Logaritma dari 9 ke basis 4 adalah sama dengan. Apa itu logaritma

\(a^(b)=c\) \(\Panah Kanan Kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)

Mari kita jelaskan dengan lebih sederhana. Misalnya, \(\log_(2)(8)\) setara dengan kekuatan, yang mana \(2\) harus dipangkatkan untuk mendapatkan \(8\). Dari sini jelas bahwa \(\log_(2)(8)=3\).

Argumen dan basis logaritma

Logaritma apa pun memiliki “anatomi” berikut:

Argumen suatu logaritma biasanya ditulis pada tingkatnya, dan basisnya ditulis dalam subskrip yang mendekati tanda logaritma. Dan entri ini berbunyi seperti ini: “logaritma dua puluh lima berbanding lima.”

Bagaimana cara menghitung logaritma?

Untuk menghitung logaritma, Anda perlu menjawab pertanyaan: pangkat berapa yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan argumen?

Misalnya, hitung logaritmanya: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ persegi (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(4\) untuk mendapatkan \(16\)? Jelas yang kedua. Itu sebabnya:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(\sqrt(5)\) untuk mendapatkan \(1\)? Kekuatan apa yang membuat seseorang menjadi nomor satu? Tentu saja nol!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(\sqrt(7)\) untuk memperoleh \(\sqrt(7)\)? Pertama, bilangan apa pun yang dipangkatkan pertama sama dengan bilangan itu sendiri.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Berapa pangkat yang harus dipangkatkan \(3\) untuk memperoleh \(\sqrt(3)\)? Dari kita tahu apa itu kekuatan pecahan, dan itu berarti akar kuadrat adalah kekuatan \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Contoh : Hitung logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Larutan :

Menjawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Mengapa logaritma ditemukan?

Untuk memahaminya, mari selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Cocokkan saja \(x\) agar persamaannya berfungsi. Tentu saja \(x=2\).

Sekarang selesaikan persamaannya: \(3^(x)=8\).Mengapa sama dengan x? Itulah intinya.

Orang yang paling cerdas akan berkata: “X kurang dari dua.” Bagaimana tepatnya menulis nomor ini? Untuk menjawab pertanyaan ini, logaritma diciptakan. Berkat dia, jawabannya di sini dapat ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).

Saya ingin menekankan bahwa \(\log_(3)(8)\), seperti logaritma apa pun hanyalah angka. Ya, kelihatannya tidak biasa, tapi pendek. Karena jika kita ingin menuliskannya dalam bentuk desimal maka akan terlihat seperti ini: \(1.892789260714.....\)

Contoh : Selesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)

Larutan :

Menjawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritma desimal dan natural

Sebagaimana dinyatakan dalam definisi logaritma, basisnya dapat berupa bilangan positif apa pun kecuali satu \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua kemungkinan basis, ada dua yang sering muncul sehingga notasi pendek khusus diciptakan untuk logaritma dengan basis tersebut:

Logaritma natural: logaritma yang basisnya adalah bilangan Euler \(e\) (sama dengan kira-kira \(2,7182818…\)), dan logaritmanya ditulis sebagai \(\ln(a)\).

Yaitu, \(\ln(a)\) sama dengan \(\log_(e)(a)\)

Logaritma Desimal: Logaritma yang basisnya 10 ditulis \(\lg(a)\).

Yaitu, \(\lg(a)\) sama dengan \(\log_(10)(a)\), di mana \(a\) adalah suatu bilangan.

Identitas logaritma dasar

Logaritma mempunyai banyak sifat. Salah satunya disebut “Identitas Logaritma Dasar” dan terlihat seperti ini:

Properti ini mengikuti langsung dari definisi. Mari kita lihat bagaimana rumus ini muncul.

Mari kita ingat catatan singkat definisi logaritma:

jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)

Artinya, \(b\) sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita dapat menulis \(\log_(a)(c)\) sebagai ganti \(b\) pada rumus \(a^(b)=c\). Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identitas logaritma utama.

