Stačiakampė koordinačių sistema
Norėdami apibrėžti taškų koordinačių sąvoką, turime įvesti koordinačių sistemą, kurioje nustatysime jos koordinates. Tas pats taškas skirtingos sistemos koordinatės gali turėti skirtingas koordinates. Čia mes apsvarstysime stačiakampę koordinačių sistemą erdvėje.
Paimkime tašką $O$ erdvėje ir įveskime jam koordinates $(0,0,0)$. Pavadinkime tai koordinačių sistemos pradžia. Per ją nubrėžkime tris viena kitai statmenas ašis $Ox$, $Oy$ ir $Oz$, kaip parodyta 1 paveiksle. Šios ašys bus atitinkamai vadinamos abscisėmis, ordinatinėmis ir taikomosiomis ašimis. Belieka įvesti mastelį ant ašių (vieneto segmentas) - stačiakampė koordinačių sistema erdvėje yra paruošta (1 pav.)
1 pav. Stačiakampė koordinačių sistema erdvėje. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais
Taško koordinatės
Dabar pažiūrėkime, kaip tokioje sistemoje nustatomos bet kurio taško koordinatės. Paimkime savavališkas taškas$M$ (2 pav.).
Kurkime toliau koordinačių ašys stačiakampis gretasienis, kad taškai $O$ ir $M$ būtų priešais jo viršūnes (3 pav.).
3 pav. Konstrukcija stačiakampis gretasienis. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais
Tada taškas $M$ turės $(X,Y,Z)$ koordinates, kur $X$ yra reikšmė skaičių ašis$Ox$, $Y$ yra reikšmė skaičių eilutėje $Oy$, o $Z$ yra reikšmė skaičių eilutėje $Oz$.
1 pavyzdys
Reikia rasti tokio uždavinio sprendimą: užrašyti 4 paveiksle pavaizduoto gretasienio viršūnių koordinates.
Sprendimas.
Taškas $O$ yra koordinačių pradžia, todėl $O=(0,0,0)$.
Taškai $Q$, $N$ ir $R$ yra atitinkamai ant ašių $Ox$, $Oz$ ir $Oy$, o tai reiškia
$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1,5)$, $R=(0,2,5,0)$
Taškai $S$, $L$ ir $M$ yra atitinkamai $Oxz$, $Oxy$ ir $Oyz$ plokštumose, o tai reiškia
$S=(2,0,1,5)$, $L=(2,2,5,0)$, $R=(0,2,5,1,5)$
Taškas $P$ turi koordinates $P=(2,2.5,1.5)$
Vektorinės koordinatės dviejuose taškuose ir radimo formulė
Norėdami sužinoti, kaip rasti vektorių iš dviejų taškų koordinačių, turite atsižvelgti į koordinačių sistemą, kurią pristatėme anksčiau. Jame nuo taško $O$ $Ox$ ašies kryptimi nubraižome vieneto vektorių $\overline(i)$, $Oy$ ašies kryptimi - vieneto vektorių $\overline(j) $, o vieneto vektorius $\overline(k) $ turi būti nukreiptas išilgai $Oz$ ašies.
Siekdami pristatyti vektorių koordinačių sąvoką, pateikiame tokią teoremą (jos įrodymo čia nenagrinėsime).
1 teorema
Savavališkas vektorius erdvėje gali būti išplėstas į bet kokius tris vektorius, kurie nėra toje pačioje plokštumoje, o tokio plėtimosi koeficientai bus nustatyti vienareikšmiškai.
Matematiškai tai atrodo taip:
$\overline(δ)=m\overline(α)+n\overline(β)+l\overline(γ)$
Kadangi vektoriai $\overline(i)$, $\overline(j)$ ir $\overline(k)$ yra sukurti ant koordinačių ašių stačiakampė sistema koordinates, tada jos akivaizdžiai nepriklausys tai pačiai plokštumai. Tai reiškia, kad bet kuris vektorius $\overline(δ)$ šioje koordinačių sistemoje pagal 1 teoremą gali turėti tokią formą
$\overline(δ)=m\overline(i)+n\overline(j)+l\overline(k)$ (1)
kur $n,m,l∈R$.
