Kai kurios išvados iš aksiomų
1 teorema:
Plokštuma eina per tiesią liniją ir ne ant jos esantį tašką, ir tik vieną.
Duota: M ₵ a
Įrodykite: 1) Yra α: a∈ α, M ∈ b ∈ α
2)
α yra vienintelis
Įrodymas:
1) Tiesioje linijoje ir pasirinkti taškus P Ir K. Tada mes turime 3 taškus - R, Q, M, kurios nėra toje pačioje tiesioje linijoje.
2) Pagal aksiomą A1 plokštuma eina per tris taškus, kurie nėra vienoje tiesėje, ir tik vieną, t.y. plokštuma α, kurioje yra tiesė a ir taškas M, egzistuoja.
3) Dabar įrodykime taiα vienintelė. Tarkime, kad yra plokštuma β, kuri kerta ir tašką M, ir tiesę a, bet tada ši plokštuma eina per taškusR, Q, M. Ir po trijų taškų P, Q, M, esantis ne ant tos pačios tiesės, pagal 1 aksiomą eina tik viena plokštuma.
4) Tai reiškia, kad ši plokštuma sutampa su plokštuma α.Todėl 1) Tiesioje linijoje ir pasirinkite taškus P Ir K. Tada mes turime 3 taškus - P, Q, M, kurie guli ne vienoje tiesioje linijoje.Todėl α yra unikalus.
Teorema įrodyta.
1) Tiesėje b paimkite tašką N, kuris nesutampa su tašku M, tai yra N ∈ b, N≠M
2) Tada turime tašką N, kuris nepriklauso tiesei a. Pagal ankstesnę teoremą plokštuma eina per tiesią liniją ir ne ant jos esantį tašką. Pavadinkime tai plokštuma α. Tai reiškia, kad egzistuoja tokia plokštuma, kuri eina per tiesę a ir tašką N.
3) Įrodykime šios plokštumos unikalumą. Tarkime, priešingai. Tebūnie tokia plokštuma β, kuri eina per tiesę a ir tiesę b. Bet tada ji taip pat eina per tiesę a ir tašką N. Bet pagal ankstesnę teoremą ši plokštuma yra unikali, t.y. plokštuma β sutampa su plokštuma α.
4) Tai reiškia, kad mes įrodėme, kad egzistuoja unikali plokštuma, einanti per dvi susikertančias linijas.
Teorema įrodyta.
Teorema apie lygiagrečias tieses
Teorema:
Per bet kurį erdvės tašką, esantį ne tam tikroje tiesėje, eina tiesė, lygiagreti nurodytai tiesei.
Duota: tiesiai a, M₵ a
Įrodykite:Yra tik viena tiesi linijab ∥ a, M ∈ b
Įrodymas:
1) Per tiesę a ir ne ant jos esantį tašką M galima nubrėžti unikalią plokštumą (1 išvada). α plokštumoje galime nubrėžti tiesę b, lygiagrečią su a, einančią per M.
2) Įrodykime, kad ji vienintelė. Tarkime, kad yra kita tiesė c, einanti per tašką M ir lygiagreti tiesei a. Tegul lygiagrečios tiesės a ir c yra β plokštumoje. Tada β eina per M ir tiesę a. Bet plokštuma α eina per tiesę a ir tašką M.
3) Tai reiškia, kad α ir β yra vienodi. Iš lygiagrečių tiesių aksiomos matyti, kad tiesės b ir c sutampa, nes plokštumoje eina viena tiesė šį tašką ir lygiagrečiai nurodytai tiesei.
Teorema įrodyta.
Tiesė ir plokštuma vadinamos lygiagrečiomis, jei jų nėra bendrų taškų. Jei tiesė, esanti ne tam tikroje plokštumoje, yra lygiagreti kuriai nors tiesei, esančiai šioje
1. Jei plokštuma eina per nurodytą tiesę, lygiagrečią kitai plokštumai, ir kerta šią plokštumą, tai plokštumų susikirtimo linija yra lygiagreti duotajai tiesei.
2. Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra lygiagreti duotai plokštumai, o kita tiesė turi bendrą tašką su plokštuma, tai ši tiesė yra duotoje plokštumoje. plokštuma, tada ji lygiagreti pačiai plokštumai.
Tiesės ir plokštumos santykinės padėties atvejai: a) tiesė yra plokštumoje;
b) tiesė ir plokštuma turi tik vieną bendrą tašką; c) tiesė ir plokštuma neturi vieno bendro taško.
2. Tiesios atkarpos bendrojoje padėtyje natūraliosios vertės nustatymas stačiojo trikampio metodu.
Atkarpos AB natūralioji vertė (n.v.) bendrojoje padėtyje yra stačiojo trikampio ABC hipotenuzė. Šiame trikampyje kojelė AK lygiagreti projekcijos plokštumai π1 ir lygi atkarpos A „B“ horizontaliai projekcijai. Koja BK lygi taškų A ir B atstumų nuo plokštumos π1 skirtumui.
