Algebriniai papildiniai ir minoriniai. Atvirkštinės matricos savybės

Antros eilės determinantas yra skaičius lygus skirtumui pagrindinės ir antrosios įstrižainės elementų produktai:

Ši išraiška vadinama trečios eilės determinantu:

Trečiosios eilės determinantą lengva apskaičiuoti, jei atsižvelgsime kita taisyklė: su pliuso ženklu yra skaičių tripletų, esančių pagrindinėje matricos įstrižainėje, ir trikampių, kurių pagrindas lygiagretus šiai įstrižai ir viršūnė priešingame matricos kampe, viršūnėse. Su minuso ženklu yra trejetai iš antrosios įstrižainės ir iš trikampių, sudarytų šios įstrižainės atžvilgiu. Šioje diagramoje parodyta ši taisyklė, vadinama trikampio taisykle. Diagramoje mėlyna (kairėje) žymi elementus, kurių produktai yra su pliuso ženklu, o žalia (dešinėje) – su minuso ženklu.

Bet kokios eilės determinantai. Determinantų savybės.

Pirmiausia aprašome pagrindines determinantų savybes, susijusias su matricos transformacijomis. Šių savybių žinojimas padės supaprastinti skaičiavimus ir rasti savavališkos eilės determinantus.

Savybė 1. Perkėlimo metu determinantas nesikeičia. Tai reiškia, kad matricos determinantas yra lygus perkeltos matricos determinantui (matrica, kurioje eilutės pakeičiamos atitinkamais stulpeliais).

Remiantis pirmąja savybe, likusiose savybėse galime kalbėti tik apie eilutes, o tai reiškia, kad šios savybės taip pat taikomos stulpeliams.

Savybė 2. Jei viena iš determinanto eilučių susideda iš nulių, tai determinantas yra lygus nuliui.

3 savybė. Perstačius dvi eilutes, determinantas pakeičia savo ženklą.

Savybė 4. Determinantas, turintis dvi identiškas eilutes, yra lygus nuliui.

Savybė 5. Jei visi tam tikros eilutės elementai padauginami iš tam tikro skaičiaus, tai pats determinantas bus padaugintas iš šio skaičiaus.

Savybė 6. Determinantas, turintis dvi proporcingas eilutes, yra lygus nuliui.

Savybė 7. Jei visi elementai i-oji eilutė n-osios eilės determinantas pateikiamas kaip dviejų terminų suma: a ij =b j +c j , j = 1, ..., n, tada determinantas lygi sumai du determinantai, kurių visos eilutės, išskyrus i-ąją, yra tokios pat kaip ir duotame determinante, ir i-oji eilutė viename iš terminų susideda iš elementų b j, kitame - iš elementų c j.

Savybė 8. Jei viena iš determinanto eilučių yra tiesinė kitų jos eilučių kombinacija, tai determinantas yra lygus nuliui..

9 savybė. Determinantas nesikeičia, jei į vieną iš jo eilučių pridedamas bet koks tiesinis kitų eilučių derinys.

Teorema (apie determinanto išplėtimą eilėje): determinantas yra lygus visų bet kurios eilutės elementų sandaugų sumai pagal jų eilutę. algebriniai priedai . Tai reiškia, kad n×n matricos determinantas yra lygus (algebrinis papildinys A ij =(-1) i+j M ij . Čia mažasis M ij yra determinantas, gautas iš pagrindinio determinanto išbraukus i- eilutė ir j stulpelis)

Eilučių išplėtimo teorema leidžia redukuoti n×n matricos determinanto skaičiavimą iki (n-1)×(n-1) matricų determinanto skaičiavimo. Taigi aukštesnės nei trečiosios eilės determinantų skaičiavimas sumažinamas iki išskaidymo į trečiosios eilės determinantų sumą.

