Kaip išgauti neišskiriamo skaičiaus šaknį. Kaip rankiniu būdu rasti skaičiaus kvadratinę šaknį

Bibliografinis aprašymas: Pryastanov S. M., Lysogorova L. V. Ekstrahavimo metodai kvadratinė šaknis// Jaunasis mokslininkas. 2017. Nr.2.2. P. 76-77..02.2019).



Raktažodžiai : kvadratinės šaknies, kvadratinės šaknies ištraukimas.

Matematikos pamokose susipažinau su kvadratinės šaknies sąvoka, kvadratinės šaknies ištraukimo operacija. Pradėjau domėtis, ar ištraukti kvadratinę šaknį galima tik naudojant kvadratų lentelę, naudojant skaičiuotuvą, ar yra koks nors būdas ją išgauti rankiniu būdu. Radau kelis būdus: formulę Senovės Babilonas, sprendžiant lygtis, atmetimo metodą pilna aikštė, Niutono metodas, geometrinis metodas, grafinis metodas(, ), atrankos atspėjimo būdas, nelyginio skaičiaus išskaičiavimo būdas.

Apsvarstykite šiuos metodus:

Išskaidykime į pagrindiniai veiksniai, naudojant dalijimosi kriterijus 27225=5*5*3*3*11*11. Taigi

1. KAM Kanados metodas. Tai greitas metodas atrado jauni mokslininkai viename iš pirmaujančių Kanados universitetų XX amžiuje. Jo tikslumas yra ne didesnis kaip 2–3 skaitmenys po kablelio.

kur x yra skaičius, iš kurio reikia išskirti šaknį, c yra artimiausio kvadrato skaičius), pavyzdžiui:

=5,92

1. Stulpelyje.Šis metodas leidžia rasti apytikslę bet kurios šaknies vertę realus skaičius bet kokiu iš anksto nustatytu tikslumu. Metodo trūkumai apima didėjantį skaičiavimo sudėtingumą, padidėjus rastų skaitmenų skaičiui. Norint rankiniu būdu išgauti šaknį, naudojamas žymėjimas, panašus į ilgąjį padalijimą

Kvadratinės šaknies algoritmas

1. Trupmeninę dalį ir sveikąją dalį padaliname atskirai nuo kablelio ant dviejų skaitmenų ribos kiekviename veide ( pabučiuoti dalis - iš dešinės į kairę; trupmeninis- iš kairės į dešinę). Gali būti, kad sveikojoje dalyje gali būti vienas skaitmuo, o trupmeninėje dalyje – nuliai.

2. Ištraukimas pradedamas iš kairės į dešinę ir pasirenkame skaičių, kurio kvadratas neviršija skaičiaus pirmajame veidelyje. Šį skaičių pakeliame kvadratu ir užrašome po skaičiumi pirmoje pusėje.

3. Raskite skirtumą tarp pirmojo veidelio skaičiaus ir pasirinkto pirmojo skaičiaus kvadrato.

4. Prie gauto skirtumo pridedame kitą briauną, gautas skaičius bus dalytis. Mokykimės skirstytuvas. Pirmąjį pasirinktą atsakymo skaitmenį padvigubiname (padauginame iš 2), gauname daliklio dešimčių skaičių, o vienetų skaičius turi būti toks, kad jo sandauga visu dalikliu neviršytų dividendo. Pasirinktą skaičių užrašome kaip atsakymą.

5. Į gautą skirtumą paimame kitą briauną ir atliekame veiksmus pagal algoritmą. Jei pasirodo, kad šis veidas yra trupmeninės dalies veidas, tada atsakyme dedame kablelį. (1 pav.)

Naudodami šį metodą, galite išgauti skaičius skirtingu tikslumu, pavyzdžiui, tūkstantųjų dalių tikslumu. (2 pav.)

