Pertimbangkan hubungan antar karakter fungsi korelasi dan struktur proses acak yang sesuai.

Kami akan menggunakan konsep “spektrum”, yang banyak digunakan tidak hanya dalam teori fungsi acak, tetapi juga dalam fisika dan teknologi. Jika setiap proses osilasi direpresentasikan sebagai jumlah osilasi harmonik dari berbagai frekuensi (yang disebut "harmonik"), maka spektrumnya proses osilasi disebut fungsi yang menggambarkan distribusi amplitudo pada berbagai frekuensi. Spektrum menunjukkan jenis osilasi apa yang mendominasi proses tertentu, apa itu struktur internal. Kami akan memperkenalkan deskripsi spektral dari proses acak stasioner dengan cara yang sama.

Pertama, pertimbangkan beberapa fungsi acak stasioner yang diamati pada interval berhingga (0, T). Biarkan fungsi korelasi diberikan fungsi acak X(T)

Kx(T, T + τ ) = kx(τ ).

Kami tahu itu kx(τ ) merupakan fungsi genap, sehingga grafiknya simetris terhadap sumbunya 0Y melengkung.

Saat berubah T 1 dan T 2 dari 0 sampai T argumen τ bervariasi dari – T ke T.

Diketahui fungsi genap pada interval (– T, T) dapat diperluas menjadi deret Fourier hanya dengan menggunakan harmonik genap (kosinus):

kx(τ ) = ,

ωk= kω 1 , ω 1 = ,

dan koefisiennya Dk ditentukan oleh rumus

D 0 = ,

Dk = pada k ≠ 0.

Mengingat fungsinya kx(τ ) dan karena ωk(τ ) genap, Anda dapat mengubah ekspresi koefisiennya sebagai berikut:

Dk = pada k ≠ 0.

Dapat ditunjukkan bahwa dalam notasi seperti itu, fungsi acak dapat direpresentasikan sebagai perluasan kanonik:

= , (2)

Di mana Inggris, Vk– variabel acak yang tidak berkorelasi dengan ekspektasi matematis, sama dengan nol, dan varians yang sama untuk setiap pasangan variabel acak dengan indeks yang sama k: D(Inggris) = D(Vk) =Dk, dan varians Dk ditentukan oleh rumus (1).

Ekspansi (2) disebut dekomposisi spektral fungsi acak stasioner.

Dekomposisi spektral menggambarkan fungsi acak stasioner yang didekomposisi menjadi osilasi harmonik dengan berbagai frekuensi ω 1 , ω 2 , …, ω k , …, dan amplitudo osilasi ini adalah variabel acak.

Varians fungsi acak yang diberikan oleh dekomposisi spektral (2) ditentukan oleh rumus

Dx = = = , (3)

itu. varians dari fungsi acak stasioner sama dengan jumlah varians semua harmonik dekomposisi spektralnya.

Rumus (3) menunjukkan bahwa varians suatu fungsi terdistribusi dengan cara yang diketahui pada frekuensi yang berbeda: satu frekuensi sesuai dengan b HAI varians yang lebih besar, yang lain – m e yang lebih kecil. Distribusi frekuensi dispersi dapat diilustrasikan secara grafis dalam bentuk yang disebut spektrum dispersi . Untuk melakukan ini, frekuensi diplot sepanjang sumbu absis. ω 0 = 0, ω 1 , ω 2 , …, ω k , …, dan sepanjang sumbu ordinat – dispersi yang sesuai.

Jelasnya, jumlah semua ordinat spektrum yang dibangun dengan cara ini sama dengan varians dari fungsi acak.

Jelas bahwa semakin besar periode waktu yang kita pertimbangkan ketika menyusun dekomposisi spektral, semakin lengkap informasi kita tentang fungsi acaknya. Oleh karena itu, wajar untuk mencoba dalam dekomposisi spektral untuk mencoba mencapai batas di T→ ∞, dan lihat apa yang berubah menjadi spektrum fungsi acak. Pada T → ∞ ω 1 = , jadi jarak antar frekuensi ωk, akan berkurang tanpa batas waktu. Dalam hal ini, spektrum diskrit akan mendekati spektrum kontinu, di mana setiap interval frekuensi kecil akan berhubungan dengan dispersi dasar.

Mari kita gambarkan spektrum kontinu secara grafis. Untuk melakukan ini, kita akan memplot sumbu ordinat, bukan dispersi itu sendiri Dk, A kepadatan dispersi rata-rata, yaitu. dispersi per satuan panjang interval frekuensi tertentu. Mari kita nyatakan jarak antara frekuensi yang berdekatan ∆ω , dan di setiap segmen ∆ω , seperti pada alasnya, kita akan membuat persegi panjang dengan luas Dk. Kami memperoleh bagan langkah yang pada prinsipnya menyerupai histogram distribusi statistik.

Kurva ini menggambarkan kepadatan distribusi dispersi pada frekuensi spektrum kontinu, dan fungsinya sendiri Sx(ω ) disebut kerapatan dispersi spektral atau kepadatan spektral fungsi acak stasioner.

Jelasnya, luas tersebut dibatasi oleh kurva Sx(ω ), harus tetap sama dengan variansnya Dx fungsi acak:

Dx = . (4).

Rumus (4) adalah perluasan varians Dx untuk jumlah suku dasar Sx(ω )dω, yang masing-masing mewakili dispersi per rentang frekuensi dasar dω, berdekatan dengan titik ω .

Dengan demikian, karakteristik tambahan baru dari proses acak stasioner telah diperkenalkan - kerapatan spektral, yang menggambarkan komposisi frekuensi proses stasioner. Namun, ini tidak independen - sepenuhnya ditentukan oleh fungsi korelasi proses ini. Rumus yang sesuai, berasal dari perluasan fungsi korelasi kx(τ ) menjadi deret Fourier pada interval berhingga, terlihat seperti ini:

Sx(ω ) = . (5)

Dalam hal ini, fungsi korelasi itu sendiri juga dapat dinyatakan melalui kepadatan spektral:

kx(τ ) = . (6)

Rumus seperti (5) dan (6), yang menghubungkan dua fungsi secara timbal balik, disebut Transformasi Fourier.

Perhatikan itu dari rumus umum(6) di τ = 0, diperoleh dekomposisi varians yang diperoleh sebelumnya (4).

Dalam praktiknya, bukan kepadatan spektral Sx(ω ) sering menggunakan kerapatan spektral yang dinormalisasi:

sx(ω ) = ,

Di mana Dx adalah varians dari fungsi acak.

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa fungsi korelasi dinormalisasi ρ X ( τ ) dan kerapatan spektral yang dinormalisasi sx(ω ) dihubungkan dengan transformasi Fourier:

ρ X ( τ ) = ,

sx(ω ) = .

Dengan asumsi persamaan pertama τ = 0 dan mengingat itu ρ x (0) = 1, kita punya

itu. luas keseluruhan, dibatasi oleh jadwal kerapatan spektral yang dinormalisasi sama dengan 1.

§ 7. Sifat ergodik dari fungsi acak stasioner.

Pertimbangkan beberapa fungsi acak stasioner X(T) dan anggaplah perlu untuk memperkirakan karakteristiknya: ekspektasi matematis mx dan fungsi korelasi kx(τ ). Karakteristik ini, atau lebih tepatnya, perkiraannya dan, sebagaimana telah disebutkan, dapat diperoleh dari pengalaman, memiliki nomor yang diketahui implementasi fungsi acak X(T). Karena terbatasnya jumlah observasi, fungsi tersebut tidak akan sepenuhnya konstan; fungsi tersebut harus dirata-ratakan dan diganti dengan beberapa konstanta; demikian pula, rata-rata nilai untuk yang berbeda τ = T 2 – T 1, kita memperoleh fungsi korelasi.

Metode pemrosesan ini jelas cukup rumit dan rumit dan, terlebih lagi, terdiri dari dua tahap: penentuan perkiraan karakteristik fungsi acak dan juga perkiraan rata-rata karakteristik tersebut. Pertanyaan yang wajar muncul: mungkinkah fungsi acak stasioner menggantikan proses ini dengan proses yang lebih sederhana, yang terlebih dahulu didasarkan pada asumsi bahwa ekspektasi matematis tidak bergantung pada waktu, dan fungsi korelasi tidak bergantung pada titik asal? .

Selain itu, muncul pertanyaan: ketika memproses observasi fungsi acak stasioner, apakah penting untuk memiliki beberapa implementasi? Karena proses acak bersifat stasioner dan berlangsung secara seragam dalam waktu, maka wajar untuk berasumsi demikian satu-satunya implementasi durasi yang cukup dapat berfungsi sebagai bahan yang cukup untuk memperoleh karakteristik fungsi acak.

Ternyata peluang seperti itu ada, namun tidak untuk semua orang proses acak. Misalnya, pertimbangkan dua fungsi acak stasioner, yang diwakili oleh sekumpulan implementasinya.

		Gambar.1		Gambar.2

Untuk fungsi acak X 1 (T) (Gbr. 1) dicirikan oleh ciri-ciri berikut: setiap implementasinya memiliki hal yang sama ciri ciri: nilai rata-rata di sekitar terjadinya osilasi dan kisaran rata-rata osilasi tersebut. Marilah kita secara sewenang-wenang memilih salah satu dari realisasi ini dan secara mental melanjutkan pengalaman yang diperolehnya selama jangka waktu tertentu. T. Tentunya untuk jumlah yang cukup besar T implementasi yang satu ini bisa memberi kita cukup pertunjukan yang bagus tentang sifat-sifat fungsi acak secara keseluruhan. Khususnya, dengan merata-ratakan nilai implementasi ini sepanjang sumbu x - seiring waktu, kita harus memperoleh nilai perkiraan ekspektasi matematis dari fungsi acak; dengan merata-ratakan deviasi kuadrat dari rata-rata ini, kita akan memperoleh perkiraan nilai varians, dan seterusnya.

Dikatakan memiliki fungsi seperti itu properti ergodik . Properti ergodiknya adalah bahwa setiap implementasi fungsi acak, seolah-olah, merupakan “perwakilan resmi” dari seluruh rangkaian implementasi yang mungkin.

Jika kita mempertimbangkan fungsinya X 2 (T) (Gambar 2), maka terlihat jelas bahwa pada setiap implementasi nilai rata-ratanya berbeda-beda dan berbeda nyata dengan yang lain. Oleh karena itu, jika Anda membuat nilai rata-rata tunggal untuk semua penerapan, nilai tersebut akan berbeda secara signifikan dari masing-masing penerapan.

Jika fungsi acak X(T) memiliki sifat ergodik, maka untuk itu rata-rata waktu(pada area observasi yang cukup luas) kira-kira sama dengan rata-rata selama serangkaian pengamatan. Hal yang sama juga berlaku untuk X 2 (T), X(T)X(T+τ), dll. Khususnya untuk yang cukup besar T harapan matematis mx dapat dihitung dengan menggunakan rumus

. (1)

Dalam rumus ini, untuk mempermudah, tanda ~ dihilangkan ketika mengkarakterisasi fungsi acak, yang berarti bahwa kita tidak berurusan dengan karakteristik itu sendiri, tetapi dengan perkiraannya.

Demikian pula, kita dapat menemukan fungsi korelasi kx(τ ) untuk apa pun τ . Karena

kx(τ ) = ,

kemudian menghitung nilai ini untuk tertentu τ , kita dapatkan

kx(τ ) ≈ , (2)

Di mana - implementasi terpusat. Setelah menghitung integral (2) untuk sejumlah nilai τ , adalah mungkin untuk mereproduksi secara kasar jalannya fungsi korelasi poin demi poin.

Dalam prakteknya, integral di atas biasanya diganti dengan jumlah yang terbatas. Ini dilakukan sebagai berikut. Mari kita bagi interval pencatatan fungsi acak menjadi N bagian yang sama panjangnya ∆ T, dan menunjukkan titik tengah dari bagian yang dihasilkan T 1 , T 2 , …, tn.

Mari kita nyatakan integral (1) sebagai jumlah integral pada bagian dasar ∆ T dan pada masing-masingnya kita akan memperoleh fungsinya X(T) dari bawah tanda integral dengan nilai rata-rata yang sesuai dengan pusat interval - X(itu saya). Kami mendapatkan kira-kira

m x = = /

Demikian pula, Anda dapat menghitung fungsi korelasi untuk nilai-nilai tersebut τ , sama dengan 0, ∆ T, 2∆T, ... Mari kita beri, misalnya, nilainya τ arti

τ = 2∆T = .

Mari kita menghitung integral (2) dengan membagi interval integrasi

T - τ = =

pada N – M bagian yang sama panjangnya ∆ T dan menghilangkan fungsi dari tanda integral pada masing-masing fungsi dengan nilai rata-rata. Kami mengerti

.

Fungsi korelasi dihitung menggunakan rumus yang diberikan untuk M= 0, 1, 2,…. Secara konsisten hingga nilai-nilai tersebut M, di mana fungsi korelasi menjadi hampir sama dengan nol atau mulai membuat fluktuasi kecil yang tidak teratur di sekitar nol. Gerakan umum fungsi kx(τ ) direproduksi pada titik-titik individual.

Agar karakteristik dapat ditentukan dengan akurasi yang memuaskan, diperlukan jumlah poin N cukup besar (sekitar 100, dan dalam beberapa kasus lebih). Memilih panjang bagian dasar ∆ T ditentukan oleh sifat perubahan fungsi acak: jika berubah relatif lancar, maka bagian ∆ T Anda dapat memilih lebih dari saat itu membuat fluktuasi yang tajam dan sering. Sebagai panduan kasar, kami dapat merekomendasikan memilih bagian dasar agar periode penuh harmonik frekuensi tertinggi dalam fungsi acak menyumbang sekitar 5-10 titik referensi.

Larutan tugas-tugas khas

1. a) Fungsi acak X(T) = (T 3 + 1)kamu, Di mana kamu– variabel acak yang nilainya termasuk dalam interval (0; 10). Temukan implementasi fungsi X(T) dalam dua pengujian yang nilainya kamu mengambil nilai kamu 1 = 2, kamu 2 = 3.

Larutan. Sejak penerapan fungsi acak X(T) disebut fungsi argumen non-acak T, maka untuk nilai kuantitas tersebut kamu implementasi yang sesuai dari fungsi acak akan menjadi

X 1 (T) = 2(T 3 + 1), X 2 (T) = 3(T 3 + 1).

b) Fungsi acak X(T) = kamu dosa T, Di mana kamu– variabel acak.

Temukan bagian X(T), sesuai dengan nilai argumen tetap T 1 = , T 2 = .

Larutan. Karena penampang fungsi acak X(T) adalah variabel acak yang sesuai dengan nilai argumen yang tetap, maka untuk nilai argumen tertentu, penampang yang sesuai adalah

X 1 = kamu· = , X 2 = kamu· = kamu.

2. Temukan ekspektasi matematis dari fungsi acak X(T) = kamu· ℮t, Di mana kamu M(kamu) = 5.

Larutan. Mari kita ingat hal itu harapan matematis fungsi acak X(T) disebut fungsi non-acak mx(T) = M[X(T)], yang untuk setiap nilai argumen T sama dengan ekspektasi matematis dari bagian yang sesuai dari fungsi acak. Karena itu

mx(T) = M[X(T)] = M[kamu· ℮t].

mx(T) =M[kamu· ℮t] = ℮ t M(kamu) = 5℮t.

3. Temukan ekspektasi matematis dari fungsi acak a) X(T) = Ut 2 +2T+1; B) X(T) = kamu dosa4 T + V · cos4 T, Di mana kamu Dan V adalah variabel acak, dan M(kamu) = M(V) = 1.

Larutan. Menggunakan properti m.o. fungsi acak, yang kita miliki

A) mx(T) = M(Ut 2 +2T+1) = M(Ut 2) +M(2T) + M(1) = M(kamu)T 2 +2T+1 = T 2 +2T+1.

B) mx(T) = M(kamu dosa4 T + V · cos4 T) = M(kamu dosa4 T) + M(V · cos4 T) = M(kamu)· dosa4 T + M(V)· cos4 T= dosa4 T+ karena4 T.

4. Diketahui fungsi korelasinya Kx fungsi acak X(T). Temukan fungsi korelasi dari fungsi acak Y(T) = X(T) + T 2, menggunakan definisi m.o. dan fungsi korelasi.

Larutan. Ayo temukan m.o. fungsi acak Y(T):

ku(T) = M[Y(T)] = M[X(T) + T 2 ] = M[X(T)] + T 2 = mx(T) + T 2 .

Mari kita cari fungsi terpusatnya

= Y(T) - ku(T) = [X(T) + T 2 ] – [mx(T) + T 2 ] = X(T) –mx(T) = .

K kamu = = = Kx.

5. Diketahui fungsi korelasinya Kx fungsi acak X(T). Temukan fungsi korelasi dari fungsi acak a) Y(T)=X(T)·( T+1); B) Z(T)=C· X(T), Di mana DENGAN– konstan.

Larutan. a) Ayo cari m.o. fungsi acak Y(T):

ku(T) = M[Y(T)] = M[X(T) · ( T+1)] = (T+1) · M[X(T)].

Mari kita cari fungsi terpusatnya

=Y(T)-ku(T)=X(T)·( T+1) - (T+1)· M[X(T)] = (T+1)·( X(T) - M[X(T)]) = (T+1) · .

Sekarang mari kita cari fungsi korelasinya

K kamu = = = (T 1 +1)(T 2 +1)Kx.

b) Sama halnya dengan kasus a) dapat dibuktikan demikian

K kamu = DENGAN 2 Kx.

6. Varians diketahui Dx(T) fungsi acak X(T Y(T) =X(T)+2.

Larutan. Menambahkan suku non-acak ke fungsi acak tidak mengubah fungsi korelasi:

K kamu(T 1 , T 2) = Kx(T 1 , T 2).

Kami tahu itu Kx(T, T) = Dx(T), Itu sebabnya

D(T) = K kamu(T, T) = Kx(T, T) = Dx(T).

7. Varians diketahui Dx(T) fungsi acak X(T). Temukan varians dari fungsi acak Y(T) = (T+3) · X(T).

Larutan. Ayo temukan m.o. fungsi acak Y(T):

ku(T) = M[Y(T)] = M[X(T) · ( T+3)] = (T+3) · M[X(T)].

Mari kita cari fungsi terpusatnya

=Y(T)-ku(T)=X(T)·( T+3) - (T+3) · M[X(T)] = (T+3)·( X(T) - M[X(T)]) = (T+3) · .

Mari kita cari fungsi korelasinya

K kamu = = = (T 1 +3)(T 2 +3)Kx.

Sekarang mari kita cari variansnya

D(T) = K kamu(T, T) = (T+3)(T+3)Kx(T, T) = (T+3) 2 Dx(T).

8. Diberikan fungsi acak X(T) = kamu cos2 T, Di mana kamu adalah variabel acak, dan M(kamu) = 5, D(kamu) = 6. Temukan ekspektasi matematis, fungsi korelasi, dan varians dari fungsi acak X(T).

Larutan. Mari kita cari ekspektasi matematis yang diperlukan dengan menghilangkan faktor non-acak cos2 T untuk tanda m.o.:

M[X(T)] = M[kamu cos2 T] = cos2 t ·M(kamu) = 5cos2 T.

Mari kita cari fungsi terpusatnya:

= X(T) - mx(T) = kamu cos2 T- 5cos2 T = (kamu – 5) karena2 T.

Mari kita cari fungsi korelasi yang diinginkan:

Kx(T 1 , T 2) = = M{[(kamu- 5)· cos2 T 1 ] [(kamu- 5)· cos2 T 2 ]} =

karena2 T 1 cos2 T 2 M(kamu- 5) 2 .

Selanjutnya, dengan mempertimbangkan bahwa untuk variabel acak kamu varians menurut definisi sama dengan D(kamu) = M[(kamu - m((kamu)] 2 = M((kamu- 5) 2 , kita mengerti M((kamu- 5) 2 = 6. Oleh karena itu, untuk fungsi korelasi akhirnya kita miliki

Kx(T 1 , T 2) = 6cos2 T 1 cos2 T 2 .

Sekarang mari kita cari dispersi yang diperlukan, yang kita tetapkan T 1 = T 2 = T:

Dx(T) = Kx(T, T) = 6cos 2 2 T.

9. Fungsi korelasi diberikan Kx(T 1 , T 2) = T 1 T 2. Temukan fungsi korelasi yang dinormalisasi.

Larutan. Menurut definisi, fungsi korelasi dinormalisasi

ρx(T 1 , T 2) = = = .

Tanda dari ekspresi yang dihasilkan bergantung pada apakah ada argumen T 1 dan T 2 tanda-tanda yang identik atau berbeda. Penyebutnya selalu positif, jadi akhirnya kita punya

ρx(T 1 , T 2) =

10. Harapan matematis diberikan mx(T) = T 2 + 4 fungsi acak X(T). Temukan ekspektasi matematis dari fungsi acak Y(T) = terima kasih´( T) + T 2 .

Larutan. Ekspektasi matematis dari turunan fungsi acak sama dengan turunan ekspektasi matematisnya. Itu sebabnya

ku(T) = M(Y(T)) = M(terima kasih´( T) + T 2) = M(terima kasih´( T)) + M(T 2) =

= t∙M(X´( T)) + T 2 = t∙(mx(T))´ + T 2 = t∙(T 2 + 4)´ + T 2 = 3T 2 .

11. Fungsi korelasi diberikan Kx= fungsi acak X(T). Temukan fungsi korelasi dari turunannya.

Larutan. Untuk mencari fungsi korelasi turunannya, Anda perlu membedakan fungsi korelasi dari fungsi acak asli dua kali, pertama terhadap satu argumen, lalu terhadap argumen lainnya.

= .

+ =

= .

12. Fungsi acak diberikan X(T) = kamu℮3 ton cos2 T, Di mana kamu adalah variabel acak, dan M(kamu) = 4, D(kamu) = 1. Tentukan ekspektasi matematis dan fungsi korelasi turunannya.

Larutan. mx(T) = M(X(T)) = M(kamu℮3 ton cos2 T) = M(kamu)℮3 ton cos2 T = 4℮3 ton cos2 T.

M(X(T)) = (mx(T))´ = 4(3℮ 3 ton cos2 T – 2℮3 ton dosa2 T) = 4℮3 ton(3cos2 T– 2sin2 T).

Mari kita cari fungsi korelasi dari fungsi acak asli. Fungsi acak terpusat adalah

= X(T) - mx(T) = kamu℮3 ton cos2 T- 4℮3 ton cos2 T = (kamu – 4)℮3 ton cos2 T.

Kx(T 1 , T 2) = = M{[(kamu- 4) karena2 T 1 ] [(kamu- 4) karena2 T 2 ]} =

karena2 T 1 cos2 T 2 M((kamu- 4) 2)= cos2 T 1 cos2 T 2 D(kamu)=cos2 T 1 cos2 T 2 .

Mari kita cari turunan parsial dari fungsi korelasi terhadap argumen pertama

karena2 T 2 =

karena2 T 2 (3cos2 T 1 – 2sin2 T 1).

Mari kita cari turunan campuran kedua dari fungsi korelasi

= (3cos2 T 1 – 2sin2 T 1) =

= (3cos2 T 1 – 2sin2 T 1) (3cos2 T 2 – 2sin2 T 2).

13. Fungsi acak diberikan X(T), memiliki ekspektasi matematis

mx(T) = 3T 2 + 1. Temukan ekspektasi matematis dari fungsi acak Y(T)= .

Larutan. Ekspektasi matematis yang diperlukan

ku(T) = = = T 2 + T.

14. Temukan ekspektasi matematis dari integral tersebut Y(T)= , mengetahui ekspektasi matematis dari fungsi acak X(T):

A) mx(T) = T–cos2 T; B) mx(T) = 4cos 2 T.

Larutan. A) ku(T) = = = .

B) ku(T) = = = = + =

2T+ dosa2 T.

15. Fungsi acak diberikan X(T) = kamu℮2t cos3 T, Di mana kamu adalah variabel acak, dan M(kamu) = 5. Tentukan ekspektasi matematis dari integral tersebut Y(T)= .

Larutan. Pertama, mari kita cari ekspektasi matematis dari fungsi acak itu sendiri.

mx(T) = M(kamu℮2t cos3 T) = M(kamu)℮2t cos3 T = 5℮2t cos3 T.

ku(T) = = 5 = =

= ℮2t dosa3 T - = =

= ℮2t dosa3 T – =

= ℮2t dosa3 T + ℮2t cos3 T – .

Oleh karena itu, kita telah memperoleh integral melingkar

5 + = ℮2t dosa3 T + ℮2t cos3 T.

atau = ℮2t( dosa3 T+ karena3 T).

Akhirnya ku(T) = ℮2t( dosa3 T+ karena3 T).

16. Temukan ekspektasi matematis dari integral tersebut Y(T) = , mengetahui fungsi acak X(T) =kamu℮3 ton dosa T, Di mana kamu adalah variabel acak, dan M(kamu)=2.

Larutan. Mari kita cari ekspektasi matematis dari fungsi acak itu sendiri.

mx(T) = M(kamu℮3t dosa T) = M(kamu)℮3t dosa T = 2℮3t dosa T.

ku(T) = = 2 = =

= – 2℮3t karena T + = =

= – 2℮3t karena T + ℮3t dosa T – .

Kita punya = – ℮3t karena T + ℮3t dosa T.

Akhirnya ku(T) = – ℮2t karena T + ℮2t dosa T.

17. Fungsi acak diberikan X(T), memiliki fungsi korelasi

Kx(T 1 , T 2) = T 1 T 2. Temukan fungsi korelasi integral Y(T)= .

Larutan. Pertama kita cari fungsi korelasi integralnya, yaitu sama dengan integral ganda dari fungsi korelasi tertentu. Karena itu,

K kamu(T 1 , T 2) = = = = .

Lalu variansnya Mati(T) = K kamu(T, T) = .

18. Fungsi korelasi diberikan Kx(T 1 , T 2) = fungsi acak X(T). Temukan varians integralnya Y(T)= .

Larutan. Mari kita cari fungsi korelasi integral

K kamu(T 1 , T 2) = = =

= = .

Lalu variansnya

Mati(T) = K kamu(T, T) = .

19. Temukan varians integralnya Y(T) = , mengetahui fungsi korelasi dari fungsi acak X(T):

A) Kx(T 1 ,T 2) = ; B) Kx(T 1 , T 2) = .

Larutan. A) K kamu(T 1 , T 2) = = .

Membangun perluasan spektral dari fungsi acak stasioner

X(t) dalam jangka waktu yang terbatas (Oh, T), kami memperoleh spektrum varians dari fungsi acak dalam bentuk serangkaian garis diskrit individu yang dipisahkan oleh interval yang sama (yang disebut spektrum “terputus-putus” atau “garis”).

Jelasnya, semakin besar periode waktu yang kita pertimbangkan, semakin lengkap informasi kita tentang fungsi acak tersebut. Oleh karena itu, wajar jika mencoba mencapai batas dekomposisi spektral pada T-> oo dan lihat spektrumnya berubah menjadi apa

fungsi acak. Oleh karena itu jarak

antara frekuensi ods di mana spektrum dibangun akan berada T-> oo berkurang tanpa batas waktu. Dalam hal ini, spektrum diskrit akan mendekati spektrum kontinu, di mana setiap interval frekuensi kecil Aco akan berhubungan dengan dispersi dasar ADco.

Mari kita coba menggambarkan spektrum kontinu secara grafis. Untuk melakukan ini, kita harus sedikit mengatur ulang grafik spektrum diskrit menjadi terbatas T. Yaitu, kita akan memplot pada sumbu ordinat, bukan dispersi itu sendiri Dk(yang berkurang tanpa batas dengan T-"ooo), dan kepadatan dispersi rata-rata, itu. dispersi per satuan panjang interval frekuensi tertentu. Mari kita nyatakan jarak antara frekuensi ACO yang berdekatan:

dan pada setiap ruas Aso sebagai alas kita membuat persegi panjang dengan luas D k ( beras. 17.3.1). Kami memperoleh diagram langkah yang menyerupai prinsip konstruksi histogram distribusi statistik.

Ketinggian diagram pada bagian Aco yang berdekatan dengan titik tanah adalah sama dengan

Beras. 17.3.1

dan mewakili kepadatan penyebaran rata-rata di area ini. Luas total seluruh diagram jelas sama dengan varians fungsi acak.

Kami akan menambah intervalnya tanpa batas waktu T. Dalam hal ini, Du -> O, dan kurva berundak akan mendekati kurva mulus tanpa batas S x (с) (Gbr. 17.3.2). Kurva ini menggambarkan kerapatan distribusi dispersi pada frekuensi spektrum kontinu, dan fungsi D x.(a>) itu sendiri disebut kepadatan dispersi spektral, atau, singkatnya, kepadatan spektral fungsi acak stasioner X(t).

Beras. 17.3.2

Jelasnya, luas daerah yang dibatasi oleh kurva D g (co) harus tetap sama dengan dispersi Dx fungsi acak X(t):

Rumus (17.3.2) tidak lain adalah perluasan varians Dx dengan jumlah suku dasar L'Dso) s/co, yang masing-masing mewakili dispersi per rentang frekuensi dasar dco, berdekatan dengan titik с (Gbr. 17.3.2).

Oleh karena itu, kami mempertimbangkan karakteristik tambahan baru dari proses acak stasioner - kerapatan spektral, yang menggambarkan komposisi frekuensi proses stasioner. Namun, karakteristik ini tidak berdiri sendiri; itu sepenuhnya ditentukan oleh fungsi korelasi dari proses ini. Sama seperti ordinat spektrum diskrit Dk dinyatakan dengan rumus (17.2.4) melalui fungsi korelasi k x ( t), kerapatan spektral Sx(a) juga dapat dinyatakan melalui fungsi korelasi.

Mari kita turunkan ungkapan ini. Untuk melakukan ini, ayo pergi ke perluasan kanonik fungsi korelasi hingga batas di T-> oh dan mari kita lihat apa jadinya. Kita akan melanjutkan dari perluasan (17.2.1) fungsi korelasi menjadi deret Fourier pada interval berhingga (-T, 7):

dimana dispersi yang sesuai dengan frekuensi w/( dinyatakan dengan rumus

Sebelum melewati limit sebagai Г -> oo, mari kita lewati rumus (17.3.3) dari dispersi Dk dengan kepadatan dispersi rata-rata

Karena kepadatan ini dihitung bahkan pada nilai akhir T dan bergantung pada T, Mari kita nyatakan:

Membagi ekspresi (17.3.4) dengan kita mendapatkan:

Dari (17.3.5) berikut ini

Mari kita substitusikan ekspresi (17.3.7) ke dalam rumus (17.3.3); kita mendapatkan:

Mari kita lihat ekspresi (17.3.8) berubah menjadi kapan T-> oo. Tentunya dalam hal ini Aso -> 0; argumen diskrit ω/(berubah menjadi argumen yang terus berubah ω; jumlahnya berubah menjadi integral atas variabel ω; kepadatan rata-rata varians S X T) ( dengan A.) cenderung ke kepadatan dispersi A L.(ω), dan ekspresi (17.3.8) dalam batasnya berbentuk:

Di mana S x (с) -kerapatan spektral dari fungsi acak stasioner.

Melewati batas sebagai Γ -> oo dalam rumus (17.3.6), kita memperoleh ekspresi kerapatan spektral melalui fungsi korelasi:

Ekspresi seperti (17.3.9) dikenal dalam matematika sebagai Integral Fourier. Integral Fourier adalah generalisasi dari ekspansi deret Fourier untuk kasus fungsi non-periodik yang dipertimbangkan pada interval tak hingga, dan mewakili perluasan fungsi tersebut menjadi jumlah osilasi harmonik dasar dengan spektrum kontinu 1.

Sama seperti deret Fourier yang menyatakan fungsi yang dapat diperluas melalui koefisien deret tersebut, yang selanjutnya dinyatakan melalui fungsi yang dapat diperluas, rumus (17.3.9) dan (17.3.10) menyatakan fungsinya k x ( m) dan A x (k>) saling menguntungkan: satu sama lain. Rumus (17.3.9) menyatakan fungsi korelasi dalam kerapatan spektral; rumus

(17.3.10), sebaliknya, menyatakan kerapatan spektral melalui fungsi korelasi. Rumus seperti (17.3.9) dan (17.3.10) yang menghubungkan dua fungsi disebut Transformasi Fourier.

Dengan demikian, fungsi korelasi dan kerapatan spektral dinyatakan satu sama lain menggunakan transformasi Fourier.

Perhatikan bahwa dari rumus umum (17.3.9) pada m = 0 diperoleh dekomposisi dispersi menjadi frekuensi (17.3.2) yang diperoleh sebelumnya.

Dalam praktiknya, bukan kepadatan spektral S x ( co) sering digunakan dinormalisasi kepadatan spektral:

Di mana Dx- varians dari fungsi acak.

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa fungsi korelasi yang dinormalisasi p l (m) dan kerapatan spektral yang dinormalisasi l A (ω) dihubungkan oleh transformasi Fourier yang sama:

Dengan asumsi persamaan pertama (17.3.12) t = 0 dan dengan memperhitungkan bahwa p t (0) = 1, kita mendapatkan:

itu. luas total yang dibatasi oleh grafik kerapatan spektral yang dinormalisasi sama dengan satu.

Contoh 1. Fungsi korelasi yang dinormalisasi p x (m) dari fungsi acak X(t) berkurang sebesar hukum linier dari satu ke nol pada 0 t 0 r l.(t) = 0 (Gbr. 17.3.3). Tentukan kerapatan spektral yang dinormalisasi dari fungsi acak X(t).

Larutan. Fungsi korelasi yang dinormalisasi dinyatakan dengan

rumus:

Dari rumus (17.3.12) kita mendapatkan:

Beras. 17.3.3

Beras. 17.3.4

Grafik kerapatan spektral yang dinormalisasi ditunjukkan pada Gambar. 17.3.4. Yang pertama - absolut - kerapatan spektral maksimum dicapai pada co = 0; mengungkapkan ketidakpastian

kerapatan spektral mencapai sejumlah maksimum relatif, yang tingginya menurun seiring dengan meningkatnya co; ketika ω -> oo l A. (o>) -> 0. Sifat perubahan kerapatan spektral s x (с) (penurunan cepat atau lambat) tergantung pada parameter m 0. luas keseluruhan, dibatasi oleh kurva sx(co), konstan dan sama dengan kesatuan. Perubahan m 0 sama dengan perubahan skala kurva, s" A .(co) sepanjang kedua sumbu dengan tetap mempertahankan luasnya. Dengan bertambahnya m 0, skala sepanjang sumbu ordinat bertambah, sepanjang absis sumbu berkurang; dominasi fungsi acak frekuensi nol dalam spektrum menjadi lebih jelas Dalam batas, karena m -> oo, fungsi acak merosot menjadi variabel acak biasa; dan spektrum menjadi diskrit dengan frekuensi tunggal dengan 0 = 0.

Beras. 17.3.5

Contoh 2. Kerapatan spektral yang dinormalisasi.v v (co) dari fungsi acak X(t) konstan pada interval frekuensi tertentu a>b a>2 dan sama dengan nol di luar interval ini (Gbr. 17.3.5).

Tentukan fungsi korelasi ternormalisasi dari fungsi acak X(t).

Larutan. Nilai xl (co) pada “t 2 ditentukan dari kondisi luas yang dibatasi oleh kurva sx(co), sama dengan satu:

Dari (17.3.12) kita memiliki:

Tampilan umum fungsi p d (t) ditunjukkan pada Gambar. 17.3.6. Ia memiliki karakter osilasi yang berkurang amplitudonya dengan sejumlah node di mana fungsinya hilang. Tampilan spesifik Grafiknya jelas bergantung pada nilai a>a>2.

Beras. 17.3.6

Yang menarik adalah bentuk limit dari fungsi p x (m) sebagai “t -> ω 2. Jelasnya, ketika ω 2 = ω = ω, spektrum fungsi acak menjadi diskrit dengan satu garis yang sesuai dengan frekuensi ω; dalam hal ini, fungsi korelasi berubah menjadi kosinus sederhana:

Mari kita lihat apa bentuk fungsi acak itu sendiri dalam kasus ini X(t). Dengan spektrum diskrit dengan satu garis

perluasan spektral dari fungsi acak stasioner X(t) memiliki penampilan;

Di mana U vlV - variabel acak yang tidak berkorelasi dengan ekspektasi matematis sama dengan nol dan varians yang sama:

Mari kita tunjukkan bahwa fungsi acak tipe (17.3.14) dapat direpresentasikan sebagai satu osilasi harmonik frekuensi с dengan amplitudo acak dan fase acak. Menunjuk

kami mengurangi ekspresi (17.3.14) menjadi bentuk:

Dalam ungkapan ini - amplitudo acak; F - fase acak getaran harmonis.

Sampai saat ini, kami hanya mempertimbangkan kasus ketika distribusi frekuensi dispersi kontinu, yaitu. ketika rentang frekuensi yang sangat kecil menyebabkan dispersi yang sangat kecil. Dalam praktiknya, terkadang ada kasus ketika fungsi acak berisi komponen frekuensi periodik murni o>a dengan amplitudo acak. Kemudian, dalam perluasan spektral fungsi acak, selain spektrum frekuensi kontinu, co* frekuensi terpisah akan muncul, dengan dispersi terbatas Dk. Secara umum, mungkin ada beberapa komponen periodik seperti itu. Maka perluasan spektral fungsi korelasi akan terdiri dari dua bagian: spektrum diskrit dan kontinu:

Kasus fungsi acak stasioner dengan spektrum “campuran” cukup jarang terjadi dalam praktiknya. Dalam kasus ini, selalu masuk akal untuk membagi fungsi acak menjadi dua suku - dengan spektrum kontinu dan diskrit - dan mempelajari suku-suku ini secara terpisah.

Seringkali kita harus menghadapi kasus khusus ketika dispersi akhir dalam perluasan spektral fungsi acak terjadi pada frekuensi nol (ω = 0). Ini berarti bahwa fungsi acak termasuk dalam suatu suku suatu variabel acak biasa yang mempunyai varians D0. DI DALAM kasus serupa masuk akal juga untuk mengisolasi istilah acak ini dan mengoperasikannya secara terpisah.

• Rumus (17.3.9) adalah bentuk khusus integral Fourier, yang menggeneralisasi perluasan deret Fourier dari fungsi genap dalam harmonik kosinus. Ungkapan serupa dapat ditulis lebih lanjut kasus umum.
• Di sini kita berhadapan dengan kasus khusus transformasi Fourier - yang disebut "transformasi kosinus Fourier".

Diperlukan dan kondisi cukup ergodisitas ξ (t) di

kaitannya dengan dispersi adalah rumus (2.5), dan syarat cukup adalah (2.6).

Biasanya, proses acak stasioner bersifat non-ergodik jika berlangsung secara tidak seragam. Misalnya, non-ergodisitas

ξ (t) dapat disebabkan oleh fakta bahwa ia mengandung variabel acak X dengan karakteristik m x dan D x. Maka, karenaξ 1 (t) = ξ (t) + X, maka m ξ 1 = m ξ + m x,K ξ 1 (τ) = K ξ (τ) + D x

dan τ→∞ limK ξ 1 (τ ) = τ→∞ lim[ K ξ (τ ) + D x ] = τ→∞ limK ξ (τ ) + τ→∞ limD x = D x ≠ 0 .

2.2. Dekomposisi spektral dari proses acak stasioner dan transformasi Fourier. Kepadatan Spektral

Gagasan utama representasi spektral dari proses acak adalah bahwa proses tersebut dapat digambarkan sebagai jumlah harmonik tertentu. Representasi ini memungkinkan untuk dengan mudah melakukan berbagai transformasi, baik linier maupun nonlinier, pada proses acak. Misalnya, seseorang dapat mempelajari bagaimana dispersi suatu proses acak didistribusikan pada frekuensi harmonik penyusunnya. Penggunaan informasi tersebut merupakan intisarinya teori spektral proses acak stasioner.

Teori spektral memungkinkan penggunaan gambar Fourier dari proses acak dalam perhitungan. Dalam beberapa kasus, hal ini sangat menyederhanakan perhitungan dan digunakan secara luas, terutama dalam studi teoritis.

Proses acak stasioner ξ (t) dapat ditentukan dengan caranya sendiri

mereka dengan dekomposisi kanonik atau spektral:

k = 0

dimana ψ k adalah fase osilasi harmonik acak dasar

proses, yang merupakan variabel acak yang terdistribusi secara merata pada suatu interval dalam interval (0,2π),z k – am-

amplitudo osilasi harmonik dari proses acak dasar, dan z k juga merupakan variabel acak dengan beberapa

mz dan Dz.

Misalkan ξ k (t) = x k cos ω k t + y k sin ω k t, maka m ξ k = 0,

K ξ k (t 1 , t 2 ) = M [ (x kcos ω kt 1 + y ksin ω kt 1 )(x kcos ω kt 2 + y ksin ω kt 2 ) ] =

M [ x k 2 cosω k t 1 cosω k t 2 + x k y k (sinω k t 1 cosω k t 2 +

Cos ω k t 1 sinω k t 2 ) + y k 2 sinω k t 1 sinω k t 2 ] =

M [ x k 2 ] cosω k t 1 cosω k t 2 + M [ y k 2 ] sinω k t 1 sinω k t 2 =

D k cosω k (t 2 − t 1 ) = D k cosω k τ .

Maka m ξ k = M [ z k cosψ k sinω k t + z k sinψ k sinω k t ] = 0 ,

K ξ k (t 1 ,t 2 ) = M [ (z k cosψ k sinω k t 1 + z k sinψ k sinω k t 1 ) × × (z cosψ cosω t + z sinψ sinω t ) ] =

M [ z k 2 ] ( M [ cos2 ψ k ] cosω k t 1 cosω k t 2 +

M [ sinψ k cosψ k ] sinω k t 1 cosω k t 2 +

M [ cosψ k sinψ k ] cosω k t 1 sinω k t 2 +

M [ sin2 ψ k ] sinω k t 1 sinω k t 2 ) = D z k + 2 m z k cos(t 2 − t 1 ) .k k k 2 k k k 2

Jadi, berdasarkan asumsi yang dibuat dalam rumus (2.8) dan (2.10) tentang sifat-sifat yang termasuk dalam rumus variabel acak ini, representasi (2.8) dan (2.10) adalah ekuivalen. Dalam hal ini,

jumlah teh z i dan ψ i ,i = 1,∞ saling bergantung, karena, jelas, hubungannya berlaku

Karena fungsi kovarians dari proses acak stasioner adalah bahkan berfungsi, maka dapat divariasikan pada interval (− T ,T )

dimasukkan ke dalam deret Fourier dalam bentuk kosinus, mis. K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k cosω k τ ,

Karena ω k dapat diartikan sebagai harmonik dari spesifikasi

perluasan total dari proses acak stasioner (2.8), lalu varians total dari proses acak stasioner, yang diwakili oleh dekomposisi kanonik (spektral), sama dengan jumlah dispersi semua harmonik dekomposisi spektralnya. Pada Gambar. 2.1

menunjukkan sekumpulan dispersi D k yang berhubungan dengan berbagai harmonik ω i . Semakin panjang interval dekomposisi sesuai rumus

(2.9) diambil, semakin akurat pemuaian menurut rumus ini. Jika kita mengambil T ′ = 2T, maka spektrum dispersi dari dekomposisi spektral

Besaran S ξ (ω k ) ∆ω = D k adalah bagian dari total

varians dari proses acak stasioner ξ (t) yang disebabkan oleh harmonik ke-k. Sebagai T → ∞ (atau sebagai ∆ω→ 0), fungsi S ξ (ω k) akan mendekati kurva S ξ (ω), yang mana

surga disebut kepadatan spektral dari kasus stasioner -

proses ξ (t) (Gbr. 2.2). Dari (2.13) dapat disimpulkan bahwa fungsi K ξ (τ) dan S ξ (ω) dihubungkan satu sama lain melalui transformasi kosinus Fourier. Dengan demikian,

Beras. 2.2. Grafik fungsi S ξ (ω k) Dan Sξ (ω )

Kepadatan spektral, dengan analogi dengan fungsi kepadatan probabilitas, memiliki sifat sebagai berikut:

1. Sξ (ω ) ≥0.

2. ∞ ∫ Sξ (ω ) Dω = ∞ ∫ Sξ (ω ) karena(0 ω ) Dω = Kξ (0 ) =Dξ .

Jika Anda memasukkan fungsinya Sξ (ω ) , didefinisikan sebagai berikut:

Sξ (ω ) =Sξ 2 (ω ) , ω≥ 0,

ditelepon kerapatan spektral dari proses acak stasioner di bentuk yang kompleks, maka fungsi ini, selain dua properti di atas, memiliki properti ketiga - properti paritas (Gbr. 2.3).

3. Sξ (ω ) =Sξ (− ω ) .

Beras. 2.3. Plot fungsi kepadatan spektral

Mari kita tulis ulang (2.8) dalam bentuk berikut:

dapat diperoleh representasi kanonik integral ratus

proses acak nasional:

dicuci" kebisingan putih"(lihat ayat 2.4). Karakteristik statistik

perluasan spektral dari proses acak stasioner dalam bentuk kompleks memiliki bentuk

Tindakan serupa dapat dilakukan dengan fungsi kovarians yang disajikan dalam bentuk (2.9), dan diperoleh

K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k e Sayaω kT.

k=−∞

Rumus (2.13), dengan memperhatikan pengenalan fungsi, dapat ditulis ulang menjadi bentuk berikut:

Sξ (ω ) kamu bisa kembali

Rumus (2.18) dan (2.19) mewakili transformasi Fourier dari kerapatan spektral Sξ (ω ) dan fungsi kovarians Kξ (τ ) dalam bentuk yang kompleks.

Sejak kepadatan spektral Sξ (ω ) mewakili

kepadatan distribusi dispersi proses acak pada frekuensi harmoniknya, kemudian dalam beberapa penerapan teori acak

proses akhir Kξ ( 0) = Dξ (T) ditafsirkan sebagai energi dari proses acak stasioner, dan Sξ (ω ) - bagaimana kepadatannya

energi per satuan frekuensi. Penafsiran ini muncul setelah penerapan teori proses acak stasioner dalam teknik elektro.

Contoh 5. Temukan Kepadatan Spektral Sξ (ω ) proses acak dasar ξ k(T) = Xk karena ω kT+ kamuk dosa ω kT.

= Dk∞ ∫ [ karena(ω− ω k) τ + karena(ω+ ω k) τ ] Dτ =

π 0

= Dk∞ ∫ [ eSaya(ω−ω

Sξ k (ω ) =

−Saya(ω−ω k) τ D(− τ ) + ∫ eSaya(ω−ω k) τ Dτ +

k(− 1 ) ∫ e

2π

+ (−1 ) ∫ e

−Saya(ω+ω k) τ D(− τ ) + ∫ eSaya(ω+ω k) τ Dτ

k∫

eSaya(ω−ω k)(−τ ) D(− τ ) + ∫ eSaya(ω−ω k) τ Dτ + (− 1 ) ∫ eSaya(ω+ω k)(−τ ) D(− τ ) +

2 π −∞

+ ∫ eSaya(ω+ω k) τ Dτ

k∫ eSaya(ω−ω k) τ Dτ +

∫eSaya

(ω+ω k) τ Dτ

2 π −∞

= Dk[ δ (ω− ω k) + δ (ω+ ω k) ] ,

Di mana δ (ω ) = 1 ∞ ∫ eSayaωτ Dτ – representasi integral dalam bentuk pra-

2 π −∞

pendidikan Fourier δ -Fungsi Dirac. Ekspresi untuk Sξ k(ω )

bisa saja dibiarkan seperti itu, tetapi untuk hal positif ω (Karena ω k> 0), dengan mempertimbangkan propertinya δ -fungsi (lihat Tabel 6

kita. 141), δ (ω+ ω k) ≡ 0 . Dengan demikian, Sξ (ω ) = Dkδ (ω− ω k) .

KemudianSξ k(ω ) =1 2 Sξ k(ω ) =D2 k[ δ (ω− ω k) + δ (ω+ ω k) ] .

Sekarang mari kita cari kerapatan spektral yang diberikan dalam bentuk kompleks. Fungsi Sξ (ω ) Dan Sξ k(ω ) – sah tidak-

fungsi negatif. Sξ k(ω ) – fungsi genap yang ditentukan pada interval (− ∞ ,∞ ) ,Sξ (ω ) – ditentukan pada interval ( 0,∞ ) , Dan

pada interval ini Sξ k(ω ) = 1 2 Sξ k(ω ) (lihat Gambar 2.3). Menurut rumus (2.19)