1 apibrėžimas
Trys vektoriai $\overline(i)$, $\overline(j)$ ir $\overline(k)$ bus vadinami koordinačių vektoriais.
2 apibrėžimas
Koeficientai prieš vektorius $\overline(i)$, $\overline(j)$ ir $\overline(k)$ plėtinyje (1) bus vadinami šio vektoriaus koordinatėmis mūsų pateiktoje koordinačių sistemoje. , tai yra
$\overline(δ)=(m,n,l)$
Tiesinės operacijos vektoriais
2 teorema
Sumos teorema: bet kokio skaičiaus vektorių sumos koordinatės nustatomos pagal juos atitinkančių koordinačių sumą.
Įrodymas.
Įrodysime šią teoremą 2 vektoriams. 3 ar daugiau vektorių įrodymas konstruojamas panašiai. Tegul $\overline(α)=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline(β)=(β_1,β_2 ,β_3)$.
Šiuos vektorius galima užrašyti taip
$\overline(α)=α_1\overline(i)+ α_2\overline(j)+α_3\overline(k)$, $\overline(β)=β_1\overline(i)+ β_2\overline(j)+ β_3\overline(k)$
Abscisė ir ordinačių ašis vadinamos koordinates vektorius. Paprastai formoje nurodomos vektorinės koordinatės (x, y), o pats vektorius: =(x, y).
Dvimačių uždavinių vektorinių koordinačių nustatymo formulė.
Dvimatės problemos atveju vektorius su žinoma taškų koordinates A(x 1;y 1) Ir B(x 2 ; y 2 ) galima apskaičiuoti:
= (x 2 – x 1; y 2 - y 1).
Erdvinių problemų vektorinių koordinačių nustatymo formulė.
Tuo atveju erdvinė problema vektorius su garsiuoju taškų koordinates A (x 1;y 1;z 1 ) ir B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) galima apskaičiuoti pagal formulę:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Pateikiamos koordinatės išsamus aprašymas vektorius, nes naudojant koordinates galima sukonstruoti patį vektorių. Žinant koordinates nesunku apskaičiuoti ir vektoriaus ilgis. (3 nuosavybė žemiau).
Vektorių koordinačių savybės.
1. Bet koks lygūs vektoriai turi vienoje koordinačių sistemoje vienodos koordinatės.
2. Koordinatės kolineariniai vektoriai proporcingas. Su sąlyga, kad nė vienas iš vektorių nėra lygus nuliui.
3. Bet kurio vektoriaus ilgio kvadratas lygi sumai kvadratu koordinates.
4.Operacijos metu vektoriaus daugybaįjungta realus skaičius kiekviena jo koordinatė padauginama iš šio skaičiaus.
5. Sudėdami vektorius apskaičiuojame atitinkamų sumą vektoriaus koordinates.
6. Taškinis produktas du vektoriai yra lygūs juos atitinkančių koordinačių sandaugų sumai.
Stačiakampė koordinačių sistema
Norėdami apibrėžti taškų koordinačių sąvoką, turime įvesti koordinačių sistemą, kurioje nustatysime jos koordinates. Tas pats taškas skirtingose koordinačių sistemose gali turėti skirtingas koordinates. Čia mes apsvarstysime stačiakampę koordinačių sistemą erdvėje.
Paimkime tašką $O$ erdvėje ir įveskime jam koordinates $(0,0,0)$. Pavadinkime tai koordinačių sistemos pradžia. Per ją nubrėžkime tris viena kitai statmenas ašis $Ox$, $Oy$ ir $Oz$, kaip parodyta 1 paveiksle. Šios ašys bus atitinkamai vadinamos abscisėmis, ordinatinėmis ir taikomosiomis ašimis. Belieka įvesti mastelį ant ašių (vieneto segmentas) - stačiakampė koordinačių sistema erdvėje yra paruošta (1 pav.)
1 pav. Stačiakampė koordinačių sistema erdvėje. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais
Taško koordinatės
Dabar pažiūrėkime, kaip tokioje sistemoje nustatomos bet kurio taško koordinatės. Paimkime savavališką tašką $M$ (2 pav.).
Koordinačių ašyse pastatykime stačiakampį gretasienį taip, kad taškai $O$ ir $M$ būtų priešais jo viršūnes (3 pav.).
