Šioje pastraipoje mes sutelksime dėmesį į ypatingą, bet svarbi klasė teigiamos kvadratinės formos.

3 apibrėžimas. Tikroji kvadratinė forma vadinama neneigiama (ne teigiama), jei bet kurioms realioms kintamųjų reikšmėms

. (35)

Šiuo atveju simetrinė koeficientų matrica vadinama teigiamąja pusiau apibrėžta (neigiama pusiau apibrėžta).

4 apibrėžimas. Tikroji kvadratinė forma vadinama teigiama apibrėžtąja (neigiama apibrėžta), jei bet kurioms tikrosioms kintamųjų reikšmėms, kurios vienu metu nėra nulis,

. (36)

Šiuo atveju matrica taip pat vadinama teigiama apibrėžta (neigiama apibrėžta).

Teigiamų apibrėžtųjų (neigiamų apibrėžtųjų) formų klasė yra neneigiamų (resp. neteigiamų) formų klasės dalis.

Tegu pateikiama neneigiama forma. Įsivaizduokime tai kaip nepriklausomų kvadratų sumą:

. (37)

Šiame vaizde visi kvadratai turi būti teigiami:

. (38)

Iš tiesų, jei tokių būtų, būtų galima pasirinkti tokias reikšmes

Bet tada su šiomis kintamųjų reikšmėmis forma turėtų neigiamą reikšmę, o tai neįmanoma pagal sąlygą. Akivaizdu, atvirkščiai, iš (37) ir (38) išplaukia, kad forma yra teigiama.

Taigi neneigiama kvadratinė forma apibūdinama lygybėmis.

Tegul dabar būna teigiama apibrėžta forma. Tada tai yra neneigiama forma. Todėl jį galima pavaizduoti formoje (37), kur visi yra teigiami. Iš teigiamo formos apibrėžtumo išplaukia, kad . Iš tiesų, tuo atveju, kai galima pasirinkti reikšmes, kurios vienu metu nėra lygios nuliui, kurioms esant visos pavirstų į nulį. Bet tada pagal (37) už , o tai prieštarauja sąlygai (36).

Nesunku pastebėti, kad atvirkščiai, jei (37) ir visi yra teigiami, tai yra teigiama apibrėžtoji forma.

Kitaip tariant, neneigiama forma yra teigiama apibrėžta tada ir tik tada, kai ji nėra vienaskaita.

Ši teorema pateikia formos teigiamo apibrėžtumo kriterijų nelygybių pavidalu, kuriuos turi tenkinti formos koeficientai. Šiuo atveju naudojamas žymėjimas, su kuriuo jau buvo susidurta ankstesnėse pastraipose, skirtiems iš eilės pagrindiniams matricos nepilnamečiams:

.

3 teorema. Kad kvadratinė forma būtų teigiama apibrėžtoji, būtina ir pakanka, kad nelygybės būtų patenkintos

Įrodymas. Sąlygų (39) pakankamumas tiesiogiai išplaukia iš Jacobi formulės (28). Sąlygų (39) būtinumas konstatuojamas taip. Iš teigiamo formos apibrėžtumo išplaukia teigiamas „sutrumpintų“ formų apibrėžtumas

.

Bet tada visos šios formos turi būti ne vienaskaitos, t.y.

Dabar turime galimybę naudoti Jacobi formulę (28) (prie ). Kadangi dešinėje šios formulės pusėje visi kvadratai turi būti teigiami, tada

Tai reiškia nelygybę (39). Teorema įrodyta.

Kadangi bet koks pagrindinis matricos minoras, tinkamai pernumeruojant kintamuosius, gali būti dedamas viršutiniame kairiajame kampe,

Pasekmė. Teigiamoje apibrėžtoje kvadratinėje formoje visi pagrindiniai koeficientų matricos mažieji yra teigiami:

komentuoti. Nuo vienas po kito einančių pagrindinių nepilnamečių negatyvumo

formos neneigiamumas neseka. Tiesa, forma

,

kuriame , atitinka sąlygas , bet nėra neneigiamas.

