Matriks diagonal mempunyai struktur yang paling sederhana. Timbul pertanyaan apakah mungkin untuk menemukan dasar matriks tersebut operator linier akan memiliki tampilan diagonal. Dasar seperti itu memang ada.
Biarkan itu diberikan ruang linier R n dan operator linier A yang bekerja di dalamnya; dalam hal ini, operator A mengambil R n ke dalam dirinya sendiri, yaitu A:R n → R n .

Definisi. Vektor bukan nol x disebut vektor eigen dari operator A jika operator A mengubah x menjadi vektor kolinear, yaitu. Bilangan λ disebut nilai eigen atau nilai eigen dari operator A, yang bersesuaian dengan vektor eigen x.
Mari kita perhatikan beberapa sifat nilai eigen dan vektor eigen.
1. Setiap kombinasi linier dari vektor eigen operator A yang bersesuaian dengan nilai eigen yang sama λ adalah vektor eigen dengan nilai eigen yang sama.
2. Vektor eigen operator A dengan nilai eigen berbeda berpasangan λ 1 , λ 2 , …, λ m bebas linier.
3. Jika nilai eigen λ 1 =λ 2 = λ m = λ, maka nilai eigen λ berhubungan dengan tidak lebih dari m vektor eigen bebas linier.

Jadi, jika terdapat n vektor eigen bebas linier , sesuai dengan nilai eigen yang berbeda λ 1, λ 2, ..., λ n, maka nilai-nilai tersebut bebas linier, oleh karena itu, nilai-nilai tersebut dapat diambil sebagai basis ruang R n. Mari kita cari bentuk matriks dari operator linier A berdasarkan vektor eigennya, yang mana kita akan bertindak dengan operator A berdasarkan vektor basis: Kemudian .
Jadi, matriks operator linier A berdasarkan vektor eigennya berbentuk diagonal, dan nilai eigen operator A berada di sepanjang diagonal.
Apakah ada basis lain yang matriksnya berbentuk diagonal? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema berikut.

Dalil. Matriks operator linier A pada basis (i = 1..n) berbentuk diagonal jika dan hanya jika semua vektor basisnya adalah vektor eigen operator A.

Aturan untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen

. (*)

(1)
Di mana - matriks operator linier.

Sistem (1) mempunyai solusi bukan nol jika determinannya D sama dengan nol

Contoh 12. Operator linier A bekerja di R 3 menurut hukum, dimana x 1, x 2, .., x n adalah koordinat vektor di basis , , . Temukan nilai eigen dan vektor eigen dari operator ini.
Larutan. Kami membangun matriks operator ini:
.
Kami membuat sistem untuk menentukan koordinat vektor eigen:

Kompilasi persamaan karakteristik dan menyelesaikannya:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Substitusikan λ = -1 ke dalam sistem, kita peroleh:
atau
Karena , maka ada dua variabel terikat dan satu variabel bebas.
Misalkan x 1 adalah bilangan tak diketahui bebas Kami memecahkan sistem ini dengan cara apa pun dan menemukannya solusi umum sistem ini: Sistem solusi fundamental terdiri dari satu solusi, karena n - r = 3 - 2 = 1.
Himpunan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = -1 berbentuk: , dengan x 1 adalah bilangan apa pun selain nol. Mari kita pilih satu vektor dari himpunan ini, misalnya dengan memasukkan x 1 = 1: .
Dengan alasan yang sama, kita menemukan vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen λ = 3: .
Pada ruang R3, basisnya terdiri dari tiga garis linier vektor independen, kami hanya menerima dua vektor eigen yang bebas linier, yang darinya basis dalam R 3 tidak dapat dibuat. Akibatnya, kita tidak dapat mereduksi matriks A dari operator linier menjadi bentuk diagonal.

