Kaip išspręsti duotąją kvadratinę lygtį. Kvadratinių lygčių sprendimas

Tikiuosi, kad išstudijavę šį straipsnį sužinosite, kaip rasti visos kvadratinės lygties šaknis.

Naudojant diskriminantą, sprendžiamos tik pilnosios kvadratinės lygtys, sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, naudojami kiti metodai, kuriuos rasite straipsnyje „Nepilnių kvadratinių lygčių sprendimas“.

Kokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnosiomis? Tai ax 2 + b x + c = 0 formos lygtys, kur koeficientai a, b ir c nėra lygūs nuliui. Taigi, norėdami išspręsti visą kvadratinę lygtį, turime apskaičiuoti diskriminantą D.

D = b 2 – 4ac.

Atsižvelgdami į diskriminanto reikšmę, surašysime atsakymą.

Jei diskriminantas yra neigiamas skaičius (D< 0),то корней нет.

Jei diskriminantas lygus nuliui, tai x = (-b)/2a. Kai diskriminantas teigiamas skaičius(D > 0),

tada x 1 = (-b - √D)/2a ir x 2 = (-b + √D)/2a.

Pavyzdžiui. Išspręskite lygtį x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Atsakymas: 2.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Atsakymas: nėra šaknų.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Atsakymas: – 3,5; 1.

Taigi įsivaizduokime pilnų kvadratinių lygčių sprendimą naudodami 1 paveiksle pateiktą diagramą.

Naudodami šias formules galite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį. Jums tiesiog reikia būti atsargiems lygtis buvo parašyta kaip standartinės formos daugianario

A x 2 + bx + c, kitaip galite padaryti klaidą. Pavyzdžiui, rašydami lygtį x + 3 + 2x 2 = 0, galite klaidingai nuspręsti, kad

a = 1, b = 3 ir c = 2. Tada

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ir tada lygtis turi dvi šaknis. Ir tai netiesa. (Žr. 2 pavyzdžio sprendimą aukščiau).

Todėl, jei lygtis nėra parašyta kaip standartinės formos daugianomas, pirmiausia visa kvadratinė lygtis turi būti parašyta kaip standartinės formos daugianomas (monomas su aukščiausias rodiklis laipsnių, tai yra A x 2 , tada su mažiau – bx ir tada laisvas narys Su.

Sprendžiant sumažintą kvadratinę lygtį ir kvadratinę lygtį su lyginiu koeficientu antrajame dėme, galite naudoti kitas formules. Susipažinkime su šiomis formulėmis. Jei pilnoje kvadratinėje lygtyje koeficientas antrojo nario lygyje yra lygus (b = 2k), tada lygtį galite išspręsti naudodami 2 paveikslo diagramoje pateiktas formules.

Pilna kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei koeficientas at x 2 lygus vienam ir lygtis įgaus formą x 2 + px + q = 0. Tokią lygtį galima pateikti sprendiniui arba ją galima gauti visus lygties koeficientus padalijus iš koeficiento A, stovi prie x 2 .

3 paveiksle parodyta sumažinto kvadrato sprendimo schema
lygtys. Pažvelkime į šiame straipsnyje aptartų formulių taikymo pavyzdį.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Išspręskime šią lygtį naudodami 1 paveikslo diagramoje parodytas formules.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3

Galite pastebėti, kad x koeficientas šioje lygtyje lyginis skaičius, tai yra b = 6 arba b = 2k, iš kur k = 3. Tada pabandykime išspręsti lygtį naudodamiesi formulėmis, pateiktomis paveikslo diagramoje D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3. Pastebėję, kad visi šios kvadratinės lygties koeficientai dalijasi iš 3 ir atlikę padalijimą, gauname sumažintą kvadratinę lygtį x 2 + 2x – 2 = 0 Išspręskite šią lygtį naudodami sumažintos kvadratinės formules.
lygtys 3 pav.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3.

Kaip matome, sprendžiant šią lygtį pagal įvairios formulės gavome tą patį atsakymą. Todėl gerai įsisavinę 1 paveikslo diagramoje parodytas formules, visada galėsite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Bibliografinis aprašymas: Gasanovas A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Kvadratinių lygčių sprendimo metodai // Jaunasis mokslininkas. 2016. Nr 6.1. P. 17-20..02.2019).



Mūsų projektas yra apie kvadratinių lygčių sprendimo būdus. Projekto tikslas: išmokti spręsti kvadratines lygtis būdais, kurie neįtraukti į mokyklos programą. Užduotis: surask viską galimi būdai spręsti kvadratines lygtis ir išmokti jomis naudotis pačiam bei supažindinti su šiais metodais savo klasės draugus.

Kas yra „kvadratinės lygtys“?

Kvadratinė lygtis - formos lygtis kirvis2 + bx + c = 0, Kur a, b, c- kai kurie skaičiai ( a ≠ 0), x- nežinomas.

Skaičiai a, b, c vadinami kvadratinės lygties koeficientais.

• a vadinamas pirmuoju koeficientu;
• b vadinamas antruoju koeficientu;
• c - laisvas narys.

Kas pirmasis „išrado“ kvadratines lygtis?

Kai kurios algebrinės tiesinių ir kvadratinių lygčių sprendimo technikos buvo žinomos prieš 4000 m. Senovės Babilonas. Rasta senovės babiloniečių molio tabletės, datuojamas kažkur tarp 1800 ir 1600 m. pr. Kr., yra ankstyviausias kvadratinių lygčių tyrimo įrodymas. Tose pačiose tabletėse yra tam tikrų tipų kvadratinių lygčių sprendimo būdų.

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su vietovių paieška. žemės sklypai ir su karinio pobūdžio žemės darbais, taip pat su pačios astronomijos ir matematikos raida.

Šių lygčių sprendimo taisyklė, išdėstyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma išdėstytų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti. Nepaisant aukšto lygio Algebros raida Babilone, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrieji metodai sprendžiant kvadratines lygtis.

Babilono matematikai maždaug IV amžiuje prieš Kristų. naudojo kvadratinio komplemento metodą, kad išspręstų lygtis su teigiamomis šaknimis. Maždaug 300 m.pr.Kr Euklidas sugalvojo bendresnį geometrinis metodas sprendimus. Pirmasis matematikas, suradęs lygčių, turinčių neigiamas šaknis formoje, sprendimus algebrinė formulė, buvo indų mokslininkas Brahmagupta(Indija, VII a. po Kr.).

Brahmagupta nustatė bendrą kvadratinių lygčių, sumažintų iki vieningos, sprendimo taisyklę kanoninė forma:

ax2 + bx = c, a>0

Šios lygties koeficientai taip pat gali būti neigiami. Brahmaguptos taisyklė iš esmės yra tokia pati kaip mūsų.

Indijoje buvo paplitę vieši problemų sprendimo konkursai. sunkių užduočių. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu užtemdo žvaigždes, taip išmokęs žmogus užtemdys jo šlovę viešuose susirinkimuose siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas. Problemos dažnai buvo pateikiamos poetine forma.