Tačiau galioja toliau nurodyta

4 teorema. Kad kvadratinė forma būtų neneigiama, būtina ir pakanka, kad jos koeficientų matricos visi pagrindiniai mažieji būtų neneigiami:

Įrodymas. Supažindinkime pagalbinė forma buvo neteigiamas, jis būtinas ir pakankamas, kad atsirastų nelygybės

Vienalytis kelių kintamųjų 2 laipsnio daugianomas vadinamas kvadratine forma.

Kvadratinė kintamųjų forma susideda iš dviejų tipų terminų: kintamųjų kvadratų ir jų porinių sandaugų su tam tikrais koeficientais. Kvadratinė forma paprastai rašoma kaip tokia kvadratinė diagrama:

Poros panašių narių rašomi su vienodais koeficientais, kad kiekvienas iš jų sudarytų pusę koeficiento su atitinkama kintamųjų sandauga. Taigi kiekviena kvadratinė forma yra natūraliai susieta su jos koeficientų matrica, kuri yra simetriška.

Kvadratinę formą patogu pavaizduoti tokiu būdu: matricos žymėjimas. X pažymėkime kintamųjų stulpelį per X - eilutę, t. y. matricą, transponuotą X. Tada

Kvadratinės formos randama daugelyje matematikos šakų ir jos pritaikymų.

Skaičių teorijoje ir kristalografijoje kvadratinės formos nagrinėjamos darant prielaidą, kad kintamieji turi tik sveikąsias reikšmes. IN analitinė geometrija kvadratinė forma yra eilės kreivės (arba paviršiaus) lygties dalis. Atrodo, kad mechanikoje ir fizikoje kvadratinė forma išreiškiama kinetinė energija sistemas per apibendrintų greičių dedamąsias ir pan. Bet, be to, kvadratinių formų tyrimas būtinas ir analizuojant daugelio kintamųjų funkcijas, kurių sprendimui svarbu išsiaiškinti, kaip šią funkciją esantis šalia nurodyto taško nukrypsta nuo artėjančio prie jo tiesinė funkcija. Tokio tipo problemos pavyzdys yra funkcijos maksimalaus ir minimumo tyrimas.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, dviejų kintamųjų funkcijos, turinčios nuolatines dalines išvestines, didžiausio ir minimumo tyrimo problemą. Būtina sąlyga Kad taškas duotų funkcijos maksimumą arba minimumą, taško eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui. Suteikime kintamiesiems x ir y mažus prieaugius ir k ir apsvarstykime atitinkamą funkcijos prieaugį. Pagal Taylor formulę šis prieaugis iki mažų aukštesnių laipsnių yra lygus kvadratinei formai, kur yra antrųjų išvestinių reikšmės. apskaičiuojamas taške Jei ši kvadratinė forma yra teigiama visoms ir k reikšmėms (išskyrus ), tada funkcija taške turi minimumą, jei ji yra neigiama, tada ji turi maksimumą. Galiausiai, jei forma įgauna ir teigiamą, ir neigiamos reikšmės, tada nebus nei maksimumo, nei minimumo. Funkcijos iš daugiau kintamieji.

Kvadratinių formų tyrimas daugiausia susideda iš formų lygiavertiškumo vienos ar kitos kintamųjų tiesinių transformacijų rinkinio atžvilgiu problemos. Sakoma, kad dvi kvadratinės formos yra lygiavertės, jei vieną iš jų galima paversti kita per vieną iš tam tikros aibės transformacijų. Su lygiavertiškumo problema glaudžiai susijusi ir formos redukavimo problema, t.y. paverčiant jį kokia nors galbūt paprasčiausia forma.

IN įvairių klausimų siejami su kvadratinėmis formomis, taip pat nagrinėjamos įvairios leistinų kintamųjų transformacijų rinkiniai.

Analizės klausimais naudojamos bet kokios neypatingos kintamųjų transformacijos; analitinės geometrijos tikslais didžiausias susidomėjimas yra stačiakampės transformacijos, ty tie, kurie atitinka perėjimą iš vienos kintamųjų sistemos Dekarto koordinatėsį kitą. Galiausiai skaičių teorijoje ir kristalografijoje nagrinėjamos tiesinės transformacijos su sveikųjų skaičių koeficientais ir determinantu, lygiu vienybei.

