Kaip nustatoma vektoriaus projekcija į koordinačių ašis? Tiesinės operacijos su vektoriais ir jų pagrindinės savybės

Tegul du vektoriai ir yra pateikti erdvėje. Atidėkime nuo savavališko taško O vektoriai ir . Kampas tarp vektorių vadinamas mažiausiu iš kampų. Paskirta .

Apsvarstykite ašį l ir ant jo nubraižyti vienetinį vektorių (t.y. vektorių, kurio ilgis lygus vienetui).

Kampu tarp vektoriaus ir ašies l suprasti kampą tarp vektorių ir .

Taigi tegul l yra tam tikra ašis ir yra vektorius.

Pažymėkime pagal A 1 Ir B 1 projekcijos į ašį l atitinkamai taškais A Ir B. Tarkime, kad A 1 turi koordinates x 1, A B 1– koordinuoti x 2 ant ašies l.

Tada projekcija vektorius vienai ašiai l vadinamas skirtumu x 1 – x 2 tarp vektoriaus pabaigos ir pradžios projekcijų į šią ašį koordinačių.

Vektoriaus projekcija į ašį l pažymėsime .

Aišku, kad jei kampas tarp vektoriaus ir ašies l tada aštrus x 2> x 1, ir projekcija x 2 – x 1> 0; jei šis kampas yra bukas, tada x 2< x 1 ir projekcija x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, Tai x 2= x 1 Ir x 2– x 1=0.

Taigi, vektoriaus projekcija į ašį l yra atkarpos ilgis A 1 B 1, paimtas su tam tikru ženklu. Todėl vektoriaus projekcija į ašį yra skaičius arba skaliaras.

Panašiai nustatoma vieno vektoriaus projekcija į kitą. Šiuo atveju randamos šio vektoriaus galų projekcijos į tiesę, kurioje yra 2-asis vektorius.

Pažvelkime į keletą pagrindinių projekcijų savybės.

LINIJAI PRIKLAUSOMOSIOS IR LINIJAI NEPRIKLAUSOMO VEKTORINĖS SISTEMOS

Panagrinėkime kelis vektorius.

Linijinis derinys iš šių vektorių yra bet koks formos vektorius, kur yra keletas skaičių. Skaičiai vadinami tiesiniais derinių koeficientais. Jie taip pat sako, kad šiuo atveju jis išreiškiamas tiesiškai per šiuos vektorius, t.y. gaunamas iš jų naudojant tiesinius veiksmus.

Pavyzdžiui, jei pateikiami trys vektoriai, tada šie vektoriai gali būti laikomi jų tiesine kombinacija:

Jei vektorius vaizduojamas kaip tiesinis kai kurių vektorių derinys, tada sakoma, kad jis yra išdėstyti palei šiuos vektorius.

Vektoriai vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra skaičių, ne visi lygūs nuliui, todėl . Akivaizdu, kad pateikti vektoriai bus tiesiškai priklausomi, jei kuris nors iš šių vektorių bus tiesiškai išreikštas kitais.

Priešingu atveju, t.y. kai santykis atliekama tik tada, kai , šie vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomas.

1 teorema. Bet kurie du vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai yra kolineariniai.

Įrodymas:

Šią teoremą galima įrodyti panašiai.

2 teorema. Trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie yra vienodi.

Įrodymas.

PAGRINDAS

Pagrindas yra ne nulių rinkinys tiesiniu būdu nepriklausomi vektoriai. Pagrindo elementus pažymėsime .

Ankstesnėje pastraipoje matėme, kad du nekolineariniai vektoriai plokštumoje yra tiesiškai nepriklausomi. Todėl, remiantis 1 teorema iš ankstesnės pastraipos, pagrindas plokštumoje yra bet kurie du nekolineariniai vektoriai šioje plokštumoje.

Panašiai bet kurie trys ne lygiaplaniai vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi erdvėje. Vadinasi, tris nevienaplanius vektorius vadiname pagrindu erdvėje.

Šis teiginys yra teisingas.

Teorema. Tegul pagrindas yra duotas erdvėje. Tada bet kuris vektorius gali būti pavaizduotas kaip tiesinis derinys , Kur x, y, z- kai kurie skaičiai. Tai vienintelis skilimas.

Įrodymas.

Taigi pagrindas leidžia kiekvieną vektorių vienareikšmiškai susieti su skaičių trigubu – šio vektoriaus išplėtimo į bazinius vektorius koeficientais: . Taip pat yra priešingai – kiekvienam trims skaičiams x, y, z naudodamiesi pagrindu, galite palyginti vektorių, jei sukuriate tiesinį derinį .

