Teorema kebalikan dari teorema Vieta. Contoh penggunaan teorema Vieta

Hari ini dia layak dinyanyikan dalam puisi
Teorema Vieta tentang sifat-sifat akar.
Mana yang lebih baik, beri tahu saya, konsistensinya seperti ini:
Anda mengalikan akarnya dan pecahannya sudah siap
Di pembilangnya Dengan, di penyebutnya A.
Dan jumlah akar-akar pecahannya juga sama
Bahkan dengan minus pecahan ini
Sungguh sebuah masalah
Di pembilang V, di penyebutnya A.
(Dari cerita rakyat sekolah)

Di prasasti teorema yang luar biasa François Vieta tidak diberikan sepenuhnya secara akurat. Faktanya, kita dapat menuliskan persamaan kuadrat yang tidak memiliki akar dan menuliskan jumlah dan hasil kali persamaan tersebut. Misalnya persamaan x 2 + 2x + 12 = 0 tidak mempunyai akar real. Namun, dengan pendekatan formal, kita dapat menuliskan hasil perkaliannya (x 1 · x 2 = 12) dan jumlahnya (x 1 + x 2 = -2). Kita ayat-ayat tersebut akan sesuai dengan teorema dengan peringatan: "jika persamaan memiliki akar", yaitu. D ≥ 0.

Pertama aplikasi praktis Teorema ini merupakan konstruksi persamaan kuadrat yang telah mempunyai akar-akar. Kedua, ini memungkinkan Anda menyelesaikan banyak persamaan kuadrat secara lisan. Buku pelajaran sekolah terutama berfokus pada pengembangan keterampilan ini.

Di sini kita akan mempertimbangkan lebih lanjut tugas yang kompleks, diselesaikan menggunakan teorema Vieta.

Contoh 1.

Salah satu akar persamaan 5x 2 – 12x + c = 0 tiga kali lebih besar dari akar kedua. Temukan s.

Larutan.

Biarkan akar kedua menjadi x 2.

Maka akar pertama x1 = 3x 2.

Menurut teorema Vieta, jumlah akar-akarnya adalah 12/5 = 2,4.

Mari kita buat persamaan 3x 2 + x 2 = 2.4.

Jadi x 2 = 0,6. Oleh karena itu x 1 = 1,8.

Jawab: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.

Contoh 2.

Diketahui x 1 dan x 2 merupakan akar-akar persamaan x 2 – 8x + p = 0, dengan 3x 1 + 4x 2 = 29. Carilah p.

Larutan.

Menurut teorema Vieta, x 1 + x 2 = 8, dan dengan syarat 3x 1 + 4x 2 = 29.

Setelah menyelesaikan sistem kedua persamaan ini, kita mencari nilai x 1 = 3, x 2 = 5.

Oleh karena itu p = 15.

Jawaban : hal = 15.

Contoh 3.

Tanpa menghitung akar-akar persamaan 3x 2 + 8 x – 1 = 0, carilah x 1 4 + x 2 4

Larutan.

Perhatikan bahwa dengan teorema Vieta x 1 + x 2 = -8/3 dan x 1 x 2 = -1/3 dan ubah persamaannya

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Jawaban: 4898/9.

Contoh 4.

Berapa nilai parameter a selisih antara yang terbesar dan akar terkecil persamaan
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 sama dengan hasil kali keduanya.

Larutan.

Ini adalah persamaan kuadrat. Akar tersebut mempunyai 2 akar yang berbeda jika D > 0. Dengan kata lain, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 atau (a – 3) 2 > 0. Oleh karena itu, kita mempunyai 2 akar untuk semua a, karena kecuali a = 3.

Agar lebih pasti, kita asumsikan bahwa x 1 > x 2 dan diperoleh x 1 + x 2 = (a + 1)/2 dan x 1 x 2 = (a – 1)/2. Berdasarkan kondisi soal x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Ketiga syarat tersebut harus dipenuhi secara bersamaan. Mari kita pertimbangkan persamaan pertama dan terakhir sebagai suatu sistem. Ini dapat dengan mudah diselesaikan dengan penjumlahan aljabar.

