Trikampis yra viena iš pagrindinių geometrinių formų. Ir tik jis turi „puikių“ taškų. Tai apima, tarkime, centras gravitacija– taškas, į kurį nukreipiamas kiekvienos figūros svoris. Kur yra šis „puikus“ taškas ir kaip jį rasti?
Jums reikės
- pieštukas, liniuotė
Instrukcijos
1. Nubrėžkite patį trikampį. Norėdami tai padaryti, paimkite liniuotę ir pieštuku nubrėžkite liniją. Tada nubrėžkite kitą segmentą, pradedant nuo vieno iš ankstesnio galų. Uždarykite figūrą sujungdami du likusius laisvus segmentų taškus. Rezultatas yra trikampis. Tai buvo jo centras gravitacija būti rastam.
2. Paimkite liniuotę ir išmatuokite vienos iš kraštų ilgį. Raskite šios pusės vidurį ir pažymėkite jį pieštuku. Nubrėžkite segmentą iš priešinga viršūnė iki nurodyto taško. Gautas segmentas vadinamas mediana.
3. Pereikite prie 2 pusės. Išmatuokite jo ilgį, padalykite į dvi lygias dalis ir nubrėžkite vidurinę nuo priešingos viršūnės.
4. Atlikite tą patį su trečiąja šalimi. Atkreipkite dėmesį, kad jei viską padarėte teisingai, medianos susikirs viename taške. Taip ir bus centras gravitacija arba, kaip dar vadinama, centras trikampio masės.
5. Jei susiduriate su užduotimi, atraskite centras gravitacija lygiakraštis trikampis, tada nubrėžkite aukštį nuo visos figūros viršūnės. Norėdami tai padaryti, paimkite liniuotę su stačiu kampu ir viena iš kraštinių, atsiremkite į trikampio pagrindą, o kitą nukreipkite į priešingą viršūnę. Tą patį padarykite su kitomis pusėmis. Susikirtimo taškas bus centras ohm gravitacija. Lygiakraščių trikampių ypatumas yra tas, kad tos pačios atkarpos yra medianos, aukščiai ir pusiausvyros.
6. centras gravitacija bet kurio trikampio medianas padalija į dvi atkarpas. Jų santykis 2:1 žiūrint iš viršaus. Jei trikampis ant kaiščio uždėtas taip, kad centras Jei oidas yra ant jo galo, jis nenukris, bet bus pusiausvyroje. Taip pat centras gravitacija yra taškas, į kurį nukreipiama kiekviena masė, esanti ant trikampio viršūnių. Atlikite šį įgūdį ir įsitikinkite, kad šis taškas ne veltui vadinamas „skanu“.
2 patarimas: kaip rasti lygiakraščio trikampio aukštį
Lygiakraštis trikampis yra trikampis, kurio visos kraštinės yra lygios, kaip rodo jo pavadinimas. Ši specifika labai supaprastina likusių parametrų paiešką trikampis, įskaitant jo aukštį.
Jums reikės
- Lygiakraščio trikampio kraštinės ilgis
Instrukcijos
1. Lygiakraščio trikampio visi kampai taip pat lygūs. Lygiakraštis kampas trikampis, nuo šiol yra lygus 180/3 = 60 laipsnių. Matyt, todėl, kad visos šios pusės ir visi kampai trikampis yra vienodi, tada visi jo aukščiai taip pat bus vienodi.
2. Lygiakraščiame trikampyje ABC galima nubrėžti, tarkime, aukščio A.E. Kadangi lygiakraštis trikampis yra ypatinga byla lygiašoniai trikampis ir AB = AC. Vadinasi, pagal lygiašonių savybę trikampis aukštis AE bus toks pat kaip mediana (ty BE = EC) trikampis ABC ir kampo pusiausvyrą BAC (ty BAE = CAE).
3. Aukštis AE bus stačiakampio kraštinė trikampis BAE su hipotenuze AB. AB = a – lygiakraščio kraštinės ilgis trikampis. Tada AE = AB*sin(ABE) = a*sin(60o) = sqrt(3)*a/2. Vadinasi, rasti lygiakraščio aukštį trikampis, pakanka žinoti tik jos šono ilgį.
4. Matyt, jei lygiakraščio mediana arba pusiaukraštis trikampis, tada jis bus jo aukštis.
Video tema
Savavališkame trikampyje galite pasirinkti keletą atkarpų, kurių ilgį dažnai reikia apskaičiuoti. Šios atkarpos jungia taškus, esančius trikampio viršūnėse, jo kraštinių vidurio taškuose, įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų centruose, taip pat kitus trikampio geometrijai svarbius taškus. Kai kurios tokių atkarpų ilgių skaičiavimo Euklido geometrijoje parinktys pateikiamos žemiau.
Instrukcijos
1. Jei segmentas, kurį norite aptikti, jungia bet kurias dvi viršūnes savavališkas trikampis, tada jis yra viena iš to pusių geometrinė figūra. Jei žinome, tarkime, kitų 2 kraštinių (A ir B) ilgius ir kampo, kurį jos sudaro, dydį (?), tuomet galite apskaičiuoti šios atkarpos ilgį (C) remdamiesi kosinuso teorema. Sudėkite kraštinių ilgių kvadratus, atimkite iš visų dviejų tų pačių kraštinių ilgių, padaugintų iš nurodyto kampo kosinuso, ir raskite Kvadratinė šaknis iš gautos reikšmės: C=?(A?+B?-2*A*B*cos(?)).
2. Jei atkarpa prasideda vienoje iš trikampio viršūnių, baigiasi priešingoje pusėje ir yra jai statmena, tai tokia atkarpa vadinama aukščiu (h). Jį galima aptikti, tarkime, žinant šono, ant kurio aukštis nuleidžiamas, plotą (S) ir ilgį (A) – padvigubintą plotą padalinkite iš šono ilgio: h=2*S/A.