Atsižvelgiant į įvairių būdų ištraukę kvadratinę šaknį, galime daryti išvadą: kiekvienu konkrečiu atveju turite nuspręsti, ar pasirinkti efektyviausią, kad sugaištumėte mažiau laiko sprendžiant

Literatūra:

1. Kiselevas A. Algebros ir analizės elementai. Pirma dalis.-M.-1928

Pagrindiniai žodžiai: kvadratinė šaknis, kvadratinė šaknis.

Anotacija: Straipsnyje aprašomi kvadratinių šaknų išgavimo būdai ir pateikiami šaknų išgavimo pavyzdžiai.

Matematikoje klausimas, kaip išgauti šaknį, laikomas gana paprastu. Jei skaičius kvadratu iš natūraliosios eilutės: 1, 2, 3, 4, 5...n, tai gausime tokią kvadratų seriją: 1, 4, 9, 16...n 2. Kvadratų eilė yra begalinė, įdėmiai pažvelgę ​​pamatysite, kad sveikųjų skaičių joje nėra labai daug. Kodėl taip yra, bus paaiškinta šiek tiek vėliau.

Skaičiaus šaknis: skaičiavimo taisyklės ir pavyzdžiai

Taigi, skaičių 2 pakėlėme kvadratu, tai yra, padauginome iš savęs ir gavome 4. Kaip išgauti skaičiaus 4 šaknį? Iš karto pasakykime, kad šaknys gali būti kvadratinės, kubinės ir bet kokio laipsnio iki begalybės.

Šaknies laipsnis – visada natūralusis skaičius, tai yra, neįmanoma išspręsti tokios lygties: šaknis iki n laipsnio 3,6.

Kvadratinė šaknis

Grįžkime prie klausimo, kaip išgauti kvadratinę šaknį iš 4. Kadangi skaičių 2 pakėlėme kvadratu, išskirsime ir kvadratinę šaknį. Norint teisingai išgauti šaknį iš 4, tereikia pasirinkti tinkamą skaičių, kurį patraukus kvadratu, būtų gautas skaičius 4. Ir tai, žinoma, yra 2. Pažvelkite į pavyzdį:

• 2 2 =4
• 4 šaknis = 2

Šis pavyzdys yra gana paprastas. Pabandykime išgauti kvadratinę šaknį iš 64. Kokį skaičių padauginus iš savęs gaunama 64? Akivaizdu, kad 8.

• 8 2 =64
• Šaknis 64 = 8

Kubo šaknis

Kaip minėta aukščiau, šaknys yra ne tik kvadratinės, naudodamiesi pavyzdžiu, mes pabandysime aiškiau paaiškinti, kaip išgauti kubo šaknis arba trečioji šaknis. Kubinės šaknies ištraukimo principas yra toks pat kaip ir kvadratinės šaknies, skirtumas tik tas, kad norimas skaičius iš pradžių buvo padaugintas iš savęs ne vieną, o du kartus. Tai yra, tarkime, kad paėmėme tokį pavyzdį:

• 3x3x3=27
• Natūralu, kad 27 kubo šaknis yra trys:
• 3 šaknis iš 27 = 3

Tarkime, reikia rasti 64 kubo šaknį. Norėdami išspręsti šią lygtį, pakanka rasti skaičių, kurį pakėlus į trečią laipsnį, gautų 64.

• 4 3 =64
• 3 šaknis iš 64 = 4

Ištraukite skaičiaus šaknį skaičiuotuvu

Žinoma, kvadratines, kubas ir kitas šaknis geriausia išmokti praktikuojant, sprendžiant daugybę pavyzdžių ir įsimenant mažų skaičių kvadratų ir kubelių lenteles. Ateityje tai labai palengvins ir sumažins laiką, reikalingą lygtims išspręsti. Nors reikia pažymėti, kad kartais reikia išgauti tokio didelio skaičiaus šaknį, kurio neįmanoma rasti teisingas skaičius, kvadratu, kainuos daug puikus darbas, jei tik įmanoma. Įprastas skaičiuotuvas ateis į pagalbą išimant kvadratinę šaknį. Kaip išgauti šaknį skaičiuotuvu? Labai paprastai įveskite numerį, iš kurio norite rasti rezultatą. Dabar atidžiai pažvelkite į skaičiuoklės mygtukus. Netgi paprasčiausias iš jų turi raktą su šaknies piktograma. Paspaudę ant jo iš karto gausite galutinį rezultatą.