Kita peroleh x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Mari kita periksa apa A persamaan kedua akan terpenuhi: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Mari kita substitusikan nilai yang diperoleh dan kita akan mendapatkan: a/4 = (a – 1)/2. Maka a = 2. Jelas sekali jika a = 2, maka semua syarat terpenuhi.

Jawaban: bila a = 2.

Contoh 5.

Apa yang setara dengan nilai terkecil a, di mana jumlah akar-akar persamaan
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 sama dengan jumlah kuadrat akar-akarnya.

Larutan.

Pertama-tama, mari kita kurangi persamaannya menjadi bentuk kanonik: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Berakar-akar jika D/4 ≥ 0. Jadi: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Atau (a – 1) 2 ≥ 0. Dan ini adalah kondisi berlaku untuk semua a.

Mari kita terapkan teorema Vieta: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Mari kita hitung

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Atau setelah substitusi x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Tetap membuat persamaan yang sesuai dengan kondisi soal: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Kita peroleh: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Persamaan kuadrat ini memiliki 2 akar: a 1 = 1 dan a 2 = 1/2. Yang terkecil adalah –1/2.

Jawaban: 1/2.

Contoh 6.

Tentukan hubungan antara koefisien persamaan ax 2 + bx + c = 0 jika jumlah pangkat tiga dari akar-akarnya sama dengan hasil kali kuadrat dari akar-akar tersebut.

Larutan.

Kita asumsikan persamaan ini mempunyai akar dan oleh karena itu, teorema Vieta dapat diterapkan padanya.

Maka kondisi soal akan ditulis sebagai berikut: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Atau: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

Faktor kedua perlu dikonversi. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.

Kita peroleh (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Tetap mengganti jumlah dan hasil kali akar-akar dengan koefisien.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Ekspresi ini dapat dengan mudah diubah ke dalam bentuk b(3ac – b 2)/a = c 2. Hubungannya telah ditemukan.

Komentar. Perlu diingat bahwa relasi yang dihasilkan masuk akal untuk dipertimbangkan hanya setelah relasi lainnya terpenuhi: D ≥ 0.

Contoh 7.

Tentukan nilai variabel a yang jumlah kuadrat akar-akar persamaan x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 merupakan nilai terbesar.

Larutan.

Jika persamaan ini mempunyai akar-akar x 1 dan x 2, maka jumlahnya adalah x 1 + x 2 = -2a, dan hasil kali x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.

Kita hitung x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.

Sekarang jelas bahwa ungkapan ini diperlukan nilai tertinggi pada a = 3.

Masih harus diperiksa apakah persamaan kuadrat asli benar-benar berakar di a = 3. Kita periksa dengan substitusi dan mendapatkan: x 2 + 6x + 7 = 0 dan untuk itu D = 36 – 28 > 0.

Oleh karena itu, jawabannya adalah: untuk a = 3.

Contoh 8.

Persamaan 2x 2 – 7x – 3 = 0 mempunyai akar-akar x 1 dan x 2. Tentukan jumlah rangkap tiga koefisien persamaan kuadrat yang diketahui, yang akar-akarnya adalah bilangan X 1 = 1/x 1 dan X 2 = 1/x 2. (*)

Larutan.

Jelasnya, x 1 + x 2 = 7/2 dan x 1 x 2 = -3/2. Mari kita buat persamaan kedua dari akar-akarnya dalam bentuk x 2 + px + q = 0. Untuk melakukannya, kita menggunakan kebalikan dari teorema Vieta. Kita peroleh: p = -(X 1 + X 2) dan q = X 1 · X 2.

Setelah dilakukan substitusi ke dalam rumus tersebut berdasarkan (*), maka: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 dan q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

Persamaan yang diperlukan akan berbentuk: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. Sekarang kita dapat dengan mudah menghitung tiga kali lipat jumlah koefisiennya:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Jawaban diterima.