3 pav. Stačiakampio gretasienio konstrukcija. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais
Tada taškas $M$ turės $(X,Y,Z)$ koordinates, kur $X$ yra skaičių ašies $Ox$ vertė, $Y$ yra skaičių ašies $Oy$ vertė ir $Z $ yra reikšmė skaičių ašyje $Oz$.
1 pavyzdys
Reikia rasti tokio uždavinio sprendimą: užrašyti 4 paveiksle pavaizduoto gretasienio viršūnių koordinates.
Sprendimas.
Taškas $O$ yra koordinačių pradžia, todėl $O=(0,0,0)$.
Taškai $Q$, $N$ ir $R$ yra atitinkamai ant ašių $Ox$, $Oz$ ir $Oy$, o tai reiškia
$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1,5)$, $R=(0,2,5,0)$
Taškai $S$, $L$ ir $M$ yra atitinkamai $Oxz$, $Oxy$ ir $Oyz$ plokštumose, o tai reiškia
$S=(2,0,1,5)$, $L=(2,2,5,0)$, $R=(0,2,5,1,5)$
Taškas $P$ turi koordinates $P=(2,2.5,1.5)$
Vektorinės koordinatės dviejuose taškuose ir radimo formulė
Norėdami sužinoti, kaip rasti vektorių iš dviejų taškų koordinačių, turite atsižvelgti į koordinačių sistemą, kurią pristatėme anksčiau. Jame nuo taško $O$ $Ox$ ašies kryptimi nubraižome vieneto vektorių $\overline(i)$, $Oy$ ašies kryptimi - vieneto vektorių $\overline(j) $, o vieneto vektorius $\overline(k) $ turi būti nukreiptas išilgai $Oz$ ašies.
Siekdami pristatyti vektorių koordinačių sąvoką, pateikiame tokią teoremą (jos įrodymo čia nenagrinėsime).
1 teorema
Savavališkas vektorius erdvėje gali būti išplėstas į bet kokius tris vektorius, kurie nėra toje pačioje plokštumoje, o tokio plėtimosi koeficientai bus nustatyti vienareikšmiškai.
Matematiškai tai atrodo taip:
$\overline(δ)=m\overline(α)+n\overline(β)+l\overline(γ)$
Kadangi vektoriai $\overline(i)$, $\overline(j)$ ir $\overline(k)$ yra sukonstruoti ant stačiakampės koordinačių sistemos koordinačių ašių, akivaizdu, kad jie nepriklausys tai pačiai plokštumai. Tai reiškia, kad bet kuris vektorius $\overline(δ)$ šioje koordinačių sistemoje pagal 1 teoremą gali turėti tokią formą
$\overline(δ)=m\overline(i)+n\overline(j)+l\overline(k)$ (1)
kur $n,m,l∈R$.
1 apibrėžimas
Trys vektoriai $\overline(i)$, $\overline(j)$ ir $\overline(k)$ bus vadinami koordinačių vektoriais.
2 apibrėžimas
Koeficientai prieš vektorius $\overline(i)$, $\overline(j)$ ir $\overline(k)$ plėtinyje (1) bus vadinami šio vektoriaus koordinatėmis mūsų pateiktoje koordinačių sistemoje. , tai yra
$\overline(δ)=(m,n,l)$
Tiesinės operacijos vektoriais
2 teorema
Sumos teorema: bet kokio skaičiaus vektorių sumos koordinatės nustatomos pagal juos atitinkančių koordinačių sumą.
Įrodymas.
Įrodysime šią teoremą 2 vektoriams. 3 ar daugiau vektorių įrodymas konstruojamas panašiai. Tegul $\overline(α)=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline(β)=(β_1,β_2 ,β_3)$.
Šiuos vektorius galima užrašyti taip
$\overline(α)=α_1\overline(i)+ α_2\overline(j)+α_3\overline(k)$, $\overline(β)=β_1\overline(i)+ β_2\overline(j)+ β_3\overline(k)$
Atidėkime tai nuo kilmės vienetiniai vektoriai, tai yra vektoriai, kurių ilgiai lygūs vienetui. Vektoriaus i → kryptis turi sutapti su O x ašimi, o vektoriaus j → kryptis su O y ašimi.