Algebriniame traktate Al-Khwarizmi pateikta tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikacija. Autorius suskaičiuoja 6 lygčių tipus, jas išreikšdamas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, ty ax2 = bx.

2) „Kvadratai lygūs skaičiams“, ty ax2 = c.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, ty ax2 = c.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, ty ax2 + c = bx.

5) „Kvadratai ir šaknys yra lygūs skaičiui“, ty ax2 + bx = c.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, ty bx + c == ax2.

Al-Khwarizmi, kuris vengė naudoti neigiamus skaičius, kiekvienos iš šių lygčių sąlygos yra sudėjimai, o ne atimtys. Šiuo atveju akivaizdžiai neatsižvelgiama į lygtis, kurios neturi teigiamų sprendimų. Autorius pateikia šių lygčių sprendimo būdus, naudodamas al-jabr ir al-mukabal metodus. Jo sprendimas, žinoma, ne visiškai sutampa su mūsų. Jau nekalbant apie tai, kad tai yra grynai retorinė, reikia pažymėti, kad, pavyzdžiui, spręsdamas nepilną pirmojo tipo kvadratinę lygtį, Al-Khorezmi, kaip ir visi matematikai iki XVII a., neatsižvelgia į nulinį sprendimą. tikriausiai todėl, kad konkrečiai praktines problemas nesvarbu. Sprendžiant pilnas kvadratines Al-Khwarizmi lygtis iš dalies skaitiniai pavyzdžiai išdėsto sprendimo taisykles, o vėliau jų geometrinius įrodymus.

Kvadratinių lygčių sprendimo formos pagal Al-Khwarizmi modelį Europoje pirmą kartą buvo pateiktos „Abako knygoje“, parašytoje 1202 m. italų matematikas Leonardas Fibonačis. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebriniai pavyzdžiai sprendžiant problemas ir pirmasis Europoje įvedė neigiamus skaičius.

Ši knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis šios knygos problemų buvo panaudotos beveik visuose XIV–XVII a. Europos vadovėliuose. Bendra taisyklė sprendžiant kvadratines lygtis, redukuotas į vieningą kanoninė forma x2 + bх = с visoms galimoms ženklų ir koeficientų kombinacijoms b, c, buvo suformuluotas Europoje 1544 m. M. Stiefelis.

Kvadratinės lygties bendros formos sprendimo formulės išvestį galima rasti Vietoje, tačiau Vieta pripažino tik teigiamų šaknų. italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli tarp pirmųjų XVI a. atsižvelgti, be teigiamų, ir neigiamos šaknys. Tik XVII a. pastangų dėka Girardas, Dekartas, Niutonas ir kitų mokslininkų, kvadratinių lygčių sprendimo metodas įgauna šiuolaikinę formą.

Pažvelkime į kelis kvadratinių lygčių sprendimo būdus.

Standartiniai kvadratinių lygčių sprendimo metodai iš mokyklos mokymo programa:

1. Kairiosios lygties pusės faktorinavimas.
2. Viso kvadrato pasirinkimo būdas.
3. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant formulę.
4. Grafinis sprendimas kvadratinė lygtis.
5. Lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Išsamiau apsistokime ties redukuotų ir neredukuotų kvadratinių lygčių sprendimu, naudodamiesi Vietos teorema.

Prisiminkite, kad norint išspręsti aukščiau pateiktas kvadratines lygtis, pakanka rasti du skaičius, kurių sandauga yra lygi laisvas narys, o suma - prie antrojo koeficiento c priešingas ženklas.

Pavyzdys.x 2 -5x+6=0

Reikia rasti skaičius, kurių sandauga yra 6, o suma – 5. Šie skaičiai bus 3 ir 2.

Atsakymas: x 1 =2, x 2 =3.

Bet jūs galite naudoti šį metodą lygtims, kurių pirmasis koeficientas nėra lygus vienetui.

Pavyzdys.3x 2 +2x-5=0

Paimkite pirmąjį koeficientą ir padauginkite jį iš laisvojo nario: x 2 +2x-15=0

Šios lygties šaknys bus skaičiai, kurių sandauga yra – 15, o suma – 2. Šie skaičiai yra 5 ir 3. Norėdami rasti šaknis pradinė lygtis, gautas šaknis padalinkite iš pirmojo koeficiento.

Atsakymas: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Lygčių sprendimas „metimo“ metodu.

Apsvarstykite kvadratinę lygtį ax 2 + bx + c = 0, kur a≠0.

Abi puses padauginę iš a, gauname lygtį a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Tegu ax = y, iš kur x = y/a; tada gauname lygtį y 2 + by + ac = 0, lygiavertę duotajai. Jo šaknis 1 ir 2 randame naudodami Vietos teoremą.

Galiausiai gauname x 1 = y 1 /a ir x 2 = y 2 /a.

Taikant šį metodą, koeficientas a dauginamas iš laisvojo termino, tarsi jam „įmetamas“, todėl jis vadinamas „metimo“ metodu. Šis metodas naudojamas, kai galite lengvai rasti lygties šaknis naudodami Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Pavyzdys.2x 2 - 11x + 15 = 0.

„Išmeskime“ koeficientą 2 į laisvąjį dėmenį ir atliksime pakaitalą ir gaukime lygtį y 2 - 11y + 30 = 0.

Pagal teoremos atvirkščiai Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Atsakymas: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Kvadratinės lygties koeficientų savybės.

Tegu kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Jei a+ b + c = 0 (t.y. lygties koeficientų suma lygi nuliui), tai x 1 = 1.

2. Jei a - b + c = 0 arba b = a + c, tai x 1 = - 1.

Pavyzdys.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Kadangi a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), tai x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Atsakymas: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Pavyzdys.132x 2 + 247x + 115 = 0

Nes a-b+c = 0 (132 - 247 +115 = 0), tada x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Atsakymas: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Yra ir kitų kvadratinės lygties koeficientų savybių. bet jų naudojimas yra sudėtingesnis.

8. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą.

1 pav. Nomograma

Tai senas ir šiuo metu užmirštas kvadratinių lygčių sprendimo būdas, patalpintas 83 rinkinio p.: Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematikos lentelės. - M., Išsilavinimas, 1990 m.

XXII lentelė. Nomograma lygčiai išspręsti z 2 + pz + q = 0. Ši nomograma leidžia, neišsprendžiant kvadratinės lygties, iš jos koeficientų nustatyti lygties šaknis.

Kreivinė nomogramos skalė sudaryta pagal formules (1 pav.):

Tikėdamas OS = p, ED = q, OE = a(visi cm), iš 1 pav. trikampių panašumai SAN Ir CDF gauname proporciją

kuri po keitimų ir supaprastinimų duoda lygtį z 2 + pz + q = 0, ir laiškas z reiškia bet kurio taško ženklą lenktoje skalėje.

Ryžiai. 2 Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą

Pavyzdžiai.