3. Jei atkarpa jungia kiekvienos savavališko trikampio kraštinės vidurio tašką ir viršūnę, esančią priešais šią kraštinę, tada ji vadinama šis segmentas mediana (m). Jos ilgį galite rasti, tarkime, žinodami visų kraštinių ilgius (A, B, C) - pridėkite dvigubus 2 kraštinių ilgių kvadratus, iš gautos reikšmės atimkite kraštinės, kurios viduryje yra atkarpos galai, o tada gautos sumos ketvirčio kvadratinę šaknį raskite: m=?((2*A?+2*B?-C?)/4).
4. Jei atkarpa jungia į savavališką trikampį įbrėžto apskritimo centrą ir bet kurį šio apskritimo liestinės tašką su trikampio kraštinėmis, tai jos ilgį galima nustatyti apskaičiuojant įbrėžto apskritimo spindulį (r). Norėdami tai padaryti, tarkime, padalykite trikampio plotą (S) iš jo perimetro (P): r=S/P.
5. Jei atkarpa jungia apie savavališką trikampį apibrėžto apskritimo centrą su kiekviena iš šios figūros viršūnių, tai jos ilgį galima apskaičiuoti radus apibrėžto apskritimo spindulį (R). Jei žinome, tarkime, vienos iš tokio trikampio kraštinių ilgį (A) ir kampą (?), esantį priešais jį, tada norėdami apskaičiuoti reikiamą atkarpos ilgį, kraštinės ilgį padalinkite iš dvigubo. kampo sinusas: R=A/(2*sin(? )).
Video tema
4 patarimas: kaip rasti lygiakraščio trikampio medianą
Mediana trikampis- tai atkarpa, jungianti trikampio viršūnę su priešingos kraštinės viduriu. Lygiakraščio trikampio mediana yra ir pusiausvyra, ir aukštis. Taigi, reikiamą segmentą galima sukonstruoti keliais būdais.
Jums reikės
- - pieštukas;
- - liniuotė;
- – transporteris;
- - kompasas.
Instrukcijos
1. Naudodami liniuotę ir pieštuką, lygiakraščio trikampio kraštinę padalinkite per pusę. Nubrėžkite liniją, jungiančią aptiktą tašką ir priešingas kampas trikampis. Tuo pačiu būdu atidėkite kitas dvi dalis. Nubrėžėte lygiakraščio trikampio medianas.
2. Nubrėžkite lygiakraščio trikampio aukštį. Naudodami kvadratą, nuleiskite statmeną nuo trikampio viršūnės iki priešinga pusė. Jūs sukonstravote lygiakraščio trikampio aukštį. Tai taip pat yra jo mediana.
3. Sukurkite lygiakraščio trikampio pusiausvyras. Kiekvienas lygiakraščio trikampio kampas yra lygus 60°. Pritvirtinkite transporterį prie vienos iš trikampio kraštinių taip, kad atskaitos taškas sutaptų su trikampio viršūne. Viena jo kraštinė turi taisyklingai sekti matavimo prietaiso liniją, kita pusė turi kirsti puslankį taške, pažymėtame 60?.
4. Pažymėkite 30? Nubrėžkite spindulį, jungiantį aptiktą tašką ir trikampio viršūnę. Raskite tašką, kuriame spindulys kerta trikampio kraštinę. Gauta atkarpa yra lygiakraščio trikampio, kuris yra jo mediana, pusiausvyra.
5. Jei lygiakraštis trikampis įrašytas į apskritimą, nubrėžkite tiesią liniją, jungiančią jo viršūnę su apskritimo centru. Pažymėkite šios linijos susikirtimo tašką su trikampio kraštine. Atkarpa, jungianti trikampio viršūnę ir jo kraštinę, bus lygiakraščio trikampio mediana.
Video tema
Naudingas patarimas
Sukurti kampo pusiausvyrą? naudojant kompasą leidžiamas lygiakraštis trikampis. Norėdami tai padaryti, sukonstruokite du apskritimus, kurių centras yra kitose 2 trikampio viršūnėse ir spindulys lygus šonui trikampis. Apskritimai susikirs 2 taškais: kampo viršūnėje? o taške N. Sujunkite šiuos taškus vienas su kitu. Ar sukonstravote kampo pusiausvyrą?
Figūros centras gali būti aptiktas keliais būdais, priklausomai nuo to, kokie duomenys apie ją jau žinomi. Verta apsvarstyti galimybę rasti apskritimo centrą, kuris yra taškų bendruomenė vienodas atstumas nuo centro, nes ši figūra yra viena iš labiausiai paplitusių.
Jums reikės
- – kvadratas;
- - valdovas.
Instrukcijos
1. Primityvus būdas rasti apskritimo centrą yra sulenkti popieriaus lapą, ant kurio jis nupieštas, ir pažvelgus į tarpą įsitikinti, kad jis teisingai perlenktas per pusę. Po to sulenkite lakštą statmenai pirmajai raukšlei. Taip gausite skersmenis, kurių susikirtimo taškas yra figūros centras.
2. Be jokios abejonės, šis metodas tobula tik tuo atveju, jei apskritimas nupieštas ant gana plono popieriaus, kad per šviesą būtų galima matyti, ar lapas teisingas.
3. Gali būti, kad minima figūrėlė nupiešta ant kieto, nelanksčios paviršiaus arba tai yra atskira dalis, kurios taip pat negalima sulenkti. Norint rasti apskritimo centrą šiuo atveju, reikia liniuotės.
4. Skersmuo yra ilgiausia linijos atkarpa, jungianti 2 apskritimo taškus. Kaip žinote, jis eina per centrą, todėl užduotis rasti apskritimo centrą yra skersmens ir jo vidurio taško paieška.
5. Uždėkite liniuotę ant apskritimo, tada kiekviename figūros taške užfiksuokite nulio ženklą. Pritvirtinkite liniuotę prie apskritimo, gaudami sekantą, tada judėkite link figūros centro. Sekanto ilgis didės, kol pasieks piko tašką. Gausite skersmenį, o radę jo vidurį, rasite ir apskritimo centrą.