Ne kiekvienas skaičius gali būti išgautas visa šaknis, apsvarstykite šį pavyzdį:

1859 šaknis = 43,116122…

Vienu metu galite pabandyti išspręsti šį pavyzdį skaičiuotuvu. Kaip matote, gautas skaičius nėra sveikasis skaičius, be to, skaitmenų rinkinys po kablelio nėra baigtinis. Tikslesnį rezultatą gali duoti specialus inžineriniai skaičiuotuvai, tačiau visas rezultatas tiesiog netelpa įprastame ekrane. Ir jei tęsite anksčiau pradėtą ​​kvadratų seriją, joje nerasite skaičiaus 1859 būtent todėl, kad skaičius, kuris buvo pakeltas į kvadratą, nėra sveikasis skaičius.

Jei jums reikia išgauti trečiąją šaknį paprastu skaičiuotuvu, tuomet reikia du kartus spustelėti mygtuką su šaknies ženklu. Pavyzdžiui, paimkite aukščiau naudotą skaičių 1859 ir paimkite iš jo kubo šaknį:

3 šaknis iš 1859 = 6,5662867…

Tai yra, jei skaičius 6.5662867... pakeltas į trečią laipsnį, tai apytiksliai gauname 1859. Taigi iš skaičių išgauti šaknis nėra sunku, tereikia prisiminti aukščiau pateiktus algoritmus.

Sprendžiant įvairios užduotys Matematikos ir fizikos kursuose mokiniai ir studentai dažnai susiduria su būtinybe išgauti antrojo, trečiojo ar n-ojo laipsnio šaknis. Žinoma, šimtmetyje informacinės technologijosŠią problemą nebus sunku išspręsti naudojant skaičiuotuvą. Tačiau pasitaiko situacijų, kai neįmanoma naudotis elektroniniu asistentu.

Pavyzdžiui, daugelis egzaminų neleidžia atsinešti elektronikos. Be to, galite neturėti po ranka skaičiuotuvo. Tokiais atvejais pravartu žinoti bent kai kuriuos radikalų skaičiavimo metodus rankiniu būdu.

Vienas iš paprasčiausių šaknų skaičiavimo būdų yra naudojant specialią lentelę. Kas tai yra ir kaip teisingai jį naudoti?

Naudodami lentelę galite rasti bet kurio skaičiaus kvadratą nuo 10 iki 99. Lentelės eilutėse yra dešimčių reikšmės, o stulpeliuose - vienetų reikšmės. Ląstelėje, esančioje eilutės ir stulpelio sankirtoje, yra kvadratas dviženklis skaičius. Norint apskaičiuoti kvadratą 63, reikia rasti eilutę, kurios reikšmė yra 6, ir stulpelį, kurio reikšmė yra 3. Sankryžoje rasime langelį su skaičiumi 3969.

Kadangi šaknies ištraukimas yra atvirkštinė kvadrato operacija, norėdami atlikti šį veiksmą turite padaryti priešingai: pirmiausia suraskite langelį su skaičiumi, kurio radikalą norite apskaičiuoti, tada naudokite stulpelio ir eilutės reikšmes atsakymui nustatyti. . Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 169.

Lentelėje randame langelį su šiuo skaičiumi, horizontaliai nustatome dešimtis - 1, vertikaliai randame vienetus - 3. Atsakymas: √169 = 13.

Panašiai galite apskaičiuoti kubo ir n-ąsias šaknis naudodami atitinkamas lenteles.

Metodo pranašumas yra jo paprastumas ir papildomų skaičiavimų nebuvimas. Trūkumai yra akivaizdūs: metodas gali būti naudojamas tik ribotam skaičių diapazonui (skaičius, kurio šaknis randama, turi būti nuo 100 iki 9801). Be to, tai neveiks, jei duotas numeris ne lentelėje.