Yandex.RTB R-A-339285-1 1 apibrėžimas
Vektoriai i → ir j → vadinami koordinačių vektoriai.
Koordinačių vektoriai yra nekolineariniai. Todėl bet kurį vektorių p → galima išplėsti į vektorius p → = x i → + y j → . Koeficientai x ir y nustatomi unikaliu būdu. Vektoriaus p → plėtimosi koeficientai koordinačių vektoriai vadinamos vektoriaus p → koordinatėmis duotoje koordinačių sistemoje.
Įrašomos vektorinės koordinatės garbanoti petnešos p → x ; y. Paveiksle vektorius O A → turi koordinates 2; 1, o vektorius b → turi koordinates 3; – 2. Nulinis vektorius pavaizduotas kaip 0 → 0; 0 .
Jei vektoriai a → ir b → yra lygūs, tai y 1 = y 2. Parašykime taip: a → = x 1 i → + y 1 j → = b → = x 2 i → + y 2 j →, vadinasi, x 1 = x 2, y 1 = y 2.
Taigi koordinatės lygūs vektoriai atitinkamai lygus.
Jei koordinačių taškas nesutampa su jo koordinačių sistemos pradžia, apsvarstykite problemą. Įleisti Dekarto sistema koordinatės ant O x y pateiktos pradžios ir pabaigos taškų A B → koordinatės: A x a, y a, B x b, y b. Raskite nurodyto vektoriaus koordinates.
Pavaizduokime koordinačių ašį.
Iš vektorių sudėjimo formulės gauname O A → + A B → = O B → , kur O yra pradžia. Iš to seka, kad A B → = O B → - O A → .
O A → ir O B → yra duotųjų taškų A ir B spindulių vektoriai, o tai reiškia, kad taškų koordinatės turi O A → = x a , y a , O B → = x b , y b reikšmes.
Naudodami vektorių operacijų taisyklę randame A B → = O B → - O A → = x b - x a, y b - y a.
Buvimas trimatėje erdvėje vadovaujasi tuo pačiu principu, tik trimatiams taškams.
Norint rasti vektoriaus koordinates, reikia rasti skirtumą tarp jo pabaigos ir pradžios taškų.
1 pavyzdys
Raskite taškų A (2, - 3), B (- 4, - 1) koordinates O A → ir A B →.
Sprendimas
Pirmiausia nustatomas taško A spindulio vektorius. O A → = (2 , - 3) . Norint rasti A B →, reikia atimti pradžios taškų koordinačių reikšmę iš galinių taškų koordinačių.
Gauname: A B → = (- 4 - 2, - 1 - (- 3)) = (- 6, 2) .
Atsakymas: O A → = (2 , - 3) , A B → = (- 6 , - 2) .
2 pavyzdys
Nustatyti trimatė erdvė su tašku A = (3 , 5 , 7) , A B → = (2 , 0 , - 2) . Raskite pabaigos A B → koordinates.
Sprendimas
Pakeiskite taško A koordinates: A B → = (x b - 3, y b - 5, z b - 7) .
Pagal sąlygą žinoma, kad A B → = (2, 0, - 2).
Yra žinoma, kad vektorių lygybė yra teisinga, kai koordinatės yra atitinkamai lygios. Sukurkime lygčių sistemą: x b - 3 = 2 y b - 5 = 0 z b - 7 = - 2
Iš to seka, kad taško B A B → koordinatės yra lygios: x b = 5 y b = 5 z b = 5
Atsakymas: B (5, 5, 5) .
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Norint naudoti koordinačių metodą, reikia gerai žinoti formules. Jų yra trys:
Iš pirmo žvilgsnio atrodo grėsmingai, tačiau tik šiek tiek pasipraktikavus viskas pavyks puikiai.
Užduotis. Raskite kampo tarp vektorių a = (4; 3; 0) ir b = (0; 12; 5) kosinusą.
Sprendimas. Kadangi vektorių koordinatės mums pateiktos, jas pakeičiame į pirmąją formulę:
Užduotis. Parašykite lygtį plokštumai, kertančiai taškus M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) ir K = (2; 1; 0), jei žinoma, kad ji nekerta kilmė.