1) Dėl lygties z 2 – 9z + 8 = 0 nomograma pateikia šaknis z 1 = 8,0 ir z 2 = 1,0

Atsakymas:8,0; 1.0.

2) Naudodami nomogramą išsprendžiame lygtį

2z 2 – 9z + 2 = 0.

Šios lygties koeficientus padaliname iš 2, gauname lygtį z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogramoje pateikiamos šaknys z 1 = 4 ir z 2 = 0,5.

Atsakymas: 4; 0.5.

9. Geometrinis metodas sprendžiant kvadratines lygtis.

Pavyzdys.X 2 + 10x = 39.

Originale ši problema suformuluota taip: „Kvadratas ir dešimt šaknų yra lygūs 39“.

Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė x, jo šonuose sukonstruoti stačiakampiai taip, kad kiekvieno iš jų kita pusė būtų 2,5, todėl kiekvieno plotas yra 2,5x. Tada gauta figūra užpildoma nauja kvadratu ABCD, pridedant keturis kvadratus kampuose. lygus kvadratas, kiekvieno iš jų kraštinė yra 2,5, o plotas yra 6,25

Ryžiai. 3 Grafinis metodas lygties x 2 + 10x = 39 sprendiniai

Kvadrato ABCD plotas S gali būti pavaizduotas kaip: pradinio kvadrato x 2, keturių stačiakampių (4∙2,5x = 10x) ir keturių papildomų kvadratų (6,25∙4 = 25) suma, t.y. S = x 2 + 10x = 25. Pakeitus x 2 + 10x skaičiumi 39, gauname, kad S = 39+ 25 = 64, vadinasi, kvadrato kraštinė yra ABCD, t.y. atkarpa AB = 8. Pradinio kvadrato reikiamai kraštinei x gauname

10. Lygčių sprendimas naudojant Bezout teoremą.

Bezouto teorema. Polinomo P(x) dalijimo iš dvejetainio x - α likusioji dalis yra lygi P(α) (tai yra P(x) reikšmė, kai x = α).

Jei skaičius α yra daugianario P(x) šaknis, tai šis daugianomas dalijasi iš x -α be liekanos.

Pavyzdys.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Padalinkite P(x) iš (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1 = 0; x=1 arba x-3=0, x=3; Atsakymas: x1 =2, x2 =3.

Išvada: Gebėjimas greitai ir racionaliai išspręsti kvadratines lygtis tiesiog būtinas norint išspręsti daugiau sudėtingos lygtys, Pavyzdžiui, trupmenines racionaliąsias lygtis, lygtys aukštesni laipsniai, bikvadratinės lygtys, ir viduje vidurinę mokyklą trigonometrinis, eksponentinis ir logaritmines lygtis. Išstudijavę visus rastus kvadratinių lygčių sprendimo būdus, galime patarti savo klasės draugams, išskyrus standartiniai metodai, sprendimas perdavimo metodu (6) ir lygčių sprendimas naudojant koeficientų (7) savybes, nes jie lengviau suprantami.

Literatūra:

1. Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematikos lentelės. - M., Išsilavinimas, 1990 m.
2. Algebra 8 klasė: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo įstaigos Makarychev Yu, Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. red. S. A. Telyakovsky 15-asis leidimas, pataisytas. - M.: Švietimas, 2015 m
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazeris G.I. Matematikos istorija mokykloje. Vadovas mokytojams. / Red. V.N. Jaunesnis. - M.: Išsilavinimas, 1964 m.

Tikslai:

• Supažindinti su sumažintos kvadratinės lygties samprata;
• „atrasti“ duotosios kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšį;
• ugdyti susidomėjimą matematika, Vieto gyvenimo pavyzdžiu parodydami, kad matematika gali būti hobis.

1. Namų darbų tikrinimas

Nr. 309(g) x 1 =7, x 2 =

Nr. 311(g) x 1 =2, x 2 =-1

Nr. 312 (d) be šaknų

Kiekvienas turi stalą ant stalo. Raskite atitiktį tarp kairiojo ir dešiniojo lentelės stulpelių.

Įveskite teisingus atsakymus į lentelę.

1-Z; 2-E; 3-A; 4-K; 5-B; 6-I; 7-D; 8-B; 9-G; 10-L; 11-F.

Išspręskite lygtis:

a) -5x 2 + 8x -3=0;

Sprendimas:

D = 64 – 4 (-5) (-3) = 4,

x 1 = x 2 = = a + b + c = -5+8-3=0

b) 2 x 2 +6x – 8 = 0;

Sprendimas:

D = 36 – 4 2 (-8) = 100,

x 1 = = x 2 = a + b + c = 2+6-8=0

c) 2009 x 2 +x – 2010 =0

Sprendimas:

a + b + c = 2009 + 1 + (-2010) = 0, tada x 1 = 1 x 2 =

Apsvarstykime lygčių sprendimą

a) 2x 2 + 5x +3 = 0

Sprendimas:

D = 25 -24 = 1 x 1 = x 2 = a – b + c = 2-5 + 3 = 0

b) -4x 2 -5x -1 =0

Sprendimas:

D = 25 – 16 = 9 x 1 = – 1 x 2 = a – b + c = -4-(-5) – 1 = 0

c)1150x2 +1135x-15 = 0

Sprendimas:

a – b+c = 1150-1135 +(-15) = 0 x 1 = – 1 x 2 =

ax 2 +in+c=0, jei a-b+c=0, tai x 1 = – 1 x 2 =

5. Nauja tema

Patikrinkime, ar atlikote pirmąją užduotį. Su kokiomis naujomis koncepcijomis susidūrėte? 11 – f, t.y.

Pateikta kvadratinė lygtis yra x 2 + px + q = 0.

Mūsų pamokos tema.
Užpildykime šią lentelę.
Kairysis stulpelis yra sąsiuviniuose, o vienas mokinys yra prie lentos.
Lygties sprendimas akh 2 +in+c=0
Dešinysis stulpelis, labiau pasiruošęs mokinys prie lentos
Lygties sprendimas x 2 + px + q = 0, kai a = 1, b = p, c = q

Mokytojas (jei reikia) padeda, likusieji – sąsiuviniuose.

X 2-6 X + 8 = 0,	D = 9 – 8 = 1,	x 1 = 3 – 1 = 2	x 2 = 3 + 1 = 4
X 2 + 6 X + 8 = 0,	D = 9 – 8 = 0,	x 1 = -3 – 1 = -4	x 2 = -3 + 1 = -2
X 2 + 20 X + 51 = 0,	D = 100 – 51 = 49	x 1 = 10 – 7 = 3	x 2 = 10 + 7 = 17
X 2–20 X – 69 = 0,	D = 100 – 69 = 31

Remdamiesi savo skaičiavimų rezultatais, užpildysime lentelę.

Lygtis Nr.	r	x 1+ x 2	q	x 1 x 2
1	-6	6	8	8

Palyginkime gautus rezultatus su kvadratinių lygčių koeficientais.
Kokią išvadą galima padaryti?

Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšį pirmasis nustatė garsus prancūzų mokslininkas Francois Viète (1540–1603).

François Viète pagal profesiją buvo teisininkas ir daug metų dirbo karaliaus patarėju. Ir nors matematika buvo jo pomėgis, arba, kaip sakoma, hobis, triūso dėka joje pasiekė puikių rezultatų. Viet 1591 m. įvedė raidžių žymėjimą nežinomiesiems ir lygčių koeficientams. Tai leido parašyti šaknis ir kitas lygties savybes naudojant bendrąsias formules.

Vietos algebros trūkumas buvo tas, kad ji atpažino tik teigiamus skaičius. Norėdami išvengti neigiamų sprendimų, jis keitė lygtis arba ieškojo dirbtinių sprendimų, o tai užtruko daug laiko, komplikavo sprendimą ir dažnai privesdavo prie klaidų.

Viète'as padarė daug įvairių atradimų, tačiau jis pats labiausiai vertino kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų santykio nustatymą, tai yra ryšį, vadinamą „Vjeto teorema“.

Šią teoremą nagrinėsime kitoje pamokoje.

Klausimai:

1. Kuri lygtis vadinama redukuota kvadratine lygtimi?
2. Kokia formule galima rasti duotosios kvadratinės lygties šaknis?
3. Kas lemia duotosios kvadratinės lygties šaknų skaičių?
4. Kas yra sumažintos kvadratinės lygties diskriminantas?
5. Kaip yra susijusios aukščiau pateiktos kvadratinės lygties šaknys ir jos koeficientai?
6. Kas užmezgė šį ryšį?

4.5 punktas, Nr. 321(b,f) Nr.322(a,d,g,h)

Užpildykite lentelę.

Lygtis	Šaknys	Šaknų suma	Šaknų produktas
X 2 – 8x + 7 = 0	1 ir 7	8	7

Literatūra

CM. Nikolskis ir kiti, „MSU-School“ serijos vadovėlis „Algebra 8“ - M.: Prosveshchenie, 2007 m.

Mes ir toliau studijuojame temą " sprendžiant lygtis“ Mes jau susipažinome su tiesinėmis lygtimis ir pereiname prie pažinties kvadratines lygtis.

Pirmiausia pažiūrėsime, kas yra kvadratinė lygtis, kaip ji rašoma bendra forma ir pateiksime susijusių apibrėžimų. Po to mes naudosime pavyzdžius, norėdami išsamiai išnagrinėti, kaip sprendžiamos neišsamios kvadratinės lygtys. Toliau pereikime prie pilnų lygčių sprendimo, gaukime šaknies formulę, susipažinkime su kvadratinės lygties diskriminantu ir apsvarstykime sprendimus tipiniai pavyzdžiai. Galiausiai atsekime ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Puslapio naršymas.

Kas yra kvadratinė lygtis? Jų rūšys

Pirmiausia turite aiškiai suprasti, kas yra kvadratinė lygtis. Todėl logiška pradėti pokalbį apie kvadratines lygtis kvadratinės lygties apibrėžimu, taip pat su jais susijusiais apibrėžimais. Po to galite apsvarstyti pagrindinius kvadratinių lygčių tipus: redukuotas ir neredukuotas, taip pat pilnas ir nepilnas lygtis.

Kvadratinių lygčių apibrėžimas ir pavyzdžiai

Apibrėžimas.

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis a x 2 +b x+c=0, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai, o a yra ne nulis.

Iš karto pasakykime, kad kvadratinės lygtys dažnai vadinamos antrojo laipsnio lygtimis. Taip yra dėl to, kad kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrasis laipsnis.

Pateiktas apibrėžimas leidžia pateikti kvadratinių lygčių pavyzdžius. Taigi 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 ir t.t. Tai yra kvadratinės lygtys.

Apibrėžimas.

Skaičiai vadinami a, b ir c kvadratinės lygties koeficientai a·x 2 +b·x+c=0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba didžiausiu, arba koeficientu x 2, b yra antrasis koeficientas, arba koeficientas x, o c yra laisvasis narys .

Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį, kurios forma yra 5 x 2 −2 x −3=0, čia pirmaujantis koeficientas yra 5, antrasis koeficientas lygus −2, o laisvasis narys lygus −3. Atkreipkite dėmesį, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, kaip ką tik pateiktame pavyzdyje, tada trumpa forma užrašant kvadratinę lygtį, kurios forma yra 5 x 2 −2 x−3=0, o ne 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Verta pažymėti, kad kai koeficientai a ir (arba) b yra lygūs 1 arba −1, tada kvadratinėje lygtyje jie paprastai nėra aiškiai išreikšti, o tai yra dėl tokių rašymo ypatumų. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 −y+3=0 pirmaujantis koeficientas yra vienas, o y koeficientas lygus −1.

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Priklausomai nuo pirmaujančio koeficiento reikšmės, skiriamos redukuotos ir neredukuotos kvadratinės lygtys. Pateiksime atitinkamus apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurios pirmaujantis koeficientas yra 1 duota kvadratinė lygtis. Priešingu atveju kvadratinė lygtis yra nepaliestas.

Pagal šis apibrėžimas, kvadratinės lygtys x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 ir kt. – duota, kiekviename iš jų pirmasis koeficientas lygus vienetui. A 5 x 2 −x−1=0 ir kt. - neredukuotos kvadratinės lygtys, kurių pirmaujantys koeficientai skiriasi nuo 1.

Iš bet kurios nesumažintos kvadratinės lygties, padalijus abi puses iš pirmaujančio koeficiento, galite pereiti prie redukuotos. Šis veiksmas yra lygiavertė transformacija, tai yra, tokiu būdu gauta sumažinta kvadratinė lygtis turi tas pačias šaknis kaip ir pradinė neredukuota kvadratinė lygtis, arba, kaip ji, neturi šaknų.

Pažiūrėkime į pavyzdį, kaip atliekamas perėjimas iš neredukuotos kvadratinės lygties į redukuotą.

Pavyzdys.

Iš lygties 3 x 2 +12 x−7=0 pereikite prie atitinkamos sumažintos kvadratinės lygties.

Sprendimas.

Mums tereikia padalyti abi pradinės lygties puses iš pirmaujančio koeficiento 3, jis yra ne nulis, kad galėtume atlikti šį veiksmą. Turime (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, kuris yra tas pats, (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0, o tada (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, iš kur . Taip gavome redukuotą kvadratinę lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei.

Atsakymas:

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Kvadratinės lygties apibrėžime yra sąlyga a≠0. Ši sąlyga būtina, kad lygtis a x 2 + b x + c = 0 būtų kvadratinė, nes kai a = 0 ji iš tikrųjų tampa b x + c = 0 formos tiesine lygtimi.

Kalbant apie koeficientus b ir c, jie gali būti lygūs nuliui tiek atskirai, tiek kartu. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratine lygtimi a x 2 +b x+c=0 nepilnas, jei bent vienas iš koeficientų b, c yra lygus nuliui.