Naudodami aukščiau aprašytas determinantų savybes, galite atlikti preliminarius matricos transformacijas, kurios palengvina tolesnius skaičiavimus. Pavyzdžiui, jei prieš išplečiant n-osios eilės determinantą per eilutę, toje eilutėje kaupiami nuliai, tada išplėtimas lemia mažesnį n-1 eilės determinantų skaičių. Žemiau pateikiamas pavyzdys, kuriame antroji eilutė pirmiausia atimama iš pirmosios eilutės (šiuo atveju atsiranda du nuliai), o tada išplečiama išilgai pirmosios eilutės (dėl dviejų nulių, o ne keturi trečios eilės determinantai yra gautas, bet tik du):

2 paskaita.kvalifikacijos

Antros eilės determinantai

Trečiosios eilės determinantai

Algebriniai papildiniai ir minoriniai

Determinanto išplėtimas pagal eilutę arba stulpelį

Determinantų savybės

Atvirkštinė matrica

Atvirkštinės matricos savybės

1. Antrosios eilės determinantai

Supažindinama su determinanto sąvoka tik kvadratinei matricai.

Determinantas yra skaičius, kuris apskaičiuojamas pagal tam tikras taisykles. Determinantinė tvarka yra kvadratinės matricos tvarka. Jei matricoms nurodyti buvo naudojami apvalūs skliaustai, tai determinantų teorijoje naudojami tiesūs skliaustai.

Kiekvieną kvadratinę matricą susiekime su tam tikru skaičiumi, kurį vadinsime matricos determinantas, ir nurodykite jo apskaičiavimo taisyklę. Pavadinimai :

.

1 pavyzdys.
.

2. Trečiosios eilės determinantai

Kiekviename gaminyje nėra skaičių iš vieno stulpelio ar vienos eilutės.

Pateiksime diagramą, kaip įsiminti terminų gavimo tvarką determinante.

Vienoje įstrižainėje esančių skaičių sandauga paimama su „+“ ženklu (tai pagrindinė matricos įstrižainė), o kitoje – su priešingu ženklu.

2 pavyzdys.

3. Algebriniai papildiniai ir minoriniai

Norint apskaičiuoti didesnius nei tris eilės determinantus, naudojami kiti skaičiavimo metodai.

3 pavyzdys. Nepilnametis
determinantas Yra.

.

Pravartu tai prisiminti
Ir
.

4 pavyzdys. 3 pavyzdyje algebrinis sudėjimas

4. Determinanto išplėtimas eilutėje arba stulpelyje

Determinanto apskaičiavimas eiliškumas gali būti sumažintas iki eilės determinantų apskaičiavimo
naudojant šias formules.

Šis skaičius yra lygus produktų sumai elementai bet koks th eilutės įjungtos jų algebriniai papildiniai.

5 pavyzdys. Apskaičiuokite trečios eilės determinantą
išplėtimas išilgai pirmosios eilės.

Sprendimas

Šis skaičius yra lygus bet kurio elemento sandaugų sumai stulpelį į jų algebrinius papildinius.

Nepriklausomai nuo išskaidymo metodo, visada gaunamas tas pats atsakymas.

5. Determinantų savybės

1. Transponuojant kvadratinę matricą jo determinantas nesikeičia:
.

Išvada. Eilutėms suformuluotų determinantų savybės galioja ir stulpeliams.

2. Pertvarkant dvi eilutes (stulpeliai) determinantas keičia ženklą į priešingą. Pavyzdžiui,
.

3. Determinantas yra nulis , Jei:

a) jame yra nulinė eilutė (stulpelis)
;

b) jis turi proporcingas (identiškas) eilutes (stulpelius)
.

4. Bendras veiksnys eilutėje (stulpelyje) gali būti paimtas kaip lemiamas ženklas. Pavyzdžiui,
.

5. Determinantas nesikeičia , jei prie eilutės elementų pridėsite (atimsite) atitinkamus kitos eilutės elementus, padaugintus iš bet kurio skaičiaus.

Pavyzdžiui,
.

6. Jei determinante kas eilutės elementas yra suma du terminai, tada šis determinantas yra lygus dviejų determinantų sumai:

.

7. Dviejų kvadratinių matricų sandaugos determinantas tos pačios eilės lygus produktuiŠių matricų determinantai:

.

8. Kvadratinės trikampės matricos determinantas yra lygus pagrindinės įstrižainės elementų sandaugai:

.

6. Atvirkštinė matrica

Vietoj matricos padalijimo operacijos pristatoma koncepcija atvirkštinė matrica.

Žymima atvirkštine matrica
, tai yra .

Analogija su skaičiais yra akivaizdi: skaičiui 2 skaičius ½ yra atvirkštinis, nes
. Štai kodėl žymima atvirkštinė matrica A
.