Contoh 13. Diberikan sebuah matriks .
1. Buktikan bahwa vektor adalah vektor eigen dari matriks A. Temukan nilai eigen yang sesuai dengan vektor eigen tersebut.
2. Temukan basis yang matriks A berbentuk diagonal.
Larutan.
1. Jika , maka x adalah vektor eigen

.
Vektor (1, 8, -1) merupakan vektor eigen. Nilai eigen λ = -1.
Matriks tersebut mempunyai bentuk diagonal dengan basis yang terdiri dari vektor-vektor eigen. Salah satunya terkenal. Mari kita temukan sisanya.
Kami mencari vektor eigen dari sistem:

Persamaan karakteristik: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Mari kita cari vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen λ = -3:

Rank matriks sistem ini adalah dua dan sama dengan nomornya tidak diketahui, jadi sistem ini hanya mempunyai solusi nol x 1 = x 3 = 0. x 2 di sini bisa berupa apa pun selain nol, misalnya x 2 = 1. Jadi, vektor (0,1,0) adalah vektor eigen , sesuai dengan λ = -3. Mari kita periksa:
.
Jika λ = 1, maka diperoleh sistemnya
Pangkat matriksnya adalah dua. Kami mencoret persamaan terakhir.
Misalkan x 3 adalah suatu bilangan tidak diketahui bebas. Maka x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Dengan asumsi x 3 = 1, kita mempunyai (-3,-9,1) - vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen λ = 1. Periksa:

.
Karena nilai eigennya nyata dan berbeda, maka vektor-vektor yang bersesuaian dengannya adalah bebas linier, sehingga dapat dijadikan basis dalam R 3 . Jadi, sebagai dasarnya , , matriks A berbentuk:
.
Tidak semua matriks operator linier A:R n → R n dapat direduksi menjadi bentuk diagonal, karena untuk beberapa operator linier mungkin terdapat kurang dari n vektor eigen bebas linier. Namun, jika matriksnya simetris, maka akar persamaan karakteristik multiplisitas m bersesuaian dengan tepat m vektor bebas linier.

Definisi. Matriks simetris disebut matriks persegi, yang elemen-elemennya simetris terhadap diagonal utama adalah sama, yaitu di mana .
Catatan. 1. Semua nilai eigen matriks simetris adalah nyata.
2. Vektor eigen suatu matriks simetris yang bersesuaian dengan nilai eigen berbeda berpasangan adalah ortogonal.
Sebagai salah satu dari banyak aplikasi peralatan yang dipelajari, kami mempertimbangkan masalah penentuan jenis kurva orde kedua.

Nilai eigen (angka) dan vektor eigen.
Contoh solusi

Jadilah diri sendiri

Dari kedua persamaan berikut ini.

Mari kita jelaskan: .

Sebagai akibat: – vektor eigen kedua.

Mari kita ulangi poin penting solusi:

– sistem yang dihasilkan pasti mempunyai solusi umum (persamaannya bergantung linier);

– kita memilih “y” sedemikian rupa sehingga bilangan bulat dan koordinat “x” pertama adalah bilangan bulat, positif dan sekecil mungkin.

– kita memeriksa bahwa solusi tertentu memenuhi setiap persamaan sistem.

Menjawab .

Terdapat cukup banyak “pos pemeriksaan” perantara, jadi pada prinsipnya pemeriksaan kesetaraan tidak diperlukan.

DI DALAM berbagai sumber informasi, koordinat vektor eigen seringkali ditulis bukan dalam kolom, melainkan dalam baris, misalnya: (dan sejujurnya saya sendiri sudah terbiasa menuliskannya dalam baris-baris). Opsi ini dapat diterima, namun sesuai dengan topiknya transformasi linier secara teknis lebih nyaman digunakan vektor kolom.

Mungkin solusinya tampak sangat panjang bagi Anda, tetapi ini hanya karena saya mengomentari contoh pertama dengan sangat rinci.

Contoh 2

Matriks

Ayo berlatih sendiri! Sampel perkiraan menyelesaikan tugas di akhir pelajaran.

Terkadang Anda perlu melakukannya tugas tambahan, yaitu:

tulis dekomposisi matriks kanonik

Apa itu?

Jika vektor eigen dari matriks terbentuk dasar, maka dapat direpresentasikan sebagai:

Dimana matriks terdiri dari koordinat vektor eigen, – diagonal matriks dengan nilai eigen yang sesuai.

Dekomposisi matriks ini disebut resmi atau diagonal.

Mari kita lihat matriks pada contoh pertama. Vektor eigennya independen linier(non-collinear) dan membentuk basis. Mari kita buat matriks koordinatnya:

Pada diagonal utama matriks dalam urutan yang sesuai nilai eigen berada, dan elemen lainnya sama dengan nol:
– Saya sekali lagi menekankan pentingnya keteraturan: “dua” berhubungan dengan vektor pertama dan oleh karena itu terletak di kolom pertama, “tiga” – dengan vektor ke-2.

