Norėdami nustatyti taško padėtį erdvėje, naudosime Dekarto stačiakampes koordinates (2 pav.).
Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą erdvėje sudaro trys viena kitai statmenos koordinačių ašys OX, OY, OZ. Koordinačių ašys susikerta taške O, kuris vadinamas pradžios tašku, kiekvienoje ašyje pasirenkama teigiama kryptis, pažymėta rodyklėmis, ir ašių segmentų matavimo vienetas. Matavimo vienetai dažniausiai (nebūtinai) yra vienodi visoms ašims. OX ašis vadinama abscisių ašimi (arba tiesiog abscise), OY ašis yra ordinačių ašis, o OZ ašis yra taikomoji ašis.
Taško A padėtis erdvėje nustatoma pagal tris koordinates x, y ir z. Koordinatė x lygi atkarpos OB ilgiui, y koordinatė – atkarpos OC ilgiui, z koordinatė – atkarpos OD ilgiui pasirinktais matavimo vienetais. Atkarpas OB, OC ir OD apibrėžia plokštumos, nubrėžtos iš taško, lygiagretaus plokštumoms YOZ, XOZ ir XOY, atitinkamai.
Koordinatė x vadinama taško A abscise, y – taško A ordinate, o koordinatė z – taško A aplikacija.
Simboliškai parašyta taip:
arba susiekite koordinačių įrašą su konkretus taškas naudojant indeksą:
x A , y A , z A ,
Kiekviena ašis laikoma skaičių linija, ty turi teigiamą kryptį ir taškai yra ant jų neigiamas spindulys, priskiriama neigiamos reikšmės koordinates (atstumas imamas su minuso ženklu). Tai yra, jei, pavyzdžiui, taškas B yra ne kaip paveikslėlyje - ant spindulio OX, o ant jo tęsinio atvirkštinė pusė nuo taško O (neigiamoje ašies OX dalyje), tada taško A x abscisė būtų neigiama (atėmus atstumą OB). Taip pat ir kitoms dviem ašims.
Koordinačių ašys OX, OY, OZ, parodytos pav. 2, sudaro dešiniarankę koordinačių sistemą. Tai reiškia, kad jei žiūrėsite į YOZ plokštumą išilgai teigiamos OX ašies krypties, tada OY ašies judėjimas link OZ ašies bus pagal laikrodžio rodyklę. Šią situaciją galima apibūdinti naudojant karkaso taisyklę: jei įvorė (varžtas su dešiniuoju sriegiu) pasukamas kryptimi nuo OY ašies iki OZ ašies, tada jis judės teigiama OX ašies kryptimi.
Vienetinio ilgio vektoriai, nukreipti išilgai koordinačių ašių, vadinami koordinačių vienetų vektoriais. Paprastai jie žymimi kaip 
(3 pav.). Taip pat yra žymėjimas 
Vienetų vektoriai sudaro koordinačių sistemos pagrindą.
Dešiniarankės koordinačių sistemos atveju galioja sekančias formules su vektorių sandaugomis:
1. Stačiakampė koordinačių sistema plokštumoje
Stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje sudaro dvi viena kitai statmenos koordinačių ašys X"X Ir Y"Y O, kuri vadinama pradžia, kiekvienoje ašyje parenkama teigiama kryptis. IN dešinės pusės koordinačių sistema, ašių teigiama kryptis parenkama taip, kad kai ašis nukreipta Y"Y aukštyn, ašis X"Xžiūrėjo į dešinę.
Keturi kampai (I, II, III, IV), sudaryti iš koordinačių ašių X"X Ir Y"Y, vadinami koordinačių kampais arba kvadrantais (žr. 1 pav.).
Taško padėtis A plokštumoje nustatoma pagal dvi koordinates x Ir y. Koordinatė x lygus atkarpos ilgiui O.B., koordinuoti y- segmento ilgis O.C. pasirinktais matavimo vienetais. Segmentai O.B. Ir O.C. nustatomos iš taško nubrėžtomis linijomis A lygiagrečiai ašims Y"Y Ir X"X atitinkamai. Koordinatė x paskambino abscisė taškų A, koordinuoti y - ordinatės taškų A. Užsirašykite taip: A ( x, y)
Jei taškas A guli koordinačių kampas Tada aš rodau A turi teigiamą abscisę ir ordinatę. Jei taškas A yra koordinačių kampe II, tada taškas A turi neigiamą abscisę ir teigiamą ordinatę. Jei taškas A yra koordinačių kampe III, tada taškas A turi neigiamą abscisę ir ordinatę. Jei taškas A yra koordinačių kampe IV, tada taškas A turi teigiamą abscisę ir neigiamą ordinatę.
2. Polinės koordinatės.
Poliarinis tinklelis su keliais kampais, pažymėtais laipsniais.
Poliarinė sistema koordinates– dvimatė koordinačių sistema, kurioje kiekvienas plokštumos taškas apibrėžiamas dviem skaičiais – kampu ir atstumu. Poliarinė koordinačių sistema ypač naudinga tais atvejais, kai santykiai tarp taškų lengviau atvaizduojami atstumais ir kampais; labiau paplitusioje Dekarto ar stačiakampėje koordinačių sistemoje tokius ryšius galima nustatyti tik taikant trigonometrines lygtis.
Poliarinę koordinačių sistemą apibrėžia spindulys, kuris vadinamas nuline arba poline ašimi. Taškas, iš kurio atsiranda šis spindulys, vadinamas pradžia arba poliu. Bet kuris plokštumos taškas apibrėžiamas dviem polinėmis koordinatėmis: radialine ir kampine. Radialinė koordinatė (dažniausiai žymima r) atitinka atstumą nuo taško iki pradžios. Kampinė koordinatė, dar vadinama poliariniu kampu arba azimutu ir žymima φ, yra lygi kampui, kuriuo polinė ašis turi būti pasukta prieš laikrodžio rodyklę, kad patektų į tą tašką.