Jei pagrindas ir , tada skaičiai x, y, z yra vadinami koordinates vektorius tam tikrame pagrinde. Vektorinės koordinatės žymimos .

KARTESIJŲ KOORDINAČIŲ SISTEMA

Tegu erdvėje duotas taškas O ir trys nevienaplaniai vektoriai.

Dekarto sistema koordinates erdvėje (plokštumoje) yra taško ir pagrindo rinkinys, t.y. taško ir trijų nevienaplanių vektorių (2 nekolinearinių vektorių), kylančių iš šio taško, rinkinys.

Taškas O vadinamas kilme; tiesės, einančios per koordinačių pradžią bazinių vektorių kryptimi, vadinamos koordinačių ašimis – abscisių, ordinačių ir taikomųjų ašių. Plokštumos, einančios per koordinačių ašis, vadinamos koordinačių plokštumos.

Panagrinėkime pasirinktoje koordinačių sistemoje savavališkas taškas M. Pateikiame taško koordinačių sąvoką M. Vektorius, jungiantis kilmę su tašku M. paskambino spindulio vektorius taškų M.

Pasirinkto pagrindo vektorius gali būti susietas su skaičių trigubu – jo koordinatėmis: .

Taško spindulio vektoriaus koordinatės M. yra vadinami taško M koordinatės. nagrinėjamoje koordinačių sistemoje. M(x,y,z). Pirmoji koordinatė vadinama abscisėmis, antroji – ordinata, o trečioji – aplikacija.

Panašiai apibrėžta Dekarto koordinatės lėktuve. Čia taškas turi tik dvi koordinates – abscisę ir ordinatę.

Nesunku pastebėti, kad kada duota sistema koordinates, kiekvienas taškas turi tam tikras koordinates. Kita vertus, kiekvienam skaičių trigubui yra unikalus taškas, kuriame šie skaičiai yra koordinatės.

Jei pasirinktoje koordinačių sistemoje naudojami vektoriai yra vienetinio ilgio ir poromis statmeni, tada koordinačių sistema vadinama Dekarto stačiakampis.

Tai lengva parodyti.

Vektoriaus krypties kosinusai visiškai nustato jo kryptį, bet nieko nesako apie jo ilgį.

o ant ašies ar kokio kito vektoriaus yra jos geometrinės projekcijos ir skaitinės (arba algebrinės) projekcijos sąvokos. Geometrinės projekcijos rezultatas bus vektorius, o algebrinės projekcijos rezultatas bus neneigiamas realus skaičius. Tačiau prieš pereidami prie šių sąvokų, prisiminkime reikalinga informacija.

Preliminari informacija

Pagrindinė sąvoka yra pati vektoriaus sąvoka. Norėdami pristatyti geometrinio vektoriaus apibrėžimą, prisiminkime, kas yra atkarpa. Pateikiame tokį apibrėžimą.

1 apibrėžimas

Atkarpa yra tiesės dalis, turinti dvi ribas taškų pavidalu.

Segmentas gali turėti 2 kryptis. Norėdami pažymėti kryptį, vieną iš atkarpos ribų vadinsime jos pradžia, o kitą – pabaiga. Kryptis nurodoma nuo segmento pradžios iki pabaigos.

2 apibrėžimas

Vektoriumi arba nukreipta atkarpa vadinsime atkarpą, kuriai žinoma, kuri iš atkarpos ribų laikoma pradžia, o kuri – pabaiga.

Pavadinimas: dviem raidėmis: $\overline(AB)$ – (kur $A$ yra jos pradžia, o $B$ – pabaiga).

Viena maža raide: $\overline(a)$ (1 pav.).

Leiskite pristatyti dar keletą sąvokų, susijusių su vektoriaus sąvoka.

3 apibrėžimas

Du nulinius vektorius vadinsime kolineariniais, jei jie yra toje pačioje tiesėje arba lygiagrečiose viena kitai tiesėse (2 pav.).

4 apibrėžimas

Du nulinius vektorius vadinsime bendrakrypčiais, jei jie tenkina dvi sąlygas:

Šie vektoriai yra kolineariniai.
Jeigu jie nukreipti viena kryptimi (3 pav.).

Žymėjimas: $\overline(a)\overline(b)$

5 apibrėžimas

Mes vadinsime du nulinius vektorius, nukreiptus priešingai, jei jie tenkina dvi sąlygas:

Šie vektoriai yra kolineariniai.
Jei jie yra nukreipti į skirtingos pusės(4 pav.).

