Užduotys skirtos savarankiškas darbas

Raskite šių vienarūšių sistemų bendruosius sprendimus diferencialines lygtis vieną iš svarstomų metodų ir patikrinkite juos bet kuriuo kitu metodu:

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

8.7. 8.8.

8.9. 8.10.

Tiesinė diferencialinių lygčių sistema yra tokia:

(9.1)

Sistemos (9.1) ir (9.2) vadinamos nevienalytis , jei bent viena iš funkcijų f i(X) nėra identiškas nulis, jei visos nepriklausomo kintamojo reikšmės X visos funkcijos f i(X) yra lygūs nuliui, tada, pavyzdžiui, sistema (8.14) įgauna tokią formą:

ir yra vadinamas vienalytis linijinė sistema.

Jei visos funkcijos a ij(x) Ir f i(X) yra ištisiniai segmente a£ x£ b, tada sistema, pavyzdžiui, (9.2) turi vienintelis sprendimas:

(9.4)

apibrėžta visame segmente a£ x£ b ir tenkinantis pradines sąlygas:

ir pradinius duomenis galima pasirinkti visiškai savavališkai, ir X Iš intervalo reikia pasirinkti 0 a£ x£ b.

Nehomogeninė tiesinė lygčių sistema su pastovūs koeficientai turi formą:

(9. 6)

Jei viskas f i (x) =0, tada gauname vienalytė sistema su pastoviais koeficientais

Jeigu kurio nors vektoriaus komponentai,

A vektoriaus išvestinės komponentai ir koeficientai a ij yra matricos elementai , tada, pavyzdžiui, lygčių sistema (9.8) gali būti pavaizduota taip:

Panagrinėkime linijinių sistemų su pastoviais koeficientais integravimo būdus.

1. Galima išspręsti diferencialinių lygčių sistemą su pastoviais koeficientais, pvz. Eulerio metodas . Šio metodo esmė ta, kad sistemos (9.9) sprendimo ieškoma formoje

, (9.10)

Kur λ k - savąsias reikšmes koeficientų matricos A, kurį galima rasti iš lygties :

(9.11)

(E– tapatybės matrica), kuri vadinama charakteristikos lygtis; - savųjų vektorių komponentai P (k) atitinkančią savąją reikšmę λ k.

Jei išraiška (9.10) pakeičiama lygtimi (9.9) ir ją sumažinus koeficientu , gauname vienalytę tiesinės sistemos algebrines lygtis iš kurių galime rasti vektorių P (k) :

,

arba išplėstine forma

(9.12)

Taigi, bendras sprendimas sistema (9.9) bus išreikšta formule:

. (9.13)

Iš šios formulės aišku, kad pradinės sistemos sprendimas priklauso nuo koeficiento matricos savųjų reikšmių λ k arba, kas iš esmės yra tas pats, iš charakteringos lygties šaknų formos .

1-as atvejis. Visos šaknys λ k yra tikros ir skirtingos, tada bendras sistemos sprendimas nustatomas pagal (9.13) formulę. Parašykime išplėstine forma:

(9.14)

9.1.6 pavyzdys. Raskite bendrą sistemos sprendimą

▲ Sukurkime koeficientų matricą , tada mes sudarysime charakteristikos lygtis (31):

Šios charakteringos lygties šaknys yra tikros ir skirtingos: .

Raskime savuosius vektorius, atitinkančius jų savąsias reikšmes (būdingosios lygties šaknis).

.

Reikšmė gali būti paimta savavališkai, pavyzdžiui, tegul =1, tada , todėl vektorius R (1) yra lygus: R (1) =.

Šiai šaknei taip pat sudarome sistemą (9.12)

,

todėl, jei =1, tada . Todėl vektorius R (2) =.

Taigi bendras pradinės sistemos sprendimas gali būti parašytas taip:

Todėl bendro sprendimo komponentai yra tokie:

▲

2-as atvejis. Šaknys λ kįvairių, tačiau tarp jų yra ir sudėtingų. Jei yra charakteringos lygties šaknis, tai taip pat bus jos šaknis, nes visi pradinės sistemos koeficientai a ij galioja.

