Integral pasti sebagai fungsi batas atas. Metode Penggantian Variabel

Biarkan fungsinya F(T) terdefinisi dan kontinu pada suatu interval yang memuat titik tersebut A. Lalu setiap nomor X dari interval ini kita dapat mencocokkan nomornya,

dengan demikian menentukan interval fungsinya SAYA(X), yang disebut integral tertentu dengan batas atas variabel. Perhatikan itu pada intinya x = sebuah fungsi ini sama dengan nol. Mari kita hitung turunan fungsi ini di titik X. Untuk melakukan ini, pertama-tama pertimbangkan kenaikan fungsi pada titik tersebut X saat menambah argumen D X:

D SAYA(X) = SAYA(x+ D X) – SAYA(X) =

Seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 4, nilai integral terakhir dalam rumus kenaikan D SAYA(X) sama dengan luasnya trapesium melengkung, ditandai dengan bayangan. Pada nilai D yang kecil X(di sini, seperti di bagian lain dalam kursus ini, ketika berbicara tentang peningkatan kecil dalam suatu argumen atau fungsi, yang kami maksud adalah nilai absolut pertambahan, karena pertambahan itu sendiri bisa positif dan negatif), luas ini kira-kira sama dengan luas persegi panjang yang ditandai pada gambar dengan arsiran ganda. Luas persegi panjang diberikan oleh rumus F(X)D X. Dari sini kita mendapatkan hubungannya

Pada persamaan perkiraan terakhir, semakin tinggi keakuratan perkiraannya, semakin kecil nilai D X.

Dari rumus di atas berikut rumus turunan fungsi SAYA(X):

Turunan integral tertentu terhadap batas atas di titik x sama dengan nilai integral di titik x. Oleh karena itu fungsinya merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X), dan antiturunan yang tepat sasaran x = sebuah arti, sama dengan nol. Fakta ini memungkinkan untuk merepresentasikan integral tertentu dalam bentuk

. (1)

Membiarkan F(X) juga merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X), maka dengan teorema tentang pandangan umum semua antiturunan dari fungsi tersebut SAYA(X) = F(X) + C, Di mana C- nomor tertentu. Pada saat yang sama sisi kanan rumus (1) berbentuk

SAYA(X) – SAYA(A) = F(X) + C– (F(A) +C) = F(X) – F(A). (2)

Dari rumus (1) dan (2) setelah penggantian X pada B mengikuti rumus untuk menghitung integral tertentu dari fungsi tersebut F(T) sepanjang interval [ A;B]:

yang disebut Rumus Newton-Leibniz. Di Sini F(X)- antiturunan apa pun dari suatu fungsi F(X).

Untuk menghitung integral tertentu suatu fungsi F(X) sepanjang interval [ A;B], Anda perlu menemukan antiturunan F(X) fungsi F(X) dan hitung selisih nilai antiturunan pada titik-titik tersebut B Dan A. Selisih antara nilai antiturunan ini biasanya dilambangkan dengan simbol, yaitu. .

Perubahan variabel dalam integral tertentu. Saat menghitung integral tertentu menggunakan rumus Newton-Leibniz, sebaiknya tidak membedakan secara tegas tahapan penyelesaian masalah (mencari antiturunan dari integran, mencari pertambahan antiturunan). Pendekatan ini, yang khususnya menggunakan rumus perubahan variabel dan integrasi bagian-bagian untuk integral tertentu, biasanya menyederhanakan penulisan penyelesaian.

DALIL. Misalkan fungsi φ(t) mempunyai turunan kontinu pada interval [α,β], a=φ(α), β=φ(β) dan fungsi f(x) kontinu di setiap titik x dalam bentuk x =φ(t), dimana t [α,β].

Maka persamaan berikut ini benar:

Rumus ini disebut rumus perubahan variabel dalam integral tertentu.