Masih ada pertanyaan? Tidak yakin bagaimana cara menggunakan teorema Vieta?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Lembaga pendidikan anggaran kota

"Rata-rata sekolah Menengah Nomor 64" Bryansk

Konferensi ilmiah dan praktis kota

"Langkah pertama menuju sains"

Ilmiah pekerjaan penelitian

"Teorema Viete untuk persamaan derajat ketiga dan keempat"

Matematika

Diselesaikan oleh: siswa kelas 11b

Shanov Ilya Alekseevich

Pembimbing Ilmiah:

guru matematika,

Calon Fisika dan Matematika ilmu pengetahuan

Bykov Sergei Valentinovich

Bryansk 2012

Pendahuluan................................................................................................................ 3

Maksud dan tujuan ……………………………………………………… 4

Singkat latar belakang sejarah ………………………………………… 4

Persamaan kuadrat…………………………………………………. 5

Persamaan kubik……………………………………………………………. 6

Persamaan derajat keempat …………………………………………… 7

Bagian praktis…………………………………………………. 9

Referensi................................................................................ 12

Lampiran ........................................................................................ 13

Perkenalan

Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa suatu bidang tertutup secara aljabar, dengan kata lain persamaan derajat ke-n dengan koefisien kompleks (dalam kasus umum) di atas lapangan memiliki tepat n akar yang kompleks. Persamaan derajat ketiga diselesaikan dengan rumus Cordano. Persamaan derajat keempat menggunakan metode Ferrari. Selain itu, telah dibuktikan dalam teori aljabar bahwa jika adalah akar persamaannya juga merupakan akar dari persamaan ini. Untuk persamaan kubik kasus-kasus berikut mungkin terjadi:

ketiga akar itu nyata;

dua akar itu kompleks, yang satu nyata.

Oleh karena itu, setiap persamaan kubik mempunyai paling sedikit satu akar real.

Untuk persamaan derajat keempat:

Keempat akarnya berbeda.

Dua akar adalah nyata, dua akar kompleks.

Keempat akar itu kompleks.

Karya ini dikhususkan untuk studi menyeluruh tentang teorema Vieta: perumusannya, pembuktian, serta pemecahan masalah menggunakan teorema ini.

Pekerjaan yang dilakukan bertujuan untuk membantu siswa kelas 11 yang akan melakukannya lulus Ujian Negara Bersatu, serta bagi para matematikawan muda yang tidak peduli dengan yang lebih sederhana dan metode yang efektif solusi di berbagai bidang matematika.

Lampiran pekerjaan ini memberikan kumpulan masalah untuk keputusan independen dan konsolidasi materi baru yang saya teliti.

Masalah ini tidak dapat diabaikan, karena penting bagi matematika, baik bagi sains secara umum maupun bagi siswa dan mereka yang tertarik untuk memecahkan masalah tersebut.

Maksud dan tujuan pekerjaan:

Dapatkan analogi teorema Vieta untuk persamaan derajat ketiga.

Buktikan analogi teorema Vieta untuk persamaan derajat ketiga.

Dapatkan analogi teorema Vieta untuk persamaan derajat keempat.

Buktikan analogi teorema Vieta untuk persamaan derajat keempat.

Pertimbangkan penerapan pertanyaan-pertanyaan ini untuk memecahkan masalah-masalah praktis.

• Pastikan penerapan teorema ini praktis.

Memperdalam pengetahuan matematika di bidang penyelesaian persamaan.

Kembangkan minat pada matematika.

Latar belakang sejarah singkat

Sangat layak untuk dinyanyikan dalam puisi

Tentang sifat-sifat akar TEOREMA VIETTE...