Anda dapat menemukan properti logaritma lainnya. Dengan bantuan mereka, Anda dapat menyederhanakan dan menghitung nilai ekspresi dengan logaritma, yang sulit dihitung secara langsung.

Contoh : Temukan nilai ekspresi \(36^(\log_(6)(5))\)

Larutan :

Menjawab : \(25\)

Bagaimana cara menulis bilangan sebagai logaritma?

Seperti disebutkan di atas, logaritma apa pun hanyalah angka. Kebalikannya juga benar: bilangan apa pun dapat ditulis sebagai logaritma. Misalnya, kita tahu bahwa \(\log_(2)(4)\) sama dengan dua. Kemudian Anda dapat menulis \(\log_(2)(4)\) alih-alih dua.

Tapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), yang artinya kita juga bisa menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Begitu juga dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dll. Ternyata begitu

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Jadi, jika perlu, kita dapat menulis dua sebagai logaritma dengan basis apa pun di mana pun (baik dalam persamaan, ekspresi, atau pertidaksamaan) - kita cukup menulis basis kuadrat sebagai argumen.

Sama halnya dengan triple – dapat ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \)... Di sini kita menulis basis dalam kubus sebagai argumen:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Dan dengan empat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Dan dengan minus satu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Dan dengan sepertiga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilangan apa pun \(a\) dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Contoh : Temukan arti ekspresi \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Larutan :

Menjawab : \(1\)

Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b *a c = a b+c). Ini hukum matematika diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel eksponen bilangan bulat. Merekalah yang berperan dalam penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat di mana Anda perlu menyederhanakan perkalian rumit dengan penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Dalam bahasa yang sederhana dan mudah diakses.

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dalam bentuk berikut: log a b=c, yaitu logaritma dari sembarang bilangan non-negatif(yaitu, sembarang positif) “b” dengan basis “a” dianggap sebagai pangkat “c” yang mana basis “a” harus dipangkatkan untuk mendapatkan nilai “b”. Mari kita analisa logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara mencari jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu mencari pangkat sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga pangkat yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan di kepala Anda, kita mendapatkan angka 3! Dan itu benar, karena 2 pangkat 3 memberikan jawaban 8.

Jenis logaritma

Bagi banyak siswa dan pelajar, topik ini tampaknya rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami arti umum dan mengingat sifat-sifatnya serta beberapa aturannya. Ada tiga spesies individu ekspresi logaritma:

1. Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
2. Desimal a yang basisnya 10.
3. Logaritma bilangan b apa pun dengan basis a>1.

Masing-masing sudah diputuskan dengan cara standar, yang meliputi penyederhanaan, reduksi, dan selanjutnya reduksi menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, Anda harus mengingat propertinya dan urutan tindakan saat menyelesaikannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu dibicarakan dan merupakan kebenaran. Misalnya, tidak mungkin membagi bilangan dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar genap angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

• basis "a" harus selalu lebih besar dari nol, dan pada saat yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan tersebut akan kehilangan maknanya, karena “1” dan “0” sampai tingkat apa pun selalu sama dengan nilainya;
• jika a > 0, maka a b >0, ternyata “c” juga harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Misalnya diberikan tugas untuk mencari jawaban persamaan 10 x = 100. Caranya sangat mudah, Anda perlu memilih suatu pangkat dengan menaikkan angka sepuluh sehingga kita mendapatkan 100. Tentu saja, ini adalah 10 2 = 100.

Sekarang mari kita bayangkan ekspresi ini dalam bentuk logaritma. Kita mendapatkan log 10 100 = 2. Saat menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk mencari pangkat yang diperlukan untuk memasukkan basis logaritma untuk mendapatkan bilangan tertentu.

Untuk menentukan secara akurat nilai derajat yang tidak diketahui, Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pemikiran teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun untuk nilai-nilai besar Anda memerlukan tabel derajat. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak tahu apa pun tentang kompleks topik matematika. Kolom kiri berisi bilangan (basis a), baris bilangan paling atas adalah nilai pangkat c yang dipangkatkan bilangan a. Pada titik potongnya, sel-sel tersebut berisi nilai bilangan yang menjadi jawabannya (ac =b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan mengkuadratkannya, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan pada perpotongan kedua sel kita. Semuanya begitu sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati sekalipun akan memahaminya!