Seperti halnya integral tak tentu, penggunaan perubahan variabel memungkinkan kita menyederhanakan integral, mendekatkannya ke integral tabel. Selain itu, berbeda dengan integral tak tentu di dalam hal ini tidak perlu kembali ke variabel integrasi asli. Cukup mencari limit integrasi α dan β pada variabel baru t sebagai solusi variabel t persamaan φ(t)=a dan φ(t)=b. Dalam praktiknya, saat melakukan penggantian variabel, mereka sering kali memulai dengan menunjukkan ekspresi t=ψ(x) dari variabel baru ke dalam variabel lama. Dalam hal ini, mencari limit integrasi variabel t disederhanakan: α=ψ(a), β=ψ(b).

Contoh 19. Hitung

Misalkan t=2-x 2. Maka dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx dan xdx=- dt. Jika x=0, maka t=2-0 2 =2, dan jika x=1, maka t=2-1 2 =1.

Integrasi berdasarkan bagian. Metode integrasi per bagian memungkinkan kita mereduksi integral tak tentu asli menjadi lebih besar tampilan sederhana atau ke integral tabel. Metode ini paling sering digunakan jika integran berisi logaritma, eksponensial, invers trigonometri, fungsi trigonometri, serta kombinasinya.

Rumus integrasi bagian adalah sebagai berikut.

Yaitu, integrand f(x)dx merepresentasikannya sebagai produk dari fungsi tersebut kamu(x) pada d(v(x))- fungsi diferensial v(x). Selanjutnya kita temukan fungsinya v(x)(paling sering dengan metode integrasi langsung) Dan d(kamu(x))- fungsi diferensial kamu(x). Kami mengganti ekspresi yang ditemukan ke dalam rumus integrasi per bagian dan integral tak tentu asli direduksi menjadi selisihnya . Integral tak tentu terakhir dapat diambil dengan menggunakan metode integrasi apa saja, termasuk metode integrasi bagian.

Jika fungsi y = f(x) dapat diintegralkan pada interval , maka fungsi tersebut dapat diintegralkan pada interval yang lebih kecil, mis. untuk "xО ada integral

Agar tidak membingungkan penunjukan limit dan variabel integrasi, kami menunjukkannya variabel integrasi pemikiran. Maka integral (4) dituliskan dalam bentuk Nilai integral tersebut adalah fungsi batas atas x dan dilambangkan dengan Ф(х):

. (5)

Fungsi Ф(х) dipanggil integral dengan batas atas variabel.

Mari kita perhatikan beberapa sifat fungsi Ф(х).

T.3.1.(kontinuitas fungsi (х))

Jika fungsi f(x) kontinu pada interval tersebut, maka fungsi Ф(x) juga kontinu pada interval tersebut.

T.3.2.(diferensiasi fungsi (х))

Jika fungsi f(x) kontinu pada interval tersebut, maka fungsi Ф(x) terdiferensiasi pada sembarang titik dalam x dari segmen ini, dan persamaannya benar

Konsekuensi

Jika fungsi f(x) kontinu pada interval tersebut, maka untuk fungsi tersebut terdapat antiturunan pada segmen ini, dan fungsi Ф(x) - integral dengan batas atas variabel - merupakan antiturunan untuk fungsi f(x).

Karena setiap antiturunan lain untuk fungsi f(x) berbeda dari Ф(x) hanya dengan suku konstan, kita dapat menetapkan hubungan antara integral tak tentu dan integral tertentu:

di mana C adalah konstanta sembarang.

Pertanyaan 4. Perhitungan integral tertentu. Rumus Newton-Leibniz

Perhitungan integral tertentu dengan metode yang didasarkan pada definisi integral sebagai limit jumlah integral biasanya dikaitkan dengan kesulitan besar. Ada metode yang lebih mudah untuk menghitung integral tertentu, yang didasarkan pada hubungan yang ada antara integral tak tentu dan integral tertentu.

T.4.1. Jika fungsi f(x) kontinu pada suatu interval dan F(x) merupakan antiturunan dari fungsi f(x) pada , maka rumus tersebut valid

. (6)

Rumus (6) disebut Rumus Newton–Leibniz.