Žymėjimas: $\overline(a)↓\overline(d)$

6 apibrėžimas

Vektoriaus $\overline(a)$ ilgis bus atkarpos $a$ ilgis.

Žymėjimas: $|\overline(a)|$

Pereikime prie dviejų vektorių lygybės nustatymo

7 apibrėžimas

Du vektorius vadinsime lygiais, jei jie tenkina dvi sąlygas:

Jie yra bendros krypties;
Jų ilgiai lygūs (5 pav.).

Geometrinė projekcija

Kaip minėjome anksčiau, geometrinės projekcijos rezultatas bus vektorius.

8 apibrėžimas

Vektoriaus $\overline(AB)$ geometrinė projekcija į ašį yra vektorius, kuris gaunamas taip: Vektoriaus $A$ pradžios taškas projektuojamas į šią ašį. Gauname tašką $A"$ – norimo vektoriaus pradžią. Į šią ašį projektuojame vektoriaus $B$ pabaigos tašką. Gauname tašką $B"$ – norimo vektoriaus pabaigą. Vektorius $\overline(A"B")$ bus norimas vektorius.

Panagrinėkime problemą:

1 pavyzdys

Sukurti geometrinė projekcija$\overline(AB)$ prie $l$ ašies, kaip parodyta 6 paveiksle.

Iš taško $A$ nubrėžkime statmeną ašiai $l$, jame gausime tašką $A"$. Toliau iš taško $B$ nubrėžkime statmeną ašiai $l$, gausime tašką $B „$ ant jo (7 pav.).

o ant ašies ar kokio kito vektoriaus yra jos geometrinės projekcijos ir skaitinės (arba algebrinės) projekcijos sąvokos. Geometrinės projekcijos rezultatas bus vektorius, o algebrinės projekcijos rezultatas – neneigiamas realusis skaičius. Tačiau prieš pereidami prie šių sąvokų, prisiminkime reikiamą informaciją.

Preliminari informacija

Pagrindinė sąvoka yra pati vektoriaus sąvoka. Norėdami pristatyti geometrinio vektoriaus apibrėžimą, prisiminkime, kas yra atkarpa. Pateikiame tokį apibrėžimą.

1 apibrėžimas

Atkarpa yra tiesės dalis, turinti dvi ribas taškų pavidalu.

Segmentas gali turėti 2 kryptis. Norėdami pažymėti kryptį, vieną iš atkarpos ribų vadinsime jos pradžia, o kitą – pabaiga. Kryptis nurodoma nuo segmento pradžios iki pabaigos.

2 apibrėžimas

Vektoriumi arba nukreipta atkarpa vadinsime atkarpą, kuriai žinoma, kuri iš atkarpos ribų laikoma pradžia, o kuri – pabaiga.

Pavadinimas: dviem raidėmis: $\overline(AB)$ – (kur $A$ yra jos pradžia, o $B$ – pabaiga).

Viena maža raide: $\overline(a)$ (1 pav.).

Leiskite pristatyti dar keletą sąvokų, susijusių su vektoriaus sąvoka.

3 apibrėžimas

Du nulinius vektorius vadinsime kolineariniais, jei jie yra toje pačioje tiesėje arba lygiagrečiose viena kitai tiesėse (2 pav.).

4 apibrėžimas

Du nulinius vektorius vadinsime bendrakrypčiais, jei jie tenkina dvi sąlygas:

Šie vektoriai yra kolineariniai.
Jeigu jie nukreipti viena kryptimi (3 pav.).

Žymėjimas: $\overline(a)\overline(b)$

5 apibrėžimas

Mes vadinsime du nulinius vektorius, nukreiptus priešingai, jei jie tenkina dvi sąlygas:

Šie vektoriai yra kolineariniai.
Jeigu jie nukreipti skirtingomis kryptimis (4 pav.).

Žymėjimas: $\overline(a)↓\overline(d)$

6 apibrėžimas

Vektoriaus $\overline(a)$ ilgis bus atkarpos $a$ ilgis.

Žymėjimas: $|\overline(a)|$

Pereikime prie dviejų vektorių lygybės nustatymo

7 apibrėžimas

Du vektorius vadinsime lygiais, jei jie tenkina dvi sąlygas:

Jie yra bendros krypties;
Jų ilgiai lygūs (5 pav.).