Persamaan dan pertidaksamaan

Ternyata dalam kondisi tertentu eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, matematika apapun ekspresi numerik dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma basis 3 dari 81 sama dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk kekuatan negatif aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapatkan log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik “logaritma”. Kita akan melihat contoh dan solusi persamaan di bawah ini, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.

Diberikan ekspresi dalam bentuk berikut: log 2 (x-1) > 3 - ya pertidaksamaan logaritmik, karena nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua besaran dibandingkan: logaritma bilangan yang diinginkan ke basis dua lebih besar dari bilangan tiga.

Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah persamaan dengan logaritma (misalnya logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih jawaban spesifik. nilai numerik, sedangkan ketika menyelesaikan kesenjangan didefinisikan sebagai wilayah nilai-nilai yang dapat diterima, dan breakpoint dari fungsi ini. Konsekuensinya, jawabannya bukanlah himpunan bilangan tunggal yang sederhana, seperti pada jawaban suatu persamaan, melainkan rangkaian atau himpunan bilangan yang berkesinambungan.

Teorema dasar tentang logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, jika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, kita perlu memahami dengan jelas dan menerapkan semua sifat dasar logaritma dalam praktik. Kita akan melihat contoh persamaannya nanti; pertama-tama mari kita lihat masing-masing properti secara lebih rinci.

1. Identitas utama terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
2. Logaritma produk dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini, syarat wajibnya adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti rumus logaritma ini, beserta contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, maka a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat-sifat dari derajat ), dan kemudian menurut definisi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang perlu dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.

Rumus ini disebut “properti derajat logaritma”. Ini menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan ini tidak mengherankan, karena semua matematika didasarkan pada postulat alam. Mari kita lihat buktinya.

Misalkan log a b = t, ternyata at =b. Jika kita menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;

tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n, maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh masalah dan kesenjangan

Jenis soal logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga termasuk di dalamnya bagian wajib ujian matematika. Untuk masuk ke universitas atau lulus ujian masuk dalam matematika Anda perlu mengetahui cara menyelesaikan masalah seperti itu dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, tetapi untuk masing-masing skema ketimpangan matematis atau persamaan logaritmik dapat diterapkan aturan tertentu. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau digiring penampilan umum. Sederhanakan yang panjang ekspresi logaritma mungkin jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita kenali mereka dengan cepat.

Saat menyelesaikan persamaan logaritma, kita harus menentukan jenis logaritma yang kita miliki: contoh ekspresi mungkin berisi logaritma natural atau desimal.

Berikut contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa mereka perlu menentukan pangkat yang mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk solusi logaritma natural, Anda perlu menerapkannya identitas logaritma atau propertinya. Mari kita lihat solusinya dengan contoh masalah logaritmik jenis yang berbeda.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Beserta Contoh dan Solusinya

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema dasar tentang logaritma.

1. Properti logaritma suatu produk dapat digunakan dalam tugas-tugas yang perlu diperluas nilai yang besar bilangan b menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan properti keempat dari pangkat logaritma, kami berhasil menyelesaikan ekspresi yang tampaknya rumit dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basisnya lalu mengeluarkan nilai eksponennya dari tanda logaritma.

Tugas dari Ujian Negara Bersatu

Logaritma sering ditemukan di ujian masuk, terutama banyak sekali soal logaritma pada UN Unified State ( ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (yang paling mudah bagian tes ujian), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling rumit dan banyak). Ujian membutuhkan akurat dan pengetahuan yang sempurna topik "Logaritma natural".

Contoh dan solusi masalah diambil dari pejabat Opsi Ujian Negara Bersatu. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.

Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, berdasarkan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4, oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.