Sistemos (8.29) bendrojo sprendinio komponentus, atitinkančius šaknį, randame lygiai taip pat, kaip ir 1 atveju. Tada atskirdami kompleksinę ir realiąją dalis nuo funkcijų y k, sudarydami šį sprendimą, gauname du galiojantys sprendimai ta pati sistema (8.29). Konjuguota šaknis neduoda naujų sprendinių (jei naudosime šią šaknį, gausime sprendinius, kurie tiesiškai priklauso nuo jau gautų). Tai daroma kiekvienai sudėtingai šaknei.

9.2 pavyzdys. Raskite bendrą sistemos sprendimą

Šios charakteringos lygties šaknys yra sudėtingas konjugatas: .

Mes surasime savasis vektorius, atitinkančią savąją reikšmę (būdingosios lygties šaknį), lygią: .

Sukurkime algebrinių lygčių sistemą (9.12)

Taigi, imdami =1, randame , t.y. savasis vektorius R (1) yra lygus: R (1) =.

Vadinasi, pagrindinė sistema atrodys taip:

Šiuose sprendiniuose atskiriame tikrąją ir menamąją dalis (šaknies neatsižvelgiame, nes šią šaknį atitinkantys sprendiniai tiesiškai priklauso nuo šaknies), todėl gauname:

Taigi bendras sprendimas galiausiai atrodo taip:

3 atvejis. Tarp būdingos lygties šaknų yra kelios šaknys.

Jei šaknis λ k, turi daugumą T, tada jis atitinka n sistemos (9.9) daliniai sprendiniai. Šiuos sprendimus gauname tokia forma:

Kur q 1(x),….,qn(x) – daugianariai in X su neapibrėžtais koeficientais, kiekvienas laipsnis ne didesnis kaip ( T-1):

Todėl sprendimai atrodys taip:

(9.15)

Reiškių (9.15) pakeitimas į sistemą (9.9) ir koeficientų prilyginimas lygiais laipsniais nepriklausomas kintamasis X kiekvienoje lygtyje gausime algebrinių lygčių sistemą nežinomiems daugianario koeficientams nustatyti q 1(x),….,qn(x). Gautų algebrinių lygčių skaičius bus mažesnis skaičius todėl nežinomi koeficientai T iš šių koeficientų lieka savavališki, o likusieji išreiškiami per juos.

Jeigu λ 1 yra kompleksinis skaičius, tada nagrinėjamu metodu gauti sprendiniai taip pat bus sudėtingos funkcijos iš X. Kiekviename sprendime atskirdami tikrąją ir įsivaizduojamą dalis, gauname 2 T sprendimus. Šie tirpalai atitinka konjugato porą T– kelios kompleksinės šaknys ir .

9.3 pavyzdys. Raskite bendrą sistemos sprendimą

▲ Sukurkime koeficientų matricą ir tada sukurkime charakteristikų lygtį (9.11):

Šios charakteringos lygties šaknys yra tikrosios ir skirtingos: . Daugialypės santykis T yra lygus: T= 2. Todėl šiuo atveju daugianariai p 1 (t) Ir p 2 (t) turi tokią formą:

Taigi sprendimas atitinka dvigubą šaknį

Diferencijuojantis X Ir adresu, gauname

Vertybės X, adresu, pakeiskite jį į pradinę sistemą ir sumažinę iki e 4 t turėsime

Sulyginus koeficientus ties t Ir nemokami nariai, gauname sekančių sistemų

Iš to išplaukia

Taigi bendras pradinės sistemos sprendimas turės tokią formą:

▲

2. Formos sistema (9.8): ,

galima išspręsti metodas neapibrėžti koeficientai . Šio metodo algoritmas yra toks:

1. Nubraižykite sistemos (9.8) charakteristikų lygtį:

ir rasti jo šaknis.

2. Priklausomai nuo šaknų tipo, užrašykite sistemos sprendimą ir kiekvienam sprendimui y i turi savo savavališkas konstantas:

3. Skaičiuojamos išvestinės finansinės priemonės ir kartu su rastomis funkcijomis pakeičiamos į pradinės sistemos lygtis.

4. Kairėje ir dešinėje lygčių pusėse esantys tų pačių funkcijų koeficientai sulyginami.

5. Iš gautų sistemų visi koeficientai gali būti išreikšti per vieną, pavyzdžiui, koeficientai per koeficientą C i.

9.4 pavyzdys. Raskite bendrą sistemos sprendimą

Kaip išspręsti diferencialinių lygčių sistemą?