6. Bet kurio trikampio apibrėžtojo apskritimo centras yra vidurinių statmenų sankirtoje. Jei trikampis yra stačiakampis, jo centras visada sutaps su hipotenuzės viduriu. Tai yra, sprendimas slypi statant apskritimo viduje taisyklingas trikampis kurių viršūnės guli ant apskritimo.
7. Trafaretas skirtas stačiu kampu Gali pasitarnauti mokyklos ar statybos aikštė, liniuotė ar net popieriaus/kartono lapas. Stačiojo kampo viršūnę pastatykite bet kuriame apskritimo taške, padarykite žymes tose vietose, kur kampo kraštinės kerta apskritimo ribą, ir jas sujunkite. Turite skersmenį - hipotenuzę.
8. Naudodami tą patį metodą suraskite kitą skersmenį, 2 tokių segmentų sankirta bus apskritimo centras.
Video tema
Pastaba!
Užduotys gali nurodyti, kad reikia aptikti svorio centrą, masės centrą arba centroidą. Visi trys vardai reiškia tą patį.
Gravitacijos centras(arba masės centras) tam tikro kūno taškas, turintis savybę, kad jei kūnas bus pakabintas nuo šio taško, jis išlaikys savo padėtį.
Žemiau aptariame dvimates ir trimates problemas, susijusias su įvairių masės centrų paieška – daugiausia skaičiavimo geometrijos požiūriu.
Toliau aptartuose sprendimuose galima išskirti du pagrindinius: faktas. Pirmasis yra tas, kad materialių taškų sistemos masės centras yra lygus jų koordinačių vidurkiui, paimtam su koeficientais, proporcingais jų masėms. Antras faktas yra tas, kad jei žinome dviejų nesikertančių figūrų masės centrus, tada jų jungties masės centras bus ant atkarpos, jungiančios šiuos du centrus, ir padalins ją tokiu pačiu santykiu kaip ir figūrų masė. antrasis skaičius yra susijęs su pirmojo mase.
Dvimatis atvejis: daugiakampiai
Tiesą sakant, kalbant apie dvimatės figūros masės centrą, galima reikšti vieną iš trys kiti užduotys:
- Taškų sistemos masės centras – t.y. visa masė sutelkta tik daugiakampio viršūnėse.
- Rėmo masės centras – t.y. Daugiakampio masė sutelkta jo perimetre.
- Kietosios figūros masės centras – t.y. Daugiakampio masė pasiskirsto visame jo plote.
Kiekviena iš šių užduočių turi savarankiškas sprendimas, ir bus aptarta atskirai toliau.
Taškų sistemos masės centras
Tai yra paprasčiausias trys užduotys, o jo sprendimas yra gerai žinoma fizikinė materialių taškų sistemos masės centro formulė:
kur yra taškų masės, yra jų spindulio vektoriai (nurodantys jų padėtį pradžios atžvilgiu) ir yra norimas masės centro spindulio vektorius.
Visų pirma, jei visi taškai turi vienodą masę, tada masės centro koordinatės yra vidutinis taškų koordinates. Dėl trikampisšis taškas vadinamas centroidas ir sutampa su medianų susikirtimo tašku:
Dėl įrodymasŠių formulių pakanka prisiminti, kad pusiausvyra pasiekiama taške, kuriame visų jėgų momentų suma lygi nuliui. IN tokiu atveju tai virsta sąlyga, kad visų taškų spindulio vektorių suma taško atžvilgiu, padauginta iš atitinkamų taškų masių, yra lygi nuliui:
ir, išreikšdami iš čia , gauname reikiamą formulę.
Rėmo masės centras
Bet tada kiekvieną daugiakampio kraštą galima pakeisti vienu tašku - šios atkarpos viduriu (kadangi vienalytės atkarpos masės centras yra šios atkarpos vidurys), mase lygus ilgiuišis segmentas.
Dabar turime problemą dėl materialių taškų sistemos ir pritaikę jai ankstesnės pastraipos sprendimą, randame:
kur yra daugiakampio i-osios kraštinės vidurio taškas, yra i-osios kraštinės ilgis, yra perimetras, t.y. kraštinių ilgių suma.
Dėl trikampis galima parodyti sekantį teiginį: tai taškas bisektoriaus susikirtimo taškas trikampis, sudarytas iš pradinio trikampio kraštinių vidurio taškų. (norėdami tai parodyti, turite naudoti aukščiau pateiktą formulę, o tada pastebėti, kad bisektoriniai dalija gauto trikampio kraštines tokiais pačiais santykiais kaip ir šių kraštinių masės centrai).
Kietos figūros masės centras
Manome, kad masė tolygiai pasiskirsto per figūrą, t.y. tankis kiekviename figūros taške yra lygus tam pačiam skaičiui.
Trikampio atvejis
Teigiama, kad trikampio atsakymas bus toks pat centroidas, t.y. taškas, sudarytas iš viršūnių koordinačių aritmetinio vidurkio:
Trikampis atvejis: įrodymas
Čia pateikiame elementarų įrodymą, kuris nenaudoja integralų teorijos.
Archimedas pirmasis pateikė tokį grynai geometrinį įrodymą, tačiau jis buvo labai sudėtingas didelis skaičius geometrines konstrukcijas. Čia pateiktas įrodymas paimtas iš Apostol, Mnatsakanian, straipsnio „Lengvasis centroidų radimas“.
Įrodymas apsiriboja parodymu, kad trikampio masės centras yra vienoje iš medianų; Pakartodami šį procesą dar du kartus, parodysime, kad masės centras yra medianų susikirtimo taške, kuris yra centroidas.
Suskaidykime duotas trikampisį keturias, jungiančias šonų vidurius, kaip parodyta paveikslėlyje:
Keturi gauti trikampiai yra panašūs į trikampį su koeficientu .