Taip apibrėžta radialinė koordinatė gali turėti reikšmes nuo nulio iki begalybės, o kampinė koordinatė svyruoja nuo 0° iki 360°. Tačiau patogumo dėlei asortimentas poliarinė koordinatė galima išplėsti už jos ribų visu kampu, taip pat leiskite jam gauti neigiamas vertes, kurios atitinka polinės ašies sukimąsi pagal laikrodžio rodyklę.
3. Segmentų padalijimas į šiuo atžvilgiu.
Atkarpą AB, jungiančią taškus A(x1;y1) ir B(x2;y2), reikia padalyti nurodytu santykiu λ > 0, t.y.jpg" align="left" width="84 height=84" height= "84">
Sprendimas: Pristatykime vektorius https://pandia.ru/text/78/214/images/image006_41.gif" width="18" height="13 src=">..gif" width="79" height=" 15 src=">, t.y. ir i.e..
(9.1) lygtis įgauna formą
Atsižvelgiant į tai lygūs vektoriai Turėdami lygias koordinates, gauname:
https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_27.gif" width="56 height=28" height="28"> (9.2) ir
https://pandia.ru/text/78/214/images/image016_26.gif" width="60 height=29" height="29"> (9.3)
Formulės (9.2) ir (9.3) vadinamos atkarpos padalijimo šiuo atžvilgiu formulės. Visų pirma, kai λ = 1, t. y. gif" width="54" height="29 src=">. Šiuo atveju taškas M(x;y) yra atkarpos vidurio taškas AB.
komentaras:
Jei λ = 0, tai reiškia, kad taškai A ir M sutampa, jei λ< 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ - говорят, что точка M делит отрезок АВ išoriškai, nes kitu atveju, ty AM + MB = 0, ty AB = 0).
4. Atstumas tarp taškų.
Reikia rasti atstumą d tarp plokštumos taškų A(x1;y1) ir B(x2;y2).
Sprendimas: Reikalingas atstumas d lygus vektoriaus ilgiui, t.y. 
5. Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.
Jei tiesėje erdvėje pažymime du savavališkus taškus M1(x1, y1, z1) ir M2(x2, y2, z2), tai šių taškų koordinatės turi tenkinti aukščiau gautą tiesės lygtį:
.
Be to, taške M1 galime rašyti:
.
Išsprendę šias lygtis kartu, gauname:
.
Tai tiesės, einančios per du erdvės taškus, lygtis.
6. 2 eilės determinantai.
Antros eilės determinanto reikšmė lengvai apskaičiuojama pagal apibrėžimą naudojant formulę.
7. 3 eilės determinantai.
https://pandia.ru/text/78/214/images/image030_15.gif" width="120" height="61 src="> determinanto skaičiavimo schema trikampio metodu, t.y.:
https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">DIV_ADBLOCK251">
9. SRV sprendimas Cramerio metodu.
Kramerio teorema: N lygčių sistema su N nežinomaisiais, kurių determinantas nėra lygus nuliui, visada turi sprendimą ir unikalų. Jis randamas taip: kiekvieno iš nežinomųjų reikšmė lygi trupmenai, kurios vardiklis yra sistemos determinantas, o skaitiklis gaunamas iš sistemos determinanto, pakeitus koeficientų stulpelį nežinomam nežinomas su reikiamų terminų stulpeliu.
Ši lygčių sistema turės vienintelis sprendimas tik tada, kai determinanto, sudaryto iš koeficientų X1 - n, nebus lygus nuliui. Šį determinantą pažymėkime ženklu - Δ. Jei šis determinantas nėra lygus nuliui, sprendžiame toliau. Tada kiekvienas Xi = Δi / Δ, kur Δi yra determinantas, sudarytas iš koeficientų X1 - n, tik i-ojo stulpelio koeficientų reikšmės pakeičiamos reikšmėmis po lygybės ženklo sistemoje lygtys, o Δ yra pagrindinis determinantas
N-osios eilės sistema https://pandia.ru/text/78/214/images/image037_14.gif" width="112" height="46"> .gif" width="79" height="46">.gif" width="264" height="48">.gif" width="120" height="29">DIV_ADBLOCK252">
10. SRV sprendimas matricos metodu.
Matricos leidžia trumpai užrašyti sistemą tiesines lygtis. Pateikiame 3 lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą:
https://pandia.ru/text/78/214/images/image046_13.gif" width="75" height="41"> ir nežinomų ir laisvų narių matricų stulpeliai
Susiraskime darbą
https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_13.gif" width="108" height="41"> arba trumpesnis A∙X = B.
Čia yra matricos A Ir B yra žinomi, ir matrica X nežinomas. Jį būtina rasti, nes jo elementai yra šios sistemos sprendimas. Ši lygtis vadinama matricos lygtis.
Tegul matricos determinantas skiriasi nuo nulio | A| ≠ 0. Tada matricos lygtis sprendžiama taip. Abi kairėje esančios lygties puses padauginkite iš matricos A-1, atvirkštinė matrica A: https://pandia.ru/text/78/214/images/image051_13.gif" width="168" height="59"> 
Nuspręskite matricos metodas sekančią sistemą lygtys:
Dėmesio: nuliai atsiranda, jei trūksta vieno kintamojo, t.y., jei sąlygoje nenurodytas X3, tada jis automatiškai lygus nuliui. Tas pats su X1 ir X2
https://pandia.ru/text/78/214/images/image057_9.gif" width="56 height=54" height="54">
https://pandia.ru/text/78/214/images/image065_8.gif" width="160 height=51" height="51">
Atsakymas:
# a) Atsižvelgiant į:
https://pandia.ru/text/78/214/images/image074_5.gif" width="59 height=16" height="16"> 
Atsakymas:
https://pandia.ru/text/78/214/images/image081_5.gif" width="106" height="50 src=">
Raskime atvirkštinę matricą.