Bendruoju atveju tiesės atkarpos natūraliajai vertei nustatyti reikia statyti stačiojo trikampio, kurio viena atkarpa yra horizontalioji (priekinė) projekcija, kita atkarpa lygi atkarpai. reikšmė iki atkarpos kraštutinių taškų Z (Y) koordinačių algebrinio skirtumo.
Iš stačiojo trikampio raskite kampą α – tiesės polinkio į horizontaliąją projekcijos plokštumą kampą.
Norint nustatyti tiesios linijos pasvirimo kampą į priekinę projekcijų plokštumą, reikia atlikti panašias konstrukcijas segmento priekinėje projekcijoje.
3. Pagrindinės plokštumos linijos (horizontalios, frontalinės).
P plokštumos horizontalė yra tiesi linija, esanti šioje plokštumoje ir lygiagreti horizontaliai plokštumai. Horizontalioji linija, lygiagreti horizontaliai plokštumai, turi priekinė projekcijaѓ, lygiagreti x ašiai.
P plokštumos priekinė plokštuma yra tiesi linija, esanti šioje plokštumoje ir lygiagreti priekinei plokštumai.
Frontalas yra tiesi linija, lygiagreti priekinei plokštumai, o jos horizontalioji projekcija lygiagreti x ašiai.
4. Santykinė linijų padėtis erdvėje. Matomumo nustatymas pagal konkuruojančius taškus. Dvi tiesės erdvėje gali turėti skirtingas vietas: A) susikerta (guli toje pačioje plokštumoje). Ypatingas susikirtimo atvejis yra stačiu kampu.
Taškai, kurių projekcijos į P1 sutampa, vadinami konkuruojančių plokštumos P1 atžvilgiu, o taškai, kurių projekcijos į P2 sutampa, vadinami konkuruojančių plokštumos P2 atžvilgiu.
Taškai K ir L konkuruoja plokštumos P1 atžvilgiu, nes plokštumoje P1 taškai K ir L projektuojami į vieną tašką: K1 = L1.
Taškas K yra aukštesnis už tašką L, nes K2 yra aukščiau už tašką L2, todėl K1 matomas P1.
Elementarioji geometrija tiria objektų sąvokas ir ryšius. Be aiškaus pagrindimo negalima naršyti taikymo sritis. Lygiagretumo tarp tiesės ir plokštumos ženklas yra pirmasis erdvės geometrijos žingsnis. Pradinių kategorijų įvaldymas leis prieiti arčiauį žavingą tikslumo, logikos, aiškumo pasaulį.
Objektų koreliacija: galimi variantai
Stereometrija yra pasaulio supratimo įrankis. Ji nagrinėja objektų santykį vienas su kitu ir moko skaičiuoti atstumus be liniuotės. Sėkminga praktika reikalauja įsisavinti pagrindines sąvokas.
Yra paviršius a ir linija l. Yra trys objektų santykių atvejai. Jie nustatomi pagal susikirtimo taškus. Lengva įsiminti:
- 0 taškų – lygiagrečiai;
- 1 taškas – tarpusavyje susikerta;
- be galo daug – tiesė yra plokštumoje.
Lengva apibūdinti objektų lygiagretumo ženklą. Ant paviršiaus a yra eilutė su || l, tada l || A.
Paprastam teiginiui reikia įrodymų. Tegu paviršius brėžiamas per linijas: l || c. Kai Ω a = c. Turėčiau bendrą teiginį su a. Jis turėtų gulėti ant p. Tai prieštarauja sąlygai: l || c. Tada l lygiagreti plokštumai a. Pradinė padėtis teisingai.
Svarbu! Erdvėje yra bent viena eilutė || plokščias paviršius. Tai atitinka pradinės geometrijos (planimetrijos) teiginį.
Paprasta mintis: a priklauso daugiau nei vienam taškui l, o tai reiškia, kad tiesė l visiškai priklauso a.
a || l tik tuo atveju nėra vieno susikirtimo taško.
Tai yra logiškas tiesės ir plokštumos lygiagretumo apibrėžimas.
Lengva rasti praktinis pritaikymas nuostatas. Kaip įrodyti, kad viena tiesė lygiagreti plokštumai?
Pakanka pasinaudoti tiriama funkcija.
Ką naudinga žinoti
Norėdami kompetentingai išspręsti problemas, turite ištirti papildomas objektų vietas. Pagrindas yra lygiagretumo tarp tiesės ir plokštumos ženklas. Jį naudojant bus lengviau suprasti kitus elementus. Erdvės geometrija atsižvelgia į ypatingus atvejus.
Sankryžos stereometrijoje
Ankstesni objektai: plokščias paviršius a, eilutės c, l. Kaip jie vienas šalia kito? Su || l. L kerta a. Tai lengva suprasti: c tikrai susikirs a. Ši idėja yra lema apie plokštumos susikirtimą lygiagrečiomis tiesėmis.