Pirminis faktorizavimas

Jei kvadratų lentelės nėra po ranka arba pasirodė, kad su jos pagalba neįmanoma rasti šaknies, galite pabandyti suskaidykite skaičių po šaknimi į pirminius veiksnius. Pirminiai veiksniai yra tie, kurie gali būti visiškai (be liekanos) dalijami tik iš savęs arba iš vieneto. Pavyzdžiai gali būti 2, 3, 5, 7, 11, 13 ir kt.

Pažvelkime į šaknies apskaičiavimą, kaip pavyzdį naudodami √576. Suskirstykime jį į pagrindinius veiksnius. Gauname tokį rezultatą: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Naudodamiesi pagrindine šaknų savybe √a² = a, atsikratysime šaknų ir kvadratų, o tada apskaičiuosime atsakymą: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Ką daryti, jei kuris nors iš daugiklių neturi savo poros? Pavyzdžiui, apsvarstykite √54 apskaičiavimą. Po faktorizavimo gauname rezultatą tokia forma: √54 = √(2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Nenuimamą dalį galima palikti po šaknimi. Daugumos geometrijos ir algebros uždavinių atveju tai bus laikoma galutiniu atsakymu. Bet jei reikia apskaičiuoti apytiksles vertes, galite naudoti metodus, kurie bus aptarti toliau.

Garnio metodas

Ką daryti, kai reikia bent apytiksliai žinoti, kam lygi išskirta šaknis (jei neįmanoma gauti sveikojo skaičiaus)? Greitas ir gana tikslus rezultatas gaunamas naudojant Heron metodą. Jo esmė yra naudoti apytikslę formulę:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

kur R yra skaičius, kurio šaknį reikia apskaičiuoti, a yra artimiausias skaičius, kurio šaknies reikšmė yra žinoma.

Pažiūrėkime, kaip metodas veikia praktiškai, ir įvertinkime jo tikslumą. Apskaičiuokime, kam lygus √111. Skaičius, artimiausias 111, kurio šaknis žinoma, yra 121. Taigi, R = 111, a = 121. Pakeiskite reikšmes į formulę:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Dabar patikrinkime metodo tikslumą:

10,55² = 111,3025.

Metodo paklaida buvo maždaug 0,3. Jei metodo tikslumą reikia pagerinti, galite pakartoti anksčiau aprašytus veiksmus:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Patikrinkime skaičiavimo tikslumą:

10,536² = 111,0073.

Pakartotinai pritaikius formulę, klaida tapo visiškai nereikšminga.

Šaknies apskaičiavimas ilguoju padalijimu

Šis kvadratinės šaknies vertės nustatymo metodas yra šiek tiek sudėtingesnis nei ankstesni. Tačiau jis yra tiksliausias tarp kitų skaičiavimo metodų be skaičiuotuvo.

Tarkime, kad reikia rasti kvadratinę šaknį 4 skaitmenų po kablelio tikslumu. Pažvelkime į skaičiavimo algoritmą naudodami pavyzdį bet koks skaičius 1308,1912.