Atimkite 1-ąją eilutę iš visų po ja esančių eilučių. Šis veiksmas neprieštarauja elementarios transformacijos matricos.
https://pandia.ru/text/78/214/images/image083_4.gif" width="172" height="52 src=">
Iš visų virš jos esančių eilučių atimkite 3 eilutę. Šis veiksmas neprieštarauja elementariosios matricos transformacijoms.
https://pandia.ru/text/78/214/images/image085_5.gif" width="187" height="53 src=">
Sumažinkime visus koeficientus pagrindinėje matricos įstrižainėje iki 1. Padalinkite kiekvieną matricos eilutę iš šios pagrindinėje įstrižainėje esančios eilutės koeficiento, jei jis nelygus 1. Kvadratinė matrica, kuri pasirodo į dešinę nuo vienetas vienas yra atvirkštinis pagrindiniam.
https://pandia.ru/text/78/214/images/image087_4.gif" width="172" height="52 src=">
11. Vektoriai. Vektorių papildymas.
http://www. bigpi. *****/encicl/articles/15/1001553/1001553A. htm
Vektorius įvardykite apibūdinamą kiekį skaitinė reikšmė, kryptis erdvėje ir pridedant prie kito, panašaus dydžio geometriškai.
Grafiškai vektoriai vaizduojami kaip nukreipti tiesūs tam tikro ilgio segmentai, pvz., https://pandia.ru/text/78/214/images/image089_5.gif" width="17" height="17 src="> arba DIV_ADBLOCK254 ">
Vektoriaus papildymas: Vektorių a(a1; a2) ir b(b1; b2) suma yra vektorius c(a1+b1; a2+b2). Bet kokiems vektoriams a(a1; a2), b(b1; b2), c(с1; с2) galioja lygybės:
Teorema: Kad ir kokie būtų trys taškai A, B ir C, egzistuoja vektorių lygybė https://pandia.ru/text/78/214/images/image094_4.gif" width="126" height="49">
Pridedant du vektoriai dažnai naudoja vadinamąjį „ lygiagretainio taisyklė“ Šiuo atveju lygiagretainis sudaromas naudojant sumavimo vektorius gretimose pusėse. Lygiagretainio įstrižainė, nubrėžta nuo vektorių pradžios taško, yra reikiama suma (4 pav., kairėje).
Nesunku pastebėti (4 pav., dešinėje), kad ši taisyklė duoda tą patį rezultatą kaip ir aukščiau aprašytas metodas. Pridedant daugiau nei du vektorius " lygiagretainio taisyklė» praktiškai nenaudojamas dėl gremėzdiškos konstrukcijos. Vektoriaus pridėjimas yra komutatyvus, tai yra,
A + b = b + A.
Ir taip pat suma tam tikras skaičius vektoriai nepriklauso nuo jų pridėjimo tvarkos, ty ( A + b) + d = a + (b + d). Šiuo atveju jie sako, kad vektorių pridėjimas yra asociatyvus, tai yra, derinimo įstatymas yra patenkintas.
12. Taškinė vektorių sandauga.
http://www. dpva. info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/ScalarVectorsMultiplication/
Taškinė vektorių sandauga yra dviejų vektorių operacija, kurios rezultatas yra skaičius (ne vektorius).
https://pandia.ru/text/78/214/images/image097_5.gif" width="86" height="23">
Kitaip tariant, vektorių skaliarinė sandauga yra lygi šių vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai. Reikėtų pažymėti, kad kampas tarp dviejų vektorių yra kampas, kurį jie sudaro, jei jie yra atskirti nuo vieno taško, tai yra, vektorių pradžios turi sutapti.
Šios paprasčiausios savybės tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo:
1. Savavališko vektoriaus a ir savęs skaliarinė sandauga (vektoriaus a skaliarinis kvadratas) visada yra neneigiamas ir lygus šio vektoriaus ilgio kvadratui. Be to, vektoriaus skaliarinis kvadratas yra lygus nuliui tada ir tik tada, kai nurodytas vektorius yra nulis.
2. Bet kurio taškinis produktas statmeni vektoriai a ir b yra lygūs nuliui.
3. Dviejų vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai jie yra statmeni arba bent vienas iš jų yra lygus nuliui.
4. Dviejų vektorių a ir b skaliarinė sandauga yra teigiama tada ir tik tada, kai tarp jų yra smailusis kampas.
5. Dviejų vektorių a ir b skaliarinė sandauga yra neigiama tada ir tik tada, kai tarp jų yra bukas kampas.
Alternatyvus apibrėžimas taškinis produktas, arba apskaičiuojant dviejų vektorių, nurodytų jų koordinatėmis, skaliarinę sandaugą.
(Apskaičiuoti vektoriaus koordinates, jei nurodytos jo pradžios ir pabaigos koordinatės, yra labai paprasta:
Tebūnie vektorius AB, A - vektoriaus pradžia, B - pabaiga ir šių taškų koordinatės
A=(a1,a2,a3), B=(b1,b2,b3)
Tada vektoriaus AB koordinatės yra:
AB=(b1-a1, b2-a2, b3-a3) .
Panašiai ir dvimatėje erdvėje – trečiųjų koordinačių tiesiog nėra)
Taigi, tegul pateikiami du vektoriai, apibrėžti jų koordinačių rinkiniu:
a) Dvimatėje erdvėje (plokštumoje)..gif" width="49" height="19 src=">
Tada jų skaliarinį sandaugą galima apskaičiuoti naudojant formulę:
b) B trimatė erdvė: ;
Panašiai kaip ir dvimatis atvejis, jų skaliarinė sandauga apskaičiuojama pagal formulę:
DIV_ADBLOCK257">
Taigi, turime du vektorius: https://pandia.ru/text/78/214/images/image104_4.gif" width="73" height="23 src=">
Ir mes turime rasti kampą tarp jų. Naudodami jų koordinates randame jų ilgius ir tiesiog sulyginame dvi skaliarinės sandaugos formules. Taip gauname norimo kampo kosinusą.