Sprendimas. Bendroji lygtis plokštuma: Ax + By + Cz + D = 0, bet kadangi norima plokštuma neeina per koordinačių pradžią - tašką (0; 0; 0) - tada įdedame D = 1. Kadangi ši plokštuma eina per taškus M, N ir K, tada šių taškų koordinatės turėtų paversti lygtį teisinga skaitine lygybe.
Pakeiskime taško M = (2; 0; 1) koordinates vietoj x, y ir z. Turime:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;
Panašiai taškams N = (0; 1; 1) ir K = (2; 1; 0) gauname tokias lygtis:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;
Taigi turime tris lygtis ir tris nežinomuosius. Sukurkime ir išspręskime lygčių sistemą:
Mes nustatėme, kad plokštumos lygtis yra tokia: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.
Užduotis. Plokštuma pateikiama lygtimi 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Raskite šiai plokštumai statmeno vektoriaus koordinates.
Sprendimas. Naudodami trečiąją formulę gauname n = (7; − 2; 4) – viskas!
Vektoriaus koordinačių skaičiavimas
Bet ką daryti, jei užduotyje nėra vektorių - yra tik taškai, esantys tiesiose linijose, ir jums reikia apskaičiuoti kampą tarp šių tiesių? Tai paprasta: žinodami taškų koordinates – vektoriaus pradžią ir pabaigą – galite apskaičiuoti paties vektoriaus koordinates.
Norėdami rasti vektoriaus koordinates, turite atimti pradžios koordinates iš jo pabaigos koordinačių.
Ši teorema vienodai gerai veikia tiek plokštumoje, tiek erdvėje. Posakis „atimti koordinates“ reiškia, kad iš vieno taško x koordinatės atimama kito taško x koordinatė, tada tą patį reikia padaryti su y ir z koordinatėmis. Štai keletas pavyzdžių:
Užduotis. Erdvėje yra trys taškai, apibrėžti jų koordinatėmis: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) ir C = (− 4; 3; − 2). Raskite vektorių AB, AC ir BC koordinates.
Apsvarstykite vektorių AB: jo pradžia yra taške A, o pabaiga taške B. Todėl norėdami rasti jo koordinates, turime atimti taško A koordinates iš taško B koordinačių:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).
Panašiai vektoriaus AC pradžia yra tas pats taškas A, o pabaiga yra taškas C. Todėl turime:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).
Galiausiai, norint rasti vektoriaus BC koordinates, reikia atimti taško B koordinates iš taško C koordinačių:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).
Atsakymas: AB = (2; − 7; 4); AC = (- 5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)
Atkreipkite dėmesį į paskutinio vektoriaus BC koordinačių skaičiavimą: daugelis žmonių klysta dirbdami neigiamus skaičius. Tai liečia kintamąjį y: taško B koordinatė y = − 1, o taško C koordinatė y = 3. Gauname tiksliai 3 − (− 1) = 4, o ne 3 − 1, kaip daugelis galvoja. Nedaryk tokių kvailų klaidų!
Tiesių linijų krypties vektorių skaičiavimas
Jei atidžiai perskaitysite užduotį C2, nustebsite pamatę, kad ten nėra vektorių. Yra tik tiesios linijos ir plokštumos.
Pirmiausia pažvelkime į tiesias linijas. Čia viskas paprasta: bet kurioje tiesioje linijoje yra bent du skirtingi taškai ir, atvirkščiai, bet kurie du skirtingi taškai apibrėžia unikalią tiesią liniją...
Ar kas nors suprato, kas parašyta ankstesnėje pastraipoje? Aš pats to nesupratau, todėl paaiškinsiu paprasčiau: uždavinyje C2 tiesės visada apibrėžiamos taškų pora. Jei įvesime koordinačių sistemą ir atsižvelgsime į vektorių su pradžia ir pabaiga šiuose taškuose, gausime vadinamąjį linijos krypties vektorių:
Kodėl reikalingas šis vektorius? Faktas yra tas, kad kampas tarp dviejų tiesių yra kampas tarp jų krypties vektorių. Taigi nuo nesuprantamų tiesių pereiname prie konkrečių vektorių, kurių koordinates nesunku apskaičiuoti. Kaip tai lengva? Pažvelkite į pavyzdžius:
Užduotis. Kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nubrėžtos linijos AC ir BD 1. Raskite šių linijų krypties vektorių koordinates.