Daroma prielaida, kad skaitytojas jau gana gerai sprendžia diferencialines lygtis, ypač vienalytės antrosios eilės lygtys Ir nehomogeniškos antrosios eilės lygtys su pastoviais koeficientais. Diferencialinių lygčių sistemose nėra nieko sudėtingo, o jei jums patinka pirmiau minėti lygčių tipai, sistemas įsisavinti nebus sunku.

Yra du pagrindiniai diferencialinių lygčių sistemų tipai:

– Tiesinės vienalytės diferencialinių lygčių sistemos
– Tiesinės nehomogeninės diferencialinių lygčių sistemos

Ir du pagrindiniai diferencialinių lygčių sistemos sprendimo būdai:

– Pašalinimo būdas. Metodo esmė ta, kad sprendimo metu diferencialinių lygčių sistema redukuojama į vieną diferencialinę lygtį.

– Naudojant charakteristikos lygtį(vadinamasis Eulerio metodas).

Daugeliu atvejų diferencialinių lygčių sistemą reikia išspręsti naudojant pirmąjį metodą. Antrasis metodas yra daug rečiau paplitęs probleminėse situacijose per visą savo praktiką, juo išsprendžiau daugiausia 10-20 sistemų. Bet mes taip pat trumpai tai apsvarstysime paskutinėje šio straipsnio pastraipoje.

Iš karto atsiprašau už teorinį medžiagos neišsamumą, bet į pamoką įtraukiau tik tas užduotis, su kuriomis realiai galima susidurti praktiškai. Vargu ar kartą per penkerius metus rasite ką nors, kas nukrenta meteorito lietuje, o su tokiais netikėtumais turėtumėte kreiptis į specializuotas difuzoriaus plytas.

Tiesinės vienalytės diferencialinių lygčių sistemos

Paprasčiausia vienalytė diferencialinių lygčių sistema turi tokią formą:

Tiesą sakant, beveik viskas praktiniais pavyzdžiais jie apsiriboja tokia sistema =)

kas ten?

– tai skaičiai ( skaitiniai šansai). Labiausiai įprasti skaičiai. Visų pirma, vienas, keli ar net visi koeficientai gali būti lygūs nuliui. Tačiau tokios dovanos dovanojamos retai, todėl skaičiai dažniausiai nėra lygūs nuliui.

Ir tai nežinomos funkcijos. Kintamasis, kuris veikia kaip nepriklausomas kintamasis, yra „kaip X įprastoje diferencialinėje lygtyje“.

Ir yra pirmieji nežinomų funkcijų ir atitinkamai išvestiniai.

Ką reiškia spręsti diferencialinių lygčių sistemą?

Tai reiškia surasti tokie funkcijas ir tai tenkina ir pirmas, ir antrasis sistemos lygtis. Kaip matote, principas yra labai panašus į įprastą tiesinių lygčių sistemos. Tik ten šaknys yra skaičiai, o čia – funkcijos.

Rastas atsakymas užrašomas formoje bendras diferencialinių lygčių sistemos sprendimas:

IN garbanoti petnešos! Šios funkcijos yra „viename dirže“.

Nuotolinio valdymo sistemai galite išspręsti Cauchy problemą, tai yra, rasti konkretus sistemos sprendimas, atitinkantis nurodytas pradines sąlygas. Tam tikras sistemos sprendimas taip pat parašytas su garbanotomis petnešomis.

Sistemą galima perrašyti kompaktiškiau taip:

Tačiau tradiciškai labiau paplitęs sprendimas su diferencialais parašytomis išvestinėmis, todėl nedelsdami pripraskite prie tokio žymėjimo:
ir – pirmosios eilės išvestinės finansinės priemonės;
ir yra antros eilės dariniai.

1 pavyzdys

Išspręskite Koši uždavinį diferencialinių lygčių sistemai su pradinėmis sąlygomis .

Sprendimas: Problemose sistema dažniausiai susiduria su pradinėmis sąlygomis, todėl beveik visi pavyzdžiai šią pamoką bus su Koši problema. Tačiau tai nėra svarbu, nes pakeliui vis tiek reikės rasti bendrą sprendimą.

Išspręskime sistemą pašalinimo būdu. Leiskite jums priminti, kad metodo esmė yra sumažinti sistemą į vieną diferencialinę lygtį. Ir tikiuosi, kad jūs gerai išspręsite diferencialines lygtis.