Vektoriaus ilgis A apskaičiuojamas kaip vektoriaus skaliarinio kvadrato šaknis A, kurią apskaičiuojame naudodami vektorių skaliarinės sandaugos formulę, nurodytą koordinatėmis:
https://pandia.ru/text/78/214/images/image107_3.gif" width="365" height="23">
Reiškia, 
, 
Reikalingas kampas rastas.
13. Vektorinis meno kūrinys.
http://www. dpva. info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/vectorVectorsMultiplication/
Dviejų vektorių a ir b kryžminė sandauga yra operacija su jais, apibrėžta tik trimatėje erdvėje, kurios rezultatas yra vektorius su šiomis savybėmis:
https://pandia.ru/text/78/214/images/image111_3.gif" width="83" height="27">, kur a Ir b.
3) Vektorius nukreiptas taip, kad jei atsineštumėte vektorių https://pandia.ru/text/78/214/images/image117_3.gif" width="13" height="24 src=">. gif" width=" 13" height="24"> į vektorių bus PRIEŠ LAIKRODŽIO DALIS.
Siekiant didesnio aiškumo, pateiksime pavyzdį - paveikslėlyje dešinėje yra vektorius - vektorinis produktas vektoriai a ir b. Kaip nurodyta apibrėžime, visus tris vektorius sumažinome iki bendra pradžia, o tada, jei pažvelgsite į vektorius a ir b nuo vektoriaus galo, trumpiausias posūkis nuo vektoriaus a iki vektoriaus b bus prieš laikrodžio rodyklę.
https://pandia.ru/text/78/214/images/image119_3.gif" width="76" height="25">
Be to, tiesiogiai iš apibrėžimo išplaukia, kad bet kuriam skaliariniam koeficientui k (skaičiui) yra teisinga: 
A https://pandia.ru/text/78/214/images/image182_2.gif" width="56 height=32" height="32"> 
7.2 3 eilės matricos determinanto radimas naudojant trikampio taisyklę
DIV_ADBLOCK261">
Kiekvienas kvadratinės Matricos elementas (kurių eiliškumas yra didesnis arba lygus trims) gali būti susietas su dviem skaičiais, vadinamais MINOR arba ALGEBRIC COMPLEMENT. Kvadratinės Matricos A (bet kokios eilės) elemento Aij minorinis yra vadinamas MATRIKSOS DETERMINANTAS, gaunamas iš A matricos išbraukus eilutę ir stulpelį, kurių sankirtoje yra elementas Aij. Ženklas M yra Mažosios reikšmės žymėjimas.
https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">.gif" width="35" height="19">
https://pandia.ru/text/78/214/images/image194_1.gif" width="96 height=82" height="82">
ELEMENTAI | Nepilnametis | Algebrinis papildymas |
||||||||||||||||
Tegul A = kažkokia trečios eilės matrica, tada matricos A determinantas yra lygus:
Pastaba: Determinantą galima apskaičiuoti iš elementų bet koks stygos arba bet koksšios Matricos stulpelyje.
# Raskite Matricos determinantą pagal pirmosios eilutės ir pirmojo stulpelio elementus:
https://pandia.ru/text/78/214/images/image201_0.gif" width="58" height="56 src=">
https://pandia.ru/text/78/214/images/image203_0.gif" width="253" height="34 src=">
7.3 N eilės MATRIKS DETERMINANTAS
Tegul A - kvadratinė matrica n-oji tvarka. Tada n-osios eilės matricos determinantas atrodys taip:
Išskaidę 1 eilutės elementus, raskite A matricos elementus
DIV_ADBLOCK262">
2) a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0
3) a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0
4) a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=- 1
6. PAGRINDINĖS DETERMINANTO SAVYBĖS
1. Determinantas nepasikeis, jei jo eilutės bus pakeistos atitinkamais stulpeliais (perkelkite)
2. Pertvarkant dvi eilutes ar stulpelius, apibrėžimas pakeis ženklą į priešingą.
3. Bendras daugiklis iš determinanto ženklo galima išimti visus eilutės (stulpelio) elementus
4. Determinantas su dviem identiškomis eilutėmis arba stulpeliais visada lygus nuliui.
5. Jei determinanto dviejų eilučių (stulpelių) elementai yra proporcingi, tai determinantas lygus nuliui.
6. Jei kurioje nors determinanto eilutėje ar stulpelyje atitinkamai pridėsime kitos eilutės ar stulpelio elementus, padaugintus iš to paties skaičiaus, tai determinantas savo reikšmės nepakeis.
https://pandia.ru/text/78/214/images/image208_0.gif" width="48" height="12"> ir kt.
Trikampis determinantas- tai yra determinantas, kurio visi elementai, esantys virš pagrindinės įstrižainės (arba žemiau), yra nuliai, lygus produktui pagrindinės įstrižainės elementai.
https://pandia.ru/text/78/214/images/image210_0.gif" width="37" height="28 src=">DIV_ADBLOCK263">
Jei egzistuoja atvirkštinė matrica A, tada matrica vadinama NEVERTIMAMA. Kvadratinės matricos radimas turi puiki vertė sprendžiant sistemų tiesines lygtis.
17. Atvirkštinė matrica.
http://www. mathelp. *****/knyga1/matrica. htm
1. Raskite Matiritsa A determinantą
2. Raskite visų Matricos A elementų algebrinį papildinį (Aij) ir parašykite naują Matricą
3. Perkelkite naująją Matricą
4. Perkeltą Matricą padauginkite iš determinanto atvirkštinės vertės. (Pavyzdžiui: skaičiui 6 atvirkštinis determinantas bus skaičius)
Pažymėkime ∆ =det A. Kad kvadratinė Matrica A turėtų atvirkštinę, būtina ir pakanka, kad Matrica būtų neišsigimusi (ne nulis). Matrica, atvirkštinė matrica A, žymimas A-1, taigi B = A-1..gif" width="12" height="19 src=">.gif" width="82" height="34 src="> – normalizavimo plokštuma daugiklis, kurio ženklas pasirenkamas priešingas ženklas D, jei savavališka, jei D=0.