Jika Anda memasukkan penunjukan maka rumus Newton-Leibniz (6) dapat ditulis ulang dalam bentuk

Rumus Newton – Leibniz memberikan cara yang nyaman perhitungan integral tertentu. Untuk menghitung integral tentu, kita perlu mencari fungsi antiturunan F(x) untuk f(x) dan mengambil selisih F(b) ‒ F(a) pada ujung-ujung ruasnya.

Contoh

Soal 5. Perubahan variabel dan integrasi bagian-bagian dalam integral tertentu

Metode Penggantian Variabel

Saat menghitung integral tertentu, metode substitusi atau metode perubahan variabel banyak digunakan.

T.5.1. (perubahan variabel dalam integral tertentu)

Misalkan fungsi y = f(x) kontinu pada interval tersebut. Lalu jika:

1) fungsi x = j(t) dan turunannya x′ = j′(t) kontinu pada interval;

2) himpunan nilai fungsi x = j(t) adalah segmen ;

3) j(a) = a, j(b) = b,

maka itu adil rumus untuk mengubah suatu variabel dalam integral tertentu:

Komentar

1. Saat menghitung integral tertentu dengan metode substitusi, tidak perlu kembali ke variabel lama.

2. Seringkali, alih-alih substitusi x = j(t), digunakan substitusi t = g(x).

3. Bila menggunakan rumus, perlu dilakukan pengecekan pemenuhan syarat-syarat yang tercantum dalam teorema. Jika kondisi ini dilanggar, maka hasil yang salah dapat diperoleh.

Contoh. Menghitung

Integrasi berdasarkan bagian

T.5.2. (integrasi bagian-bagian dalam integral tertentu)

Jika fungsi u = u(x) dan v = v(x) mempunyai turunan kontinu pada interval , maka rumus integrasi bagian-bagian dalam integral tertentu:

Contoh. Hitung integral

Pada perkuliahan hari ini kita akan melanjutkan mempelajari integral tentu dan memperoleh rumus untuk menghitungnya. Seperti yang akan kita lihat nanti, integral tertentu sama dengan pertambahan antiturunan, dan mewakili angka konstan, sama dengan luas trapesium lengkung. Oleh karena itu, semua metode penghitungan integral tak tentu juga berlaku untuk integral tertentu.

Soal 1. Sifat-sifat dasar integral tertentu

Integral

diperkenalkan untuk kasus a< b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.

Properti 1. .

Rumus ini diperoleh dari (1) dengan syarat semua Δx i = 0.

Properti 2. .

Rumus ini diperoleh dari (1) dengan syarat ruas tersebut dijalankan dalam arah yang berlawanan (dari b ke a), yaitu. semua Δx saya< 0.

Properti 3. (properti aditif)

Jika fungsi f(x) dapat diintegralkan pada suatu interval dan a< c < b, то

. (2)

Persamaan (2) berlaku untuk sembarang lokasi titik a, b dan c (kita asumsikan bahwa fungsi f(x) dapat diintegralkan pada segmen hasil yang lebih besar).

Properti 4.

Pengganda konstan dapat diambil sebagai tanda integral tertentu, yaitu.

dimana k = konstanta.

Properti 5.

Integral pasti dari jumlah aljabar dua fungsi sama dengan jumlah aljabar integral fungsi-fungsi ini, yaitu.

Komentar

Properti 5 berlaku untuk jumlah berapa pun nomor terbatas ketentuan.
Properti 4 dan 5 bersama-sama mewakili properti linearitas integral tertentu.

Soal 2. Estimasi integral. Teorema nilai rata-rata

1. Jika fungsi f(x) ≥ 0 dimanapun pada interval tersebut, maka .

2. Jika f(x) ≥ g(x) di semua titik pada interval, maka .

3. Untuk fungsi f(x) yang terdefinisi pada interval , pertidaksamaan tetap berlaku .

Khususnya, jika di mana-mana pada interval tersebut Dan .

4. Jika m dan M masing-masing adalah yang terkecil dan nilai tertinggi fungsi f(x) pada interval , maka .

T.2.1. (teorema nilai rata-rata))

Jika fungsi f(x) kontinu pada ruas tersebut, maka pada ruas tersebut terdapat titik c sedemikian rupa sehingga

. (3)

Kesetaraan (3) disebut rumus nilai rata-rata, dan nilai f(c) dipanggil nilai rata-rata fungsi tersebut f(x) pada segmen tersebut.

