Modulių suma lygi skaičiui. Užklasinė pamoka

Skaičių modulis pats šis skaičius vadinamas, jei jis yra neneigiamas, arba tas pats skaičius su priešingas ženklas, jei jis yra neigiamas.

Pavyzdžiui, skaičiaus 5 modulis yra 5, o skaičiaus –5 modulis taip pat yra 5.

Tai reiškia, kad skaičiaus modulis suprantamas kaip absoliuti reikšmė, absoliučioji vertėšis skaičius neatsižvelgiant į jo ženklą.

Žymima taip: |5|, | X|, |A| ir tt

Taisyklė:

Paaiškinimas:

|5| = 5
Jis skamba taip: skaičiaus 5 modulis yra 5.

|–5| = –(–5) = 5
Jis skamba taip: skaičiaus –5 modulis yra 5.

|0| = 0
Jis skamba taip: nulio modulis yra lygus nuliui.

Modulio savybės:

1) Skaičiaus modulis yra neneigiamas skaičius:

|A| ≥ 0

2) Priešingų skaičių moduliai yra lygūs:

|A| = |–A|

3) Kvadratinis skaičiaus modulis lygus kvadratuišis numeris:

|A| 2 = a 2

4) Skaičių gaminio modulis lygus produktuišių skaičių moduliai:

|A · b| = |A| · | b|

6) Dalinio skaičių modulis lygus santykiuišių skaičių moduliai:

|A : b| = |A| : |b|

7) Skaičių sumos modulis yra mažesnis už arba lygi sumai jų moduliai:

|A + b| ≤ |A| + |b|

8) Skaičių skirtumo modulis yra mažesnis arba lygus jų modulių sumai:

|A – b| ≤ |A| + |b|

9) Skaičių sumos/skirtumo modulis yra didesnis arba lygus jų modulių skirtumo moduliui:

|A ± b| ≥ ||A| – |b||

10) Iš modulio ženklo galima paimti pastovų teigiamą daugiklį:

|m · a| = m · | A|, m >0

11) Skaičiaus laipsnį galima paimti iš modulio ženklo:

|A k | = | A| k jei egzistuoja a k

12) Jei | A| = |b|, tada a = ± b

Geometrinė modulio reikšmė.

Skaičiaus modulis yra atstumas nuo nulio iki šio skaičiaus.

Pavyzdžiui, dar kartą paimkime skaičių 5. Atstumas nuo 0 iki 5 yra toks pat kaip nuo 0 iki –5 (1 pav.). O kai mums svarbu žinoti tik atkarpos ilgį, tai ženklas turi ne tik prasmę, bet ir prasmę. Tačiau tai nėra visiškai tiesa: atstumą matuojame tik teigiamais skaičiais – arba neneigiami skaičiai. Tegul mūsų skalės padalijimo kaina yra 1 cm. Tada atkarpos ilgis nuo nulio iki 5 yra 5 cm, nuo nulio iki –5 taip pat yra 5 cm.

Praktikoje atstumas dažnai matuojamas ne tik nuo nulio – atskaitos tašku gali būti bet koks skaičius (2 pav.). Tačiau tai nekeičia esmės. Formos |a – b| žymėjimas išreiškia atstumą tarp taškų A Ir b skaičių eilutėje.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį | X – 1| = 3.

Sprendimas.

Lygties reikšmė yra ta, kad atstumas tarp taškų X o 1 lygus 3 (2 pav.). Todėl nuo 1 taško skaičiuojame tris padalijas į kairę ir tris padalijas į dešinę – ir aiškiai matome abi reikšmes X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Galime paskaičiuoti.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Atsakymas : X 1 = –2; X 2 = 4.

2 pavyzdys. Rasti išraiškos modulį:

Sprendimas.

Pirmiausia išsiaiškinkime, ar išraiška yra teigiama, ar neigiama. Norėdami tai padaryti, paverčiame išraišką taip, kad ją sudarytų vienarūšiai skaičiai. Neieškokime 5 šaknies – tai gana sunku. Padarykime tai paprasčiau: pakelkime 3 ir 10 į šaknį. Tada palyginkite skaičių, sudarančių skirtumą, dydį:

3 = √9. Todėl 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Matome, kad pirmasis skaičius yra mažesnis nei antrasis. Tai reiškia, kad išraiška yra neigiama, tai yra, jos atsakymas yra mažesnis už nulį:

3√5 – 10 < 0.

Bet pagal taisyklę neigiamo skaičiaus modulis yra tas pats skaičius su priešingu ženklu. Mes turime neigiama išraiška. Todėl būtina pakeisti jo ženklą į priešingą. Priešinga 3√5 – 10 išraiška yra – (3√5 – 10). Atidarykime jame esančius skliaustus ir gaukime atsakymą:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Atsakyk .