Savo ruožtu

Apibrėžimas.

Pilna kvadratinė lygtis yra lygtis, kurioje visi koeficientai skiriasi nuo nulio.

Tokie vardai buvo suteikti neatsitiktinai. Nuo šiuos samprotavimus paaiškės.

Jei koeficientas b lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis įgauna formą a·x 2 +0·x+c=0 ir yra lygiavertė lygčiai a·x 2 +c=0. Jei c=0, tai yra, kvadratinė lygtis turi formą a·x 2 +b·x+0=0, tada ją galima perrašyti kaip a·x 2 +b·x=0. O su b=0 ir c=0 gauname kvadratinę lygtį a·x 2 =0. Gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo nario, nei abiejų. Iš čia ir kilo jų pavadinimas – nepilnos kvadratinės lygtys.

Taigi lygtys x 2 +x+1=0 ir −2 x 2 −5 x+0.2=0 yra pilnų kvadratinių lygčių pavyzdžiai, o x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 yra nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Iš ankstesnėje pastraipoje pateiktos informacijos matyti, kad yra trijų tipų nepilnos kvadratinės lygtys:

• a·x 2 =0, jį atitinka koeficientai b=0 ir c=0;
• ax2 +c=0, kai b=0;
• ir a·x 2 +b·x=0, kai c=0.

Panagrinėkime eilės tvarka, kaip sprendžiamos kiekvieno iš šių tipų nepilnos kvadratinės lygtys.

a x 2 =0

Pradėkime nuo nepilnų kvadratinių lygčių, kuriose koeficientai b ir c lygūs nuliui, tai yra a x 2 =0 formos lygtimis. Lygtis a·x 2 =0 yra lygiavertė lygčiai x 2 =0, kuri gaunama iš originalo, padalijus abi dalis iš nulinio skaičiaus a. Akivaizdu, kad lygties x 2 =0 šaknis yra lygi nuliui, nes 0 2 =0. Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai paaiškinama tuo, kad bet kuriam nuliniam skaičiui p galioja nelygybė p 2 >0, o tai reiškia, kad esant p≠0 lygybė p 2 =0 niekada nepasiekiama.

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a·x 2 =0 turi vieną šaknį x=0.

Kaip pavyzdį pateikiame nepilnos kvadratinės lygties −4 x 2 =0 sprendinį. Ji atitinka lygtį x 2 =0, jos vienintelė šaknis yra x=0, todėl pradinė lygtis turi vieną šaknies nulį.

Trumpas sprendimas šiuo atveju gali būti parašytas taip:
−4 x 2 =0,
x 2 = 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, kuriose koeficientas b lygus nuliui ir c≠0, tai yra a x 2 +c=0 formos lygtys. Žinome, kad perkėlus terminą iš vienos lygties pusės į kitą su priešingu ženklu, taip pat padalijus abi lygties puses ne nuliu skaičiumi, gaunama lygiavertė lygtis. Todėl galime atlikti šiuos veiksmus lygiavertės transformacijos nepilna kvadratinė lygtis a x 2 +c=0 :

• perkelti iš į dešinėje pusėje, kuri suteikia lygtį a x 2 =−c,
• ir padalinti abi puses iš a, gauname .

Gauta lygtis leidžia daryti išvadas apie jos šaknis. Priklausomai nuo a ir c reikšmių, išraiškos reikšmė gali būti neigiama (pavyzdžiui, jei a=1 ir c=2, tada ) arba teigiama (pavyzdžiui, jei a=–2 ir c=6, tada ), jis nėra nulis , nes pagal sąlygą c≠0. Pažvelkime į atvejus atskirai.

Jei , tai lygtis neturi šaknų. Šis teiginys išplaukia iš to, kad bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas skaičius. Iš to išplaukia, kad kai , tada bet kuriam skaičiui p lygybė negali būti teisinga.

Jei , tada situacija su lygties šaknimis yra kitokia. Šiuo atveju, jei prisimename apie , tada lygties šaknis iš karto tampa akivaizdi, nes . Nesunku atspėti, kad skaičius taip pat yra lygties šaknis, iš tikrųjų . Ši lygtis neturi kitų šaknų, kurias galima parodyti, pavyzdžiui, prieštaravimu. Padarykime tai.

Ką tik paskelbtos lygties šaknis pažymėkime x 1 ir −x 1 . Tarkime, kad lygtis turi dar vieną šaknį x 2, kuri skiriasi nuo nurodytų šaknų x 1 ir −x 1. Yra žinoma, kad jos šaknis pakeitus lygtimi, o ne x, lygtis paverčiama teisinga skaitine lygybe. Jei x 1 ir −x 1 turime , o x 2 turime . Skaičių lygybių savybės leidžia atlikti teisingų skaitinių lygčių etapo atėmimą, todėl atėmus atitinkamas lygybių dalis gaunama x 1 2 −x 2 2 =0. Veiksmų su skaičiais savybės leidžia gautą lygybę perrašyti į (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Žinome, kad dviejų skaičių sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš jų yra lygus nuliui. Todėl iš gautos lygybės išplaukia, kad x 1 −x 2 =0 ir (arba) x 1 +x 2 =0, kuris yra tas pats, x 2 =x 1 ir (arba) x 2 = −x 1. Taigi mes priėjome prie prieštaravimo, nes pradžioje sakėme, kad lygties x 2 šaknis skiriasi nuo x 1 ir −x 1. Tai įrodo, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus ir .

Apibendrinkime šioje pastraipoje pateiktą informaciją. Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 +c=0 yra lygiavertė lygčiai, kuri

• neturi šaknų, jei
• turi dvi šaknis ir , jei .

Panagrinėkime a·x 2 +c=0 formos nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

Pradėkime nuo kvadratinės lygties 9 x 2 +7=0. Perkėlus laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę, jis įgis formą 9 x 2 =−7. Padalinę abi gautos lygties puses iš 9, gauname . Kadangi dešinėje pusėje yra neigiamas skaičius, ši lygtis neturi šaknų, todėl pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 +7 = 0 neturi šaknų.

Išspręskime dar vieną nepilną kvadratinę lygtį −x 2 +9=0. Devynetuką perkeliame į dešinę pusę: −x 2 =−9. Dabar padalijame abi puses iš −1, gauname x 2 =9. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio darome išvadą, kad arba . Tada užrašome galutinį atsakymą: nepilna kvadratinė lygtis −x 2 +9=0 turi dvi šaknis x=3 arba x=−3.

a x 2 +b x=0

Belieka išspręsti paskutinio tipo nepilnų kvadratinių lygčių, kai c=0, sprendimą. Neišsamios kvadratinės lygtys formos a x 2 + b x = 0 leidžia išspręsti faktorizavimo metodas. Akivaizdu, kad galime, esantys kairėje lygties pusėje, kuriai pakanka išimti ją iš skliaustų bendras daugiklis x. Tai leidžia pereiti nuo pradinės nepilnos kvadratinės lygties prie lygiavertės x·(a·x+b)=0 formos lygties. Ir ši lygtis yra lygiavertė aibei dviejų lygčių x=0 ir a·x+b=0, iš kurių pastaroji yra tiesinė ir jos šaknis x=-b/a.