• Yang terbaik adalah mereduksi semua logaritma ke basis yang sama agar penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
• Semua ekspresi di bawah tanda logaritma dinyatakan positif, oleh karena itu, jika eksponen dari ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya diambil sebagai pengali, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengirimkan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkannya berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda e-mail dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari lembaga pemerintah di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Jadi, kita punya kekuatan dua. Jika Anda mengambil angka dari garis bawah, Anda dapat dengan mudah menemukan pangkat yang harus Anda naikkan dua untuk mendapatkan angka ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Hal ini dapat dilihat dari tabel.

Dan sekarang - sebenarnya definisi logaritma:

Basis logaritma dari x adalah pangkat yang harus dipangkatkan a untuk mendapatkan x.

Sebutan: log a x = b, dengan a adalah basis, x adalah argumen, b adalah logaritma sebenarnya.

Misalnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Dengan keberhasilan yang sama log 2 64 = 6, karena 2 6 = 64.

Operasi mencari logaritma suatu bilangan ke basis tertentu disebut logaritma. Jadi, mari tambahkan baris baru ke tabel kita:

Sayangnya, tidak semua logaritma dapat dihitung dengan mudah. Misalnya, coba cari log 2 5 . Angka 5 tidak ada dalam tabel, tetapi logika menyatakan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat pada segmen tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем lebih banyak gelar berpasangan, semakin besar jumlahnya.

Bilangan seperti itu disebut irasional: bilangan setelah koma dapat ditulis ad infinitum dan tidak pernah terulang. Jika logaritmanya ternyata irasional, lebih baik dibiarkan seperti ini: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya banyak orang bingung mana dasarnya dan mana argumentasinya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang menjengkelkan, lihat saja gambarnya:

Di hadapan kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana basis harus dibangun untuk mendapatkan argumen. Ini adalah basis yang dinaikkan ke pangkat - itu disorot dengan warna merah pada gambar. Ternyata alasnya selalu di bawah! Ini aturan yang luar biasa Saya memberi tahu siswa saya pada pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan.

Kami telah menemukan definisinya - yang tersisa hanyalah mempelajari cara menghitung logaritma, mis. hilangkan tanda "log". Untuk memulainya, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti definisi tersebut:

1. Argumen dan basisnya harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti dari definisi derajat indikator rasional, yang menjadi dasar definisi logaritma.
2. Basisnya harus berbeda dari yang satu, karena yang satu tetap satu sampai tingkat apa pun. Oleh karena itu, pertanyaan “kepada kekuatan apa seseorang harus dinaikkan untuk mendapatkan dua” tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!

Pembatasan seperti ini disebut rentang nilai yang dapat diterima(ODZ). Ternyata ODZ logaritmanya seperti ini: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma). Misalnya, logaritmanya mungkin negatif: log 2 0,5 = −1, karena 0,5 = 2 −1.

Namun, saat ini kami hanya mempertimbangkannya ekspresi numerik, dimana tidak perlu mengetahui logaritma CVD. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penulis tugas. Tapi saat mereka pergi persamaan logaritma dan kesenjangan, persyaratan DHS akan menjadi wajib. Bagaimanapun juga, dasar dan argumennya mungkin mengandung konstruksi yang sangat kuat yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.

Sekarang mari kita pertimbangkan skema umum menghitung logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:

1. Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan basis minimum yang mungkin lebih besar dari satu. Dalam prosesnya, lebih baik menghilangkan desimal;
2. Selesaikan persamaan variabel b: x = a b ;
3. Angka b yang dihasilkan akan menjadi jawabannya.

Itu saja! Jika logaritmanya ternyata irasional, hal ini sudah terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangatlah penting: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Sama dengan desimal: jika Anda segera mengonversinya ke yang biasa, kesalahannya akan jauh lebih sedikit.

Mari kita lihat cara kerja skema ini menggunakan contoh spesifik:

Tugas. Hitung logaritmanya: log 5 25

1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Mari buat dan selesaikan persamaannya:
catatan 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Kami menerima jawabannya: 2.