Teorema „Būtina ir pakankama egzistavimo sąlyga atvirkštinė matrica». Kad kvadratinė matrica turėjo atvirkštinę matricą
, būtina ir pakanka, kad matricos determinantas nebuvo lygus nuliui.

Atvirkštinės matricos radimo taisyklė

0) Pažiūrėkime, ar matrica yra kvadratinė. Jei ne, tada atvirkštinė matrica neegzistuoja; jei jis kvadratinis, pereikite prie 1 veiksmo.

1) Matricos determinanto apskaičiavimas
: jei jis nėra nulis, tada egzistuoja atvirkštinė matrica:
; jei lygi nuliui, tai atvirkštinės matricos nėra.

2) Kiekvienam matricos elementui apskaičiuojame jo algebrinį papildinį .

3) Sudarome algebrinių priedų matricą, kurią tada perkeliame:
.

4) Kiekvienas matricos elementas
padalinti iš determinanto :
Gauname atvirkštinę matricą.

7. Antrosios eilės matricų atvirkštinės matricos radimas

6 pavyzdys. Duota matrica
. Raskite atvirkštinę matricą.

Sprendimas.

Apžiūra.Įsitikinkite, kad atvirkštinė matrica iš tikrųjų rasta. Raskime matricų sandaugą Ir
.

8. Atvirkštinės matricos savybės

1.
,

kur A ir B yra tos pačios eilės vienaskaitos kvadratinės matricos.

2.
.

3.
.

4.
.

Saugumo klausimai

Kas yra antros eilės determinantas?

Kaip apskaičiuoti trečiosios eilės determinantą?

Kaip apskaičiuoti 3 eilės determinantą naudojant trikampio taisyklę?

Kas yra determinanto elemento algebrinis papildinys? Pateikite 2 ir 3 eilės determinantų pavyzdžius.

Parašykite trečiosios eilės determinanto išplėtimus ant savavališkos eilutės ir savavališko stulpelio elementų.

Praktikoje tyrėjui dažnai tenka susidurti su nežinomais dydžiais, tarpusavyje susijusiais tam tikromis iš anksto nustatytomis priklausomybėmis, kurias galima išreikšti bet kokiomis formulėmis. Jei tenkinamos kelios sąlygos:

1. koeficientai formulėse yra pastovūs,
2. nežinomieji į formules įtraukiami tik iki pirmojo laipsnio,
3. tarp pačių nežinomųjų nėra kūrinių,

tada tokios priklausomybės vadinamos tiesinėmis.

Pavyzdys. Laboratorijoje 10 mėginių, kurių bendras svoris yra 280 g vidutinis svoris vienas mėginys, jei indas sveria 15 g.

Sprendimas. Norėdami atsakyti į klausimą, naudosime paprastą lygtį:

x reiškiantis vidutinį vieno mėginio svorį. Sudarytos lygties sprendimas bus 26,5 g.

Pavyzdys. Laboratorijoje 10 mėginių, gautų iš 1 skyriaus, ir 10 mėginių, gautų iš 2 skyriaus, bendra masė yra 280 g, o 5 mėginių iš pirmo rinkinio ir 2 mėginių iš antrojo rinkinio bendra masė yra 128 g vidutinis kiekvieno rinkinio mėginių svoris.

Sprendimas. Norėdami atsakyti į klausimą, sukurkime dvi lygtis, žyminčias x vidutinį 1 uolienų mėginio svorį, o y - vidutinį 2 uolienų mėginio svorį,

10x+10y=280; 5x+2y = 128,

išsprendę kurią kartu, gauname x=24 g; y = 4 g.

Abiejuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose turėjome reikalų tiesinės priklausomybės: pirmuoju atveju – su linijine lygtis, o antrajame – su linijine lygčių sistema.