Išnagrinėsime dvi iš šių problemų: klausimą dėl kvadratinės formos redukavimo į paprasčiausią formą naudojant bet kokias nevienaskaites transformacijas ir tą patį klausimą dėl stačiakampių transformacijų. Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip tiesinės kintamųjų transformacijos metu transformuojama kvadratinės formos matrica.

Tegu , kur A yra simetrinė formos koeficientų matrica, X yra kintamųjų stulpelis.

Padarykime tai tiesinė transformacija kintamieji, rašydami sutrumpintai kaip . Čia C žymi šios transformacijos koeficientų matricą, X – naujų kintamųjų stulpelį. Tada ir todėl transformuotos kvadratinės formos matrica yra tokia

Matrica automatiškai pasirodo simetriška, kurią lengva patikrinti. Taigi kvadratinės formos redukavimo iki paprasčiausios formos problema yra lygiavertė simetrinės matricos redukavimo į paprasčiausią formą problemai, padauginus ją kairėje ir dešinėje iš tarpusavyje perkeltų matricų.

Funkcijų įvedimo taisyklės:

Du kartus tolydžio diferencijuojama funkcija f(x) yra išgaubta (įgaubta) tada ir tik tada Heseno matrica funkcija f(x) x atžvilgiu yra teigiama (neigiama) pusiau apibrėžta visiems x (žr. kelių kintamųjų funkcijos lokalių ekstremalių taškus).

Funkciniai kritiniai taškai:

• jei Hesenas yra teigiamas apibrėžtasis, tai x 0 yra taškas vietinis minimumas funkcijos f(x) ,
• jei Hesenas yra neigiamas apibrėžtasis, tada x 0 yra funkcijos f(x) maksimalus lokalus taškas,
• jei Hesenas nėra apibrėžiamasis (priima ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes) ir yra neišsigimęs (det G(f) ≠ 0), tai x 0 yra funkcijos f(x) balno taškas.

Matricos apibrėžtumo kriterijai (Sylvesterio teorema)

• visi matricos įstrižainės elementai turi būti teigiami;
• visi pirmaujantys pagrindiniai kvalifikaciniai rodikliai turi būti teigiami.

Teigiamas pusiau apibrėžtumas:

• visi įstrižainės elementai yra neneigiami;
• visi pagrindiniai determinantai yra neneigiami.

Kvadratinė simetrinė n eilės matrica, kurios elementai yra dalinės išvestinės objektyvią funkciją antra tvarka vadinama Heseno matrica ir yra nurodyta:

Kad simetrinė matrica būtų teigiama apibrėžtoji, būtina ir pakanka, kad visos jos įstrižainės minorinės būtų teigiamos, t.y.


matricai A = (a ij) yra teigiami.

Neigiamas tikrumas.
Kad simetrinė matrica būtų neigiama apibrėžta, būtina ir pakanka, kad įvyktų šios nelygybės:
(-1) k D k > 0, k=1,..., n.
Kitaip tariant, kad kvadratinė forma būtų neigiamas apibrėžtas, būtina ir pakanka, kad kvadratinės formos matricos kampinių minorų ženklai keistųsi, pradedant minuso ženklu. Pavyzdžiui, dviem kintamiesiems D 1< 0, D 2 > 0.

Jei Hesenas yra pusiau apibrėžtas, tai taip pat gali būti vingio taškas. Reikalingas papildomų tyrimų, kuris gali būti atliktas pagal vieną iš šių parinkčių:

1. Mažėjanti tvarka. Atliekamas kintamųjų pakeitimas. Pavyzdžiui, dviejų kintamųjų funkcijai tai yra y=x, todėl gauname vieno kintamojo x funkciją. Toliau nagrinėjame funkcijos elgseną tiesėse y=x ir y=-x. Jei pirmuoju atveju funkcija tiriamame taške turės minimumą, o kitu atveju maksimumą (arba atvirkščiai), tai tiriamas taškas yra balno taškas.
2. Heseno savųjų verčių radimas. Jei visos reikšmės yra teigiamos, funkcija tiriamame taške turi minimumą, jei visos vertės yra neigiamos, yra maksimumas.
3. Funkcijos f(x) taško ε kaimynystėje tyrimas. Kintamieji x pakeičiami x 0 +ε. Toliau reikia įrodyti, kad vieno kintamojo ε funkcija f(x 0 +ε), arba didesnis už nulį(tada x 0 yra mažiausias taškas), arba mažiau nei nulis(tada x 0 yra didžiausias taškas).