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų surinkta Asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

1. Priešingų skaičių moduliai yra lygūs
2. Skaičiaus modulio kvadratas lygus šio skaičiaus kvadratui
3. Kvadratinė šaknis skaičiaus kvadratas yra to skaičiaus modulis
4. Skaičiaus modulis yra neneigiamas skaičius
5. Iš modulio ženklo galima paimti pastovų teigiamą daugiklį
6. Jei , tada
7. Dviejų (ar daugiau) skaičių sandaugos modulis lygus jų modulių sandaugai

Skaitiniai intervalai

Taško kaimynystė Tegul x o yra bet koks realusis skaičius (taškas skaičių tiesėje). Taško xo kaimynystė yra bet koks intervalas (a; b), kuriame yra taškas x0. Konkrečiai, intervalas (x o -ε, x o +ε), kur ε >0, vadinamas taško x o ε kaimynyste. Skaičius xo vadinamas centru.

3 KLAUSIMAS funkcijos samprata Funkcija yra tokia kintamojo y priklausomybė nuo kintamojo x, kurioje kiekviena kintamojo x reikšmė atitinka vieną kintamojo y reikšmę.

Kintamasis x vadinamas nepriklausomu kintamuoju arba argumentu.

Kintamasis y vadinamas priklausomu kintamuoju.

Funkcijos nustatymo metodai

Lentelės metodas. susideda iš atskirų argumentų reikšmių lentelės ir jas atitinkančių funkcijų reikšmių nurodymo. Šis funkcijos apibrėžimo metodas naudojamas, kai funkcijos apibrėžimo sritis yra diskreti baigtinė aibė.

Naudojant lentelės metodą, nurodant funkciją, galima apytiksliai apskaičiuoti funkcijos reikšmes, kurių nėra lentelėje, atitinkančias tarpines argumento reikšmes. Norėdami tai padaryti, naudokite interpoliacijos metodą.

Lentelinio funkcijos nustatymo metodo pranašumai yra tai, kad jis leidžia iš karto, be papildomų matavimų ar skaičiavimų, nustatyti tam tikras konkrečias reikšmes. Tačiau kai kuriais atvejais lentelė neapibrėžia funkcijos iki galo, o tik kai kurioms argumento reikšmėms ir nepateikia vaizdinio funkcijos pasikeitimo pobūdžio, atsižvelgiant į argumento pasikeitimą.

Grafinis metodas. Funkcijų grafikas y = f(x) yra visų plokštumos taškų, kurių koordinatės atitinka pateiktą lygtį, aibė.

Grafinis funkcijos nurodymo metodas ne visada leidžia tiksliai nustatyti skaitines argumento reikšmes. Tačiau jis turi didelį pranašumą prieš kitus metodus – matomumą. Inžinerijoje ir fizikoje dažnai naudojamas grafinis funkcijos nurodymo metodas, o grafikas yra vienintelis būdas tai padaryti.

Tam, kad grafinis funkcijos priskyrimas būtų visiškai teisingas matematiniu požiūriu, būtina nurodyti tikslų geometrinį grafiko dizainą, kuris dažniausiai nurodomas lygtimi. Tai veda prie tolesnio funkcijos nurodymo būdo.

Analitinis metodas. Norėdami nurodyti funkciją, turite nurodyti būdą, kuriuo kiekvienai argumento reikšmei būtų galima rasti atitinkamą funkcijos reikšmę. Dažniausias būdas nurodyti funkciją yra naudoti formulę y = f (x), kur f (x) yra kokia nors išraiška su kintamuoju x. Šiuo atveju jie sako, kad funkcija pateikiama pagal formulę arba kad funkcija pateikiama analitiškai.

Analitiškai apibrėžtai funkcijai funkcijos apibrėžimo sritis kartais nėra aiškiai nurodyta. Šiuo atveju numanoma, kad funkcijos y = f (x) apibrėžimo sritis sutampa su išraiškos f (x) apibrėžimo sritimi, t. y. su tų x reikšmių, kurioms išraiška f (x) turi prasmę.

Natūrali funkcijos sritis

Funkcijos domenas f- tai yra daug X visos argumentų reikšmės x, kuriame nurodyta funkcija.

Nurodykite funkcijos apibrėžimo sritį f naudojamas trumpas formos žymėjimas D(f).

aiškus numanomas parametrinė specifikacija funkcijas

Jei funkcija pateikiama lygtimi y=ƒ(x), išspręsta y atžvilgiu, tada funkcija pateikiama aiškia forma (eksplicitinė funkcija).