21. 2-osios kreivės (apskritimo lygtis).
Apibrėžimas 11.1.Antros eilės kreivės plokštumoje vadinamos susikirtimo linijomis apskritas kūgis su plokštumomis, nekertančiomis per jo viršūnę.
Jei tokia plokštuma kerta visas vienos kūgio ertmės generatricas, tada atkarpoje pasirodo elipsė, abiejų ertmių generatrijų sankirtoje – hiperbolė, o jei pjovimo plokštuma lygiagreti bet kuriai generatrix, tai kūgio pjūvis yra parabolė.
komentuoti. Visos antros eilės kreivės nurodomos antrojo laipsnio lygtimis dviem kintamaisiais.
Antrosios eilės kreivių klasifikacija
Neišsigimusios kreivės
neišsigimęs, jei gali atsirasti šios parinktys:
Neišsigimusi kreivė antroji tvarka vadinama centrine if
· elipsė – numatyta D> 0 ir Δ aš < 0;
numatytas specialus elipsės atvejis – apskritimas aš 2 = 4D arba a 11 = a 22,a 12 = 0;
įsivaizduojama elipsė (ne vienas realus taškas) – pavaldi Δ aš > 0;
hiperbolė – numatyta D < 0;
Neišsigimusi antros eilės kreivė vadinama necentrine, jei Δ aš = 0
· parabolė – numatyta D = 0.
Degeneruotos kreivės: Antrosios eilės kreivė vadinama išsigimęs, jei Δ = 0. Gali atsirasti šios parinktys:
· realusis taškas dviejų įsivaizduojamų tiesių (išsigimusios elipsės) sankirtoje – numatyta D > 0;
· realių susikertančių tiesių pora (išsigimusi hiperbolė) – numatyta D < 0;
· išsigimusi parabolė – numatyta D = 0:
· realių lygiagrečių tiesių pora – numatyta B < 0;
· viena reali linija (dvi sujungtos lygiagrečios linijos) – numatyta B = 0;
· įsivaizduojamų lygiagrečių tiesių pora (ne vieno realaus taško) – numatyta B > 0.
22. Elipsė ir jos lygtis.
Apibrėžimas 11.2.Elipsė yra plokštumos taškų, kurių atstumų iki dviejų fiksuotų taškų suma yra, aibė F 1 ir F 2 šio lėktuvo, vadinamas gudrybės, yra pastovi vertė.
komentuoti. Kai taškai sutampa F 1 ir F 2 elipsė virsta apskritimu.
direktorė Dižidinį atitinkanti elipsė Fi, vadinama tiesia linija, esančia toje pačioje pusiau plokštumoje su Fi ašies atžvilgiu Oi statmenai ašiai Oi per atstumą a/e nuo kilmės.komentuoti. Pasirinkus kitokią koordinačių sistemą, elipsė gali būti nenurodyta kanoninė lygtis(11.1), bet kitokio tipo antrojo laipsnio lygtis.
Elipsės savybės:
1) Elipsė turi dvi viena kitai statmenas simetrijos ašis (pagrindines elipsės ašis) ir simetrijos centrą (elipsės centrą). Jei elipsė pateikiama pagal kanoninę lygtį, tada jos pagrindinės ašys yra koordinačių ašys, o jos centras yra pradžia. Kadangi elipsės susikirtimo su pagrindinėmis ašimis atkarpų ilgiai yra lygūs 2 A ir 2 b (2a>2b), tai pagrindinė ašis, einanti per židinius, vadinama didžiąja elipsės ašimi, o antroji didžioji ašis – mažąja.
Tada https://pandia.ru/text/78/214/images/image264.gif" width="141" height="122 src=">
Išveskime kanoninę hiperbolės lygtį pagal analogiją su elipsės lygties išvedimu, naudodami tą patį žymėjimą.
|r1 - r2 | = 2a, kur. Jei paskirsime b² = c² - a², iš čia galite gauti https://pandia.ru/text/78/214/images/image267.gif" width="38" height="30 src=">.gif" width="87" height= "44 src="> , (11.3`)
kurių tikroji ir įsivaizduojama ašys sukeičiamos išlaikant tas pačias asimptotes.
4) Hiperbolės ekscentriškumas e> 1.
5) Atstumo santykis ri nuo hiperbolės taško iki židinio Fiį atstumą di nuo šio taško iki židinį atitinkančios krypties yra lygus hiperbolės ekscentriškumui.
Įrodymas gali būti atliekamas taip pat, kaip ir elipsės atveju.
23. Parabolė.
Apibrėžimas 11.8.Parabolė yra plokštumos taškų, kurių atstumas iki kurio nors fiksuoto taško yra, aibė Fši plokštuma lygi atstumui iki kokios nors fiksuotos tiesės. Taškas F paskambino sutelkti dėmesį parabolės, o tiesė yra jos direktorė.
Norėdami gauti parabolės lygtį, pasirenkame Dekarto koordinačių sistemą, kad jos pradžia būtų statmenos vidurio taškas FD, nuleistas nuo židinio iki krypties, o koordinačių ašys buvo lygiagrečios ir statmenos krypčiai. Tegul segmento ilgis FD
D O F x lygus r. Tada iš lygybės r = d iš to išplaukia, kad https://pandia.ru/text/78/214/images/image271.gif" width="101 height=38" height="38">,
Naudojant algebrines transformacijas, šią lygtį galima redukuoti į formą:
y² = 2 px, (11.4) vadinamas kanoninė parabolės lygtis.
Didumas r paskambino parametras parabolės.
Parabolės savybės :
1) Parabolė turi simetrijos ašį (parabolės ašį). Taškas, kuriame parabolė kerta ašį, vadinamas parabolės viršūne. Jei parabolė pateikiama pagal kanoninę lygtį, tada jos ašis yra ašis O o viršūnė yra koordinačių pradžia.