Pastaba. Norėdami rasti atvirkštinis Hesenas pakanka rasti atvirkštinę matricą.

1 pavyzdys. Kuris iš šias funkcijas yra išgaubtos arba įgaubtos: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2.
Sprendimas. 1. Raskime dalines išvestines.


2. Išspręskime lygčių sistemą.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
Mes gauname:
a) Iš pirmosios lygties išreiškiame x 1 ir pakeičiame ją antrąja lygtimi:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x 2 +8 = 0
kur x 2 = 4
Šias reikšmes x 2 pakeičiame į x 1 išraišką. Gauname: x 1 = 9/2
Kritinių taškų skaičius yra 1.
M 1 (9/2 ;4)
3. Raskime antros eilės dalines išvestines.



4. Apskaičiuokime šių antros eilės dalinių išvestinių reikšmę in kritinius taškus M(x0;y0).
Apskaičiuojame taško M 1 reikšmes (9 / 2 ;4)



Mes sukuriame Heseno matricą:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Kadangi įstrižainės nepilnamečiai turi įvairių ženklų, tada nieko negalima pasakyti apie funkcijos išgaubtumą ar įgaubtumą.

Teigiamos apibrėžtosios kvadratinės formos

Apibrėžimas. Kvadratinė forma nuo n vadinami nepažįstamieji teigiamas apibrėžtas, jei jo rangas lygus teigiamos inercijos indeksui ir lygus skaičiui nežinomas.

Teorema. Kvadratinė forma yra teigiama apibrėžta tada ir tik tada, kai bet kuriame nuliniame kintamųjų reikšmių rinkinyje ji teigiamas vertes.

Įrodymas. Tegul kvadratinė forma yra neišsigimusi tiesinė nežinomųjų transformacija

grąžino į normalią būseną

.

Bet kokiam nuliniam kintamųjų reikšmių rinkiniui – bent vienas skaičius skiriasi nuo nulio, t.y. . Įrodytas teoremos būtinumas.

Tarkime, kad kvadratinė forma įgauna teigiamas reikšmes bet kuriame kintamųjų rinkinyje, kuris nėra nulinis, tačiau jos inercijos indeksas yra teigiamas dėl neišsigimusios tiesinės nežinomųjų transformacijos.

Perkelkime į normalią formą. Neprarasdami bendrumo, galime daryti prielaidą, kad šioje normalioje formoje paskutinio kintamojo kvadrato arba nėra, arba jis įtrauktas su minuso ženklu, t.y. , kur arba . Tarkime, kad tai yra nenulinis kintamųjų reikšmių rinkinys, gautas sprendžiant sistemą tiesines lygtis

Šioje sistemoje lygčių skaičius yra lygus kintamųjų skaičiui, o sistemos determinantas yra ne nulis. Pagal Cramerio teoremą sistema turi vienintelis sprendimas, ir jis nėra nulis. Šiam rinkiniui. Prieštaravimas sąlygai. Prieiname prielaidą, kuri įrodo teoremos pakankamumą.

Naudojant šį kriterijų, iš koeficientų neįmanoma nustatyti, ar kvadratinė forma yra teigiama apibrėžtoji. Atsakymą į šį klausimą duoda kita teorema, kurios formulavimui pristatome kitą sąvoką. Pagrindinės matricos įstrižainės minoros jo kairėje yra nepilnamečiai viršutinis kampas:

, , , … , .

Teorema.Kvadratinė forma yra teigiama apibrėžta tada ir tik tada, kai visos pagrindinės įstrižainės mažosios yra teigiamos.