FRANCOIS VIET (1540-1603) - Matematikawan Perancis. Seorang pengacara berdasarkan profesi. Pada tahun 1591 ia memperkenalkan sebutan surat tidak hanya untuk besaran yang tidak diketahui, tetapi juga untuk koefisien persamaan; berkat ini, untuk pertama kalinya menjadi mungkin untuk mengekspresikan sifat-sifat persamaan dan akar-akarnya rumus umum. Dia bertanggung jawab untuk menetapkan metode seragam untuk menyelesaikan persamaan derajat ke-2, ke-3, dan ke-4. Di antara penemuannya, Viète sendiri sangat menghargai pembentukan hubungan antara akar dan koefisien persamaan. Untuk solusi perkiraan persamaan dengan koefisien numerik Vieth mengusulkan metode yang mirip dengan metode Newton selanjutnya. Dalam trigonometri, François Viète memberi solusi lengkap masalah penentuan seluruh elemen suatu bidang atau segitiga bola dari tiga data, ditemukan perluasan cos yang penting nx dan dosa nx dalam pangkat cos X dan dosa X. Dia mempertimbangkan karya yang tak terbatas untuk pertama kalinya. Karya Viet telah ditulis bahasa yang sulit dan oleh karena itu menerima distribusi yang lebih sedikit pada waktunya daripada yang seharusnya mereka terima .

Persamaan kuadrat

Pertama, mari kita ingat rumus Vieta untuk persamaan derajat kedua, yang kita pelajari di program ini kursus sekolah pelatihan.

T
teorema Vietauntuk persamaan kuadrat (kelas 8)

E
jika dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka

yaitu jumlah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi sama dengan koefisien kedua yang diambil tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan anggota bebas.

Juga, ingat teorema, kebalikan dari teorema Vieta:

Jika angkanya - P Dan Q adalah seperti itu

maka dan adalah akar persamaannya

Teorema Vieta luar biasa dalam hal itu, tanpa mengetahui akarnya trinomial kuadrat, kita dapat dengan mudah menghitung jumlah dan hasil kali, yaitu ekspresi simetris yang paling sederhana.

Teorema Vieta memungkinkan Anda menebak seluruh akar trinomial persegi.

Persamaan kubik

Sekarang mari kita langsung ke rumusan dan penyelesaian persamaan kubik menggunakan teorema Vieta.

Perumusan

KE
Persamaan yang ada di mana-mana adalah bentuk persamaan orde ketiga

Di mana sebuah ≠ 0.

Jika sebuah = 1, maka persamaan tersebut disebut persamaan kubik tereduksi:

Jadi, kita perlu membuktikannya untuk persamaan tersebut

teorema berikut ini benar:

N
menumbuhkan akar persamaan yang diberikan, Kemudian

Bukti

Mari kita bayangkan sebuah polinomial

mari kita lakukan transformasi:

Jadi, kami mengerti

Dua polinomial adalah sama jika dan hanya jika koefisiennya pada pangkat-pangkat yang bersesuaian sama.

Artinya

Q.E.D.

Sekarang perhatikan teorema, kebalikan dari teorema Vieta untuk persamaan derajat ketiga.

F
perumusan

E
jika jumlahnya sedemikian rupa

Persamaan derajat keempat

Sekarang mari kita beralih ke menyiapkan dan menyelesaikan persamaan derajat keempat menggunakan teorema Vieta untuk persamaan derajat keempat.

Perumusan

kamu
persamaan derajat keempat - persamaan bentuk

G
de sebuah ≠ 0.

E
jika sebuah = 1, maka persamaan tersebut disebut tereduksi

DAN
jadi, mari kita buktikan untuk persamaan tersebut

Dengan
teorema berikut ini benar: maka, biarkan akar-akar persamaan yang diberikan

Bukti

Mari kita bayangkan sebuah polinomial

mari kita lakukan transformasi:

Jadi, kami mengerti

Kami tahu itu dua polinomial adalah sama jika dan hanya jika koefisiennya pada pangkat-pangkat yang bersesuaian sama.

Artinya

Q.E.D.

Pertimbangkan teorema, kebalikan dari teorema Vieta untuk persamaan derajat keempat.

Perumusan

Jika jumlahnya seperti itu

maka angka-angka ini adalah akar persamaannya

Bagian praktis

Sekarang mari kita lihat solusi masalah menggunakan teorema Vieta untuk persamaan derajat ketiga dan keempat.