Trikampiai Nr. 1 ir Nr. 2 kartu sudaro lygiagretainį, kurio masės centras yra jo įstrižainių susikirtimo taške (nes tai figūra, kuri yra simetriška abiejų įstrižainių atžvilgiu, taigi ir jos centras masė turi gulėti ant kiekvienos iš dviejų įstrižainių). Esmė yra viduryje bendra pusė trikampiai Nr. 1 ir Nr. 2, taip pat yra ant trikampio medianos:
Tegul vektorius dabar yra vektorius, nubrėžtas nuo trikampio Nr. 1 viršūnės iki masės centro, o vektorius yra vektorius, nubrėžtas nuo taško (kuris, prisiminkime, yra kraštinės, ant kurios jis yra, vidurys) :
Mūsų tikslas yra parodyti, kad vektoriai ir yra kolineariniai.
Taškais, kurie yra trikampių Nr. 3 ir Nr. 4 masės centrai, pažymėkime ir. Tada akivaizdu, kad šių dviejų trikampių aibės masės centras bus taškas, kuris yra atkarpos vidurys. Be to, vektorius nuo taško iki taško sutampa su vektoriumi.
Norimas trikampio masės centras yra atkarpos, jungiančios taškus, viduryje ir (kadangi trikampį padalijome į dvi vienodo ploto dalis: Nr. 1-Nr. 2 ir Nr. 3-Nr. 4):
Taigi vektorius nuo viršūnės iki centroido yra . Kita vertus, nes trikampis Nr. 1 yra panašus į trikampį su koeficientu, tada tas pats vektorius yra lygus . Iš čia gauname lygtį:
kur rasime:
Taigi, mes įrodėme, kad vektoriai ir yra kolinearūs, o tai reiškia, kad norimas centroidas yra ant medianos, kylančios iš viršūnės.
Be to, pakeliui įrodėme, kad centroidas padalija kiekvieną medianą santykiu , skaičiuojant nuo viršūnės.
Daugiakampis korpusas
Dabar pereikime prie bendro atvejo – t.y. progai poligonas. Jam toks samprotavimas nebetinkamas, todėl problemą redukuojame iki trikampio: būtent daugiakampį padalijame į trikampius (t.y. trikampiuojame), randame kiekvieno trikampio masės centrą ir tada randame trikampio centrą. gautų trikampių masės centrų masė.
Galutinė formulė yra tokia:
kur yra trikampio trikampio centroidas duotas daugiakampis, yra trikampio trikampio plotas ir viso daugiakampio plotas.
Trianguliacija išgaubtas daugiakampis- nereikšminga užduotis: tam, pavyzdžiui, galite paimti trikampius, kur .
Daugiakampis atvejis: alternatyvus būdas
Kita vertus, naudoti aukščiau pateiktą formulę nėra labai patogu neišgaubti daugiakampiai, nes juos trianguliuoti savaime nėra lengva užduotis. Tačiau tokiems daugiakampiams galite sugalvoti paprastesnį metodą. Būtent, nubrėžkime analogiją su tuo, kaip galite ieškoti savavališko daugiakampio srities: pasirinkite savavališkas taškas, o tada iš šio taško suformuotų trikampių ženklų plotai ir daugiakampio taškai sumuojami: . Analogiška technika galima rasti ir masės centrą: tik dabar susumuosime trikampių masės centrus, paimtus jų plotams proporcingais koeficientais, t.y. Galutinė masės centro formulė yra tokia:
kur yra savavališkas taškas, yra daugiakampio taškai, yra trikampio centroidas, yra šio trikampio ženklo plotas, yra viso daugiakampio ženklo plotas (t. y.).
Trimatis korpusas: daugiakampis
Panašiai kaip dvimatis atvejis, 3D iš karto galime kalbėti apie keturias galimas problemos formuluotes:
- Taškų sistemos masės centras – daugiakampio viršūnės.
- Rėmo masės centras yra daugiakampio kraštai.
- Paviršiaus masės centras – t.y. masė pasiskirsto daugiakampio paviršiaus plote.
- Kietojo daugiakampio masės centras – t.y. masė pasiskirsto visame daugiakampyje.
Taškų sistemos masės centras
Kaip ir dvimatis korpusas, galime kreiptis fizinė formulė ir gauti tą patį rezultatą:
kuris tuo atveju vienodos masės virsta visų taškų koordinačių aritmetiniu vidurkiu.
Daugiakampio rėmo masės centras
Panašiai kaip dvimačio atvejo atveju, mes tiesiog pakeičiame kiekvieną daugiakampio kraštą materialiu tašku, esančiu šio krašto viduryje, ir mase, lygia šios briaunos ilgiui. Gavę materialių taškų uždavinį, nesunkiai randame jos sprendimą kaip svertinę šių taškų koordinačių sumą.
Daugiakampio paviršiaus masės centras
Kiekvienas daugiakampio paviršiaus paviršius yra dvimatė figūra, kurios masės centro galime ieškoti. Radę šiuos masės centrus ir pakeitę kiekvieną veidą savo masės centru, mes susiduriame su problema materialūs taškai, kurią jau nesunku išspręsti.
Kietojo daugiakampio masės centras
Tetraedro atvejis
Kaip ir dvimačiu atveju, pirmiausia išspręskime paprasčiausia užduotis- tetraedro problema.
Teigiama, kad tetraedro masės centras sutampa su jo medianų susikirtimo tašku (tetraedro mediana yra atkarpa, nubrėžta nuo jo viršūnės iki masės centro priešingas veidas; Taigi tetraedro mediana eina per viršūnę ir per trikampio veido medianų susikirtimo tašką).
Kodėl taip yra? Čia galioja samprotavimai, panašūs į dvimatį atvejį: jei tetraedrą supjaustysime į dvi tetraedras, naudodami plokštumą, einančią per tetraedro viršūnę ir kokią nors priešingo paviršiaus medianą, tada abiejų gautų tetraedrų tūris bus vienodas (nes trikampis veidas mediana bus padalinta į du trikampius vienodo ploto, o dviejų tetraedrų aukštis nepasikeis). Pakartodami šiuos argumentus keletą kartų, matome, kad masės centras yra tetraedro medianų susikirtimo taške.