Pagal numanoma užduotis funkcijos supranta funkcijos apibrėžimą lygties F(x;y)=0 forma, neišspręstos y atžvilgiu.

Viskas aišku suteikta funkcija y=ƒ (x) gali būti parašytas kaip netiesiogiai pateiktas lygtimi ƒ(x)-y=0, bet ne atvirkščiai.

Lygtys su moduliais, sprendimo būdai. 1 dalis.

Prieš pradedant tiesiogiai studijuoti tokių lygčių sprendimo būdus, svarbu suprasti modulio esmę, jo esmę. geometrine prasme. Suprasdami modulio apibrėžimą ir jo geometrinę reikšmę, nustatomi pagrindiniai tokių lygčių sprendimo metodai. Vadinamasis intervalų metodas atidarant modulinius skliaustus yra toks efektyvus, kad jį naudojant moduliais galima išspręsti absoliučiai bet kokią lygtį ar nelygybę. Šioje dalyje mes išsamiai išnagrinėsime du standartiniai metodai: intervalo metodas ir lygties pakeitimo aibe metodas.

Tačiau, kaip matysime, šie metodai visada yra veiksmingi, tačiau ne visada patogūs ir gali lemti ilgus ir net nelabai patogius skaičiavimus, kuriems išspręsti natūraliai reikia daugiau laiko. Todėl svarbu žinoti tuos metodus, kurie žymiai supaprastina tam tikrų lygčių struktūrų sprendimą. Abiejų lygties pusių kvadratūra, naujo kintamojo įvedimo metodas, grafinis metodas, sprendžiant lygtis, kuriose yra modulis po modulio ženklu. Šiuos metodus apžvelgsime kitoje dalyje.

Skaičiaus modulio nustatymas. Geometrinė modulio reikšmė.

Visų pirma, susipažinkime su geometrine prasme modulis:

Skaičių modulis a (|a|) skambinti atstumas skaičių eilutėje nuo pradžios (taško 0) iki taško A(a).

Remdamiesi šiuo apibrėžimu, pažvelkime į keletą pavyzdžių:

|7| - tai atstumas nuo 0 iki taško 7, žinoma, lygus 7. → | 7 |=7

|-5|- tai atstumas nuo 0 iki taško -5 ir jis lygus: 5. → |-5| = 5

Visi suprantame, kad atstumas negali būti neigiamas! Todėl |x| ≥ 0 visada!

Išspręskime lygtį: |x |=4

Šią lygtį galima perskaityti taip: atstumas nuo taško 0 iki taško x yra 4. Taip, pasirodo, kad nuo 0 galime judėti tiek į kairę, tiek į dešinę, o tai reiškia, kad judame į kairę atstumu, lygiu 4 atsidursime taške: -4, o judėdami į dešinę atsidursime taške: 4. Iš tiesų, |-4 |=4 ir |4 |=4.

Taigi atsakymas yra x=±4.

Jei atidžiai išnagrinėsite ankstesnę lygtį, pastebėsite, kad: atstumas į dešinę išilgai skaičių linijos nuo 0 iki taško yra lygus pačiam taškui, o atstumas į kairę nuo 0 iki skaičiaus yra lygus priešingai numeris! Suprasdami, kad skaičiai dešinėje nuo 0 yra teigiami, o skaičiai į kairę nuo 0 yra neigiami, suformuluojame skaičiaus modulio apibrėžimas: modulis ( absoliučioji vertė) skaičiai X(|x|) yra pats skaičius X, jei x ≥0 ir skaičius – X, jei x<0.

Čia reikia rasti skaičių eilutės taškų aibę, atstumas nuo 0 iki kurio bus mažesnis nei 3, įsivaizduokime skaičių eilutę, ant jos tašką 0, eikime į kairę ir suskaičiuokime vieną (-1), du (-2) ir trys (-3), sustokite. Toliau bus taškai, esantys toliau nei 3 arba atstumas iki kurio nuo 0 yra didesnis nei 3, dabar einame į dešinę: vienas, du, trys, vėl sustokite. Dabar pasirenkame visus savo taškus ir gauname intervalą x: (-3;3).

Svarbu tai aiškiai matyti, jei vis dar negalite, nupieškite ant popieriaus ir pažiūrėkite, kad ši iliustracija jums būtų visiškai aiški, nepatingėkite ir pasistenkite mintyse įžvelgti šių užduočių sprendimus :

|x |=11, x=? |x|=-5, x=?

|x |<8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2, x-? |x|> -3, x-?

|π-3|=? |-x²-10|=?

|√5-2|=? |2х-х²-3|=?

|x²+2|=? |x²+4|=0

|x²+3x+4|=? |-x²+9| ≤0

Ar pastebėjote keistas užduotis antrajame stulpelyje? Iš tiesų, atstumas negali būti neigiamas, todėl: |x|=-5- neturi sprendinių, žinoma, jis negali būti mažesnis už 0, todėl: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 yra visi skaičiai.