Tugas No.1

Jawaban: 4, -4.

Tugas No.2

Jawaban: 16, 24.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan rumus Cardano dan metode Ferrari, tetapi dengan menggunakan teorema Vieta, kita mengetahui jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan tersebut.

Tugas No.3

Buatlah persamaan derajat ketiga jika diketahui jumlah akar-akarnya adalah 6, hasil kali berpasangan akar-akarnya adalah 3, dan hasil kali -4.

Mari kita buat persamaan, kita dapatkan

Tugas No.4

Tulislah persamaan derajat ketiga jika diketahui jumlah akar-akarnya sama 8 , hasil kali pasangan akar-akarnya sama dengan 4 , tiga kali lipat hasil kali sama dengan 12 , dan produknya 20 .

Solusi: dengan menggunakan rumus Vieta, kita peroleh

Mari kita buat persamaan, kita dapatkan

Dengan menggunakan teorema Vieta, kita dengan mudah menyusun persamaan menggunakan akar-akarnya. Ini yang paling banyak cara yang rasional memecahkan masalah-masalah ini.

Masalah #5

dimana a, b, c adalah rumus Heron.

Mari kita buka tanda kurung dan ubah ekspresinya, kita dapatkan

Z
Perhatikan bahwa ekspresi radikalnya adalah ekspresi kubik. Mari kita gunakan teorema Vieta untuk persamaan kubik yang sesuai, maka kita mendapatkannya

Z

Mengetahui bahwa kita mendapatkan:

Dari penyelesaian masalah ini jelas bahwa teorema Vieta dapat diterapkan pada permasalahan dari daerah yang berbeda matematika.

Kesimpulan

Dalam tulisan ini, metode penyelesaian persamaan derajat ketiga dan keempat menggunakan teorema Vieta diselidiki. Rumus yang diturunkan dalam karya ini mudah digunakan. Selama penelitian, menjadi jelas bahwa dalam beberapa kasus metode ini lebih efektif daripada rumus Cordano dan metode Ferrari untuk persamaan derajat ketiga dan keempat.

Teorema Vieta diterapkan dalam praktik. Sejumlah masalah terpecahkan yang membantu mengkonsolidasikan materi baru dengan lebih baik.

Pembelajaran ini sangat menarik dan mendidik bagi saya. Setelah memperdalam pengetahuan saya di bidang matematika, saya menemukan banyak hal menarik dan menikmati melakukan penelitian ini.

Namun penelitian saya di bidang penyelesaian persamaan belum berakhir. Kedepannya saya berencana mempelajari penyelesaian persamaan derajat ke-n menggunakan teorema Vieta.

Saya ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada saya pembimbing ilmiah, calon ilmu fisika dan matematika, dan kemungkinannya penelitian yang tidak biasa dan perhatian terus-menerus pada pekerjaan.

Referensi

Vinogradov I.M. Ensiklopedia matematika. M., 1977.

V. B. Lidsky, L. V. Ovsyannikov, A. N. Tulaikov, M. I. Shabunin. Tugas untuk matematika dasar, Fizmatlit, 1980.

Francois Viet lahir pada tahun 1540 di Perancis di Fontenay-le-Comte. Seorang pengacara dengan pelatihan. Dia banyak terlibat dalam pengacara, dan dari tahun 1571 hingga 1584 dia menjadi penasihat Raja George III dan George IV. Tapi semuanya milikmu waktu luang, dia mengabdikan seluruh waktu luangnya untuk matematika dan astronomi. Ia mulai bekerja secara intensif terutama di bidang matematika pada tahun 1584 setelah dicopot dari jabatannya istana kerajaan. Viet mempelajari secara rinci karya-karya ahli matematika kuno dan kontemporer.

François Viète pada dasarnya menciptakan aljabar baru. Dia memperkenalkan simbolisme alfabet ke dalamnya. Ide-ide utamanya disajikan dalam karya “Pengantar Seni Analitik.” Dia menulis: “Semua ahli matematika tahu bahwa harta karun yang tak tertandingi tersembunyi di bawah aljabar dan almucabala mereka, tetapi mereka tidak tahu bagaimana menemukannya: masalah yang mereka anggap paling sulit dapat diselesaikan dengan mudah dengan bantuan seni kita.”

