Bet koks kvadratine forma naudojant neišsigimusią tiesinę transformaciją galima redukuoti iki kanoninė forma , apibrėžta formule
kur forma f rangas nuo n nežinomas; skaičiai, , laikomi teigiamais, tačiau kai kurie (VII.5) formulės terminai gali būti neigiami.
Esant šiai sąlygai, pakeičiant , ; ir , neišsigimęs tiesinė transformacija sumažina kvadratinę formą iki normalus protas, tai yra
Bendras skaičius kvadratai yra lygus kvadratinės formos rangui.
Yra daug tiesinių transformacijų, kurios kvadratinę formą sumažina į normaliąją formą (VII.6), tačiau iki ženklų vietos toks sumažinimas yra vienintelis.
Tai galioja kvadratinėms realioms formoms inercijos dėsnis . Teigiamų ir neigiamų normaliosios formos kvadratų, į kuriuos realiąja tiesine transformacija sumažinama duotoji kvadratinė forma su realiaisiais koeficientais, skaičius nepriklauso nuo šios transformacijos pasirinkimo.
Teigiamų (neigiamų) kvadratų skaičius normali forma formų f paskambino teigiamas (neigiamas) inercijos indeksas ((VII.6 formulėje) tai yra k), vadinamas skirtumas tarp teigiamų ir neigiamų inercijos indeksų parašas formų f((VII.6) formulėje jis lygus r-k).
Tegul tai duota kvadratinė matrica matmenys n kvadratine forma f. Nepilnamečiai, esantys išilgai pagrindinės šios matricos įstrižainės, yra 1, 2, ..., n, paskutinis iš jų sutampa su matricos determinantu , , tai yra
yra vadinami pagrindinis smulkios formos f.
VII.1 teorema. Kvadratinė forma f iš n Nežinomieji su realiais koeficientais sudaryti iš teigiamų terminų tada ir tik tada, kai visi pirmaujantys nepilnamečiai bus teigiami.
VII.3 pavyzdys. Kvadratinė forma
yra teigiamas neabejotinas, nes visi pagrindiniai matricos nepilnamečiai yra teigiami:
, , 
.
Kaip jau minėta, kvadratinę formą galima perkelti į kanoninę formą įvairiais būdais, tačiau normali išvaizda vienas. Parodykime tai pavyzdžiu.
VII.4 pavyzdys. Sumažinkite kvadratinę formą iki kanoninės formos.
Sprendimas. Nustatykime tiesinę transformaciją:
1) 
tada gauname 
.
Turime dar vieną transformaciją
2) 
tada gauname 
.
Normali kvadratinės formos forma, kurią atitinka abi kanoninės formos, 
.
Pratimai. Patikrinkite gautų formulių pagrįstumą, tiesiogiai pakeisdami 1) ir 2) transformacijas į pradinę kvadratinę formą.
Natūraliai kyla klausimas: „Kaip rasti tiesinės transformacijos (operatoriaus) matricą?
Prieš pažiūrėdami sekantį pavyzdį, pateikime keletą paaiškinimų. Nelaužant esmės bendras požiūris, apsiribojame lygtimi
Kur dešinėje pusėje yra kvadratinė forma, pateikta Dekarto sistema koordinates Kita vertus, ši išraiška apibrėžia antros eilės eilutę. Akivaizdu, kad jei paskutinės lygybės dešinioji pusė pavaizduota kintamųjų kvadratų suma
,
tada turime kvadratinės formos kanoninę formą.
Abi lygtys aprašys tą pačią antros eilės eilutę, jei yra formoje h išlaikoma ta pati skalė. Norėdami gauti kanoninę formą H Paprastai naudojama charakteristikų lygtis. Šio metodo trūkumas yra tas, kad ryšys tarp koordinačių sistemų ir . Vaizdžiai tariant, mes nežinome linijos vietos L koordinačių sistemoje, jei ji parašyta kanonine forma h. Tokį perėjimą galima atlikti pasukus koordinačių sistemos ašis kampu j(VII.1 pav.), tai yra, eikite iš koordinačių x, yĮ x 1 , y 1 pagal formules
Už atvirkštinė konversija reikia pakeisti kampą j
įjungta - j.
Norėdami sužinoti linijos vietą, turime rasti koordinačių transformaciją, kuri suteikia lygybę Hį protą h. Atkreipkite dėmesį, kad norėdami išsaugoti mastelį, turime pereiti prie ortonormalios koordinačių sistemos.
VII.5 pavyzdys. Duota kvadratinė forma Dekarto koordinačių sistemoje
Būtina jį perkelti į kanoninę formą, tai yra, užrašyti jo formą sistemoje ir rasti tiesinę transformaciją. Gaukite normalią kvadratinės formos formą.