Šis taškas – tetraedro medianų susikirtimo taškas – vadinamas jo centroidas. Galima parodyti, kad jis iš tikrųjų turi koordinates, lygias tetraedro viršūnių koordinačių aritmetiniam vidurkiui:
(tai galima daryti iš to, kad centroidas padalija medianas santykiu)
Taigi, esminio skirtumo tarp tetraedro ir trikampio atvejų nėra: taškas, lygus aritmetiniam viršūnių vidurkiui, yra masės centras dviejose uždavinio formuluotėse: abiejose, kai masės yra tik viršūnėse, t. o kai masės pasiskirsto visame plote/tūryje. Tiesą sakant, šis rezultatas apibendrina savavališką matmenį: savavališko masės centrą paprastasis(simplex) – jo viršūnių koordinačių aritmetinis vidurkis.
Savavališko daugiakampio atvejis
Dabar pereikime prie bendro atvejo – savavališko daugiakampio atvejo.
Vėlgi, kaip ir dvimačiu atveju, šią problemą redukuojame iki jau išspręstos: padalijame daugiakampį į tetraedrus (t. y. tetraedronizuojame), randame kiekvieno iš jų masės centrą ir gauname galutinį atsakymą. uždavinys rastų centrų svertinės sumos forma wt.
Baricentro vietos nustatymas integruojant
Barycenter pogrupis X erdvė R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) galima apskaičiuoti naudojant integralą
G = ∫ x g (x) d x ∫ g (x) d x , (\displaystyle G=(\frac (\int xg(x)\;dx)(\int g(x)\;dx)),)Kita baricentro koordinačių skaičiavimo formulė:
G k = ∫ z S k (z) d z ∫ S k (z) d z , (\displaystyle G_(k)=(\frac (\int zS_(k)(z)\;dz)(\int S_(k) )(z)\;dz)),)Kur G k yra k koordinatė G, A S k (z) – sankryžos matas X su lygtimi apibrėžta hiperplokštuma x k = z. Vėlgi vardiklis yra aibės matas X.
Dėl plokščia figūra baricentro koordinatės bus
G x = ∫ x S y (x) d x A ; (\displaystyle G_(\mathrm (x) )=(\frac (\int xS_(\mathrm (y) )(x)\;dx)(A));) G y = ∫ y S x (y) d y A , (\displaystyle G_(\mathrm (y) )=(\frac (\int yS_(\mathrm (x) )(y)\;dy)(A)) ,)Kur A- figūros plotas X, S y ( x) - sankryžos ilgis [nežinomas terminas ] X su vertikalia linija su abscisėmis x, S x ( y) – panaši reikšmė keičiant ašis.
Baricentro vietos nustatymas srityje, kurią riboja ištisinių funkcijų grafikai
Baricentro koordinatės (x ¯ , y ¯) (\displaystyle ((\bar (x)),\;(\bar (y)))) srityse, apribotas tvarkaraščiais nuolatinės funkcijos f (\displaystyle f) Ir g (\displaystyle g), toks f (x) ≥ g (x) (\displaystyle f(x)\geq g(x)) ant intervalo [a , b ] (\displaystyle), a ≤ x ≤ b (\displaystyle a\leq x\leq b), pateikiami posakiais
x ¯ = 1 A ∫ a b x [ f (x) − g (x) ] d x (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(A))\int _(a)^(b) x\left\;dx) . y ¯ = 1 A ∫ a b [ f (x) + g (x) 2 ] [ f (x) − g (x) ] d x , (\displaystyle (\bar (y))=(\frac (1)( A))\int _(a)^(b)\left[(\frac (f(x)+g(x))(2))\right]\left\;dx,)Kur A (\displaystyle A)- regiono plotas (apskaičiuotas pagal formulę ∫ a b [ f (x) − g (x) ] d x (\displaystyle \int _(a)^(b)\left\;dx)) .
L formos objekto baricentro vietos nustatymas
Metodas, kaip rasti L formos figūros baricentrą.
Trikampio ir tetraedro baricentrai
G = 1 a: 1 b: 1 c = b c: c a: a b = csc A: csc B: csc C (\displaystyle G=(\frac (1)(a)):(\frac (1) (b)):(\frac (1)(c))=bc:ca:ab=\csc A:\csc B:\csc C) = cos A + cos B ⋅ cos C: cos B + cos C ⋅ cos A: cos C + cos A ⋅ cos B (\displaystyle =\cos A+\cos B C:\cos B+\cos C\cdot \cos A:\cos C+\cos A\cdot \cos B) = sek A + sek B ⋅ sek C: sek B + sek C ⋅ sek A: sek C + sek A ⋅ sek B . (\displaystyle =\sec A+\sec B\cdot \sec C:\sec B+\sec C\cdot \sec A:\sec C+\sec A\cdot \sec B.)Baricentras taip pat fiziškai yra trikampio, pagaminto iš vienodos lakštinės medžiagos, masės centras, taip pat jei visa masė yra sutelkta viršūnėse ir tolygiai paskirstyta tarp jų. Jei masė pasiskirsto tolygiai išilgai perimetro, tada masės centras yra Spieker taške (vidurinio trikampio centre), kuris (esant bendras atvejis) nesutampa su viso trikampio centroidu.
Trikampio plotas lygus 3/2 bet kurios kraštinės ilgio, padauginto iš atstumo nuo centroido iki šono.
Trikampio centroidas yra ant Eulerio tiesės tarp jo ortocentro H ir jo apskritimo centras O, lygiai du kartus arčiau antrojo nei pirmojo:
G H = 2 G O . (\displaystyle GH=2GO.)Be to, centrui aš ir devynių taškų centras N, mes turime
G H = 4 G N , (\displaystyle GH = 4GN,) G O = 2 G N , (\displaystyle GO=2GN,) Aš G< H G , {\displaystyle IGTuri panašių savybių
Trikampio mediana yra skersmuo, dalijantis stygas lygiagrečiai pagrindui, todėl ant jo yra trikampio ploto svorio centras (nr. 217). Taigi trys trikampio medianos, susikertančios, nustato trikampio ploto svorio centrą.