Pakeiskime koeficientus raidėmis ir gaukime tiesinę lygčių sistemą:

1 apibrėžimas. Matrica skambinsime bet kuriai stačiakampis stalas sudarytas iš skaičių a ij

2 apibrėžimas. Elementai a ij iš kurių sudaryta matrica, vadinami šios matricos elementais

3 apibrėžimas. Antros eilės determinantas arba determinantas, atitinkanti matricą (1.2) skambinkime numeriu D toks kad

Determinantas žymimas raidėmis D arba ir parašyta

Pažymėtina, kad nors determinantas yra skaičius, pagal apibrėžimą 3, tačiau kol jo reikšmė nerasta vienaskaitos skaičiaus pavidalu (naudojant 1.2 formulę ar kitą tinkamą metodą), jis rašomas lentelės pavidalu. Tada galime pasakyti, pavyzdžiui, apie eilučių ar stulpelių pertvarkymą šioje lentelėje. Šiuo atveju reikėtų sakyti „determinantas, atitinkantis matricą“. Tačiau praktikoje paprastai antra šios frazės dalis dėl paprastumo yra praleidžiama, o tada lieka tik vienas žodis – determinantas. Norint atskirti, kas turima galvoje – pats determinantas lentelės pavidalu ar jo rasta reikšmė, antruoju atveju vartojamas žodis determinantas. Todėl jei jie sako, pavyzdžiui, „determinanto eilučių skaičius...“, tai reiškia determinantą, atitinkantį matricą, bet dar neapskaičiuotą iki vieno skaičiaus. Ir jei jie sako determinantą, tai reiškia, kad šis determinantas yra atstovaujamas vienaskaita, apskaičiuotas pagal formulę arba kitu priimtinu būdu.

Pavyzdys. Duota lygčių sistema

Sudarykite sistemos matricą ir apskaičiuokite determinantą.

Sprendimas. Iš sistemos koeficientai sukurkime matricą: ir atitinkamas determinantas

Atlikime skaičiavimus pagal (2) formulę, gauname

4 apibrėžimas. Determinanto eilučių (arba stulpelių) skaičius vadinamas determinanto įsakymu

Pavyzdyje buvo apskaičiuotas antros eilės determinantas.

Determinantai turi šias savybes.

1 nuosavybė. Determinantas nepasikeis, jei jo eilutės bus pakeistos stulpeliais ir atvirkščiai.

Parodykime. Tegu pateikiamas antros eilės determinantas

Pakeiskime eilutes stulpeliais ir vėl apskaičiuokime gautą determinantą

Lyginant D su D * matome, kad D = D * .

5 apibrėžimas. Eilučių pakeitimo stulpeliais (arba atvirkščiai) veiksmas determinante vadinamas perkėlimu.

2 nuosavybė. Pertvarkius dvi eilutes arba stulpelius, determinantas pakeičia ženklą.

Šią savybę patikrinsime naudodami pavyzdį, kaip ir 1 savybę. Tegul determinantas yra pateiktas

Sukeiskime jame esančius stulpelius ir apskaičiuokime gautą determinantą.

Palyginus rezultatus, esame įsitikinę, kad determinantas tikrai pakeitė savo ženklą. Dabar pakeisime eilutes ir dar kartą patikrinkime šios savybės galiojimą.

2 PAMOKA

2.1 ANTRASIS UŽSAKYMAS LEIKIAMIEJI DALIS

Antros eilės determinantas(atitinka šią matricą

) vadinamas skaičiumi

1 pavyzdys: Apskaičiuokime matricos determinantą

2 pavyzdys. Apskaičiuokite antros eilės determinantus:

2(-4) - 5(-3) = -8 + 15 = 7

=

2.2 TREČIOJI UŽSAKYMO DARBAI

Tegu pateikiama trečios eilės kvadratinė matrica:

A=

Trečiosios eilės determinantas (arba determinantas). atitinkantis nurodytą matricą yra skaičius

detA = =

3 pavyzdys

Pirmas sprendimas:

Formulė ilga ir dėl neatsargumo lengva suklysti. Kaip išvengti erzinančių klaidų? Šiuo tikslu buvo išrastas antras determinanto apskaičiavimo būdas, kuris iš tikrųjų sutampa su pirmuoju. Jis vadinamas Sarrus metodu arba „lygiagrečiųjų juostų“ metodu. Apatinė eilutė yra ta, kad determinanto dešinėje priskirkite pirmąjį ir antrąjį stulpelius ir atsargiai nubrėžkite linijas pieštuku:

Daugikliai, esantys „raudonose“ įstrižainėse, įtraukiami į formulę su „pliuso“ ženklu. Daugikliai, esantys „mėlynose“ įstrižainėse, įtraukiami į formulę su minuso ženklu:

3 pavyzdys

Antras sprendimas:

Palyginkite du sprendimus. Nesunku pastebėti, kad tai TAIP, tik antruoju atveju formulės faktoriai šiek tiek persirikiuoja, o, svarbiausia, tikimybė suklysti gerokai mažesnė.