Įrodymas mes atliksime užbaigimo metodą matematinė indukcija pagal skaičių n kvadratiniai kintamieji f.

Indukcijos hipotezė. Tarkime, kad kvadratinėms formoms su mažiau kintamųjų n teiginys yra teisingas.

Apsvarstykite kvadratinę formą n kintamieji. Sudėkime visus terminus, kurių sudėtyje yra . Likę terminai sudaro kvadratinę kintamųjų formą. Remiantis indukcijos hipoteze, teiginys jai yra teisingas.

Tarkime, kad kvadratinė forma yra teigiama apibrėžtoji. Tada kvadratinė forma yra teigiama apibrėžtoji. Jei darysime prielaidą, kad taip nėra, tada yra nulinis kintamųjų reikšmių rinkinys , kuriam ir atitinkamai , ir tai prieštarauja faktui, kad kvadratinė forma yra teigiama apibrėžtoji. Remiantis indukcijos hipoteze, visos kvadratinės formos pagrindinės įstrižainės minorinės yra teigiamos, t.y. visi pirmieji pagrindiniai kvadratinės formos nepilnamečiai f yra teigiami. Paskutinė didžioji kvadratinės formos minora – tai yra jos matricos determinantas. Šis determinantas yra teigiamas, nes jo ženklas sutampa su jo matricos ženklu normaliai atrodantis, t.y. su tapatybės matricos determinanto ženklu.

Tegul visos pagrindinės kvadratinės formos įstrižainės mažosios yra teigiamos . Remiantis indukcijos hipoteze, kvadratinė forma yra teigiama apibrėžtoji, todėl yra neišsigimstanti tiesinė kintamųjų transformacija, kuri redukuoja formą į naujų kintamųjų kvadratų sumos formą. Šią tiesinę transformaciją galima išplėsti iki neišnykusios tiesinės visų kintamųjų transformacijos, nustatant . Ši transformacija sumažina kvadratinę formą į formą

Kvadratinės formos

Kvadratinė forma n kintamųjų f(x 1, x 2,...,x n) yra suma, kurios kiekvienas narys yra arba vieno iš kintamųjų kvadratas, arba dviejų skirtingų kintamųjų sandauga, paimta su tam tikru koeficientu: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Iš šių koeficientų sudaryta matrica A vadinama kvadratinės formos matrica. Tai visada simetriškas matrica (t. y. pagrindinei įstrižainei simetriška matrica, a ij = a ji).

Matricos žymėjime kvadratinė forma yra f(X) = X T AX, kur

Tikrai

Pavyzdžiui, įsirašykime matricos forma kvadratine forma.

Norėdami tai padaryti, randame kvadratinės formos matricą. Jo įstrižainės yra lygūs kvadratinių kintamųjų koeficientams, o likę elementai lygūs kvadratinės formos atitinkamų koeficientų pusėms. Štai kodėl

Tegu kintamųjų X matrica-stulpelis gaunamas nedegeneruota tiesine matricos-stulpelio Y transformacija, t.y. X = CY, kur C yra n-osios eilės vienaskaita matrica. Tada kvadratinė forma
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Taigi su neišsigimusia tiesine transformacija C kvadratinės formos matrica įgauna tokią formą: A * = C T AC.

Pavyzdžiui, suraskime kvadratinę formą f(y 1, y 2), gautą iš kvadratinės formos f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 tiesine transformacija.

Kvadratinė forma vadinama kanoninis(turi kanoninis požiūris), jei visi jo koeficientai a ij = 0, kai i ≠ j, t.y.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Jo matrica yra įstrižainė.

Teorema(įrodymas čia nepateiktas). Bet kokia kvadratinė forma gali būti sumažinta iki kanoninė forma naudojant neišsigimusią tiesinę transformaciją.

Pavyzdžiui, kvadratinę formą sumažinkime iki kanoninės formos
f(x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 – 3 x 2 2 – x 2 x 3.

Norėdami tai padaryti, pirmiausia pasirenkame tobulas kvadratas su kintamuoju x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 x 2 2 – x 2 x 3.