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a·x 2 +b·x=0 turi dvi šaknis x=0 ir x=−b/a.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, išanalizuosime konkretaus pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Išėmus x iš skliaustų gaunama lygtis . Tai lygi dviem lygtims x=0 ir . Išsprendžiame gautą tiesinę lygtį: , ir atliekame padalijimą mišrus skaičiusįjungta bendroji trupmena, randame. Todėl pradinės lygties šaknys yra x=0 ir .

Įgijus reikiamą praktiką, galima trumpai parašyti tokių lygčių sprendinius:

Atsakymas:

x=0 , .

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami išspręsti kvadratines lygtis, yra šaknies formulė. Užsirašykime kvadratinės lygties šaknų formulė:, kur D=b 2 −4 a c- vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas. Įrašas iš esmės reiškia, kad .

Naudinga žinoti, kaip buvo gauta šaknies formulė ir kaip ji naudojama ieškant kvadratinių lygčių šaknų. Išsiaiškinkime tai.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Išspręskime kvadratinę lygtį a·x 2 +b·x+c=0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

• Abi šios lygties puses galime padalyti iš ne nulinio skaičiaus a, todėl gaunama tokia kvadratinė lygtis.
• Dabar pabrėkim tobulas kvadratas jo kairėje pusėje: . Po to lygtis įgis formą .
• Šiame etape paskutinius du terminus galima perkelti į dešinę su priešingu ženklu, turime .
• Taip pat pakeiskime išraišką dešinėje pusėje: .

Dėl to gauname lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei kvadratinei lygčiai a·x 2 +b·x+c=0.

Analogiškos formos lygtis jau išsprendėme ankstesnėse pastraipose, kai nagrinėjome. Tai leidžia jums padaryti tokias išvadas apie lygties šaknis:

• jei , tai lygtis neturi galiojantys sprendimai;
• jei , tada lygtis turi formą , todėl , Iš kurios matoma tik jos šaknis;
• jei , tada arba , kuris yra tas pats kaip arba , Tai yra, lygtis turi dvi šaknis.

Taigi lygties šaknų buvimas ar nebuvimas, taigi ir pradinė kvadratinė lygtis, priklauso nuo išraiškos ženklo dešinėje. Savo ruožtu šios išraiškos ženklą lemia skaitiklio ženklas, nes vardiklis 4·a 2 visada yra teigiamas, tai yra išraiškos b 2 −4·a·c ženklas. Ši išraiška b 2 −4 a c buvo vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ir nurodytas laišku D. Iš čia aiški diskriminanto esmė – pagal jo reikšmę ir ženklą jie daro išvadą, ar kvadratinė lygtis turi realias šaknis, o jei taip, koks jų skaičius – vienas ar du.

Grįžkime prie lygties ir perrašykime ją diskriminaciniu žymėjimu: . Ir mes darome išvadas:

• jei D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jei D=0, tai ši lygtis turi vieną šaknį;
• galiausiai, jei D>0, tai lygtis turi dvi šaknis arba, kurią galima perrašyti į formą arba, o išplėtus ir suvedus trupmenas į bendrą vardiklį gauname.

Taigi išvedėme kvadratinės lygties šaknų formules, jos turi formą , kur diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D=b 2 −4·a·c.

Su jų pagalba, naudodami teigiamą diskriminantą, galite apskaičiuoti abi realiąsias kvadratinės lygties šaknis. Kai diskriminantas yra lygus nuliui, abi formulės suteikia tą pačią šaknies reikšmę, atitinkančią vienintelis sprendimas kvadratinė lygtis. Ir kada neigiamas diskriminatorius Kai bandome naudoti kvadratinės lygties šaknų formulę, susiduriame su neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies ištraukimu, o tai perkelia mus už mokyklos mokymo programos ribų. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturi tikrų šaknų, bet turi porą kompleksinis konjugatasšaknis, kurias galima rasti naudojant tas pačias šaknų formules, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo naudojant šaknies formules algoritmas

Praktiškai spręsdami kvadratines lygtis galite iš karto naudoti šaknies formulę, kad apskaičiuotumėte jų reikšmes. Bet tai labiau susiję su sudėtingų šaknų paieška.

Tačiau į mokyklos kursas algebra paprastai mes kalbame apie ne apie sudėtingas, o apie tikras kvadratinės lygties šaknis. Tokiu atveju, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, patartina pirmiausia rasti diskriminantą, įsitikinti, kad jis yra neneigiamas (kitaip galime daryti išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), ir tik tada apskaičiuokite šaknų reikšmes.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums rašyti kvadratinės lygties sprendimo algoritmas. Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 +b x+c=0, turite:

• naudodamiesi diskriminantinės formulės D=b 2 −4·a·c, apskaičiuokite jos reikšmę;
• padaryti išvadą, kad kvadratinė lygtis neturi realių šaknų, jei diskriminantas yra neigiamas;
• apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį naudodami formulę, jei D=0;
• Raskite dvi realias kvadratinės lygties šaknis naudodami šaknies formulę, jei diskriminantas yra teigiamas.

Čia tik pažymime, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, taip pat galite naudoti formulę, ji duos tokią pat reikšmę kaip .

Galite pereiti prie kvadratinių lygčių sprendimo algoritmo naudojimo pavyzdžių.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Panagrinėkime trijų kvadratinių lygčių sprendinius su teigiama, neigiama ir lygus nuliui diskriminuojantis. Išnagrinėjus jų sprendimą, pagal analogiją bus galima išspręsti bet kurią kitą kvadratinę lygtį. Pradėkime.

Pavyzdys.

Raskite lygties x 2 šaknis +2·x−6=0.

Sprendimas.

Šiuo atveju turime tokius kvadratinės lygties koeficientus: a=1, b=2 ir c=−6. Pagal algoritmą pirmiausia reikia apskaičiuoti diskriminantą, nurodytą a, b ir c pakeičiame į diskriminanto formulę, kurią turime D=b 2 –4·a·c=2 2 –4·1·(–6)=4+24=28. Kadangi 28>0, tai yra diskriminantas didesnis už nulį, tada kvadratinė lygtis turi dvi realiąsias šaknis. Suraskime juos naudodami šaknies formulę, mes gauname, čia galite supaprastinti gautas išraiškas darydami perkeliant daugiklį už šaknies ženklo po to sumažinama frakcija:

Atsakymas:

Pereikime prie kito tipinio pavyzdžio.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį −4 x 2 +28 x−49=0 .

Sprendimas.

Pradedame rasdami diskriminantą: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Todėl ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį, kurią randame kaip , tai yra,

Atsakymas:

x=3,5.

Belieka apsvarstyti galimybę išspręsti kvadratines lygtis su neigiamu diskriminantu.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį 5·y 2 +6·y+2=0.

Sprendimas.