Išmokę greitai pamatyti paveikslėlius su sprendimais, skaitykite toliau.

Racionaliojo skaičiaus modulis jie vadina atstumą nuo pradžios iki taško koordinačių tiesėje, atitinkančioje šį skaičių.

Kadangi atstumas (atkarpos ilgis) gali būti išreikštas tik teigiamu skaičiumi arba nuliu, galime sakyti, kad skaičiaus modulis negali būti neigiamas.

Modulio savybės:

Teigiamo skaičiaus modulis yra lygus pačiam skaičiui.
|a| = a, jei a > 0;

Neigiamojo skaičiaus modulis lygus priešingam skaičiui.
|-a| = a, jei a< 0;

Nulinis modulis lygus nuliui.
|0| = 0, jei a = 0;

Priešingi skaičiai turėti vienodus modulius.
|-a| = |a|;

Modulių pavyzdžiai racionalūs numeriai:

4.Pagrindiniai sprendimo būdai neracionalios lygtys ir nelygybės.

Lygtį arba nelygybę vadiname neracionalia, jei joje yra kintamasis po radikalais, tai yra po kvadrato, kubo ir pan. šaknies ženklais. Iracionalios lygtys ir nelygybės turi tam tikrą specifiškumą.

Prisiminkime, kad lygties ar nelygybės priimtinų verčių diapazonas (sutrumpintai VA) yra kintamojo, kurio abi pusės, reikšmių rinkinys duota lygtis arba nelygybės turi prasmę. Bet kurią užduotį galite atlikti neieškodami (ir neminėdami) ODZ, todėl šiai koncepcijai nereikia ypatingo poreikio. Bet ir tame nėra jokios žalos; Be to, tam tikrose situacijose ODZ paieška yra labai naudinga. Taigi, kai kuriose neracionaliose lygtyse ir nelygybėse tai neapsiriboja jokiais konkrečiais metodais - tereikia atidžiai apžiūrėti ir atsižvelgti į ODZ.

Lygiavertės transformacijos

Mes pereiname prie svarstymo standartiniai tipai neracionalios lygtys ir nelygybės. Čia preliminari DZ paieška pasirodo, kaip taisyklė, nereikalingas žingsnis; Šios problemos efektyviausiai išsprendžiamos atitinkamų lygiaverčių perėjimų pagalba. Formos √ A = √ B lygtys

Pradėkime nuo pavyzdžio.

Išspręskime lygtį √ x = √ 2x + 1. Dėl funkcijos √ x monotoniškumo radikalinės išraiškos turi būti lygios: x = 2x+1, iš kur x = −1. Tačiau pakeitus šią x reikšmę į lygtį, gaunama neigiami skaičiai pagal radikalus; todėl x = −1 nėra šios lygties šaknis, todėl ji neturi sprendinių. Dabar pasvarstykime bendra situacija. Tegu yra lygtis √ A = √ B, kur A ir B yra kai kurios išraiškos, turinčios kintamąjį. Tada, pirma, radikalios išraiškos turi būti lygios: A = B. Antra, abi radikalios išraiškos turi būti neneigiamos; bet dėl jų lygybės pakanka reikalauti, kad vienas iš jų būtų neneigiamas. Taigi, turime: √ A = √ B ⇔ (A = B, A > 0 arba √ A = √ B ⇔ (A = B, B > 0. Šiuo atveju natūralu reikalauti, kad išraiška būtų paprastesnė nėra neigiamas.

5. Funkcijos grafikas, analitinės išraiškos kurį sudaro modulis:

Skaičiaus modulis yra atstumas nuo atskaitos taško iki taško, atitinkančio šį tašką.

Algoritmas braižant y=|f(x)|.

1. Sukurkite grafiką y=f(x)

2. Virš abscisių ašies esančias grafiko dalis palikite nepakeistas.

3. Sritys, esančios žemiau x ašies, yra atspindėtos šios ašies atžvilgiu.

y=f(|x|) braižymo algoritmas.

1. Sukurkime grafiką y=f(x).

2. ištrinkite visus taškus, esančius kairėje nuo OY ašies.

3. Visi taškai, esantys operacijos stiprintuvo ašyje ir į dešinę nuo jos, atsispindės simetriškai operacinės stiprintuvo ašies atžvilgiu.

Algoritmas braižymui |y|=|f(x)|

1.Sudarykite grafiką y=f(x).