Veiklos sritis plečiasi. Paviršius c pridedamas prie tiriamų objektų. Jai priklauso l. Originaliuose objektuose niekas nesikeičia: l || A. Vėlgi viskas paprasta: plokštumų susikirtimo atveju bendra linija d || l. Iš karto seka koncepcija: kurios dvi plokštumos vadinamos susikertančiomis. Tie, kurie turi bendrą liniją.
Kokias teoremas reikia studijuoti
Pagrindinės objektų santykio sąvokos veda prie pagrindinių teiginių aprašymo. Jie reikalauja išsamių įrodymų. Pirma: teoremos apie vienos tiesės ir plokštumos lygiagretumą. Svarstomi įvairūs atvejai.
- Objektai: paviršiai P, Q, R, tiesės AB, CD. Sąlyga: P||Q, R juos kerta. Natūralu, kad AB||CD.
- Tyrimo objektai: AB, CD, A1B1, C1D1 linijos. AB kerta CD vienoje plokštumoje, A1B1 kerta C1D1 kitoje. AB||A1B1, CD||C1D1. Išvada: paviršiai, įskaitant susikertančias poras lygiagrečios linijos, ||.
Atsiranda nauja koncepcija . Sankirtos linijos pačios nėra lygiagrečios. nors jie guli lygiagrečiose plokštumose. Tai C1D1 ir AB, A1B1 ir CD. Šis reiškinys plačiai naudojamas praktinėje stereometrijoje.
Natūralus teiginys: per vieną iš susikirtimo linijų jis yra tikras yra tik viena plokštuma, lygiagreti nurodytai plokštumai.
- Tada lengva pasiekti pėdsakų teoremą. Tai trečiasis teiginys apie linijos ir paviršiaus lygiagretumą. Yra tiesi linija l. Ji || A. aš priklauso. Kai Ω a = d. Tik galimas variantas:d || l.
Svarbu! Tiesė ir plokštuma vadinamos || nesant bendros patalpos- taškai.
Lygiagretumo savybės ir jų įrodymai
Nesunku suprasti plokščių paviršių išdėstymo koncepciją:
- tuščia bendrų taškų rinkinys (vadinamas lygiagrečiais);
- susikerta tiesia linija.
Jie naudojami stereometrijoje paralelizmo savybės. Bet koks erdvinis vaizdas turi paviršių ir linijų. Norėdami sėkmingai išspręsti problemas, turite išstudijuoti pagrindines teoremas:
- Tiriami objektai: a || b; c Ω b = l, c Ω a = m. Išvada: l ||m. Prielaida reikalauja įrodymų. L ir m vieta yra viena iš dviejų: susikertanti arba lygiagreti. Tačiau antruoju atveju paviršiai neturi bendrų taškų. Tada l || m. Teiginys pasitvirtino. Reikėtų atsiminti: jei linija yra plokštumoje, tada jos turi daugiau nei vieną susikirtimo tašką.
- Yra paviršius a, taškas A nepriklauso a. Tada yra tik vienas paviršius b || a einantis per A. Padėtį įrodyti paprasta. Tegu l Ω m; l, m priklauso a. Per kiekvieną iš jų sukonstruota plokštuma ir A. Ji kerta a. Jame yra linija, einanti per A ir || A. Taške A jie susikerta. Jie sudaro vieną paviršių b || a.
- Yra kreivos linijos l ir m. Tada yra || paviršiai a ir b, kuriems priklauso l ir m. Tai daryti logiška: l ir m pasirinkite savavališki taškai. Išleisti m1 || m, l1 || l. Susikertančios linijos poromis || => a || b. Situacija pasitvirtino.
Vienos tiesės ir plokštumos lygiagretumo savybių žinojimas leis sumaniai jas pritaikyti praktikoje. Paprasti ir logiški įrodymai padės naršyti žaviame stereometrijos pasaulyje.
Plokštumos: lygiagretumo įvertinimas
Sąvoką lengva apibūdinti. Klausimas: ką reiškia, kad viena tiesė ir plokštuma yra lygiagrečios, išspręstos. Pradinių erdvės geometrijos kategorijų tyrimas atvedė prie sudėtingesnio teiginio.
Sprendžiant taikomų problemų taikomas lygiagretumo požymis. Paprastas aprašymas: tegul l Ω m, l1 Ω m1, l, m priklauso a, l1, m1 – b. Šiuo atveju l || l1, m || m1. Tada || b.
Nėra paraiškos matematiniai simboliai: plokštumos vadinamos lygiagrečiomis, jei jos nubrėžtos per lygiagrečias tieses, susikertančias poromis.
Stereometrijos apžvalgos savybių lygiagrečios plokštumos . Jie aprašomi teoremomis:
Tiriami objektai: a || b, a Ω c = l, b Ω c = m. Tada l || m. Įrodymai akivaizdūs. ir tiesės yra toje pačioje plokštumoje, jei jos || arba susikerta. Reikėtų taikyti teiginį apie linijos ir paviršiaus lygiagretumą. Tada tampa akivaizdu: l ir m negali susikirsti. Liko tik l || m.