1. Padalinkite popieriaus lapą į 2 dalis vertikalia linija, tada nubrėžkite kitą liniją iš jo į dešinę, šiek tiek žemiau viršutinio krašto. Parašykime skaičių kairėje pusėje, padalindami jį į grupes po 2 skaitmenis, judėdami į dešinę ir kairėje pusėje iš kablelio. Pats pirmasis skaitmuo kairėje gali būti be poros. Jei dešinėje skaičiaus pusėje trūksta ženklo, tuomet reikia pridėti 0. Mūsų atveju rezultatas bus 13 08.19 12.
2. Išsirinkime geriausią didelis skaičius, kurio kvadratas bus mažesnis arba lygus pirmajai skaitmenų grupei. Mūsų atveju tai yra 3. Parašykime viršuje dešinėje; 3 yra pirmasis rezultato skaitmuo. Dešinėje apačioje nurodome 3×3 = 9; to reikės tolesniems skaičiavimams. Iš 13 stulpelyje atimame 9, gauname 4 likutį.
3. Kitą skaičių porą priskirkime likusiai 4; gauname 408.
4. Viršuje dešinėje esantį skaičių padauginkite iš 2 ir užrašykite jį apačioje dešinėje, pridėdami prie jo _ x _ =. Gauname 6_ x _ =.
5. Vietoj brūkšnelių reikia pakeisti tą patį skaičių, mažesnį arba lygų 408. Gauname 66 × 6 = 396. Rašome 6 iš viršaus dešinėje, nes tai yra antrasis rezultato skaitmuo. Iš 408 atimkite 396 ir gausime 12.
6. Pakartokime 3–6 veiksmus. Kadangi žemyn perkelti skaitmenys yra trupmeninėje skaičiaus dalyje, būtina įdėti kablelis viršuje dešinėje po 6. Užrašykime dvigubą rezultatą su brūkšneliais: 72_ x _ =. Tinkamas skaičius būtų 1: 721×1 = 721. Užrašykime kaip atsakymą. Atimkime 1219 – 721 = 498.
7. Atlikime ankstesnėje pastraipoje nurodytą veiksmų seką dar tris kartus, kad gautume reikalingas kiekis po kablelio. Jei tolimesniems skaičiavimams nepakanka simbolių, prie esamo skaičiaus kairėje turite pridėti du nulius.

Dėl to gauname atsakymą: √1308.1912 ≈ 36.1689. Jei veiksmą patikrinsite naudodami skaičiuotuvą, galėsite įsitikinti, kad visi ženklai buvo nustatyti teisingai.

Bitinių kvadratinių šaknų skaičiavimas

Metodas yra labai tikslus. Be to, tai gana suprantama ir nereikalauja įsiminti formulių ar sudėtingas algoritmas veiksmų, nes metodo esmė yra pasirinkti tinkamą rezultatą.

Išskirkime skaičiaus 781 šaknį. Išsamiai pažvelkime į veiksmų seką.

1. Sužinokime, kuris kvadratinės šaknies reikšmės skaitmuo bus reikšmingiausias. Norėdami tai padaryti, padėkite kvadratu 0, 10, 100, 1000 ir tt ir išsiaiškinkite, kuris iš jų yra tarp radikalus skaičius. Mes gauname 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Pasirinkime dešimčių reikšmę. Norėdami tai padaryti, paeiliui didinsime laipsnius 10, 20, ..., 90, kol gausime skaičių, didesnį nei 781. Mūsų atveju gausime 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. rezultato n reikšmė bus 20 ribose< n <30.
3. Panašiai kaip ir ankstesniame žingsnyje, pasirenkama vienetų skaitmens reikšmė. Padėkime kvadratu 21,22, ..., 29 po vieną: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28. Gausime, kad 7824.< n < 28.
4. Kiekvienas paskesnis skaitmuo (dešimtosios, šimtosios ir kt.) apskaičiuojamas taip pat, kaip parodyta aukščiau. Skaičiavimai atliekami tol, kol pasiekiamas reikiamas tikslumas.

Gana dažnai spręsdami problemas susiduriame su dideliais skaičiais, iš kurių reikia išgauti kvadratinė šaknis. Daugelis studentų nusprendžia, kad tai klaida, ir pradeda iš naujo spręsti visą pavyzdį. Jokiu būdu neturėtumėte to daryti! Tam yra dvi priežastys:

1. Problemose atsiranda didelių skaičių šaknys. Ypač tekstiniuose;
2. Yra algoritmas, pagal kurį šios šaknys apskaičiuojamos beveik žodžiu.

Šiandien mes apsvarstysime šį algoritmą. Galbūt kai kurie dalykai jums atrodys nesuprantami. Bet jei atkreipsite dėmesį į šią pamoką, gausite galingą ginklą prieš kvadratinės šaknys.