Sprendimo algoritmas yra standartinis:

1) Imk antroji sistemos lygtis ir iš to išreiškiame:

Ši lygtis pabaigoje mums reikės sprendimo ir pažymėsiu jį žvaigždute. Vadovėliuose būna, kad jie susiduria su 500 užrašų, o tada nurodo: „pagal formulę (253) ...“ ir ieško šios formulės kažkur 50 puslapių atgal. Apsiribosiu vienu ženklu (*).

2) Diferencijuokite iš abiejų gautos lygties pusių:

Su „smūgiais“ procesas atrodo taip:

Svarbu, kad šis paprastas dalykas būtų aiškus.

3) Pakeiskime ir į pirmąją sistemos lygtį:

Ir padarykime maksimalius supaprastinimus:

Rezultatas yra pats įprasčiausias dalykas vienalytė antros eilės lygtis su pastoviais koeficientais. Su „smūgiais“ parašyta taip: .

– gaunamos skirtingos tikrosios šaknys, todėl:
.

Viena iš funkcijų rasta, atsilieka pusiaukelėje.

Taip, atkreipkite dėmesį, kad gavome būdingą lygtį su „geru“ diskriminantu, o tai reiškia, kad nieko nesumaišėme pakeitę ir supaprastindami.

4) Pereikime prie funkcijos. Norėdami tai padaryti, imame jau rastą funkciją ir rasti jo išvestinį. Mes skiriame pagal:

Pakeiskime ir į lygtį (*):

Arba trumpai:

5) Rastos abi funkcijos, užsirašykime bendrą sistemos sprendimą:

Atsakymas: privatus sprendimas:

Gautą atsakymą patikrinti gana paprasta, patikrinimas atliekamas trimis etapais:

1) Patikrinkite, ar iš tikrųjų tenkinamos pradinės sąlygos:

Tenkinamos abi pradinės sąlygos.

2) Patikrinkime, ar rastas atsakymas tenkina pirmąją sistemos lygtį.

Funkciją paimame iš atsakymo ir suraskite jo išvestinį:

Pakeiskime , Ir į pirmąją sistemos lygtį:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad rastas atsakymas tenkina pirmąją sistemos lygtį.

3) Patikrinkime, ar atsakymas tenkina antrąją sistemos lygtį

Paimame funkciją iš atsakymo ir randame jos išvestinę:

Pakeiskime , Ir į antrąją sistemos lygtį:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad rastas atsakymas tenkina antrąją sistemos lygtį.

Patikrinimas baigtas. Kas patikrinta? Pradinių sąlygų įvykdymas buvo patikrintas. Ir, svarbiausia, rodomas faktas, kad rastas konkretus sprendimas tenkina visiems pradinės sistemos lygtis .

Taip pat galite patikrinti bendrą sprendimą , patikrinimas bus dar trumpesnis, nes nereikia tikrinti, ar tenkinamos pradinės sąlygos.

Dabar grįžkime prie išspręstos sistemos ir užduokime keletą klausimų. Sprendimas prasidėjo taip: paėmėme antrąją sistemos lygtį ir išreiškėme iš jos . Ar buvo galima išreikšti ne „X“, o „Y“? Jei išreikšime , tai mums nieko neduos ši išraiška dešinėje yra ir „Y“, ir „X“, todėl negalėsime atsikratyti kintamojo ir sistemos sprendinio redukuoti iki vienos diferencialinės lygties sprendinio.

Antras klausimas. Ar buvo galima pradėti spręsti ne nuo antrosios, o nuo pirmosios sistemos lygties? Gali. Pažvelkime į pirmąją sistemos lygtį: . Jame turime du „X“ ir vieną „Y“, todėl būtina griežtai išreikšti „Y“ per „X“: . Kitas yra pirmasis išvestinis: . Tada turėtumėte pakeisti Ir į antrąją sistemos lygtį. Sprendimas bus visiškai lygiavertis su tuo skirtumu, kad pirmiausia rasime funkciją, o tada .

Ir tik antrajam metodui bus pavyzdys savarankiškas sprendimas:

2 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinių lygčių sistemos sprendimą, kuris tenkintų nurodytas pradines sąlygas.

Pamokos pabaigoje pateiktame pavyzdiniame sprendime išreiškiama pirmoji lygtis ir visas šokis prasideda nuo šios išraiškos. Pabandykite veidrodinį sprendimą pasidaryti patys, taškas po taško, nežiūrėdami į pavyzdį.