4 pavyzdys

Apskaičiuokite trečiosios eilės determinantą:

5 pavyzdys

Apskaičiuokite trečios eilės determinantą

PRAKTIKA 2

UŽDUOTIS N 1, Tai…

Sprendimas:

Tai

Pagal sąlygą , Tada

UŽDUOTIS N 2Tema: Antrosios eilės determinantai Jei antros eilės determinantas

, Tai…

Sprendimas:

Mūsų atveju turime

Pagal sąlygą , Tada

UŽDUOTIS N 3

Tema: Antrosios eilės determinantai Jei antros eilės determinantas

, Tai…

Sprendimas: Kadangi antros eilės determinantas lygus skaičiui, kuris gaunamas pagal taisyklę:

Tai

Pagal sąlygą , Tada

N 4 UŽDUOTISTema: Antrosios eilės determinantai Jei determinantas yra antros eilės, tada...

Sprendimas: Primename, kad antros eilės determinantas yra lygus skaičiui, gautam pagal taisyklę:

Mūsų atveju turime

Pagal sąlygą , Tada

N 5 UŽDUOTISTema: Trečiosios eilės determinantai Trečios eilės determinanto reikšmę galima apskaičiuoti naudojant „trikampių taisyklę“, kuri schematiškai nurodyta paveiksluose. Tada lemiamas veiksnys yra...

Sprendimas:

N 6 UŽDUOTIS

Tema: Trečiosios eilės determinantai Trečios eilės determinanto reikšmę galima apskaičiuoti naudojant „trikampių taisyklę“, kuri schematiškai nurodyta paveiksluose. Tada lemiamas veiksnys yra...

Sprendimas: Trečiosios eilės determinantas yra lygus šešių narių sumai, iš kurių trys imami su „+“ ženklu, o trys – su „–“ ženklu. Terminų su „+“ ženklu skaičiavimo taisyklė schematiškai parodyta fig. 1. Vienas iš narių yra lygus pagrindinėje įstrižainėje gulinčio determinanto elementų sandaugai. Kiekvienas iš kitų dviejų randamas kaip elementų, esančių lygiagrečiai šiai įstrižai, sandauga, pridedant trečiąjį veiksnį iš priešingo determinanto kampo. Terminai su ženklu „−“ gaunami tokiu pačiu būdu, bet palyginti su antrąja įstrižaine (2 pav.). Tada

SAVARANKIŠKAS DARBAS 2

UŽDUOTIS N 1Tema: Antrosios eilės determinantai Jei antros eilės determinantas , Tai…

2. DETERMINANTAI IR CRAMERIO TAISYKLĖ

2.1. Antros eilės determinantai

Determinantas antros eilės matrica randama taip:

(2.1)
Jis yra lygus pagrindinės matricos įstrižainės elementų sandaugai atėmus antrosios įstrižainės elementų sandaugą.

Pavyzdžiui,


Dar kartą reikia pabrėžti, kad matrica yra skaičių lentelė, o determinantas yra skaičius, nustatytas per kvadratinės matricos elementus.

Dabar panagrinėkime dviejų tiesinių lygčių sistemą su dviem nežinomaisiais:

Naudojant 2 eilės determinanto sąvoką, šios sistemos sprendimas gali būti parašytas taip:

(2.2)

Tai ten Cramerio taisyklė sprendžiant dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą su sąlyga, kad 0.

2.1 pavyzdys. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą naudodami Cramerio taisyklę:

Sprendimas . Raskime determinantus:



Istorinė informacija. Koncepcijos idėja "determinantas" galėtų priklausyti G. Leibnicas(1646-1716), jei jis būtų sukūręs ir paskelbęs savo idėjas apie determinantus, prie kurių priėjo 1693 m. Todėl pirmenybė kuriant determinantų metodą tiesinių lygčių sistemoms spręsti priklauso G. Krameris(1704-1752), kuris savo tyrimus šia tema paskelbė 1750 m. Tačiau Crameris nestatė pilna teorija be to, trūko patogaus pavadinimo. Pirmasis platus determinantams skirtas tyrimas buvo A. Vandermonde(1735-1796) 1772 m. Jis logiškai pristatė determinantų teoriją ir įvedė determinanto skaidymo taisyklę naudojant nepilnamečius. Išsamus determinantų teorijos aprašymas buvo pateiktas tik 1812 m.
J. Binet(1786-1856) ir O. Koši(1789-1858). Terminas "determinantas" ("determinantas") šiuolaikinę reikšmę įvedė Koši (anksčiau šį terminą K. Gaussas vartojo kvadratinės formos diskriminantui reikšti).