Taigi, algoritmas:

1. Apribokite reikiamą šaknį aukščiau ir žemiau iki skaičių, kurie yra 10 kartotiniai. Taigi paieškos diapazoną sumažinsime iki 10 skaičių;
2. Iš šių 10 skaičių išrinkite tuos, kurie tikrai negali būti šaknys. Dėl to liks 1-2 skaičiai;
3. Padėkite šiuos 1–2 skaičius kvadratu. Tas, kurio kvadratas lygus pradiniam skaičiui, bus šaknis.

Prieš taikydami šį algoritmą praktiškai, pažvelkime į kiekvieną atskirą žingsnį.

Šaknies apribojimas

Visų pirma, turime išsiaiškinti, tarp kurių skaičių yra mūsų šaknis. Labai pageidautina, kad skaičiai būtų dešimties kartotiniai:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Gauname skaičių seką:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ką mums sako šie skaičiai? Tai paprasta: mes nustatome ribas. Paimkime, pavyzdžiui, skaičių 1296. Jis yra tarp 900 ir 1600. Todėl jo šaknis negali būti mažesnė nei 30 ir didesnė nei 40:

[Paveikslo antraštė]

Tas pats pasakytina apie bet kurį kitą skaičių, iš kurio galite rasti kvadratinę šaknį. Pavyzdžiui, 3364:

Taigi vietoj nesuprantamo skaičiaus gauname labai konkretų diapazoną, kuriame yra pradinė šaknis. Norėdami dar labiau susiaurinti paieškos sritį, pereikite prie antrojo veiksmo.

Akivaizdžiai nereikalingų skaičių pašalinimas

Taigi, turime 10 skaičių – kandidatų į šaknį. Mes juos gavome labai greitai, be kompleksinio mąstymo ir daugybos stulpelyje. Atėjo laikas judėti toliau.

Tikėkite ar ne, dabar kandidatų skaičių sumažinsime iki dviejų – vėlgi be jokių sudėtingų skaičiavimų! Pakanka žinoti specialią taisyklę. Štai jis:

Paskutinis kvadrato skaitmuo priklauso tik nuo paskutinio skaitmens originalus numeris.

Kitaip tariant, tiesiog pažiūrėkite į paskutinį kvadrato skaitmenį ir mes iš karto suprasime, kur baigiasi pradinis skaičius.

Yra tik 10 skaitmenų, kurie gali būti paskutinėje vietoje. Pabandykime išsiaiškinti, kuo jie virsta kvadratu. Pažvelkite į lentelę:

Ši lentelė yra dar vienas žingsnis apskaičiuojant šaknį. Kaip matote, antroje eilutėje esantys skaičiai pasirodė simetriški penkių atžvilgiu. Pavyzdžiui:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kaip matote, paskutinis skaitmuo abiem atvejais yra vienodas. Tai reiškia, kad, pavyzdžiui, 3364 šaknis būtinai baigiasi 2 arba 8. Kita vertus, prisimename ankstesnės pastraipos apribojimą. Mes gauname:

Raudoni kvadratai rodo, kad mes dar nežinome šio skaičiaus. Tačiau šaknis yra diapazone nuo 50 iki 60, kuriame yra tik du skaičiai, kurie baigiasi 2 ir 8:

tai viskas! Iš visų galimų šaknų palikome tik dvi galimybes! Ir tai yra sunkiausiu atveju, nes paskutinis skaitmuo gali būti 5 arba 0. Ir tada bus tik vienas kandidatas į šaknis!

Galutiniai skaičiavimai

Taigi, mums liko 2 kandidatų numeriai. Kaip žinoti, kuris iš jų yra šaknis? Atsakymas akivaizdus: abu skaičius kvadratu. Tas, kuris kvadratu pateikia pradinį skaičių, bus šaknis.

