Skaičių apskritimas neigiama kryptimi. Skaičių ratas

/3. Ir tada mes „pamatysime“ keletą modelių: Apibrėžimas . Jeigu skaičių apskritimo taškas M atitinka skaičių t, tai taško M abscisė vadinama skaičiaus t kosinusu ir žymimaсos t , o taško M ordinatė vadinama skaičiaus t sinusu ir žymima.
sint

Skaičiaus t kosinuso santykis su to paties skaičiaus sinusu vadinamas skaičiaus t kotangentu.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ženklų lentelė skaičių apskritimo ketvirčiais: Skaičių ratui 10 klasėje skiriama gana daug laiko. Taip yra dėl šio matematinio objekto reikšmės visam matematikos kursui. jie pasiekia populiarumo viršūnę. Todėl autorius neatsiliko nuo laiko ir sukūrė tokį nuostabų vadovą, kuris padėtų matematikos mokytojams - vaizdo pamoką tema „Skaičių ratas koordinačių plokštumoje“.

Šios pamokos trukmė 15:22 min. Tai praktiškai didžiausias laikas, kurį mokytojas gali skirti savarankiškai aiškindamas medžiagą tam tikra tema. Kadangi naujos medžiagos paaiškinimas užima tiek daug laiko, būtina atrinkti tinkamiausias konsolidacijai. efektyvios užduotys ir pratimus, taip pat išryškinti dar vieną pamoką, kurioje mokiniai spręs užduotis šia tema.

Pamoka pradedama skaičių apskritimo atvaizdu koordinačių sistemoje. Autorius sukuria šį ratą ir paaiškina savo veiksmus. Tada autorius įvardija skaičių apskritimo susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Toliau paaiškinama, kokias koordinates turės apskritimo taškai skirtinguose ketvirčiuose.

Po to autorius primena, kaip atrodo apskritimo lygtis. O klausytojams pateikiami du modeliai, vaizduojantys kai kuriuos apskritimo taškus. Dėl šios priežasties kitame žingsnyje autorius parodo, kaip rasti atitinkamo apskritimo taškų koordinates tam tikrus skaičius pažymėta šablonuose. Taip gaunama apskritimo lygties kintamųjų x ir y verčių lentelė.

Toliau siūlome apsvarstyti pavyzdį, kai reikia nustatyti apskritimo taškų koordinates. Prieš pradedant spręsti pavyzdį, pateikiama pastaba, kuri padeda jį išspręsti. Ir tada ekrane pasirodo pilnas, aiškiai struktūrizuotas ir iliustruotas sprendimas. Čia taip pat yra lentelių, kurios padeda lengviau suprasti pavyzdžio esmę.

Tada svarstomi dar šeši pavyzdžiai, kurie yra mažiau darbo reikalaujantys nei pirmasis, bet ne mažiau svarbūs ir atspindintys pagrindinė idėja pamoka. Čia sprendimai pateikiami visiškai, su detali istorija ir su aiškumo elementais. Būtent sprendime yra brėžiniai, iliustruojantys sprendimo eigą, ir matematinis žymėjimas, formuojantis matematinis raštingumas studentai.

Mokytojas gali apsiriboti tik pamokoje aptartais pavyzdžiais, tačiau to gali nepakakti kokybiškam medžiagos mokymuisi. Todėl pasirinkti užduotis sustiprinti yra tiesiog be galo svarbu.

Pamoka gali būti naudinga ne tik mokytojams, kurių laikas nuolat ribojamas, bet ir mokiniams. Ypač tie, kurie gauna šeimos ugdymas arba užsiima savišvieta. Medžiaga gali naudotis tie mokiniai, kurie praleido pamoką šia tema.

TEKSTO IŠKODAVIMAS:

Mūsų pamokos tema „SKAIČIUS RATUMAS KOORDINAČIŲ PLOKTUTUJE“

Mes jau žinome Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą xOy (x o y). Šioje koordinačių sistemoje skaičių apskritimą nustatysime taip, kad apskritimo centras būtų sulygiuotas su koordinačių pradžia, o jo spindulys bus laikomas mastelio segmentu.

Skaičių apskritimo pradžios taškas A derinamas su tašku, kurio koordinatės (1;0), B - su tašku (0;1), C - su (-1;0) (minus vienas, nulis), o D - su (0; - 1) (nulis, minus vienas).

(žr. 1 pav.)

Kadangi kiekvienas skaičių apskritimo taškas turi savo koordinates xOy (x o y) sistemoje, tai pirmojo ketvirčio taškams ikx didesnis už nulį ir žaidimas yra didesnis nei nulis;

Antrasis ketvirtis ICH mažiau nei nulis ir žaidimas yra didesnis nei nulis,

trečiojo ketvirčio taškams ikx yra mažesnis už nulį, o yk yra mažesnis už nulį,

ir ketvirtąjį ketvirtį ikx yra didesnis už nulį, o yk yra mažesnis už nulį

Bet kurio skaičių apskritimo taško E (x;y) (su koordinatėmis x, y) nelygybės -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x yra didesnė arba lygi atėmus vieną, bet mažesnė už arba lygus vienetui, y yra didesnis arba lygus minus vienetui, bet mažesnis arba lygus vienam).

Prisiminkite, kad R spindulio apskritimo, kurio centras yra ištakoje, lygtis yra x 2 + y 2 = R 2 (x kvadratas plius y kvadratas lygus er kvadratui). Ir už vieneto ratas R = 1, taigi gauname x 2 + y 2 = 1

(x kvadratas plius y kvadratas lygus vienetui).

Suraskime skaičių apskritimo taškų koordinates, kurios pateiktos dviem maketais (žr. 2, 3 pav.)

Tegul taškas E, kuris atitinka

(pi iš keturių) - pirmojo ketvirčio vidurys, parodytas paveikslėlyje. Iš taško E nuleidžiame statmeną EK iki tiesės OA ir laikome trikampį OEK. Kampas AOE =45 0, nes lankas AE yra pusė lanko AB. Todėl trikampis OEK yra lygiašonis stačiakampis trikampis, kuriam OK = EC. Tai reiškia, kad taško E abscisės ir ordinatės yra lygios, t.y. x lygus žaidimui. Norėdami rasti taško E koordinates, išsprendžiame lygčių sistemą: (x lygus yrek - pirmoji sistemos lygtis ir x kvadratas plius yrek kvadratas lygus vienetui - antroji sistemos lygtis). , vietoj x pakeičiame y, gauname 2y 2 = 1 (du yyrek kvadratas yra lygus vienetui), iš kur y = = (y yra lygus vienetui, padalintam iš dviejų šaknies, yra lygus dviejų šaknims padalintas iš dviejų) (ordinatė yra teigiama). stačiakampė sistema koordinatės turi koordinates (,) (dviejų šaknis, padalinta iš dviejų, šaknis iš dviejų, padalinta iš dviejų).

Argumentuodami panašiai, randame kitų pirmojo išdėstymo skaičių atitinkančių taškų koordinates ir gauname: atitinkamas taškas yra su koordinatėmis (- ,) (atėmus šaknį iš dviejų, padalytą iš dviejų, šaknis iš dviejų, padalytą iš dviejų) ; for - (- ,-) (atėmus šaknį iš dviejų, padalytų iš dviejų, atėmus šaknį iš dviejų, padalytų iš dviejų); for (septyni pi virš keturių) (,) (šaknis du padalytas iš dviejų, minus šaknis du padalytas iš dviejų).

Tegul taškas D atitinka (5 pav.). Numeskime statmeną iš DP(de pe) į OA ir apsvarstykime trikampį ODP. Šio trikampio OD hipotenuzė lygi vienetinio apskritimo spinduliui, tai yra vienetui, o kampas DOP lygus trisdešimčiai laipsnių, nes lankas AD = skaitmuo AB (a de yra lygus trečdaliui a be), ir lankas AB lygus devyniasdešimčiai laipsnių. Todėl DP = (de pe yra lygi pusei O de yra lygi pusei) Kadangi koja yra priešais trisdešimties laipsnių kampą lygus pusei hipotenuzė, tai yra, y = (y lygus pusei). Taikydami Pitagoro teoremą gauname OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe kvadratas lygus o de kvadratas atėmus de pe kvadratą), bet ARBA = x (o pe lygus x). Tai reiškia, kad x 2 = OD 2 – DP 2 =

tai reiškia, kad x 2 = (x kvadratas yra lygus trims ketvirčiams) ir x = (x yra lygus trijų kartų dviejų šaknei).

X yra teigiamas, nes yra pirmame ketvirtyje. Mes nustatėme, kad taškas D stačiakampėje koordinačių sistemoje turi koordinates (,) šaknį iš trijų, padalytų iš dviejų, vienos pusės.

Panašiai samprotaudami surasime taškų koordinates, atitinkančias kitus antrojo išdėstymo skaičius, ir visus gautus duomenis surašysime į lenteles:

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

1 PAVYZDYS. Raskite skaičių apskritimo taškų koordinates: a) C 1 ();

b) C2(); c) C3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse vienas atitinka trisdešimt penkis pi iš keturių, tse du atitinka minus keturiasdešimt devynis pi iš trijų, tse trys atitinka keturiasdešimt vieną pi, tse keturi atitinka minus dvidešimt šešis pi).

Sprendimas. Pasinaudokime anksčiau gautu teiginiu: jei skaičių apskritimo taškas D atitinka skaičių t, tai jis atitinka bet kurį t + 2πk(te plius dvi smailės) formos skaičių, kur ka yra bet koks sveikasis skaičius, t.y. kϵZ (ka priklauso z).

a) Gauname = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (trisdešimt penki pi padauginus keturi yra lygu trisdešimt penkis kartus keturi, padauginta iš pi yra aštuonių ir trijų ketvirčių suma, padauginta iš pi lygus trys pi kartojami keturi plius dviejų pi ir keturių sandauga. Tai reiškia, kad skaičius trisdešimt penki pi iš keturių atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką, kaip ir skaičius trys pi iš keturių. Naudodamiesi 1 lentele, gauname C 1 () = C 1 (- ;) .

b) Panašus į koordinates C 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Tai reiškia, kad skaičius

atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičius. Ir skaičius atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičius

(rodyti antrąjį maketą ir 2 lentelę). Taškui turime x = , y =.

c) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Tai reiškia, kad skaičius 41π atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičius π – tai taškas su koordinatėmis (-1; 0).

d) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), tai yra, skaičius - 26π atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičius nulis - tai taškas su koordinatėmis (1; 0).

2 PAVYZDYS. Suraskite skaičių apskritimo, kurio ordinatė y =, taškus

Sprendimas. Tiesė y = kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose. Vienas taškas atitinka skaičių, antras taškas atitinka skaičių,

Todėl visus taškus gauname pridėję pilną posūkį 2πk, kur k parodo kiek pilnos revoliucijos deda tašką, t.y. gauname,

o bet kuriam skaičiui visi + 2πk formos skaičiai. Dažnai tokiais atvejais jie sako, kad gavo dvi verčių serijas: + 2πk, + 2πk.

PAVYZDYS 3. Suraskite skaičių apskritimo taškus su abscisėmis x = ir užrašykite, kuriuos skaičius t jie atitinka.

Sprendimas. Tiesiai X= kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose. Vienas taškas atitinka skaičių (žr. antrąjį išdėstymą),

ir todėl bet koks skaičius formos + 2πk. O antrasis taškas atitinka skaičių, taigi ir bet kurį skaičių + 2πk. Šias dvi verčių serijas galima aprėpti viename įraše: ± + 2πk (plius minus du pi iš trijų plius du pi).

4 PAVYZDYS. Suraskite skaičių apskritimo taškus su ordinatėmis adresu> ir užsirašykite, kuriuos skaičius t jie atitinka.

Tiesė y = kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose M ir P. O nelygybė y > atitinka atvirojo lanko taškus MR, tai reiškia lankus be galų (tai yra be u), judant aplink apskritimą prieš laikrodžio rodyklę. , pradedant nuo taško M ir baigiant tašku P. Tai reiškia, kad lanko MR analitinio žymėjimo šerdis yra nelygybė< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

5 PAVYZDYS. Suraskite skaičių apskritimo ordinatės taškus adresu < и записать, каким числам t они соответствуют.

Tiesė y = kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose M ir P. Ir nelygybė y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

6 PAVYZDYS. Suraskite skaičių apskritime taškus su abscisėmis X> ir užsirašykite, kuriuos skaičius t jie atitinka.

Tiesė x = kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose M ir P. Nelygybė x > atitinka atvirojo lanko taškus PM judant išilgai apskritimo prieš laikrodžio rodyklę su pradžia taške P, kuris atitinka, o pabaiga taške M, kuris atitinka. Tai reiškia, kad PM lanko analitinio žymėjimo esmė yra nelygybė< t <

(te yra didesnis nei atėmus du pi iš trijų, bet mažesnis nei du pi iš trijų), o pats lanko analitinis žymėjimas yra + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

7 PAVYZDYS. Suraskite skaičių apskritime taškus su abscisėmis X < и записать, каким числам t они соответствуют.

Tiesė x = kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose M ir P. Nelygybė x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(te yra daugiau nei du pi iš trijų, bet mažiau nei keturi pi iš trijų), o pats lanko analitinis žymėjimas yra + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).

Data: Pamoka1
tema: Skaičių apskritimas koordinačių tiesėje

Tikslai: supažindinti su skaičių apskritimo modelio sąvoka Dekarto ir kreivinės koordinačių sistemose; lavinti gebėjimą rasti skaičių apskritimo taškų stačiakampes koordinates ir atlikti priešingą veiksmą: žinant taško Dekarto koordinates, skaičių apskritime nustatyti jo skaitinę reikšmę.

Pamokos eiga

I. Organizacinis momentas.

II. Naujos medžiagos paaiškinimas.

1. Įdėję skaičių apskritimą Dekarto koordinačių sistemoje, detaliai išanalizuojame skaičių apskritimo taškų, esančių skirtinguose koordinačių ketvirčiuose, savybes.

Dėl taško M skaičių apskritimas naudoja žymėjimą M(t), jei kalbame apie kreivinę taško koordinatę M, arba įrašas M (X;adresu), jei kalbame apie taško Dekarto koordinates.

2. Skaičių apskritimo „gerųjų“ taškų Dekarto koordinačių radimas. Tai apie judėjimą nuo įrašo M(t) Į M (X;adresu).

3. „Blogų“ taškų koordinačių ženklų suradimas skaičių apskritime. Jei pvz. M(2) = M (X;adresu), tai X 0; adresu 0. (Moksleiviai mokosi nustatyti trigonometrinių funkcijų ženklus naudodami skaičių apskritimo ketvirčius.)

1. Nr.5.1 (a; b), Nr.5.2 (a; b), Nr.5.3 (a; b).

Šia užduočių grupe siekiama lavinti gebėjimą rasti skaičių apskritimo „gerųjų“ taškų Dekarto koordinates.

Sprendimas:

№ 5.1 (A).

2. Nr.5.4 (a; b), Nr.5.5 (a; b).

Šia užduočių grupe siekiama lavinti įgūdžius rasti kreivines taško koordinates naudojant jo Dekarto koordinates.

Sprendimas:

№ 5.5 (b).

3. Nr.5.10 (a; b).

Šiuo pratimu siekiama lavinti gebėjimą rasti „blogųjų“ taškų Dekarto koordinates.

V. Pamokos santrauka.

Klausimai studentams:

– Kas yra modelis – skaičių apskritimas koordinačių plokštumoje?

– Kaip, žinant skaičių apskritimo taško kreivines koordinates, rasti jo Dekarto koordinates ir atvirkščiai?

Namų darbai: Nr.5.1 (c; d) – 5.5 (c; d), Nr.5.10 (c; d).

Data: Pamoka2
TEMA: Užduočių sprendimas naudojant „skaičių apskritimo koordinačių plokštumoje“ modelį

Tikslai: toliau ugdyti gebėjimą nuo kreivinių skaičiaus apskritimo taško koordinačių pereiti prie Dekarto koordinačių; ugdyti gebėjimą skaičių apskritime rasti taškus, kurių koordinatės tenkina pateiktą lygtį arba nelygybę.

Pamokos eiga

I. Organizacinis momentas.

II. Darbas žodžiu.

1. Pavadinkite skaičių apskritimo taškų kreivines ir Dekarto koordinates.

2. Palyginkite apskritimo lanką ir jo analitinį žymėjimą.

III. Naujos medžiagos paaiškinimas.

2. Skaičių apskritimo taškų, kurių koordinatės tenkina pateiktą lygtį, radimas.

Pažvelkime į 2 ir 3 pavyzdžius su p. 41–42 vadovėliai.

Šio „žaidimo“ svarba yra akivaizdi: studentai ruošiasi spręsti paprasčiausias formos trigonometrines lygtis, kad suprastumėte reikalo esmę, pirmiausia turėtumėte išmokyti moksleivius išspręsti šias lygtis naudojant skaičių ratą, nejudėdami toliau. į paruoštas formules.

Nagrinėdami pavyzdį, kaip rasti tašką su abscisėmis, atkreipiame mokinių dėmesį į galimybę sujungti dvi atsakymų serijas į vieną formulę:

3. Skaičių apskritimo taškų, kurių koordinatės tenkina duotąją nelygybę, radimas.

Pažiūrėkime į 4–7 pavyzdžius iš p. 43–44 vadovėliai. Spręsdami tokius uždavinius, ruošiame mokinius spręsti formos trigonometrines nelygybes

Apsvarstę pavyzdžius mokiniai gali savarankiškai formuluoti algoritmas nurodyto tipo nelygybių sprendimai:

1) nuo analitinio modelio pereiname prie geometrinio modelio – lanko MR skaičių ratas;

2) sudaro analizinio įrašo šerdį MR; už lanką, kurį gauname

3) padaryti bendrą įrašą:

IV. Įgūdžių ir gebėjimų formavimas.

1-oji grupė. Skaičių apskritimo taško su koordinate, atitinkančia duotą lygtį, radimas.

Nr.5.6 (a; b) – Nr.5.9 (a; b).

Atlikdami šiuos pratimus, praktikuojame žingsnis po žingsnio vykdymą: taško branduolio įrašymą, analitinį įrašymą.

2-oji grupė. Skaičių apskritimo taškų, kurių koordinatė tenkina duotą nelygybę, paieška.

Nr.5.11 (a; b) – 5.14 (a; b).

Pagrindinis įgūdis, kurį moksleiviai turi įgyti atlikdami šiuos pratimus, yra analitinio lanko žymėjimo pagrindo sudarymas.

V. Savarankiškas darbas.

Variantas 1

1. Pažymėkite skaičių apskritimo tašką, atitinkantį duotą skaičių, ir suraskite jo Dekarto koordinates:

2. Suraskite skaičių apskritimo taškus su duota abscise ir užrašykite kokius skaičius t jie sutampa.

3. Pažymėkite skaičių apskritimo taškus ordinatėmis, kurios tenkina nelygybę ir, naudodami dvigubą nelygybę, užrašykite, kurie skaičiai t jie sutampa.

Variantas 2

1. Pažymėkite skaičių apskritimo tašką, atitinkantį duotą skaičių, ir suraskite jo Dekarto koordinates:

2. Suraskite skaičių apskritimo taškus su duotomis ordinatėmis adresu= 0,5 ir užsirašykite kokius skaičius t jie sutampa.

3. Ant skaičių apskritimo pažymėkite taškus su abscisėmis, kurie tenkina nelygybę ir, naudodami dvigubą nelygybę, užrašykite, kuriuos skaičius t jie sutampa.

VI. Pamokos santrauka.

Klausimai studentams:

– Kaip rasti apskritimo tašką, kurio abscisė tenkina duotą lygtį?

– Kaip rasti apskritimo tašką, kurio ordinatės tenkintų duotą lygtį?

– Pavadinkite nelygybių sprendimo algoritmą skaičių apskritimu.

Namų darbai: Nr. 5.6 (c; d) – Nr. 5.9 (c; d),

Nr.5.11 (c; d) – Nr.5.14 (c; d).

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Skaičių apskritimas koordinačių plokštumoje

Pakartokime: vienetinis apskritimas yra skaičių apskritimas, kurio spindulys yra 1. R=1 C=2 π + - y x

Jeigu skaičių apskritimo taškas M atitinka skaičių t, tai jis atitinka ir skaičių t+2 π k formos, kur k yra bet koks sveikasis skaičius (k ϵ Z). M(t) = M(t+2 π k), kur k ϵ Z

Pagrindiniai maketai Pirmasis išdėstymas 0 π y x Antrasis išdėstymas y x

x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

Raskime taško M koordinates, atitinkančias tašką. 1) 2) x y M P 45° O A

Pirmojo maketo pagrindinių taškų koordinatės 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A Raskime taško M, atitinkančio tašką, koordinates. 1) 2) 30°

M P Raskite taško M koordinates, atitinkančias tašką. 1) 2) 30° x y O A B

Naudodamiesi simetrijos savybe, randame taškų, kurie yra y x kartotiniai, koordinates

Antrojo maketo pagrindinių taškų koordinatės x y x y y x

Pavyzdys Raskite skaičių apskritimo taško koordinates. Sprendimas: P y x

Pavyzdys Skaičių apskritime raskite taškus su ordinatėmis Sprendimas: y x ​​x y x y

Pratimai: Raskite skaičių apskritimo taškų koordinates: a) , b) . Suraskite skaičių apskritimo taškus su abscisėmis.

Pagrindinių taškų koordinatės 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Pirmojo maketo pagrindinių taškų koordinatės x y x y Pagrindinio koordinatės antrojo išdėstymo taškai

Tema: metodiniai tobulinimai, pristatymai ir pastabos

Didaktinė medžiaga apie algebrą ir analizės pradžią 10 klasėje (profilio lygis) „Skaičių apskritimas koordinačių plokštumoje“

1.1 variantas Raskite skaičių apskritimo tašką: A) -2∏/3B) 72. Kuris skaičių apskritimo ketvirtis turi tašką 16.3.