2) Visa parabolė yra dešinėje plokštumos pusplokštumoje Oho.
komentuoti. Naudodamiesi elipsės ir hiperbolės krypčių savybėmis ir parabolės apibrėžimu, galime įrodyti tokį teiginį:
Taškų rinkinys plokštumoje, kurio santykis e atstumas iki tam tikro fiksuoto taško iki atstumo iki tiesios linijos yra pastovi reikšmė, tai elipsė (su e<1), гиперболу (при e>1) arba parabolė (su e=1).
Antrosios eilės lygties redukavimas į kanoninę formą.
Apibrėžimas 11.9. Linija apibrėžta bendroji lygtis antra tvarka
https://pandia.ru/text/78/214/images/image274.gif" width="103 height=19" height="19"> galite nustatyti matricą
https://pandia.ru/text/78/214/images/image276.gif" width="204" height="24 src="> (darant prielaidą, kad λ .
Tuo atveju, kai vienas iš savąsias reikšmes matricos A lygus 0, lygtis (11.5) dėl dviejų koordinačių transformacijų gali būti redukuojama į formą: , (11.8), kuri yra kanoninė parabolės lygtis.
24. Stačiakampės koordinatės erdvėje.
Stačiakampė koordinačių sistema erdvėje sudarytas iš trijų viena kitai statmenų koordinačių ašių JAUTIS, OY Ir OZ. Koordinačių ašys susikerta taške O, kuri vadinama koordinačių pradžia, kiekvienoje ašyje pasirenkama teigiama kryptis, pažymėta rodyklėmis, ir ašių segmentų matavimo vienetas. Vienetai paprastai yra vienodi visoms ašims (tai nėra privaloma). JAUTIS- abscisių ašis, OY- ordinačių ašis, OZ- aplikatoriaus ašis.
Jeigu nykščiu dešine ranka imti kryptį X, rodantis kryptį Y, o krypties vidurkis Z, tada jis susidaro teisingai koordinačių sistema Panašūs kairės rankos pirštai sudaro kairiąją koordinačių sistemą. Kitaip tariant, teigiama ašių kryptis parenkama taip, kad ašiai sukant JAUTIS prieš laikrodžio rodyklę 90° jo teigiama kryptis sutampa su teigiama ašies kryptimi OY, jei šis sukimasis stebimas iš teigiamos ašies krypties OZ. Neįmanoma sujungti dešinės ir kairės koordinačių sistemų taip, kad atitinkamos ašys sutaptų (žr. 2 pav.).
Taško padėtis A erdvėje lemia trys koordinatės x, y Ir z. Koordinatė x lygus atkarpos ilgiui O.B., koordinuoti y- segmento ilgis O.C., koordinuoti z- segmento ilgis O.D. pasirinktais matavimo vienetais. Segmentai O.B., O.C. Ir O.D. nustatomos iš taško nubrėžtomis plokštumomis A lygiagrečiai plokštumoms YOZ, XOZ Ir XOY atitinkamai. Koordinatė x vadinama taško abscise A, koordinuoti y- taško ordinatė A, koordinuoti z- taikymo taškas A. Užsirašykite taip: .
Dabar pateiksime koordinačių metodo plokštumoje sąvoką, tai yra, nurodysime metodą, leidžiantį skaičiais nustatyti taškų padėtį plokštumoje.
Paimkime dvi viena kitai statmenas tiesias linijas ir kiekvienai iš jų nustatykime teigiamą kryptį. Šios tiesės, kurių atžvilgiu nustatysime taškų padėtį plokštumoje, vadinamos koordinačių ašimis. Koordinačių ašys paprastai išdėstomos taip, kaip parodyta Fig. 6: viena yra horizontali, o teigiama kryptis ant jo parenkama iš kairės į dešinę, o kita yra vertikali, o teigiama kryptis ant jo yra iš apačios į viršų. Viena iš ašių (dažniausiai horizontali) vadinama abscisių ašimi (Ox ašimi), o kita – vadinama
ordinačių ašis (Oy ašis). Koordinačių ašių susikirtimo taškas vadinamas koordinačių pradžia (6 pav. koordinačių pradžia žymima raide O). Galiausiai išsirinkime mastelio vienetą (visada manysime, kad abiejose koordinačių ašyse pasirinktas tas pats mastelio vienetas).
Dabar bet kurio taško padėtį plokštumoje galima nustatyti skaičiais – šio taško koordinatėmis. Iš tiesų, kiekvieną plokštumos tašką M koordinačių ašyse atitinka du taškai P ir Q, kurie yra jo projekcijos į šias ašis (6 pav.) ir, atvirkščiai, žinodami koordinačių ašių taškus, galime sukurti vieną taškas M plokštumoje, kurios P ir Q yra projekcijos į šias ašis. Taigi, taško M padėties nustatymas plokštumoje sumažinamas iki jo projekcijų P ir Q padėčių nustatymo į koordinačių ašis.
Bet mes jau žinome, kad taško padėtį ašyje visiškai lemia koordinatė. Tegul yra taško P koordinatė abscisių ašyje ir y taško Q koordinatė ordinačių ašyje. Skaičiai x ir y visiškai nustato taško M padėtį plokštumoje ir vadinami taško koordinatėmis; šiuo atveju ji vadinama taško M abscise, o y yra jo ordinatė.
Taigi taško abscisė yra nukreiptos Ox ašies atkarpos reikšmė, kurios pradžia yra koordinačių pradžia, o pabaiga – taško projekcija į šią ašį; Taško ordinatė yra Oy ašies nukreiptos atkarpos reikšmė, kurios pradžia yra koordinačių pradžia, o pabaiga – taško projekcija į ordinačių ašį.
Taigi, bet kurio taško padėtis plokštumoje yra visiškai nustatoma nurodant skaičių x ir y porą, iš kurių pirmasis yra taško abscisė, o antrasis - jo ordinatė.