Geometrinė projekcija

Kaip minėjome anksčiau, geometrinės projekcijos rezultatas bus vektorius.

8 apibrėžimas

Panagrinėkime problemą:

1 pavyzdys

Sukurkite geometrinę projekciją $\overline(AB)$ į $l$ ašį, parodytą 6 paveiksle.

Iš taško $A$ nubrėžkime statmeną ašiai $l$, jame gausime tašką $A"$. Toliau iš taško $B$ nubrėžkime statmeną ašiai $l$, gausime tašką $B „$ ant jo (7 pav.).

Nuotraukos brėžiniuose geometriniai kūnai yra sukonstruoti naudojant projekcijos metodą. Tačiau tam neužtenka bent dviejų projekcijų. Jų pagalba nustatomi taškai erdvėje. Todėl jūs turite žinoti, kaip rasti taško projekciją.

Taško projekcija

Norėdami tai padaryti, turėsite atsižvelgti į erdvę dvikampis kampas, kurio viduje yra taškas (A). Čia naudojamos horizontalios P1 ir vertikalios P2 projekcijos plokštumos. Taškas (A) projektuojamas statmenai į projekcijos plokštumas. Kalbant apie statmenus projekcinius spindulius, jie sujungiami į projektavimo plokštumą, statmenos plokštumoms projekcijos. Taigi, derinant horizontalias P1 ir priekines P2 plokštumas, sukantis išilgai P2 / P1 ašies, gauname plokščią brėžinį.

Tada tiesė su joje esančiais projekcijos taškais rodoma statmenai ašiai. Taigi pasirodo sudėtingas piešinys. Dėka ant jo sukonstruotų segmentų ir vertikali linija ryšį, galite lengvai nustatyti taško padėtį projekcijos plokštumų atžvilgiu.

Kad būtų lengviau suprasti, kaip rasti projekciją, turite apsvarstyti stačiakampis trikampis. Trumpoji jo pusė yra koja, o ilgoji – hipotenuzė. Jei projektuosite koją ant hipotenuzės, ji bus padalinta į du segmentus. Norėdami nustatyti jų vertę, turite apskaičiuoti pradinių duomenų rinkinį. Pažiūrėkime duotas trikampis, pagrindinių projekcijų apskaičiavimo metodai.

Paprastai šioje užduotyje jie nurodo kojos N ilgį ir hipotenuzės D ilgį, kurios projekciją reikia rasti. Norėdami tai padaryti, išsiaiškinsime, kaip rasti kojos projekciją.

Panagrinėkime kojos ilgio (A) nustatymo metodą. Atsižvelgiant į tai, kad kojos projekcijos ir hipotenuzės ilgio geometrinis vidurkis yra lygus ieškomos kojos reikšmei: N = √(D*Nd).

Kaip rasti projekcijos ilgį

Produkto šaknį galima rasti norimos kojos ilgį (N) padalijus kvadratu ir padalijus iš hipotenuzės ilgio: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Nurodant reikšmes šaltinio duomenyse tik D ir N kojų ilgio projekcijos turėtų būti randamos naudojant Pitagoro teoremą.
Raskime hipotenuzės ilgį D. Norėdami tai padaryti, turite naudoti kojų reikšmes √ (N² + T²) ir gautą reikšmę pakeisti šia formule, kad rastumėte projekciją: Nd = N² / √ (N² + T²).

Kai šaltiniuose yra duomenys apie kojos RD projekcijos ilgį, taip pat duomenys apie hipotenuzės D reikšmę, antrosios kojos ND projekcijos ilgį reikia apskaičiuoti naudojant paprastą atėmimo formulę: ND = D – RD.

Greičio projekcija

Pažiūrėkime, kaip rasti greičio projekciją. Kad tam tikras vektorius atspindėtų judėjimo aprašymą, jis turi būti projekcijoje koordinačių ašys. Yra viena koordinačių ašis (spindulys), dvi koordinačių ašys (plokštuma) ir trys koordinačių ašys (erdvė). Surandant projekciją, reikia nuleisti statmenis nuo vektoriaus galų į ašį.

Norėdami suprasti projekcijos reikšmę, turite žinoti, kaip rasti vektoriaus projekciją.

Vektorinė projekcija

Kai kūnas juda statmenai ašiai, projekcija bus vaizduojama kaip taškas ir turi reikšmę lygus nuliui. Jei judėjimas atliekamas lygiagrečiai koordinačių ašiai, tada projekcija sutaps su vektoriaus moduliu. Tuo atveju, kai kūnas juda taip, kad greičio vektorius yra nukreiptas kampu φ ašies (x) atžvilgiu, projekcija į šią ašį bus atkarpa: V(x) = V cos(φ), kur V – greičio vektoriaus modelis Kai greičio vektoriaus ir koordinačių ašies kryptys sutampa, tada projekcija yra teigiama, ir atvirkščiai.