Menggunakan algoritma biasa untuk mencari matriks terbalik atau Metode Gauss-Jordan kami menemukan . Tidak, itu bukan salah ketik! - sebelum kamu jarang, seperti gerhana matahari suatu kejadian ketika inversnya berimpit dengan matriks aslinya.

Masih harus ditulis dekomposisi kanonik matriks:

Sistem dapat diselesaikan dengan menggunakan transformasi dasar dan masuk contoh berikut kami akan menggunakan metode ini. Namun di sini metode “sekolah” bekerja lebih cepat. Dari persamaan ke-3 kita nyatakan: – substitusikan ke persamaan kedua:

Karena koordinat pertama adalah nol, kita memperoleh sistem dari setiap persamaan yang berikut ini.

Dan lagi perhatikan adanya wajib hubungan linier. Jika hanya solusi sepele yang diperoleh , maka nilai eigen yang ditemukan salah, atau sistem dikompilasi/diselesaikan dengan kesalahan.

Koordinat kompak memberi nilai

vektor eigen:

Dan sekali lagi, kami memeriksa apakah solusinya ditemukan memenuhi setiap persamaan sistem. Dalam paragraf berikutnya dan tugas selanjutnya, saya merekomendasikan untuk menganggap keinginan ini sebagai aturan wajib.

2) Untuk nilai eigen, dengan menggunakan prinsip yang sama, kita peroleh sistem berikut:

Dari persamaan ke-2 sistem kita nyatakan: – substitusikan ke persamaan ketiga:

Karena koordinat “zeta” sama dengan nol, kita memperoleh sistem dari setiap persamaan yang diikutinya ketergantungan linier.

Membiarkan

Memeriksa itu solusinya memenuhi setiap persamaan sistem.

Jadi, vektor eigennya adalah: .

3) Dan terakhir, sistem sesuai dengan nilai eigen:

Persamaan kedua terlihat paling sederhana, jadi mari kita nyatakan dan substitusikan ke persamaan ke-1 dan ke-3:

Semuanya baik-baik saja - hubungan linier telah muncul, yang kami substitusikan ke dalam ekspresi:

Hasilnya, “x” dan “y” dinyatakan melalui “z”: . Dalam praktiknya, tidak perlu mencapai hubungan seperti itu secara tepat; dalam beberapa kasus, lebih mudah untuk mengekspresikan keduanya melalui atau dan melalui . Atau bahkan "melatih" - misalnya, "X" hingga "I", dan "I" hingga "Z"

Mari kita jelaskan:

Kami memeriksa apakah solusinya ditemukan memenuhi setiap persamaan sistem dan menulis vektor eigen ketiga

Menjawab: vektor eigen:

Secara geometris, vektor-vektor ini menentukan tiga arah spasial yang berbeda ("bolak-balik"), yg mana transformasi linier mengubah vektor bukan nol (vektor eigen) menjadi vektor kolinear.

Jika kondisi tersebut memerlukan penemuan dekomposisi kanonik, maka hal ini dimungkinkan di sini, karena nilai eigen yang berbeda sesuai dengan vektor eigen independen linier yang berbeda. Membuat matriks dari koordinatnya, matriks diagonal dari relevan nilai eigen dan temukan matriks terbalik .

Jika, dengan syarat, Anda perlu menulis matriks transformasi linier berdasarkan vektor eigen, lalu kita berikan jawabannya dalam bentuk . Ada perbedaan, dan perbedaannya signifikan! Karena matriks ini merupakan matriks “de”.

Masalah dengan lebih banyak perhitungan sederhana Untuk keputusan independen:

Contoh 5

Temukan vektor eigen dari transformasi linier yang diberikan oleh matriks

Saat mencari bilangan Anda sendiri, usahakan untuk tidak sampai ke polinomial derajat 3. Selain itu, solusi sistem Anda mungkin berbeda dengan solusi saya - tidak ada kepastian di sini; dan vektor yang Anda temukan mungkin berbeda dari vektor sampel hingga proporsionalitas koordinatnya masing-masing. Misalnya, dan. Memang lebih estetis menyajikan jawaban dalam bentuk, tapi tidak apa-apa jika Anda berhenti pada pilihan kedua. Namun, ada batasan wajar untuk semuanya; versinya tidak lagi terlihat bagus.