Soal 3: Integral pasti sebagai fungsi batas atas

Jika fungsi y = f(x) dapat diintegralkan pada interval , maka fungsi tersebut dapat diintegralkan pada interval yang lebih kecil, mis. untuk "xО ada integral

Agar tidak membingungkan penunjukan limit dan variabel integrasi, kami menyatakan variabel integrasi dengan t. Kemudian integral (4) ditulis dalam bentuk. Nilai integral tersebut merupakan fungsi dari batas atas x dan dinotasikan dengan Ф(x):

. (5)

Fungsi Ф(х) dipanggil integral dengan batas atas variabel.

Mari kita perhatikan beberapa sifat fungsi Ф(х).

T.3.1.(kontinuitas fungsi (х))

Jika fungsi f(x) kontinu pada interval tersebut, maka fungsi Ф(x) juga kontinu pada interval tersebut.

T.3.2.(diferensiasi fungsi (х))

Jika fungsi f(x) kontinu pada ruas tersebut, maka fungsi Ф(x) terdiferensiasi di sembarang titik dalam x pada ruas tersebut, dan persamaannya benar

Konsekuensi

Jika fungsi f(x) kontinu pada interval tersebut, maka untuk fungsi ini terdapat antiturunan pada interval tersebut, dan fungsi (x) - integral dengan batas atas variabel - merupakan antiturunan untuk fungsi f(x) ).

Karena setiap antiturunan lain untuk fungsi f(x) berbeda dari Ф(x) hanya dengan suku konstan, kita dapat menetapkan

Biarkan fungsinya F(T) terdefinisi dan kontinu pada suatu interval yang memuat titik tersebut A. Lalu setiap nomor X dari interval ini Anda dapat mencocokkan nomornya

SAYA(X) = SAYA(x+X) – SAYA(X) =

Seperti terlihat pada Gambar 23, nilai integral terakhir pada rumus kenaikan  SAYA(X) sama dengan luas trapesium lengkung yang ditandai dengan arsiran. Pada nilai kecil  X(di sini, seperti di bagian lain kursus ini, ketika berbicara tentang pertambahan kecil suatu argumen atau fungsi, yang kami maksud adalah besaran absolut dari pertambahan tersebut, karena pertambahan itu sendiri bisa positif atau negatif) luas ini kira-kira sama dengan luas dari persegi panjang yang ditandai pada gambar dengan arsiran ganda. Luas persegi panjang diberikan oleh rumus F(X)X. Dari sini kita mendapatkan hubungannya

Pada persamaan perkiraan terakhir, semakin tinggi keakuratan perkiraannya, semakin kecil nilainya  X.

Dari rumus di atas berikut rumus turunan fungsi SAYA(X):

Turunan integral tertentu terhadap batas atas pada suatu titikX sama dengan nilai integran di titik tersebutX. Oleh karena itu fungsinya
merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X), dan antiturunan yang tepat sasaran x = sebuah nilainya sama dengan nol. Fakta ini memungkinkan untuk merepresentasikan integral tertentu dalam bentuk

. (9)

Membiarkan F(X) juga merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X), kemudian dengan teorema bentuk umum semua antiturunan fungsi SAYA(X) = F(X) + C, Di mana C- nomor tertentu. Dalam hal ini, ruas kanan rumus (9) berbentuk

SAYA(X) – SAYA(A) = F(X) + C– (F(A) +C) = F(X) – F(A). (10)

Dari rumus (9) dan (10) setelah penggantian X pada B mengikuti rumus untuk menghitung integral tertentu dari fungsi tersebut F(T) sepanjang interval [ A;B]:

yang disebut rumus Newton-Leibniz. Di Sini F(X)- antiturunan apa pun dari suatu fungsi F(X).

Mari kita berikan contoh penghitungan integral tertentu menggunakan rumus Newton-Leibniz.

Contoh. 1.
.

2.
.

