Funkcijos, pateiktos lygčių sistema, dalinės išvestinės. Netiesioginių funkcijų, pateiktų lygčių sistema, išvestinių skaičiavimas

Tegul funkcija nurodoma netiesiogiai naudojant lygtį
(1) .
Ir tegul ši lygtis turi tam tikrą vertę vienintelis sprendimas.
.
Tegul funkcija yra diferencijuojama funkcija taške , ir
(2) .

Tada, esant šiai vertei, yra išvestinė, kuri nustatoma pagal formulę:

Įrodymas
.
Norėdami tai įrodyti, apsvarstykite funkciją kaip sudėtingą kintamojo funkciją: Taikykime kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę ir raskime išvestinę kintamojo atžvilgiu iš kairės ir teisingos dalys
(3) :
.
lygtys
(4) ;
.

Kadangi konstantos išvestinė yra nulis ir , tada

Formulė įrodyta.

Aukštesnės eilės išvestinės priemonės
(4) .
Perrašykime (4) lygtį naudodami skirtingus žymėjimus:
;
.
Tuo pačiu metu ir yra sudėtingos kintamojo funkcijos:
(1) .

Priklausomybė nustatoma pagal (1) lygtį:
Išvestinę kintamojo atžvilgiu randame iš kairės ir dešinės (4) lygties pusių.
;
.
Pagal sudėtingos funkcijos išvestinės formulę turime:

.
Pagal produkto darinio formulę:


.

Naudojant išvestinės sumos formulę:
(5) .
Kadangi (4) lygties dešiniosios pusės išvestinė lygi nuliui, tai

Čia pakeitę išvestinę, gauname antros eilės išvestinės reikšmę numanoma forma.
.
Panašiai diferencijuodami (5) lygtį, gauname lygtį, kurioje yra trečios eilės išvestinė:

Čia pakeitę rastas pirmos ir antros eilės išvestinių reikšmes, randame trečios eilės išvestinės reikšmę.

Tęsiant diferenciaciją, galima rasti bet kokios eilės išvestinį.

Pavyzdžiai

1 pavyzdys
Raskite pirmos eilės išvestinę funkcijos, kurią netiesiogiai pateikia lygtis: .

(P1)

Sprendimas pagal 2 formulę
(2) .

Išvestinę randame naudodami formulę (2): Perkelkime visus kintamuosius į kairėje pusėje
.
kad lygtis įgautų formą .

Iš čia.
;
;
;
.

Išvestinę randame atsižvelgiant į , laikydami ją pastovia.
;
;
;
.

Išvestinę randame kintamojo atžvilgiu, atsižvelgdami į kintamojo konstantą.
.

Naudodami (2) formulę randame:
.
Galime supaprastinti rezultatą, jei pastebėsime, kad pagal pradinę lygtį (A.1), .
.

Pakeiskime:

Padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš:

Antrasis sprendimas
.
Taikome išvestinės trupmenos formulę:
;
.
Taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę:
.
Atskirkime pradinė lygtis(P1).
Raskite pirmos eilės išvestinę funkcijos, kurią netiesiogiai pateikia lygtis: ;
;
.
Padauginame iš ir sugrupuojame terminus.
;
.

Pakeiskime (iš (A1) lygties):
.
Padauginti iš:
.

Atsakymas

2 pavyzdys

Raskite funkcijos, pateiktos netiesiogiai, antros eilės išvestinę naudojant lygtį:
(A2.1) .

Sprendimas

Pradinę lygtį išskiriame kintamojo atžvilgiu, atsižvelgdami į tai, kad ji yra funkcija:
;
.
Taikykite išvestinę formulę sudėtinga funkcija.
.

Atskirkime pradinę lygtį (A2.1):
;
.
Iš pradinės lygties (A2.1) išplaukia, kad .
.
Pakeiskime:
;
Atidarykite skliaustus ir sugrupuokite narius: .
(A2.2)
Randame pirmosios eilės išvestinį: .

(A2.3)
;
;
;
.
Norėdami rasti antros eilės išvestinę, diferencijuojame lygtį (A2.2).
.
Padauginti iš:

;
.
Pakeiskime pirmosios eilės išvestinę išraišką (A2.3):

Atsakymas

Iš čia randame antros eilės išvestinę.

3 pavyzdys
Raskite funkcijos, pateiktos netiesiogiai, trečiosios eilės išvestinę naudojant lygtį: .

Sprendimas

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
Pradinę lygtį atskiriame kintamojo atžvilgiu, darydami prielaidą, kad ji yra funkcija . ;

(A3.2)
;
;
;
;
;
Išskirkime lygtį (A3.2) kintamojo atžvilgiu. .

(A3.3)
;
;
;
;
;
Išskirkime lygtį (A3.3). .

(A3.4)
;
;
.

Iš (A3.2), (A3.3) ir (A3.4) lygčių randame išvestinių reikšmes .

Duota lygčių sistemaarba trumpai(F, x)=0 (1)

yx= Apibrėžimas. Sistema (1) apibrėžia netiesiogiai nurodytą funkciją(Ff) įjungta D R

,

n F ) įjungta : arba trumpai(F , Apibrėžimas. Sistema (1) apibrėžia netiesiogiai nurodytą funkciją(F)) = 0.

Jeigu

Teorema (lygčių sistema netiesiogiai apibrėžto atvaizdavimo egzistavimas ir unikalumas). LeiskiteTada kažkurioje kaimynystėje (F 0 Ux = Apibrėžimas. Sistema (1) apibrėžia netiesiogiai nurodytą funkciją(F) šioje kaimynystėje yra apibrėžta unikali funkcija (žemėlapis).

 F Tada kažkurioje kaimynystėje (F 0 ) : arba trumpai(F, Apibrėžimas. Sistema (1) apibrėžia netiesiogiai nurodytą funkciją(F), toksx 0 = Apibrėžimas. Sistema (1) apibrėžia netiesiogiai nurodytą funkciją(F 0 ).

))=0 irF 0 .

Ši funkcija yra nuolat diferencijuojama tam tikroje taško kaimynystėje

5. Netiesioginių funkcijų, nurodytų lygčių sistema, išvestinių skaičiavimas

(1)

Atsižvelgiant į sistemą Laikysime, kad egzistavimo ir unikalumo teoremos sąlygos yra įvykdytos numanoma funkcija x= Apibrėžimas. Sistema (1) apibrėžia netiesiogiai nurodytą funkciją(F) . , pateiktą pagal šią lygčių sistemą. Pažymime šią funkciją F 0 Tada kokioje nors taško kaimynystėje

tapatybės galioja (2)

(F(x, f(x)) = 0) F Atskiriant šias tapatybes pagal j

=0 (3)

gauname Šios lygybės gali būti įrašytos

, (3)

matricos forma

.

arba išplėstine forma arba trumpai(F, Apibrėžimas. Sistema (1) apibrėžia netiesiogiai nurodytą funkciją(F))=0 Atkreipkite dėmesį, kad perėjimas nuo lygybės
, Į F atitinka diferenciacijos taisykles tam atvejui, kai x Ir yra vienmatės erdvės taškai. Matrica
pagal sąlygą nėra išsigimusi, todėl matricos lygtis
turi sprendimą . Tokiu būdu galite rasti implicitinių funkcijų pirmosios eilės dalines išvestines

. Norėdami rasti skirtumus, pažymime = ,dy = dx (2) j

=0 ,

, diferencijuojant lygybes

. (4)

arba matricos pavidalu

.

Išplėstas (4) turime tokią pat formą kaip ir vienmačių erdvių atveju R=1, p=1. Sprendimas šiuo klausimu matricos lygtis bus parašyta formoje
. Norint rasti antros eilės dalinius išvestinius, reikės atskirti tapatybes (3) (norėdami apskaičiuoti antros eilės skirtumus, turite atskirti tapatybes (4) ). Taigi, mes gauname

,

per kur A nurodomi terminai, kuriuose nėra būtinų
.

Šios sistemos koeficientų matrica išvestinėms išvestinėms nustatyti
tarnauja kaip Jakobijos matrica .

Panašią formulę galima gauti diferencialams. Kiekvienu iš šių atvejų bus gauta matricos lygtis su ta pačia koeficientų matrica lygčių sistemoje norimoms išvestinėms arba diferencialams nustatyti. Tas pats atsitiks ir per šiuos diferencijavimus.

1 pavyzdys. Rasti ,,taške u=1, v=1.

Sprendimas. Išskirkite duotąsias lygybes

(5)

Atkreipkite dėmesį, kad pagal problemos formuluotę turėtume atsižvelgti į nepriklausomus kintamuosius F, x. Tada bus funkcijos z, u, v. Taigi, sistema (5) turėtų būti išspręstas dėl nežinomų dalykų du, dv, dz . Matricos formoje tai atrodo taip

.

Išspręskime šią sistemą naudodami Cramerio taisyklę. Koeficientų matricos determinantas

, Trečiasis „pakeistas“ determinantas dz bus lygus (apskaičiuojame išplėsdami paskutinį stulpelį)

, Tada

dz =
, Ir
,
.

Atskirkime (5) dar karta ( F, x – nepriklausomi kintamieji)

Sistemos koeficientų matrica ta pati, trečiasis determinantas

Išspręsdami šią sistemą, gauname išraišką d 2 z kur galite rasti norimą darinį.

Išmoksime rasti funkcijų, nurodytų netiesiogiai, tai yra, nurodytų tam tikromis kintamuosius jungiančiomis lygtimis, išvestines F Ir x. Netiesiogiai nurodytų funkcijų pavyzdžiai:

,

,

Netiesiogiai nurodytų funkcijų išvestinės arba implicitinių funkcijų išvestinės randamos gana paprastai. Dabar pažvelkime į atitinkamą taisyklę ir pavyzdį, o tada išsiaiškinkime, kodėl apskritai to reikia.

Norint rasti netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinę, reikia atskirti abi lygties puses x atžvilgiu. Tie terminai, kuriuose yra tik X, pavirs įprastu funkcijos išvestiniu iš X. Ir žaidimo terminai turi būti diferencijuojami naudojant sudėtingos funkcijos atskyrimo taisyklę, nes žaidimas yra X funkcija. Paprasčiau tariant, gauta termino išvestinė su x turėtų gautis: funkcijos iš y išvestinė, padauginta iš išvestinės iš y. Pavyzdžiui, termino vedinys bus parašytas kaip , termino vedinys bus parašytas kaip . Toliau iš viso to reikia išreikšti šį „žaidimo taktą“ ir bus gauta norima netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu.

1 pavyzdys.

Sprendimas. Mes išskiriame abi lygties puses x atžvilgiu, darydami prielaidą, kad i yra x funkcija:

Iš čia gauname išvestinę, kurios reikia užduotyje:

Dabar šiek tiek apie neaiškią netiesiogiai nurodytų funkcijų savybę ir kodėl reikalingos specialios jų diferencijavimo taisyklės. Kai kuriais atvejais galite patikrinti, ar pakeitimas duota lygtis(žr. pavyzdžius aukščiau) vietoj y, jo išraiška per x lemia tai, kad ši lygtis virsta tapatybe. Taigi. Aukščiau pateikta lygtis netiesiogiai apibrėžia šias funkcijas:

Pradinėje lygtyje pakeitę žaidimo kvadratu išraišką per x, gauname tapatybę:

.

Išraiškos, kurias pakeitėme, buvo gautos išsprendus žaidimo lygtį.

Jei atskirtume atitinkamą aiškią funkciją

tada gautume atsakymą kaip 1 pavyzdyje – iš funkcijos, nurodytos netiesiogiai:

Tačiau ne kiekviena netiesiogiai nurodyta funkcija gali būti pavaizduota formoje x = Apibrėžimas. Sistema (1) apibrėžia netiesiogiai nurodytą funkciją(F) . Taigi, pavyzdžiui, netiesiogiai nurodytos funkcijos

nėra išreikšti per elementarios funkcijos, tai yra, šios lygtys negali būti išspręstos žaidėjo atžvilgiu. Todėl egzistuoja netiesiogiai nurodytos funkcijos diferencijavimo taisyklė, kurią mes jau ištyrėme ir toliau nuosekliai taikysime kituose pavyzdžiuose.

2 pavyzdys. Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

.

Išreiškiame netiesiogiai nurodytos funkcijos pirminį dydį ir – išvestyje – išvestinę:

3 pavyzdys. Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

.

Sprendimas. Išskiriame abi lygties puses x atžvilgiu:

.

4 pavyzdys. Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

.

Sprendimas. Išskiriame abi lygties puses x atžvilgiu:

.

Išreiškiame ir gauname išvestinę:

.

5 pavyzdys. Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

Sprendimas. Dešinėje lygties pusėje esančius terminus perkeliame į kairę pusę, o dešinėje paliekame nulį. Išskiriame abi lygties puses x atžvilgiu.

Aukštesnės eilės išvestinės randamos nuosekliai diferencijuojant (1) formulę.

Pavyzdys. Raskite ir jei (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Sprendimas. Kairiąją šios lygties pusę žymėdami Apibrėžimas. Sistema (1) apibrėžia netiesiogiai nurodytą funkciją(x,y) raskite dalines išvestines

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Iš čia, taikydami (1) formulę, gauname:

.

Norėdami rasti antrąją išvestinę, atskirkite pagal X pirmasis rastas vedinys, atsižvelgiant į tai adresu yra funkcija x:

.

2°. Kelių nepriklausomų kintamųjų atvejis. Taip pat, jei lygtis F(x, y, z) = 0, Kur F(x, y, z) – diferencijuojama kintamųjų funkcija x, y atitinka diferenciacijos taisykles tam atvejui, kai z, nustato z kaip nepriklausomų kintamųjų funkcija X Ir adresu atitinka diferenciacijos taisykles tam atvejui, kai Fz(x, y, z)≠ 0, tada netiesiogiai to dalinės išvestinės suteikta funkcija, paprastai kalbant, galima rasti naudojant formules

Kitas būdas rasti funkcijos z išvestinius yra toks: diferencijuojant lygtį F(x, y, z) = 0, gauname:

.

Iš čia galime nustatyti dz, ir todėl .

Pavyzdys. Raskite ir jei x ² - 2y²+3z² –yz +y = 0.

1-as metodas. Kairiąją šios lygties pusę žymėdami F(x, y, z), suraskime dalines išvestines F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y.

Taikydami formules (2), gauname:

2-as metodas. Diferencijuodami šią lygtį gauname:

2xdx -4ydy +6zdz-ydz-zdy +dy = 0

Iš čia mes nustatome dz, ty bendras numanomos funkcijos skirtumas:

.

Lyginant su formule , mes tai matome

.

3°. Numanoma funkcijų sistema. Jei dviejų lygčių sistema

apibrėžia u Ir v kaip kintamųjų x ir y bei Jakobijos funkcijos

,

tada iš lygčių sistemos galima rasti šių funkcijų diferencialus (taigi ir jų dalines išvestines)

Pavyzdys: lygtys u+v=x+y, xu+yv=1 nustatyti u Ir v kaip funkcijas X Ir adresu; rasti .

Sprendimas. 1-as metodas. Atskirdami abi lygtis x atžvilgiu, gauname:

.

Panašiu būdu mes randame:

.

2-as metodas. Diferencijuodami randame dvi lygtis, jungiančias visų keturių kintamųjų diferencialus: du +dv =dx +dy,xdu +udx +ydv+vdy = 0.

Šios diferencialų sistemos sprendimas du Ir dv, gauname:

4°. Parametrinė specifikacija funkcijas. Jei r kintamųjų funkcija X Ir adresu lygtis pateikiama parametriškai x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) Ir

,

tada šios funkcijos diferencialą galima rasti iš lygčių sistemos

Žinant skirtumą dz=p dx+q dy, randame dalines išvestines ir .

Pavyzdys. Funkcija z argumentai X Ir adresu pateiktos lygtimis x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).

Raskite ir.

Sprendimas. 1-as metodas. Diferencijuodami randame tris lygtis, jungiančias visų penkių kintamųjų diferencialus:

Iš pirmųjų dviejų lygčių nustatome du Ir dv:

.

Rastas reikšmes pakeiskime trečiąja lygtimi du Ir dv:

.

2-as metodas. Iš trečiosios pateiktos lygties galime rasti:

Pirmiausia atskirkime pirmąsias dvi lygtis pagal X, tada iki adresu:

Iš pirmosios sistemos randame: .

Iš antrosios sistemos randame: .

Pakeitę išraiškas į formulę (5), gauname:

Kintamųjų pakeitimas

Keičiant kintamuosius diferencialinėse išraiškose, į juos įtrauktos išvestinės turi būti išreikštos kitomis išvestinėmis pagal sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisykles.

1°. Kintamųjų pakeitimas išraiškose, kuriose yra įprastinių išvestinių žodžių.

,

tikintis .

adresu Autorius X per darinius adresu Autorius t. Turime:

,

.

Rastų išvestinių reiškinių pakeitimas į šią lygtį ir pakeitimas X per , gauname:

Pavyzdys. Konvertuoti lygtį

,

priimdamas tai kaip argumentą adresu, ir funkcijai x.

Sprendimas. Išreikškime išvestinius adresu Autorius X per darinius X Autorius u.

.

Pakeitę šias išvestines išraiškas į šią lygtį, gauname:

,

arba pagaliau

.

Pavyzdys. Konvertuoti lygtį

pereinant prie poliarines koordinates

Sprendimas. Atsižvelgiant į r kaip funkcija φ , iš (1) formulių gauname:

dх = сosφ dr – r sinφ dφ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Kaip žinoma, netiesiogiai duota vieno kintamojo funkcija apibrėžiama taip: nepriklausomo kintamojo x funkcija y vadinama numanoma, jei ji pateikiama lygtimi, kuri nėra išspręsta y atžvilgiu:

1.11 pavyzdys.

Lygtis

netiesiogiai nurodo dvi funkcijas:

Ir lygtis

nenurodo jokios funkcijos.

1.2 teorema (netiesioginės funkcijos buvimas).

Tegul funkcija z =f(x,y) ir jos dalinės išvestinės f"x ir f"y yra apibrėžtos ir tolydžios tam tikroje taško M0(x0y0) kaimynystėje UM0. Be to, f(x0,y0)=0 ir f"(x0,y0)≠0, tada lygtis (1.33) apibrėžia UM0 kaimynystėje numanomą funkciją y= y(x), nuolatinę ir diferencijuojamą tam tikru intervalu D kurių centras yra taške x0, o y(x0)=y0.

Jokio įrodymo.

Iš 1.2 teoremos išplaukia, kad šiame intervale D:

tai yra, yra tapatybė

kur „bendra“ išvestinė randama pagal (1.31)

Tai yra, (1.35) pateikia formulę, kaip rasti netiesiogiai pateiktos vieno kintamojo x funkcijos išvestinę.

Netiesioginė dviejų ar daugiau kintamųjų funkcija apibrėžiama panašiai.

Pavyzdžiui, jei kurioje nors Oxyz erdvės V srityje galioja ši lygtis:

tada tam tikromis funkcijos F sąlygomis ji netiesiogiai apibrėžia funkciją

Be to, pagal analogiją su (1.35), jo dalinės išvestinės randamos taip:

1.12 pavyzdys. Darant prielaidą, kad lygtis

netiesiogiai nurodo funkciją

rasti z"x, z"y.

todėl pagal (1.37) gauname atsakymą.

11.Dalinių išvestinių panaudojimas geometrijoje.

12.Dviejų kintamųjų funkcijos ekstremuma.

Dviejų kintamųjų funkcijos maksimumo, minimumo ir ekstremumo sąvokos yra panašios į atitinkamas vieno nepriklausomo kintamojo funkcijos sąvokas (žr. 25.4 skyrių).

Tegul funkcija z = ƒ(x;y) yra apibrėžta kurioje nors srityje D, taške N(x0;y0) О D.

Taškas (x0;y0) vadinamas maksimaliu funkcijos z=ƒ(x;y) tašku, jei taško (x0;y0) kaimynystė yra tokia, kad kiekviename taške (x;y) skiriasi nuo (xo;yo), iš šios apylinkės galioja nelygybė ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

A Mažiausias funkcijos taškas nustatomas panašiai: visiems taškams (x; y), išskyrus (x0; y0), iš taško d kaimynystės (xo; yo) galioja ši nelygybė: ƒ(x) y)>ƒ(x0; y0).

210 paveiksle: N1 yra maksimalus taškas, o N2 yra mažiausias funkcijos z=ƒ(x;y) taškas.

Funkcijos reikšmė maksimumo (minimumo) taške vadinama funkcijos maksimumu (minimumu). Funkcijos maksimumas ir minimumas vadinami jos ekstremumais.

Atkreipkite dėmesį, kad pagal apibrėžimą funkcijos ekstremumo taškas yra funkcijos apibrėžimo srityje; maksimalus ir minimumas turi vietinį (vietinį) pobūdį: funkcijos reikšmė taške (x0; y0) lyginama su jos reikšmėmis taškuose, esančiuose pakankamai arti (x0; y0). D regione funkcija gali turėti kelis kraštutinumus arba jų nebūti.

46.2. Būtinos ir pakankamos sąlygos ekstremumui

Panagrinėkime funkcijos ekstremumo egzistavimo sąlygas.

46.1 teorema (būtinos ekstremumo sąlygos). Jei taške N(x0;y0) diferencijuojama funkcija z=ƒ(x;y) turi ekstremumą, tai jos dalinės išvestinės šiame taške lygios nuliui: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Pataisykime vieną iš kintamųjų. Tarkime, y=y0. Tada gauname vieno kintamojo funkciją ƒ(x;y0)=φ(x), kurios ekstremumas x = x0. Todėl pagal būtinąją vieno kintamojo funkcijos ekstremumo sąlygą (žr. 25.4 skyrių) φ"(x0) = 0, t.y. ƒ"x(x0;y0)=0.

Panašiai galima parodyti, kad ƒ"y(x0;y0) = 0.

Geometriškai lygybės ƒ"x(x0;y0)=0 ir ƒ"y(x0;y0)=0 reiškia, kad funkcijos z=ƒ(x;y) kraštutiniame taške paviršiaus liestinės plokštuma, vaizduojanti funkcija ƒ(x;y) ), lygiagreti Oxy plokštumai, nes liestinės plokštumos lygtis z=z0 (žr. (45.2) formulę).

Z pastaba. Funkcija gali turėti ekstremumą taškuose, kuriuose bent viena iš dalinių išvestinių neegzistuoja. Pavyzdžiui, funkcija turi maksimumą taške O(0;0) (žr. 211 pav.), bet dalinių išvestinių šiame taške neturi.

Taškas, kuriame funkcijos z ≈ ƒ(x; y) pirmos eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui, t.y. f"x=0, f"y=0, vadinamas stacionariuoju funkcijos z tašku.

Stacionarūs taškai ir taškai, kuriuose neegzistuoja bent viena dalinė išvestinė, vadinami kritiniais taškais.

Kritiniuose taškuose funkcija gali turėti arba neturėti ekstremumo. Dalinių išvestinių lygybė nuliui būtina, bet ne pakankama būklė ekstremumo buvimas. Apsvarstykite, pavyzdžiui, funkciją z = xy. Jam taškas O(0; 0) yra kritinis (jame z"x=y ir z"y - x išnyksta). Tačiau funkcija z=xy neturi ekstremumo, nes pakankamai mažoje taško O(0; 0) kaimynystėje yra taškai, kuriems z>0 (pirmojo ir trečiojo ketvirčių taškai) ir z< 0 (точки II и IV четвертей).

Taigi, norint rasti funkcijos ekstremalumą tam tikroje srityje, būtina kiekvieną kritinį funkcijos tašką atlikti papildomiems tyrimams.

46.2 teorema (pakankama ekstremumo sąlyga). Įleisti stacionarus taškas(xo;y0) ir kai kuriose jos apylinkėse, funkcija ƒ(x;y) turi ištisines dalines išvestines iki antros eilės imtinai. Apskaičiuokime taške (x0;y0) reikšmes A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Pažymėkime

1. jei Δ > 0, tai funkcija ƒ(x;y) taške (x0;y0) turi ekstremumą: maksimalus, jei A< 0; минимум, если А > 0;

2. jei Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Esant Δ = 0, taške (x0;y0) ekstremumas gali būti arba nebūti. Reikia daugiau tyrimų.

UŽDUOTYS

1.

Pavyzdys. Raskite didėjančios ir mažėjančios funkcijos intervalus. Sprendimas. Pirmas žingsnis yra funkcijos apibrėžimo srities radimas. Mūsų pavyzdyje išraiška vardiklyje neturėtų eiti į nulį, todėl . Pereikime prie išvestinės funkcijos: Norėdami nustatyti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus remiantis pakankamu kriterijumi, sprendžiame apibrėžimo srities nelygybes. Naudokime intervalo metodo apibendrinimą. Vienintelė tikroji skaitiklio šaknis yra x = 2, o vardiklis tampa nuliu x = 0. Šie taškai padalija apibrėžimo sritį į intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė išlaiko savo ženklą. Pažymėkime šiuos taškus skaičių eilutėje. Mes sutartinai žymime pliusais ir minusais intervalus, kuriais išvestinė yra teigiama arba neigiama. Žemiau esančios rodyklės schematiškai rodo funkcijos padidėjimą arba sumažėjimą atitinkamame intervale. Taigi, Ir . Taške x = 2 funkcija yra apibrėžta ir tęstinė, todėl ją reikia pridėti ir prie didėjančio, ir prie mažėjančio intervalo. Taške x = 0 funkcija neapibrėžta, todėl šio taško neįtraukiame į reikiamus intervalus. Pateikiame funkcijos grafiką, kad palygintume su ja gautus rezultatus. Atsakymas: funkcija didėja su , intervalas mažėja (0; 2] .

2.

Pavyzdžiai.

Nustatykite kreivės išgaubimo ir įgaubimo intervalus x = 2 – F 2 .

Mes surasime x"" ir nustatykite, kur antroji išvestinė yra teigiama, o kur neigiama. x" = –2F, x"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

x = e F. x"" = e Nes F x > 0 bet kuriai

x = F 3 . x"" = 6F, tada kreivė visur yra įgaubta. x"" < 0 при F < 0 и x, Tai F"" > 0 val F < 0 кривая выпукла, а при F> 0. Todėl kai

3.

4. Duota funkcija z=x^2-y^2+5x+4y, vektorius l=3i-4j ir taškas A(3,2). Raskite dz/dl (kaip suprantu, funkcijos išvestinę vektoriaus kryptimi), gradz(A), |gradz(A)|. Raskime dalines išvestines: z(x atžvilgiu)=2x+5 z(y)=-2y+4 Raskime išvestinių taške A(3,2) reikšmes: z(su x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(y)(3,2)=-2*2+4=0 Iš kur gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Funkcijos z išvestinė vektoriaus l kryptimi: dz/dl=z(in x)*cosa+z(in y)*cosb , a, vektoriaus b kampai l su koordinačių ašimis. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.