Štai kvadratinės lygties koeficientai: a=5, b=6 ir c=2. Mes pakeičiame šias reikšmes į diskriminacinę formulę, kurią turime D=b 2 –4·a·c=6 2 –4·5·2=36–40=–4. Diskriminantas yra neigiamas, todėl ši kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Jei reikia nurodyti sudėtingos šaknys, tada taikome gerai žinoma formulė kvadratinės lygties šaknis ir atlikti veiksmai su kompleksiniai skaičiai :

Atsakymas:

nėra tikrų šaknų, sudėtingos šaknys yra: .

Dar kartą atkreipkime dėmesį, kad jei kvadratinės lygties diskriminantas yra neigiamas, tada mokykloje jie paprastai iš karto užrašo atsakymą, kuriame nurodo, kad nėra tikrų šaknų, o sudėtingų šaknų nerandama.

Net antrojo koeficiento šaknies formulė

Kvadratinės lygties šaknų formulė, kur D=b 2 −4·a·c, leidžia gauti kompaktiškesnės formos formulę, leidžiančią išspręsti kvadratines lygtis su lyginiu x koeficientu (arba tiesiog su a 2·n formos koeficientas, pavyzdžiui, arba 14· ln5=2·7·ln5 ). Išveskime ją.

Tarkime, reikia išspręsti kvadratinę lygtį, kurios formos a x 2 +2 n x+c=0. Raskime jo šaknis pagal mums žinomą formulę. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame diskriminantą D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), tada naudojame šaknies formulę:

Išraišką n 2 −a c pažymėkime kaip D 1 (kartais ji žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties šaknų formulė su antruoju koeficientu 2 n įgis tokią formą , kur D 1 =n 2 −a·c.

Nesunku pastebėti, kad D=4·D 1 arba D 1 =D/4. Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtoji diskriminanto dalis. Aišku, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas. Tai yra, ženklas D 1 taip pat yra kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

Taigi, norint išspręsti kvadratinę lygtį su antruoju koeficientu 2 · n, jums reikia

• Apskaičiuokite D 1 =n 2 −a·c ;
• Jei D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jei D 1 =0, tada formule apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį;
• Jei D 1 >0, tada pagal formulę raskite dvi realias šaknis.

Apsvarstykite galimybę išspręsti pavyzdį naudodami šioje pastraipoje gautą šaknies formulę.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį 5 x 2 −6 x −32=0 .

Sprendimas.

Antrasis šios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2·(−3) . Tai yra, galite perrašyti pradinę kvadratinę lygtį į formą 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, čia a=5, n=-3 ir c=-32, ir apskaičiuoti ketvirtąją kvadratinės lygties dalį. diskriminuojantis: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kadangi jos reikšmė yra teigiama, lygtis turi dvi realias šaknis. Raskime juos naudojant atitinkama formulėšaknys:

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės lygties šaknims buvo galima naudoti įprastą formulę, tačiau šiuo atveju tektų atlikti daugiau skaičiavimo darbų.

Atsakymas:

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais prieš pradedant skaičiuoti kvadratinės lygties šaknis naudojant formules, nepakenks užduoti klausimą: „Ar galima supaprastinti šios lygties formą? Sutikite, kad skaičiavimų požiūriu kvadratinę lygtį 11 x 2 −4 x−6=0 išspręsti bus lengviau nei 1100 x 2 −400 x−600=0.

Paprastai kvadratinės lygties formos supaprastinimas pasiekiamas padauginus arba padalijus abi puses iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, ankstesnėje pastraipoje buvo galima supaprastinti lygtį 1100 x 2 −400 x −600=0, padalijus abi puses iš 100.

Panaši transformacija atliekama su kvadratinėmis lygtimis, kurių koeficientai nėra . Šiuo atveju mes paprastai dalijame abi lygties puses iš absoliučios vertės jo koeficientai. Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 12 x 2 −42 x+48=0. absoliučios jo koeficientų reikšmės: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Abi pradinės kvadratinės lygties puses padalijus iš 6, gauname lygiavertę kvadratinę lygtį 2 x 2 −7 x+8=0.

Ir padauginus abi kvadratinės lygties puses paprastai daroma norint atsikratyti trupmeniniai koeficientai. Šiuo atveju dauginimas atliekamas pagal jo koeficientų vardiklius. Pavyzdžiui, jei abi kvadratinės lygties pusės yra padaugintos iš LCM(6, 3, 1)=6, tada ji įgis paprastesnę formą x 2 +4·x−18=0.

Apibendrinant šį punktą, pastebime, kad jie beveik visada atsikrato minuso esant didžiausiam kvadratinės lygties koeficientui, pakeisdami visų narių ženklus, o tai atitinka abiejų pusių padauginimą (arba padalijimą) iš −1. Pavyzdžiui, paprastai nuo kvadratinės lygties −2 x 2 −3 x+7=0 pereinama prie sprendinio 2 x 2 +3 x−7=0 .

Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšys

Kvadratinės lygties šaknų formulė išreiškia lygties šaknis per jos koeficientus. Remdamiesi šaknies formule, galite gauti kitus ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Labiausiai žinomos ir taikomos formulės iš Vietos teoremos yra formos ir . Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Pavyzdžiui, pažvelgę ​​į kvadratinės lygties 3 x 2 −7 x + 22 = 0 formą, iš karto galime pasakyti, kad jos šaknų suma lygi 7/3, o šaknų sandauga lygi 22 /3.

Naudodami jau parašytas formules, galite gauti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų jungčių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų sumą galite išreikšti jos koeficientais: .

Nuorodos.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis mokiniams švietimo įstaigų/ A. G. Mordkovičius. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Ši tema iš pradžių gali atrodyti sudėtinga, nes daugelis ne taip paprastos formulės. Ne tik pačios kvadratinės lygtys turi ilgus žymėjimus, bet ir šaknys randamos per diskriminantą. Iš viso gaunamos trys naujos formulės. Nelabai lengva prisiminti. Tai veikia tik po to bendras sprendimas tokias lygtis. Tada visos formulės įsimins pačios.

Bendras kvadratinės lygties vaizdas

Čia mes siūlome jų aiškų įrašymą, kai daugiausia aukštas laipsnis pirmiausia parašyta, o paskui mažėjančia tvarka. Dažnai pasitaiko situacijų, kai sąlygos yra nesuderinamos. Tada geriau perrašyti lygtį kintamojo laipsnio mažėjimo tvarka.

Leiskite pristatyti kai kuriuos užrašus. Jie pateikiami toliau esančioje lentelėje.

Jei priimsime šiuos žymėjimus, visos kvadratinės lygtys bus sumažintos iki tokio žymėjimo.

Be to, koeficientas a ≠ 0. Ši formulė bus pažymėta numeriu vienas.

Kai pateikiama lygtis, neaišku, kiek šaknų bus atsakyme. Kadangi visada galimas vienas iš trijų variantų:

• tirpalas turės dvi šaknis;
• atsakymas bus vienas skaičius;
• lygtis iš viso neturės šaknų.