Taško koordinates sutinkame rašyti skliausteliuose, greta šį tašką žyminčios raidės, pirmoje vietoje padėdami abscisę, o antroje – ordinates ir atskirdami jas kableliu: Kai nurodyta pav. 6 visų plokštumos taškų, esančių dešinėje nuo Oy ašies (ordinačių ašies), koordinačių ašių vieta, abscisė yra teigiama, o taškų, esančių kairėje nuo Oy ašies – neigiama. Pačios Oy ašies taškai turi abscisę, lygią nuliui. Lygiai taip pat plokštumos, esančios virš Ox ašies (abscisių ašies), taškai turi teigiamą y ordinatę, o taškai, esantys žemiau ašies, turi neigiamą ašį. Pačių Ox ašies taškų ordinatas yra lygus nuliui. Pradinė vieta turi koordinates (0, 0).
Koordinačių ašys padalija plokštumą į keturias dalis, vadinamas ketvirčiais arba kvadrantais (kartais dar vadinamomis koordinačių ašimis
kampuose). Plokštumos dalis, esanti tarp teigiamų pusašių Ox ir Oy, vadinama pirmuoju kvadrantu. Toliau kvadrantai sunumeruojami prieš laikrodžio rodyklę (7 pav.). Visiems 1 kvadranto taškams 2 kvadranto taškams 3 ir 4 kvadrantuose
Vadinamos koordinatės, kurios čia paimtos taško vietai plokštumoje nustatyti stačiakampės koordinatės, kadangi plokštumos taškas M gaunamas susikirtus dviem tiesioms PM ir QM (6 pav.), susikertančioms stačiu kampu, taip pat Dekarto, pavadinto matematiko ir filosofo Dekarto, 1637 m. paskelbusio pirmąjį darbą, vardu. apie analitinę geometriją.
Dekarto stačiakampių koordinačių sistema nėra vienintelė koordinačių sistema, leidžianti nustatyti taškų padėtis plokštumoje (žr. šio skyriaus § 11), tačiau ji yra pati paprasčiausia ir ateityje ją daugiausiai naudosime. Aprašytas koordinačių metodas leidžia išspręsti dvi pagrindines problemas.
I uždavinys. Duotas taškas M, raskite jo koordinates.
Iš šio taško M nuleidžiame statmenus ant ašies. Šių statmenų pagrindai – taškai P ir Q – nulems abi reikalingas koordinates. Pirmoji taško M koordinatė, jo abscisė, yra lygi ARBA ašies nukreiptosios atkarpos reikšmei. Antroji taško koordinatė, jo ordinatė, lygi OQ ašies nukreiptosios atkarpos reikšmei.
I užduotis. Žinodami taško M koordinates, sukonstruokite šį tašką.
Nubraižykime išilgai Ox ašies nuo taško O vienetų ilgio atkarpą į dešinę, jei ir į kairę, jei šios atkarpos galas – taškas P – bus norimo taško M projekcija į Ox ašį, iš taško O nubrėždami išilgai Oy ašies atkarpą su vienetų ilgiu aukštyn, jei ir žemyn, jei gausime tašką Q - norimo taško projekciją į Oy ašį. Žinant P ir Q, iš šių taškų nesunku sukonstruoti norimą tašką M, kaip projekcijas. šių linijų sankirtoje bus gautas norimas taškas
komentuoti. Jei sutiksime nukreiptas atkarpas RM ir QM (6 pav.) laikyti ašių atkarpomis, kurių kryptys sutampa su joms lygiagrečių koordinačių ašių kryptimis, tai taško M abscisė bus išreikšta ne tik segmento OP vertė,
bet ir lygiavertė segmento QM reikšmė. To paties taško ordinatės bus vienodai išreikštos atkarpos OQ reikšme ir lygia atkarpos PM reikšme. Nukreiptas atkarpas pavadinsime OP, QM, OQ ir PM taško M koordinačių atkarpomis. Tada, sprendžiant dvi pagrindines svarstomas problemas, nereikia nustatyti abiejų taško M projekcijų, pakanka nustatyti tik vieną. , pavyzdžiui, projekcija ant abscisių ašies. Taigi 1 uždavinyje statmeną nuleidžiame nuo nurodyto taško M iki abscisių ašies. Jo pagrindas P nustato taško M projekciją į šią ašį. Nukreiptos atkarpos OP reikšmė duos tam tikro taško abscisę, o atkarpos RM reikšmė – ordinatę y.
Pavyzdys. Sukurkite tašką, naudodami koordinates, į dešinę nuo O išilgai abscisių ašies. per šio atkarpos galą P nubrėžiame tiesią liniją, lygiagrečią ordinačių ašiai, ir ant jos nutiesiame 3 vienetų ilgio atkarpą žemyn nuo P; šios atkarpos pabaiga yra norimas taškas M.
Taigi, pasirinktoje koordinačių sistemoje kiekvienas plokštumos taškas atitinka tiksliai apibrėžtą koordinačių porą x ir y ir, atvirkščiai, kiekviena realiųjų skaičių pora x, y apibrėžia vieną plokštumos tašką, kurio abscisė yra x ir kurio abscisė yra x. ordinatė yra y. Todėl nurodyti tašką reiškia nurodyti jo koordinates; rasti tašką reiškia rasti jo koordinates.
Jei įvesime koordinačių sistemą plokštumoje arba trimatėje erdvėje, galėsime apibūdinti geometrines figūras ir jų savybes naudojant lygtis ir nelygybes, tai yra, galėsime naudoti algebros metodus. Todėl koordinačių sistemos sąvoka yra labai svarbi.
Šiame straipsnyje parodysime, kaip apibrėžiama stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje ir trimatėje erdvėje bei išsiaiškinsime, kaip nustatomos taškų koordinatės. Aiškumo dėlei pateikiame grafines iliustracijas.