Elementarūs svarstymai rodo, kad trikampio medianos susikerta taške, kuris yra du trečdaliai kiekvienos iš jų ilgio nuo atitinkamos viršūnės. Todėl trikampio ploto svorio centras yra ant bet kurios jo medianos dviejų trečdalių jo ilgio atstumu nuo viršūnės.
219. Keturkampis.
Keturkampio ploto svorio centras nustatomas pagal dviejų tiesių susikirtimą, kurią gauname taikydami svorio centrų pasiskirstymo savybę (213 punktas).
Pirma, padalinkite keturkampį įstrižai į du trikampius. Keturkampio svorio centras yra tiesėje, jungiančioje šių trikampių svorio centrus. Ši tiesi linija yra pirmoji iš dviejų būtinų tiesių.
Antrąją tiesę gauname tokiu pat būdu, keturkampį padalydami į du trikampius (skirtingus nuo ankstesnių), naudodami kitą įstrižainę.
220. Daugiakampis.
Mes žinome, kaip rasti trikampio ir keturkampio ploto svorio centrus. Norėdami nustatyti daugiakampio su savavališku kraštinių skaičiumi ploto centroidą, manykime, kad žinome, kaip rasti daugiakampio su mažesniu kraštinių skaičiumi ploto centroidą.
Tada galite padaryti tą patį, kaip ir keturkampio atveju. Nurodyto daugiakampio plotas yra padalintas į dvi dalis dviem skirtingais būdais brėžiant įstrižaines. Kiekvienu iš dviejų atvejų atskirų dalių svorio centrai yra tiesiogiai sujungti. Šios dvi linijos susikerta norimame svorio centre.
221. Apskritimo lankas.
Tegu reikia nustatyti apskritimo lanko AB, kurio ilgis yra s, svorio centrą. Apskritimą susiekime su dviem viena kitai statmenais skersmenimis OX ir OY, iš kurių pirmasis eina per lanko AB vidurį C. Svorio centras yra ant OX ašies, kuri yra simetrijos ašis. Todėl pakanka nustatyti 5. Tam turime formulę:
Tegul jie yra: a - apskritimo spindulys, c - stygos AB ilgis, - kampas tarp ašies OX ir spindulio, nubrėžto iki elementų verčių, atitinkančių lanko AB galus. Mes turime:
Tada, imdami B kaip integravimo kintamąjį ir integruodami išilgai lanko AB, gauname:
Vadinasi, apskritimo lanko svorio centras yra ant spindulio, nubrėžto per lanko vidurį, taške, kurio atstumas nuo apskritimo centro yra ketvirtadalis, proporcingas lanko ilgiui, spinduliui ir stygai.
222. Žiedinis sektorius.
Sektorių, esantį tarp apskritimo lanko ir dviejų spindulių OA ir OB, galima išskaidyti tarpiniais spinduliais į be galo mažus sektorius, lygius vienas kitam. Šiuos elementarius sektorius galima laikyti be galo siaurais trikampiais; kiekvieno iš jų svorio centras, pagal ankstesnį, yra ant spindulio, nubrėžto per šio sektoriaus elementaraus lanko vidurį, dviejų trečdalių spindulio ilgio atstumu nuo apskritimo centro . Vienodos visų elementariųjų trikampių masės, sutelktos jų svorio centruose, sudaro vienodą apskritimo lanką, kurio spindulys lygus dviem trečdaliams sektoriaus lanko spindulio. Taigi nagrinėjamas atvejis sumažinamas iki šio vienalyčio lanko svorio centro suradimo, t. y. iki problemos, išspręstos ankstesnėje pastraipoje.
223. Tetraedras.
Nustatykime tetraedro tūrio svorio centrą. Plokštuma, einanti per vieną iš kraštų ir per priešingos briaunos vidurį, yra diametralioji plokštuma, kuri dalija stygas, lygiagrečias šiam paskutiniam kraštui: todėl joje yra tetraedro tūrio svorio centras. Todėl šešios tetraedro plokštumos, kurių kiekviena eina per vieną iš kraštų ir per priešingos briaunos vidurį, susikerta viename taške, kuris yra tetraedro tūrio svorio centras.
Apsvarstykite tetraedrą ABCD (37 pav.); sujunkite viršūnę A su pagrindo BCD svorio centru I; tiesi linija AI yra einančių diametralių plokštumų sankirta
per briaunas AB ir todėl jame yra norimas svorio centras. Taškas yra dviejų trečdalių medianos BH atstumu nuo viršūnės B. Lygiai taip pat paimkime tašką K vidurinėje AH, kuris yra dviejų trečdalių jo ilgio atstumu nuo viršūnės. Tiesė B K kirs tiesę A tetraedro svorio centre. Paimkime iš trikampių ABN ir JN panašumo, aišku, kad IK yra trečioji AB dalis), tada iš trikampių ir BGA panašumo darome išvadą, kad yra trečioji dalis.
Vadinasi, tetraedro tūrio svorio centras yra atkarpoje, jungiančioje bet kurią tetraedro viršūnę su priešingo paviršiaus sunkio centru, trijų ketvirtadalių šio segmento ilgio atstumu nuo viršūnės.
Taip pat atkreipkime dėmesį, kad tiesė, jungianti dviejų priešingų briaunų vidurio taškus R ir L (38 pav.), yra per šias briaunas einančių diametralių plokštumų sankirta, ji taip pat eina per tetraedro svorio centrą. Taigi trys tiesios linijos, jungiančios priešingų tetraedro kraštų vidurio taškus, susikerta jo svorio centre.