Kadangi kubo briaunų ilgis sąlygoje nenurodytas, nustatome AB = 1. Įvedame koordinačių sistemą, kurios pradžia yra taške A ir x, y, z ašys nukreiptos išilgai tiesių AB, AD ir AA 1, atitinkamai. Vieneto segmentas yra lygus AB = 1.
Dabar suraskime tiesės AC krypties vektoriaus koordinates. Mums reikia dviejų taškų: A = (0; 0; 0) ir C = (1; 1; 0). Iš čia gauname vektoriaus AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) koordinates – tai krypties vektorius.
Dabar pažvelkime į tiesią liniją BD 1. Jis taip pat turi du taškus: B = (1; 0; 0) ir D 1 = (0; 1; 1). Gauname krypties vektorių BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).
Atsakymas: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)
Užduotis. Dešinėje trikampė prizmė ABCA 1 B 1 C 1, kurių visos briaunos lygios 1, nubrėžtos tiesės AB 1 ir AC 1. Raskite šių linijų krypties vektorių koordinates.
Įveskime koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, x ašis sutampa su AB, z ašis sutampa su AA 1, y ašis sudaro OXY plokštumą su x ašimi, kuri sutampa su ABC plokštuma.
Pirmiausia pažvelkime į tiesę AB 1. Čia viskas paprasta: turime taškus A = (0; 0; 0) ir B 1 = (1; 0; 1). Gauname krypties vektorių AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).
Dabar suraskime AC 1 krypties vektorių. Viskas yra tas pats – skirtumas tik tas, kad taškas C 1 turi neracionalias koordinates. Taigi A = (0; 0; 0), taigi turime:
Atsakymas: AB 1 = (1; 0; 1);
Mažas, bet labai svarbi pastaba apie paskutinis pavyzdys. Jei vektoriaus pradžia sutampa su koordinačių pradžia, skaičiavimai labai supaprastinami: vektoriaus koordinatės tiesiog lygios pabaigos koordinatėms. Deja, tai galioja tik vektoriams. Pavyzdžiui, dirbant su plokštumomis, koordinačių pradžios buvimas jose tik apsunkina skaičiavimus.
Plokštumų normaliųjų vektorių skaičiavimas
Normalūs vektoriai nėra tie vektoriai, kurie yra gerai arba jaučiasi gerai. Pagal apibrėžimą normalus vektorius (normalus) plokštumai yra vektorius, statmenas duotai plokštumai.
Kitaip tariant, normalus yra vektorius, statmenas bet kuriam vektoriui tam tikroje plokštumoje. Jūs tikriausiai susidūrėte su šiuo apibrėžimu – tačiau vietoj vektorių kalbėjome apie tiesias linijas. Tačiau tiesiai aukščiau buvo parodyta, kad C2 uždavinyje galite dirbti su bet kokiu patogiu objektu - ar tai būtų tiesi linija, ar vektorius.
Dar kartą priminsiu, kad kiekviena plokštuma erdvėje apibrėžiama lygtimi Ax + By + Cz + D = 0, kur A, B, C ir D yra kai kurie koeficientai. Neprarasdami sprendinio bendrumo, galime daryti prielaidą, kad D = 1, jei plokštuma nekerta pradžios taško, arba D = 0, jei ji eina. Bet kuriuo atveju normalaus vektoriaus koordinatės šiai plokštumai yra n = (A; B; C).
Taigi, plokštumą taip pat galima sėkmingai pakeisti vektoriumi – tuo pačiu normaliu. Kiekviena plokštuma erdvėje apibrėžta trimis taškais. Kaip rasti plokštumos lygtį (taigi ir normaliąją), jau aptarėme pačioje straipsnio pradžioje. Tačiau šis procesas daugeliui sukelia problemų, todėl pateiksiu dar keletą pavyzdžių:
Užduotis. Kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nubrėžta atkarpa A 1 BC 1. Raskite šios atkarpos plokštumos normalųjį vektorių, jei koordinačių pradžia yra taške A, o x, y ir z ašys sutampa atitinkamai su kraštinėmis AB, AD ir AA 1.