2.2. Trečiosios eilės determinantai

(2.3)

Natūralu, kad prisiminti šią formulę yra gana sunku. Tačiau yra taisyklių, kurios palengvina 3 eilės determinanto išraišką.

Trikampio taisyklė : trys terminai, įtraukti į pradinę išraišką su pliuso ženklu, yra pagrindinės įstrižainės elementų arba trikampių, kurių pagrindai yra lygiagrečiai šiai įstrižai, sandaugai. Likę trys terminai, įtraukti su minuso ženklu, randami taip pat, bet palyginti su antrąja įstrižaine.

Sarrus valdo : pridėkite pirmąjį ir antrąjį stulpelį prie matricos dešinėje. Tada „teigiami“ terminai bus tiesėse, lygiagrečiose pagrindinei įstrižai, o „neigiami“ - linijose, lygiagrečiose pagrindinei įstrižai. lygiagrečiai antrajamįstrižainės.

2.3. Cramerio taisyklė

Naudojant 3 eilės determinantus, tokios sistemos sprendinį galima užrašyti tokia pat forma kaip ir dviejų lygčių sistemai, t.y.

(2.4)

jei 0. Čia

Tai ten Cramerio taisyklė sprendžiant trijų tiesinių lygčių sistemą trijuose nežinomuosiuose.

2.3 pavyzdys. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą naudodami Cramerio taisyklę:

Sprendimas . Pagrindinės sistemos matricos determinanto radimas

Nuo 0, tada norėdami rasti sistemos sprendimą, galime taikyti Cramerio taisyklę, bet pirmiausia apskaičiuojame dar tris determinantus:

Egzaminas:

Todėl sprendimas buvo rastas teisingai. 

Cramerio taisyklės išvestos tiesinės sistemos 2 ir 3 eilės, rodo, kad tos pačios taisyklės gali būti suformuluotos bet kokios eilės tiesinėms sistemoms. Tikrai atsitinka

Cramerio teorema. Kvadratinė sistema tiesinės lygtys su nuliniu sistemos pagrindinės matricos determinantu (0) turi vieną ir tik vieną sprendimą ir šis sprendimas apskaičiuojamas naudojant formules

(2.5)

Kur  – pagrindinės matricos determinantas,  i – matricos determinantas, gautas iš pagrindinio, pakeičiantisistulpelio laisvųjų narių stulpelis.

Atkreipkite dėmesį, kad jei =0, tada Cramerio taisyklė netaikoma. Tai reiškia, kad sistema arba iš viso neturi sprendimų, arba turi be galo daug sprendimų.

Suformulavus Cramerio teoremą, natūraliai kyla klausimas dėl aukštesnio laipsnio determinantų skaičiavimo.

2.4. N-osios eilės determinantai

Pavyzdžiui, suraskime elementų minorinius ir algebrinius papildinius a 23 ir a 31 atranka

Mes gauname



Naudodami algebrinio papildinio sąvoką galime suformuluoti determinanto plėtimosi teoreman- eilės tvarka pagal eilutę ar stulpelį.

2.1 teorema.Matricos determinantasAyra lygus visų tam tikros eilutės (ar stulpelio) elementų sandaugų sumai pagal jų algebrinius papildinius:

(2.6)

Šia teorema grindžiamas vienas iš pagrindinių determinantų skaičiavimo metodų, vadinamasis. užsakymų mažinimo būdas. Dėl determinanto išsiplėtimo n eilutę ar stulpelį, gauname n determinantų ( n–1) įsakymas. Kad tokių determinantų būtų mažiau, patartina pasirinkti eilutę ar stulpelį, kuriame yra daugiausia nulių. Praktikoje determinanto išplėtimo formulė paprastai rašoma taip:

tie. algebriniai priedai yra aiškiai parašyti nepilnamečių terminais.