Tugas. Hitung logaritmanya:

Tugas. Hitung logaritmanya: log 4 64

1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Mari buat dan selesaikan persamaannya:
   catatan 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Kami menerima jawabannya: 3.

Tugas. Hitung logaritmanya: log 16 1

1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Mari buat dan selesaikan persamaannya:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Kami menerima jawabannya: 0.

Tugas. Hitung logaritmanya: log 7 14

1. Mari kita bayangkan basis dan argumennya sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Dari paragraf sebelumnya dapat disimpulkan bahwa logaritma tidak dihitung;
3. Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.

Sebuah catatan kecil untuk contoh terakhir. Bagaimana Anda bisa yakin bahwa suatu bilangan bukanlah pangkat eksak dari bilangan lain? Ini sangat sederhana - cukup bagi menjadi faktor prima. Jika pemuaian mempunyai paling sedikit dua faktor yang berbeda, maka bilangan tersebut bukanlah pangkat pasti.

Tugas. Cari tahu apakah angka-angka tersebut merupakan pangkat eksak: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - derajat eksak, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - bukan pangkat eksak, karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - derajat eksak;
35 = 7 · 5 - sekali lagi bukan pangkat pasti;
14 = 7 · 2 - sekali lagi bukan derajat pasti;

Perhatikan juga bahwa bilangan prima itu sendiri selalu merupakan pangkat eksak dari dirinya sendiri.

Logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum dimiliki nama khusus dan penunjukan.

Logaritma desimal x adalah logaritma basis 10, yaitu Pangkat bilangan 10 yang harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Sebutan: lg x.

Misalnya log 10 = 1; catatan 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.

Mulai sekarang, ketika frasa seperti “Temukan lg 0,01” muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini logaritma desimal. Namun, jika Anda belum terbiasa dengan notasi ini, Anda selalu dapat menulis ulang:
catatan x = catatan 10 x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga berlaku untuk logaritma desimal.

Logaritma natural

Ada logaritma lain yang memiliki sebutan tersendiri. Dalam beberapa hal, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Ini tentang tentang logaritma natural.

Logaritma natural dari x adalah logaritma ke basis e, yaitu pangkat berapa bilangan e harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Penunjukan: ln x .

Banyak yang akan bertanya: berapakah angka e? Ini bilangan irasional, miliknya nilai yang tepat mustahil untuk ditemukan dan dicatat. Saya hanya akan memberikan angka pertama:
e = 2,718281828459...

Kami tidak akan menjelaskan secara detail tentang apa nomor ini dan mengapa diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis logaritma natural:
ln x = log e x

Jadi ln e = 1 ; dalam e 2 = 2; dalam e 16 = 16 - dst. Sebaliknya, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural apa pun bilangan rasional irasional. Kecuali, tentu saja, untuk satu hal: ln 1 = 0.

Untuk logaritma natural, semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.

log a r b r = log a b atau catatan ab= mencatat a r b r

Nilai logaritma tidak akan berubah jika basis logaritma dan bilangan di bawah tanda logaritma dipangkatkan sama.

Hanya bilangan positif yang boleh berada di bawah tanda logaritma, dan basis logaritma tidak sama dengan satu.

Contoh.

1) Bandingkan log 3 9 dan log 9 81.

log 3 9=2, karena 3 2 =9;

log 9 81=2, karena 9 2 =81.

Jadi log 3 9=log 9 81.

Perhatikan bahwa basis logaritma kedua sama dengan kuadrat basis logaritma pertama: 9=3 2, dan bilangan di bawah tanda logaritma kedua sama dengan kuadrat bilangan di bawah tanda logaritma pertama logaritma: 81=9 2. Ternyata bilangan dan basis logaritma pertama log 3 9 dipangkatkan kedua, dan nilai logaritma tidak berubah dari ini:

Selanjutnya sejak diekstrak rootnya N gelar dari kalangan A adalah peningkatan angka A sampai tingkat ( 1/n), maka dari log 9 81 Anda bisa mendapatkan log 3 9 dengan mengambil akar kuadrat dari bilangan tersebut dan dari basis logaritma:

2) Periksa kesetaraan: log 4 25=log 0,5 0,2.