Paimkime štai ką koordinačių lygtis: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Šiuo atveju greičio funkcija bus suprojektuota į tris ašis ir bus tokia: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). Iš to seka, kad norint rasti greitį reikia paimti išvestines. Pats greičio vektorius išreiškiamas tokios formos lygtimi: V = V(x) i + V(y) j + V(z) k Čia yra i, j, k vienetiniai vektoriai koordinačių ašys x, y, z atitinkamai. Taigi greičio modulis apskaičiuojamas pagal tokią formulę: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).

Ašis yra kryptis. Tai reiškia, kad projekcija į ašį arba į nukreiptą liniją yra laikoma tuo pačiu dalyku. Projekcija gali būti algebrinė arba geometrinė. Geometrine prasme vektoriaus projekcija į ašį suprantama kaip vektorius, o algebrine prasme tai yra skaičius. Tai yra, vartojamos vektoriaus projekcijos į ašį ir skaitinės vektoriaus projekcijos į ašį sąvokos.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jei turime L ašį ir nulinį vektorių A B →, tai galime sukurti vektorių A 1 B 1 ⇀, žymintį jo taškų A 1 ir B 1 projekcijas.

A 1 B → 1 bus vektoriaus A B → projekcija į L.

1 apibrėžimas

Vektoriaus projekcija į ašį yra vektorius, kurio pradžia ir pabaiga yra pradžios ir pabaigos projekcijos duotas vektorius. n p L A B → → įprasta projekciją A B → žymėti į L. Norint sukurti projekciją į L, statmenai nuleidžiami į L.

1 pavyzdys

Vektorinės projekcijos į ašį pavyzdys.

Įjungta koordinačių plokštuma Apie x y nurodytas taškas M 1 (x 1 , y 1). Norint pavaizduoti taško M 1 spindulio vektorių, reikia sudaryti O x ir O y projekcijas. Gauname vektorių (x 1, 0) ir (0, y 1) koordinates.

Jeigu mes kalbame apie apie a → projekciją į ne nulį b → arba a → projekciją į kryptį b → , tuomet turime omenyje a → projekciją į ašį, su kuria kryptis b → sutampa. A → projekcija į tiesę, apibrėžtą b →, žymima n p b → a → → . Yra žinoma, kad kai kampas tarp a → ir b → , n p b → a → → ir b → gali būti laikomas bendrakrypčiu. Tuo atveju, kai kampas yra bukas, n p b → a → → ir b → yra priešingomis kryptimis. Esant statmenai a → ir b →, o a → yra nulis, a → projekcija b → kryptimi yra nulinis vektorius.

Skaitinė vektoriaus projekcijos į ašį charakteristika yra skaitinė vektoriaus projekcija į nurodytą ašį.

2 apibrėžimas

Skaitinė vektoriaus projekcija į ašį yra skaičius, lygus duoto vektoriaus ilgio ir kampo tarp nurodyto vektoriaus ir vektoriaus, lemiančio ašies kryptį, sandaugai.

Skaitinė A B → projekcija į L žymima n p L A B → , o a → į b → - n p b → a → .

Remdamiesi formule gauname n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , iš kur a → yra vektoriaus ilgis a → , a ⇀ , b → ^ yra kampas tarp vektorių a → ir b → .

Gauname skaitinės projekcijos apskaičiavimo formulę: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Jis taikomas žinomiems ilgiams a → ir b → ir kampui tarp jų. Formulė taikoma žinomoms koordinatėms a → ir b →, tačiau yra supaprastinta forma.

2 pavyzdys

Išsiaiškinkite skaitinę a → projekciją į tiesę b → kryptimi, kurios ilgis a → lygus 8 ir kampas tarp jų yra 60 laipsnių. Pagal sąlygą turime a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Taigi, pakeiskime skaitines reikšmesį formulę n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Atsakymas: 4.

Kai žinomas cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , turime a → , b → kaip taškinis produktas a → ir b → . Vadovaudamiesi formule n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , galime rasti skaitinę projekciją a → nukreiptą išilgai vektoriaus b → ir gauti n p b → a → = a → , b → b → . Formulė atitinka pastraipos pradžioje pateiktą apibrėžimą.