Dabar pasirenkame visą kvadratą su kintamuoju x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 2 – 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) – (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 – (1/20) x 3 2.

Tada neišsigimusi tiesinė transformacija y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 ir y 3 = x 3 perkelia šią kvadratinę formą į kanoninę formą f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės formos kanoninė forma nustatoma dviprasmiškai (ta pati kvadratinė forma gali būti sumažinta iki kanoninės formos įvairiais būdais). Tačiau gautas įvairiais būdais kanoninės formos turi nemažai bendrosios savybės. Visų pirma, dėmenų, turinčių teigiamus (neigiamus) kvadratinės formos koeficientus, skaičius nepriklauso nuo formos sumažinimo iki šios formos metodo (pavyzdžiui, nagrinėjamame pavyzdyje visada bus du neigiami ir vienas teigiamas koeficientas). Ši savybė vadinama kvadratinių formų inercijos dėsnis.

Patikrinkime tai, perkeldami tą pačią kvadratinę formą į kanoninę formą kitu būdu. Pradėkime transformaciją nuo kintamojo x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 –
– 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 – (1/6) x 3 – (2/3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, kur y 1 = – (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 ir y 3 = x 1 . Čia yra teigiamas koeficientas 2 ties y 3 ir du neigiami koeficientai (-3), esant y 1 ir y 2 (ir naudojant kitą metodą, mes gavome teigiamą koeficientą 2 ties y 1 ir du neigiamus koeficientus - (-5) y 2 ir (-1 /20) y 3).

Taip pat reikia pažymėti, kad kvadratinės formos matricos rangas, vadinamas kvadratinės formos rangas, yra lygus nulinių koeficientų skaičiui kanoninė forma ir nesikeičia tiesinių transformacijų metu.

Vadinama kvadratinė forma f(X). teigiamai (neigiamas) tam tikras, jei visoms kintamųjų reikšmėms, kurios vienu metu nėra lygios nuliui, jis yra teigiamas, t.y. f(X) > 0 (neigiamas, t.y.
f(X)< 0).

Pavyzdžiui, kvadratinė forma f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 yra teigiama apibrėžtoji, nes yra kvadratų suma, o kvadratinė forma f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 yra neigiama apibrėžtoji, nes reiškia, kad jis gali būti pavaizduotas kaip f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Daugumoje praktinių situacijų yra šiek tiek sunkiau nustatyti kvadratinės formos apibrėžtąjį ženklą, todėl tam naudojame vieną iš šių teoremų (suformuluosime jas be įrodymų).

Teorema. Kvadratinė forma yra teigiama (neigiama) apibrėžta tada ir tik tada, kai viskas savąsias reikšmes jo matricos yra teigiamos (neigiamos).

Teorema (Sylvesterio kriterijus). Kvadratinė forma yra teigiama apibrėžta tada ir tik tada, kai visi šios formos matricos pirmaujantys minorai yra teigiami.

Pagrindinis (kampinis) nepilnametis N-osios eilės k-os eilės matrica A vadinama matricos determinantu, sudaryta iš pirmųjų k matricos A () eilučių ir stulpelių.

Atkreipkite dėmesį, kad neigiamoms apibrėžtinėms kvadratinėms formoms kaitaliojasi pagrindinių nepilnamečių ženklai, o pirmos eilės minorinis turi būti neigiamas.

Pavyzdžiui, panagrinėkime kvadratinę formą f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 ženklų apibrėžtumui.

= (2 - l)*
*(3 – l) – 4 = (6 – 2l – 3l + l 2) – 4 = l 2 – 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Todėl kvadratinė forma yra teigiama.

2 metodas. Matricos A pirmosios eilės pagrindinis minoras D 1 = a 11 = 2 > 0. Antrosios eilės pagrindinis minoras D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Todėl pagal Sylvesterio kriterijų kvadratinė forma yra teigiamas apibrėžtas.

Panagrinėkime kitą kvadratinę ženklo apibrėžtumo formą, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1 būdas. Sukurkime kvadratinės formos A = matricą. Charakteristinė lygtis atrodys = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Todėl kvadratinė forma yra neigiama apibrėžta.