Tegu H ir yra vienos priešingų briaunų poros vidurio taškai (38 pav.), o M, N – dviejų kitų priešingų briaunų vidurio taškai. Figūra HNLM yra lygiagretainis, kurio kraštinės yra atitinkamai lygiagrečios kitoms
du šonkauliai. Tiesės HL ir MN, jungiančios dviejų priešingų briaunų vidurio taškus, yra šio lygiagretainio įstrižainės, o tai reiškia, kad susikirtimo taške jos padalintos per pusę. Taigi, tetraedro svorio centras yra segmento, jungiančio dviejų priešingų tetraedro kraštų vidurio taškus, viduryje.
224. Piramidė daugiakampiu pagrindu.
Piramidės svorio centras yra ant atkarpos, jungiančios piramidės viršūnę su pagrindo svorio centru trijų ketvirtadalių šio segmento ilgio atstumu nuo viršaus.
Šiai teoremai įrodyti piramidę išskaidome į tetraedrus plokštumomis, nubrėžtomis per piramidės viršūnę ir per pagrindo ABCD įstrižaines (pvz., BD 39 pav.).
Nubraižykime plokštumą, kertančią briaunas trijų ketvirčių jų ilgio atstumu nuo viršaus. Šioje plokštumoje yra tetraedrų, taigi ir piramidžių, svorio centrai. Tetraedrų masės, kurias laikome susitelkusiomis jų svorio centruose, yra proporcingos jų tūriams, taigi ir pagrindų plotams (39 pav.) arba ir trikampių plotams blogas, vaga,... , panašios į ankstesnius ir išsidėsčiusios sekantinėje plokštumoje abcd... Taigi, norimas svorio centras sutampa su daugiakampio abcd svorio centru. Pastarasis yra tiesėje, jungiančioje piramidės viršūnę S su pagrindo daugiakampio svorio centru (panašiai esančiu).
225. Prizmė. Cilindras. Kūgis.
Remiantis simetrija, prizmės ir cilindro svorio centrai yra segmento, jungiančio pagrindų svorio centrus, viduryje.
Laikydami kūgį kaip piramidės, įrašytos į jį ta pačia viršūne, ribą, esame įsitikinę, kad kūgio svorio centras yra atkarpoje, jungiančioje kūgio viršūnę su pagrindo svorio centru, per atstumą. trijų ketvirčių šios atkarpos ilgio nuo viršūnės. Taip pat galime pasakyti, kad kūgio svorio centras sutampa su kūgio pjūvio svorio centru plokštuma, lygiagrečia pagrindui ir nubrėžta per ketvirtadalį kūgio aukščio nuo pagrindo.
Remiantis aukščiau gautomis bendromis formulėmis, galima nurodyti konkrečius kūnų svorio centrų koordinačių nustatymo metodus.
1. Simetrija. Jei vienalytis kūnas turi plokštumą, ašį arba simetrijos centrą (7 pav.), tai jo svorio centras yra atitinkamai simetrijos plokštumoje, simetrijos ašyje arba simetrijos centre.
7 pav
2. Skilimas. Kūnas yra padalintas į baigtinį skaičių dalių (8 pav.), kurių kiekvienai yra žinoma svorio centro padėtis ir plotas.
8 pav
3.Neigiamo ploto metodas. Ypatingas atskyrimo metodo atvejis (9 pav.). Tai taikoma kėbulams, turintiems išpjovas, jei žinomi kėbulo be išpjovos svorio centrai ir išpjovos dalis. Plokštės formos korpusas su išpjova pavaizduotas vientisos plokštės (be išpjovos) su plotu S 1 ir iškirptos dalies S 2 deriniu.
9 pav
4.Grupavimo metodas. Tai geras paskutinių dviejų metodų papildymas. Padalijus figūrą į sudedamuosius elementus, patogu kai kuriuos iš jų sujungti dar kartą, kad būtų supaprastintas sprendimas, atsižvelgiant į šios grupės simetriją.
Kai kurių vienarūšių kūnų svorio centrai.
1) Apskritimo lanko svorio centras. Apsvarstykite lanką AB spindulys R su centriniu kampu. Dėl simetrijos šio lanko svorio centras yra ant ašies Jautis(10 pav.).
10 pav
Raskime koordinates pagal formulę. Norėdami tai padaryti, pasirinkite ant lanko AB elementas MM' ilgio, kurio padėtis nustatoma pagal kampą. Koordinatė X elementas MM' bus . Pakeičiant šias reikšmes X ir d l ir turėdami omenyje, kad integralas turi būti pratęstas per visą lanko ilgį, gauname:
Kur L- arkos ilgis AB, lygus .
Iš čia mes pagaliau nustatome, kad apskritimo lanko svorio centras yra ant jo simetrijos ašies atstumu nuo centro APIE, lygus
kur kampas matuojamas radianais.
2) Trikampio ploto svorio centras. Apsvarstykite trikampį, esantį plokštumoje Oxy, kurio viršūnių koordinatės žinomos: A i(x i,y i), (i= 1,2,3). Trikampio suskaidymas į siauras juosteles lygiagrečiai šonui A 1 A 2, darome išvadą, kad trikampio svorio centras turi priklausyti medianai A 3 M 3 (11 pav.).
11 pav
Trikampio suskaidymas į juosteles lygiagrečiai šonui A 2 A 3, galime patikrinti, ar jis turi būti ant medianos A 1 M 1 . Taigi, trikampio svorio centras yra jo medianų susikirtimo taške, kuris, kaip žinoma, atskiria trečią dalį nuo kiekvienos medianos, skaičiuojant nuo atitinkamos pusės.
Visų pirma, medianai A 1 M 1 gauname, atsižvelgdami į tai, kad taško koordinates M 1 yra viršūnių koordinačių aritmetinis vidurkis A 2 ir A 3:
x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.
Taigi trikampio svorio centro koordinatės yra jo viršūnių koordinačių aritmetinis vidurkis:
x c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y i.
3) Apskrito sektoriaus ploto svorio centras. Apsvarstykite apskritimo su spinduliu sektorių R kurių centrinis kampas yra 2α, esantis simetriškai ašies atžvilgiu Jautis(12 pav.) .