Pertama, mari kita hitung integral tak tentu dari fungsi tersebut F(X) = xe X. Dengan menggunakan metode integrasi per bagian, kita memperoleh:
. Sebagai fungsi antiturunanF(X) pilih fungsi e X (X– 1) dan terapkan rumus Newton-Leibniz:

saya = e X (X – 1)= 1.

Saat menghitung integral tertentu, Anda dapat menggunakan rumus untuk mengubah suatu variabel dalam integral tertentu:

Di Sini  Dan  ditentukan masing-masing dari persamaan  ( ) = A;  ( ) = B, dan fungsinya F,  ,  harus kontinu pada interval yang sesuai.

Contoh:
.

Ayo buat penggantinya: ln x = t atau x = e T, lalu jika x = 1, lalu t = 0, dan jika x = e, Itu t = 1. Hasilnya kita mendapatkan:

Saat mengubah suatu variabel dalam integral tertentu, Anda tidak perlu kembali ke variabel integrasi aslinya.

Belum ada versi HTML dari karya tersebut.

Dokumen serupa

Diperlukan dan kondisi cukup adanya integral tertentu. Persamaan integral tertentu dari jumlah aljabar (selisih) dua fungsi. Teorema nilai rata-rata – akibat wajar dan bukti. Arti geometris dari integral tertentu.

presentasi, ditambahkan 18/09/2013

Mempelajari konsep jumlah integral. Batas atas dan bawah integrasi. Analisis sifat-sifat integral tertentu. Bukti teorema nilai rata-rata. Perubahan variabel dalam integral tertentu. Turunan integral terhadap batas atas variabel.

presentasi, ditambahkan 04/11/2013

Pengenalan konsep dan sifat dasar integral tertentu. Penyajian rumus menghitung jumlah integral fungsi y=f(x) pada ruas [a, b]. Integralnya sama dengan nol asalkan batas bawah dan atas integrasinya sama.

presentasi, ditambahkan 18/09/2013

Masalah yang mengarah pada konsep integral tertentu. Integral tertentu, sebagai limit dari jumlah integral tersebut. Hubungan antara integral tertentu dan integral tak tentu. Rumus Newton-Leibniz. Geometris dan pengertian mekanis integral tertentu.

abstrak, ditambahkan 30/10/2010

Metode integrasi pada zaman dahulu. Konsep fungsi antiturunan. Teorema utama kalkulus integral. Sifat-sifat integral tak tentu dan pasti serta metode penghitungannya, konstanta sembarang. Tabel integral fungsi dasar.

presentasi, ditambahkan 09/11/2011

Konsep fungsi antiturunan, teorema antiturunan. Integral tak tentu, properti dan tabelnya. Konsep integral tertentu, nya makna geometris dan sifat dasar. Turunan dari integral tertentu dan rumus Newton-Leibniz.

tugas kursus, ditambahkan 21/10/2011

Konsep dan sifat fungsi reflektif. Integral pertama dari sistem diferensial dan kondisi keberadaan. Kondisi gangguan sistem diferensial, yang tidak mengubah simetri waktu. Penentuan hubungan antara sistem integral pertama dan sistem ekuivalennya.

tugas kursus, ditambahkan 21/08/2009

Konsep dan kajian fungsi sumbu relatif genap, ganjil, dan simetris. Konsep interval tanda konstan. Cembung dan cekung, titik belok. Vertikal dan asimtot miring. Nilai terkecil dan terbesar suatu fungsi dan integral.

kerja praktek, ditambahkan 25/03/2011

Fungsi satu variabel independen. Properti batas. Fungsi turunan dan diferensial, penerapannya dalam pemecahan masalah. Konsep antiturunan. Rumus Newton-Leibniz. Metode perkiraan untuk menghitung integral tertentu. Teorema nilai rata-rata.

catatan pelajaran, ditambahkan 23/10/2013

Konsep umum urutan nomor. Batas suatu fungsi pada suatu titik. Fungsi yang sangat besar dan kecil. Hubungan antara suatu fungsi, limitnya, dan tak terhingga fungsi kecil. Tanda-tanda adanya batasan. Teorema dasar tentang limit: uraian singkat.