Puslapio naršymas.
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje.
Įveskime stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje.
Norėdami tai padaryti, plokštumoje nubrėžkite dvi viena kitai statmenas linijas ir pažymėkite kiekvieną iš jų teigiama kryptimi, nurodydami jį rodykle, ir pasirinkite ant kiekvieno iš jų mastelis(ilgio vienetas). Šių linijų susikirtimo tašką pažymėkime raide O ir apsvarstykime jį pradžios taškas. Taigi gavome stačiakampė koordinačių sistema lėktuve.
Kiekviena tiesė su pasirinkta pradžia O, kryptimi ir masteliu vadinama koordinačių linija arba koordinačių ašis.
Stačiakampė koordinačių sistema plokštumoje paprastai žymima Oxy, kur Ox ir Oy yra jos koordinačių ašys. Jaučio ašis vadinama x ašis, o Oy ašis – y ašis.
Dabar susitarkime dėl stačiakampės koordinačių sistemos vaizdo plokštumoje.
Paprastai ilgio matavimo vienetas ant Ox ir Oy ašių parenkamas taip, kad būtų vienodas ir yra atjungiamas nuo pradžios kiekvienoje koordinačių ašyje teigiama kryptimi (pažymėtas brūkšneliu ant koordinačių ašių ir vienetas rašomas toliau į jį), abscisių ašis nukreipta į dešinę, o ordinačių ašis nukreipta į viršų. Visos kitos koordinačių ašių krypties parinktys sumažinamos iki balsinės (Ox ašis - į dešinę, Oy ašis - aukštyn), pasukant koordinačių sistemą tam tikru kampu nuo pradžios ir žiūrint iš kitos pusės. lėktuvo (jei reikia).
Stačiakampė koordinačių sistema dažnai vadinama Dekartine, nes ją pirmą kartą plokštumoje pristatė Rene Descartes. Dar dažniau stačiakampė koordinačių sistema vadinama stačiakampe Dekarto koordinačių sistema, sudėjus visa tai.
Stačiakampė koordinačių sistema trimatėje erdvėje.
Panašiai trimatėje Euklido erdvėje nustatyta ir stačiakampė koordinačių sistema Oxyz, tik imamos ne dvi, o trys viena kitai statmenos tiesės. Kitaip tariant, prie koordinačių ašių Ox ir Oy pridedama koordinačių ašis Oz, kuri vadinama ašis taikyti.
Priklausomai nuo koordinačių ašių krypties, trimatėje erdvėje išskiriamos dešinės ir kairės stačiakampės koordinačių sistemos.
Jei žiūrint iš teigiamos Oz ašies krypties ir trumpiausias sukimasis nuo teigiamos Ox ašies krypties iki teigiamos Oy ašies krypties vyksta prieš laikrodžio rodyklę, tada koordinačių sistema vadinama teisingai.
Jei žiūrint iš teigiamos Oz ašies krypties ir trumpiausias sukimasis nuo teigiamos Ox ašies krypties iki teigiamos Oy ašies krypties vyksta pagal laikrodžio rodyklę, tada koordinačių sistema vadinama paliko.
Dekarto koordinačių sistemos taško koordinatės plokštumoje.
Pirmiausia apsvarstykite koordinačių liniją Ox ir paimkite joje tam tikrą tašką M.
Kiekvienas realusis skaičius atitinka vieną tašką M šioje koordinačių tiesėje. Pavyzdžiui, taškas, esantis koordinačių linijoje, nutolęs nuo pradžios taško teigiama kryptimi, atitinka skaičių , o skaičius -3 atitinka tašką, esantį 3 atstumu nuo pradžios taško neigiama kryptis. Skaičius 0 atitinka pradinį tašką.
Kita vertus, kiekvienas koordinačių linijos Ox taškas M atitinka realųjį skaičių. Šis tikrasis skaičius lygus nuliui, jei taškas M sutampa su pradžios tašku (tašku O). Šis tikrasis skaičius yra teigiamas ir lygus atkarpos OM ilgiui tam tikroje skalėje, jei taškas M pašalinamas iš pradžios teigiama kryptimi. Šis tikrasis skaičius yra neigiamas ir lygus atkarpos OM ilgiui su minuso ženklu, jei taškas M pašalinamas iš pradžios neigiama kryptimi.
Skambina numeriu koordinuoti taškai M koordinačių tiesėje.
Dabar apsvarstykite plokštumą su įvesta stačiakampe Dekarto koordinačių sistema. Pažymėkime šioje plokštumoje savavališkas taškas M.
Tegul taško M projekcija į tiesę Ox, o taško M projekcija į koordinačių liniją Oy (jei reikia, žr. straipsnį). Tai yra, jei per tašką M brėžiame tieses, statmenas koordinačių ašims Ox ir Oy, tai šių tiesių susikirtimo su tiesėmis Ox ir Oy taškai yra atitinkamai taškai ir.
Tegul skaičius atitinka tašką Ox koordinačių ašyje, o skaičius – tašką Oy ašyje.
Kiekvienas plokštumos taškas M tam tikrame stačiakampyje Dekarto sistema koordinatės atitinka vieną sutvarkytą realiųjų skaičių porą, vadinamą taško M koordinatės lėktuve. Koordinatė vadinama M taško abscisė, A - taško M ordinatė.
Taip pat teisingas ir atvirkštinis teiginys: kiekviena sutvarkyta realiųjų skaičių pora atitinka plokštumos tašką M duota sistema koordinates
Taško koordinatės stačiakampėje koordinačių sistemoje trimatėje erdvėje.
Parodykime, kaip taško M koordinatės nustatomos stačiakampėje koordinačių sistemoje, apibrėžtoje trimatėje erdvėje.
Tegu ir yra taško M projekcijos atitinkamai į koordinačių ašis Ox, Oy ir Oz. Tegul šie koordinačių ašių Ox, Oy ir Oz taškai atitinka realūs skaičiai Ir .