Sprendimas. Sukurkime simetrinę tiesinės transformacijos matricą (operatorių) A
.
Pastatykime būdingas daugianario ir rasti savąsias reikšmes bei savuosius vektorius. Tada nuosekliai vykdysime pavyzdžio užduotis. Turime
Charakteristinė lygtis atrodo lygybė
.
Apskaičiavę matricos determinantą, gauname daugianarį, kurio šaknys yra savąsias reikšmes. Užrašykime kanoninę formos formą (VII.7):
Raskime tiesinę transformaciją, tai yra, nustatysime ryšį tarp sistemų ir . Kadangi šaknys yra tikros ir skirtingos ir nėra nulių, transformacija nėra išsigimusi. Rasime savuosius vektorius bazėje (vektorius pavaizduosime stulpeliais). Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygčių sistemą
apibrėžtos kiekvienai savajai reikšmei.
Už , nuo (VII.8) turime matricos lygtis
.
Darant prielaidą, būtinai, gauname
, mes turime . Pirmas rastas savasis vektorius 
, jo ilgis.
Kai turime
arba 
Pridedant antrąją prie pirmosios lygties ir pažymint, kad jei gauta lygtis bus išspręsta kaip sistema su trečiąja, būtinai pereisime prie pirmosios savasis vektorius. Belieka iš pirmųjų dviejų ir antrosios lygčių sumos sukurti lygčių sistemą, tada gausime
Darant prielaidą, kad po supaprastinimų gauname sistemą
1. Pirmiausia išsiaiškinkime, kuris iš jų yra palyginti paprastas vaizdas galima sumažinti stačiakampę daugianario matricą taikant tik kairiąsias elementarias operacijas.
Tarkime, kad pirmajame matricos stulpelyje yra elementų, kurie nėra identiški nuliai. Paimkime mažiausio laipsnio daugianarį iš jų ir, pertvarkę eilutes, paverskime jį elementu. Po to daugianarį padalinkite iš ; dalinį ir liekaną žymime ir
Dabar iš tosios eilutės atimkime pirmąją eilutę, anksčiau padaugintą iš . Jei ne visi likučiai yra identiški nuliai, tai tas, kuris nėra lygus nuliui ir turi mažiausią laipsnį, gali būti įdėtas į vietą pertvarkant eilutes. Dėl visų šių operacijų daugianario laipsnis sumažės.
Dabar šį procesą pakartosime dar kartą ir tt Kadangi daugianario laipsnis yra baigtinis, tam tikru etapu šis procesas nebegali būti tęsiamas, t. y. šiame etape visi elementai bus identiški nuliai.
Po to paimkite elementą ir tą pačią procedūrą atlikite eilutėms su skaičiais. Tada pasieksime ką ir . Tęsdami taip, galiausiai sumažinsime matricą į tokią formą:
(5)
Jei polinomas nėra identiškas nulis, tai naudojant kairiąją antrojo tipo elementariąją operaciją, elemento laipsnį padarysime mažesnį už laipsnį (jei jis turi nulį, tada jis taps identiškai lygus nuliui). Lygiai taip pat, jei , tai naudojant kairiąsias antrojo tipo elementariąsias operacijas elementų laipsnius padarysime mažesnius už laipsnį , nekeisdami elemento ir pan.
Mes nustatėme tokią teoremą:
1 teorema. Savavališkas stačiakampis daugianario matrica su matmenimis, naudojant kairiąsias elementarias operacijas, visada galima sumažinti iki formos (5), kur daugianariai turi mažesnį laipsnį nei , jei tik , ir visi yra identiški nuliai, jei 
.
Tai įrodoma lygiai taip pat
2 teorema. Savavališka stačiakampė daugiareikšmė matrica su matmenimis visada gali būti sumažinta iki formos naudojant dešiniąsias elementarias operacijas
(6)
kur daugianariai turi mažesnį laipsnį nei , jei tik , ir visi yra vienodai lygūs nuliui, jei 
.
2. Iš 1 ir 2 teoremų seka
Pasekmė. Jei kvadratinės daugiareikšmės matricos determinantas nepriklauso nuo nulio ir yra ne nulis, tada šią matricą galima pavaizduoti kaip sandaugą baigtinis skaičius elementarios matricos.
Iš tiesų, pagal 1 teoremą, naudojant kairiąsias elementarias operacijas, matrica gali būti sumažinta iki formos
(7)
kur yra matricos tvarka. Kadangi taikant elementariąsias operacijas kvadratinei daugianario matricai, šios matricos determinantas dauginamas tik iš pastovaus ne nulio koeficiento, tai matricos (7) determinantas, kaip ir determinantas, nepriklauso ir skiriasi nuo nulis, t.y.