Taip pat galite eiti pavyzdžio Nr. 1 keliu – iš antrosios lygties, išreikšti (atkreipkite dėmesį, kad reikia išreikšti „x“). Tačiau šis metodas yra mažiau racionalus dėl to, kad mes gavome trupmeną, o tai nėra visiškai patogu.

Tiesinės nehomogeninės diferencialinių lygčių sistemos

Beveik tas pats, tik sprendimas bus šiek tiek ilgesnis.

Nehomogeniška diferencialinių lygčių sistema, su kuria daugeliu atvejų galite susidurti iškilus problemoms, yra tokia:

Lyginant su vienalyte sistema, prie kiekvienos lygties papildomai pridedama tam tikra funkcija, priklausanti nuo „te“. Funkcijos gali būti konstantos (ir bent viena iš jų nėra lygi nuliui), eksponentinės, sinusai, kosinusai ir kt.

3 pavyzdys

Raskite konkretų tiesinių diferencialinių lygčių sistemos sprendimą, atitinkantį nurodytas pradines sąlygas

Sprendimas: Pateikta tiesinė nehomogeninė diferencialinių lygčių sistema, konstantos veikia kaip „priedai“. Mes naudojame pašalinimo metodas, o pats sprendimo algoritmas yra visiškai išsaugotas. Pakeitimui pradėsiu nuo pirmosios lygties.

1) Iš pirmosios sistemos lygties išreiškiame:

Tai svarbus dalykas, todėl dar kartą pažymėsiu jį žvaigždute. Skliaustų geriau neatidaryti; kodėl yra papildomos trupmenos?

Ir dar kartą atkreipkite dėmesį, kad būtent „y“ išreiškiamas iš pirmosios lygties – per du „X“ ir konstantą.

2) Išskirkite abi puses:

Konstanta (trys) išnyko dėl to, kad konstantos išvestinė lygi nuliui.

3) Pakeiskime Ir į antrąją sistemos lygtį :

Iškart po pakeitimo patartina atsikratyti trupmenų, kad tai padarytumėte, kiekvieną lygties dalį padauginkite iš 5:

Dabar darome supaprastinimus:

Rezultatas buvo tiesinė nehomogeninė antros eilės lygtis su pastoviais koeficientais. Iš esmės tai yra visas skirtumas nuo homogeninės lygčių sistemos sprendimo, aptarto ankstesnėje pastraipoje.

Pastaba: Tačiau nehomogeninėje sistemoje kartais galima gauti vienalytę lygtį.

Raskime bendrą atitinkamo sprendimo sprendimą vienalytė lygtis:

Sudarykime ir išspręskime charakteristikų lygtį:

– konjuguotas sudėtingos šaknys, Štai kodėl:
.

Būdingos lygties šaknys vėl pasirodė „geros“, o tai reiškia, kad einame teisingu keliu.

Mes ieškome konkretaus nehomogeninės lygties sprendimo formoje .
Raskime pirmąjį ir antrąjį išvestinius:

Pakeiskime kairėje pusėje nehomogeninė lygtis:

Taigi:

Pažymėtina, kad konkretus sprendimas lengvai parenkamas žodžiu ir visai priimtina vietoj ilgų skaičiavimų rašyti: „Akivaizdu, kad konkretus nehomogeninės lygties sprendimas: .

Kaip rezultatas:

4) Ieškome funkcijos. Pirmiausia randame jau rastos funkcijos išvestinę:

Tai nėra ypač malonu, bet tokie dariniai dažnai randami difuzoriuose.

Audra įsibėgėjo, o dabar bus devinta banga. Pririškite save virve prie denio.

Pakeiskime
ir į lygtį (*):

5) Bendras sistemos sprendimas:

6) Raskite konkretų sprendimą, atitinkantį pradines sąlygas :

Galiausiai privatus sprendimas:

Matai, su kokia istorija laiminga pabaiga, dabar galite be baimės plaukioti valtimis ramia jūra po švelnia saule.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Beje, jei šią sistemą pradėsite spręsti nuo antrosios lygties, skaičiavimai bus daug paprastesni (galite pabandyti), tačiau daugelis svetainės lankytojų prašė išanalizuoti sunkesnius dalykus. Kaip tu gali atsisakyti? =) Tebūnie rimtesni pavyzdžiai.