Kadangi plokštuma neperžengia pradžios taško, jos lygtis atrodo taip: Ax + By + Cz + 1 = 0, t.y. koeficientas D = 1. Kadangi ši plokštuma eina per taškus A 1, B ir C 1, šių taškų koordinatės plokštumos lygtį paverčia teisinga skaitine lygybe.
A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;
Panašiai taškams B = (1; 0; 0) ir C 1 = (1; 1; 1) gauname tokias lygtis:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;
Bet mes jau žinome koeficientus A = − 1 ir C = − 1, todėl belieka rasti koeficientą B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.
Gauname plokštumos lygtį: − A + B − C + 1 = 0. Todėl normaliojo vektoriaus koordinatės lygios n = (− 1; 1; − 1).
Užduotis. Kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 yra atkarpa AA 1 C 1 C. Raskite normalųjį vektorių šios atkarpos plokštumai, jei koordinačių pradžia yra taške A, o x, y ir z ašys sutampa su briaunos atitinkamai AB, AD ir AA 1.
IN šiuo atveju plokštuma eina per pradžią, todėl koeficientas D = 0, o plokštumos lygtis atrodo taip: Ax + By + Cz = 0. Kadangi plokštuma eina per taškus A 1 ir C, šių taškų koordinatės sudaro plokštumos lygtis teisinga skaitinė lygybė.
Pakeiskime taško A koordinates 1 = (0; 0; 1), o ne x, y ir z. Turime:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;
Panašiai taškui C = (1; 1; 0) gauname lygtį:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;
Nustatykime B = 1. Tada A = − B = − 1, o visos plokštumos lygtis yra tokia: − A + B = 0. Todėl normaliojo vektoriaus koordinatės lygios n = (− 1 1; 0).
Paprastai tariant, aukščiau pateiktuose uždaviniuose reikia sukurti lygčių sistemą ir ją išspręsti. Gausite tris lygtis ir tris kintamuosius, tačiau antruoju atveju vienas iš jų bus laisvas, t.y. imti savavališkas vertes. Štai kodėl mes turime teisę nustatyti B = 1 – nepažeidžiant sprendimo bendrumo ir atsakymo teisingumo.
Labai dažnai užduotyje C2 reikia dirbti su taškais, kurie dalija atkarpą. Tokių taškų koordinatės nesunkiai apskaičiuojamos, jei žinomos atkarpos galų koordinatės.
Taigi, atkarpą apibrėžkime jos galais – taškais A = (x a; y a; z a) ir B = (x b; y b; z b). Tada atkarpos vidurio koordinates – pažymėkime tai tašku H – galima rasti naudojant formulę:
Kitaip tariant, atkarpos vidurio koordinatės yra jos galų koordinačių aritmetinis vidurkis.
Užduotis. Vienetinis kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 dedamas į koordinačių sistemą taip, kad x, y ir z ašys būtų nukreiptos atitinkamai išilgai briaunų AB, AD ir AA 1, o pradžia sutampa su tašku A. Taškas K yra briaunos vidurys A 1 B 1. Raskite šio taško koordinates.
Kadangi taškas K yra atkarpos A 1 B 1 vidurys, tai jo koordinatės lygios galų koordinačių aritmetiniam vidurkiui. Užrašykime galų koordinates: A 1 = (0; 0; 1) ir B 1 = (1; 0; 1). Dabar suraskime taško K koordinates:
Užduotis. Vieneto kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 dedamas į koordinačių sistemą taip, kad x, y ir z ašys būtų nukreiptos atitinkamai išilgai kraštinių AB, AD ir AA 1, o pradžia sutampa su tašku A. Raskite taško L, kuriame jie kerta kvadrato A 1 B 1 C 1 D 1 įstrižaines, koordinates.
Iš planimetrijos kurso žinome, kad kvadrato įstrižainių susikirtimo taškas yra vienodu atstumu nuo visų jo viršūnių. Visų pirma, A 1 L = C 1 L, t.y. taškas L yra atkarpos A 1 C 1 vidurys. Bet A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), taigi turime:
Atsakymas: L = (0,5; 0,5; 1)