Pavyzdžiai 2.4. Apskaičiuokite determinantus, pirmiausia surūšiuodami juos į kokią nors eilutę ar stulpelį. Paprastai tokiais atvejais pasirinkite stulpelį arba eilutę, kurioje yra daugiausia nulių. Pasirinkta eilutė arba stulpelis bus pažymėtas rodykle.



2.5. Pagrindinės determinantų savybės

1 nuosavybė. Determinantas nepasikeis, jei jame esančios eilutės ir stulpeliai bus sukeisti, t.y. perkeliant matricą:

.

Ši savybė rodo determinanto eilučių ir stulpelių lygybę. Kitaip tariant, bet koks teiginys apie determinanto stulpelius taip pat tinka jo eilutėms ir atvirkščiai.

2 nuosavybė. Determinantas keičia ženklą, kai sukeičiamos dvi eilutės (stulpeliai).

Pasekmė. Jei determinantas turi dvi identiškas eilutes (stulpelius), tada jis lygus nuliui.

3 nuosavybė. Bendras daugiklis iš determinanto ženklo galima išimti visus bet kurios eilutės (stulpelio) elementus.

Pavyzdžiui,

Pasekmė. Jei visi tam tikros determinanto eilutės (stulpelio) elementai yra lygūs nuliui, tai pats determinantas yra lygus nuliui.

4 nuosavybė. Determinantas nepasikeis, jei vienos eilutės (stulpelio) elementai bus pridėti prie kitos eilutės (stulpelio) elementų, padaugintų iš kokio nors skaičiaus.

Pavyzdžiui,

5 nuosavybė. Matricų sandaugos determinantas yra lygus matricų determinantų sandaugai:

2.6.

Elementarios transformacijos matricos vadinamos tokiomis transformacijomis: 1) eilutę (stulpelį) padauginus iš skaičiaus, o ne lygus nuliui; 2) vienos eilutės (stulpelio) pridėjimas prie kitos; 3) dviejų eilučių (stulpelių) pertvarkymas.

Elementariosios transformacijos metodas yra naudoti elementariąsias transformacijas, atsižvelgiant į determinantų savybes, sumažinti matricą į trikampis vaizdas.

2.5 pavyzdys. Apskaičiuokite determinantą naudodami elementariąsias transformacijas, pateikdami jas į trikampę formą:



2.6 pavyzdys. Apskaičiuokite determinantą:

.

Sprendimas . Supaprastinkime šį determinantą ir tada apskaičiuokime:

. 
2.7 pavyzdys. Apskaičiuokite determinantą
.

Sprendimas . 1 būdas .Naudodami elementarias matricos transformacijas, atsižvelgdami į determinantų savybes, gausime nulius bet kurioje eilutėje ar stulpelyje, o tada gautą determinantą išplėssime išilgai šios eilutės ar stulpelio:

–6

2

-2


.
2 būdas .Naudodami elementarias matricos transformacijas, atsižvelgdami į determinantų savybes, redukuojame matricą į trikampę formą:

. 

Determinantų skaičiavimas naudojant elementariąsias transformacijas, sumažinant jį iki trikampio formos, yra vienas iš labiausiai paplitusių metodų. Taip yra dėl to, kad tai yra pagrindinis determinantų skaičiavimo metodas kompiuteryje. Tiksliau, tai viena iš modifikacijų Gauso metodas , kuris dažniausiai naudojamas sprendžiant tiesinių lygčių sistemas.

2.8 pavyzdys. Apskaičiuokite determinantą Gauso metodu:

Sprendimas. Apsvarstykite pirmąjį stulpelį ir pažymėkite jame eilutę, kurioje yra 1. Jei vienetų nėra, tuomet šį vienetą reikia sukurti naudojant elementarius transformavimus: pertvarkant eilutes ar stulpelius, sudėjus arba atimant juos tarpusavyje, padauginant ar padalijus iš kai kurių skaičių (žinoma, atsižvelgiant į determinantų savybes). Paimkime antrąją eilutę kaip pagrindą ir naudokite ją, kad gautume nulius pirmame stulpelyje:

Po to į pirmą eilutę nebekreipiame dėmesio. Pažvelkime į 2 stulpelį.

Rezultatas yra trikampė matrica. Norint apskaičiuoti determinantą, belieka padauginti matricos elementus, esančius pagrindinėje įstrižainėje. Taigi gauname atsakymą: –2(–1)(–1)1334 = –264. 