Pavyzdys, kurį lengviau išspręsti savarankiškai:

4 pavyzdys

Raskite konkretų tiesinės nehomogeninės diferencialinių lygčių sistemos sprendimą, atitinkantį nurodytas pradines sąlygas

Ši užduotis aš išsprendžiau pagal 1 pavyzdžio pavyzdį, tai yra „x“ išreiškiamas iš antrosios lygties. Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Nagrinėjamuose pavyzdžiuose neatsitiktinai naudojau skirtingus žymėjimus, naudojau skirtingais būdais sprendimus. Taigi, pavyzdžiui, išvestiniai toje pačioje užduotyje buvo rašomi trimis būdais: . IN aukštoji matematika Nereikia bijoti jokių vingiavimo, svarbiausia suprasti sprendimo algoritmą.

Charakteristikos lygties metodas(Eulerio metodas)

Kaip pažymėta straipsnio pradžioje, naudojant charakteringą lygtį retai reikia išspręsti diferencialinių lygčių sistemą, todėl paskutinėje pastraipoje panagrinėsiu tik vieną pavyzdį.

5 pavyzdys

Duota tiesinė vienalytė diferencialinių lygčių sistema

Raskite bendrą lygčių sistemos sprendimą, naudodami charakteristikos lygtį

Sprendimas: Mes žiūrime į lygčių sistemą ir sudarome antros eilės determinantą:

Manau, visi mato, kokiu principu buvo sudarytas determinantas.

Sukurkime tam būdingą lygtį iš kiekvieno skaičiaus, esančio ant pagrindinė įstrižainė, atimkite kai kuriuos parametrus:

Žinoma, ant švarios kopijos turėtumėte nedelsdami užrašyti būdingą lygtį, žingsnis po žingsnio paaiškinu, kad būtų aišku, iš kur.

Išplečiame determinantą:

Ir randame šaknis kvadratinė lygtis:

Jei charakteristikos lygtis turi dvi skirtingos tikrosios šaknys, tada bendras diferencialinių lygčių sistemos sprendimas turi tokią formą:

Jau žinome koeficientus rodikliuose, belieka tik surasti koeficientus

1) Apsvarstykite šaknį ir pakeiskite ją būdinga lygtimi:

(jūs taip pat neturite užsirašyti šių dviejų determinantų ant tuščio popieriaus, bet nedelsdami sukurkite žemiau esančią sistemą žodžiu)

Iš determinanto skaičių sudarome sistemą iš dviejų tiesines lygtis su dviem nežinomaisiais:

Ta pati lygybė išplaukia iš abiejų lygčių:

Dabar reikia pasirinkti mažiausiai reikšmė , kad reikšmė būtų sveikas skaičius. Akivaizdu, kad turėtumėte nustatyti . O jei tada

Bendrasis nevienalytės sistemos sprendinys yra vienalytės sistemos bendrojo sprendinio ir tam tikro nehomogeninės sistemos sprendinio suma.

Norėdami rasti bendrą nehomogeninės sistemos sprendimą, galite taikyti Lagranžo savavališkų konstantų kitimo metodą.

Panagrinėkime tiesinę homogeninę įprastų formos diferencialinių lygčių sistemą

kuriame vektorinė forma parašyta formoje

Matrica Φ , kurio stulpeliai yra n tiesiškai nepriklausomų vienalytės sprendinių Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) linijinė sistema Y" = A(x)Y vadinama pagrindine sistemos sprendimo matrica:

Tenkina homogeninės tiesinės sistemos Y" = A(x)Y pamatinė matrica matricos lygtisΦ" = A(x)Φ.

Prisiminkite, kad tiesiškai nepriklausomų sprendinių Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) Vronskio determinantas yra nulis nelygus .

Apsvarstykite tiesinę n-osios eilės diferencialinių lygčių sistemą:

Tiesinė sistema yra stabili Lyapunov, kai t ≥ t0, jei kiekvienas jos sprendinys x = φ(t) yra stabilus Lyapunov, kai t ≥ t0.

Tiesinė sistema yra asimptotiškai stabili Lyapunov kaip t → ∞, jei kiekvienas jos sprendinys x = φ(t) yra Lyapunov stabilus kaip t → ∞.

Tiesinės sistemos sprendimai yra arba visi stabilūs vienu metu, arba visi nestabilūs. Šie teiginiai yra teisingi.

Tiesinės diferencialinių lygčių sistemos sprendinių stabilumo teorema. Tegul nehomogeninėje tiesinėje sistemoje x" = A(t)x + b(t) matrica A(t) ir vektorinė funkcija b(t) yra tolydžios intervale )