari contoh yang diselesaikan menimbulkan perasaan menyenangkan pada siswa ketika dia memahami bahwa jumlah deret telah dihitung tanpa menggunakan petunjuk. Buku teks dimaksudkan sebagai panduan untuk menggunakan keterampilan Anda dalam praktik. Ketika Anda lupa materi yang telah Anda bahas, Anda perlu meluangkan setidaknya lima menit setiap hari Kamis untuk membaca sekilas kuliah, jika tidak pada awal sesi Anda akan melupakan semuanya, dan terlebih lagi, Anda akan lupa bagaimana cara menghitungnya. konvergensi suatu deret. Mulailah dengan satu kali dan kemudian atasi kemalasan Anda. Bukan tanpa alasan guru memaksa Anda untuk membuktikan bagaimana jumlah deret 1/n akan menyimpang. Namun jika, bagaimanapun juga, jumlah deret 1/n^2 direpresentasikan sebagai deret bolak-balik, maka tidak ada hal buruk yang akan terjadi - lagipula, deret absolutnya konvergen! Dan tentu saja, jumlah deret berhingga mungkin menarik bagi Anda saat Anda mempelajari disiplin ini sendiri. Sebagian besar contoh diselesaikan dengan menggunakan metode d'Alembert, dan penyelesaian deret direduksi menjadi menghitung limit sebagai perbandingan suku-suku tetangganya, yaitu suku berikutnya dengan suku sebelumnya. Oleh karena itu, semoga Anda beruntung dalam menyelesaikan matematika dan semoga Anda tidak pernah melakukan kesalahan! Mari kita ambil sebagai dasar apa yang disebut solusi seri online ke arah ketidaksepakatan penelitian mengenai keterlibatan prinsip-prinsip dasar dan arah interdisipliner ilmiah. Izinkan kami menemukan jawabannya untuk Anda dan memberi tahu Anda dengan tegas bahwa jumlah suatu deret diselesaikan dengan beberapa metode yang berbeda secara fundamental, tetapi pada akhirnya hasilnya sama. Petunjuk tentang kekonvergenan suatu deret tidak selalu jelas bagi siswa, meskipun mereka telah diberitahu jawabannya terlebih dahulu, meskipun tentu saja hal ini mendorong mereka ke arah penyelesaian yang benar. Abstraksi dalam matematika, meskipun didahulukan, didukung oleh teori dan membuktikan beberapa fakta yang tak terbantahkan dalam waktu singkat. Seseorang tidak boleh melewatkan aspek seperti itu ketika menyelesaikan deret online seperti penerapan atau tidak dapat diterapkannya prinsip-prinsip teoritis dasar konvergensi suatu deret bilangan dan penyajian jumlah kompleks suatu deret dalam beberapa versi yang disederhanakan untuk tampilan yang lebih menyenangkan. Namun ada kalanya jumlah deret 1/n akan konvergen dan kami tidak akan mengganggu Anda dengan kejadian ini, karena yang perlu Anda lakukan hanyalah mengganti bilangan bulat dengan simbol tak terhingga, lalu jumlah keseluruhannya akan dikurangi menjadi deret aritmatika biasa. Deret harmonis adalah penjumlahan deret 1/n^2, lalu jaringan ke sembarang pangkat.