.
Bet tada, remiantis ta pačia 1 teorema, matrica (7) turi įstrižinę formą ir todėl gali būti sumažinta naudojant kairiąsias 1 tipo elementarias operacijas iki tapatybės matricos . Tada ir atvirkščiai, tapatybės matrica gali būti sumažinta iki kairiųjų elementariųjų operacijų su matricomis naudojimo. Vadinasi,
Iš įrodytos pasekmės gauname (žr. 137–138 p.) dviejų daugianario matricų ekvivalentiškumo apibrėžimų 2 ir 2" ekvivalentiškumą.
3. Grįžkime prie mūsų pavyzdžio apie diferencialinių lygčių sistemą (4). Operatoriaus koeficientų matricai pritaikykime 1 teoremą. Tada, kaip nurodyta 138 puslapyje, sistema (4) bus pakeista lygiaverte sistema
(4")
Kur. Šioje sistemoje funkcijas galime pasirinkti savavališkai, po to funkcijos nustatomos nuosekliai ir kiekviename šio apibrėžimo etape turime integruoti po vieną diferencialinė lygtis su viena nežinoma funkcija.
4. Dabar pereikime prie „kanoninės“ formos, į kurią galima sumažinti stačiakampę daugianario matricą, taikant jai kairiąsias ir dešiniąsias elementarias operacijas.
Iš visų matricos elementų, kurie nėra identiški nuliai, paimame elementą, kurio laipsnis yra mažiausias, ir atitinkamai pertvarkydami eilutes ir stulpelius padarome jį elementu. Po to rasime koeficientus ir liekanas, dalindami daugianario ir iš:
Jei bent vienas iš likusių 
, pavyzdžiui, nėra identiškai lygus nuliui, tada iš stulpelio atėmus pirmąjį stulpelį, anksčiau padaugintą iš , elementą pakeičiame likusia dalimi, kurios laipsnis yra žemesnis nei . Tada mes turime galimybę vėl sumažinti elemento laipsnį kairėje viršutinis kampas matricą, į šią vietą įdėdami mažiausią laipsnį, palyginti su .
Jei visi liks 
;
yra identiški nuliai, tada iš tosios eilutės atėmę pirmąją, anksčiau padaugintą iš , o iš stulpelio – pirmąjį, anksčiau padaugintą iš , savo daugianario matricą sumažinsime iki formos
Jei bent vienas iš elementų nesidalija iš nulio skaitinių koeficientų, galėsime užtikrinti, kad daugianarių pirmaujantys koeficientai, ir sudaryti formules, jungiančias šiuos daugianario elementus su matricos elementais.
Matricos yra patogus įrankis sprendžiant įvairius klausimus algebrinės problemos. Žinodami kai kuriuos paprastos taisyklės dirbant su jais, galima sumažinti matricas iki bet kokių patogių ir reikalingų šiuo metu formų. Dažnai naudinga naudoti kanoninę matricos formą.
Instrukcijos
Atminkite, kad kanoninė matricos forma nereikalauja, kad jos būtų išilgai visos pagrindinės įstrižainės. Apibrėžimo esmė ta, kad vieninteliai nuliniai matricos elementai jos kanoninėje formoje yra vienetai. Jei jie yra, jie yra pagrindinėje įstrižainėje. Be to, jų skaičius gali svyruoti nuo nulio iki eilučių skaičiaus matricoje.
Nepamirškite, kad elementarios transformacijos leidžia bet kokias matrica veda į kanoninį protas. Didžiausias sunkumas – intuityviai rasti paprasčiausią veiksmų grandinių seką ir nesuklysti skaičiavimuose.
Sužinokite pagrindines operacijų su eilėmis ir stulpeliais matricoje ypatybes. Elementariosios transformacijos apima tris standartines transformacijas. Tai matricos eilutės dauginimas iš bet kokio skaičiaus, kuris nėra nulis, eilučių sumavimas (įskaitant sudėjimą, padaugintą iš tam tikro skaičiaus) ir jų pertvarkymas. Tokie veiksmai leidžia gauti matrica lygiavertis šiam. Atitinkamai, tokias operacijas su stulpeliais galite atlikti neprarasdami lygiavertiškumo.
Stenkitės nedaryti kelių dalykų vienu metu elementarios transformacijos: pereikite iš vienos scenos į kitą, kad išvengtumėte atsitiktinė klaida.
Raskite matricos rangą, kad nustatytumėte vienetų skaičių pagrindinėje įstrižainėje: tai parodys, kokia bus galutinė ieškomos kanoninės formos forma, ir nereikės atlikti transformacijų, jei tik norite ją naudoti. už sprendimą.
Norėdami vadovautis ankstesne rekomendacija, naudokite besiribojančių nepilnamečių metodą. Apskaičiuokite k-osios eilės minorą, taip pat visus aplinkinius laipsnio minorus (k+1). Jei jie lygūs nuliui, tada matricos rangas yra skaičius k Nepamirškite, kad mažoji Mij yra matricos, gautos išbraukus i eilutę ir j stulpelį, determinantas.
Dėmesio, tik ŠIANDIEN!
Viskas įdomu
Dirbant su sistemomis plačiai naudojamos matricos, kurios yra lentelės formos duomenų įrašymui tiesines lygtis. Be to, lygčių skaičius lemia matricos eilučių skaičių, o kintamųjų skaičius – jos stulpelių tvarką. Dėl to...
S matricos rangas yra didžiausias iš jos mažųjų eilučių, kurios skiriasi nuo nulio. Nepilnamečiai yra kvadratinės matricos, kuri gaunama iš pradinės, pasirenkant savavališkas eilutes ir stulpelius, determinantai. Rangas žymimas Rg S, o jo skaičiavimas...
Matrica yra matematinis objektas, kuris yra stačiakampė lentelė. Šios lentelės stulpelių ir eilučių sankirtoje yra matricos elementai - sveikasis skaičius, tikrasis arba kompleksiniai skaičiai. Matricos dydis nustatomas pagal jos skaičių...
Algebrinis komplementas yra matricos elementas arba tiesinė algebra, viena iš sąvokų aukštoji matematika kartu su determinantine, minorine ir atvirkštine matrica. Tačiau, nepaisant akivaizdaus sudėtingumo, rasti algebrinius papildinius nėra sunku. Instrukcijos...
Matrica yra sutvarkyta skaičių rinkinys stačiakampis stalas, kurio matmenys yra m eilučių ir n stulpelių. Sprendimas sudėtingos sistemos Tiesinės lygtys yra pagrįstos matricų, sudarytų iš nurodytų koeficientų, skaičiavimu. IN bendras atvejis prie…
Matricų algebra yra matematikos šaka, skirta matricų savybių tyrimui, jų taikymui sprendžiant sudėtingas lygčių sistemas, taip pat veikimo su matricomis taisyklėms, įskaitant padalijimą. Instrukcijos 1 Yra trys operacijos su matricomis: pridėjimas,...
Algebriniai papildiniai yra viena iš sąvokų matricos algebra, taikomas matricos elementams. Suradimas algebriniai priedai yra vienas iš atvirkštinės matricos nustatymo algoritmo veiksmų, taip pat ir matricos padalijimo operacijos. ...
Matrica B laikoma atvirkštine matricos A, jei jas padauginus gaunama tapatumo matrica E. „Atvirkštinės matricos“ sąvoka egzistuoja tik kvadratinei matricai, t.y. matricos „du po du“, „trys iš trijų“ ir tt...
Kiekvienai nevienaskaitei (su determinantu |A| nelygiu nuliui) kvadratinei matricai A yra unikali atvirkštinė matrica, žymimas A^(-1), kad (A^(-1))A=A, A^(-1)=E. Instrukcija 1E vadinama tapatybės matrica. Jį sudaro…
Matematinė matrica yra sutvarkyta elementų lentelė su tam tikru eilučių ir stulpelių skaičiumi. Norėdami rasti matricos sprendimą, turite nustatyti, kokius veiksmus su ja reikia atlikti. Po to elkitės pagal turimas...
Matematika, be abejo, yra mokslų „karalienė“. Ne kiekvienas žmogus gali suprasti visą jo esmės gylį. Matematika sujungia daugybę skyrių, ir kiekvienas iš jų yra unikali matematikos grandinės grandis. Tas pats pagrindinis...
Jei bet kurioje matricoje A paimame savavališkai k eilučių ir stulpelių ir iš šių eilučių ir stulpelių elementų sudarome k dydžio pomatricą, tada tokia submatrica vadinama matricos A minorine. Eilučių ir stulpelių skaičius didžiausias toks minoras, kitoks...
Т" = с (i), Т" = 1………….(i), Т"" = 0…1……….(i) b(λ)……….(j) 1…0… …….(j) .
Taikant teisingą elementariąją operaciją, matrica A(λ) dešinėje padauginama iš atitinkamos matricos T.
Atkreipkite dėmesį, kad matrica T" sutampa su matrica S", o matricos T", T"" sutampa su matricomis S", S"", jei pastarosiose sukeisti indeksai i ir j. S, S, S"" (arba, kas yra tas pats, tipo T", T", T"") matricos vadinamos elementariosiomis.
Dvi λ matricos A(λ) ir B(λ) tie patys dydžiai m x n vadinami ekvivalentais, A(λ) ~ B(λ), jei galima pereiti nuo matricos A(λ) į B(λ), naudojant baigtinio skaičiaus elementariųjų transformacijų grandinę. Ekvivalentiškumo santykis turi tris pagrindines savybes:
1) refleksyvumas: kiekviena matrica yra lygi pati sau A(λ) ~ B(λ);
2) simetrija: jei A(λ) ~ B(λ), tai B(λ) ~ A(λ);
3) tranzityvumas: jei A(λ) ~ B(λ), o B(λ) ~ C(λ), tai A(λ) ~ C(λ).
§2. Kanoninė λ matricos forma
Aukščiau buvo parodyta, kad lygiavertiškumo santykis yra tranzityvus, simetriškas ir refleksyvus. Iš to seka, kad visų nurodytų dydžių m x n λ matricų aibė yra padalinta į disjunktines klases ekvivalentinės matricos, t.y. į klases taip, kad bet kurios dvi tos pačios klasės matricos būtų lygiavertės, ir iš skirtingos klasės- nėra lygiaverčiai vienas kitam. Kyla klausimas apie kanoninė formaλ-matricos charakterizavimas ši klasė ekvivalentinės λ matricos.
Kanoninė įstrižainė λ-matrica, kurios matmenys m x n yra λ-matrica, kurios pagrindinėje įstrižainėje yra polinomai E1(λ), E2(λ), ..., Ep(λ), kur p yra mažesnis iš skaičių m ir n, ir ne lygus nuliui tarp šių daugianarių pirminiai koeficientai yra lygūs vienetui, o kiekvienas paskesnis daugianomas yra padalintas iš ankstesnio, tačiau elementai, esantys už pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui.
1 teorema. Bet kuri λ-matrica gali būti redukuota iki kanoninės įstrižainės formos baigtiniu elementariųjų transformacijų skaičiumi.
Įrodymas. Tegu A(λ) yra stačiakampė daugianario matrica. Taikydami tiek kairiąją, tiek dešinę elementariąsias operacijas A(λ), gauname kanoninę įstrižainę.
Iš visų matricos A(λ) nulinių elementų аіј(λ) paimame elementą, kurio laipsnis λ atžvilgiu yra mažiausias, ir atitinkamai pertvarkydami eilutes ir stulpelius padarome jį elementu a11(λ). Po to rasime koeficientus ir liekanas, padalijus polinomus аі1(λ) ir а1ј(λ) iš а11(λ):
аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)
(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n).
Jei bent viena iš likusių rі1(λ), r1ј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n), pavyzdžiui, r1ј (λ), nėra identiška nuliui, tada, atėmus iš pirmojo stulpelio j-, anksčiau padauginto iš q1ј(λ), elementą a1ј(λ) pakeičiame likusia r1ј(λ), kurios laipsnis yra žemesnis nei a11(λ). Tada mes turime galimybę vėl sumažinti elemento laipsnį viršutiniame kairiajame matricos kampe, įdėdami į šią vietą elementą, kurio laipsnis λ atžvilgiu yra žemiausias.
Jei visos liekanos yra r21(λ), … rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) yra identiški nuliai, tada iš i-osios eilutės atėmus pirmąją, anksčiau padaugintą iš qі1(λ) (i = 2, …, m), ir iš j-osios stulpelis - pirmasis , anksčiau padauginus iš q1ј(λ) (j = 2, …, n), sumažiname savo matricą į formą
а11(λ) 0 … 0
0 а22 (λ) … а2n (λ)
….…………………… .
0 am2(λ) … amn(λ)
Jei tuo pačiu metu bent vienas iš elementų аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) nesidalija iš а11(λ) be liekanos, tada pridedant prie pirmojo stulpelyje stulpelį, kuriame yra šis elementas, prieisime prie ankstesnio atvejo ir todėl vėl galėsime elementą a11(λ) pakeisti žemesnio laipsnio daugianario.
Kadangi pradinis elementas a11(λ) turėjo tam tikras laipsnis ir šio laipsnio mažinimo procesas negali tęstis be galo, tada atlikus baigtinį elementariųjų operacijų skaičių turime gauti formos matricą
(*) 0 b22(λ) … b 2n(λ)
….…………………… ,
0 bm2 (λ) …bmn (λ)
kurioje visi elementai bіј(λ) dalijasi iš а1(λ) be liekanos. Jei tarp šių elementų bіј(λ) nėra identiškų nulių, tai tęsdami tą patį mažinimo procesą eilutėms su skaičiais 2, …, m ir stulpeliams su skaičiais 2, …, n, matricą (*) sumažinsime iki formos.
Taigi, mes įrodėme, kad savavališka stačiakampė daugianario matrica A(λ) yra lygiavertė kokiai nors kanoninei įstrižai.
Matrica yra ypatingas matematikos objektas. Rodomas stačiakampiu arba kvadratinis stalas, sudarytas iš tam tikras skaičius eilutes ir stulpelius. Matematikoje yra daug įvairių matricų tipų, kurių dydis ir turinys skiriasi. Jo eilučių ir stulpelių numeriai vadinami eilėmis. Šie objektai matematikoje naudojami organizuojant tiesinių lygčių sistemų registravimą ir patogiai ieškant jų rezultatų. Lygtys naudojant matricą sprendžiamos Carl Gauss, Gabriel Cramer metodu, minorais ir algebriniais papildymais bei daugeliu kitų metodų. Pagrindinis įgūdis dirbant su matricomis yra sumažinimas iki standartinis vaizdas. Tačiau pirmiausia išsiaiškinkime, kokių tipų matricas skiria matematikai.
Nulinis tipas
Visi šio tipo matricos komponentai yra nuliai. Tuo tarpu jo eilučių ir stulpelių skaičius yra visiškai skirtingas.
Kvadratinis tipas
Šio tipo matricos stulpelių ir eilučių skaičius yra toks pat. Kitaip tariant, tai yra „kvadrato“ formos stalas. Jo stulpelių (arba eilučių) skaičius vadinamas tvarka. Ypatingi atvejai apima antros eilės matricos buvimą (2x2 matrica), ketvirta tvarka(4x4), dešimtas (10x10), septynioliktas (17x17) ir pan.
Stulpelio vektorius
Tai vienas iš paprasčiausių matricų tipų, turintis tik vieną stulpelį, kurį sudaro trys skaitinės reikšmės. Ji atstovauja serijai nemokami nariai(nuo kintamųjų nepriklausomi skaičiai) tiesinių lygčių sistemose.
Vaizdas panašus į ankstesnį. Susideda iš trijų skaitinių elementų, savo ruožtu suskirstytų į vieną eilutę.
Įstrižainės tipas
Skaitinės reikšmės matricos įstrižainėje formuoja tik pagrindinės įstrižainės komponentus (paryškinta žalias). Pagrindinė įstrižainė prasideda elementu, esančiu viršutiniame dešiniajame kampe, ir baigiasi skaičiumi trečiame trečios eilutės stulpelyje. Likę komponentai yra lygūs nuliui. Įstrižainės tipas yra tik tam tikros eilės kvadratinė matrica. Tarp įstrižainių matricų galima išskirti skaliarinę. Visi jo komponentai paima tos pačios vertybės.
Įstrižainės matricos potipis. Visa ji skaitines reikšmes yra vienetai. Naudojant vieno tipo matricos lentelę, atliekamos pagrindinės jos transformacijos arba randama matrica, atvirkštinė pradinei.
Kanoninis tipas
Kanoninė matricos forma laikoma viena iš pagrindinių; Sumažinti iki jo dažnai reikia darbui. Kanoninės matricos eilučių ir stulpelių skaičius kinta kvadratinis tipas. Jis šiek tiek panašus į tapatybės matricą, tačiau jos atveju ne visi pagrindinės įstrižainės komponentai įgauna reikšmę lygus vienam. Gali būti du arba keturi pagrindiniai įstrižainės vienetai (viskas priklauso nuo matricos ilgio ir pločio). Arba gali nebūti vienetų (tada jis laikomas nuliu). Likę kanoninio tipo komponentai, taip pat įstrižainės ir vienetiniai elementai yra lygūs nuliui.
Trikampio tipo
Vienas iš svarbiausių matricos tipų, naudojamas ieškant jo determinanto ir atliekant paprastas operacijas. Trikampis tipas kilęs iš įstrižainės, todėl matrica taip pat yra kvadratinė. Trikampio tipo matrica yra padalinta į viršutinę trikampę ir apatinę trikampę.
Viršutinėje trikampėje matricoje (1 pav.) tik tie elementai, kurie yra virš pagrindinės įstrižainės, turi reikšmę, lygią nuliui. Pačios įstrižainės ir po ja esančios matricos dalyse yra skaitinės reikšmės.
Apatinėje trikampėje matricoje (2 pav.), atvirkščiai, apatinėje matricos dalyje esantys elementai yra lygūs nuliui.
Rodinys reikalingas norint rasti matricos rangą, taip pat atliekant elementarias operacijas su jais (kartu su trikampio tipo). Žingsnių matrica taip pavadinta, nes joje yra būdingi nulių „žingsniai“ (kaip parodyta paveikslėlyje). Žingsnio tipe susidaro nulių įstrižainė (nebūtinai pagrindinė), o visi elementai po šia įstriža taip pat turi reikšmes, lygias nuliui. Būtina sąlyga yra tokia: jei žingsnio matricoje yra nulinė eilutė, likusiose po ja esančiose eilutėse taip pat nėra skaitinių reikšmių.
Taigi pažiūrėjome svarbiausi tipai Matricos, reikalingos darbui su jais. Dabar pažvelkime į matricos konvertavimo į reikiamą formą problemą.
Sumažėja iki trikampio formos
Kaip sumažinti matricą iki trikampis vaizdas? Dažniausiai atliekant užduotis reikia paversti matricą į trikampę formą, kad rastumėte jos determinantą, kitaip vadinamą determinantu. Atliekant šią procedūrą, nepaprastai svarbu „išsaugoti“ pagrindinę matricos įstrižainę, nes trikampės matricos determinantas yra lygus jos pagrindinės įstrižainės komponentų sandaugai. Leiskite taip pat prisiminti alternatyvius determinanto paieškos būdus. Kvadrato tipo determinantas randamas naudojant specialias formules. Pavyzdžiui, galite naudoti trikampio metodą. Kitoms matricoms naudojamas skaidymo pagal eilutes, stulpelius arba jų elementus metodas. Taip pat galite naudoti nepilnamečių ir algebrinės matricos papildymų metodą.
Išsamiai išanalizuokime matricos sumažinimo į trikampę procesą, naudodami kai kurių užduočių pavyzdžius.
1 užduotis
Reikia surasti pateiktos matricos determinantą redukuojant ją iki trikampės formos.
Mums pateikta matrica yra trečios eilės kvadratinė matrica. Todėl norėdami jį konvertuoti į trikampio formos turime paversti du pirmojo stulpelio komponentus ir vieną antrojo komponentą iki nulio.
Norėdami jį paversti trikampiu, transformaciją pradedame nuo apatinio kairiojo matricos kampo – nuo skaičiaus 6. Norėdami paversti jį iki nulio, padauginkite pirmąją eilutę iš trijų ir atimkite iš paskutinės eilutės.
Svarbu! Viršutinė eilutė nesikeičia, bet išlieka tokia pati, kaip ir pradinėje matricoje. Nereikia rašyti keturis kartus didesnės eilutės už pradinę. Tačiau eilučių, kurių komponentus reikia nustatyti į nulį, reikšmės nuolat keičiasi.
Liko tik paskutinė vertė- antrojo stulpelio trečios eilutės elementas. Tai yra skaičius (-1). Norėdami jį paversti nuliu, atimkite antrą iš pirmosios eilutės.
Patikrinkime:
detA = 2 x (-1) x 11 = -22.
Tai reiškia, kad užduoties atsakymas yra -22.
2 užduotis
Būtina rasti matricos determinantą redukuojant ją į trikampę formą.
Pateikta matrica priklauso kvadratiniam tipui ir yra ketvirtos eilės matrica. Tai reiškia, kad reikia paversti tris pirmojo stulpelio komponentus, du antrojo stulpelio komponentus ir vieną trečiojo komponentą iki nulio.
Pradėkime konvertuoti nuo elemento, esančio apatiniame kairiajame kampe – nuo skaičiaus 4. Turime apversti duotas numeris iki nulio. Lengviausias būdas tai padaryti – viršutinę eilutę padauginti iš keturių ir atimti iš ketvirtosios. Užrašykime pirmojo transformacijos etapo rezultatą.
Taigi ketvirtos eilutės komponentas nustatomas į nulį. Pereikime prie pirmojo trečios eilutės elemento, prie skaičiaus 3. Atliekame panašią operaciją. Pirmą eilutę padauginame iš trijų, atimame iš trečios ir užrašome rezultatą.
Mums pavyko paversti nuliu visus šios kvadratinės matricos pirmojo stulpelio komponentus, išskyrus skaičių 1 - pagrindinės įstrižainės elementą, kuriam nereikia transformacijos. Dabar svarbu išsaugoti gautus nulius, todėl transformacijas atliksime su eilutėmis, o ne su stulpeliais. Pereikime prie antrojo pateiktos matricos stulpelio.
Vėl pradėkime nuo apačios – nuo paskutinės eilutės antrojo stulpelio elemento. Šis skaičius yra (-7). Tačiau į šiuo atveju Patogiau pradėti nuo skaičiaus (-1) - trečios eilutės antrojo stulpelio elemento. Norėdami jį paversti nuliu, atimkite antrą iš trečiosios eilutės. Tada antrą eilutę padauginame iš septynių ir atimame iš ketvirtosios. Vietoj elemento, esančio antrojo stulpelio ketvirtoje eilutėje, gavome nulį. Dabar pereikime prie trečiojo stulpelio.
Šiame stulpelyje turime tik vieną skaičių paversti nuliu – 4. Tai padaryti nėra sunku: tiesiog pridėkite prie paskutinė eilutė trečias ir matome mums reikalingą nulį.
Po visų atliktų transformacijų siūlomą matricą perkėlėme į trikampę formą. Dabar, norint rasti jo determinantą, tereikia padauginti gautus pagrindinės įstrižainės elementus. Mes gauname: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Todėl sprendimas yra 160.
Taigi, dabar jūsų nejaudins klausimas, kaip sumažinti matricą į trikampę formą.
Sumažinti į laiptuotą formą
Atliekant elementariąsias operacijas su matricomis, pakopinė forma yra mažiau „paklausi“ nei trikampė. Jis dažniausiai naudojamas matricos rangui (t.y. jos nenulinių eilučių skaičiui) rasti arba tiesiškai priklausomoms ir nepriklausomoms eilutėms nustatyti. Tačiau pakopinis matricos tipas yra universalesnis, nes tinka ne tik kvadratiniam, bet ir visiems kitiems.
Norėdami sumažinti matricą iki laiptuotas vaizdas, pirmiausia reikia rasti jo determinantą. Tam tinka aukščiau pateikti metodai. Determinanto radimo tikslas – išsiaiškinti, ar jį galima paversti žingsnių matrica. Jei determinantas yra didesnis arba mažiau nei nulis, tada galėsite ramiai pradėti užduotį. Jei jis lygus nuliui, matricos nebus įmanoma sumažinti į laipsnišką formą. Tokiu atveju reikia patikrinti, ar įraše ar matricos transformacijose nėra klaidų. Jei tokių netikslumų nėra, užduotis negali būti išspręsta.
Pažiūrėkime, kaip sumažinti matricą į laipsnišką formą, naudojant kelių užduočių pavyzdžius.
1 užduotis. Raskite pateiktos matricos lentelės rangą.
Prieš mus yra trečios eilės kvadratinė matrica (3x3). Žinome, kad norint rasti rangą, būtina jį sumažinti į laipsnišką formą. Todėl pirmiausia turime rasti matricos determinantą. Naudokime trikampio metodą: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.
Determinantas = 12. Jis didesnis už nulį, o tai reiškia, kad matrica gali būti sumažinta iki pakopinės formos. Pradėkime jį transformuoti.
Pradėkime nuo trečios eilutės kairiojo stulpelio elemento - skaičiaus 2. Viršutinę eilutę padauginkite iš dviejų ir atimkite iš trečiosios. Šios operacijos dėka ir mums reikalingas elementas, ir skaičius 4 – trečios eilutės antrojo stulpelio elementas – pavirto į nulį.
Matome, kad dėl sumažinimo trikampė matrica. Mūsų atveju negalime tęsti transformacijos, nes likusių komponentų negalima sumažinti iki nulio.
Tai reiškia, kad darome išvadą, kad eilučių, kuriose yra skaitinės reikšmės šioje matricoje (arba jos range), skaičius yra 3. Užduoties atsakymas: 3.
2 užduotis. Nustatykite tiesiškai nepriklausomų šios matricos eilučių skaičių.
Turime rasti eilutes, kurių jokiu būdu negalima konvertuoti į nulį. Tiesą sakant, turime rasti nulinių eilučių skaičių arba pateiktos matricos rangą. Norėdami tai padaryti, supaprastinkime.
Matome matricą, kuri nepriklauso kvadratiniam tipui. Jo dydis 3x4. Taip pat sumažinimą pradėkime nuo apatinio kairiojo kampo elemento – skaičiaus (-1).
Tolimesnės jos transformacijos neįmanomos. Tai reiškia, kad darome išvadą, kad tiesiškai nepriklausomų eilučių skaičius jame ir užduoties atsakymas yra 3.
Dabar matricos sumažinimas į laiptuotą formą jums nėra neįmanoma užduotis.
Naudodamiesi šių užduočių pavyzdžiais, išnagrinėjome matricos redukciją į trikampę formą ir laiptuotą formą. Kad būtų nulis reikalingos vertės matricos lentelės, in kai kuriais atvejais jums reikia pasitelkti savo vaizduotę ir teisingai konvertuoti jų stulpelius ar eilutes. Sėkmės matematikoje ir dirbant su matricomis!