Mari kita lihat logaritma pertama. Mengambil akar kuadrat dari alasnya 4 dan dari kalangan 25 ; kita peroleh: log 4 25=log 2 5.

Mari kita lihat logaritma kedua. Basis logaritma: 0,5= 1/2. Angka di bawah tanda logaritma ini: 0,2= 1/5. Mari kita naikkan masing-masing angka ini ke pangkat minus satu:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Jadi log 0,5 0,2=log 2 5. Kesimpulan: kesetaraan ini benar adanya.

Selesaikan persamaan:

catatan 4 x 4 +catatan 16 81=catatan 2 (5x+2). Mari kita kurangi logaritma dari kiri ke bawah 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Ambil akar kuadrat dari bilangan tersebut dan basis logaritma pertama. Ekstrak akar keempat dari bilangan tersebut dan basis logaritma kedua.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Ubah jumlah logaritma menjadi logaritma hasil kali.

3x 2 =5x+2. Diterima setelah potensiasi.

3x 2 -5x-2=0. Mari kita putuskan persamaan kuadrat Oleh rumus umum untuk persamaan kuadrat lengkap:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 akar nyata.

Penyelidikan.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

catatan 2 2 2 +catatan 2 3=catatan 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

catatan 2 12=catatan 2 12;

log a n b=(1/ N)∙ catatan ab

Logaritma suatu bilangan B berdasarkan sebuah sama dengan produknya pecahan 1/ N ke logaritma suatu bilangan B berdasarkan A.

Menemukan:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , jika diketahui itu catatan 2 3=b,catatan 5 2=c.

Larutan.

Selesaikan persamaan:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Larutan.

Mari kita kurangi logaritma ini ke basis 2. Terapkan rumusnya: log a n b=(1/ N)∙ catatan ab

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. Berikut istilah serupa:

(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

catatan 2 x=3. Menurut definisi logaritma:

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.

Larutan. Mari kita ubah logaritma dari basis 16 menjadi basis 4.

0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Mari kita ubah jumlah logaritma menjadi logaritma hasil kali.

log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Menurut definisi logaritma:

x 2 -5x+4=0. Menurut teorema Vieta:

x 1 =1; x 2 =4. Nilai pertama x tidak akan berfungsi, karena pada x = 1 logaritma persamaan ini tidak ada, karena Hanya bilangan positif yang boleh berada di bawah tanda logaritma.

Mari kita periksa persamaan yang diberikan pada x=4.

Penyelidikan.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logaritma suatu bilangan B berdasarkan A sama dengan logaritma angka B atas dasar yang baru Dengan, dibagi dengan logaritma basis lama A atas dasar yang baru Dengan.

Contoh:

1) catatan 2 3=lg3/lg2;

2) catatan 8 7=ln7/ln8.

Menghitung:

1) catatan 5 7, jika diketahui itu lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

C B / mencatat C A.

log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Menjawab: catatan 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) catatan 5 7 , jika diketahui itu ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Larutan. Terapkan rumus: log a b =log C B / mencatat C A.

catatan 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

Menjawab: catatan 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Temukan x:

1) catatan 3 x=catatan 3 4+catatan 5 6/catatan 5 3+catatan 7 8/catatan 7 3.

Kami menggunakan rumus: log C B / mencatat C sebuah = catatan ab . Kami mendapatkan:

catatan 3 x=catatan 3 4+catatan 3 6+catatan 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

catatan 3 x=catatan 3 192;

x=192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Kami menggunakan rumus: log C B / mencatat C sebuah = catatan ab . Kami mendapatkan:

catatan 7 x=lg143-lg11-lg13;

catatan 7 x=lg143- (lg11+lg13);

catatan 7 x=lg143-lg (11∙13);

catatan 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Halaman 1 dari 1 1