O kol sprendimas nėra galutinai priimtas, sunku suprasti, koks variantas atsiras konkrečiu atveju.

Kvadratinių lygčių įrašų tipai

Užduotyse gali būti skirtingų įrašų. Jie ne visada atrodys bendroji formulė kvadratinė lygtis. Kartais trūksta kai kurių terminų. Tai, kas buvo parašyta aukščiau, yra pilna lygtis. Jei pašalinsite antrą ar trečią terminą, gausite ką nors kita. Šie įrašai dar vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik nepilnais.

Be to, gali išnykti tik terminai su koeficientais „b“ ir „c“. Skaičius „a“ jokiomis aplinkybėmis negali būti lygus nuliui. Nes tokiu atveju formulė virsta tiesine lygtimi. Neišsamios lygčių formos formulės bus tokios:

Taigi, yra tik dviejų tipų, be pilnųjų, yra ir nepilnų kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra du, o antroji - trys.

Diskriminantas ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės

Norėdami apskaičiuoti lygties šaknis, turite žinoti šį skaičių. Jį visada galima apskaičiuoti, nesvarbu, kokia būtų kvadratinės lygties formulė. Norėdami apskaičiuoti diskriminantą, turite naudoti žemiau parašytą lygybę, kurios skaičius bus ketvirtas.

Pakeitę koeficientų reikšmes į šią formulę, galite gauti skaičius skirtingi ženklai. Jei atsakymas yra teigiamas, atsakymas į lygtį bus dvi skirtingos šaknys. Jei skaičius neigiamas, kvadratinės lygties šaknų nebus. Jei jis lygus nuliui, bus tik vienas atsakymas.

Kaip išspręsti pilną kvadratinę lygtį?

Tiesą sakant, šis klausimas jau pradėtas svarstyti. Nes pirmiausia reikia rasti diskriminantą. Nustačius, kad yra kvadratinės lygties šaknys ir žinomas jų skaičius, reikia naudoti kintamųjų formules. Jei yra dvi šaknys, tuomet reikia taikyti šią formulę.

Kadangi jame yra ženklas „±“, bus dvi reikšmės. Po kvadratinės šaknies ženklu esanti išraiška yra diskriminantas. Todėl formulę galima perrašyti kitaip.

Penkta formulė. Iš to paties įrašo aišku, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, tada abi šaknys įgis tas pačias reikšmes.

Jei kvadratinių lygčių sprendimas dar neišspręstas, prieš taikant diskriminacines ir kintamąsias formules geriau užsirašyti visų koeficientų reikšmes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pačioje pradžioje kyla sumaištis.

Kaip išspręsti nepilną kvadratinę lygtį?

Čia viskas daug paprasčiau. Papildomų formulių net nereikia. O tų, kurie jau buvo užrašyti diskriminantui ir nežinomam, neprireiks.

Pirmiausia pasvarstykime nepilna lygtis antroje vietoje. Šioje lygybėje reikia iš skliaustų išimti nežinomą kiekį ir išspręsti tiesinę lygtį, kuri liks skliausteliuose. Atsakymas turės dvi šaknis. Pirmasis būtinai lygus nuliui, nes yra daugiklis, susidedantis iš paties kintamojo. Antrasis bus gautas sprendžiant tiesinę lygtį.

Neišsami lygtis numeris trys išspręsta perkeliant skaičių iš kairės lygybės pusės į dešinę. Tada reikia padalyti iš koeficiento, nukreipto į nežinomybę. Belieka ištraukti kvadratinę šaknį ir nepamiršti du kartus užsirašyti priešingais ženklais.

Žemiau yra keletas veiksmų, kurie padės išmokti išspręsti visų rūšių lygybes, kurios virsta kvadratinėmis lygtimis. Jie padės mokiniui išvengti klaidų dėl neatidumo. Šie trūkumai yra priežastis blogi pažymiai nagrinėjant plačią temą „Kvadratinės lygtys (8 kl.)“. Vėliau šių veiksmų nereikės atlikti nuolat. Nes atsiras stabilus įgūdis.

• Pirmiausia turite parašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su daugiausiai didele dalimi kintamasis, o tada - be laipsnio ir galiausiai - tik skaičius.

• Jei prieš koeficientą „a“ atsiranda minusas, tai gali apsunkinti darbą pradedančiajam, studijuojančiam kvadratines lygtis. Geriau jo atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš „-1“. Tai reiškia, kad visi terminai pakeis ženklą į priešingą.

• Taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad vardikliai panaikintų.

Pavyzdžiai

Būtina išspręsti šias kvadratines lygtis:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmoji lygtis: x 2 − 7x = 0. Ji yra neišsami, todėl išspręsta taip, kaip aprašyta formulėje numeris antroji.

Išėmus jį iš skliaustų, paaiškėja: x (x - 7) = 0.

Pirmoji šaknis įgauna reikšmę: x 1 = 0. Antroji bus rasta iš tiesinė lygtis: x - 7 = 0. Nesunku pastebėti, kad x 2 = 7.

Antroji lygtis: 5x 2 + 30 = 0. Vėlgi nepilna. Tik ji išspręsta taip, kaip aprašyta trečiojoje formulėje.

Perkėlus 30 į dešinę lygties pusę: 5x 2 = 30. Dabar reikia padalyti iš 5. Pasirodo: x 2 = 6. Atsakymai bus skaičiai: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Trečioji lygtis: 15 − 2х − x 2 = 0. Čia ir toliau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės nuo jų perrašymo standartinis vaizdas: − x 2 − 2x + 15 = 0. Dabar atėjo laikas naudoti antrą naudingų patarimų ir padauginkite viską iš minus vieno. Pasirodo x 2 + 2x - 15 = 0. Naudojant ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminantą: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Tai teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta aukščiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Juos reikia apskaičiuoti naudojant penktąją formulę. Pasirodo, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ketvirtoji lygtis x 2 + 8 + 3x = 0 paverčiama taip: x 2 + 3x + 8 = 0. Jos diskriminantas lygus šiai reikšmei: -23. Kadangi šis skaičius yra neigiamas, atsakymas į šią užduotį bus toks: „Šaknų nėra“.

Penktąją lygtį 12x + x 2 + 36 = 0 reikia perrašyti taip: x 2 + 12x + 36 = 0. Pritaikius diskriminanto formulę, gaunamas skaičius nulis. Tai reiškia, kad jis turės vieną šaknį, būtent: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Šeštoji lygtis (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) reikalauja transformacijų, kurias sudaro panašius terminus, prieš atidarydami skliaustus. Vietoj pirmosios bus tokia išraiška: x 2 + 2x + 1. Po lygybės pasirodys šis įrašas: x 2 + 3x + 2. Suskaičiavus panašius narius, lygtis bus tokia: x 2 - x = 0. Jis tapo nepilnas . Kažkas panašaus jau buvo aptarta šiek tiek aukščiau. To šaknys bus skaičiai 0 ir 1.