Perkiraan contoh tugas akhir di akhir pelajaran.

Bagaimana cara mengatasi masalah jika ada banyak nilai eigen?

Algoritma umum tetap sama, tetapi memiliki karakteristiknya sendiri, dan disarankan untuk mempertahankan beberapa bagian solusi dalam gaya akademis yang lebih ketat:

Contoh 6

Temukan nilai eigen dan vektor eigen

Larutan

Tentu saja, mari kita gunakan huruf besar pada kolom pertama yang menakjubkan:

Dan, setelah penguraian trinomial kuadrat dengan pengganda:

Hasilnya, diperoleh nilai eigen yang dua di antaranya merupakan kelipatan.

Mari kita cari vektor eigennya:

1) Mari kita berurusan dengan seorang prajurit menurut skema yang “disederhanakan”:

Dari dua persamaan terakhir terlihat jelas persamaan yang tentunya harus disubstitusikan ke persamaan pertama sistem:

Anda tidak akan menemukan kombinasi yang lebih baik:
vektor eigen:

2-3) Sekarang kita singkirkan beberapa penjaga. DI DALAM dalam hal ini itu mungkin berhasil baik dua atau satu vektor eigen. Terlepas dari banyaknya akar, kita substitusikan nilainya ke dalam determinan yang membawa kita selanjutnya sistem persamaan linear yang homogen:

Vektor eigen sebenarnya adalah vektor
sistem dasar solusi

Sebenarnya, sepanjang pelajaran kita tidak melakukan apa pun selain menemukan vektor-vektor sistem fundamental. Hanya untuk saat ini istilah ini tidak terlalu membutuhkannya. Ngomong-ngomong, para siswa pintar yang melewatkan topik dalam pakaian kamuflase persamaan homogen, akan terpaksa merokok sekarang.

Satu-satunya tindakan adalah menghapus garis tambahan. Hasilnya adalah matriks satu per tiga dengan “langkah” formal di tengahnya.
– variabel dasar, – variabel bebas. Oleh karena itu, ada dua variabel bebas, ada juga dua vektor sistem fundamental.

Mari kita nyatakan variabel dasar dalam bentuk variabel bebas: . Pengganda nol di depan “X” memungkinkannya mengambil nilai apa pun (yang terlihat jelas dari sistem persamaan).

Dalam konteks masalah ini, akan lebih mudah untuk menulis solusi umum bukan dalam satu baris, tetapi dalam kolom:

Pasangan ini sesuai dengan vektor eigen:
Pasangan ini sesuai dengan vektor eigen:

Catatan : pembaca yang mahir dapat memilih vektor-vektor ini secara lisan - cukup dengan menganalisis sistem , tetapi diperlukan beberapa pengetahuan di sini: ada tiga variabel, peringkat matriks sistem- satu, yang artinya sistem keputusan mendasar terdiri dari 3 – 1 = 2 vektor. Namun, vektor yang ditemukan terlihat jelas bahkan tanpa sepengetahuan ini, murni pada tingkat intuitif. Dalam hal ini, vektor ketiga akan ditulis lebih “indah”: . Namun, saya memperingatkan Anda bahwa dalam contoh lain, pemilihan sederhana mungkin tidak dapat dilakukan, itulah sebabnya klausa tersebut ditujukan untuk orang yang berpengalaman. Selain itu, mengapa tidak mengambil, katakanlah, sebagai vektor ketiga? Bagaimanapun, koordinatnya juga memenuhi setiap persamaan sistem, dan vektor-vektornya independen linier. Opsi ini, pada prinsipnya, cocok, tetapi “bengkok”, karena vektor “lainnya” adalah kombinasi linier dari vektor-vektor sistem fundamental.

Menjawab: nilai eigen: , vektor eigen:

Contoh serupa untuk solusi independen:

Contoh 7

Temukan nilai eigen dan vektor eigen

Contoh perkiraan desain akhir di akhir pelajaran.

Perlu dicatat bahwa dalam contoh ke-6 dan ke-7 diperoleh rangkap tiga vektor eigen bebas linier, dan oleh karena itu matriks asli dapat direpresentasikan dalam dekomposisi kanonik. Tetapi raspberry seperti itu tidak terjadi di semua kasus:

Contoh 8

Larutan: mari kita buat dan selesaikan persamaan karakteristiknya:

Mari kita perluas determinan di kolom pertama:

Kami melakukan penyederhanaan lebih lanjut sesuai dengan metode yang dipertimbangkan, menghindari polinomial derajat ketiga:

– nilai eigen.