Memang kita semua tahu betapa mudahnya menyelesaikan, misalnya persamaan kuadrat. Ada formula siap pakai untuk menyelesaikannya. Sebelum F. Vieta, penyelesaian setiap persamaan kuadrat dilakukan menurut aturannya sendiri dalam bentuk argumentasi dan uraian verbal yang sangat panjang, tindakan yang agak rumit. Bahkan persamaannya sendiri bentuk modern tidak bisa menuliskannya. Ini juga membutuhkan jalan yang agak panjang dan rumit deskripsi lisan. Butuh waktu bertahun-tahun untuk menguasai teknik menyelesaikan persamaan. Aturan umum, mirip dengan yang modern, dan terlebih lagi tidak ada rumus untuk menyelesaikan persamaan. Peluang yang konstan tidak ditunjukkan dengan huruf. Hanya ekspresi dengan koefisien numerik tertentu yang dipertimbangkan.

Viet memperkenalkan simbol huruf ke dalam aljabar. Setelah inovasi Vieta, aturan dapat ditulis dalam bentuk rumus. Benar, Viet masih menunjukkan eksponen dengan kata-kata, dan ini menimbulkan kesulitan tertentu dalam memecahkan beberapa masalah. Pada masa Vieta, persediaan nomor masih terbatas. François Viète menguraikan dalam karyanya teori penyelesaian persamaan derajat pertama hingga keempat dengan sangat rinci.

Kelebihan besar Vieta adalah penemuan hubungan antara akar dan koefisien persamaan bentuk tereduksi dari sembarang gelar alami. Kita sangat mengetahui teorema Vieta yang terkenal tentang persamaan kuadrat tereduksi: “jumlah akar-akar persamaan kuadrat bentuk tereduksi sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil kali akar-akar persamaan ini adalah sama dengan masa bebasnya.” Teorema ini memungkinkan Anda memeriksa kebenaran solusi secara verbal persamaan kuadrat, dan dalam kasus paling sederhana temukan akar persamaannya.

Perhatikan juga bahwa Viète memberikan representasi analitis (menggunakan rumus) pertama dari bilangan π di Eropa.

Viet meninggal pada usia 63 tahun pada tahun 1603.

teorema Vieta.

Jumlah akar-akar trinomial persegi x2 + px + q sama dengan koefisien kedua p yang berlawanan tanda, dan hasil kali sama dengan suku bebas q.

Bukti.

Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar berbeda dari trinomial kuadrat x2 + px + q. Teorema Vieta menyatakan bahwa relasi berikut berlaku: x1 + x2 = –p x1 x2 = q

Untuk membuktikannya, mari kita substitusikan masing-masing akar ke dalam ekspresi trinomial kuadrat. Kita mendapatkan dua persamaan numerik yang benar: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

Mari kita kurangi persamaan ini satu sama lain. Kita peroleh x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0

Mari kita perluas selisih kuadratnya dan sekaligus memindahkan suku kedua ke ruas kanan:

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Karena dengan syarat akar-akar x1 dan x2 berbeda, maka x1 – x2 ≠ 0 dan persamaan tersebut dapat kita bagi dengan x1 – x2. Kita memperoleh persamaan pertama dari teorema: x1 + x2 = –p

Untuk membuktikan persamaan kedua, substitusikan ke salah satu persamaan yang tertulis di atas (misalnya persamaan pertama) dan bukan koefisien p, bilangan yang sama – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

Transformasi sisi kiri, kita peroleh: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, yang perlu dibuktikan.

Untuk persamaan kuadrat tak tereduksi ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =

Dalil, kebalikan dari teorema Vietnam.

Jika persamaan x1+x2 = dan x1x2 = terpenuhi, maka bilangan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.

Bukti.

Dari persamaan x1+x2 = dan x1x2 = maka x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.

Tetapi x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) dan oleh karena itu x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

Oleh karena itu x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x2 + x + = 0, sehingga persamaan ax2 + bx + c = 0.

Penerapan teorema Vieta.

Teorema Vieta digunakan di kelas 8 untuk mencari akar persamaan kuadrat. Anda dapat memperluas cakupan penggunaan teorema ini, misalnya untuk menyelesaikan sistem persamaan di kelas 9-11 dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pembelajaran persamaan kuadrat dan akar-akarnya. Ini mengurangi waktu dan menyederhanakan penyelesaian sistem.

Selesaikan sistem persamaan:

Jika kita berasumsi bahwa akar-akar x dan y suatu persamaan kuadrat, yang jumlah akar-akarnya sama dengan 5, dan hasil kali keduanya sama dengan 6, maka kita memperoleh himpunan dua sistem

Jawaban: (2;3), (3;2).

Siswa dengan cepat menguasai metode penyelesaian ini dan menggunakannya dengan senang hati. Selanjutnya, Anda dapat memperumit sistem dan menggunakan teknik ini saat belajar berbagai topik di kelas 10-11.

Selesaikan sistem persamaan:

Dengan kondisi x > 0 y > 0 kita peroleh

Misalkan dan menjadi akar-akar persamaan kuadrat tereduksi sistem ini setara dengan kombinasi dua sistem

Sistem populasi kedua tidak memiliki solusi; solusi dari sistem populasi pertama adalah pasangan x=9,y=4.

Jawaban: (9;4).

Di bawah ini adalah sistem persamaan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta.

Jawaban: (65;3),(5;63).

Jawaban: (23;11),(7;27).

Jawaban: (4;729),(81;4096).

Jawaban: (2;2).

5. x + y =12 Jawaban: (8;4),(4;8).

Jawaban: (9;4),(4;9).

Sistem persamaan serupa dapat disusun oleh guru sendiri atau siswa dapat dilibatkan di dalamnya, yang membantu mengembangkan minat terhadap mata pelajaran.

Tugas solusi lisan.

Tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, temukan akar-akarnya.

1.x2 - 6x + 8 = 0 Jawaban: 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 Jawaban: -1;6.

3.x2 + 2x - 24 = 0 Jawaban: -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 Jawaban: -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 Jawaban: 2;5.

6. 2x2 + 7x + 5 = 0 Jawaban: -2,5;-1.

Mari kita perhatikan permasalahan yang menggunakan teorema Vieta.

Tanpa menyelesaikan persamaan 9x²+18x-8=0, carilah x1³+x2³, dengan x1,x2 adalah akar-akarnya.

9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0

1) Diskriminan lebih besar dari nol, D>0, artinya x1, x2 adalah akar real.

Berdasarkan teorema Vieta, berikut ini: x1+x2=-2 x1∙x2= -

3) Transformasikan persamaan x1³+x2³: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –

X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).

Mari kita substitusikan nilai yang kita ketahui ke dalam rumus yang dihasilkan dan dapatkan jawabannya:

2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -

Berapakah nilai k pada persamaan 9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1.

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.

Berdasarkan teorema Vieta: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1), kita memperoleh sistem dua persamaan dan mengganti 2x1 dengan x2.

2x12=-k│:2 x1²=-k

3x1=2(k-1)│:3 x1=k-

Mari kita bandingkan persamaan yang dihasilkan:

Mari selesaikan persamaan kuadrat dan temukan k:

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

Jawaban: dengan k1=-1 dan k2=2.

Misalkan x1;x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x²+13x-17=0. Buatlah persamaan yang akar-akarnya adalah bilangan 2-x1 dan 2-x2.

Perhatikan persamaan x²+13x-17=0.

1) Diskriminan D>0 yang berarti x1;

Berdasarkan teorema Vieta: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17

3) Substitusikan bilangan 2-x2 dan 2-x2 ke dalam sistem ini.

(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

Oleh karena itu, dengan menerapkan teorema Vieta, persamaan yang diinginkan adalah x²-17x+13=0.

Jawaban: x²-17x+13=0.

Diketahui persamaan kuadrat ax2+bx+c=0, apa tanda b dan c jika x2>x1,x1>0,x2

Karena x2 x1 maka b>0,c

Jawaban: b>0,с

6) Diketahui persamaan kuadrat ax2+bx+c=0, apa tanda b dan c jika x1 0,x2>0.

Berdasarkan teorema Vieta: x1+x2=-b x1∙x2=c

Karena x1>0, x2>0, dan x2>x1, maka b 0.

Tugas untuk solusi mandiri.

1) Tanpa menyelesaikan persamaan 2x²-3x-11=0, carilah +, dengan x1;x2 adalah akar-akarnya.

2) Temukan nilai ekspresi +, dengan x1;x2 adalah akar-akar trinomial x²-18x+11=0.

3) Misalkan x1;x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x²-7x-46=0.

Tulislah persamaan kuadrat yang akar-akarnya berupa bilangan

2x1 +x2 dan 2x2 +x1.

Jawaban: 9x2-21x-481=0

4) Berapa nilai bilangan bulat k yang merupakan salah satu akar persamaan

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 tiga kali lebih kecil dari satu detik?

Jawaban: k=2.

5) Diketahui persamaan kuadrat ax2+bx+c=0, apa tanda b dan c jika x1 0.

“Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Tak Lengkap” - Keterampilan Menyelesaikan. Kostroma. yaroslavl. Ladyzhenskaya Olga Aleksandrovna. Steklov Vladimir Andreevich. Mari kita selesaikan persamaannya. Persamaan. Pekerjaan lisan. Kazan. Objek pergerakan. Tabel kriptografi. Nizhny Novgorod. Lyapunov Alexander Mikhailovich. Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap. Kecepatan. Bis. Tugas pergerakan.

“Persamaan Kuadrat” Matematika” - f) Pada nilai a berapakah persamaan tersebut mempunyai satu akar? Memecahkan persamaan kuadrat. Selesaikan persamaan kuadrat secara lisan. Selesaikan persamaan dengan koefisien huruf. Cobalah untuk memberi pikiran Anda makanan sebanyak mungkin. Tujuan: belajar melihat cara rasional dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. M.V. Lomonosov. Melakukan latihan.

“François Viète dan teoremanya” - Dua polinomial identik sama. Pengajaran matematika. Penemuan matematika. Rumus Vieta. François Viet. Guru. Cari tahu dari berbagai sumber Siapa Francois Viet? Diskriminan. Teorema Vieta dapat digeneralisasikan ke polinomial dengan derajat apa pun. Rumus yang diturunkan oleh Viethe untuk persamaan kuadrat.

“Menemukan akar-akar persamaan kuadrat” - Persamaan tersebut tidak memiliki akar. Persamaan kuadrat tidak lengkap. Sifat-sifat koefisien persamaan. Menyelesaikan persamaan menggunakan rumus. Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap. Menentukan jumlah akar persamaan kuadrat. Menemukan akar persamaan kuadrat tidak lengkap. Menemukan yang diskriminan. Metode penyelesaian persamaan kuadrat.

“Menyelesaikan persamaan dengan akar kuadrat” - Lampiran. Menggambar. Menyelesaikan persamaan menggunakan metode “lempar”. Solusi grafis persamaan kuadrat. Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat. Faktorisasi. Metode seleksi persegi penuh. Persamaan. Koefisien. Jumlah koefisien. Metode penyelesaian persamaan kuadrat. Anggota gratis.

“Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap” - Memecahkan masalah. Akumulasi fakta. Bagikan persamaan ini menjadi 4 kelompok. Tinjauan sejawat. Pemahaman utama dan penerapan materi yang dipelajari. Topik pelajaran. Pertimbangkan hari atau jam malang dimana Anda belum belajar apa pun. Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap. Pertanyaan. Menetapkan tugas belajar.

Ada total 34 presentasi dalam topik tersebut