Pavyzdžiui, skaičiui 3364 radome du kandidatų skaičius: 52 ir 58. Padėkime juos kvadratu:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

tai viskas! Paaiškėjo, kad šaknis yra 58! Tuo pačiu, kad supaprastinčiau skaičiavimus, panaudojau sumos ir skirtumo kvadratų formulę. Dėl to man net nereikėjo dauginti skaičių į stulpelį! Tai dar vienas skaičiavimo optimizavimo lygis, bet, žinoma, visiškai neprivalomas :)

Šaknų skaičiavimo pavyzdžiai

Teorija, žinoma, gera. Bet patikrinkime tai praktiškai.

[Paveikslo antraštė]

Pirmiausia išsiaiškinkime, tarp kurių skaičių yra skaičius 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Dabar pažiūrėkime į paskutinį skaičių. Jis lygus 6. Kada tai atsitinka? Tik jei šaknis baigiasi 4 arba 6. Gauname du skaičius:

Belieka kiekvieną skaičių pakelti kvadratu ir palyginti su originalu:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Puiku! Pirmasis kvadratas pasirodė lygus pradiniam skaičiui. Taigi tai yra šaknis.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaitmenį:

1369 → 9;
33; 37.

Kvadratu:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Štai atsakymas: 37.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

Apribojame skaičių:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaitmenį:

2704 → 4;
52; 58.

Kvadratu:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Gavome atsakymą: 52. Antro skaičiaus kvadratuoti nebereikės.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

Apribojame skaičių:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaitmenį:

4225 → 5;
65.

Kaip matote, po antro žingsnio lieka tik viena parinktis: 65. Tai norima šaknis. Bet vis tiek išlyginkime ir patikrinkime:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Viskas teisinga. Užrašome atsakymą.

Išvada

Deja, ne geriau. Pažvelkime į priežastis. Yra du iš jų:

• Per bet kokį įprastą matematikos egzaminą, nesvarbu, ar tai būtų valstybinis, ar vieningas valstybinis egzaminas, skaičiuotuvus naudoti draudžiama. O jei į pamoką atsinešite skaičiuotuvą, galite būti lengvai išmesti iš egzamino.
• Nebūk kaip kvaili amerikiečiai. Kurie nėra kaip šaknys – negali pridėti dviejų pirminių skaičių. Ir kai jie mato trupmenas, jie paprastai tampa isteriški.

Kaip išgauti šaknį nuo numerio. Šiame straipsnyje sužinosime, kaip paimti keturių ir penkių skaitmenų skaičių kvadratinę šaknį.

Kaip pavyzdį paimkime 1936 m. kvadratinę šaknį.

Vadinasi, .

Paskutinis skaitmuo skaičiuje 1936 yra skaičius 6. Skaičiaus 4 ir skaičiaus 6 kvadratas baigiasi 6. Todėl 1936 gali būti skaičiaus 44 arba skaičiaus 46 kvadratas. Belieka patikrinti naudojant daugybą.

Reiškia,

Paimkime kvadratinę šaknį iš skaičiaus 15129.

Vadinasi, .

Paskutinis skaičiaus 15129 skaitmuo yra skaičius 9. Skaičiaus 3 ir skaičiaus 7 kvadratas baigiasi 9. Todėl 15129 gali būti skaičiaus 123 arba skaičiaus 127 kvadratas. Patikrinkime daugybos būdu.

Reiškia,

Kaip išgauti šaknį - vaizdo įrašas

O dabar siūlau pažiūrėti Anos Denisovos vaizdo įrašą - „Kaip išgauti šaknį ", svetainės autorius" Paprasta fizika“, kuriame ji paaiškina, kaip rasti kvadratines ir kubo šaknis be skaičiuoklės.

Vaizdo įraše aptariami keli šaknų ištraukimo būdai:

1. Lengviausias būdas išgauti kvadratinę šaknį.

2. Pasirinkus naudojant sumos kvadratą.

3. Babilonijos metodas.

4. Stulpelio kvadratinės šaknies ištraukimo būdas.

5. Greitas būdas išgauti kubo šaknį.

6. Kubo šaknies išgavimo kolonoje būdas.