Mari kita cari vektor eigennya:

1) Tidak ada kesulitan dengan root:

Jangan kaget, selain kit, ada juga variabel yang digunakan - tidak ada perbedaan di sini.

Dari persamaan ke-3 kita nyatakan dan substitusikan ke persamaan ke-1 dan ke-2:

Dari kedua persamaan berikut:

Biarkan kemudian:

2-3) Untuk beberapa nilai kita mendapatkan sistemnya .

Mari kita tuliskan matriks sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Menemukan nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks adalah salah satu yang paling banyak dilakukan tugas yang kompleks aljabar linier timbul dalam proses pemodelan dan analisis proses yang berfungsi sistem dinamis, pemodelan statistik. Jadi, misalnya, vektor eigen dari matriks kovarians dari vektor acak menentukan arah sumbu utama dispersi hiperellipsoid dari nilai-nilai vektor ini, dan nilai eigen menentukan regangan atau kompresi hiperellipsoid sepanjang sumbu utamanya. Dalam mekanika, vektor eigen dan bilangan tensor inersia mencirikan arah sumbu utama dan momen inersia utama benda padat.

Membedakan penuh (aljabar atau, sebaliknya, matriks) masalah nilai eigen, yang mengasumsikan menemukan semua pasangan sendiri beberapa matriks, dan masalah nilai eigen parsial, biasanya terdiri dari menemukan satu atau lebih nilai eigen dan mungkin berhubungan dengan mereka vektor eigen. Paling sering, di kasus terakhir yang sedang kita bicarakan tentang mencari nilai modulo eigen terbesar dan terkecil; pengetahuan tentang karakteristik matriks tersebut memungkinkan, misalnya, untuk menarik kesimpulan tentang konvergensi tertentu metode berulang, mengoptimalkan parameternya, dll.

Masalah nilai eigen dapat dirumuskan sebagai berikut: untuk vektor dan bilangan apa yang bukan nol transformasi linier vektor yang menggunakan matriks tidak mengubah arah vektor ini dalam ruang, tetapi direduksi hanya menjadi “meregangkan” vektor ini dengan faktor? Jawaban atas pertanyaan ini terletak pada solusi nontrivial terhadap persamaan tersebut

, (1.2)

di mana adalah matriks identitas. Secara teoritis, masalah ini mudah dipecahkan: Anda perlu menemukan akar dari apa yang disebut ciri persamaan

(1.3)

dan, dengan mensubstitusikannya satu per satu ke dalam (1.2), memperoleh vektor eigen dari sistem overdetermined yang sesuai.

Implementasi praktis Pendekatan ini dikaitkan dengan sejumlah kesulitan yang meningkat seiring dengan meningkatnya dimensi masalah yang dipecahkan. Kesulitan-kesulitan ini disebabkan oleh penerapan determinan dan menghitung akar polinomial yang dihasilkan N derajat ke-th, serta pencarian secara linier keputusan independen sistem yang merosot linier persamaan aljabar. Dalam hal ini, pendekatan langsung untuk menyelesaikan masalah nilai eigen aljabar biasanya hanya digunakan untuk ukuran matriks yang sangat kecil ( N= 2, 3). Sudah di N> 4 yang spesial mengemuka metode numerik solusi terhadap permasalahan tersebut, salah satunya berdasarkan matriks transformasi kesamaan, akan dibahas lebih lanjut. Izinkan kami mengingatkan Anda akan hal itu serupa disebut matriks dan , Di mana DENGAN adalah matriks non-tunggal yang berubah-ubah.

Mari kita daftar secara singkat sifat-sifat utama nilai eigen dan vektor:

1. Jika – pasangan eigen matriks A, A – nomor tertentu, kalau begitu juga merupakan pasangan yang tepat untuk A. Ini berarti bahwa setiap nilai eigen berhubungan dengan jumlah vektor eigen yang tak terhingga, hanya berbeda pada faktor skalar.

2. Biarkan – pasangan eigen matriks , di mana – beberapa bilangan real. Kemudian – pasangan eigen matriks A. Jadi, menambah matriks ini A matriks diagonal tidak mengubah vektor eigen dan pergeserannya spektrum matriks asli dengan nomor (ke kiri kapan ). Spektrum suatu matriks adalah himpunan semua nilai eigennya.

3. Jika adalah pasangan eigen dari matriks yang dapat dibalik – pasangan matriks yang tepat.

4. Nilai eigen diagonal dan matriks segitiga adalah elemen diagonalnya, karena persamaan karakteristik (1.3) dengan memperhitungkan (1.1) untuk matriks tersebut dapat ditulis sebagai:

.

Persamaan terakhir menunjukkan hal itu matriks riil diagonal dan segitiga hanya mempunyai nilai eigen riil(mulus N dengan mempertimbangkan kemungkinan banyaknya). Realitas nilai eigen juga melekat pada kelas matriks simetris yang sangat penting dalam aplikasi, yang mencakup matriks kovarians dan tensor inersia.

5. Jika – pasangan eigen matriks , Itu – pasangan eigen matriks A Dengan demikian, transformasi kesamaan menjaga spektrum matriks apa pun tidak berubah.

6. Biarkan A– matriks struktur dimensi sederhana , dan matriksnya Dan dibentuk dari nilai eigen dan vektor eigennya masing-masing. Maka kesetaraan itu benar . Karena untuk matriks diagonal yang dibentuk dari nilai eigen, vektor eigen dapat berfungsi sebagai vektor satuan dasar asli ( , ), kemudian, menggunakan properti 5 dan mengambil Dan (itu. ), sifat 6 dapat dirumuskan secara berbeda: jika adalah pasangan eigen dari matriks tersebut terdapat pasangan matriks yang tepat A.

Transformasi koordinat linier. Vektor eigen dan nilai eigen suatu matriks, sifat-sifatnya. Polinomial karakteristik suatu matriks, sifat-sifatnya.

Kita akan mengatakannya pada himpunan vektor R diberikan transformasiA , jika setiap vektor X R menurut beberapa aturan vektor AX R.

Definisi 9.1. Konversi A ditelepon linier, jika untuk vektor apa pun X Dan pada dan untuk bilangan real apa pun λ persamaan berikut berlaku:

A(X + pada )=AX + SEBUAHpada ,SEBUAH(λX ) =λ AX . (9.1)

Definisi 9.2. Transformasi linier disebut identik, jika itu mengubah vektor apa pun X ke dalam dirimu sendiri.

Transformasi identitas dilambangkan DIAX = X .

Pertimbangkan ruang tiga dimensi dengan basis e 1 , e 2 , e 3 , di mana transformasi linier ditentukan A. Menerapkannya ke vektor basis, kita mendapatkan vektornya Ae 1 , Ae 2 , Ae 3 milik ruang tiga dimensi ini. Akibatnya, masing-masing vektor tersebut dapat diperluas secara unik menjadi vektor basis:

Ae 1 = sebuah 11 e 1 + sebuah 21 e 2 +a 31 e 3 ,

Ae 2 = sebuah 12 e 1 + sebuah 22 e 2 + sebuah 32 e 3 , (9.2)

Ae 3 = sebuah 13 e 1 + sebuah 23 e 2 + sebuah 33 e 3 .

Matriks
ditelepon matriks transformasi linierA di dasar e 1 , e 2 , e 3 . Kolom matriks ini terdiri dari koefisien dalam rumus transformasi basis (9.2).

Komentar. Jelasnya, matriks transformasi identitas adalah matriks identitas E.

Untuk vektor sembarang X =x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 hasil penerapan transformasi linier padanya A akan menjadi vektor AX , yang dapat diperluas menjadi vektor-vektor dengan basis yang sama: AX =x` 1 e 1 + x` 2 e 2 + x` 3 e 3 , dimana koordinatnya X` Saya dapat dicari dengan menggunakan rumus:

X` 1 = sebuah 11 X 1 +a 12 X 2 +a 13 X 3 ,

x` 2 = sebuah 21 X 1 +a 22 X 2 +a 23 X 3 , (9.3)

X` 3 = A 31 X 1 + A 32 X 2 + A 33 X 3 .

Koefisien dalam rumus transformasi linier ini merupakan elemen baris matriks A.

Transformasi matriks transformasi linier

saat pindah ke basis baru.

Pertimbangkan transformasi linear A dan dua basis dalam ruang tiga dimensi: e 1 , e 2 , e 3 Dan e 1 , e 2 , e 3 . Biarkan matriks C menentukan rumus transisi dari basis ( e k Biarkan matriks C menentukan rumus transisi dari basis ( e) menjadi dasar ( A). Jika pada basis pertama transformasi linier yang dipilih diberikan oleh matriks A, dan pada basis kedua oleh matriks

, maka kita dapat mencari hubungan antara matriks-matriks tersebut, yaitu: A SEBUAH = C -1

C (9.4)
Benar-benar, A
, Kemudian A. Di sisi lain, hasil penerapan transformasi linier sama Biarkan matriks C menentukan rumus transisi dari basis ( e berdasarkan ( ), yaitu Biarkan matriks C menentukan rumus transisi dari basis ( e , dan di dasar ( ): masing-masing DENGAN:
- dihubungkan dengan matriks , dari situlah berikut iniA DENGAN CA= DENGAN. Mengalikan kedua ruas persamaan ini dari kiri dengan DENGAN - 1 -1 , kita dapat -1 A DENGAN CA = = C

, yang membuktikan validitas rumus (9.4).

Nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks. Definisi 9.3. X ditelepon Vektor vektor eigen A matriks λ, , jika ada nomor seperti itu AX = λ X , bahwa kesetaraan berlaku: X yaitu hasil melamar A transformasi linier yang ditentukan oleh matriks λ , adalah perkalian vektor ini dengan bilangan λ ditelepon . Nomor itu sendiri vektor eigen A.

nilai eigen X` Mengganti ke dalam rumus (9.3) = λ X Mengganti ke dalam rumus (9.3) , J

.

. (9.5)

kita memperoleh sistem persamaan untuk menentukan koordinat vektor eigen: Linier ini sistem homogen akan memiliki solusi yang tidak sepele

hanya jika determinan utamanya adalah 0 (aturan Cramer). Dengan menuliskan kondisi ini dalam bentuk: λ kita memperoleh persamaan untuk menentukan nilai eigen , ditelepon persamaan karakteristik

| . Secara singkat dapat direpresentasikan sebagai berikut: - λ A| = 0, (9.6)

E karena ruas kirinya memuat determinan matriks A-λE λ | . Secara singkat dapat direpresentasikan sebagai berikut: - λ A. Relatif polinomial | ditelepon polinomial karakteristik

matriks A.

Sifat-sifat polinomial karakteristik:

Sifat nilai eigen dan vektor eigen: X 1 Jika kita memilih basis dari vektor eigen 2 , X 3 , X λ 1 , λ 2 , λ 3 , sesuai dengan nilai eigen A matriks

, maka dalam basis ini transformasi linier A mempunyai matriks berbentuk diagonal:

(9.7) Pembuktian sifat ini mengikuti definisi vektor eigen. A Jika transformasi bernilai eigen

berbeda, maka vektor eigen yang bersesuaian adalah bebas linier. A Jika polinomial karakteristik matriks A memiliki tiga akar yang berbeda, maka dalam beberapa basis matriks

memiliki tampilan diagonal. Mari kita cari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ Mari kita buat persamaan karakteristik: λ ³ - 7 λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Mari kita cari koordinat vektor eigen yang bersesuaian dengan setiap nilai yang ditemukan λ. Dari (9.5) berikut ini jika X (1) ={X 1 , X 2 , X 3 ) – vektor eigen yang sesuai λ 1 =-2, lalu

- sistem yang kooperatif tetapi tidak pasti. Solusinya dapat ditulis dalam bentuk X (1) ={A,0,-A), di mana a adalah bilangan apa pun. Khususnya, jika kita memerlukan | X (1) |=1,X (1) =

Mengganti ke dalam sistem (9.5) λ 2 =3, kita memperoleh sistem untuk menentukan koordinat vektor eigen kedua - X (2) ={kamu 1 , kamu 2 , kamu 3 }:

, Di mana X (2) ={B,- B, B) atau, asalkan | X (2) |=1,X (2) =

Untuk λ 3 = 6 carilah vektor eigennya X (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,X (3) ={C,2 C, C) atau dalam versi yang dinormalisasi

X (3) =
Hal ini dapat diperhatikan X (1) X (2) =ab – ab = 0,X (1) X (3) =ac – ac = 0,X (2) X (3) =SM - 2SM + SM = 0. Jadi, vektor eigen matriks ini ortogonal berpasangan.