Tai akivaizdu y c = 0, o atstumą nuo apskritimo centro, iš kurio šis sektorius yra nupjautas, iki jo svorio centro galima nustatyti pagal formulę:
12 pav
Lengviausias būdas apskaičiuoti šį integralą yra padalyti integravimo sritį į elementarius sektorius su kampu dφ. Tiksliai iki be galo mažų pirmosios eilės, tokį sektorių galima pakeisti trikampiu, kurio pagrindas lygus R× dφ ir aukštis R. Tokio trikampio plotas dF=(1/2)R 2 ∙dφ, o jo svorio centras yra 2/3 atstumu R nuo viršūnės, todėl į (5) dedame x = (2/3)R∙kosφ. Keičiama į (5) F= α R 2, gauname:
Naudodami paskutinę formulę apskaičiuojame atstumą iki svorio centro puslankiu.
Pakeitę α = π/2 į (2), gauname: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .
1 pavyzdys. Nustatykime vienalyčio kūno svorio centrą, parodytą Fig. 13.
13 pav
Kūnas yra vienalytis, susidedantis iš dviejų simetriškos formos dalių. Jų svorio centrų koordinatės:
Jų apimtys:
Todėl kūno svorio centro koordinatės
2 pavyzdys. Raskime stačiu kampu sulenktos plokštės svorio centrą. Matmenys pateikti brėžinyje (14 pav.).
14 pav
Svorio centrų koordinatės:
Sritys:
|
15 pav
Šioje problemoje patogiau korpusą padalinti į dvi dalis: didelę kvadratinę ir kvadratinę skylę. Tik skylės plotas turėtų būti laikomas neigiamu. Tada lapo svorio centro koordinatės su skyle:
koordinuoti 
kadangi kūnas turi simetrijos ašį (įstrižainę).
4 pavyzdys. Vielinis laikiklis (16 pav.) susideda iš trijų vienodo ilgio sekcijų l.
16 pav
Atkarpų svorio centrų koordinatės:
Todėl viso laikiklio svorio centro koordinatės yra šios:
5 pavyzdys. Nustatykite santvaros, kurios visų strypų linijinis tankis vienodas, svorio centro padėtį (17 pav.).
Prisiminkime, kad fizikoje kūno tankis ρ ir jo savitasis sunkumas g yra susiję su ryšiu: γ= ρ g, Kur g- gravitacijos pagreitis. Norint rasti tokio vienalyčio kūno masę, tankį reikia padauginti iš jo tūrio.
17 pav
Terminas "linijinis" arba "tiesinis" tankis reiškia, kad norint nustatyti santvaros strypo masę, linijinis tankis turi būti padaugintas iš šio strypo ilgio.
Norėdami išspręsti problemą, galite naudoti skaidymo metodą. Pateikę tam tikrą santvarą kaip 6 atskirų strypų sumą, gauname:
Kur L i ilgio i santvaros strypas ir x i, y i- jo svorio centro koordinates.
Šios problemos sprendimą galima supaprastinti sugrupuojant paskutinius 5 santvaros strypus. Nesunku pastebėti, kad jie sudaro figūrą su simetrijos centru, esančiu ketvirtojo strypo viduryje, kur yra šios strypų grupės svorio centras.
Taigi tam tikrą santvarą galima pavaizduoti tik dviejų strypų grupių deriniu.
Pirmąją grupę sudaro pirmasis jai skirtas strypas L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, y 1 = 2 m Antroji strypų grupė susideda iš penkių strypų L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, y 2 = 2 m.
Santvaros svorio centro koordinatės randamos pagal formulę:
x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;
y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.
Atkreipkite dėmesį, kad centras SU guli ant jungiančios tiesios linijos SU 1 ir SU 2 ir padalija segmentą SU 1 SU 2 apie: SU 1 SU/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.
Savitikros klausimai
Kaip vadinamas lygiagrečių jėgų centras?
Kaip nustatomos lygiagrečių jėgų centro koordinatės?
Kaip nustatyti lygiagrečių jėgų centrą, kurio rezultatas lygus nuliui?
Kokias savybes turi lygiagrečių jėgų centras?
Kokios formulės naudojamos lygiagrečių jėgų centro koordinatėms apskaičiuoti?
Kas yra kūno svorio centras?
Kodėl Žemės gravitacinės jėgos, veikiančios kūno tašką, gali būti laikomos lygiagrečių jėgų sistema?
Užrašykite nehomogeninių ir vienalyčių kūnų svorio centro padėties nustatymo formulę, plokščių pjūvių svorio centro padėties nustatymo formulę?
Užrašykite paprastų geometrinių figūrų svorio centro padėties nustatymo formulę: stačiakampį, trikampį, trapeciją ir pusę apskritimo?
Koks yra statinis ploto momentas?
Pateikite kūno, kurio svorio centras yra už kūno ribų, pavyzdį.
Kaip simetrijos savybės naudojamos nustatant kūnų svorio centrus?
Kokia yra neigiamų svorių metodo esmė?
Kur yra apskritimo lanko svorio centras?
Kokia grafine konstrukcija galima rasti trikampio svorio centrą?
Užrašykite formulę, kuri nustato apskritimo sektoriaus svorio centrą.
Naudodami formules, kurios nustato trikampio ir apskritimo sektoriaus svorio centrus, išveskite panašią apskritimo atkarpos formulę.
Kokiomis formulėmis apskaičiuoti vienarūšių kūnų, plokščių figūrų ir tiesių svorio centrų koordinates?
Kas vadinamas statiniu plokštumos figūros ploto momentu ašies atžvilgiu, kaip jis apskaičiuojamas ir kokio dydžio jis turi?
Kaip nustatyti vietovės svorio centro padėtį, jei žinoma atskirų jos dalių svorio centrų padėtis?
Kokios pagalbinės teoremos naudojamos svorio centro padėčiai nustatyti?