3 apibrėžimas

Vektoriaus a → skaitinė projekcija į ašį, sutampančią su b → kryptimi, yra vektorių a → ir b → skaliarinės sandaugos santykis su ilgiu b → . Formulė n p b → a → = a → , b → b → taikoma norint rasti a → skaitinę projekciją į tiesę, kurios kryptis sutampa su b → , su žinomomis a → ir b → koordinatėmis.

3 pavyzdys

Duota b → = (- 3 , 4) . Raskite skaitmeninę projekciją a → = (1, 7) į L.

Sprendimas

Koordinačių plokštumoje n p b → a → = a → , b → b → turi formą n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , kai a → = (a x , a y ) ir b → = b x , b y . Norint rasti vektoriaus a → skaitinę projekciją į L ašį, reikia: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( - 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Atsakymas: 5.

4 pavyzdys

Raskite a → projekciją į L, sutampančią su kryptimi b →, kur yra a → = - 2, 3, 1 ir b → = (3, - 2, 6). Nurodoma trimatė erdvė.

Sprendimas

Atsižvelgiant į a → = a x , a y , a z ir b → = b x , b y , b z , apskaičiuojame skaliarinę sandaugą: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Ilgis b → randamas naudojant formulę b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Iš to seka, kad skaitinės projekcijos a → nustatymo formulė bus tokia: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Pakeiskite skaitines reikšmes: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Atsakymas: - 67.

Pažvelkime į ryšį tarp a → ant L ir projekcijos a → ilgio ant L. Nubrėžkime ašį L, iš taško L pridėdami a → ir b →, po to nubrėžkime statmeną tiesę nuo galo a → iki L ir nubrėžkime projekciją į L. Yra 5 vaizdo variantai:

Pirma atvejis su a → = n p b → a → → reiškia a → = n p b → a → → , taigi n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Antra atvejis reiškia, kad naudojamas n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , o tai reiškia n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Trečia atvejis paaiškina, kad kai n p b → a → → = 0 → gauname n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, tada n p b → a → → = 0 ir n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Ketvirta atvejis rodo n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , seka n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Penkta atvejis rodo a → = n p b → a → → , o tai reiškia a → = n p b → a → → , todėl turime n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

4 apibrėžimas

Vektoriaus a → skaitmeninė projekcija į L ašį, kuri nukreipta taip pat, kaip ir b →, turi tokią reikšmę:

vektoriaus a → projekcijos į L ilgį, su sąlyga, kad kampas tarp a → ir b → yra mažesnis nei 90 laipsnių arba lygus 0: n p b → a → = n p b → a → → su sąlyga 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
nulis su sąlyga, kad a → ir b → yra statmenos: n p b → a → = 0, kai (a → , b → ^) = 90 °;
projekcijos a → į L ilgis, padaugintas iš -1, kai yra bukas arba tiesus vektorių a → ir b → kampas: n p b → a → = - n p b → a → → su sąlyga 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

5 pavyzdys

Atsižvelgiant į projekcijos a → į L ilgį, lygų 2. Raskite skaitinę projekciją a → su sąlyga, kad kampas yra 5 π 6 radianai.

Sprendimas

Iš sąlygos aišku, kad nurodytas kampas yra bukas: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Atsakymas: - 2.

6 pavyzdys

Duota plokštuma O x y z, kurios vektoriaus ilgis a → lygus 6 3, b → (- 2, 1, 2), kurios kampas 30 laipsnių. Raskite projekcijos a → koordinates į L ašį.

Sprendimas

Pirmiausia apskaičiuojame skaitinę vektoriaus a → projekciją: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Pagal sąlygą kampas yra smailusis, tada skaitinė projekcija a → = vektoriaus a → projekcijos ilgis: n p L a → = n p L a → → = 9. Šis atvejis rodo, kad vektoriai n p L a → → ir b → yra nukreipti kartu, o tai reiškia, kad yra skaičius t, kurio lygybė yra teisinga: n p L a → → = t · b → . Iš čia matome, kad n p L a → → = t · b → , tai reiškia, kad galime rasti parametro t reikšmę: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tada n p L a → → = 3 · b → su vektoriaus a → projekcijos koordinatėmis į L ašį, lygią b → = (- 2 , 1 , 2) , kur reikia reikšmes padauginti iš 3. Turime n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Atsakymas: (- 6, 3, 6).

Būtina pakartoti anksčiau išmoktą informaciją apie vektorių kolineariškumo sąlygą.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter